CN113390635B - 一种滚珠丝杠副进给系统轴向固有频率的确定方法 - Google Patents

一种滚珠丝杠副进给系统轴向固有频率的确定方法 Download PDF

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CN113390635B CN202110626475.1A CN202110626475A CN113390635B CN 113390635 B CN113390635 B CN 113390635B CN 202110626475 A CN202110626475 A CN 202110626475A CN 113390635 B CN113390635 B CN 113390635B
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Abstract

本申请提供了一种滚珠丝杠副进给系统轴向固有频率的确定方法，方法包括：根据滚珠丝杠副进给系统的结构，利用综合集总参数法以及分布式参数法，建立滚珠丝杠副进给系统的动力学模型；对动力学模型进行变形分析和能量计算，确定滚珠丝杠副进给系统的总动能、总势能以及总耗散能，并确定滚珠丝杠副进给系统的动力学方程矩阵；对滚珠丝杠副进给系统进行受力分析，确定负载时双螺母滚珠变形的计算公式，并通过求偏导得到滚珠丝杠副进给系统双螺母的轴向刚度；求解滚珠丝杠副进给系统的动力学方程矩阵中的参数，并带入到动力学方程矩阵中，确定滚珠丝杠副进给系统进给系统轴向固有频率。本申请提供的方法精确度高，误差小。

Description

一种滚珠丝杠副进给系统轴向固有频率的确定方法
技术领域
本申请涉及滚珠丝杠副技术领域，特别涉及一种滚珠丝杠副进给系统轴向固有频率的确定方法。
背景技术
由于滚珠丝杠具有传动效率高、运行平稳、定位精度好等特点，故而被广泛应用于进给系统中。然而滚珠丝杠在进给系统中的定位精度会受到轴向固有频率的影响，尤其是当丝杠为高速状态时，对滚珠丝杠的定位影响尤为严重，因此对于轴向固有频率计算准确性的研究以及提高轴向固有频率的方法显得尤为重要。
目前针对滚珠丝杠副进给系统的动力学模型建立方法主要有集总参数法和分布式参数法，学者们也几乎都是基于这两种单独建模确定滚珠丝杠副进给系统的轴向固有频率。然而，单纯使用集总参数法和分布式参数法中的任意一种方法都存在一定问题：集总参数法在构建模型时会对结构进行简化从而损失结果的精度；分布式参数法存在模型维度过多、求解困难的问题，所以单纯仅使用其中一种方法求解出来的滚珠丝杠副进给系统的轴向固有频率与理想测得的固有频率总是有差别。
发明内容
本申请提供了一种滚珠丝杠副进给系统轴向固有频率的确定方法，可用于解决确定出来滚珠丝杠副进给系统的轴向固有频率不够精确的技术问题。
本申请提供了一种滚珠丝杠副进给系统轴向固有频率的确定方法，所述方法应用于滚珠丝杠副进给系统，所述滚珠丝杠副进给系统包括电机、联轴器、轴承、工作台、滑块导轨副、双螺母以及丝杠；
根据位置将所述丝杠分为三部分，分别为左段丝杠、中段丝杠以及右段丝杠；所述丝杠包括两个轴承；所述滑块导轨副包括导轨以及四个滑块；四个所述滑块分布在所述工作台的四个角；所述双螺母包括法兰螺母、圆螺母以及垫片，所述双螺母内部包括滚珠；所述垫片设置在所述法兰螺母以及所述圆螺母之间；
所述滚珠丝杠副进给系统在所述电机的动力下，通过所述联轴器带动所述丝杠转动，所述丝杠的两端分别通过轴承进行支撑；所述丝杠带动所述滚珠将所述动力传给所述双螺母，并带动所述双螺母和所述工作台沿着导轨方向移动，所述滑块支撑并约束所述工作台；
所述方法包括：
根据滚珠丝杠副进给系统的结构，利用综合集总参数法以及分布式参数法，建立滚珠丝杠副进给系统的动力学模型；
对所述动力学模型进行变形分析和能量计算，确定所述滚珠丝杠副进给系统的总动能、总势能以及总耗散能，并根据所述总动能、所述总势能以及所述总耗散能，利用拉格朗日第二方程，确定滚珠丝杠副进给系统的动力学方程矩阵；
对所述滚珠丝杠副进给系统进行受力分析，确定出滚珠受力变形协调方程，利用赫兹接触理论，确定负载时双螺母滚珠变形的计算公式，并通过求偏导得到滚珠丝杠副进给系统双螺母的轴向刚度；
求解所述滚珠丝杠副进给系统的动力学方程矩阵中的参数，并将所述滚珠丝杠副进给系统双螺母的轴向刚度，带入到已知参数的滚珠丝杠副进给系统的动力学方程矩阵中，确定滚珠丝杠副进给系统进给系统轴向固有频率；
其中，根据滚珠丝杠副进给系统的结构，利用综合集总参数法以及分布式参数法，建立滚珠丝杠副进给系统的动力学模型，包括：
将两个所述轴承视为弹簧阻尼系统；将双螺母中任一螺母内的所有螺母滚珠视为一个弹簧阻尼系统，以及将所述滑块导轨副在轴向上视为阻尼系统；
将所述中段丝杠与所述双螺母滚珠接触的丝杠部分视为刚体，并将所述左段丝杠以及所述右段丝杠均视为连续的弹性体；
总动能采用以下方法确定：
根据左段丝杠的动能、中段丝杠的动能以及右段丝杠的动能，确定所述丝杠总动能；
根据所述丝杠总动能，以及双螺母的动能，确定所述总动能；
其中，根据左段丝杠的动能、中段丝杠的动能以及右段丝杠的动能相加，确定所述丝杠总动能，包括：
所述左段丝杠的动能采用以下方法确定：
Figure GDA0003864695350000021
其中，
Figure GDA0003864695350000022
为所述左段丝杠的动能；
Figure GDA0003864695350000023
为左段丝杠的质量；
Figure GDA0003864695350000024
为左段丝杠的转动惯量；L1为左段丝杠的长度；V为x位置处质量单元的速度；R为x位置处质量单元的角速度；
所述中段丝杠的动能采用以下方法确定：
Figure GDA0003864695350000025
其中，
Figure GDA0003864695350000026
为所述中段丝杠的动能；
Figure GDA0003864695350000027
为中段丝杠的质量，
Figure GDA0003864695350000028
为中段丝杠的转动惯量，
Figure GDA0003864695350000029
为质量单元在x2位置处的速度；
Figure GDA00038646953500000210
为质量单元在x2位置处角速度；
所述右段丝杠的动能采用以下方法确定；
Figure GDA00038646953500000211
其中；
Figure GDA00038646953500000212
为所述右段丝杠的动能；L1为所述左段丝杠的长度；L2为中段丝杠的长度；L3为右段丝杠的长度；
Figure GDA00038646953500000213
为右段丝杠的质量；
Figure GDA00038646953500000214
为右段丝杠的转动惯量；V为在x位置处质量单元的速度；R为在x位置处质量单元的角速度；
所述丝杠总动能采用以下方法确定：
Figure GDA0003864695350000031
其中，
Figure GDA0003864695350000032
为所述左段丝杠的动能；
Figure GDA0003864695350000033
为所述中段丝杠的动能；
Figure GDA0003864695350000034
为所述右段丝杠的动能；
Figure GDA0003864695350000035
为左段丝杠的质量；
Figure GDA0003864695350000036
为左段丝杠的转动惯量；L1为所述左段丝杠的长度；
Figure GDA0003864695350000037
为中段丝杠的质量，
Figure GDA0003864695350000038
为中段丝杠的转动惯量，
Figure GDA0003864695350000039
为质量单元在x2位置处的速度；
Figure GDA00038646953500000310
为质量单元在x2位置处角速度；L2为中段丝杠的长度；L3为右段丝杠的长度；
Figure GDA00038646953500000311
为右段丝杠的质量；
所述双螺母的动能采用以下方法确定：
Figure GDA00038646953500000312
其中，E工为所述双螺母的动能；V(x4)为t时刻所述工作台上任意位置处质量单元的速度；mn为所述双螺母的质量；mw为所述工作台的质量；
所述总势能采用以下方法确定：
左段丝杠的势能采用以下方法确定：
Figure GDA00038646953500000313
其中；
Figure GDA00038646953500000314
为所述左段丝杠的势能；
Figure GDA00038646953500000315
为左段丝杠的轴向刚度；
Figure GDA00038646953500000316
为左段丝杠的扭转刚度；μ(x1)为左段丝杠左端点的位移；θ(x1)左段丝杠左端点的扭转；μ(x2)为中段丝杠中点的位移；θ(x2)为中段丝杠中点的扭转；
所述右段丝杠的势能采用以下方法确定：
Figure GDA00038646953500000317
其中，
Figure GDA00038646953500000318
为所述右段丝杠的势能；
Figure GDA00038646953500000319
为右段丝杠的轴向刚度；
Figure GDA00038646953500000320
为右段丝杠的扭转刚度；u(x3)为右段丝杠右端点的位移；θ(x3)右段丝杠右端点的扭转；u(x2)为中段丝杠中点的位移；θ(x2)为中段丝杠中点的扭转；
所述轴承的势能采用以下方法确定：
Figure GDA00038646953500000321
其中，K轴承为所述轴承的势能；k轴承为轴承的轴向刚度；u(x3)为右段丝杠右端点的位移；μ(x1)为左段丝杠左端点的位移；
所述双螺母的势能采用以下方法确定：
Figure GDA00038646953500000322
其中，K螺母为所述双螺母的势能；k螺母为双螺母的轴向刚度，
Figure GDA00038646953500000323
为丝杠传动比；u(x4)为双螺母左端点的位移；u(x2)为中段丝杠中点的位移；
所述总势能采用以下方法确定：
Figure GDA0003864695350000041
其中，
Figure GDA0003864695350000042
为所述左段丝杠的势能；
Figure GDA0003864695350000043
为所述右段丝杠的势能；K轴承为所述轴承的势能；K螺母为所述双螺母的势能；
所述左段丝杠的耗散能采用以下方法确定：
Figure GDA0003864695350000044
其中，
Figure GDA0003864695350000045
为所述左段丝杠的耗散能；
Figure GDA0003864695350000046
为左段丝杠的轴向阻尼；
Figure GDA0003864695350000047
为左段丝杠的扭转阻尼；
Figure GDA0003864695350000048
为质量单元在x2位置处的速度；
Figure GDA0003864695350000049
为质量单元在x2位置处角速度；
Figure GDA00038646953500000410
为质量单元在x1位置处的速度；
Figure GDA00038646953500000411
为质量单元在x1位置处角速度；
所述右段丝杠的耗散能采用以下方法确定：
Figure GDA00038646953500000412
其中，
Figure GDA00038646953500000413
为所述右段丝杠的耗散能；
Figure GDA00038646953500000414
为右段丝杠的轴向阻尼；
Figure GDA00038646953500000415
为右段丝杠的扭转阻尼；
Figure GDA00038646953500000416
为质量单元在x2位置处的速度；
Figure GDA00038646953500000417
为质量单元在x2位置处角速度；
Figure GDA00038646953500000418
为质量单元在x3位置处的速度；
Figure GDA00038646953500000419
为质量单元在x3位置处角速度；
所述轴承的耗散能采用以下方法确定：
Figure GDA00038646953500000420
其中，D轴承为所述轴承的耗散能；c轴承为轴承的轴向阻尼；
Figure GDA00038646953500000421
为质量单元在x3位置处的速度；
Figure GDA00038646953500000422
为质量单元在x1位置处的速度；
所述双螺母的耗散能采用以下方法确定：
Figure GDA00038646953500000423
其中，D螺母为所述双螺母的耗散能；c螺母为双螺母的轴向阻尼；
Figure GDA00038646953500000424
为丝杠传动比；
Figure GDA00038646953500000425
为所述质量单元在x4位置处的速度；
Figure GDA00038646953500000426
为所述质量单元在x2位置处的速度；
Figure GDA00038646953500000427
为所述质量单元在x2位置处角速度；
所述滑块的耗散能采用以下方法确定：
Figure GDA00038646953500000428
其中，D滑块为所述滑块的耗散能；c滑块为滑块的轴向阻尼；
Figure GDA00038646953500000429
为所述质量单元在x4位置处的速度；
所述总耗散能采用以下方法确定：
Figure GDA0003864695350000051
其中，
Figure GDA0003864695350000052
为所述左段丝杠的耗散能；
Figure GDA0003864695350000053
为所述右段丝杠的耗散能；D轴承为所述轴承的耗散能；D螺母为所述双螺母的耗散能；D滑块为所述滑块的耗散能；
所述滚珠丝杠副进给系统双螺母的轴向刚度采用以下方法确定：
Figure GDA0003864695350000054
其中，k垫片为垫片刚度；k滚珠为滚珠刚度；Fload为外载荷；k'为预设的中间量；δ为滚珠的变形量；α为滚道的接触角；β丝杠的导程角；z为螺母内的滚珠数量；
k'表达式如下：
Figure GDA0003864695350000055
其中，μ1为丝杠的泊松比；E1为丝杠的弹性模量；μ2为滚珠的泊松比；E2为滚珠的弹性模量；Ks为第一接触系数；Kn为第二接触系数；as为第三接触系数；an为第四接触系数；∑ρs为滚珠和丝杠滚道接触点的曲率半径和；∑ρn为滚珠和螺母滚道接触点的曲率半径和。
本申请提供的方法，实现更精确、更简洁地计算滚珠丝杠副进给系统轴向固有频率，利用集总参数法将滚珠丝杠副进给系统的一些组成部件按照其在系统中的作用被等效替代为弹簧阻尼系统来简化模型的一种方法，丝杠在其中被视为刚体。分布式参数法将丝杠视为一个连续的弹性体杆件，将系统的刚度、质量等表示成空间位置的函数并进行分析的一种方法。混合建模法则是先基于集总参数法将系统的轴承、滚珠、双螺母以及滑块导轨副进行弹簧阻尼系统的等效替代；然后将丝杠分段，与螺母接触配合的一段视为刚体进行简化；根据分布式参数法，将左段丝杠、右段丝杠视为连续的弹性体杆件，并可获得两部分的质量和刚度关于空间位置的函数，本申请实施例提供的方法精确度更高。
附图说明
图1为本申请实施例适用的一种滚珠丝杠副进给系统的结构示意图；
图2为本申请实施例提供的一种滚珠丝杠副进给系统轴向固有频率的确定方法所对应的流程示意图；
图3为本申请实施例提供的一种滚珠丝杠副进给系统在运转了t时间后的状态示意图；
图4为本申请实施例提供的一种左段丝杠的变形示意图；
图5为本申请实施例提供的一种垫片对滚珠丝杠副的预紧的受力示意图；
图6为本申请实施例提供的一种滚珠在受到作用力的变形示意图；
图7为本申请实施提供的一种混合建模法所得出的前四阶固有频率示意图；
图8为本申请实施例所提供的混合建模法所得出的前四阶固有频率示意图。
具体实施方式
为使本申请的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图对本申请实施方式作进一步地详细描述。
下面首先结合图1对本申请实施例适用的可能的系统架构进行介绍。
请参考图1，其示例性示出了本申请实施例适用的一种滚珠丝杠副进给系统的结构示意图。滚珠丝杠副进给系统包括：电机101、联轴器102、轴承103、工作台104、滑块导轨副105、双螺母106以及丝杠107。
根据位置将丝杠107分为三部分，分别为左段丝杠、中段丝杠以及右段丝杠。丝杠107包括两个轴承103。滑块导轨副105包括导轨以及四个滑块。四个滑块分布在工作台104的四个角。双螺母106包括法兰螺母、圆螺母以及垫片，双螺母106内部包括滚珠。垫片设置在法兰螺母以及圆螺母之间。
滚珠丝杠副进给系统在电机101的动力下，通过联轴器102带动丝杠107转动，丝杠107的两端分别通过轴承103进行支撑。丝杠107带动滚珠将动力传给双螺母106，并带动双螺母106和工作台104沿着导轨方向移动，滑块支撑并约束工作台104。滑块导轨副105主要起到约束工作台104的多余自由度以及承受外部载荷的作用。
基于图1所示的系统架构，图2示例性示出了本申请实施例提供的一种滚珠丝杠副进给系统轴向固有频率的确定方法所对应的流程示意图。如图2所示，具体包括如下步骤：
步骤S201，根据滚珠丝杠副进给系统的结构，利用综合集总参数法以及分布式参数法，建立滚珠丝杠副进给系统的动力学模型。
本申请实施例中，将两个轴承视为弹簧阻尼系统。将双螺母中任一螺母内的所有螺母滚珠视为一个弹簧阻尼系统，以及将滑块导轨副在轴向上视为阻尼系统。
将中段丝杠与双螺母滚珠接触的丝杠部分视为刚体，并将左段丝杠以及右段丝杠均视为连续的弹性体。
具体的，不改变进给系统结构的前提下，根据集总参数法将丝杠的轴承视为弹簧阻尼系统；假设相同螺母内滚珠的性能与受力都相同，然后将相同螺母内的所有滚珠视为一个弹簧阻尼系统；导轨滑块副在进给系统中主要负载工作台的径向载荷，其并不会限制工作台的轴向自由度，因此在轴向上将其视为阻尼系统。根据螺母工作台的位置将丝杠分为三部分，并将中段丝杠与滚珠接触的部分视为刚体，根据分布式参数法，将左段丝杠以及右段丝杠视为连续的弹性体。
如图3所示，为本申请实施例提供的一种滚珠丝杠副进给系统在运转了t时间后的状态示意图。图中，μ(x1,t)为左段丝杠的左端在t时刻的轴向位移，θ(x1,t)为左段丝杠的左端在t时刻的轴向扭转，μ(x2,t)为中段丝杠的中点在t时刻的轴向位移，θ(x2,t)为中段丝杠的中点在t时刻的轴向扭转，μ(x3,t)为右段丝杠的右端点在t时刻的轴向位移，θ(x3,t)为右段丝杠的右端点在t时刻的轴向扭转，μ(x4,t)为工作台左端在t时刻的轴向位移。
步骤S202，对动力学模型进行变形分析和能量计算，确定滚珠丝杠副进给系统的总动能、总势能以及总耗散能，并根据总动能、总势能以及总耗散能，利用拉格朗日第二方程，确定滚珠丝杠副进给系统的动力学方程矩阵。
在阐述步骤S202之前，首先对拉格朗日第二方程进行阐述。
拉格朗日第二方程是通过系统的能量来计算系统运动微分方程的，在解决微幅振动问题和刚体动力学问题上起到了重要作用。
拉格朗日第二方程的表达式如下：
Figure GDA0003864695350000061
公式(1)中，L指Lagrange函数，L＝E-K；Fi指第i个广义坐标的广义力；E为动能；K为势能；D为耗散能；qi为位移的广义坐标。
假设在t时刻，工作台运行到了距离左端丝杠L1长度的位置，此时，最左段丝杠的变形情况如附图4所示。图4为本申请实施例提供的一种左段丝杠的变形示意图。根据图4我们可以得知丝杠在经过变形(包括轴向变形和扭转变形)后，其上的任意一个点的速度和角速度随着离丝杠左端点的位移的不同而不同。
如图4所示，x1位置代表着丝杠左端，x2位置代表着工作台左端丝杠位置，u(x1,0)和θ(x1,0)代表在0时刻丝杠左端的位移和扭转角度，u(x1,t)和θ(x1,t)代表在t时刻丝杠左端的位移和扭转角度，u(x2,0)和θ(x2,0)代表在0时刻工作台左端位置丝杠的位移和扭转角度，u(x2,t)和θ(x2,t)代表在t时刻工作台左端丝杠位置的位移和扭转角度。根据图我们可以得到质量单元在x位置处的位移为：
Figure GDA0003864695350000071
公式(2)中，μ(x)为质量单元在x位置处的位移；μ(x1)为左段丝杠左端点的位移；μ(x2)为中段丝杠中点的位移，需要说明的是，因为中段丝杠是刚体，故而此点起到的作用跟左段丝杠的右端点相同；L1为左段丝杠的长度。
质量单元在x位置的扭转角度为：
Figure GDA0003864695350000072
公式(3)中，θ(x)为质量单元在x位置的扭转角度；θ(x1)为左段丝杠左端点的扭转角度；θ(x2)为t时刻中段丝杠中点的扭转角度，L1为左段丝杠的长度。
本申请实施例中总动能采用以下方法确定：
根据左段丝杠的动能、中段丝杠的动能以及右段丝杠的动能，确定丝杠总动能；
根据丝杠总动能，以及双螺母的动能，确定总动能。
总动能主要由丝杠动能、工作台动能组成。由于丝杠分为了三部分，故而分别计算每一部分的动能，相加即可得到丝杠的总动能。
首先给出动能计算的通用公式，如下所示：
Figure GDA0003864695350000073
公式(4)中，E表示物体的动能，m表示物体的质量，v表示物体的速度。
Figure GDA0003864695350000074
公式(5)中，E表示物体的动能，J表示物体的转动惯量，R表示物体的角速度。
首先从左段丝杠进行分析，由于变形的原因，滚珠丝杠的每一点的速度和角速度都是不一样的，因此，在计算此段丝杠的动能的时候需要将通用的公式拓展成为积分的形式，而且此段丝杠在任意x的位置处动能由两部分组成，一部分是丝杠轴向变形速度引起的，一部分是丝杠扭转变形角速度引起的。公式(4)以及公式(5)拓展为积分形式，可以确定左段丝杠的动能，具体的左段丝杠的动能采用以下方法确定：
Figure GDA0003864695350000081
公式(6)中，
Figure GDA0003864695350000082
为左段丝杠的动能；
Figure GDA0003864695350000083
为左段丝杠的质量；
Figure GDA0003864695350000084
为左段丝杠的转动惯量；L1为左段丝杠的长度；V为x位置处质量单元的速度；R为x位置处质量单元的角速度。
其中，中V和R分别由公式(2)和公式(3)两边对时间求导数得到的，其具体的公式如下：
Figure GDA0003864695350000085
Figure GDA0003864695350000086
将中段丝杠视为刚体，所以中段丝杠上任意一点的速度和扭转(由左段丝杠以及右段丝杠变形引起的)都是相同的，因此我们选择中段的中点x2位置进行计算，直接套用公式(4)和公式(5)得中段丝杠的动能为：
Figure GDA0003864695350000087
公式(9)中，
Figure GDA0003864695350000088
为所述中段丝杠的动能；
Figure GDA0003864695350000089
为中段丝杠的质量，
Figure GDA00038646953500000810
为中段丝杠的转动惯量，
Figure GDA00038646953500000811
为质量单元在x2位置处的速度；
Figure GDA00038646953500000812
为质量单元在x2位置处角速度；
丝杠右段动能的推导与左段类似，只不过是把公式(2)和公式(3)变成了如下式：
Figure GDA00038646953500000813
Figure GDA00038646953500000814
公式(10)以及公式(11)中，μ(x2)为中段丝杠中点的位移；θ(x2)为中段丝杠中点的扭转，因为中段丝杠是刚体，故而此点起到的作用跟右段丝杠的左端点相同；μ(x3)为右段丝杠右端点的位移；θ(x3)为右段丝杠右端点的扭转，x为右段丝杠上的不同位置，L3为右段丝杠的长度。
右段丝杠的动能采用以下方法确定；
Figure GDA00038646953500000815
公式(12)中；
Figure GDA00038646953500000816
为右段丝杠的动能；L1为左段丝杠的长度；L2为中段丝杠的长度；L3为右段丝杠的长度；
Figure GDA00038646953500000817
为右段丝杠的质量；
Figure GDA00038646953500000818
为右段丝杠的转动惯量；V为在x位置处质量单元的速度；R为在x位置处质量单元的角速度，其中，V和R分别由公式(10)和公式(11)两边对时间求导数得到的，具体的公式如下：
Figure GDA00038646953500000819
Figure GDA00038646953500000820
总动能采用以下方法确定：
Figure GDA0003864695350000091
公式(15)中，
Figure GDA0003864695350000092
为左段丝杠的动能；
Figure GDA0003864695350000093
为中段丝杠的动能；
Figure GDA0003864695350000094
为右段丝杠的动能；
Figure GDA0003864695350000095
为左段丝杠的质量；
Figure GDA0003864695350000096
为左段丝杠的转动惯量；L1为所述左段丝杠的长度；
Figure GDA0003864695350000097
为中段丝杠的质量，
Figure GDA0003864695350000098
为中段丝杠的转动惯量，
Figure GDA0003864695350000099
为质量单元在x2位置处的速度；
Figure GDA00038646953500000910
为质量单元在x2位置处角速度；L2为中段丝杠的长度；L3为右段丝杠的长度；
Figure GDA00038646953500000911
为右段丝杠的质量。
本申请实施例中，将双螺母与工作台视为两个固定结合的刚体，其上每一点的速度都相等，只进行水平方向的变形影响，故而动能计算中没有扭转的部分，根据公式(4)我们可以得到，双螺母的动能采用以下方法确定：
Figure GDA00038646953500000912
公式(16)中，E工为双螺母的动能；V(x4)为t时刻所述工作台上任意位置处质量单元的速度；mn为双螺母的质量；mw为所述工作台的质量。
将丝杠总动能与螺母工作台总动能相加即可得到总动能，即得到下式：
Figure GDA00038646953500000913
总势能采用以下方法确定：
根据左段丝杠的势能、右段丝杠的势能、轴承的势能以及双螺母的势能，确定所述总势能。
计算势能的通用公式为胡克定律，公式如下所示：
Figure GDA00038646953500000914
Figure GDA00038646953500000915
公式(18)以及公式(19)中，K为势能，k为轴向刚度，x为位移；kr为扭转刚度，θ(x)为扭转角度。
对于左段丝杠而言，左段丝杠的势能，既包含位移的势能，又包含扭转的势能，根据公式(18)和公式(19)，左段丝杠的势能采用以下方法确定：
Figure GDA00038646953500000916
公式(20)中；
Figure GDA00038646953500000917
为左段丝杠的势能；
Figure GDA00038646953500000918
为左段丝杠的轴向刚度；
Figure GDA00038646953500000919
为左段丝杠的扭转刚度；μ(x1)为左段丝杠左端点的位移；θ(x1)左段丝杠左端点的扭转；μ(x2)为中段丝杠中点的位移；θ(x2)为中段丝杠中点的扭转。
右段丝杠的势能采用以下方法确定：
Figure GDA0003864695350000101
公式(21)中，
Figure GDA0003864695350000102
为右段丝杠的势能；
Figure GDA0003864695350000103
为右段丝杠的轴向刚度；
Figure GDA0003864695350000104
为右段丝杠的扭转刚度；u(x3)为右段丝杠右端点的位移；θ(x3)右段丝杠右端点的扭转；u(x2)为中段丝杠中点的位移；θ(x2)为中段丝杠中点的扭转.
根据公式(18)，轴承的势能采用以下方法确定：
Figure GDA0003864695350000105
公式(22)中，K轴承为轴承的势能；k轴承为轴承的轴向刚度；u(x3)为右段丝杠右端点的位移；μ(x1)为左段丝杠左端点的位移。
根据公式(18)，双螺母的势能采用以下方法确定：
Figure GDA0003864695350000106
公式(23)中，K螺母为双螺母的势能；k螺母为双螺母的轴向刚度，
Figure GDA0003864695350000107
为丝杠传动比；u(x4)为双螺母左端点的位移；u(x2)为中段丝杠中点的位移.
总势能采用以下方法确定：
Figure GDA0003864695350000108
公式(24)中，
Figure GDA0003864695350000109
为左段丝杠的势能；
Figure GDA00038646953500001010
为右段丝杠的势能；K轴承为轴承的势能；K螺母为双螺母的势能。
本申请实施例中总耗散能采用以下方法确定：
根据左段丝杠的耗散能、右段丝杠的耗散能、轴承的耗散能、双螺母的耗散能以及滑块的耗散能，确定所述总耗散能。
耗散能的通用公式如下：
Figure GDA00038646953500001011
Figure GDA00038646953500001012
公式(25)以及公式(26)中，c为轴向阻尼，V(x)为在x处的轴向速度，cr为扭转阻尼，ω(x)为在x处的扭转角速度。
根据公式(25)以及公式(26)，左段丝杠的耗散能采用以下方法确定：
Figure GDA00038646953500001013
公式(27)中，
Figure GDA00038646953500001014
为左段丝杠的耗散能；
Figure GDA00038646953500001015
为左段丝杠的轴向阻尼；
Figure GDA00038646953500001016
为左段丝杠的扭转阻尼；
Figure GDA00038646953500001017
为质量单元在x2位置处的速度；
Figure GDA00038646953500001018
为质量单元在x2位置处角速度；
Figure GDA00038646953500001019
为质量单元在x1位置处的速度；
Figure GDA0003864695350000111
为质量单元在x1位置处角速度。
右段丝杠的耗散能采用以下方法确定：
Figure GDA0003864695350000112
公式(28)中，
Figure GDA0003864695350000113
为右段丝杠的耗散能；
Figure GDA0003864695350000114
为右段丝杠的轴向阻尼；
Figure GDA0003864695350000115
为右段丝杠的扭转阻尼；
Figure GDA0003864695350000116
为质量单元在x2位置处的速度；
Figure GDA0003864695350000117
为质量单元在x2位置处角速度；
Figure GDA0003864695350000118
为质量单元在x3位置处的速度；
Figure GDA0003864695350000119
为质量单元在x3位置处角速度。
轴承的耗散能采用以下方法确定：
Figure GDA00038646953500001110
公式(29)中，D轴承为轴承的耗散能；c轴承为轴承的轴向阻尼；
Figure GDA00038646953500001111
为质量单元在x3位置处的速度；
Figure GDA00038646953500001112
为质量单元在x1位置处的速度。
双螺母的耗散能采用以下方法确定：
Figure GDA00038646953500001113
公式(30)中，D螺母为双螺母的耗散能；c螺母为双螺母的轴向阻尼；
Figure GDA00038646953500001114
为丝杠传动比；
Figure GDA00038646953500001115
为质量单元在x4位置处的速度；
Figure GDA00038646953500001116
为质量单元在x2位置处的速度；
Figure GDA00038646953500001117
为质量单元在x2位置处角速度；
滑块的耗散能采用以下方法确定：
Figure GDA00038646953500001118
公式(31)中，D滑块为滑块的耗散能；c滑块为滑块的轴向阻尼；
Figure GDA00038646953500001119
为质量单元在x4位置处的速度。
总耗散能采用以下方法确定：
Figure GDA00038646953500001120
公式(32)中，
Figure GDA00038646953500001121
为左段丝杠的耗散能；
Figure GDA00038646953500001122
为右段丝杠的耗散能；D轴承为轴承的耗散能；D螺母为双螺母的耗散能；D滑块为滑块的耗散能。
将总能动、总势能以及总耗散能带入到拉格朗日第二方程中，并化简为矩形形式，得到以下公式:
Figure GDA0003864695350000121
公式(33)中，广义力Fi代表系统在广义坐标i处受到的外力，由于本文研究的进给系统处于自由振动的状态，电机也未使能，因此可认为Fi＝0。
公式(33)也可以表示为如下标准形式：
Figure GDA0003864695350000122
公式(34)中，M为滚珠丝杠副进给系统的质量矩阵；C为滚珠丝杠副进给系统的阻尼矩阵；K为滚珠丝杠副进给系统的刚度矩阵；由于系统阻尼对固有频率值的影响很小，因此假定试验台为无阻尼试验台，可得到简化的无阻尼动力学方程为：
Figure GDA0003864695350000123
公式(35)的特征方程为：
|[K]-ω2*[M]|＝0 公式(36)
求出特征方程后，理论上对公式(36)求解后能得到7阶ω值，并公式(37)可以转换为7阶固有频率。
Figure GDA0003864695350000124
步骤S203，对滚珠丝杠副进给系统进行受力分析，确定出滚珠受力变形协调方程，利用赫兹接触理论，确定负载时双螺母滚珠变形的计算公式，并通过求偏导得到滚珠丝杠副进给系统双螺母的轴向刚度。
在前述动力学方程中，即公式(36)，K矩阵存在一些未知参数(例如kL1，k螺母等)，这些量可以通过现有理论进行求解，因此本申请实施仅针对双螺母滚珠丝杠副的结构特点来推导螺母轴向接触刚度计算公式，其余内容不再做详细阐述。本申请实施例中，特别考虑了垫片形变以及滚珠丝杠幅轴向刚度，使得计算更为准确。
滚珠丝杠副进给系统的刚度矩阵主要由丝杠刚度、双螺母刚度、轴承刚度组成，其中双螺母、轴承的接触刚度可通过Hertz理论进行计算。Hertz接触理论适用于解决两弹性体接触的应力应变问题，其公式如下:
Figure GDA0003864695350000131
公式(38)中，δ是弹性体的受力变形；K为Hertz接触系数之一；a为Hertz接触系数之二；E为两接触材料的弹性模量，此处视丝杠和螺母的弹性模量相等，都为E1，滚珠的弹性模量为E2；μ为两种接触材料的泊松比，此处视丝杠和螺母的泊松比相等，都为μ1，滚珠的泊松比为μ2；∑ρ为两弹性体在接触位置的曲率之和；Q为两弹性体接触点的法向力。
如图5所示，为本申请实施例提供的一种垫片对滚珠丝杠副的预紧的受力示意图。其中，5(a)为受力分析图，5(b)为等效受力分析图。
需要说明的是，双螺母包括法兰螺母即左螺母，以及圆螺母即右螺母。
在未承受轴向载荷的情况下，左螺母滚珠、右螺母滚珠和垫片的变形如附图5(b)上侧所示，当施加一个轴向载荷Fload后，左螺母滚珠、右螺母滚珠和垫片的变形如附图5(b)下侧所示，通过图5的受力以及变形关系，我们可以分析并得到以下关系：
Figure GDA0003864695350000132
公式(39)中，Δδ1为当承受外部载荷时，法兰螺母滚珠减小的变形量；Δδ2为在承受外部载荷时，垫片增加的变形量；Δδ3为在承受外部载荷时，圆螺母滚珠增加的变形量；F1为使法兰螺母滚珠变形量减小的力；F2为使垫片和圆螺母滚珠变形量增加的力；其中F1+F2＝Fload，Fload为外载荷；k垫片为垫片刚度；k滚珠为滚珠刚度。
通过公式(39)可求出负载后左螺母受力的变化量F1：
F1＝Fload(k垫片+k滚珠)/(2k垫片+k滚珠) 公式(40)
公式(40)中，F1为负载后左螺母受力的变化量；Fload为外载荷；k垫片为垫片刚度；k滚珠为滚珠刚度。
假设螺母的受力由承载滚珠均匀承担，即单颗滚珠对螺母的作用力均为FN，则负载的关系式如下(根据力的平衡条件列式)：
Figure GDA0003864695350000133
公式(41)中，α为滚道的接触角；β为丝杠的导程角；z为螺母内的滚珠数量；Fload为外载荷；k垫片为垫片刚度；k滚珠为滚珠刚度。
如图6所示，为本申请实施例提供的一种滚珠在受到作用力的变形示意图。以法兰螺母(左螺母)为主螺母进行分析，将螺母与丝杠视为刚体，螺母内滚珠变形主要有两部分，其一是滚珠与丝杠滚道接触的变形，其二是滚珠与螺母滚道接触的变形。
受到的作用力带入到公式(38)中，得到滚珠的变形量为：
Figure GDA0003864695350000134
公式(42)中，δ为滚珠的变形量；δs为为滚珠与丝杠的接触变形；δn为滚珠与螺母的接触变形；Ks为第一接触系数；Kn为第二接触系数；as为第三接触系数；an为第四接触系数；∑ρs为滚珠和丝杠滚道接触点的曲率半径和；∑ρn为螺母滚道接触点的曲率半径和。
其中，∑ρs以及∑ρn采用以下方法确定：
Figure GDA0003864695350000141
公式(43)中，∑ρs为滚珠和丝杠滚道接触点的曲率半径和；∑ρn为螺母滚道接触点的曲率半径和；Dw为滚珠直径，frs为滚珠与丝杠滚道的半径比；frn为滚珠与螺母滚道的半径比；Dpw为丝杠的节圆直径；α为滚道的接触角；β丝杠的导程角。
令：
Figure GDA0003864695350000142
将公式(44)带入到公式(42)中后得到：
δ＝k'*FN 2/3公式(45)
将公式(41)带到公式(45)中可得：
Figure GDA0003864695350000143
公式(46)中，δ为滚珠的变形量；k'为预设的中间量，根据公式(44)确定；Fa为滚珠丝杠副预紧力；k垫片为垫片刚度；k滚珠为滚珠刚度；z为同一螺母内的滚珠数量；α为滚道的接触角；β丝杠的导程角。
基于力对变形求偏导即为刚度的前提，把施加的负荷对变形求导，即将公式(46)两边求偏导即可得到公式如下：
Figure GDA0003864695350000144
因为力的方向与左螺母变形方向是相反的，故而公式(47)求得的刚度需要添加一个负号转化，然后进行一定的角度变换成为轴向刚度，公式如下：
Figure GDA0003864695350000145
公式(48)中，k垫片为垫片刚度；k滚珠为滚珠刚度；Fload为外载荷；k'为预设的中间量；δ为滚珠的变形量；α为滚道的接触角；β丝杠的导程角；z为螺母内的滚珠数量；
k'表达式如下：
Figure GDA0003864695350000146
其中，μ1为丝杠的泊松比；E1为丝杠的弹性模量；μ2为滚珠的泊松比；E2为滚珠的弹性模量；Ks为第一接触系数；Kn为第二接触系数；as为第三接触系数；an为第四接触系数；∑ρs为滚珠和丝杠滚道接触点的曲率半径和；∑ρn为滚珠和螺母滚道接触点的曲率半径和。
步骤S204，求解滚珠丝杠副进给系统的动力学方程矩阵中的参数，并将滚珠丝杠副进给系统双螺母的轴向刚度，带入到已知参数的滚珠丝杠副进给系统的动力学方程矩阵中，确定滚珠丝杠副进给系统进给系统轴向固有频率。
具体的，将求得的螺母轴向刚度以及其他动力学参数代入构建的动力学方程矩阵中，即可求得滚珠丝杠副进给系统轴向固有频率。
下面通过一个实施例对本申请提供的方法进行阐述。
试验丝杠为山东博特GD4010系列丝杠，轴承选用NSK产的WBK30DFD。试验时所采用的测试设备有力锤、加速度传感器、拉力机以及Prosig数据采集系统。本文采用锤击法来获取进给系统的固有频率，对应该实验台的部分结构参数值列于表1。
表1：滚珠丝杠副进给系统轴试验参数值
Figure GDA0003864695350000151
为更加合理的对模型准确性进行验证，本试验将工作台的位置和双螺母的预紧力视为变量，研究两变量在不同值时试验测量得到的轴向固有频率与理论计算值的差异。双螺母的预紧力通过测量螺母副在运转时的摩擦力矩来对预紧力进行间接测量。本试验对双螺母滚珠丝杠进给试验台进行了长时间的负载跑和试验，期间选取五个时间点测量螺母副的摩擦力矩，并测量工作台在不同位置下的锤击响应信号。由于进给系统试验台是一个连续体，所以理论上其具有无穷多阶固有频率，然而考虑到激发难度的问题，本试验仅研究低阶且具有较大能量的前四阶固有频率。同时为证明混合建模法建模的优越性，本试验分别建立了双螺母滚珠丝杠副进给系统的集总参数模型、分布式参数模型，对不同建模方法的计算结果进行了对比。
当双螺母预紧力为6497N时，测量进给系统处于不同位置时的双螺母进给系统频响函数幅值相位谱和对应的前四阶固有频率值，结果表2所示。表2包含了实验真实值、分布式参数法、集总参数法以及本发明的混合建模法在三个位置所求的固有频率，并进行了相对误差计算。
表2：丝杠预紧力6497N时，不同工作台位置下不同建模方法的理论固有频率与实际固有频率的对比
Figure GDA0003864695350000152
Figure GDA0003864695350000161
从表2可以看出，当预紧力一定而工作台位置变化时，采用混合建模法预测前四阶轴向固有频率的相对误差波动小于采用分布式参数法或集总参数法，且采用分布式参数法时的最大预测误差会在第二阶达到21.75％，采用集总参数法时会在第四阶达到36.74％，而采用本发明提出的混合建模法，各阶频率的最大预测误差均在9.53％以内。
图7为本申请实施提供的一种混合建模法所得出的前四阶固有频率示意图，图7(a)为工作台距离为530mm时测出的结果，图7(b)为工作台距离为785mm时测出的结果，图7(c)为工作台距离为980mm时测出的结果。
再将工作台设于行程中间位置，此时工作台距左轴承座的距离为785mm，测量进给系统在不同预紧力下的频响函数幅值相位谱和对应的前四阶固有频率值如表3所示。表3包含了实验真实值、分布式参数法、集总参数法以及本发明的混合建模法在五个不同的预紧力下所求的固有频率，并进行了相对误差计算。
表3：工作台位置785mm时，不同预紧力下不同建模方法的固有频率与实际固有频率的对比
Figure GDA0003864695350000162
Figure GDA0003864695350000171
从表3可以看出，当工作台位置一定而预紧力变化时，采用分布式参数法仅在预测第一阶和第四阶轴向固有频率时的误差较低，在第二阶会出现较大误差21.75％；采用集总参数法对前四阶轴向固有频率的预测表现虽然较好，但预测误差最大仍达到了7.28％；而采用混合建模法不仅能够较好的预测各阶轴向固有频率，且其最大误差仅在5.58％。除此之外还可以看出，进给试验台的四阶轴向固有频率都会随着预紧力的下降而下降，其中第四阶轴向固有频率的变化幅度最大，试验与理论计算都证明了这一点。
其中，图8为本申请实施例所提供的混合建模法所得出的前四阶固有频率示意图，图8(a)为预紧力为6497N时采用本发明的混合建模法测出的前四阶固有频率，图8(b)为预紧力为6021N时采用本发明的混合建模法测出的前四阶固有频率，图8(c)为预紧力为5494N时采用本发明的混合建模法测出的前四阶固有频率，图8(d)为预紧力为5167N时采用本发明的混合建模法测出的前四阶固有频率，图8(e)为预紧力为4984N时采用本发明的混合建模法测出的前四阶固有频率。
本申请提供的方法，实现更精确、更简洁地计算滚珠丝杠副进给系统轴向固有频率，利用集总参数法将滚珠丝杠副进给系统的一些组成部件按照其在系统中的作用被等效替代为弹簧阻尼系统来简化模型的一种方法，丝杠在其中被视为刚体。分布式参数法将丝杠视为一个连续的弹性体杆件，将系统的刚度、质量等表示成空间位置的函数并进行分析的一种方法。混合建模法则是先基于集总参数法将系统的轴承、滚珠、双螺母以及滑块导轨副进行弹簧阻尼系统的等效替代；然后将丝杠分段，与螺母接触配合的一段视为刚体进行简化；根据分布式参数法，将左段丝杠、右段丝杠视为连续的弹性体杆件，并可获得两部分的质量和刚度关于空间位置的函数，本申请实施例提供的方法精确度更高。
本领域的技术人员可以清楚地了解到本申请实施例中的技术可借助软件加必需的通用硬件平台的方式来实现。基于这样的理解，本申请实施例中的技术方案本质上或者说对现有技术做出贡献的部分可以以软件产品的形式体现出来，该计算机软件产品可以存储在存储介质中，如ROM/RAM、磁碟、光盘等，包括若干指令用以使得一台计算机设备(可以是个人计算机，服务器，或者网络设备等)执行本申请各个实施例或者实施例的某些部分所述的方法。
本说明书中各个实施例之间相同相似的部分互相参见即可。尤其，对于服务构建装置和服务加载装置实施例而言，由于其基本相似于方法实施例，所以描述的比较简单，相关之处参见方法实施例中的说明即可。
以上所述的本申请实施方式并不构成对本申请保护范围的限定。

Claims (1)

1.一种滚珠丝杠副进给系统轴向固有频率的确定方法，其特征在于，所述方法应用于滚珠丝杠副进给系统，所述滚珠丝杠副进给系统包括电机、联轴器、轴承、工作台、滑块导轨副、双螺母以及丝杠；
根据位置将所述丝杠分为三部分，分别为左段丝杠、中段丝杠以及右段丝杠；所述丝杠包括两个轴承；所述滑块导轨副包括导轨以及四个滑块；四个所述滑块分布在所述工作台的四个角；所述双螺母包括法兰螺母、圆螺母以及垫片，所述双螺母内部包括滚珠；所述垫片设置在所述法兰螺母以及所述圆螺母之间；
所述滚珠丝杠副进给系统在所述电机的动力下，通过所述联轴器带动所述丝杠转动，所述丝杠的两端分别通过轴承进行支撑；所述丝杠带动所述滚珠将所述动力传给所述双螺母，并带动所述双螺母和所述工作台沿着导轨方向移动，所述滑块支撑并约束所述工作台；
所述方法包括：
根据滚珠丝杠副进给系统的结构，利用综合集总参数法以及分布式参数法，建立滚珠丝杠副进给系统的动力学模型；
对所述动力学模型进行变形分析和能量计算，确定所述滚珠丝杠副进给系统的总动能、总势能以及总耗散能，并根据所述总动能、所述总势能以及所述总耗散能，利用拉格朗日第二方程，确定滚珠丝杠副进给系统的动力学方程矩阵；
对所述滚珠丝杠副进给系统进行受力分析，确定出滚珠受力变形协调方程，利用赫兹接触理论，确定负载时双螺母滚珠变形的计算公式，并通过求偏导得到滚珠丝杠副进给系统双螺母的轴向刚度；
求解所述滚珠丝杠副进给系统的动力学方程矩阵中的参数，并将所述滚珠丝杠副进给系统双螺母的轴向刚度，带入到已知参数的滚珠丝杠副进给系统的动力学方程矩阵中，确定滚珠丝杠副进给系统进给系统轴向固有频率；
其中，根据滚珠丝杠副进给系统的结构，利用综合集总参数法以及分布式参数法，建立滚珠丝杠副进给系统的动力学模型，包括：
将两个所述轴承视为弹簧阻尼系统；将双螺母中任一螺母内的所有螺母滚珠视为一个弹簧阻尼系统，以及将所述滑块导轨副在轴向上视为阻尼系统；
将所述中段丝杠与所述双螺母滚珠接触的丝杠部分视为刚体，并将所述左段丝杠以及所述右段丝杠均视为连续的弹性体；
总动能采用以下方法确定：
根据左段丝杠的动能、中段丝杠的动能以及右段丝杠的动能，确定所述丝杠总动能；
根据所述丝杠总动能，以及双螺母的动能，确定所述总动能；
其中，根据左段丝杠的动能、中段丝杠的动能以及右段丝杠的动能相加，确定所述丝杠总动能，包括：
所述左段丝杠的动能采用以下方法确定：
Figure FDA0003864695340000011
其中，
Figure FDA0003864695340000012
为所述左段丝杠的动能；
Figure FDA0003864695340000013
为左段丝杠的质量；
Figure FDA0003864695340000014
为左段丝杠的转动惯量；L1为左段丝杠的长度；V为x位置处质量单元的速度；R为x位置处质量单元的角速度；
所述中段丝杠的动能采用以下方法确定：
Figure FDA0003864695340000021
其中，
Figure FDA0003864695340000022
为所述中段丝杠的动能；
Figure FDA0003864695340000023
为中段丝杠的质量，
Figure FDA0003864695340000024
为中段丝杠的转动惯量，
Figure FDA0003864695340000025
为质量单元在x2位置处的速度；
Figure FDA0003864695340000026
为质量单元在x2位置处角速度；
所述右段丝杠的动能采用以下方法确定；
Figure FDA0003864695340000027
其中；
Figure FDA0003864695340000028
为所述右段丝杠的动能；L1为所述左段丝杠的长度；L2为中段丝杠的长度；L3为右段丝杠的长度；
Figure FDA0003864695340000029
为右段丝杠的质量；
Figure FDA00038646953400000210
为右段丝杠的转动惯量；V为在x位置处质量单元的速度；R为在x位置处质量单元的角速度；
所述丝杠总动能采用以下方法确定：
Figure FDA00038646953400000211
其中，
Figure FDA00038646953400000212
为所述左段丝杠的动能；
Figure FDA00038646953400000213
为所述中段丝杠的动能；
Figure FDA00038646953400000214
为所述右段丝杠的动能；
Figure FDA00038646953400000215
为左段丝杠的质量；
Figure FDA00038646953400000216
为左段丝杠的转动惯量；L1为所述左段丝杠的长度；
Figure FDA00038646953400000217
为中段丝杠的质量，
Figure FDA00038646953400000218
为中段丝杠的转动惯量，
Figure FDA00038646953400000219
为质量单元在x2位置处的速度；
Figure FDA00038646953400000220
为质量单元在x2位置处角速度；L2为中段丝杠的长度；L3为右段丝杠的长度；
Figure FDA00038646953400000221
为右段丝杠的质量；
所述双螺母的动能采用以下方法确定：
Figure FDA00038646953400000222
其中，E工为所述双螺母的动能；V(x4)为t时刻所述工作台上任意位置处质量单元的速度；mn为所述双螺母的质量；mw为所述工作台的质量；
所述总势能采用以下方法确定：
左段丝杠的势能采用以下方法确定：
Figure FDA00038646953400000223
其中；
Figure FDA00038646953400000224
为所述左段丝杠的势能；
Figure FDA00038646953400000225
为左段丝杠的轴向刚度；
Figure FDA00038646953400000226
为左段丝杠的扭转刚度；μ(x1)为左段丝杠左端点的位移；θ(x1)左段丝杠左端点的扭转；μ(x2)为中段丝杠中点的位移；θ(x2)为中段丝杠中点的扭转；
所述右段丝杠的势能采用以下方法确定：
Figure FDA0003864695340000031
其中，
Figure FDA0003864695340000032
为所述右段丝杠的势能；
Figure FDA0003864695340000033
为右段丝杠的轴向刚度；
Figure FDA0003864695340000034
为右段丝杠的扭转刚度；u(x3)为右段丝杠右端点的位移；θ(x3)右段丝杠右端点的扭转；u(x2)为中段丝杠中点的位移；θ(x2)为中段丝杠中点的扭转；
所述轴承的势能采用以下方法确定：
Figure FDA0003864695340000035
其中，K轴承为所述轴承的势能；k轴承为轴承的轴向刚度；u(x3)为右段丝杠右端点的位移；μ(x1)为左段丝杠左端点的位移；
所述双螺母的势能采用以下方法确定：
Figure FDA0003864695340000036
其中，K螺母为所述双螺母的势能；k螺母为双螺母的轴向刚度，
Figure FDA0003864695340000037
为丝杠传动比；u(x4)为双螺母左端点的位移；u(x2)为中段丝杠中点的位移；
所述总势能采用以下方法确定：
Figure FDA0003864695340000038
其中，
Figure FDA0003864695340000039
为所述左段丝杠的势能；
Figure FDA00038646953400000310
为所述右段丝杠的势能；K轴承为所述轴承的势能；K螺母为所述双螺母的势能；
所述左段丝杠的耗散能采用以下方法确定：
Figure FDA00038646953400000311
其中，
Figure FDA00038646953400000312
为所述左段丝杠的耗散能；
Figure FDA00038646953400000313
为左段丝杠的轴向阻尼；
Figure FDA00038646953400000314
为左段丝杠的扭转阻尼；
Figure FDA00038646953400000315
为质量单元在x2位置处的速度；
Figure FDA00038646953400000316
为质量单元在x2位置处角速度；
Figure FDA00038646953400000317
为质量单元在x1位置处的速度；
Figure FDA00038646953400000318
为质量单元在x1位置处角速度；
所述右段丝杠的耗散能采用以下方法确定：
Figure FDA00038646953400000319
其中，
Figure FDA00038646953400000320
为所述右段丝杠的耗散能；
Figure FDA00038646953400000321
为右段丝杠的轴向阻尼；
Figure FDA00038646953400000322
为右段丝杠的扭转阻尼；
Figure FDA00038646953400000323
为质量单元在x2位置处的速度；
Figure FDA00038646953400000324
为质量单元在x2位置处角速度；
Figure FDA00038646953400000325
为质量单元在x3位置处的速度；
Figure FDA00038646953400000326
为质量单元在x3位置处角速度；
所述轴承的耗散能采用以下方法确定：
Figure FDA00038646953400000327
其中，D轴承为所述轴承的耗散能；c轴承为轴承的轴向阻尼；
Figure FDA00038646953400000328
为质量单元在x3位置处的速度；
Figure FDA0003864695340000041
为质量单元在x1位置处的速度；
所述双螺母的耗散能采用以下方法确定：
Figure FDA0003864695340000042
其中，D螺母为所述双螺母的耗散能；c螺母为双螺母的轴向阻尼；
Figure FDA0003864695340000043
为丝杠传动比；
Figure FDA0003864695340000044
为所述质量单元在x4位置处的速度；
Figure FDA0003864695340000045
为所述质量单元在x2位置处的速度；
Figure FDA0003864695340000046
为所述质量单元在x2位置处角速度；
所述滑块的耗散能采用以下方法确定：
Figure FDA0003864695340000047
其中，D滑块为所述滑块的耗散能；c滑块为滑块的轴向阻尼；
Figure FDA0003864695340000048
为所述质量单元在x4位置处的速度；
所述总耗散能采用以下方法确定：
Figure FDA0003864695340000049
其中，
Figure FDA00038646953400000410
为所述左段丝杠的耗散能；
Figure FDA00038646953400000411
为所述右段丝杠的耗散能；D轴承为所述轴承的耗散能；D螺母为所述双螺母的耗散能；D滑块为所述滑块的耗散能；
所述滚珠丝杠副进给系统双螺母的轴向刚度采用以下方法确定：
Figure FDA00038646953400000412
[Fa-Fload(k垫片+k滚珠)/(2k垫片+k滚珠)]1/3
其中，k垫片为垫片刚度；k滚珠为滚珠刚度；Fload为外载荷；k'为预设的中间量；δ为滚珠的变形量；α为滚道的接触角；β丝杠的导程角；z为螺母内的滚珠数量；
k'表达式如下：
Figure FDA00038646953400000413
其中，μ1为丝杠的泊松比；E1为丝杠的弹性模量；μ2为滚珠的泊松比；E2为滚珠的弹性模量；Ks为第一接触系数；Kn为第二接触系数；as为第三接触系数；an为第四接触系数；∑ρs为滚珠和丝杠滚道接触点的曲率半径和；∑ρn为滚珠和螺母滚道接触点的曲率半径和。
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