CN113602965A - 一种基于最优开环控制及lqr的防摇模型建立方法 - Google Patents

一种基于最优开环控制及lqr的防摇模型建立方法 Download PDF

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CN113602965A CN202110774972.6A CN202110774972A CN113602965A CN 113602965 A CN113602965 A CN 113602965A CN 202110774972 A CN202110774972 A CN 202110774972A CN 113602965 A CN113602965 A CN 113602965A
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鲁可
石庆升
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Abstract

本发明涉及基于最优开环控制及LQR的防摇模型建立方法，可有效解决起吊设备在工作时被起吊重物具有惯性力的影响，经常会出现左右摇摆现象，如果操作人员不能很好的控制吊具以消除摇摆，轻则会影响整个工作效率问题，重则会引发安全事故的问题，其解决的技术方案是，首先通过拉格朗日方程建立小车负载系统的动态模型，得出小车与负载摆动的运动规律，在此基础上，实际开发搭建防摇控制模型，做到了定位准确和运动过程中摆角得累积和最小且时间短，成功将该模型应用在岸桥和轮胎吊设备中，具有良好的经济和社会效益。

Description

一种基于最优开环控制及LQR的防摇模型建立方法
技术领域
本发明涉及，特别是一种基于最优开环控制及LQR的防摇模型建立方法。
背景技术
国内吊车抗摆技术的研究开始于80年代初，较早研究的学者是哈尔滨工程大学的华克强等人，针对桥式吊车，给出了吊车系统精确的数学模型，根据此模型，设计了最优控制器，自适应控制器，模糊控制器，并对三种控制器进行比较分析。
山东建筑工程学院的李伟等人，在吊车抗摆控制领域也开展了研究。近年来，他们发表了多篇文章，分别在吊车的模型，控制方法等方面进行了研究。应用最优控制理论，提出了天车点动消摆和全程消摆等控制策略。其中作者提出了基于时间最优的消除负载摆动的两拍消摆策略。采用极点配置技术，以积分二次型性能指标提出最优消摆策略，同时实现消摆和提高运行速度两个目标。
在吊摆系统的防摆控制方法设计时，由于起重机吊摆系统为非线性模型，为了方便设计控制方法，研究学者一般根据小摆动角的近似，将非线性模型线性简化，通过线性模型来设计出一系列的控制器。Moustafa等人通过设计桥式起重机吊摆系统的线性反馈控制器来控制小车加速、匀速和减速运动，主要实现方法是通过三个降阶反馈控制器来分别控制的，其结果表明，该控制方法能有效抑制定吊绳长情况下系统的摆动。
Alan J.Ridout，利用线性反馈提出了变阻尼控制吊车的摆动Mita和Kanai解决了对于吊车摆动的最小时间控制Ohnishi等人，通过反馈控制计划来控制吊车的摆动，通过根轨迹方法设计反馈控制率取得了较好的控制效果。Mita.T and Kanai.T，基于信号扰动提出一个最大速度非线性控制方法。
最优控制是现代控制理论的核心，它研究的主要问题是：在满足一定约束条件下，寻求最优控制策略，使得性能指标取极大值或极小值。一个受控的动力学系统或运动过程，从可行的控制方案中找出最优的控制方案，使系统的运动在由初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优；同时加入LQR控制增强系统抗干扰能力。
近年来，考虑到现代起重机增加吊重防摇控制系统的必要性，对防摇控制方法的理论研究较多，但这些理论大部分还停留在理论研究层面，或者只在仿真平台上实现，与实际工业应用还存在很大差距，效果不是十分理想，因此设计一种可以用于实际港口集装箱装卸防摇控制算法势在必行。
发明内容
针对上述情况，为解决现有技术之缺陷，本发明之目的就是提供一种基于最优开环控制及LQR的防摇控制算法，可有效解决起吊设备在工作时被起吊重物具有惯性力的影响，经常会出现左右摇摆现象，如果操作人员不能很好的控制吊具以消除摇摆，轻则会影响整个工作效率问题，重则会引发安全事故的问题。
本发明解决的技术方案是，实际防摇系统比较复杂，除了元件的非线性外，还会受到各种干扰，如小车与导轨的干摩擦，外界风力的影响等等，为了分析其本质，必须对吊车系统做简化处理，因此给出如下假设：
(1)对于桥式吊车，由于吊车在进行装卸作业时，负载货物在竖直方向会有升降运动，本文只考虑小车的防摇特性，所以不考虑质量块在竖直方向的运动；
(2)钢丝绳的质量相对于所吊负载的质量可以忽略不计；
(3)钢丝绳的刚度足够大，其长度变化可以忽略不计，看成刚性绳；
(4)吊物只在过导轨所在直线，垂直于水平面的竖直平面内运动；
(5)不计风力影响和空气阻尼等。
本发明算法根据不同运行距离计算得到在整个运行过程中不同时刻的速度，将速度转化为电机的转速赋给电动机，以实现在此过程中在角度累计最小的情况下实现时间最短且能精准停车的控制要求，是基于最优开环控制及LQR的防摇模型建立方法上的创新。
附图说明
图1为本发明的力学简化模型示意图，
其中，f1为小车驱动力；f2为摆锤拉力；x为小车位移；θ为小车位移；l为摆锤长度；M为小车质量；mg为吊重重量；(x,y)为重物的重心坐标。
图2为本发明的无控制下的角度变化。
图3为本发明调试初始化示意图。
图4为本发明控制过程完成示意图。
图5为本发明控制过程角度变化示意图。
图6为本发明筛选出的角度最小，时间较短的实验结果trace效果图。
五、具体实施方式
以下结合附图对本发明的具体实施方式作进一步详细说明。
由图1给出，本发明防摇模型建立方法包括以下步骤：
建立平面直角坐标系，提取系统输入、输出状态变量，并建立其动力学关系，已知小车M当前位移为x，摆锤m摆角为θ，摆长为l，根据坐标定义可得：
Figure BDA0003154442070000031
其中：x为当前位移，θ为摆锤m摆角，l为摆长；
对式(4.1)求导，可得小车M与摆锤m在x，y方向上的速度分量
Figure BDA0003154442070000032
其中：x为当前位移，θ为摆锤m摆角，l为摆长；
摆锤势能为
U＝-mglcosθ (4.3)
其中：mg为吊车重量，θ为摆锤m摆角，l为摆长；
摆锤动能为
Figure BDA0003154442070000033
其中：M为小车质量，mg为吊车重量，θ为摆锤m摆角，l为摆长；
根据拉格朗日方程得到拉格朗日算子L＝T-U，经整理得：
Figure BDA0003154442070000034
由拉格朗日方程
Figure BDA0003154442070000035
计算可得
Figure BDA0003154442070000041
实际情况下，摆锤摆角变化较小，故对此模型进行线性化，cosθ＝0，sinθ＝θ，同时对相应的关系式进行转化
Figure BDA0003154442070000042
则式(4.7)可简化为
Figure BDA0003154442070000043
选取状态变量(x表示位移，θ表示角度)
Figure BDA0003154442070000044
求解状态方程，可得
Figure BDA0003154442070000045
建立状态空间
Figure BDA0003154442070000046
则
Figure BDA0003154442070000047
Figure BDA0003154442070000048
其中
Figure BDA0003154442070000051
式(4.13)、(4.14)、(4.15)所得状态空间描述为实际防摇的状态空间模型，但实际中的输入并非外力F，可控的仅为小车的速度
Figure BDA0003154442070000052
故重新选取输入变量，建立状态空间描述，选取输入变量
Figure BDA0003154442070000053
(加速度)，建立状态空间
Figure BDA0003154442070000054
可得
Figure BDA0003154442070000055
Figure BDA0003154442070000056
其中
Figure BDA0003154442070000057
代入参数，重力加速度g＝9.8m/s2，摆长l＝0.1m，得
Figure BDA0003154442070000058
根据控制要求，发现这是一个关于起端时刻，位置固定，终端位置固定以及终端时间自由的泛函取极值问题，
t0,x(t0)固定，x(tf)固定，tf自由
设x(t)∈Rn是具有连续一节倒数的n维向量函数，
Figure BDA0003154442070000059
为关于x(t)和
Figure BDA00031544420700000510
的标量函数，且相对于其所有的自变量具有连续的一阶和二阶偏导数，已知t0,x(t0)＝x0固定，x(tf) 固定，tf自由，求使得泛函
Figure BDA0003154442070000061
达到极值的最优路线x*(t)；
此时，由于x(tf)固定，tf自由，故δxf＝0，δtf任意，因此横截条件可简化为
Figure BDA0003154442070000062
将本发明模型代入：
设初始时刻t0＝0，位置x(t0)＝0，现假设终端时刻tf自由，位置x(tf)＝a(a为常数，即终端位置的坐标)v(tf)＝0，且偏转角θ满足条件
Figure BDA0003154442070000063
因为想要达到的效果是在时间最短的同时，过程中角度的累计最小因此可以得到以下最优控制条件，求达到极值时的 v(t)与tf；
为方便讨论，设v(t)为二次多项式的情形，即v(t)＝-ct(t-tf)能够保证速度在t＝0和tf＝0 时均为0，其中c为待定系数，
又由
Figure BDA0003154442070000064
解得
Figure BDA0003154442070000065
则
Figure BDA0003154442070000066
由
Figure BDA0003154442070000067
及(4.21)
先求齐次通解
Figure BDA0003154442070000068
得
Figure BDA0003154442070000069
再求非齐次特解
Figure BDA00031544420700000610
得
Figure BDA00031544420700000611
因此
Figure BDA00031544420700000612
的通解为
Figure BDA00031544420700000613
由起始条件得：
Figure BDA0003154442070000071
再由终端条件θ(tf)＝0知：
Figure BDA0003154442070000072
满足以上条件：
Figure BDA0003154442070000073
通过
Figure BDA0003154442070000074
求J极值，使用MATLAB软件求得相应的极值，并将值代入(4.23)式，根据速度假设形式，猜想同样满足条件的高阶的表达式可能会影响控制效果，故在此对二阶，三阶，四阶等高阶的速度公式分别进行计算和调试，结果显示四阶的速度公式效果最佳，表达式如下：
Figure BDA0003154442070000075
其中，tf表示到达终端时间；t表示时间；
LQR(Linear Quadratic Regulator)即线性二次型调节器，其对象是现代控制理论中以状态空间形式给出的线性系统，而目标函数为对象状态和控制输入的二次型函数，LQR最优设计是指：设计出的状态反馈控制器K要使二次型目标函数J取最小值，而K由权矩阵Q与R 唯一确定，故此Q、R的选择尤为重要，Matlab的应用为LQR理论仿真提供了条件，为实现稳、准、快的控制目标提供了方便，二次型最优控制方法的优点是能够提供一套系统的方法，来计算状态反馈控制增益矩阵，LQR控制器以最优控制计算得到的为参考量，求得控制变量 1，使得角度始终处于可控范围内，首先判断系统的可控性，由上述系统可得
rank[B AB A2B A3B]＝4 (4.31)
可知系统完全能控，利用MATLAB求解离散时间线性二次型调节器问题，以及相关的Recatti 方程，通过该命令可计算出最优反馈增益矩阵K，使反馈控制
u＝-Kx (4.32)
其中，u表示被控量；X表示控制量；
在约束方程：
Figure BDA0003154442070000076
的条件下能使下列性能指标达到极小值：
Figure BDA0003154442070000081
利用MATLAB求解Recatti方程：
>>A＝[0 1 0 0；0 0 0 0；0 0 0 1；0 0 -98 0]
Figure RE-GDA0003293615430000082
>>B＝[0；1；0；-10]
Figure RE-GDA0003293615430000083
>>Q＝diag([1 1 1 0])
Figure RE-GDA0003293615430000084
>>R＝1
R＝1
>>[P,E,K RR]＝care(A,B,Q,R,zeros(size(B)),eye(size(A)))
Figure RE-GDA0003293615430000085
Figure RE-GDA0003293615430000086
K＝(1.0000 1.7451 -0.2226 -0.0985)
RR＝2.2533e-15
提取K值，分析得：
VelocityLQR＝x1+1.7451x2-0.2226x3-0.0985x4 (4.35)
其中，x1表示位移，x2表示位移的倒数，x3表示角度，x4表示角度的倒数。
实施例1
通过Automation Studio 4.2验证本发明的防摇效果，Automation Studio 4.2是贝加莱公司推出的最新版本的PCC专用操作系统，它有着强大的功能，丰富的编程语言如AB、C、C++、 ST等，并且这些编程语言可以在同一个所建工程里根据需要混合使用，它能很好地完成和硬件的通讯、完成模拟的仿真界面等，如有需要还可以随时调用Help来实时查询相关功能信息及使用方法。
一、仿真调试
1.无控制
在没有控制的工程中角度随时间变化角度逐渐减小，如图2所示；若等待摆臂自身停止摆动这将是一个很漫长的过程。
2.加入本发明控制模型
系统初始化，加入本发明控制算法得到效果如图3所示：
在Destination输入框输入目标位置：60；点击Action键小车将根据SetTrolleyVelocity的值向目标运行，加入如上所述的控制算法之后可以尽快使摆臂停止摆动。
经过多次进行参数调整，将得到的结果进行对比如图4吊车到达目标位置，控制过程完成，角度变化如图5所示。
二、实物调试
将Automation Studio 4.2程序下载到pcc实物中，在仿真系统中吊车与摆锤的参数与实物的各项参数差别较小，因此程序下载到控制器并进行参数调整便进行防摇控制，经过多次调试，从众多调试结果中筛选出如下角度最小，时间较短的实验结果trace效果图如图6所示。
从图6中可以得到如下数据：
目标位置(毫米) 最大摆角(度) 运行时间(秒) 位置误差(毫米)
40 -1.5 2.7 1.3
此结果较好的完成了控制要求：实现准确停车，运动过程中摆角得累积和最小等控制要求。
本发明对集装箱起重设备中的小车自动运行及负载防摇问题进行研究，首先通过拉格朗日方程建立小车负载系统的动态模型，得出小车与负载摆动的运动规律，在此基础上，实际开发搭建防摇控制模型，做到了定位准确和运动过程中摆角得累积和最小且时间短，成功将该模型应用在岸桥和轮胎吊设备中，具有良好的经济和社会效益。

Claims (2)

1.一种基于最优开环控制及LQR的防摇模型建立方法，其特征在于，包括以下步骤：
建立平面直角坐标系，提取系统输入、输出状态变量，并建立其动力学关系，已知小车M当前位移为x，摆锤m摆角为θ，摆长为l，根据坐标定义可得：
Figure FDA0003154442060000011
其中：x为当前位移，θ为摆锤m摆角，l为摆长；
对式(4.1)求导，可得小车M与摆锤m在x，y方向上的速度分量
Figure FDA0003154442060000012
其中：x为当前位移，θ为摆锤m摆角，l为摆长；
摆锤势能为
U＝-mglcosθ (4.3)
其中：mg为吊车重量，θ为摆锤m摆角，l为摆长；
摆锤动能为
Figure FDA0003154442060000013
其中：M为小车质量，mg为吊车重量，θ为摆锤m摆角，l为摆长；
根据拉格朗日方程得到拉格朗日算子L＝T-U，经整理得：
Figure FDA0003154442060000014
由拉格朗日方程
Figure FDA0003154442060000015
计算可得
Figure FDA0003154442060000021
实际情况下，摆锤摆角变化较小，故对此模型进行线性化，cosθ＝0，sinθ＝θ，同时对相应的关系式进行转化
Figure FDA0003154442060000022
则式(4.7)可简化为
Figure FDA0003154442060000023
选取状态变量，x表示位移，θ表示角度；
Figure FDA0003154442060000024
求解状态方程，可得
Figure FDA0003154442060000025
建立状态空间
Figure FDA0003154442060000026
则
Figure FDA0003154442060000027
Figure FDA0003154442060000028
其中
Figure FDA0003154442060000031
式(4.13)、(4.14)、(4.15)所得状态空间描述为实际防摇的状态空间模型，但实际中的输入并非外力F，可控的仅为小车的速度
Figure FDA0003154442060000032
故重新选取输入变量，建立状态空间描述，选取输入变量
Figure FDA0003154442060000033
建立状态空间
Figure FDA0003154442060000034
可得
Figure FDA0003154442060000035
Figure FDA0003154442060000036
其中
Figure FDA0003154442060000037
代入参数，重力加速度g＝9.8m/s2，摆长l＝0.1m，得
Figure FDA0003154442060000038
根据控制要求，发现这是一个关于起端时刻，位置固定，终端位置固定以及终端时间自由的泛函取极值问题，
t0,x(t0)固定，x(tf)固定，tf自由
设x(t)∈Rn是具有连续一节倒数的n维向量函数，
Figure FDA0003154442060000039
为关于x(t)和
Figure FDA00031544420600000310
的标量函数，且相对于其所有的自变量具有连续的一阶和二阶偏导数，已知t0,x(t0)＝x0固定，x(tf)固定，tf自由，求使得泛函
Figure FDA0003154442060000041
达到极值的最优路线x*(t)；
此时，由于x(tf)固定，tf自由，故δxf＝0，δtf任意，因此横截条件可简化为
Figure FDA0003154442060000042
将本发明模型代入：
设初始时刻t0＝0，位置x(t0)＝0，现假设终端时刻tf自由，位置x(tf)＝a，v(tf)＝0，且偏转角θ满足条件
Figure FDA0003154442060000043
因为想要达到的效果是在时间最短的同时，过程中角度的累计最小因此可以得到以下最优控制条件，求达到极值时的v(t)与tf；
设v(t)为二次多项式的情形，即v(t)＝-ct(t-tf)能够保证速度在t＝0和tf＝0时均为0，其中c为待定系数，
又由
Figure FDA0003154442060000044
解得
Figure FDA0003154442060000045
则
Figure FDA0003154442060000046
由
Figure FDA0003154442060000047
及(4.21)
先求齐次通解
Figure FDA0003154442060000048
得
Figure FDA0003154442060000049
再求非齐次特解
Figure FDA00031544420600000410
得
Figure FDA00031544420600000411
因此
Figure FDA00031544420600000412
的通解为
Figure FDA00031544420600000413
由起始条件得：
Figure FDA0003154442060000051
再由终端条件θ(tf)＝0知：
Figure FDA0003154442060000052
满足以上条件：
Figure FDA0003154442060000053
通过
Figure FDA0003154442060000054
求J极值，使用MATLAB软件求得相应的极值，并将值代入(4.23)式，根据速度假设形式，猜想同样满足条件的高阶的表达式可能会影响控制效果，故在此对二阶，三阶，四阶等高阶的速度公式分别进行计算和调试，结果显示四阶的速度公式效果最佳，表达式如下：
Figure FDA0003154442060000055
其中，tf表示到达终端时间；t表示时间。
2.权利要求1所述的基于最优开环控制及LQR的防摇模型建立方法，其特征在于，包括以下步骤：
LQR即线性二次型调节器，其对象是现代控制理论中以状态空间形式给出的线性系统，而目标函数为对象状态和控制输入的二次型函数，LQR最优设计是指：设计出的状态反馈控制器K要使二次型目标函数J取最小值，而K由权矩阵Q与R唯一确定，故此Q、R的选择尤为重要，Matlab的应用为LQR理论仿真提供了条件，为实现稳、准、快的控制目标提供了方便，二次型最优控制方法的优点是能够提供一套系统的方法，来计算状态反馈控制增益矩阵，LQR控制器以最优控制计算得到的为参考量，求得控制变量1，使得角度始终处于可控范围内，首先判断系统的可控性，由上述系统可得
rank[B AB A2B A3B]＝4 (4.31)
可知系统完全能控，利用MATLAB求解离散时间线性二次型调节器问题，以及相关的Recatti方程，通过该命令可计算出最优反馈增益矩阵K，使反馈控制
u＝-Kx (4.32)
其中，u表示被控量；X表示控制量；
在约束方程：
Figure RE-FDA0003293615420000061
的条件下能使下列性能指标达到极小值：
Figure RE-FDA0003293615420000062
利用MATLAB求解Recatti方程：
>>A＝[0 1 0 0；0 0 0 0；0 0 0 1；0 0-98 0]
Figure RE-FDA0003293615420000063
>>B＝[0；1；0；-10]
Figure RE-FDA0003293615420000064
>>Q＝diag([1 1 1 0])
Figure RE-FDA0003293615420000065
>>R＝1
R＝1
>>[P,E,K RR]＝care(A,B,Q,R,zeros(size(B)),eye(size(A)))
Figure RE-FDA0003293615420000066
Figure RE-FDA0003293615420000071
K＝(1.0000 1.7451 -0.2226 -0.0985)
RR＝2.2533e-15
提取K值，分析得：
VelocityLQR＝x1+1.7451x2-0.2226x3-0.0985x4 (4.35)
其中，x1表示位移，x2表示位移的倒数，x3表示角度，x4表示角度的倒数。
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