CN113705780B - 一种基于伽玛随机场生成非正态随机场的无记忆转换方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于伽玛随机场生成非正态随机场的无记忆转换方法，根据目标非正态随机场的边缘分布和相关长度确定基础伽玛随机场的边缘分布和相关长度，生成基础伽玛随机场，通过无记忆性转换公式得到目标非正态随机场，本发明提供的一种基于伽玛随机场生成非正态随机场的无记忆转换方法，可生成指定边缘分布的目标非正态随机场；目标非正态随机场和基础伽玛随机场的相关长度相近，随机场的变异系数小于等于1时，多种目标非正态随机场与基础伽玛随机场相关长度的相对误差在1％以内。

Description

一种基于伽玛随机场生成非正态随机场的无记忆转换方法

技术领域

本发明涉及表征自然界中随机性和不确定性的随机场理论，尤其涉及一种基于伽玛随机场生成非正态随机场的无记忆转换方法。

背景技术

随机性和不确定性是自然界的普遍现象，也是科学和工程技术中经常碰到的问题。在工程领域，材料特性往往具有空间变异性，即材料性质参数在空间上表现出一定的非均匀性和相关性，空间中两点材料性质参数之间的相关性随着两点间距离的增大而逐渐减小。为了更好地模拟材料性质的不确定性，随机场模型被提出，利用统计数据(例如均值、标准差和相关距离)来表征材料性质的随机性和不确定性。在实际中，模拟材料性质参数的随机场由材料性质参数服从的边缘分布和自相关函数来描述。

随着随机场理论的发展，已经可以模拟出多种类型的随机场。正态随机场由于生成方法简单得到广泛的应用，但大量研究表明非正态随机场能够更准确地体现实验数据的统计特征，故非正态随机场得到了广泛的应用。目前，生成非正态随机场的模拟方法主要有以下两个步骤：

(1)生成基础正态随机场；

(2)对基础正态随机场进行转化生成非正态随机场。

但是，基于基础正态随机场转化生成非正态随机场存在以下问题：

(1)非正态随机场的自相关函数会被扭曲；

(2)为避免非正态随机场的自相关函数发生扭曲，需要使用迭代方法，过程复杂且耗时较长。

发明内容

根据现有技术的不足，本发明的目的是提供一种基于伽玛随机场生成非正态随机场的无记忆转换方法。

为了解决上述技术问题，本发明采用的技术方案为：

一种基于伽玛随机场生成非正态随机场的无记忆转换方法，包括以下步骤：

步骤1、根据目标非正态随机场的边缘分布参数和相关长度θ_T确定基础伽玛随机场的边缘分布参数G(α,β)和相关长度θ_G；

步骤2、在n维空间内生成边缘分布为G(α,β)、相关长度为θ_G的基础伽玛随机场；

步骤3、通过无记忆性转换公式Y(t)＝F^-1{G[X(t)]}将基础伽玛随机场转化为目标非正态随机场。

进一步地，所述步骤1中，基础伽玛随机场的相关长度设置为目标非正态随机场的相关长度，θ_G＝θ_T。

进一步地，所述步骤2中，生成基础伽玛随机场的方法包括：

步骤201、在n维空间生成均匀随机分布的种子，种子的空间密度为K，K应足够大；

步骤202、给每个种子赋予相互独立且服从伽玛分布的随机数r_i；

步骤203、空间中任意一点的随机函数f为该点周围一定空间P内M个伽玛随机数的和，计算公式为M＝K·P，随机函数的计算公式为

进一步地，无记忆性转换公式中G和F分别为基础伽玛随机场X(t)和目标随机场Y(t)的累积分布函数。

进一步地，所述无记忆转换方法生成的非正态随机场用于表征材料的各项参数性质。

进一步地，所述参数性质包括但不限于材料的强度、弹性模量、泊松比和土体渗透系数。

与现有技术相比，本发明具有以下优点和有益效果：

本发明所述的一种基于伽玛随机场生成非正态随机场的无记忆转换方法，目标非正态随机场的自相关函数基本上没有发生扭曲，且不需要使用迭代方法，过程相对简单且耗时较短，通过基于伽玛随机场生成非正态随机场的无记忆转换方法生成目标非正态随机场，并计算基础伽玛随机场与目标非正态随机场相对长度的相对误差值，目标非正态随机场的相关长度与初始设定值偏差较小，对于多数目标非正态随机场，生成的随机场的变异系数小于等于1时，目标非正态随机场和基础伽玛随机场的相关长度的相对误差在1％以内。

附图说明

图1为本发明中对无记忆转换公式的解释图。

图2为本发明基于正态随机场转换得到的非正态随机场及对应基础正态随机场的自相关函数。

图3为本发明基于伽玛随机场转换得到的非正态随机场及对应基础伽玛随机场的自相关函数。

图4为本发明生成的一维对数正态随机场的效果图。

图5为本发明中随机场变异系数为1.0时基础伽玛随机场与目标对数正态随机场的自相关函数。

图6为本发明中随机场变异系数为0.5时基础伽玛随机场与目标对数正态随机场的自相关函数。

图7本发明生成出的一维威布尔随机场的效果图。

图8本发明中随机场变异系数为1.0时基础伽玛随机场与目标威布尔随机场的自相关函数。

图9本发明中随机场变异系数为0.5时基础伽玛随机场与目标威布尔随机场的自相关函数。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述。

现有技术中，正态随机场由于生成方法简单得到广泛的应用，但大量研究表明非正态随机场能够更准确地体现实验数据的统计特征，故非正态随机场得到了广泛的应用。

生成非正态随机场需要对正态随机场进行转化，但是对基础正态随机场进行转化时，会扭曲自相关函数，目标非正态随机场的相关长度与初始设定值存在较大偏差；且对基础正态随机场进行转化时，为避免目标非正态随机场的自相关函数发生扭曲，需要使用迭代方法，过程复杂且耗时较长。

因此，本发明提出一种基于伽玛随机场生成非正态随机场的无记忆转换方法，包括以下步骤：

步骤1、根据目标非正态随机场的边缘分布参数和相关长度θ_T确定基础伽玛随机场的边缘分布参数G(α,β)和相关长度θ_G，参照表1所示，为5种常用非正态随机场对应的基础伽玛随机场边缘分布的参数；

步骤2、在n维空间内生成边缘分布为G(α,β)、相关长度为θ_G的基础伽玛随机场；

步骤3、通过无记忆性转换公式Y(t)＝F^-1{G[X(t)]}将基础伽玛随机场转化为目标非正态随机场。

通过以上步骤生成的随机场为目标非正态随机场，目标非正态随机场的自相关函数基本上没有发生扭曲，且不需要使用迭代方法，过程相对简单且耗时较短。参照表2所示，通过基于伽玛随机场生成非正态随机场的无记忆转换方法生成目标非正态随机场，并计算基础伽玛随机场与目标非正态随机场相对长度的相对误差值，目标非正态随机场的相关长度与初始设定值偏差较小，对于多数目标非正态随机场，生成的随机场的变异系数小于等于1时，目标非正态随机场和基础伽玛随机场的相关长度的相对误差在1％以内。

表1目标非正态随机场对应的基础伽玛随机场边缘分布参数

表2基础伽玛随机场与目标非正态随机场相对长度的相对误差值

在步骤1中，基础伽玛随机场的相关长度设置为目标非正态随机场的相关长度，θ_G＝θ_T，根据目标非正态随机场的均值和方差等于基础伽玛随机场的均值和方差，得出基础伽玛随机场的边缘分布参数G(α,β)，参照表3所示，为目标非正态随机场的均值和方差及基础伽玛随机场的均值和方差。

表3目标非正态随机场的均值和方差及基础伽玛随机场的均值和方差

注：基础伽玛随机场的边缘分布为其中

计算时令E_T＝E_G；V_T＝V_G，得到基础伽玛随机场边缘分布的参数。

在步骤2中，生成基础伽玛随机场的方法包括：

步骤201、在n维空间生成均匀随机分布的种子，种子的空间密度为K，K应足够大；

步骤202、给每个种子赋予相互独立且服从伽玛分布的随机数r_i；

步骤203、空间中任意一点的随机函数f为该点周围一定空间P内M个伽玛随机数的和，计算公式为M＝K·P，随机函数的计算公式为

在步骤3中，无记忆转换转化公式的具体操作是，得到基础伽玛随机场后，根据基础伽玛随机场的累积分布曲线对目标非正态随机场的累积分布函数求逆，得到目标非正态随机场。

参照图1所示，为本发明中对无记忆转换公式的解释图。按照上述方法，根据目标非正态随机场确定基础伽玛随机场的边缘分布参数与相关长度后，生成基础伽玛随机场，得到基础伽玛随机场后，根据基础伽玛随机场的累积分布曲线对目标非正态随机场的累积分布函数求逆，得到目标非正态随机场。图1中虚线是基础伽玛随机场的累积分布曲线，实线是目标非正态随机场的累积分布曲线。

通过蒙特卡洛模拟，使用正态随机场和伽玛随机场进行转化得到目标非正态随机场的自相关函数如图2和图3所示，图2是基于正态随机场转换，其中，实线是正态随机场的自相关函数，虚线是转化后得到的非正态随机场的自相关函数；图3是基于伽玛随机场转换，实线是伽玛随机场的自相关函数，虚线是转化后得到的非正态随机场的自相关函数。通过比较可以得到，基于伽玛随机场转换的结果明显优于基于正态随机场转换的结果。

无记忆性转换公式中G和F分别为基础伽玛随机场X(t)和目标随机场Y(t)的累积分布函数。

由于模拟材料性质参数的随机场通常由材料性质参数服从的边缘分布和自相关函数来描述，而非正态随机场能够更准确地体现实验数据的统计特征，因此本发明提出的无记忆转换方法生成的非正态随机场用于表征材料的各项参数性质。

具体地，参数性质包括但不限于材料的强度、弹性模量、泊松比和土体渗透系数。

在实施例1中，采用基于伽玛随机场生成非正态随机场的无记忆转换方法，目标对数正态随机场的边缘分布参数为LN(μ，σ²)，其均值和方差分别为μ和σ²，目标对数正态随机场的相关长度为θ_T，根据目标对数正态随机场的均值和方差等于基础伽玛随机场，得出基础伽玛随机场的边缘分布参数为基础伽玛随机场的相关长度为θ_G；

在n维空间内生成边缘分布为G(α,β)的基础伽玛随机场；

通过无记忆性转换公式Y(t)＝F^-1{G[X(t)]}将基础伽玛随机场转化为目标对数正态随机场。

参照图4所示，为本发明生成的一维对数正态随机场的效果图。图中虚线是一维基础伽玛随机场，其边缘分布为G(4.0，0.25)，相关长度θ_G＝1.0；实线是目标对数正态随机场，其边缘分布为LN(1.0，0.25)，相关长度θ_T＝1.0。通过图4可以看出，本发明提出的方法可以生成实线所示的对数正态随机场，另外，通过本发明提出的方法，生成的对数正态随机场与基础伽玛随机场的变化趋势相近，意味着二者的相关性相近。

参照图5所示，为本发明中随机场变异系数为1.0时基础伽玛随机场与目标对数正态随机场的自相关函数。图5中虚线是基础伽玛随机场的自相关函数；实线是目标对数正态随机场的自相关函数。图5结合表2可以看出，生成的随机场的变异系数等于1时，目标非正态随机场和基础伽玛随机场的相关长度的相对误差在1％以内。

参照图6所示，为本发明中随机场变异系数为0.5时基础伽玛随机场与目标对数正态随机场的自相关函数。图6中虚线是基础伽玛随机场的自相关函数；实线是目标对数正态随机场的自相关函数。

在实施例2中，目标威布尔随机场的边缘分布参数为W(η，σ),其均值和方差分别为和/>目标威布尔随机场的相关长度为θ_T，根据目标威布尔随机场的均值和方差等于基础伽玛随机场，得出基础伽玛随机场的边缘分布参数为基础伽玛随机场的相关长度为θ_G；

步骤2：在n维空间内生成边缘分布为G(α,β)的基础伽玛随机场；

步骤3：通过无记忆性转换公式Y(t)＝F^-1{G[X(t)]}将基础伽玛随机场转化为目标威布尔随机场。

参照图7所示，为本发明生成的一维威布尔随机场的效果图。图中虚线是一维基础伽玛随机场，其边缘分布为G(3.7，0.7)，相关长度θ_G＝1.0；实线是威布尔随机场，其边缘分布为W(2.0，3.0)，相关长度θ_T＝1.0。通过图7可以看出，本发明提出的方法可以生成实线所示的威布尔随机场，另外，通过本发明提出的方法，生成的威布尔随机场与基础伽玛随机场的变化趋势相近，意味着二者的相关性相近。

参照图8所示，为本发明中随机场变异系数为1.0时基础伽玛随机场与目标威布尔随机场的自相关函数。图8中虚线是基础伽玛随机场的自相关函数；实线是目标威布尔随机场的自相关函数。图8结合表2可以看出，生成的随机场的变异系数等于1时，目标威布尔随机场和基础伽玛随机场的相关长度的相对误差在1％以内。

参照图9所示，为本发明中随机场变异系数为0.5时基础伽玛随机场与目标威布尔随机场的自相关函数。图9中虚线是基础伽玛随机场的自相关函数；实线是目标威布尔随机场的自相关函数。

显然，本领域的技术人员可以对本发明进行各种改动和变型而不脱离本发明的精神和范围。这样，倘若本发明的这些修改和变型属于本发明权利要求及其等同技术的范围之内，则本发明也意图包含这些改动和变型在内。

尽管本文较多地使用了基础随机场、目标随机场等术语，但并不排除使用其它术语的可能性。使用这些术语仅仅是为了更方便地描述和解释本发明的本质；把它们解释成任何一种附加的限制都是与本发明精神相违背的。

Claims (1)

1.一种基于伽玛随机场生成非正态随机场的无记忆转换方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1、根据目标非正态随机场的边缘分布参数和相关长度θ_T确定基础伽玛随机场的边缘分布参数G(α,β)和相关长度θ_G，基础伽玛随机场的相关长度设置为目标非正态随机场的相关长度，θ_G＝θ_T，根据目标非正态随机场的均值和方差等于基础伽玛随机场的均值和方差，得出基础伽玛随机场的边缘分布参数G_(α,β)；

步骤2、在n维空间内生成边缘分布为G(α,β)、相关长度为θ_G的基础伽玛随机场，生成基础伽玛随机场的方法包括：

步骤201、在n维空间生成均匀随机分布的种子，种子的空间密度为K；

步骤202、给每个种子赋予相互独立且服从伽玛分布的随机数r_i；

步骤203、空间中任意一点的随机函数f为该点周围一定空间P内M个伽玛随机数的和，计算公式为M＝K·P，随机函数的计算公式为

步骤3、通过无记忆性转换公式Y(t)＝F^-1{G[X(t)]}将基础伽玛随机场转化为目标非正态随机场，无记忆性转换公式中G和F分别为基础伽玛随机场X(t)和目标随机场Y(t)的累积分布函数，所述无记忆转换方法生成的非正态随机场用于表征材料的各项参数性质，所述参数性质包括材料的强度、弹性模量、泊松比和土体渗透系数。