CN113408086B - 空心电抗器自感值的解析计算方法 - Google Patents

空心电抗器自感值的解析计算方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种空心电抗器自感值的解析计算方法，如何开发一种空心螺线管的初等函数表示公式，解决变电站相应磁场的计算问题；本专利另辟蹊径，通过巧妙的积分变换，绕开直接的磁密分析，获得矢量磁位的解析式，进而获得矢量空心电抗器自感值的解析计算方法，以替代有限元数值解法，本发明提供空心电抗器尺寸参数、绕组参数与电感数值之间的确定方法，从而节省计算时间及计算资源。

Description

空心电抗器自感值的解析计算方法
技术领域
本发明涉及一种空心电抗器，特别涉及一种空心电抗器自感值的解析计算方法。
背景技术
从电气模型上看，空心螺线管可以看成是有限轴长的通电螺线管，通电螺线管的磁场，为中心轴线对称磁场，运用毕奥-萨伐尔定律对其进行解析分析，会获得椭圆积分，但其无法用初等函数表示，故长期以来空心螺线管的磁场分布，以及参数计算无法用初等函数表示，致使空心电抗器的自感计算值只能通过有限元法数值计算实现，存在费时费力的问题，特别是在变电站内电气设计时，如何开发一种空心螺线管的初等函数表示公式，以方便设计人员较快地计算出磁场强度，成为现场需要解决的一个问题。
发明内容
本发明提供了一种空心电抗器自感值的解析计算方法，如何开发一种空心螺线管的初等函数表示公式，解决变电站相应磁场的计算问题。
本发明是通过以下技术方案解决以上技术问题的：
本发明的总体构思是：本专利另辟蹊径，通过巧妙的积分变换，绕开直接的磁密分析，获得矢量磁位的解析式，进而获得矢量空心电抗器自感值的解析计算方法，以替代有限元数值解法，本发明提供空心电抗器尺寸参数、绕组参数与电感数值之间的确定方法，从而节省计算时间及计算资源。
置放在单一介质中的导电物体所生成的矢量磁位可由下式计算式(1)：
Figure GDA0004070935820000021
考虑一个放置于空气中半径为r的导电圆桶产生的磁场，简便起见，忽略其径向厚度，则根据上式可得到电流微元产生的矢量磁位微元为计算式(2)：
Figure GDA0004070935820000022
容易知其生成的矢量磁位在整个空间中的方向都是与圆环同心的环形切向方向，由于其中心对称性，可知任意一个经过圆环圆心的平面上的磁场分布都是相同的，因此取其中一个平面，在其内建立rz坐标系，该平面内的矢量磁位全为法向方向，考虑导电圆筒的任意一个垂直于中心轴的截面上的任意一电流微元在任意一点P所生成的矢量磁位微元，如图1所示，图中P`点是P点在截面上的投影，易知，整个电流圆周在P点所生成的矢量磁位的径向分量之和为零，故而只考虑切向分量，图1所示的电流微元在P点所生成的矢量磁位微元的切向分量可由以下计算式(3)：
Figure GDA0004070935820000023
其中
Figure GDA0004070935820000024
的物理意义如图1所示，由图1及余弦定理可知以下计算式(4)：
Figure GDA0004070935820000031
可知矢量磁位的计算式(5)为：
Figure GDA0004070935820000032
该式子同样无法获得解析结果，然而，巧妙地将被积分量
Figure GDA0004070935820000033
换为被积分量θ，可以获得解析结果；由图2可见，在直角三角形EDE'中，有以下计算式(6)：
ED|＝RsinΔθ(6)；
图2将被积分量
Figure GDA0004070935820000034
换为被积分量θ，得到以下计算式(7)：
E'D|＝|PE'|-|PD|＝R+ΔR-RcosΔθ＝ΔR+R(1-cosΔθ)(7)；
所以得到计算式(8)：
Figure GDA0004070935820000035
从而得到计算式(9)：
Figure GDA0004070935820000036
当Δθ→0时，由于
Figure GDA0004070935820000037
是Δθ2的高阶无穷小，而
Figure GDA0004070935820000038
是Δθ2的同阶无穷小，因此计算式(9)变为以下计算式(10)：
Figure GDA0004070935820000041
将计算式(10)代入计算式(3)，同时结合计算式(4)，可得计算式(11)：
Figure GDA0004070935820000042
对于计算式(11)，分别对θ和l进行积分，经过复杂的积分运算，可得计算式(12)：
Figure GDA0004070935820000043
式中：
Figure GDA0004070935820000044
Figure GDA0004070935820000045
Figure GDA0004070935820000046
Figure GDA0004070935820000047
Figure GDA0004070935820000048
Figure GDA0004070935820000049
Figure GDA0004070935820000051
Figure GDA0004070935820000052
Figure GDA0004070935820000053
Figure GDA0004070935820000054
Figure GDA0004070935820000055
Figure GDA0004070935820000056
Figure GDA0004070935820000057
Figure GDA0004070935820000058
Figure GDA0004070935820000059
Figure GDA00040709358200000510
Figure GDA00040709358200000511
Figure GDA00040709358200000512
Figure GDA00040709358200000513
c0i＝εr2；
c1i＝4r2；
Figure GDA00040709358200000514
Figure GDA0004070935820000061
Figure GDA0004070935820000062
Figure GDA0004070935820000063
由于矢量磁位为切向方向，且任意同心环上各点的矢量磁位模值相等，运用斯托克斯定理可将磁通的双重积分计算转化为简单的乘积计算，大幅简化了计算难度。根据式(12)，运用斯托克斯定律，电抗器中某一匝线圈所交链的磁通为计算式(13)：
Figure GDA0004070935820000064
其中li为该匝线圈所在位置的纵坐标，则可以计算电抗器的电感值为计算式(14)：
Figure GDA0004070935820000065
上述为本发明的原理。本发明所提供的具体技术方案如下：
采用如下计步骤计算空心电抗器的自感参数：
l为空心电抗器的轴向长度，r是空心电抗器线圈中心线的半径，如图1所示。由下述公式计算Ai：
Figure GDA0004070935820000066
式中：
Figure GDA0004070935820000071
Figure GDA0004070935820000072
Figure GDA0004070935820000073
Figure GDA0004070935820000074
Figure GDA0004070935820000075
Figure GDA0004070935820000076
Figure GDA0004070935820000077
Figure GDA0004070935820000078
Figure GDA0004070935820000079
Figure GDA00040709358200000710
Figure GDA00040709358200000711
Figure GDA00040709358200000712
Figure GDA00040709358200000713
Figure GDA0004070935820000081
Figure GDA0004070935820000082
Figure GDA0004070935820000083
Figure GDA0004070935820000084
Figure GDA0004070935820000085
c0i＝εr2；
c1i＝4r2；
Figure GDA0004070935820000086
Figure GDA0004070935820000087
Figure GDA0004070935820000088
Figure GDA0004070935820000089
ε取0.005～0.01；sinh是双曲正弦函数，arsinh是反双曲正弦函数；分别取i＝1、2、3、4.......N-1、N，然后按照步骤(1)中的公式，分别计算A1、A2、A3、A4....AN-1、AN，其中N是空心电抗器的匝数；按照下列公式计算空心电抗器的自感L：
Figure GDA00040709358200000810
上述公式均采用国际单位制。
根据空心螺线管的尺寸参数、绕组参数，通过解析表达式确定空心螺线管电感参数。本发明具有节省计算时间及计算资源的优点。
附图说明
图1是电圆筒的任意一个垂直于中心轴的截面上的任意一电流微元在任意一点P所生成的矢量磁位微元；
图2是本发明的整个电流圆周在P点所生成的矢量磁位图；
图3是本发明的空心电抗器的截面图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明进行详细说明：
对于半径为1.108m、轴向长度为2.47m、匝数为560的一个空心电抗器，采用本发明所述的计算方法计算其自感，则r＝1.108，l＝2.47，N＝560，代入本发明所述的计算步骤，计算得到自感L＝0.436H。

Claims (1)

1.一种空心电抗器自感值的解析计算方法：其特征在于：采用如下计步骤计算空心电抗器的自感参数：
(1)l为空心电抗器的轴向长度，r是空心电抗器半径，
由下述公式计算矢量磁位Ai：
Figure FDA0004070935790000011
式中：
Figure FDA0004070935790000012
Figure FDA0004070935790000013
Figure FDA0004070935790000014
Figure FDA0004070935790000015
Figure FDA0004070935790000016
Figure FDA0004070935790000017
Figure FDA0004070935790000018
Figure FDA0004070935790000021
Figure FDA0004070935790000022
Figure FDA0004070935790000023
Figure FDA0004070935790000024
Figure FDA0004070935790000025
Figure FDA0004070935790000026
Figure FDA0004070935790000027
Figure FDA0004070935790000028
Figure FDA0004070935790000029
Figure FDA00040709357900000210
Figure FDA00040709357900000211
c0i＝εr2；
c1i＝4r2；
Figure FDA00040709357900000212
Figure FDA00040709357900000213
Figure FDA00040709357900000214
Figure FDA00040709357900000215
ε取0.005～0.01；sinh是双曲正弦函数，arsinh是反双曲正弦函数；
(2)分别取i＝1、2、3、4……N-1、N，然后按照步骤(1)中的公式，分别计算A1、A2、A3、A4…AN-1、AN,其中N是空心电抗器的匝数；
(3)按照下列公式计算空心电抗器的自感L：
Figure FDA0004070935790000031
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