CN113642183A - 一种具有可变样本容量残差ewma控制图的设计方法 - Google Patents

一种具有可变样本容量残差ewma控制图的设计方法 Download PDF

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CN113642183A
CN113642183A CN202110944591.8A CN202110944591A CN113642183A CN 113642183 A CN113642183 A CN 113642183A CN 202110944591 A CN202110944591 A CN 202110944591A CN 113642183 A CN113642183 A CN 113642183A
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residual
control chart
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ewma
statistic
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CN202110944591.8A
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薛丽
冯娟
刘玉敏
王宁
陈洪根
郑含笑
曹逗逗
吴昊辰
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Zhengzhou University of Aeronautics
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Zhengzhou University of Aeronautics
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Abstract

本发明涉及一种具有可变样本容量残差EWMA控制图的设计方法，本发明针对当下对残差EWMA控制图的设计方法大多是静态设计，控制图的监控效率有待改善的问题，通过选用时间序列模型拟合自相关数据、构建统计量、构建残差EWMA控制图、构建可变样本容量的残差EWMA控制图、计算控制图的平均运行长度，从而对控制图的监控效率进行评价，本发明提出一种残差EWMA控制图的可变样本容量设计方法。能够更快地发现过程的异常波动，可以对过程的变异及时进行纠正，确保生产过程恢复稳定状态，对残差EWMA控制图进行可变样本容量设计，从而减小废品率，降低生产成本，提高生产效率。

Description

一种具有可变样本容量残差EWMA控制图的设计方法
技术领域
本发明涉及统计过程控制的技术领域，具体为一种具有可变样本容量残差EWMA控制图的设计方法。
背景技术
随着生产技术以及数据采集技术的不断发展，采集的数据之间往往具有明显的自相关性，此时采用残差控制图对自相关过程进行监控是一种行之有效的方法。在大批量、不间断的长期生产过程中，过程的质量特性会随着人机料法环测等各种因素的改变而逐渐发生变异。传统的残差控制图能够有效地对自相关过程进行监控，但对过程的小波动不甚敏感，考虑到EWMA控制图对小波动的监控效果明显优于传统的休哈特控制图。有学者用时间序列模型描述自相关过程，对消除自相关性之后的残差序列构造EWMA统计量，研究监控自相关过程的残差EWMA控制图，能够达到既能监测自相关过程，又能监测过程较小偏移的目的。
但上述残差控制图是静态的，其样本容量、抽样区间固定不变。当最新抽取的观测值对应控制图上的点比较靠近控制限且在受控区域内时，虽然目前过程尚未发生异常，但下一次抽取的观测值所对应的点子很可能会超出控制界限。假设依旧按照之前固定的样本容量来抽取样本的观测值，那么可能会发生过程已经出现了漂移，但由于样本容量较少，并未检测出过程异常。因此为了提高残差控制图对过程发生异常时的监控效率，本发明提出一种残差EWMA控制图的可变样本容量设计方法。能够更快地发现过程的异常波动，可以对过程的变异及时进行纠正，确保生产过程恢复稳定状态。
许多研究表明采取时间序列模型来监控自相关过程是一种非常有效的措施。根据时间序列模型得到残差序列，然后构造EWMA控制图可以对自相关过程进行有效监控。然而当下对残差EWMA控制图的设计方法大多是静态设计，控制图的监控效率有待改善。为了提高残差EWMA控制图的监控效率，本发明提出了对残差EWMA控制图的可变样本容量的设计方法，可以有效减小失控时的平均运行长度，从而提高控制图的监控效率。
发明内容
针对上述情况，为克服现有技术缺陷，本发明的目的是提供一种具有可变样本容量残差EWMA控制图的设计方法能够更快地发现过程的异常波动，可以对过程的变异及时进行纠正，确保生产过程恢复稳定状态。
本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：一种具有可变样本容量残差EWMA控制图的设计方法，其特征在于，包括以下几个步骤：
步骤一：选用合适的时间序列模型拟合自相关数据。
步骤1-1：采用AR(1)模型拟合自相关过程。
AR(1)模型：
Figure BDA0003216205750000021
t＝1,2,…，Xt为观测值序列，
Figure BDA0003216205750000022
是自相关系数，
Figure BDA0003216205750000023
且
Figure BDA0003216205750000024
εt是随机误差项。一般地，通常有如下假设：
假设1：
Figure BDA0003216205750000025
且Cov(εt,εt-1)＝0，且
Figure BDA0003216205750000026
不发生任何漂移。
假设2：自变量序列Xt只与Xt-1有关，而与Xt-2,…,Xt-p(p＞1)无关，也与随机误差项εt不相关，即Cov(εt,Xt-k)＝0，k＝1,2…。
并且如果E(Xt)＝μ，则过程受控，若E(Xt)＝μ+δσε(当δ≠0时)，则过程失控。
步骤1-2：计算序列预测值。
Figure BDA0003216205750000027
是Xt的预测值，
Figure BDA0003216205750000028
在实际生产过程中，参数μ和
Figure BDA0003216205750000029
是在过程平稳状态下的观测值估计出来的，因此在参数估计比较准确时，即
Figure BDA00032162057500000210
则预测值变为
Figure BDA0003216205750000031
残差为
Figure BDA0003216205750000032
根据随机误差项为均值为0，方差为
Figure BDA0003216205750000033
的白噪声序列可知，残差序列是相互独立的。
步骤二：构建统计量。
残差序列
Figure BDA0003216205750000034
过程受控时μ＝μ0＝0，过程失控时均值发生漂移
Figure BDA0003216205750000035
Ri1,Ri2,…Rin为样本容量为n的相互独立的随机变量序列，其中
Figure BDA0003216205750000036
则残差均值的EWMA控制图统计量Zt为：
Figure BDA0003216205750000037
步骤三：构建残差EWMA控制图。
统计量的期望为
Figure BDA0003216205750000038
统计量方差为
Figure BDA0003216205750000039
残差EWMA控制图的控制限：
Figure BDA00032162057500000310
其中k为控制限系数，λ为平滑系数。
步骤四：构建可变样本容量的残差EWMA控制图。
VSS残差EWMA控制图的控制线如下：
Figure BDA0003216205750000041
其中k为控制限系数，ω为警戒限系数，且0＜ω＜k，λ为平滑系数。
本发明的可变样本容量设计思路为：取两个样本容量n1和n2，其中n1>n2，当前观测值的样本点位于中心域，即Zt∈(LWL,UWL)时，表明过程处于稳定状态，下一个样本的样本容量选择较小的n2；若当前观测值的样本点位于警戒域，即Zt∈(LCL,LWL)∪Zt∈(UWL,UCL)时,过程可能已经发生异常,为了确保能够准确地判断过程是否变异,下一个样本容量应选择较大的n1。
步骤5：计算控制图的平均运行长度。
下面采用马尔科夫链方法计算其平均运行长度。控制图的区域分为受控区域和失控区域两个部分，现将控制图的受控区域
Figure BDA0003216205750000042
分为2m+1个小区间，每个小区间的长度为
Figure BDA0003216205750000043
第j个小区间的上下限及区间中点分别用为Uj,Lj,Mj表示。
Figure BDA0003216205750000044
Figure BDA0003216205750000045
Figure BDA0003216205750000051
假设t时刻统计量Zt落在第j个小区间内，则认为t时刻统计量Zt处于状态j，即
Figure BDA0003216205750000052
用第j个小区间的中点Mj表示统计量Zt的状态。
受控时统计量Zt从i状态一步转移到j状态的概率：
Figure BDA0003216205750000053
失控时统计量Zt从i状态一步转移到j状态的概率：
Figure BDA0003216205750000054
其中
Figure BDA0003216205750000055
Φ(·)为标准正态分布函数。
马尔科夫链的状态一步转移矩阵为
Figure BDA0003216205750000056
其中P是(2m+1)×(2m+1)的方阵，矩阵P中的某一元素Pij表示从i状态到j状态的一步转移概率。I是(2m+1)×(2m+1)的单位矩阵。u是元素全为1的2m+1维的列向量。O是(2m+1)×(2m+1)的零矩阵。1是元素全为1的2m+1维的列向量。
可变样本容量的残差EWMA控制图的平均运行长度为：
ARL＝Pl(I-P)-11
假设过程开始时的状态是n状态，那么Pl是除了第n个元素为1,其余元素均为0的2m+1维的列向量。
本发明的技术构思为：现有技术多数是研究固定样本容量和固定抽样区间的静态残差EWMA控制图，其监控效率有待改善。为了提高控制图的监控效率，本发明对残差EWMA控制图进行可变样本容量设计，可以有效减小失控时的平均运行长度，从而提高控制图的监控效率，从而减小废品率，降低生产成本，提高生产效率。
附图说明
图1是本发明的步骤流程框体。
具体实施方式
结合附图，对本发明的具体实施方式作进一步详细说明。
首先，我们公开整个发明的方法步骤：本发明提出了一种具有可变样本容量残差EWMA控制图的设计方法，具体步骤为：
步骤1：选用合适的时间序列模型拟合自相关数据。
步骤1-1：采用AR(1)模型拟合自相关过程。
AR(1)模型：
Figure BDA0003216205750000061
t＝1,2,…，Xt为观测值序列，
Figure BDA0003216205750000062
是自相关系数，
Figure BDA0003216205750000063
且
Figure BDA0003216205750000064
εt是随机误差项。一般地，通常有如下假设：
假设1：
Figure BDA0003216205750000065
且Cov(εt,εt-1)＝0，且
Figure BDA0003216205750000066
不发生任何漂移。
假设2：自变量序列Xt只与Xt-1有关，而与Xt-2,…,Xt-p(p＞1)无关，也与随机误差项εt不相关，即Cov(εt,Xt-k)＝0，k＝1,2…。
并且如果E(Xt)＝μ，则过程受控，若E(Xt)＝μ+δσε(当δ≠0时)，则过程失控。
步骤1-2：计算序列预测值。
Figure BDA0003216205750000071
是Xt的预测值，
Figure BDA0003216205750000072
在实际生产过程中，参数μ和
Figure BDA0003216205750000073
是在过程平稳状态下的观测值估计出来的，因此在参数估计比较准确时，即
Figure BDA0003216205750000074
则预测值变为
Figure BDA0003216205750000075
残差为
Figure BDA0003216205750000076
根据随机误差项为均值为0，方差为
Figure BDA0003216205750000077
的白噪声序列可知，残差序列是相互独立的。
步骤2：构建统计量。
残差序列
Figure BDA0003216205750000078
过程受控时μ＝μ0＝0，过程失控时均值发生漂移
Figure BDA0003216205750000079
Ri1,Ri2,…Rin为样本容量为n的相互独立的随机变量序列，其中
Figure BDA00032162057500000710
则残差均值的EWMA控制图统计量Zt为：
Figure BDA00032162057500000711
步骤3：构建残差EWMA控制图。
统计量的期望为
Figure BDA00032162057500000712
统计量方差为
Figure BDA00032162057500000713
残差EWMA控制图的控制限：
Figure BDA0003216205750000081
其中k为控制限系数，λ为平滑系数。
步骤4：构建可变样本容量的残差EWMA控制图。
VSS残差EWMA控制图的控制线如下：
Figure BDA0003216205750000082
其中k为控制限系数，ω为警戒限系数，且0＜ω＜k，λ为平滑系数。
本发明的可变样本容量设计思路为：取两个样本容量n1和n2，其中n1>n2，当前观测值的样本点位于中心域，即Zt∈(LWL,UWL)时，表明过程处于稳定状态，下一个样本的样本容量选择较小的n2；若当前观测值的样本点位于警戒域，即Zt∈(LCL,LWL)∪Zt∈(UWL,UCL)时,过程可能已经发生异常,为了确保能够准确地判断过程是否变异,下一个样本容量应选择较大的n1。
步骤5：计算控制图的平均运行长度。
下面采用马尔科夫链方法计算其平均运行长度。控制图的区域分为受控区域和失控区域两个部分，现将控制图的受控区域
Figure BDA0003216205750000091
分为2m+1个小区间，每个小区间的长度为
Figure BDA0003216205750000092
第j个小区间的上下限及区间中点分别用为Uj,Lj,Mj表示。
Figure BDA0003216205750000093
Figure BDA0003216205750000094
Figure BDA0003216205750000095
假设t时刻统计量Zt落在第j个小区间内，则认为t时刻统计量Zt处于状态j，即
Figure BDA0003216205750000096
用第j个小区间的中点Mj表示统计量Zt的状态。
受控时统计量Zt从i状态一步转移到j状态的概率：
Figure BDA0003216205750000097
失控时统计量Zt从i状态一步转移到j状态的概率：
Figure BDA0003216205750000101
其中
Figure BDA0003216205750000102
Φ(·)为标准正态分布函数。
马尔科夫链的状态一步转移矩阵为
Figure BDA0003216205750000103
其中P是(2m+1)×(2m+1)的方阵，矩阵P中的某一元素Pij表示从i状态到j状态的一步转移概率。I是(2m+1)×(2m+1)的单位矩阵。u是元素全为1的2m+1维的列向量。O是(2m+1)×(2m+1)的零矩阵。1是元素全为1的2m+1维的列向量。
下面我们以具体的实例来进行验证：
不失一般性，通过实例仿真来介绍本发明的实施步骤，并与其他控制图比较监控性能的优劣。
步骤1：拟合残差序列。
步骤1-1：拟合模型。
在精工铸造过程中对产品进行最后的精加工时，为了判断精加工过程中零件的的某一重要尺寸是否始终处于受控状态，采取了如下措施：首先对零件进行抽样并测量尺寸数据，将数据进行平稳性检验，根据时序图发现数据存在自相关性，根据测量数据的自相关系数一阶截尾和偏自相关系数拖尾得到该过程可用AR(1)模型进行拟合，根据相关计算得过程均值μ＝8.56，方差σ2＝1.42，自相关系数
Figure BDA0003216205750000104
得到AR(1)模型为：Xt＝8.56+0.3(Xt-1-8.56)。
步骤1-2：计算序列预测值。过程存在波动时，由下行公式计算出预测值：
Figure BDA0003216205750000111
是Xt的预测值，
Figure BDA0003216205750000112
步骤1-3：计算残差序列。根据下行公式计算残差序列：
Figure BDA0003216205750000113
步骤2：构建统计量。根据以下公式构建统计量：
Figure BDA0003216205750000114
步骤3：构建残差EWMA控制图。根据以下公式构建残差EWMA控制图：
Figure BDA0003216205750000115
步骤4：构建可变样本容量的残差EWMA控制图。根据以下公式构建：
Figure BDA0003216205750000116
步骤5：计算控制图的平均运行长度。
控制图的区域分为受控区域和失控区域两个部分，现将控制图的受控区域
Figure BDA0003216205750000117
分为2m+1个小区间，每个小区间的长度为
Figure BDA0003216205750000121
第j个小区间的上下限及区间中点分别用为Uj,Lj,Mj表示。
Figure BDA0003216205750000122
Figure BDA0003216205750000123
Figure BDA0003216205750000124
假设t时刻统计量Zt落在第j个小区间内，则认为t时刻统计量Zt处于状态j，即
Figure BDA0003216205750000125
用第j个小区间的中点Mj表示统计量Zt的状态。
受控时统计量Zt从i状态一步转移到j状态的概率：
Figure BDA0003216205750000126
失控时统计量Zt从i状态一步转移到j状态的概率：
Figure BDA0003216205750000131
其中
Figure BDA0003216205750000132
Φ(·)为标准正态分布函数。
马尔科夫链的状态一步转移矩阵为
Figure BDA0003216205750000133
其中P是(2m+1)×(2m+1)的方阵，矩阵P中的某一元素Pij表示从i状态到j状态的一步转移概率。I是(2m+1)×(2m+1)的单位矩阵。u是元素全为1的2m+1维的列向量。O是(2m+1)×(2m+1)的零矩阵。1是元素全为1的2m+1维的列向量。
可变样本容量的残差EWMA控制图的平均运行长度为：
ARL＝Pl(I-P)-11
假设过程开始时的状态是n状态，那么Pl是除了第n个元素为1,其余元素均为0的2m+1维的列向量。
步骤6：比较可变样本容量的残差EWMA控制图和固定样本容量的残差EWMA控制图的监控性能。根据步骤1-5，分别计算变样本容量的残差EWMA控制图和固定样本容量的残差EWMA控制图的失控平均运行长度ARL，ARL值越小其监控效果越好。比较结果如下：
表1
Figure BDA0003216205750000141
FSS与VSS残差EWMA控制图的ARL的比较
Figure BDA0003216205750000142
根据上表可以判断：当过程出现小波动时，VSS残差EWMA控制图的ARL1较小，因此VSS残差EWMA控制图能够更快的发现过程的小波动，监控效果更好。
步骤7.可变样本容量残差EWMA控制图和固定样本容量残差EWMA控制图的监控效果仿真比较。
运用matlab仿真计算具有不同的自相关系数、平滑系数以及偏移量发生变化时的固定样本容量的残差EWMA控制图与可变样本容量的残差EWMA控制图的平均运行长度。绘制以下三个表格：其中可变样本容量选取n1＝5，n2＝1，固定样本容量n＝3。
表1
Figure BDA0003216205750000143
时FSS与VSS残差EWMA控制图的ARL的比较
Figure BDA0003216205750000144
Figure BDA0003216205750000151
表2
Figure BDA0003216205750000152
时FSS与VSS残差EWMA控制图的ARL的比较
Figure BDA0003216205750000153
表3
Figure BDA0003216205750000154
时FSS与VSS残差EWMA控制图的ARL的比较
Figure BDA0003216205750000155
Figure BDA0003216205750000161
从上面三个表格可以看出：两种控制图在过程受控时具有相同的ARL0，当过程发生小偏移时，可变样本容量的残差EWMA控制图具有更小的ARL1。例如当δ＝0.2,λ＝0.1,
Figure BDA0003216205750000162
时可变样本容量的残差EWMA控制图的ARL1＝49.3239，近似为固定样本容量残差EWMA控制图的二分之一，由此说明可变样本容量的残差EWMA控制图对过程发生小偏移具有较高的灵敏性。当过程发生较大偏移时，固定样本容量残差EWMA控制图具有稍小的ARL1，但两种控制图的ARL1相差不大。例如当δ＝1.6,λ＝0.1,
Figure BDA0003216205750000163
时固定样本容量残差EWMA控制图的ARL1＝5.7904，可变样本容量的残差EWMA控制图的ARL1＝5.9016，因此在过程发生较大偏移时，两种控制图的监控效果几乎无差别。
本发明根据许多研究表明采取时间序列模型来监控自相关过程是一种非常有效的措施，根据时间序列模型得到残差序列，然后构造EWMA控制图可以对自相关过程进行有效监控。然而当下对残差EWMA控制图的设计方法大多是静态设计，控制图的监控效率有待改善。为了提高残差EWMA控制图的监控效率，本发明提出了残差EWMA控制图的可变样本容量的设计方法，可以有效减小失控时的平均运行长度，从而提高控制图的监控效率。

Claims (8)

1.一种具有可变样本容量残差EWMA控制图的设计方法，其特征在于，包括以下几个步骤：
步骤一：选用时间序列模型拟合自相关数据；
采用AR(1)模型拟合自相关过程，建立AR(1)模型：
Figure FDA0003216205740000011
Xt为观测值序列，
Figure FDA0003216205740000012
是自相关系数，
Figure FDA0003216205740000013
且
Figure FDA0003216205740000014
εt是随机误差项；计算序列预测值：
Figure FDA0003216205740000015
是Xt的预测值，
Figure FDA0003216205740000016
残差为
Figure FDA0003216205740000017
步骤二：构建统计量；
残差序列
Figure FDA0003216205740000018
Ri1,Ri2,…Rin为样本容量为n的相互独立的随机变量序列，其中
Figure FDA0003216205740000019
则残差均值的EWMA控制图统计量Zt为：
Figure FDA00032162057400000110
步骤三：构建残差EWMA控制图：
统计量的期望为E(Z)＝μz＝μR＝0
统计量方差为
Figure FDA00032162057400000111
残差EWMA控制图的控制限：
Figure FDA00032162057400000112
其中k为控制限系数，λ为平滑系数；
步骤四：构建可变样本容量的残差EWMA控制图；
VSS残差EWMA控制图的控制线如下：
Figure FDA0003216205740000021
其中k为控制限系数，ω为警戒限系数，且0＜ω＜k，λ为平滑系数。
2.根据权利要求1所述的一种具有可变样本容量残差EWMA控制图的设计方法，其特征在于，步骤五：计算控制图的平均运行长度；
可变样本容量的残差EWMA控制图的平均运行长度为：ARL＝Pl(I-P)-11
其中，过程开始时的状态是n状态，那么Pl是除了第n个元素为1,其余元素均为0的2m+1维的列向量，P是(2m+1)×(2m+1)的方阵，1是元素全为1的2m+1维的列向量。
3.根据权利要求1所述的一种具有可变样本容量残差EWMA控制图的设计方法，其特征在于，在步骤一中，针对AR(1)模型提出如下假设：假设1：
Figure FDA0003216205740000022
且Cov(εt,εt-1)＝0，且
Figure FDA0003216205740000023
不发生任何漂移。
假设2：自变量序列Xt只与Xt-1有关，而与Xt-2,…,Xt-p(p＞1)无关，也与随机误差项εt不相关，即Cov(εt,Xt-k)＝0，k＝1,2…。
并且如果E(Xt)＝μ，则过程受控，若E(Xt)＝μ+δσε(当δ≠0时)，则过程失控。
4.根据权利要求3所述的一种具有可变样本容量残差EWMA控制图的设计方法，其特征在于，参数μ和
Figure FDA0003216205740000024
是在过程平稳状态下的观测值估计出来的，在参数估计准确时，即
Figure FDA0003216205740000031
则预测值变为
Figure FDA0003216205740000032
5.根据权利要求1所述的一种具有可变样本容量残差EWMA控制图的设计方法，其特征在于，根据随机误差项为均值为0，方差为
Figure FDA0003216205740000033
的白噪声序列可知，残差序列是相互独立的。
6.根据权利要求1所述的一种具有可变样本容量残差EWMA控制图的设计方法，其特征在于，在所述的步骤二中，针对残差序列
Figure FDA0003216205740000034
过程受控时μ＝μ0＝0，过程失控时均值发生漂移
Figure FDA0003216205740000035
7.根据权利要求1所述的一种具有可变样本容量残差EWMA控制图的设计方法，其特征在于，在步骤四中，取两个样本容量n1和n2，其中n1>n2，当前观测值的样本点位于中心域，即Zt∈(LWL,UWL)时，表明过程处于稳定状态，下一个样本的样本容量选择较小的n2；若当前观测值的样本点位于警戒域，即Zt∈(LCL,LWL)∪Zt∈(UWL,UCL)时，过程可能已经发生异常，下一个样本容量应选择较大的n1。
8.根据权利要求2所述的一种具有可变样本容量残差EWMA控制图的设计方法，其特征在于，在步骤五中采用马尔科夫链方法计算其平均运行长度：控制图的区域分为受控区域和失控区域两个部分，现将控制图的受控区域
Figure FDA0003216205740000036
分为2m+1个小区间，每个小区间的长度为
Figure FDA0003216205740000037
第j个小区间的上下限及区间中点分别用为Uj,Lj,Mj表示。
Figure FDA0003216205740000041
Figure FDA0003216205740000042
Figure FDA0003216205740000043
假设t时刻统计量Zt落在第j个小区间内，则认为t时刻统计量Zt处于状态j，即
Figure FDA0003216205740000044
用第j个小区间的中点Mj表示统计量Zt的状态。
受控时统计量Zt从i状态一步转移到j状态的概率：
Figure FDA0003216205740000045
失控时统计量Zt从i状态一步转移到j状态的概率：
Figure FDA0003216205740000046
其中
Figure FDA0003216205740000051
Φ(·)为标准正态分布函数。
马尔科夫链的状态一步转移矩阵为
Figure FDA0003216205740000052
其中P是(2m+1)×(2m+1)的方阵，矩阵P中的某一元素Pij表示从i状态到j状态的一步转移概率。I是(2m+1)×(2m+1)的单位矩阵。u是元素全为1的2m+1维的列向量。O是(2m+1)×(2m+1)的零矩阵。1是元素全为1的2m+1维的列向量。
可变样本容量的残差EWMA控制图的平均运行长度为：
ARL＝Pl(I-P)-11
假设过程开始时的状态是n状态，那么Pl是除了第n个元素为1,其余元素均为0的2m+1维的列向量。
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