CN112071376A - 一种直接生成对数正态随机场的模拟方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种直接生成对数正态随机场的模拟方法。在n维空间中生成随机分布的种子，并将相互独立且服从对数正态分布的随机数赋值给每个种子，任意一点周围一定范围内的所有随机数相乘得到该点的随机函数。基于对数正态分布的可乘性，目标随机场的边缘分布为对数正态分布；基于对数正态分布和正态分布的关系可得到目标随机场的自相关系数为随两点间距离递减的非负函数。本发明利用对数正态分布的可乘性，直接生成对数正态随机场。生成对数正态随机场的步骤简单易懂，只需生成服从对数正态分布的随机数并对一定数量的随机数进行求积，计算效率高，对软件要求低。且生成的对数正态随机场的连续性、平稳性和遍历性能得到一定的保证。

Description

一种直接生成对数正态随机场的模拟方法

技术领域

本发明属于材料性能数值模拟领域，涉及表征自然界中随机性和不确定性的随机场理论，尤其涉及一种直接生成对数正态随机场的模拟方法。

背景技术

随机性和不确定性是自然界的普遍现象，也是科学和工程技术中经常碰到的问题。在工程领域，材料特性往往具有空间变异性，即材料性质参数在空间上表现出一定的非均匀性和相关性，空间中两点材料性质参数之间的相关性随着两点间距离的增大而逐渐减小。为了更好地模拟材料性质的不确定性，随机场模型被提出，利用统计数据(例如均值、标准差和相关距离)来表征材料性质的随机性和不确定性。在实际中，模拟材料性质参数的随机场由材料性质参数服从的边缘分布和自相关函数来描述。

随着随机场理论的发展，已经可以模拟出多种类型的随机场。材料性质参数具有非负性，研究者也验证了对数正态分布能很好地体现实验数据的统计特征，故对数正态随机场得到了广泛的应用。目前，生成对数正态随机场的模拟方法主要有以下两个步骤：(1)生成基础正态随机场；(2)对基础正态随机场进行转化生成对数正态随机场。

生成正态随机场的常用方法有两种，分别是谱分解法和K-L展开法。谱分解法是将随机场展开为无穷项三角函数的乘积，其中三角函数的相位角和振幅是随机变化的。实际应用中一般将振幅固定为常数，仅让相位角发生随机变化，该随机场的均值和自相关性具有遍历性。K-L展开法可以看作是正交级数展开的一种特殊情况，其中选取正交函数作为第二类Fredholm积分方程的特征函数。谱分解法和K-L展开法存在以下问题：(1)二者都是无穷项的乘积，无法在实际应用中做到，一般近似采用其截断形式；(2)采用截断形式会导致随机场的平稳性无法得到保证，同时会影响随机场的边缘分布及后期转化的平稳性。

生成非正态随机场需要对边缘累积分布函数进行转化，边缘累积分布函数的转化形式为X(s；ω)＝F^-1{φ[G(s；ω)]}。式中φ和F分别是标准正态分布和目标非正态分布的边缘累计分布函数。采用转化方法生成非正态随机场存在以下问题：(1)非正态随机场的自相关函数会被扭曲；(2)为避免非正态随机场的自相关函数发生扭曲，需要使用迭代方法，过程复杂且耗时较长。

发明内容

本发明目的在于提出一种直接生成对数正态随机场的模拟方法。解决了现有技术中存在的以下问题：(1)生成对数正态随机场需生成基础正态随机场，再对其进行转化生成对数正态随机场；(2)生成基础正态随机场的两种常用方法为谱分解法和K-L展开法，在实际应用时需近似采用其截断形式，导致随机场的平稳性无法得到保证，同时会影响随机场的边缘分布及后期转化的平稳性；(3)对基础正态随机场进行转化时，为避免非正态随机场的自相关函数发生扭曲，需要使用迭代方法，过程复杂且耗时较长。本发明提供了一种简单高效的模拟方法直接生成对数正态随机场。本模拟方法概念简单，生成效率高，可用多种商业软件实现，可减少学习掌握该模拟方法的时间，提高生成对数正态随机场的效率。

为了解决上述技术问题，本发明采用的技术方案如下：

一种直接生成对数正态随机场的模拟方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1、在n维空间内生成随机分布的种子，种子的密度记为单位空间种子数为K，K大小根据所模拟对象选择；

步骤2、生成相互独立且服从对数正态分布的随机数，随机数服从的对数正态分布由目标随机场的边缘对数正态分布参数和种子的密度共同确定；

步骤3、将步骤2中生成的随机数赋值给n维空间内的每一个种子，种子的数值和位置都是随机的；

步骤4、n维空间中任意一点的随机函数为该点周围一定空间P内M个随机数的乘积，M＝K·P，即完成对数正态随机场的生成。

进一步地，步骤1中，所述种子的位置的坐标分布服从均匀分布或泊松分布。

进一步地，步骤1中，种子的密度K取值范围为100-10000。

进一步地，步骤3中，随机场的边缘对数正态分布参数记为

μ_lnX为边缘对数正态分布对应的正态分布的期望，

为边缘对数正态分布对应的正态分布的方差；则步骤3中，赋值给每个种子的随机数服从参数为

的对数正态分布。

进一步地，步骤4中，所述空间P的形状根据需要进行选择，如果目标对数正态随机场是各向同性的，则是以该点为中心，距该点距离均相等的范围集合，若目标对数正态随机场是各向异性的，则是以该点为中心，各方向上距该点距离不相等范围集合。

进一步地，对于二维空间，空间P的形状根据需求设置为圆形、椭圆形、多边形或者长方形等。具体的，按照二维平面内任意一点的随机函数为以该点为圆心，半径为R的圆盘内所有随机数的乘积，生成的是各向同性的目标对数正态随机场；按照二维平面内任意一点的随机函数为以该点为中心，长半轴为R₁，短半轴为R₂的椭圆内所有随机数的乘积，生成的是正交各向异性的目标对数正态随机场。

进一步地，对于三维空间，空间P的形状根据需求设置为以该点为中心的圆球形、椭球形、立方体、长方体或者柱体等。

一种对数正态随机场，其特征在于：采用权利要求1-6任意一项所述模拟方法生成。

进一步地，所述对数正态随机场的自相关函数是随着两点间距离递减的非负函数。

一种利用上述模拟方法生成的对数正态随机场的用途，其特征在于：用于模拟表征材料的各项参数性质。

所述材料的参数性质包括但不限于材料的强度、弹性模量、泊松比、土体的渗透系数等。

本发明有益效果是：

本发明可以直接生成对数正态随机场，随机场的自相关函数与材料的各项参数相关性一致，本模拟方法概念简单，生成效率高，可用多种商业软件实现，可减少学习掌握该模拟方法的时间，提高生成对数正态随机场的效率。目标对数正态随机场的有以下三个性质：

(1)连续性。空间任意一点的随机函数是其周围M个随机数的乘积，种子的密度足够大时，距离趋近于0的两位置处包含大量共同拥有的种子，只有极少的种子落入非共同区域，该模拟方法生成的随机场可以看作是连续的。

(2)平稳性。由对数正态分布随机场的生成过程可知，该随机场的均值和方差分别为常数，且随机场的自相关函数仅为两点之间距离τ的函数，故本模拟方法生成的随机场具有平稳性。

(3)遍历性。随机过程的遍历性可以理解为：随机过程的各个样本函数都同样地经历了该过程的各种可能状态。因此从任何一个样本函数中都可以得到过程的全部信息,任何一个样本函数的特性都可以充分地代表整个过程的特性。根据自相关函数的数学表达式和其几何解释，N/M的整体平均和空间意义上的平均是相同的，这就证明了本模拟方法生成的随机场具有遍历性。

附图说明

图1是本发明实施例1中模拟一维对数正态随机场的几何解释图。在一维情况下，本发明是在直线上生成随机分布的种子，并将服从同一对数正态分布且相互独立的随机数赋值给种子。直线上任意一点的随机函数是以该点为中心，长度为2R的线段上所有随机数的乘积。一维对数正态随机场的自相关系数由两线段重叠部分长度与单条线段长度的比值确定。图1中展示了自相关系数三种情况，图1(a)为两点重合，图1(b)为两点距离小于2R，图1(c)两点距离大于或者等于2R。

图2是本发明模拟出的一维对数正态随机场的效果图。

图3是本发明实施例2中模拟二维对数正态随机场(各向同性)的几何解释。在二维情况下，本发明是在平面上生成随机分布的种子，并将相互独立且服从对数正态分布的随机数赋值给n维空间内的种子。平面上任意一点的随机函数是以该点为中心，半径为R的圆盘上所有随机数的乘积。二维对数正态随机场的自相关系数由两圆盘重叠部分面积与单个圆盘面积的比值确定。

图4是本发明实施例3中模拟二维对数正态随机场(正交各向异性)的几何解释图。生成各向异性随机场与生成各向同性随机场的区别在于：任意一点随机函数的求积区域由圆盘变化为其他形状，可以为椭圆、三角形、矩形等，形状选择不局限于此处列举的三种。

图5是本发明模拟出的二维对数正态随机场效果图，图5(1)是相关长度为2的随机场；图5(2)是相关长度为4的随机场。

图6是本发明实施例3中模拟出的二维对数正态随机场(正交各向异性)效果图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明的实施方式作进一步详细描述。以下实施例用于说明本发明，但不能用来限制本发明的范围。

本发明基于对数正态分布的可乘性，提供了一种直接生成对数正态随机场的模拟方法，包括以下步骤：

步骤1：在n维空间中生成随机分布的种子，种子的密度记为单位空间种子数为K，K大小根据所模拟对象选择，种子位置的坐标分量可以服从均匀分布、泊松分布等，达到种子位置随机且整体均匀分布的效果。种子的密度越大，生成的对数正态随机场连续性越好，因此应足够大，使得整体平均意义上，种子数量与其所占区域成正比例关系，但是考虑到计算效率问题，一般种子的密度K取值范围为100-10000。

步骤2：生成相互独立且服从对数正态分布的随机数x_i，随机数服从的对数正态分布由目标随机场的边缘对数正态分布参数和种子的密度共同确定。若目标随机场的边缘对数正态分布参数为

μ_lnX为边缘对数正态分布对应的正态分布的期望，

为边缘对数正态分布对应的正态分布的方差，n维空间中任意一点的随机函数是该点周围M个随机数的乘积，则赋值给种子的随机数服从参数为

的对数正态分布。

步骤3：将步骤2中相互独立且服从对数正态分布的随机数赋值给n维空间内随机分布的种子。

步骤4：将n维空间内任意一点的随机函数定义为分布在该点周围空间P内M个随机数的乘积，即

s表示该点的位置向量，ω表示一个随机向量。

通过以上步骤生成的目标随机场为对数正态随机场，且随机场的自相关函数是随两点间距离递减的非负函数。随机场的连续性、平稳性和遍历性均得到一定保障，步骤简单易懂，计算效率高。

对数正态分布是正态分布通过非线性但简单的取对数转化而来的。如果变量G在实数范围内服从正态分布，且有X＝exp{G}，那么变量X在正实数范围内服从对数正态分布。即如果变量X的自然对数ln(X)服从正态分布，那么变量X服从对数正态分布。

对数正态分布随机变量X的概率密度函数为：

式中μ_lnX和σ_lnX分别是正态分布随机变量ln(X)的均值(期望值)和标准差，μ_lnX＝E[lnX]，E表示求数学期望，

对数正态分布具有可乘性，其可乘性可进行如下解释：若X₁X₂…X_n是服从同一分布且相互独立的非负变量，lnX＝lnX₁+lnX₂+…+lnX_n，则由中心极限定理可知lnX服从正态分布，且正态分布的参数为

其中

于是有变量X服从参数为

的对数正态分布，即目标随机场的边缘分布函数为对数正态分布。

根据随机场理论，空间中两点(A点和B点)的自相关函数定义为：

上式中，Cov[,]和

分别是协方差和标准差。本模拟方法步骤2中生成的对数正态分布随机数都是独立分布的，将Cov[f(s_A；ω),f(s_B；ω)]展开，得到Mⁿ项，其中只有A、B两点随机函数的共用部分不为0。

若变量X服从对数正态分布，则变量X、lnX的自相关函数存在以下关系：

式中τ为两点间的距离。计算ρ_X(τ)的关键是计算出ρ_lnX(τ),若X服从参数为

的对数正态分布，则lnX服从参数为

的正态分布。对于服从正态分布的变量lnX，由正态分布和对数正态分布之间的关系可以得出，任意一点的随机函数可表示为

同样的，变量lnX是服从同一分布且相互独立的随机变量，将Cov[f(s_A；ω),f(s_B；ω)]展开，得到Mⁿ项，其中只有A、B两点随机函数共用部分不为0，且为

由正态分布的性质，有

故

上式中的M为任意一点随机函数求积的种子总数，N为两点随机函数求积共用种子的数量。当种子密度足够大时，种子数量和种子占据区域是正相关的，且M个种子占据的区域是相同的。通过种子密度将种子数量和种子占据区域联系起来，可对上式进行几何解释：共用种子数量与种子总数量之比可以解释各自在空间占据的区域之比。故自相关函数可表示为

其中P_N表示两点随机函数的共用种子(数量为N)所占区域，P_M表示定义该点随机函数的所有种子(数量为M)所占区域。

得到变量lnX的自相关系数后，结合对数正态分布和正态分布自相关函数之间的关系，得到变量X的自相关系数

在随机场中，相关长度比自相关函数更受关注，相关长度是指在该距离内材料性质参数具有相关性，超出该距离后材料性质参数不再具有相关性。相关长度(用字母θ表示)的数学表达式为：

由自相关函数的表达式可以看出，确定目标随机场的边缘分布后，其相关长度由随机数求积的空间P决定。这里P的含义是：在空间P范围内含有M个种子。

需要说明的是，对于一维空间，步骤1中种子密度为单位长度上的种子数，空间P为以该点为中心长度为2R的线段空间，空间P上随机数的总数M＝K·P＝K·2R。

对于二维空间，步骤1中种子密度为单位面积上的种子数，空间P为以该点为中心的圆形、椭圆形、多边形或者长方形，如果目标对数正态随机场是各向同性的，则是以该点为中心，距该点距离均相等的范围(即圆形)，若目标对数正态随机场是各向异性的，则是以该点为中心，各方向上距该点距离不相等的范围内所有随机数的乘积(比如椭圆形或长方形)。以圆形为例，圆形半径为R，则空间P上随机数的总数M＝K·P＝K·πR²。以下为三个具体实施例。

实施例1

一种直接生成一维对数正态随机场的模拟方法，包括以下步骤：

步骤1，在一维空间中生成随机分布的种子，种子的密度记为K，即单位长度上种子总数为K，此实例中K＝1000。图1为示意图。

步骤2：生成服从对数正态分布的随机数x_i，其参数为

随机数服从对数正态分布的参数是由目标随机场的边缘对数正态分布和求乘随机数的数量(种子密度)共同确定的，目标随机场所服从的对数正态分布数为(1,0.5²)。

步骤3：将步骤2中服从同一分布且相互独立的随机数赋值给一维空间中随机分布的种子。

步骤4：一维空间内任意一点的随机函数定义为以该点为中心，长度为2R的线段内所有随机数的乘积，即

M＝K·2R。

以上步骤重复两次，生成两个一维对数正态随机场，随机场的边缘对数正态分布的参数为(1,0.5²)，随机场的效果图见图2。

实施例2

一种直接生成二维对数正态随机场的模拟方法，包括以下步骤：

步骤1，在二维空间中生成随机分布的种子，种子的密度记为K，即单位面积上种子总数为K，此实例中K＝1000。图3为示意图。

步骤2：生成服从对数正态分布的随机数x_i，其参数为

随机数服从对数正态分布的参数是由目标随机场的边缘对数正态分布和求乘积随机数的数量(种子密度)共同确定的，目标随机场所服从对数正态分布参数为(1,0.5²)。

步骤3：将步骤2中服从对数正态分布且相互独立的随机数赋值给对应的子区域中随机分布的种子。

步骤4：二维空间内任意一点的随机函数定义为以该点为圆心，半径为R的圆盘内所有随机数(总数为M)的乘积，即

此处M＝K·πR²。

以上步骤重复两次，改变种子密度，生成两个二维对数正态随机场，随机场的边缘对数正态分布的参数为(1,0.5²)。生成的随机场为各向同性随机场，效果图为图5-(1)，图5-(2)。

实施例3

本实施例以土体渗透系数为模拟对象，渗透系数的单位为cm/s。土体渗透系数为非负值，一般服从对数正态分布，目标随机场服从的对数正态分布参数为(-13.4,2.4²)，水平方向和竖直方向的相关长度分别取8m和2m。一种直接生成二维对数正态随机场的模拟方法，包括以下步骤：

步骤1，在二维空间中生成随机分布的种子，种子的密度记为K，即单位面积上种子总数为K，此实例中K＝1000。图3为示意图。

步骤2：生成服从对数正态分布的随机数x_i，其参数为

随机数服从对数正态分布的参数是由目标随机场的边缘对数正态分布和求积随机数的数量(种子密度)共同确定的，目标随机场所服从的对数正态分布参数为(-13.4,2.4²)。

步骤3：将步骤2中服从同一分布且相互独立的随机数赋值给二维空间中随机分布的种子。

步骤4：二维空间内任意一点的随机函数定义为以该点为中心，长半轴R₁和短半轴R₂的椭圆盘内所有随机数(总数为M)的乘积，即

此处M＝K·πR₁R₂。

生成一个二维对数正态随机场，随机场的边缘对数正态分布的参数为(-13.4,2.4²)。生成的随机场为正交各向异性随机场，效果图为图6。

在本实施例中，生成对数正态随机场只需要生成符合目标随机场的随机数，并对一定数量的随机数进行求积运算，整个过程简单快速，容易掌握且效率高，具有明显的优势。本实施例可以用很多商业软件实现，例如MATLAB2018。

本文中所描述的具体实施例仅仅是对本发明精神作举例说明。本发明所属技术领域的技术人员可以对所描述的具体实施例做各种各样的修改或补充或采用类似的方式替代，但并不会偏离本发明的精神或者超越所附权利要求书所定义的范围。

尽管本文较多地使用了种子、目标随机场等术语，但并不排除使用其它术语的可能性。使用这些术语仅仅是为了更方便地描述和解释本发明的本质；把它们解释成任何一种附加的限制都是与本发明精神相违背的。

Claims (10)

1.一种直接生成对数正态随机场的模拟方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1、在n维空间内生成随机分布的种子，种子的密度记为单位空间种子数为K，K大小根据所模拟对象选择；

步骤2、生成相互独立且服从对数正态分布的随机数，随机数服从的对数正态分布由目标随机场的边缘对数正态分布参数和种子的密度共同确定；

步骤3、将步骤2中生成的随机数赋值给n维空间内的每一个种子，种子的数值和位置都是随机的；

步骤4、n维空间中任意一点的随机函数为该点周围一定空间P内M个随机数的乘积，M＝K·P，即完成对数正态随机场的生成。

2.如权利要求1所述直接生成对数正态随机场的模拟方法，其特征在于：步骤1中，所述种子的位置的坐标分布服从均匀分布或泊松分布。

3.如权利要求1所述直接生成对数正态随机场的模拟方法，其特征在于：步骤1中，种子的密度K取值范围为100-10000。

4.如权利要求1所述直接生成对数正态随机场的模拟方法，其特征在于：步骤2中，目标随机场的边缘对数正态分布参数记为

μ_lnX为边缘对数正态分布所对应的正态分布的期望，

为边缘对数正态分布所对应的正态分布的方差；则步骤3中，赋值给每个种子的随机数服从参数为

的对数正态分布。

5.如权利要求1所述直接生成对数正态随机场的模拟方法，其特征在于：步骤4中，所述空间P的形状根据需要进行选择，如果目标对数正态随机场是各向同性的，则是以该点为中心，距该点距离均相等的范围集合，若目标对数正态随机场是各向异性的，则是以该点为中心，各方向上距该点距离不相等范围集合。

6.如权利要求5所述直接生成对数正态随机场的模拟方法，其特征在于：对于二维空间，空间P的形状根据需求设置为圆形、椭圆形、多边形或者长方形。

7.如权利要求5所述直接生成对数正态随机场的模拟方法，其特征在于：对于三维空间，空间P的形状根据需求设置为以该点为中心的圆球形、椭球形、立方体、长方体或者柱体。

8.一种对数正态随机场，其特征在于：采用权利要求1-6任意一项所述模拟方法生成。

9.如权利要求8所述对数正态随机场，其特征在于：所述对数正态随机场的自相关函数是随着两点间距离递减的非负函数。

10.一种利用权利要求1-7任意一项所述模拟方法生成的对数正态随机场的用途，其特征在于：用于模拟表征材料的各项参数性质。

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