CN113609743B - 无损耗无频散介质下的集成电路全波电磁仿真方法及系统 - Google Patents

无损耗无频散介质下的集成电路全波电磁仿真方法及系统 Download PDF

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CN113609743B CN202111164240.1A CN202111164240A CN113609743B CN 113609743 B CN113609743 B CN 113609743B CN 202111164240 A CN202111164240 A CN 202111164240A CN 113609743 B CN113609743 B CN 113609743B
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Abstract

本申请公开了无损耗无频散介质下的集成电路全波电磁仿真方法及系统，首先获取超大规模集成电路的模型信息并据此对集成电路进行建模，然后基于所述建模得到的模型对集成电路的平行平板场域进行网格剖分，然后基于所述网格剖分的结果建立无损耗无频散介质下的矢量有限元系统方程组，然后基于所述有限元系统方程组通过迭代方法计算集成电路的参考频率及其场解，然后对于低于参考频率的待求频点，基于参考频率的场解获得待求频点下的场解，最后基于所有待求频点的场解获得全频段的电磁响应。该方法能够计算出全波分析的失效频率，并基于失效频率采用迭代方法计算出参考频率点及参考频率下的场解，实现了对低频频点的场解的准确求解。

Description

无损耗无频散介质下的集成电路全波电磁仿真方法及系统
技术领域
本申请涉及电磁仿真技术领域，特别涉及无损耗无频散介质下的集成电路全波电磁仿真方法及系统。
背景技术
超大规模集成电路具有明显的多尺度结构，其尺度范围为厘米级（
Figure 834344DEST_PATH_IMAGE002
）～纳米级（
Figure 777024DEST_PATH_IMAGE004
），尺度范围多达7个数量级。另一方面，集成电路传输的信号往往具有全波传输的特征，其传输频段涵盖了从直流到数个GHz，这一问题在数字和混合信号传输的集成电路应用中尤为突出。因此，针对集成电路的电磁场分析需要进行全波电磁场分析，需要使用全波电磁场求解器对集成电路的电磁场进行全波电磁场求解。
然而，调研与测试结果表明，目前的大规模稀疏矩阵求解器，在对集成电路电磁场问题进行全波电磁场求解时，针对同样的集成电路模型，在测试频率为GHz以上的高频时，求解器能获得准确的场解，而对于低达MHz量级或低于MHz量级的测试频率，所有求解器均失效，均无法获得准确的场解，而MHz、数十MHz恰好是很多集成电路的工作频率，因此迫切需要解决这类低频电磁场求解失效的问题。
造成以上结果的原因在于，集成电路工作过程中，形成集成电路的电磁场由传导电流与位移电流贡献叠加而成，在高频时，传导电流与位移电流的贡献相当，因此这两部分正常叠加；然而在低频时，传导电流的贡献占绝大部分，而位移电流的贡献非常低，位移电流与传导电流之间的贡献比甚至低过了机器精度，例如对于双精度数据存储时机器精度在
Figure 388133DEST_PATH_IMAGE006
量级，此时在低频下位移电流与传导电流的贡献比就会与机器精度相当甚至低于机器精度，从而代表不同贡献的矩阵元素数量级的比值与机器精度相当甚至低于机器精度。这一事实造成在代表不同贡献的矩阵合并时，由于合并时机器精度带来的误差彻底掩盖了代表位移电流的贡献矩阵元素，这使得位移电流的贡献本来是可以忽略不计的，但在引入机器精度带来的误差后，位移电流的贡献也因为误差导致被放大几个数量级，使得其从可以忽略不计变为可以分辨，导致求解结果失效，即此时求解的电磁场并非准确场。
现有的解决求解器在低频时失效的方法通常是将基于恒定或准恒定的电磁场求解器与基于高频的电磁场求解器进行结合求解。在测试频率高于某一频率，采用高频的电磁场求解器进行求解，而在测试频率低于某一频率时，则采用基于恒定或准恒定的电磁场求解器进行求解，然后将两种求解器的计算结果进行拼接。
然而，这种方法的准确性较低，首先，因为恒定或准恒定的电磁场求解器涉及基本近似，需要对电场E和磁场H进行解耦，形成只包含恒定电场或恒定磁场的微分方程，这只有在严格直流场时是正确的；其次，在两个求解器之间切换的具体频率如何进行设定目前也是未知的；最后，由于在低于某一频率后求解的场均以直流下的恒定场来代替，因此此时求解的电磁场与频率无关，这将导致两种求解器求解的场拼接的集成电路电磁响应曲线出现明显的不连续，电磁响应曲线在两种频率切换的频率点处会有明显的跳变，且在低频段的响应曲线为一条直线。
因此，为了彻底解决现有求解器在针对无损耗无频散介质下集成电路的低频场解计算失效的问题，有必要对电场E和磁场H在集成电路从直流到高频的全波麦克斯韦方程组的真实解进行准确计算和获取。
发明内容
基于此，为了解决现有求解器在针对无损耗无频散介质下集成电路的低频情况下的失效问题，进而能够获得集成电路在包括低频在内的全频段下的电磁场，本申请公开了以下技术方案。
一方面，提供了一种无损耗无频散介质下的集成电路全波电磁仿真方法，包括：
获取超大规模集成电路的模型信息并据此对集成电路进行建模；
基于所述建模得到的模型对集成电路的平行平板场域进行网格剖分；
基于所述网格剖分的结果建立无损耗无频散介质下的矢量有限元系统方程组；
基于所述有限元系统方程组通过迭代方法计算集成电路的参考频率及其场解；
对于低于参考频率的待求频点，基于参考频率的场解获得待求频点下的场解，其中，根据参考频率下的场解
Figure 286295DEST_PATH_IMAGE008
通过下式计算待求频率f的场解E(f)：
Figure 615645DEST_PATH_IMAGE010
，其中，
Figure 627594DEST_PATH_IMAGE012
，
Figure 358790DEST_PATH_IMAGE014
为参考频率；
基于所有待求频点的场解获得全频段的电磁响应。
在一种可能的实施方式中，所述基于所述网格剖分的结果建立无损耗无频散介质下的矢量有限元系统方程组，包括：
基于麦克斯韦方程组建立电磁场波动方程；
获取所述电磁场波动方程对应的齐次方程，得到所述齐次方程的泛函；
在电磁场求解区域的尺寸达到设定阈值时，将所述泛函中关于电磁波在区域边界的部分设为0；
基于所述网格剖分形成的基本几何体单元对电磁场求解区域进行离散，将每个离散单元内任意点的电场利用插值基函数表示，得到泛函的离散形式；
对离散形式的泛函取偏导数并令偏导数为0，得到下式无损耗无频散介质下的矢量有限元矩阵：
Figure 430782DEST_PATH_IMAGE016
其中，
Figure 263740DEST_PATH_IMAGE018
是整个有限元系统的刚度矩阵，
Figure 63069DEST_PATH_IMAGE020
是整个有限元系统的与介电常数相关的质量矩阵，ω为电磁波角频率，E是电场，b(ω)是外加激励源。
在一种可能的实施方式中，所述基于所述有限元系统方程组通过迭代方法计算集成电路的参考频率，包括：
基于集成电路的版图特征尺寸和仿真运算设备的机器精度，计算出集成电路全波电磁分析的失效频率；
基于失效频率通过迭代计算的方法算出参考频率及其场解。
在一种可能的实施方式中，基于以下公式计算失效频率：
Figure 402433DEST_PATH_IMAGE022
其中，
Figure 160174DEST_PATH_IMAGE024
为失效频率，
Figure 949269DEST_PATH_IMAGE026
为仿真运算时采用的机器精度量级，c为电磁波在真空中的波速，
Figure 286710DEST_PATH_IMAGE028
为网格剖分得到的基本单元的尺寸。
在一种可能的实施方式中，所述基于失效频率通过迭代计算的方法算出参考频率及其场解，包括：
步骤A1，设置迭代频率下限
Figure 743230DEST_PATH_IMAGE030
为失效频率
Figure 875134DEST_PATH_IMAGE031
，并设置迭代频率上限
Figure 666373DEST_PATH_IMAGE033
，其中Factor为失效频率的倍数，Factor>1；
步骤A2，将当前角频率
Figure 292657DEST_PATH_IMAGE035
代入所述矢量有限元系统方程组，求解有限元系统方程组得到
Figure 587372DEST_PATH_IMAGE036
角频率下的场解
Figure 310084DEST_PATH_IMAGE038
；
步骤A3，通过下式的相对误差计算公式计算所述场解
Figure 588619DEST_PATH_IMAGE038
的相对误差res：
Figure 815332DEST_PATH_IMAGE040
步骤A4，在所述相对误差
Figure 246444DEST_PATH_IMAGE042
时，得到参考频率
Figure 251310DEST_PATH_IMAGE043
及其场解
Figure 516942DEST_PATH_IMAGE044
，结束；在所述相对误差
Figure 734297DEST_PATH_IMAGE046
时跳转至步骤A5；
步骤A5，将
Figure 19916DEST_PATH_IMAGE048
代入所述矢量有限元系统方程组得到新的场解；
步骤A6，通过所述相对误差计算公式计算所述新的场解的相对误差；
步骤A7，在所述新的场解的相对误差小于
Figure 930103DEST_PATH_IMAGE050
时，使
Figure 402803DEST_PATH_IMAGE052
，并跳转至步骤A5；在所述新的场解的相对误差小于等于
Figure 689428DEST_PATH_IMAGE053
且大于等于
Figure 829554DEST_PATH_IMAGE050
时，得到参考频率
Figure 441801DEST_PATH_IMAGE054
及其场解，结束；在所述新的场解的相对误差大于
Figure 930026DEST_PATH_IMAGE055
时，使
Figure 754763DEST_PATH_IMAGE057
，并跳转至步骤A5；
其中，ω为电磁波角频率，E为电场，
Figure 749395DEST_PATH_IMAGE038
为当前角频率
Figure 532543DEST_PATH_IMAGE036
下的场解，
Figure 510994DEST_PATH_IMAGE050
为预设的误差阈值下限，
Figure 890154DEST_PATH_IMAGE058
为预设的误差阈值上限，
Figure 988560DEST_PATH_IMAGE060
。
另一方面，还提供了一种无损耗无频散介质下的集成电路全波电磁仿真系统，包括：
集成电路建模模块，用于获取超大规模集成电路的模型信息并据此对集成电路进行建模；
网格剖分模块，用于基于所述建模得到的模型对集成电路的平行平板场域进行网格剖分；
方程组构建模块，用于基于所述网格剖分的结果建立无损耗无频散介质下的矢量有限元系统方程组；
参考频率计算模块，用于基于所述有限元系统方程组通过迭代方法计算集成电路的参考频率及其场解；
待求场解计算模块，用于对于低于参考频率的待求频点，基于参考频率的场解获得待求频点下的场解，其中，根据参考频率下的场解
Figure 430693DEST_PATH_IMAGE061
通过下式计算待求频率f的场解E(f)：
Figure 958757DEST_PATH_IMAGE062
，其中，
Figure 390876DEST_PATH_IMAGE012
，
Figure 360100DEST_PATH_IMAGE063
为参考频率；
电磁响应获取模块，用于基于所有待求频点的场解获得全频段的电磁响应。
在一种可能的实施方式中，所述方程组构建模块通过以下步骤建立无损耗无频散介质下的矢量有限元系统方程组：
基于麦克斯韦方程组建立电磁场波动方程；
获取所述电磁场波动方程对应的齐次方程，得到所述齐次方程的泛函；
在电磁场求解区域的尺寸达到设定阈值时，将所述泛函中关于电磁波在区域边界的部分设为0；
基于所述网格剖分形成的基本几何体单元对电磁场求解区域进行离散，将每个离散单元内任意点的电场利用插值基函数表示，得到泛函的离散形式；
对离散形式的泛函取偏导数并令偏导数为0，得到下式无损耗无频散介质下的矢量有限元矩阵：
Figure 485051DEST_PATH_IMAGE016
其中，
Figure 906936DEST_PATH_IMAGE018
是整个有限元系统的刚度矩阵，
Figure 142745DEST_PATH_IMAGE020
是整个有限元系统的与介电常数相关的质量矩阵，ω为电磁波角频率，E是电场，b(ω)是外加激励源。
在一种可能的实施方式中，所述参考频率计算模块计算集成电路的参考频率包括以下步骤：
基于集成电路的版图特征尺寸和仿真运算设备的机器精度，计算出集成电路全波电磁分析的失效频率；
基于失效频率通过迭代计算的方法算出参考频率及其场解。
在一种可能的实施方式中，基于以下公式计算失效频率：
Figure 229125DEST_PATH_IMAGE064
其中，
Figure 275710DEST_PATH_IMAGE024
为失效频率，
Figure 388153DEST_PATH_IMAGE026
为仿真运算时采用的机器精度量级，c为电磁波在真空中的波速，
Figure 896495DEST_PATH_IMAGE028
为网格剖分得到的基本单元的尺寸。
在一种可能的实施方式中，所述参考频率计算模块算出参考频率及其场解包括以下步骤：
步骤A1，设置迭代频率下限
Figure 97102DEST_PATH_IMAGE030
为失效频率
Figure 298276DEST_PATH_IMAGE031
，并设置迭代频率上限
Figure 960332DEST_PATH_IMAGE033
，其中Factor为失效频率的倍数，Factor>1；
步骤A2，将当前角频率
Figure 23098DEST_PATH_IMAGE035
代入所述矢量有限元系统方程组，求解有限元系统方程组得到
Figure 336267DEST_PATH_IMAGE036
角频率下的场解
Figure 724654DEST_PATH_IMAGE038
；
步骤A3，通过下式的相对误差计算公式计算所述场解
Figure 857695DEST_PATH_IMAGE038
的相对误差res：
Figure 986801DEST_PATH_IMAGE040
步骤A4，在所述相对误差
Figure 170789DEST_PATH_IMAGE042
时，得到参考频率
Figure 979345DEST_PATH_IMAGE054
及其场解
Figure 819256DEST_PATH_IMAGE044
，结束；在所述相对误差
Figure 473091DEST_PATH_IMAGE046
时跳转至步骤A5；
步骤A5，将
Figure 964115DEST_PATH_IMAGE048
代入所述矢量有限元系统方程组得到新的场解；
步骤A6，通过所述相对误差计算公式计算所述新的场解的相对误差；
步骤A7，在所述新的场解的相对误差小于
Figure 428726DEST_PATH_IMAGE050
时，使
Figure 536359DEST_PATH_IMAGE065
，并跳转至步骤A5；在所述新的场解的相对误差小于等于
Figure 747547DEST_PATH_IMAGE066
且大于等于
Figure 93078DEST_PATH_IMAGE050
时，得到参考频率
Figure 259748DEST_PATH_IMAGE067
及其场解，结束；在所述新的场解的相对误差大于
Figure 589099DEST_PATH_IMAGE068
时，使
Figure 69890DEST_PATH_IMAGE069
，并跳转至步骤A5；
其中，ω为电磁波角频率，E为电场，
Figure 801085DEST_PATH_IMAGE038
为当前角频率
Figure 873078DEST_PATH_IMAGE036
下的场解，
Figure 689724DEST_PATH_IMAGE050
为预设的误差阈值下限，
Figure 502434DEST_PATH_IMAGE070
为预设的误差阈值上限，
Figure 822557DEST_PATH_IMAGE060
。
本申请公开的无损耗无频散介质下的集成电路全波电磁仿真方法及系统，能够基于集成电路的特征尺寸和计算机的求解精度，计算出全波分析的失效频率，并基于失效频率采用迭代方法计算出参考频率点及参考频率下的场解，也就是利用广义特征值问题与频率无关的性质，基于该能获得准确解的可靠参考频率及其场解反推低频下的场解，进而获得集成电路在低频下的电磁场，解决了现有求解器在针对集成电路的低频情况下的失效问题，实现了对低频频点的场解的准确求解，同时还解决了低频和高频响应的连续性问题，仿真结果更精确，避免了在针对高频和低频分别采用不同的求解器时对于高频段和低频段相交的频点处的求解结果有差别导致的两种求解器的响应拼接的曲线不连续的问题。
另外，本申请借助矩阵的广义特征值技术，将原问题的与频率相关的稀疏矩阵形成的方程组转换为与频率无关的稀疏矩阵形成的广义特征值问题，然后，根据稀疏矩阵特征值的性质，对实际通过数值计算方法求解的因为机器精度带来的误差的特征值进行纠正，从而从理论上规避由于机器精度带来的误差。更进一步，本申请并不直接求解与频率无关的稀疏矩阵形成的广义特征值问题，而是利用该广义特征值问题与频率无关的性质，基于一个能获得准确场解的可靠频率，以这个可靠频率的场解为基准，反推低频下的场解，进而获得集成电路在低频下的电磁场。
附图说明
以下参考附图描述的实施例是示例性的，旨在用于解释和说明本申请，而不能理解为对本申请的保护范围的限制。
图1是本申请公开的无损耗无频散介质下的集成电路全波电磁仿真方法实施例的流程示意图。
图2是本申请公开的无损耗无频散介质下的集成电路全波电磁仿真系统实施例的结构框图。
具体实施方式
为使本申请实施的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本申请实施例中的附图，对本申请实施例中的技术方案进行更加详细的描述。
下面参考图1详细描述本申请公开的无损耗无频散介质下的集成电路全波电磁仿真方法实施例。
如图1所示，本实施例公开的方法包括如下步骤100至步骤600。
步骤100，获取超大规模集成电路的模型信息并据此对集成电路进行建模。其中，所述模型信息包括集成电路的层信息、各层版图信息、过孔信息和网表信息。
在进行超大规模集成电路的电磁仿真时，可以先读取芯片设计文件，获取超大规模集成电路的上述模型信息，也就是上述的集成电路的层信息、集成电路的各层版图信息、集成电路的过孔信息和集成电路的网表信息。
其中，集成电路的层信息可以包括：层数、层厚、各介质层的介质材料信息、各导电层的材料与厚度，等等。
关于集成电路的各层版图信息，通常采用多边形描述集成电路各层的版图信息，多边形通常由一系列顶点连接而成，多边形顶点顺序逆时针为正，表示多边形内部填充的是导电的电源层，顺时针为负，表示该多边形为挖空的多边形，该多边形内部为绝缘介质。集成电路的走线在集成电路的版图中均转换成了多边形信息。
集成电路的过孔信息可以包括：过孔位置、过孔大小、过孔上下顶点所连接的集成电路的层编号。集成电路的过孔为连接两层集成电路的通孔，两层集成电路通过在适当位置引入过孔，即实现这两层集成电路在这一位置的电气连接。
关于集成电路的网表信息，通过网表信息可以获取集成电路外部电路的连接关系，也即拓扑信息，以及获取到构成电路的元器件、电源等信息。通过网表信息还可以获取集成电路各层版图上设计的电路信息和网络信息，其中，电路信息提供了一系列位于不同层、不同位置的节点信息及其连接关系，而网络与电路信息是包含关系，一个网络可包含多个电路。以上节点信息、电路信息和网络信息都通过唯一的名称给出。
在基于芯片设计文件获取到上述模型信息之后，就可以利用这些集成电路的模型信息对集成电路进行建模，得到集成电路模型。建模过程可以包括：将集成电路的版图信息转换为离散点信息以及由离散点形成的包含层信息的多边形信息；将集成电路的过孔信息转换为连接两层的多棱柱（如六棱柱、十二棱柱）；将集成电路的网表信息转换为集成电路的外部电路信息和版图节点的拓扑结构信息。
步骤200，基于所述建模得到的模型对集成电路的平行平板场域进行网格剖分。
在交变电磁场情况下，集成电路中的电磁波通过不同层的金属层之间的介质传播，这种不同层的金属层之间的介质区域称为平行平板场域，因此，在集成电路的交变电磁场仿真计算中，需要从步骤100中建模得到的模型中识别这种平行平板场域，然后对其进行网格剖分。
在完成上述对多层集成电路的建模之后，可以先对多层集成电路的版图多边形进行简化，然后再针对经过版图简化后的建模模型进行网格剖分。简化是为了使后续的网格剖分过程更为准确和快速，具体来说，由于芯片设计文件里面的版图信息为实际物理模型的设计文件，其原始文件可能是图形文件，转换为版图多边形后，可能存在大量冗余的节点信息，而采用电磁场数值计算方法对集成电路进行电磁仿真时，需要基于集成电路的结构对计算的场域进行离散，即网格剖分，然后基于剖分的网格建立离散方程组进行求解。
如果直接针对芯片设计文件中的版图多边形信息进行仿真，则输入的每个多边形的节点都被视为重要的节点，因此会将所有输入的多边形节点都插入到剖分的网格节点中，这可能会产生非常密集的质量差的网格，使得计算不准确的同时浪费大量的计算机资源。因此可以在对多层集成电路的版图多边形进行网格剖分之前，对各层的各个版图多边形进行不失精度的简化，使得简化后的多边形与原始输入的多边形相比，其形状在精度控制范围内不发生变化，最重要的是，不会发生由于多边形形状的变化导致多边形的连接关系发生变化，从而改变集成电路版图的拓扑结构的不良后果。多边形简化后，将达到最小数量的多边形的顶点形成与原始输入多边形相同形状的多边形。
在进行版图简化后，还可以在网格剖分之前先进行版图多边形的对齐，然后再针对多边形对齐后的平行平板场域进行网格剖分。具体的，如果设计的两层集成电路版图有一个相同且完全对齐的版图多边形，则在这两层版图之间将形成一个版图多边形形状的平行平板场域，然而，由于实际提供的版图多边形信息由于文件格式转换等过程可能会产生一些误差，这些误差导致最终导入的这两层的版图多边形并不完全相同，或者并不完全对齐，与多边形尺寸相比，可能会有1%或0.1%的误差。如果直接基于输入的多边形信息识别这个平行平板场域，将产生许多平行平板场域碎片，而这种碎片尺寸非常小，碎片的引入同样可能会导致非常密集的质量差的网格剖分，浪费计算资源的同时导致结果错误，因此，可以对多层集成电路的版图多边形进行不失精度的对齐，以获得准确度和简洁度更高的平行平板场域。
实现多层集成电路版图的对齐后，即可基于集成电路版图多边形的层信息识别出多层集成电路版图的平行平板场域。
步骤300，基于所述网格剖分的结果建立无损耗无频散介质下的矢量有限元系统方程组。
在一种实施方式中，步骤300包括以下步骤310至步骤350。
步骤310，基于麦克斯韦方程组建立电磁场波动方程。具体的，步骤310首先利用麦克斯韦方程建立基于电场E的波动方程，得到下式(1)中的电磁场波动方程：
Figure 799872DEST_PATH_IMAGE072
(1)；
式(1)中，▽×是旋度算子，
Figure 103814DEST_PATH_IMAGE074
为介质相对磁导率，
Figure 191987DEST_PATH_IMAGE076
是电场矢量，ω为电磁波角频率(单位为rad/s)，c为电磁波在真空中的波速，
Figure 366616DEST_PATH_IMAGE078
，
Figure 764100DEST_PATH_IMAGE080
为介质相对介电常数，j为虚数单位，
Figure 40491DEST_PATH_IMAGE082
，
Figure 181623DEST_PATH_IMAGE084
为真空介质的磁导率，
Figure 85377DEST_PATH_IMAGE086
，
Figure 653762DEST_PATH_IMAGE088
为介质的电导率(单位为S/m)，
Figure 683029DEST_PATH_IMAGE090
为外加激励的电流密度(单位为
Figure 362272DEST_PATH_IMAGE092
)。
步骤320，获取所述电磁场波动方程对应的齐次方程，得到所述齐次方程的泛函。具体的，步骤320中，上述电磁场波动方程对应的齐次方程通过变分原理得到的泛函为下式(2)：
Figure 527805DEST_PATH_IMAGE094
Figure 267091DEST_PATH_IMAGE096
(2)；
式(2)中，V为电磁场求解区域，S为电磁场求解区域所包围的面，
Figure 252496DEST_PATH_IMAGE098
是面S任意点指向外的法向量。
步骤330，在电磁场求解区域的尺寸达到设定阈值时，将所述泛函中关于电磁波在区域边界的部分设为0。具体的，步骤330中当电磁场求解区域足够大时，使得电磁波在区域边界衰减到近似为0，则上述泛函可简化为下式(3)：
Figure 1009DEST_PATH_IMAGE100
(3)；
式(3)中，对于电磁场求解区域是否足够大的判断方式，可以是获取求解区域边界到产生电磁波的源（即多层集成电路板）的最小距离与电磁波波长之间的比值，将该比值与预设倍数进行比较，若超过了预设倍数则判定电磁场求解区域“足够大”，例如预设倍数为10倍，该比值若大于10则认为求解区域足够大。
步骤340，基于所述网格剖分形成的基本几何体单元对电磁场求解区域进行离散，并将每个离散单元内任意点的电场利用插值基函数表示，也就是利用每个离散单元的棱边或面元的电场通过插值基函数表示离散单元内任意点的电场，得到式(3)所示泛函的离散形式泛函。具体的，步骤340中，在泛函简化得到式(3)后，将电磁场求解区域用足够小的基本单元进行离散，基本单元可以是四面体、三棱柱或六面体等，对每个离散单元内任意点的电场通过插值基函数和棱边或面元的电场进行表示，如以下式(4)所示：
Figure 18119DEST_PATH_IMAGE102
(4)；
式(4)中，
Figure 193885DEST_PATH_IMAGE103
为基本单元e内任意点的电场，M为插值基函数的个数，
Figure 666586DEST_PATH_IMAGE104
为基本单元e的第i个插值基函数，
Figure 218790DEST_PATH_IMAGE105
为基本单元e的第i个基函数对应的棱边或面元上的电场值，
Figure 93336DEST_PATH_IMAGE106
为基本单元的棱边或面元上的M个插值基函数
Figure 174425DEST_PATH_IMAGE104
的矩阵形式，其大小为M×1，
Figure 118110DEST_PATH_IMAGE107
为基本单元的棱边或面元上的M个插值基函数
Figure 693579DEST_PATH_IMAGE104
所对应的电场值
Figure 671899DEST_PATH_IMAGE108
的矩阵形式，其大小为M×1，T表示矩阵的转置。
其中，对于基本单元是否足够小的判断方式，需要通过以下两个条件进行判断，若同时满足以下两个条件时，则认为基本单元的尺寸足够小：
1.通过基本单元局部尺寸与集成电路特征尺寸的大小关系判断，附近网格尺寸不大于集成电路的特征尺寸；
2. 基本单元最大尺寸与需要仿真的集成电路电磁波的最小波长的关系，集成电路电磁波的最小波长不小于基本单元最大尺寸的预设倍数，如10倍。
将上述插值函数代入上述简化后的式(3)中，得到下式(5)所示的离散形式泛函：
Figure 943130DEST_PATH_IMAGE110
(5)；
式(5)中，
Figure 905270DEST_PATH_IMAGE112
(6)；
Figure 268118DEST_PATH_IMAGE113
(7)；
Figure 117257DEST_PATH_IMAGE114
(8)；
其中，
Figure 805727DEST_PATH_IMAGE116
是基本单元e所在区域的介质的相对磁导率，
Figure 474737DEST_PATH_IMAGE118
是基本单元e所在区域的介质的相对介电常数，
Figure 172435DEST_PATH_IMAGE119
为基本单元e的第p个插值基函数，
Figure 876079DEST_PATH_IMAGE121
是基本单元e的积分体，L是整个电磁场求解区域被离散的基本单元e的个数。
Figure 735451DEST_PATH_IMAGE123
是基本单元e的刚度矩阵，
Figure 154407DEST_PATH_IMAGE125
是基本单元e的介质的介电常数相关的质量矩阵，
Figure 859057DEST_PATH_IMAGE127
是基本单元e的介质的电导率相关的质量矩阵。
步骤350，对离散形式的泛函取偏导数并令偏导数为0，得到无损耗无频散介质下的矢量有限元的矩阵方程组。具体的，步骤350中，根据能量最小原理，上述电磁场波动方程(1)对应的解为上述式(5)所示的泛函求极值对应的电场E，因此，对上述式(5)取偏导数并令偏导数为0，可得到下式(9)：
Figure 682788DEST_PATH_IMAGE129
(9)；
式(9)中，
Figure 713061DEST_PATH_IMAGE018
是整个有限元系统的刚度矩阵，
Figure 622242DEST_PATH_IMAGE020
是整个有限元系统的与介电常数相关的质量矩阵，
Figure 396163DEST_PATH_IMAGE131
是整个有限元系统的与电导率相关的质量矩阵。
当存在外加激励源时，式(5)变为下式(10)：
Figure 339980DEST_PATH_IMAGE133
(10)；
式(10)中，
Figure 541154DEST_PATH_IMAGE135
为基本单元e的外加激励源。
Figure 663263DEST_PATH_IMAGE137
(11)；
式(11)中，
Figure 240875DEST_PATH_IMAGE139
为基本单元e的外加激励电流源，
Figure 39198DEST_PATH_IMAGE140
为基本单元e的积分体。
由此构建出矢量有限元系统方程组：
Figure 676852DEST_PATH_IMAGE142
其中，b(ω)是外加激励源，是电磁波角频率ω的函数。
由于在无损耗介质的情况下，集成电路的金属层为理想导体，介质层的电导率是0；并且在无频散介质的情况下，集成电路的介质层、金属层的电导率、介电常数和磁导率均不随频率发生变化，或者随频率的变化极小以至于可以忽略不计，也就是说
Figure 295047DEST_PATH_IMAGE018
、
Figure 410770DEST_PATH_IMAGE020
和
Figure 63600DEST_PATH_IMAGE143
的元素均不随频率的变化而变化。因此，对于介质类型为无损耗无频散的介质来说，与介质类型对应的刚度矩阵为式(12)中的
Figure 885538DEST_PATH_IMAGE018
，对应的质量矩阵为式(12)中的
Figure 771454DEST_PATH_IMAGE020
，因为此时电导率为0，因此
Figure 176022DEST_PATH_IMAGE145
。由此，最终得到的矢量有限元系统方程组实际为下式(12)：
Figure 276833DEST_PATH_IMAGE147
(12)。
步骤400，基于所述有限元系统方程组通过迭代方法计算集成电路的参考频率。其中，参考频率指的是在该参考频率下计算出的集成电路的场解一定是准确的，且该参考频率下电磁波的直流本征模起主要作用，高阶本征模的贡献可以忽略。
在一种实施方式中，步骤400包括步骤410和步骤420。
步骤410，基于集成电路的版图特征尺寸和仿真运算设备的机器精度，计算出集成电路全波电磁分析的失效频率。其中，失效频率是指在频域下从高频到低频对集成电路的电磁场仿真的矢量有限元系统方程组进行求解时，求解结果的误差会从小（结果可信）到大发生变化，当误差大到一定程度时这个求解结果已经不可信，这个由求解结果可信到求解结果不可信的临界频率即为失效频率。
版图的特征尺寸是指版图的最大尺寸与最小尺寸，最大尺寸是指整个版图平面的整体尺寸，最小尺寸是指版图最小功能单元的尺寸，这个最小尺寸可能是版图中最小过孔的直径、最细走线的宽度、走线之间的最小缝隙宽度，或者是多层集成电路版图的最小层厚。
在一种实施方式中，步骤410包括步骤411和步骤412。
步骤411，基于所述版图特征尺寸的范围得到不同矩阵元素之间的与尺寸相关的量级比。
在目前最先进的超大规模集成电路中，集成电路不同位置的版图的特征尺寸的尺度范围为厘米级(
Figure 256290DEST_PATH_IMAGE002
)～纳米级(
Figure 380235DEST_PATH_IMAGE004
)，如果采用四面体对多层超大规模集成电路的计算场域进行离散，离散的四面体网格的最小尺寸为纳米级。
另外，在式(6)～(8)中的矩阵表达式中，所有基本单元的
Figure 857002DEST_PATH_IMAGE149
与
Figure 733692DEST_PATH_IMAGE151
呈正比，因为基本单元的插值函数
Figure 369203DEST_PATH_IMAGE153
已经进行归一化处理，
Figure 964133DEST_PATH_IMAGE154
为网格剖分得到的基本单元的尺寸，而基本单元e的体积与
Figure 976082DEST_PATH_IMAGE156
呈正比，且
Figure 723590DEST_PATH_IMAGE116
与
Figure 779270DEST_PATH_IMAGE118
均为与版图特征尺寸无关的常数，因此式(6)中的
Figure 609299DEST_PATH_IMAGE018
的量级为
Figure 674206DEST_PATH_IMAGE158
，
Figure 276220DEST_PATH_IMAGE160
表示相当的量级，
Figure 768381DEST_PATH_IMAGE158
表示与
Figure 557477DEST_PATH_IMAGE154
的量级相当，式(7)中的
Figure 160497DEST_PATH_IMAGE020
的量级为
Figure 351438DEST_PATH_IMAGE162
，式(8)中的
Figure 14500DEST_PATH_IMAGE131
的量级为
Figure 305540DEST_PATH_IMAGE164
，因此可得到式(13)中的矩阵
Figure 712251DEST_PATH_IMAGE018
、
Figure 492119DEST_PATH_IMAGE020
的范数比：
Figure 326083DEST_PATH_IMAGE166
(13)；
式(13)能够体现出矩阵
Figure 89771DEST_PATH_IMAGE018
和
Figure 34593DEST_PATH_IMAGE020
的元素不可避免的存在数量级的差异，并且还能依据式(13)得知离散的单元尺寸
Figure 200126DEST_PATH_IMAGE154
是唯一改变矩阵
Figure 204991DEST_PATH_IMAGE018
和
Figure 249783DEST_PATH_IMAGE020
的元素对比差异的因素，并且尺寸
Figure 749029DEST_PATH_IMAGE154
越小，矩阵
Figure 283915DEST_PATH_IMAGE018
和
Figure 475994DEST_PATH_IMAGE020
的元素对比差异越大，反之则差异越小。可以理解的是，版图特征尺寸决定了网格剖分尺寸的分布，例如版图为多尺度结构，其特征尺寸为最大尺寸的厘米级到最小尺寸的纳米级，则剖分的四面体单元最大尺寸可能为厘米级，分布在没有小尺寸版图的位置；最小尺寸为纳米级，分布在小尺寸版图的位置。所以步骤200是根据集成电路的版图信息剖分网格，集成电路的最小特征尺寸决定了网格单元的最小尺寸，而在本步骤中评估有限元系统矩阵之间的量级差别时依据的是网格单元的最小尺寸。
假设当前被实施本方法的集成电路中，集成电路不同位置的版图的特征尺寸的尺度范围为厘米级(
Figure 729120DEST_PATH_IMAGE002
)～纳米级(
Figure 766478DEST_PATH_IMAGE004
)，如果采用四面体作为基本单元来对多层超大规模集成电路的计算场域进行网格剖分，也就是进行离散，则由于c的量级为
Figure 155871DEST_PATH_IMAGE168
，
Figure 256200DEST_PATH_IMAGE028
的量级为
Figure 747356DEST_PATH_IMAGE169
，则
Figure 837672DEST_PATH_IMAGE020
的范数与
Figure 832303DEST_PATH_IMAGE018
的范数的比也会低达
Figure 349872DEST_PATH_IMAGE171
的数量级，也就是量级比为
Figure 62745DEST_PATH_IMAGE173
。
步骤412，获取仿真运算时采用的机器精度，基于所述机器精度和所述量级比算出集成电路的失效频率。
针对式(12)所示的刚度矩阵方程以及前文论述可知，所有求解器在低频时均会失效，导致集成电路电磁场仿真求解器失效的根源在于计算机有限的机器精度，由于采用矢量有限元计算形成的方程组(12)中的矩阵
Figure 691172DEST_PATH_IMAGE018
和
Figure 802960DEST_PATH_IMAGE020
的元素不可避免的存在数量级的差异，当频率低到足以使式(12)中与频率相关的矩阵
Figure 225851DEST_PATH_IMAGE174
的贡献由于有限的机器精度而丢失时，就会导致求解器失效，因为此时矢量有限元系统方程组的左边表达式近似等于
Figure 160440DEST_PATH_IMAGE018
,当这种情况发生时，求解器解出的式(12)的解是完全错误的，因为此时
Figure 209868DEST_PATH_IMAGE018
是奇异矩阵。
假设当前采用双精度类型的数据进行计算，则仿真运算时采用的机器精度为
Figure 241409DEST_PATH_IMAGE175
，当使用双精度数据类型执行
Figure 851513DEST_PATH_IMAGE176
和
Figure 522666DEST_PATH_IMAGE018
的减法运算时，如果矩阵
Figure 243629DEST_PATH_IMAGE018
和
Figure 316627DEST_PATH_IMAGE177
相差的数量级大于
Figure 94702DEST_PATH_IMAGE179
，仿真运算设备（例如计算机）会直接将矩阵
Figure 253151DEST_PATH_IMAGE180
视为零，此时对集成电路的电磁场仿真的方程组(12)进行求解则一定会失效。即使频率为MHz，
Figure 512225DEST_PATH_IMAGE181
也比
Figure 705309DEST_PATH_IMAGE018
要小34-2*6=22个数量级，因此当执行
Figure 657216DEST_PATH_IMAGE180
和
Figure 850431DEST_PATH_IMAGE018
的减法运算时，仿真运算设备（例如计算机）会直接将矩阵
Figure 428043DEST_PATH_IMAGE182
视为零。
由此，需要基于机器精度和量级比算出集成电路仿真时失效的频率（也就是失效频率），而满足下式(14)的频率即为失效频率：
Figure 291612DEST_PATH_IMAGE184
(14)；
由该式可得：
Figure 211158DEST_PATH_IMAGE186
其中，f为不高于失效频率的待求频点。因此，失效频率的计算公式为式(15)：
Figure 94931DEST_PATH_IMAGE187
(15)；
其中，
Figure 476234DEST_PATH_IMAGE024
为失效频率，
Figure 394643DEST_PATH_IMAGE026
为仿真运算时采用的机器精度量级，c为电磁波在真空中的波速，
Figure 937620DEST_PATH_IMAGE154
为网格剖分得到的基本单元的尺寸。
假设机器精度量级
Figure 571339DEST_PATH_IMAGE189
，则判断是否满足失效频率条件的公式具体为：
Figure 569382DEST_PATH_IMAGE191
，失效频率则为
Figure 342297DEST_PATH_IMAGE193
，由于比值
Figure 587333DEST_PATH_IMAGE195
难以直接准确计算得到，因此采用
Figure 180120DEST_PATH_IMAGE196
操作函数来获取与比值
Figure 668606DEST_PATH_IMAGE197
相当的数量级，通过
Figure 545295DEST_PATH_IMAGE199
来代替
Figure 180807DEST_PATH_IMAGE197
这个比值进行后续运算，但由于
Figure 306895DEST_PATH_IMAGE200
获取到的只是
Figure 318844DEST_PATH_IMAGE201
的量级，而不是一个准确的数值，具有准确数值的是
Figure 50040DEST_PATH_IMAGE202
，因此使
Figure 122032DEST_PATH_IMAGE204
，在一种实施方式中可以取
Figure 952061DEST_PATH_IMAGE154
为可能的最小尺寸，也就是使
Figure DEST_PATH_IMAGE206
，
Figure 830018DEST_PATH_IMAGE207
为
Figure 681299DEST_PATH_IMAGE154
的取值范围中的最小尺寸。
Figure 533980DEST_PATH_IMAGE154
的取值可以有多种，但对于最先进的超大规模集成电路来说，在其层结构与版图的特征尺寸最小达纳米级(
Figure 388322DEST_PATH_IMAGE004
)，离散的四面体尺寸也为纳米级，而若纳米级的网格尺寸能够实现，则高于纳米级工艺的网格尺寸也能够实现，因此可以取
Figure 991342DEST_PATH_IMAGE209
，也就是
Figure 447862DEST_PATH_IMAGE211
，此时失效频率
Figure DEST_PATH_IMAGE213
，也就是说，对低于160MHz的频率下的集成电路电磁场仿真矢量有限元系统方程组进行求解时得到的结果一定是不准确的。
步骤411和412能够基于集成电路的特征尺寸和计算机的求解精度，计算出全波分析的失效频率，由此获取到在何种频率下的电磁场仿真场解是必定不准确的。在得到失效频率之后，即可开始依据失效频率来计算出参考频率。
步骤420，基于失效频率通过迭代计算的方法算出参考频率及其场解。
在一种实施方式中，步骤420包括步骤421至步骤427。
步骤421，设置迭代频率下限
Figure 923974DEST_PATH_IMAGE030
为失效频率
Figure 997103DEST_PATH_IMAGE031
，并设置迭代频率上限
Figure 403814DEST_PATH_IMAGE214
，其中Factor为失效频率的倍数。Factor>1，并且Factor可以设置为10。
步骤422，将当前角频率
Figure 508648DEST_PATH_IMAGE035
代入式(12)的矢量有限元系统方程组，求解有限元系统方程组得到
Figure 93345DEST_PATH_IMAGE036
角频率下的场解
Figure 371879DEST_PATH_IMAGE038
。
步骤423，通过下式的相对误差计算公式计算所述场解
Figure 333013DEST_PATH_IMAGE038
的相对误差res，以进行验算，其中，相对误差res用于评价频点的场解是否准确：
Figure 29705DEST_PATH_IMAGE216
该式中，分子为残差，分母为源项，两者的模值就是两者的相对误差，
Figure 300149DEST_PATH_IMAGE038
为当前角频率
Figure 807923DEST_PATH_IMAGE036
下的场解。
步骤424，在所述相对误差
Figure 307169DEST_PATH_IMAGE042
时，说明表明当前轮的迭代一开始，频率为最低就已经满足精度要求，得到参考频率
Figure 107634DEST_PATH_IMAGE217
及其场解
Figure 299713DEST_PATH_IMAGE218
，结束；在所述相对误差
Figure 552839DEST_PATH_IMAGE219
时跳转至步骤425。
步骤425，将
Figure 386934DEST_PATH_IMAGE048
代入式(12)的矢量有限元系统方程组，求解有限元系统方程组得到新的场解
Figure 586447DEST_PATH_IMAGE221
。
步骤426，通过所述相对误差计算公式计算所述新的场解的相对误差
Figure 949426DEST_PATH_IMAGE223
。
步骤427，在所述新的场解的相对误差
Figure 440582DEST_PATH_IMAGE225
时，使
Figure 796477DEST_PATH_IMAGE226
，并跳转至步骤425；在所述新的场解的相对误差
Figure 56688DEST_PATH_IMAGE228
且
Figure 327919DEST_PATH_IMAGE230
时，得到参考频率
Figure 821217DEST_PATH_IMAGE217
及其场解，结束；在所述新的场解的相对误差
Figure 465956DEST_PATH_IMAGE232
时，使
Figure 111832DEST_PATH_IMAGE057
，并跳转至步骤425。
其中，
Figure 800303DEST_PATH_IMAGE058
为预设的误差阈值上限，满足
Figure 531629DEST_PATH_IMAGE060
，
Figure 977130DEST_PATH_IMAGE050
为预设的误差阈值下限，
Figure 195621DEST_PATH_IMAGE050
可以取值为
Figure 336884DEST_PATH_IMAGE234
，
Figure 289928DEST_PATH_IMAGE058
可以取值为
Figure DEST_PATH_IMAGE236
。
需要说明的是，误差阈值是相对误差是否达标的一个量化指标，误差不达标则说明该频率仍然是失效的（场解不准确），若达标则说明该频率是可靠的（场解准确），但该可靠的频率不一定是参考频率，因为该频率可能不是最低的可靠频率，所以可以通过迭代获得这个最低的可靠频率作为参考频率。本实施例设置了
Figure 135524DEST_PATH_IMAGE050
和
Figure 239482DEST_PATH_IMAGE055
两个阈值，在步骤427中，只要误差在两个阈值之间，即可结束，这样能够加速二分法迭代的收敛速度，若采用现有技术的只设置一个阈值的做法，误差大于阈值往左，误差小于阈值往右，则需要迭代很多次才能使得误差真正接近阈值，收敛速度慢。
可以理解的是，步骤421至步骤427是按序依次执行的步骤，只有在步骤内容中存在跳转时才会按跳转时指定的步骤序号执行，如步骤427中存在通过跳转来进行迭代的过程，只要每次迭代计算出的相对误差小于
Figure 535334DEST_PATH_IMAGE050
，则均会发生迭代并重新计算场解和相对误差，并且只要每次迭代计算出的相对误差大于
Figure 710095DEST_PATH_IMAGE058
，则同样会发生迭代并重新计算场解和相对误差，直至迭代后算出的相对误差在
Figure 765907DEST_PATH_IMAGE050
和
Figure 958991DEST_PATH_IMAGE237
的区间内，由此实现通过步骤421-427来算出参考频率。
步骤421-427能够基于失效频率采用迭代方法计算出参考频率点及参考频率下的场解，由此获取到在何种频率下的电磁场仿真场解是必定准确的。
在无损耗介质的情况下，集成电路的金属层为理想导体，其电导率是0，则式(12)左端的矢量有限元矩阵为式(16)：
Figure DEST_PATH_IMAGE239
(16)；
在最先进的超大规模集成电路中，离散的四面体尺寸为纳米级时，矩阵
Figure 783334DEST_PATH_IMAGE018
和
Figure 445390DEST_PATH_IMAGE020
的元素相差
Figure 288581DEST_PATH_IMAGE173
的数量级，因此在低频下直接对两个矩阵加减导致矩阵
Figure 618063DEST_PATH_IMAGE240
被视为零。为从根本上解决这一问题，提出采用广义特征值分解的办法，提取出矩阵的特征向量，这个特征向量只与集成电路的尺度特征有关，而与仿真的频率无关。
对于矩阵
Figure 6450DEST_PATH_IMAGE018
和
Figure 670649DEST_PATH_IMAGE020
，其构成的频率无关的广义特征值问题如式(17)所示：
Figure 805614DEST_PATH_IMAGE242
(17)；
式(17)中,λ为特征值，x为特征向量，且式(17)共有N组特征值和特征向量的解，即
Figure 333810DEST_PATH_IMAGE244
和
Figure 876787DEST_PATH_IMAGE246
。由于
Figure 247856DEST_PATH_IMAGE018
是对称半正定的，
Figure 167271DEST_PATH_IMAGE020
是对称正定的，因此特征值λ为非负实数，同时x和
Figure 671677DEST_PATH_IMAGE018
、
Figure 385555DEST_PATH_IMAGE020
是正交的。另外，由于介质为无频散介质使得矩阵
Figure 509500DEST_PATH_IMAGE018
和
Figure 701447DEST_PATH_IMAGE020
的元素均不随频率的变化而变化，因此式(17)的广义特征值问题获得的特征值和特征向量适用于所有频率。
令
Figure 63289DEST_PATH_IMAGE248
，则得到式(18)和式(19)：
Figure 213648DEST_PATH_IMAGE250
(18)；
Figure 293730DEST_PATH_IMAGE252
(19)；
其中φ为所有特征向量形成的矩阵，Λ为由特征值构成的对角矩阵，I为一个单位矩阵。
由式(18)和式(19)可得到式(20)的逆矩阵：
Figure 554947DEST_PATH_IMAGE254
(20)；
由于式(17)中的特征值可以分为两组，一组为与解的零空间产生的物理直流模和非物理直流模有关，其特征值理论上为零，相应的特征值和特征向量分别记为
Figure 762507DEST_PATH_IMAGE256
和
Figure 83767DEST_PATH_IMAGE258
；另一组与集成电路的三维结构的非零谐振频率有关，为高阶本征模，其特征值大于零，相应的特征值和特征向量分别记为
Figure 651146DEST_PATH_IMAGE260
和
Figure 450475DEST_PATH_IMAGE262
，且由于
Figure 786909DEST_PATH_IMAGE264
，由此可以将式(20)变为式(21)：
Figure 544649DEST_PATH_IMAGE266
(21)；
式(21)中，
Figure 396062DEST_PATH_IMAGE267
为零特征值对应的特征向量，称为零空间向量，
Figure 543622DEST_PATH_IMAGE268
为非零特征值对应的特征向量，
Figure DEST_PATH_IMAGE269
为非零特征值对角矩阵，
Figure 62459DEST_PATH_IMAGE262
和
Figure 210675DEST_PATH_IMAGE270
即非零谐振频率相关的高阶模。
从式(21)可以看出，式(12)所示的矢量有限元矩阵的解的频率依赖性得到了明确的表示。式(21)的右边除了显式含有ω的表达式之外，所有其它表达式都是与频率无关的。有了这样的频率连续函数，就可以严格地得到集成电路从高频到包括直流在内的全波范围的任何低频的场解，而不会出现求解器在低频失效的问题。
从式(21)可以看出，给定任意频率ω，场解是若干三维本征模的叠加。对于直流本征模，即零本征值对应的本征向量，其在场解中的权重与
Figure 267493DEST_PATH_IMAGE272
呈正比；对于高阶本征模，其在第i个本征模在场解中的权重正比于
Figure 424936DEST_PATH_IMAGE274
，其中
Figure 985230DEST_PATH_IMAGE276
为第i个本征模对应的特征值，i为本征模的序号。
在低频率下，当高阶本征模的权重明显小于直流本征模，即
Figure 572856DEST_PATH_IMAGE278
时，高阶本征模对场解的贡献可以忽略。因此，式(21)可以变为式(22)：
Figure 602123DEST_PATH_IMAGE280
(22)；
由此可得，无损耗无频散介质下的式(12)所示的集成电路全波电磁仿真矢量有限元矩阵的解为式(23)：
Figure 546945DEST_PATH_IMAGE282
(23)；
由式(23)可以看出，如果求解出式(17)所示广义特征值问题的所有零特征值对应的特征向量，即可以准确求解低频下的场。
对于一个三维结构的多层超大规模集成电路，尽管其物理直流模态的数量可能很少，但零空间混合了物理直流模态和非物理直流模态，这两个的线性组合存在于同一个零空间中。因此，仅从零空间向量无法区分出物理直流模式和非物理直流模式。
此外，求解过程中不能为了提高计算速度而丢弃零空间向量的子集来减少零空间的大小，因为这些子集之间彼此是线性无关的，并且它们中的每一个都是建立一个完全零空间所不可或缺的，因此丢弃零空间向量的任何子集后剩下的都是不完整的，或者说，给定一个激励向量，它可以在所有的零空间向量上有一个投影，因此每个零空间向量都对场解有贡献。
然而，对于当前最先进的超大规模集成电路，其尺寸为从厘米级到纳米级的多尺度结构，由此对其计算场域划分的网格单元达数千万甚至上亿，由此形成的式(12)所示的矢量有限元矩阵规模为数千万到亿的量级，如果求解并存储所有的零空间向量，计算代价很高，且需要极大的内存存储，因为此时矢量有限元矩阵的零空间很大，并且随矩阵大小呈线性增长。因此，如何处理增大的零空间成为快速准确求解超大规模集成电路在低频时的响应的关键。
本申请解决这个问题的方法是利用式(17)所示的广义特征值问题具有多个零特征值的特点提出的，由于具有多个相同的零特征值，那么其所有的零空间向量共享相同的零特征值，尽管它们的特征向量完全不同。
基于此，本申请利用式(12)右端的向量(激励向量)来缩小场解所在空间的维数，因此右端源向量总是已知的，也就是说，对于给定的右边项b(ω)求解式(12)，所有的零空间向量被有效地组合在一起，形成矢量有限元方程组在低频下的场解，如式(23)所示。进一步，所有代表低频的零空间向量的贡献可以用一个向量
Figure 712478DEST_PATH_IMAGE284
来表示，该向量覆盖了所有的低频解，如式(24)所示：
Figure 717343DEST_PATH_IMAGE286
(24)；
由于
Figure 968327DEST_PATH_IMAGE258
为零特征值对应的特征向量，其值与频率无关，只与集成电路的三维结构有关，因此在低频情况下，场解E(ω)与角频率ω成反比，如果能准确计算出某个低频下的场解，则可根据式(24)计算出另一个低频下的场解，而不需要严格求解式(12)所示的矢量有限元系统方程组。
为此，通过上述步骤确定出参考频率
Figure 451261DEST_PATH_IMAGE014
，一方面基于这个参考频率形成的式(12)所示的矢量有限元系统方程组能够准确求解，另一方面，由于采用参考频率
Figure 733951DEST_PATH_IMAGE014
得到的解向量来表示由
Figure 644138DEST_PATH_IMAGE287
构成的解空间，所以参考频率下表示场的解需要有如式(24)所示的表达形式，也就是说，
Figure DEST_PATH_IMAGE288
处表示场的解应由直流本征模主导，并满足
Figure 444735DEST_PATH_IMAGE278
，即
Figure DEST_PATH_IMAGE290
，此时式(21)右端的第二项可以忽略，即高阶本征模的贡献可以忽略。此处的
Figure 544409DEST_PATH_IMAGE276
为任一个非零的特征值，其满足
Figure 684534DEST_PATH_IMAGE292
，其中
Figure 31202DEST_PATH_IMAGE293
为最小的非零特征值，
Figure 271426DEST_PATH_IMAGE294
为最大的非零特征值，
Figure 96163DEST_PATH_IMAGE295
和
Figure DEST_PATH_IMAGE296
分别对应三维多尺度结构集成电路的最低谐振频率
Figure DEST_PATH_IMAGE298
和最高谐振频率
Figure 966161DEST_PATH_IMAGE300
，最低谐振频率
Figure 483730DEST_PATH_IMAGE301
对应超大规模集成电路的最大尺寸，而最高谐振频率
Figure 462182DEST_PATH_IMAGE300
则对应超大规模集成电路经网格剖分后的最小网格尺寸，因此
Figure 90609DEST_PATH_IMAGE300
与
Figure 936818DEST_PATH_IMAGE298
之比即为超大规模集成电路的最大尺寸与剖分网格的最小尺寸之比，而最大的非零特征值和最小的非零特征值之比则为频率或尺寸比的平方。
设
Figure 625288DEST_PATH_IMAGE302
与
Figure 825456DEST_PATH_IMAGE303
之比的数量级为m，失效频率
Figure 257575DEST_PATH_IMAGE031
对应的特征值记为
Figure 961220DEST_PATH_IMAGE305
，则选择的参考频率
Figure DEST_PATH_IMAGE306
应满足：
Figure 633641DEST_PATH_IMAGE308
，这里由于谐振频率对应的是广义特征值不为零的值，而
Figure 304793DEST_PATH_IMAGE276
作为非零特征值，其数值较大，谐振频率较高，因此即使是最低谐振频率也会远大于参考频率，并且由于实际中并没有真正求解式(17)所示的广义特征值问题，因此最低谐振频率
Figure 825423DEST_PATH_IMAGE309
是未知量。
由此可得，确定参考频率
Figure 898421DEST_PATH_IMAGE063
的原则为，既要保证在该参考频率下求解器不会失效，又要使得参考频率
Figure 413848DEST_PATH_IMAGE306
尽可能远小于最低谐振频率
Figure 572296DEST_PATH_IMAGE309
，这样可以确保式(21)右边的第二项可以忽略，即高阶本征模的贡献可以忽略。
步骤500，对于低于参考频率的待求频点，根据上文描述的有限元系统矩阵特征值的性质，基于参考频率的场解获得待求频点下的场解。
将式(11)代入式(24)，可得到下式(25)，可以理解的是，参考频率既是能够用有限元法正确求出其场解的频点，同时还属于低频范围，也就是参考频率下的场解E(ω)还满足式(25)：
Figure 159267DEST_PATH_IMAGE311
(25)；
其中，由于介质为无损耗、无频散介质，因此所有单元e中的磁导率
Figure 103083DEST_PATH_IMAGE312
和介电常数
Figure 304257DEST_PATH_IMAGE313
均与频率无关，因此在角频率ω变化时，式(25)的右端项中除了ω以外的其他量均为恒定值，即在低频情况下，场的解E(ω)与角频率ω呈反比，也就是说，在参考频率
Figure 697805DEST_PATH_IMAGE288
的准确解
Figure 744258DEST_PATH_IMAGE008
已知时，可根据场解
Figure 339319DEST_PATH_IMAGE061
也满足式(25)的性质，得到式(26)：
Figure 727706DEST_PATH_IMAGE315
(26)；
其中j为虚数单位，
Figure 860747DEST_PATH_IMAGE316
为真空介质的磁导率，
Figure 992782DEST_PATH_IMAGE258
为零特征值对应的特征向量，T表示矩阵的转置，e为网格剖分得到的基本单元，
Figure 894879DEST_PATH_IMAGE140
为基本单元e的积分体，
Figure 914220DEST_PATH_IMAGE104
为基本单元e的第i个插值基函数，
Figure 534557DEST_PATH_IMAGE317
为基本单元e的外加激励电流源。通过式(26)说明低于参考频率
Figure 204704DEST_PATH_IMAGE288
的场解是能够通过对场解
Figure 977619DEST_PATH_IMAGE061
进行反推来得到的，则可通过式(27)计算待求频率f的解E(f)：
Figure 425918DEST_PATH_IMAGE318
(27)；
因此可知，为计算超大规模集成电路在低频下的电磁响应，可以先计算其参考频率及参考频率点下的准确场解，然后，低于参考频率点下超大规模集成电路的低频的电磁响应可通过式(27)解析得出。
需要说明的是，参考频率
Figure 549863DEST_PATH_IMAGE014
的场解
Figure 7389DEST_PATH_IMAGE061
不是通过式(26)得出的，式(26)只是用于证明通过式(27)来计算待求频率f的解是准确、有效和可行的，实际算出场解
Figure 897460DEST_PATH_IMAGE319
的是步骤420中的每次迭代计算参考频率过程中同时求得场解的步骤，每迭代一个频点，就会算出相应的场解，例如在步骤425中得到了一个角频率
Figure 313398DEST_PATH_IMAGE036
的场解
Figure 393481DEST_PATH_IMAGE320
，若之后在步骤427中判断出该角频率为参考频率，则相应的场解
Figure 389119DEST_PATH_IMAGE221
即为参考频率的场解
Figure 871047DEST_PATH_IMAGE008
。
由此可得无损耗无频散介质的情况下的集成电路全波电磁仿真的方案：首先通过步骤421-427计算待仿真集成电路的参考频率，对于高于参考频率的频段，可以直接采用全三维电磁场数值计算方法进行求解；而对于低于参考频率的频段，其待求频点的解通过参考频率的解来获得，由此解决了低频和高频响应的连续性问题，仿真结果更精确，避免了在针对高频和低频分别采用不同的求解器时对于高频段和低频段相交的频点处的求解结果有差别导致的两种求解器的响应拼接的曲线不连续的问题。
步骤600，基于所有待求频点的场解获得全频段的电磁响应。
得到低频频段和高频频段内各频点的场解后，可以基于该离散的场量和用户要求的计算信息进行后处理操作，具体包括以下至少一个实施项：
1、基于计算的离散的场量计算得到近似直流或低频下集成电路电源系统的不同层的电位分布、电流分布、功耗分布、损耗分布、热分布中的至少一个分布项，并可以对得到的分布项进行图表绘制；
2、基于计算的离散的场量进一步计算用户提供的端口参数，包括集成电路的多端口S参数、多端口阻抗矩阵、端口的等效电路模型参数中的至少一个参数的全频段的频率响应特征；
3、基于计算的离散的场量进一步计算不同频率下集成电路的电磁辐射和/或集成电路某个位置的电磁干扰。
4、基于计算的离散的场量进一步计算集成电路元器件的行为特征，行为特征可以是电压-电流特性或其他特征/特性，由此进一步提取集成电路的IBIS模型。
在算出待计算项之后，由此完成针对无损耗无频散介质的集成电路全波电磁仿真。
对超大规模集成电路进行电磁仿真的意义在于，集成电路是完成非常复杂功能的超大规模电路的物理实现，从超大规模电路的原理图到复杂的集成电路版图，其实现方式有无穷多种。在设计超大规模电路的原理图时，只考虑原理图的连接关系、逻辑关系与工作时序，并不考虑线路间的电磁干扰对信号传输的影响。
然而，理论和实践证明，高频的交变电流在物理的传输线传输时，在传输线周围存在电磁波，这个电磁波通过电磁感应的方式对其周围的传输线产生影响，形成电磁干扰。如果这个电磁干扰产生的影响远小于传输线的信号本身，那么这个电磁干扰不足以对集成电路的工作产生影响；但如果这个电磁干扰产生的影响与传输线的信号相当，甚至大于传输线传输的信号，那么这个干扰叠加到传输线的信号后，这个干扰将被当作传输信号进行传输，从而改变了原来传输的信号，破坏了集成电路的工作。
另外，在设计超大规模电路的原理图时，也不会考虑电路导线本身的电阻，通常会直接认为所有连接的导线都是理想导体，通过导体的电压降为0，但实际上，通过集成电路实现超大规模电路的原理图时，导线通过覆铜的集成电路版图的走线形成为铜的电导率为有限值，而该走线将有一定的电阻，走线越细、越长，在其上产生的电阻越大，通过走线带来的电压降越大。这种带来的电压降也将对集成电路的信号传输产生致命的影响，因为集成电路的信号传输实际传输的是0、1信号，这个0、1信号靠高低电平的跳变实现，集成电路元器件识别高低电平是靠电平的阈值来判断，当输入给元器件的电平高于某个参考电平（阈值）时，会判定此时传输的是高电平，而低于参考电平时则判定此时传输的是低电平。由于传输的高低电平是加载在传输线的基准电压上的，而走线上的电压降则是导致基准电压不稳定的重要因素，因此基准电压的不稳定会直接导致传输结果的错误。
因此，通过电磁场的仿真计算，计算集成电路版图上所有位置的电磁场和电压、电流分布是分析集成电路版图电压降的重要手段。此外，观测集成电路版图上电流的分布也是一个重要的工作，因为集成电路版图上电流分布过高时会导致细长的走线被瞬间烧毁，使得集成电路被永久烧坏，或者导致集成电路某个区域因为电流过大而发热，在长时间工作下集成电路板材因为升温而使得材料的电磁传输发生改变，使得集成电路无法正常工作，甚至导致集成电路由于长时间累积发热产生变形甚至烧坏。
而在进行全波电磁仿真方面，随着大规模集成电路的设计向更高频率的发展和电路复杂性的增加，对于高频电磁场的仿真，通常忽略了高阶传播模式而引起仿真的误差。另外，传统模式下，采用等效电路方法进行分析时，其等效的电容、电感等元件没有考虑到元器件随频率的变化，从而引起误差。例如，对于微带线或互连线结构，由于微带线或带状线复杂的交叉、阶梯、弯曲、开路、缝隙等特征，导致微带线或互连线上产生信号延迟、失真和反射等效应，以及相邻线路之间的串扰，此时电磁波都是多模传输的。为此，通常需要采用全波电磁仿真技术去分析集成电路，以得到准确的非连续模式下的S参数，因为全波分析考虑了所有可能的场分量和边界条件。
下面参考图2详细描述本申请公开的无损耗无频散介质下的集成电路全波电磁仿真系统实施例。本实施例是用于实施前述的无损耗无频散介质下的集成电路全波电磁仿真方法实施例的系统。
如图2所示，本实施例公开的系统主要包括有：集成电路建模模块、网格剖分模块、方程组构建模块、参考频率计算模块、待求场解计算模块和电磁响应获取模块。
集成电路建模模块用于获取超大规模集成电路的模型信息并据此对集成电路进行建模。
网格剖分模块用于基于所述建模得到的模型对集成电路的平行平板场域进行网格剖分。
方程组构建模块用于基于所述网格剖分的结果建立无损耗无频散介质下的矢量有限元系统方程组。
参考频率计算模块用于基于所述有限元系统方程组通过迭代方法计算集成电路的参考频率及其场解。
待求场解计算模块用于对于低于参考频率的待求频点，基于参考频率的场解获得待求频点下的场解，其中，根据参考频率下的场解
Figure 208618DEST_PATH_IMAGE061
通过下式计算待求频率f的场解E(f)：
Figure 759685DEST_PATH_IMAGE062
，其中，
Figure 578255DEST_PATH_IMAGE321
。
电磁响应获取模块用于基于所有待求频点的场解获得全频段的电磁响应。
在一种实施方式中，所述方程组构建模块通过以下步骤建立无损耗无频散介质下的矢量有限元系统方程组：
基于麦克斯韦方程组建立电磁场波动方程；
获取所述电磁场波动方程对应的齐次方程，得到所述齐次方程的泛函；
在电磁场求解区域的尺寸达到设定阈值时，将所述泛函中关于电磁波在区域边界的部分设为0；
基于所述网格剖分形成的基本几何体单元对电磁场求解区域进行离散，将每个离散单元内任意点的电场利用插值基函数表示，得到泛函的离散形式；
对离散形式的泛函取偏导数并令偏导数为0，得到下式无损耗无频散介质下的矢量有限元矩阵：
Figure 695116DEST_PATH_IMAGE016
其中，
Figure 672430DEST_PATH_IMAGE018
是整个有限元系统的刚度矩阵，
Figure 976373DEST_PATH_IMAGE020
是整个有限元系统的与介电常数相关的质量矩阵，ω为电磁波角频率，E是电场，b(ω)是外加激励源。
在一种实施方式中，所述参考频率计算模块计算集成电路的参考频率包括以下步骤：
基于集成电路的版图特征尺寸和仿真运算设备的机器精度，计算出集成电路全波电磁分析的失效频率；
基于失效频率通过迭代计算的方法算出参考频率及其场解。
在一种实施方式中，基于以下公式计算失效频率：
Figure 595704DEST_PATH_IMAGE064
其中，
Figure 35913DEST_PATH_IMAGE024
为失效频率，
Figure 715287DEST_PATH_IMAGE026
为仿真运算时采用的机器精度量级，c为电磁波在真空中的波速，
Figure 988749DEST_PATH_IMAGE028
为网格剖分得到的基本单元的尺寸。
在一种实施方式中，所述参考频率计算模块算出参考频率及其场解包括以下步骤：
步骤A1，设置迭代频率下限
Figure 661039DEST_PATH_IMAGE030
为失效频率
Figure 972065DEST_PATH_IMAGE031
，并设置迭代频率上限
Figure 806029DEST_PATH_IMAGE033
，其中Factor为失效频率的倍数，Factor>1；
步骤A2，将当前角频率
Figure 100875DEST_PATH_IMAGE035
代入所述矢量有限元系统方程组，求解有限元系统方程组得到
Figure 45698DEST_PATH_IMAGE036
角频率下的场解
Figure 211231DEST_PATH_IMAGE038
；
步骤A3，通过下式的相对误差计算公式计算所述场解
Figure 950517DEST_PATH_IMAGE038
的相对误差res：
Figure 216149DEST_PATH_IMAGE040
步骤A4，在所述相对误差
Figure 964662DEST_PATH_IMAGE042
时，得到参考频率
Figure 250281DEST_PATH_IMAGE054
及其场解
Figure 176780DEST_PATH_IMAGE044
，结束；在所述相对误差
Figure 898748DEST_PATH_IMAGE046
时跳转至步骤A5；
步骤A5，将
Figure 185373DEST_PATH_IMAGE048
代入所述矢量有限元系统方程组得到新的场解；
步骤A6，通过所述相对误差计算公式计算所述新的场解的相对误差；
步骤A7，在所述新的场解的相对误差小于
Figure 591078DEST_PATH_IMAGE050
时，使
Figure 672166DEST_PATH_IMAGE052
，并跳转至步骤A5；在所述新的场解的相对误差小于等于
Figure 629234DEST_PATH_IMAGE053
且大于等于
Figure 719549DEST_PATH_IMAGE050
时，得到参考频率
Figure 714181DEST_PATH_IMAGE054
及其场解，结束；在所述新的场解的相对误差大于
Figure 231750DEST_PATH_IMAGE055
时，使
Figure 944623DEST_PATH_IMAGE057
，并跳转至步骤A5；
其中，ω为电磁波角频率，E为电场，
Figure 573050DEST_PATH_IMAGE038
为当前角频率
Figure 422188DEST_PATH_IMAGE036
下的场解，
Figure 129900DEST_PATH_IMAGE322
为预设的误差阈值下限，
Figure 313757DEST_PATH_IMAGE237
为预设的误差阈值上限，
Figure 496608DEST_PATH_IMAGE060
。
以上所述，仅为本申请的具体实施方式，但本申请的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本申请揭露的技术范围内，可轻易想到的变化或替换，都应涵盖在本申请的保护范围之内。因此，本申请的保护范围应以所述权利要求的保护范围为准。

Claims (2)

1.一种无损耗无频散介质下的集成电路全波电磁仿真方法，其特征在于，包括：
获取超大规模集成电路的模型信息并据此对集成电路进行建模；
基于所述建模得到的模型对集成电路的平行平板场域进行网格剖分；
基于所述网格剖分的结果建立无损耗无频散介质下的矢量有限元系统方程组；
基于所述有限元系统方程组通过迭代方法计算集成电路的参考频率及其场解；
对于低于参考频率的待求频点，基于参考频率的场解获得待求频点下的场解，其中，根据参考频率下的场解
Figure DEST_PATH_IMAGE002
通过下式计算待求频率f的场解E(f)：
Figure DEST_PATH_IMAGE004
，其中，
Figure DEST_PATH_IMAGE006
，
Figure DEST_PATH_IMAGE008
为参考频率；
基于所有待求频点的场解获得全频段的电磁响应；
所述基于所述网格剖分的结果建立无损耗无频散介质下的矢量有限元系统方程组，包括：
基于麦克斯韦方程组建立电磁场波动方程；
获取所述电磁场波动方程对应的齐次方程，得到所述齐次方程的泛函；
在电磁场求解区域的尺寸达到设定阈值时，将所述泛函中关于电磁波在区域边界的部分设为0；
基于所述网格剖分形成的基本几何体单元对电磁场求解区域进行离散，将每个离散单元内任意点的电场利用插值基函数表示，得到泛函的离散形式；
对离散形式的泛函取偏导数并令偏导数为0，得到下式无损耗无频散介质下的矢量有限元矩阵：
Figure DEST_PATH_IMAGE010
其中，
Figure DEST_PATH_IMAGE012
是整个有限元系统的刚度矩阵，
Figure DEST_PATH_IMAGE014
是整个有限元系统的与介电常数相关的质量矩阵，ω为电磁波角频率，E是电场，b(ω)是外加激励源；
所述基于所述有限元系统方程组通过迭代方法计算集成电路的参考频率，包括：
基于集成电路的版图特征尺寸和仿真运算设备的机器精度，计算出集成电路全波电磁分析的失效频率；
基于失效频率通过迭代计算的方法算出参考频率及其场解；
基于以下公式计算失效频率：
Figure DEST_PATH_IMAGE016
其中，
Figure DEST_PATH_IMAGE018
为失效频率，
Figure DEST_PATH_IMAGE020
为仿真运算时采用的机器精度量级，c为电磁波在真空中的波速，
Figure DEST_PATH_IMAGE022
为网格剖分得到的基本单元的尺寸；
所述基于失效频率通过迭代计算的方法算出参考频率及其场解，包括：
步骤A1，设置迭代频率下限
Figure DEST_PATH_IMAGE024
为失效频率
Figure DEST_PATH_IMAGE025
，并设置迭代频率上限
Figure DEST_PATH_IMAGE027
，其中Factor为失效频率的倍数，Factor>1；
步骤A2，将当前角频率
Figure DEST_PATH_IMAGE029
代入所述矢量有限元系统方程组，求解有限元系统方程组得到
Figure DEST_PATH_IMAGE030
角频率下的场解
Figure DEST_PATH_IMAGE032
；
步骤A3，通过下式的相对误差计算公式计算所述场解
Figure 48323DEST_PATH_IMAGE032
的相对误差res：
Figure DEST_PATH_IMAGE034
步骤A4，在所述相对误差
Figure DEST_PATH_IMAGE036
时，得到参考频率
Figure DEST_PATH_IMAGE037
及其场解
Figure DEST_PATH_IMAGE038
，结束；在所述相对误差
Figure DEST_PATH_IMAGE040
时跳转至步骤A5；
步骤A5，将
Figure DEST_PATH_IMAGE042
代入所述矢量有限元系统方程组得到新的场解；
步骤A6，通过所述相对误差计算公式计算所述新的场解的相对误差；
步骤A7，在所述新的场解的相对误差小于
Figure DEST_PATH_IMAGE044
时，使
Figure DEST_PATH_IMAGE046
，并跳转至步骤A5；在所述新的场解的相对误差小于等于
Figure DEST_PATH_IMAGE047
且大于等于
Figure 808075DEST_PATH_IMAGE044
时，得到参考频率
Figure DEST_PATH_IMAGE048
及其场解，结束；在所述新的场解的相对误差大于
Figure 601588DEST_PATH_IMAGE047
时，使
Figure DEST_PATH_IMAGE050
，并跳转至步骤A5；
其中，ω为电磁波角频率，E为电场，
Figure 510464DEST_PATH_IMAGE032
为当前角频率
Figure 61531DEST_PATH_IMAGE030
下的场解，
Figure 860860DEST_PATH_IMAGE044
为预设的误差阈值下限，
Figure 180983DEST_PATH_IMAGE047
为预设的误差阈值上限，
Figure DEST_PATH_IMAGE052
。
2.一种无损耗无频散介质下的集成电路全波电磁仿真系统，其特征在于，包括：
集成电路建模模块，用于获取超大规模集成电路的模型信息并据此对集成电路进行建模；
网格剖分模块，用于基于所述建模得到的模型对集成电路的平行平板场域进行网格剖分；
方程组构建模块，用于基于所述网格剖分的结果建立无损耗无频散介质下的矢量有限元系统方程组；
参考频率计算模块，用于基于所述有限元系统方程组通过迭代方法计算集成电路的参考频率及其场解；
待求场解计算模块，用于对于低于参考频率的待求频点，基于参考频率的场解获得待求频点下的场解，其中，根据参考频率下的场解
Figure 735461DEST_PATH_IMAGE002
通过下式计算待求频率f的场解E(f)：
Figure DEST_PATH_IMAGE053
，其中，
Figure 570561DEST_PATH_IMAGE006
，
Figure DEST_PATH_IMAGE054
为参考频率；
电磁响应获取模块，用于基于所有待求频点的场解获得全频段的电磁响应；
所述方程组构建模块通过以下步骤建立无损耗无频散介质下的矢量有限元系统方程组：
基于麦克斯韦方程组建立电磁场波动方程；
获取所述电磁场波动方程对应的齐次方程，得到所述齐次方程的泛函；
在电磁场求解区域的尺寸达到设定阈值时，将所述泛函中关于电磁波在区域边界的部分设为0；
基于所述网格剖分形成的基本几何体单元对电磁场求解区域进行离散，将每个离散单元内任意点的电场利用插值基函数表示，得到泛函的离散形式；
对离散形式的泛函取偏导数并令偏导数为0，得到下式无损耗无频散介质下的矢量有限元矩阵：
Figure 970319DEST_PATH_IMAGE010
其中，
Figure 676107DEST_PATH_IMAGE012
是整个有限元系统的刚度矩阵，
Figure 808011DEST_PATH_IMAGE014
是整个有限元系统的与介电常数相关的质量矩阵，ω为电磁波角频率，E是电场，b(ω)是外加激励源；
所述参考频率计算模块计算集成电路的参考频率包括以下步骤：
基于集成电路的版图特征尺寸和仿真运算设备的机器精度，计算出集成电路全波电磁分析的失效频率；
基于失效频率通过迭代计算的方法算出参考频率及其场解；
基于以下公式计算失效频率：
Figure DEST_PATH_IMAGE055
其中，
Figure 395987DEST_PATH_IMAGE018
为失效频率，
Figure 537118DEST_PATH_IMAGE020
为仿真运算时采用的机器精度量级，c为电磁波在真空中的波速，
Figure DEST_PATH_IMAGE056
为网格剖分得到的基本单元的尺寸；
所述参考频率计算模块算出参考频率及其场解包括以下步骤：
步骤A1，设置迭代频率下限
Figure 165589DEST_PATH_IMAGE024
为失效频率
Figure 468394DEST_PATH_IMAGE025
，并设置迭代频率上限
Figure 746929DEST_PATH_IMAGE027
，其中Factor为失效频率的倍数，Factor>1；
步骤A2，将当前角频率
Figure 426172DEST_PATH_IMAGE029
代入所述矢量有限元系统方程组，求解有限元系统方程组得到
Figure 840973DEST_PATH_IMAGE030
角频率下的场解
Figure 580258DEST_PATH_IMAGE032
；
步骤A3，通过下式的相对误差计算公式计算所述场解
Figure 80510DEST_PATH_IMAGE032
的相对误差res：
Figure 563444DEST_PATH_IMAGE034
步骤A4，在所述相对误差
Figure DEST_PATH_IMAGE057
时，得到参考频率
Figure DEST_PATH_IMAGE058
及其场解
Figure DEST_PATH_IMAGE059
，结束；在所述相对误差
Figure DEST_PATH_IMAGE060
时跳转至步骤A5；
步骤A5，将
Figure 816440DEST_PATH_IMAGE042
代入所述矢量有限元系统方程组得到新的场解；
步骤A6，通过所述相对误差计算公式计算所述新的场解的相对误差；
步骤A7，在所述新的场解的相对误差小于
Figure 726627DEST_PATH_IMAGE044
时，使
Figure 448595DEST_PATH_IMAGE046
，并跳转至步骤A5；在所述新的场解的相对误差小于等于
Figure 735220DEST_PATH_IMAGE047
且大于等于
Figure 124613DEST_PATH_IMAGE044
时，得到参考频率
Figure DEST_PATH_IMAGE061
及其场解，结束；在所述新的场解的相对误差大于
Figure 285596DEST_PATH_IMAGE047
时，使
Figure DEST_PATH_IMAGE062
，并跳转至步骤A5；
其中，ω为电磁波角频率，E为电场，
Figure 822757DEST_PATH_IMAGE032
为当前角频率
Figure 381914DEST_PATH_IMAGE030
下的场解，
Figure 625814DEST_PATH_IMAGE044
为预设的误差阈值下限，
Figure 143383DEST_PATH_IMAGE047
为预设的误差阈值上限，
Figure 105523DEST_PATH_IMAGE052
。
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