CN113378312B - 一种斜齿轮时变啮合刚度计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种考虑基圆与齿根圆相对位置的斜齿轮时变啮合刚度计算方法，其包括以下步骤：获取实际工况下斜齿轮副初始基本参数，计算当前时刻斜齿轮副的重合度以及已旋转的角度，判断此刻参与啮合的齿轮对数，计算该时刻每个参与啮合的轮齿对上的接触线长度，并将斜齿轮离散为无数个直齿切片，判断参与啮合的直齿切片的啮合半径范围，基于啮合半径，计算直齿切片的刚度，判断齿轮齿根圆与基圆的大小及其相对位置，并考虑齿轮啮合点相对于齿根圆、基圆所在位置的关系对直齿轮能量法TVMS模型进行修正，串联计算斜齿轮副中单齿啮合刚度，进行叠加得到斜齿轮副的完整啮合刚度。本发明计算斜齿轮时变啮合刚度兼顾了效率和精度。

Description

一种斜齿轮时变啮合刚度计算方法

技术领域

本发明涉及齿轮动力学技术领域，具体的涉及一种考虑基圆与齿根圆相对位置的斜齿轮时变啮合刚度计算方法。

背景技术

斜齿轮时变啮合刚度(TimeVaryingMeshStiffness)作为齿轮啮合过程中的一个重要内部激励因素，一直以来都是齿轮动力学中的重点研究内容。此前相关研究中，TVMS大都是以傅里叶函数展开的形式(效率较高)，或者较为繁琐的有限元软件仿真方法(精度较高)得到。因此难以做到效率和精度兼顾。

因此有必要提出一种兼顾效率和精度的计算方法。

发明内容

本发明的目的在于克服上述技术不足，提供考虑基圆与齿根圆相对位置的斜齿轮时变啮合刚度计算方法，用于解决现有技术中斜齿轮时变啮合刚度计算难以做到效率和精度兼顾的问题。

为达到上述技术目的，本发明的技术方案如下：一种斜齿轮时变啮合刚度计算方法，其包括以下步骤：

S1：获取实际工况下斜齿轮副初始基本参数；

S2：根据S1中斜齿轮副的基本参数，计算当前时刻斜齿轮副的重合度以及已旋转的角度，并对比判断斜齿轮轴向重合度和端面重合度的大小；

S3：根据S优选的，S3包括：

S31：将斜齿轮沿齿宽方向离散为N个直齿切片；

S32：计算啮合线长度，通过啮合线位置计算正在啮合的直齿齿片数量以及第i片在啮齿轮的当前啮合角a_1i，i<N，并按照直齿轮的时变啮合刚度模型计算每一片正在啮合齿轮的啮合刚度。

优选的，S32中啮合轮齿对上啮合线的长度计算公式为：

t₂～t₄为已知转速条件下对应啮合阶段的时间，t为从起始点a开始计算的啮合时间；

借由以上计算过程得到当前时刻斜齿轮啮合线长度后，得到当前啮合时刻的参与啮合的齿片数量m，式中L为啮合线长度，ΔL为每一片切片齿轮的齿宽，计算得出的齿片数量向下取整：

m＝round(Lcosβ_b/ΔL)

(1)当端面重合度大于轴向重合度，即ε_a≥ε_b，

L_max＝B/cosβ_b

通过计算啮合线首尾端点的啮合角来推算啮合线上其他齿片的啮合角

1≤i≤m≤N,j＝1,2，当j＝1时，以主动轮第i个齿片啮合角的计算公式为：

(2)当端面重合度小于轴向重合度，即ε_b＞ε_a，

L_max＝ε_aP_bt/sinβ_b

通过计算啮合线首尾端点的啮合角来推算啮合线上其他齿片的啮合角

1≤i≤m≤N,j＝1,2，当j＝1时，以主动轮第i个齿片啮合角的计算公式为：

其中，B为齿宽，β_b为基圆螺旋角，t₁为当量端面直齿的啮合周期，P_bt为端面基圆齿距，n为主动齿轮转速(rpm)，z为主动齿轮齿数，r_b为主动轮基圆半径。

优选的，S4中直齿轮能量法时变刚度计算公式修正前为：

其中：F、F_a、F_b为沿啮合线方向的啮合力及径向分力、周向分力；

M为啮合力在轮齿上造成的弯矩；

Ix与Ax分别为啮合点处轮齿悬臂梁截面惯性矩及截面面积；

K_xn与U_xn分别代表一对啮合齿轮中两个齿轮的赫兹接触刚度及能量、剪切刚度及能量、轴向压缩刚度及能量、弯曲刚度及能量、轮齿基体刚度及能量，xn＝h、a1、a2、b1、b2、s1、s2、f1、f2；

E与G分别为齿轮弹性及剪切模量，L为齿宽，ν为泊松比；

a₃、a₂、a₁及a分别为轮齿齿顶啮合角、基圆齿厚半角、当前时刻啮合角以及积分式中的从-a₁到a₂的被积变量；

h、h_x、x、d分别代表啮合点与对称线的垂直距离、积分式中被积变量处与对称线的垂直距离、被积变量处与轮齿基圆交点水平方向的距离、啮合点与基圆之间径向的距离；

u_f与S_f分别为啮合点处与齿根圆在对称线上的距离以及齿根圆处齿厚。

优选的，S4中直齿轮能量法时变刚度部分计算公式修正后为：

(1)当齿根圆的半径大于基圆的半径时，即r_f＞r_b，第i片切片齿轮的

计算公式为：

(2)当齿根圆半径小于基圆半径时，即r_f＜r_b，第i片切片齿轮的

计算公式为：

若啮合点位于基圆外侧，即d₁＞k：

式中：

a'₂——基圆处齿厚半角；

α_t——端面压力角；

d₁——啮合点与齿根圆的距离：

h——啮合点与轮齿对称线的距离；

若啮合点位于基圆与齿根圆之间(0＜d₁≤k)：

d₁＝k+r_b((a₁+a'₂)sina₁+cosa₁-cosa'₂)

优选的，S5包括以下步骤：

S51：对S4中计算获得的离散直齿切片啮合刚度进行积分，得到单齿啮合刚度；

S52：对S51中的各项刚度进行串联计算单齿总啮合刚度。

优选的，S51中积分公式为：

优选的，S52中总啮合刚度计算公式为：

其中：K_xn与U_xn分别代表一对啮合齿轮中两个齿轮的赫兹接触刚度及能量、剪切刚度及能量、轴向压缩刚度及能量、弯曲刚度及能量、轮齿基体刚度及能量，xn＝h、a1、a2、b1、b2、s1、s2、f1、f2；

优选的，S6包括以下步骤：

S61：S5中获得的单齿啮合刚度依据啮合周期偏移分别得到所有啮合齿啮合刚度；

S62：将S61中获得的多片啮合齿啮合刚度进行叠加。

与现有技术相比，本发明的有益效果包括：本发明基于直齿轮能量法时变啮合刚度模型，结合切片法处理斜齿轮模型，并考虑了基圆与齿根圆相对位置变化对于模型精度的影响，在齿根圆小于基圆时，使用直线代替齿根圆弧修正刚度模型；在齿根圆大于基圆时，将齿根圆与基圆之间额外计入的能量剔除出模型以修正刚度模型，最终提出斜齿轮修正时变啮合刚度模型，该修正算法明显提高了TVMS模型精确度，验证了修正刚度模型的正确性。

附图说明

图1是本发明提供的考虑基圆与齿根圆相对位置的斜齿轮时变啮合刚度计算方法的流程示意图一；

图2是是本发明提供的考虑基圆与齿根圆相对位置的斜齿轮时变啮合刚度计算方法的流程示意图二；

图3为斜齿轮切片示意图；

图4为斜齿轮啮合线变化示意图；

图5为不同端面重合度、轴向重合度大小关系对应的啮合线变化示意图；

图6为啮合线变化函数图象；

图7为齿根圆半径大于基圆半径时的齿轮简图以及各参数图示；

图8为齿根圆半径小于基圆半径时的齿轮简图以及各参数图示；

图9为轮齿简图以及各参数图示以及各参数图示；

图10为齿轮啮合简图以及各参数图示以及各参数图示；

图11为直齿轮时变啮合刚度曲线；

图12为高速级齿对的单齿周期啮合曲线；

图13为低速级齿对的单齿周期啮合曲线；

图14为高速级完整啮合刚度曲线；

图15为低速级完整啮合刚度曲线；

图16为高速级单齿刚度最大值对比图示；

图17为高速级啮合刚度平均值对比图示；

图18为高速级单齿刚度最大值对比图示；

图19为高速级啮合刚度平均值对比图示。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

本发明提供的一种考虑基圆与齿根圆相对位置的斜齿轮时变啮合刚度计算方法，将斜齿轮在切片处理，并通过啮合线位置计算正在啮合的齿片数量以及当前啮合角，再按照直齿轮的时变啮合刚度模型计算每一片征在啮合齿轮的啮合刚度，然后对所有正在啮合的齿片啮合刚度值求和得到当前啮合刚度，如此计算得到斜齿轮单齿从进入啮合到脱离啮合完整的刚度曲线，通过其端面重合度、轴向重合度以及总重合度的关系合成斜齿轮综合时变啮合刚度，考虑齿轮啮合点相对于齿根圆、基圆所在位置的关系对计算结构进行修正。请参阅图1，其包括以下步骤：

S1：获取实际工况下斜齿轮副初始基本参数。

S2：根据S1中斜齿轮副的基本参数，计算当前时刻斜齿轮副的重合度以及已旋转的角度，并对比判断斜齿轮轴向重合度和端面重合度的大小。

表1高、低速级齿对参数

请参阅图2，步骤S3包括以下步骤：

S31：将斜齿轮沿齿宽方向离散为N个直齿切片。

直齿轮能量法啮合刚度计算模型将轮齿悬臂梁根部默认设置为基圆处，因而只考虑了啮合点到基圆之间的各项刚度数值，忽视了齿轮基圆与齿根圆相对位置变化所导致的齿根位置与基圆不重合情况。本文基于直齿轮能量法时变刚度模型，将轮齿悬臂梁根部设置为齿根圆处，将齿轮基圆与齿根圆相对位置作为修正因素考虑在内，进而提出优化的斜齿轮TVMS模型。

直齿轮在啮合过程中会因为单双齿啮合区的不同导致啮合刚度突变，而斜齿轮传动过程中这种情况大为改善，因为后者啮合过程为从一侧齿底进入啮合到另一侧齿顶脱离啮合(啮合线长度：点-短线-长线-短线-点)，这极大减缓了啮合线长度的突变情况。对于斜齿轮啮合，从端面看，其传动相当于一对直齿圆柱齿轮传动，这是切片法的基础。请参阅图3，将斜齿轮在齿宽L方向上切片处理，当轮齿切片数量N足够大，即每一份切片齿轮的齿宽ΔL都足够小，每一片切片斜齿轮的螺旋角都可以不考虑且视作直齿轮，请参阅图4，并通过啮合线位置计算正在啮合的齿片数量以及第i片(i<N)在啮齿轮的当前啮合角a_1i，再按照直齿轮的时变啮合刚度模型计算每一片征在啮合齿轮的啮合刚度，然后对所有正在啮合的齿片啮合刚度值求和得到当前啮合刚度，如此计算得到斜齿轮单齿从进入啮合到脱离啮合完整的刚度曲线，最后，通过其端面重合度、轴向重合度以及总重合度的关系合成斜齿轮综合时变啮合刚度。

S32：计算啮合线长度，通过啮合线位置计算正在啮合的直齿齿片数量以及第i片(i<N)在啮齿轮的当前啮合角a_1i，并按照直齿轮的时变啮合刚度模型计算每一片正在啮合齿轮的啮合刚度。

根据端面重合度ε_a和轴向重合度ε_b的相对大小关系，斜齿轮啮合线的变化可分为图5的两种情况，图中矩形内为有效啮合线区域。对于这两种情况，在啮合开始时斜齿轮都将经历a-b-c-d四点的啮合阶段(对应图4中a、b、c、d四点)：主动齿从一侧齿底进入啮合，即图5中a点，此后随着啮合进行啮合线增长直到b点，在b-c点之间，啮合线长度将保持不变，啮合过程越过c点直到d点之前，啮合线将会变短直至消失，即从另一侧齿顶退出啮合，完成单齿啮合过程。

对于整个单齿啮合区间，首先给出式1斜齿轮时变啮合接触线长度的计算方法；t₂～t₄为已知转速条件下图5中对应啮合阶段的时间，t为从起始点a开始计算的啮合时间，最终啮合线长度函数对应图6。

(1)端面重合度大于轴向重合度

当端面重合度大于轴向重合度(ε_a≥ε_b)，由图5可得啮合线长度最大值L_max＝B/cosβ_b，其中，B为齿宽，β_b为基圆螺旋角，t₁为当量端面直齿的啮合周期，P_bt为端面基圆齿距，t₂～t₄为图5中对应阶段的啮合时间，n为主动齿轮转速(rpm)，z为主动齿轮齿数，r_b为主动轮基圆半径。

借由以上计算过程得到当前时刻斜齿轮啮合线长度后，可通过公式(3)得到当前啮合时刻的参与啮合的齿片数量m，式中L为啮合线长度，ΔL为每一片切片齿轮的齿宽，计算得出的齿片数量向下取整。

m＝round(Lcosβ_b/ΔL) (3)

有别于直齿轮，螺旋角(图4)使得斜齿轮主被动齿轮上每一片切片齿轮的啮合角ai_j(t)(1≤i≤m≤N,j＝1,2)都彼此不相等，针对这种情况，可通过计算啮合线首尾端点的啮合角来推算啮合线上其他齿片的啮合角。

以主动轮(j＝1)第i个齿片啮合角计算为例，具体齿片的啮合角计算方法为：

(2)端面重合度小于轴向重合度

当端面重合度小于轴向重合度(ε_b＞ε_a)，对应的L_max＝ε_aP_bt/sinβ_b，其他参数含义与前述内容定义相同。

同样使用前述公式(3)可得啮合时刻参与啮合的齿片数量m，各齿片的啮合角计算方法见下式：

上述两式中，a_1t(t)斜齿轮端面直齿啮合角，对应S4中直齿轮t时刻的主动轮啮合角a₁。

S4：判断齿轮齿根圆与基圆的大小及其相对位置，并考虑齿轮啮合点相对于齿根圆、基圆所在位置的关系对直齿轮能量法TVMS模型进行修正。

能量法时变刚度实质上是一种基于材料力学的计算方法，它将轮齿视为截面为渐开线类型的悬臂梁(梁根部位于基圆处)，通过计算介于轮齿悬臂梁啮合点与基圆之间形成的赫兹接触能量U_h、剪切能量U_s、轴向压缩能量U_a、弯曲能量U_b以及轮齿基体能量U_f，并得出相对应的各项刚度，最终通过刚度串联的方式组装各项刚度数值公式(7)～(8)，得到直齿轮时变啮合刚度模型公式(9)。

/>

上式中：

F、F_a、F_b为沿啮合线方向的啮合力及径向分力、周向分力；

M为啮合力在轮齿上造成的弯矩；

Ix与Ax分别为啮合点处轮齿悬臂梁截面惯性矩及截面面积；

K_xn与U_xn分别代表一对啮合齿轮中两个齿轮的赫兹接触刚度及能量、剪切刚度及能量、轴向压缩刚度及能量、弯曲刚度及能量、轮齿基体刚度及能量，xn＝h、a1、a2、b1、b2、s1、s2、f1、f2；

E与G分别为齿轮弹性及剪切模量，L为齿宽，ν为泊松比；

a₃、a₂、a₁及a分别为轮齿齿顶啮合角、基圆齿厚半角、当前时刻啮合角以及积分式中的从-a₁到a₂的被积变量；

h、h_x、x、d分别代表啮合点与对称线的垂直距离、积分式中被积变量处与对称线的垂直距离、被积变量处与轮齿基圆交点水平方向的距离、啮合点与基圆之间径向的距离；

u_f与S_f分别为啮合点处与齿根圆在对称线上的距离以及齿根圆处齿厚，具体细节参看图9及图10。

在图10中，a_1-1、a_1-2、a_1-3、a_1-4分别对应主、从动齿轮第一对和第二对啮合轮齿的当前啮合角(前述a₁)；a_2-1、a_2-2对应主动轮及从动轮的基圆齿厚半角(前述a₂)。此外，轮齿各个能量以及刚度的具体推导过程以及其他参数定义可参照现有技术，此处不再赘述。

没有经过变位等操作的渐开线直齿轮，其重合度最大值为1.981，这就意味在啮合过程中直齿轮会重复单齿与双齿的啮合状态变化，造成啮合刚度的往复突变。图11为通过本文所述能量法求得的直齿轮TVMS模型，可以看到，在齿轮啮合过程中，对应直齿轮的单-双齿啮合区间差异明显，比较符合实际情况。

对于公式(8)，弯曲能量、剪切能量、轴向压缩能量的计算区间均为从啮合点至基圆处(图9)，然而在实际情况中，基圆与齿根圆基本不重合，这意味着需要按以下两种情况对刚度模型进行修改。

(1)齿根圆半径大于基圆半径

当齿根圆的半径大于基圆的半径时(r_f＞r_b)，轮齿悬臂的根部位于齿根圆处，实际啮合路径为从齿顶到齿根(图7)，若按公式(8)计算，则错误的将啮合终点置于基圆处，额外计算了图7中阴影区域的能量，因此，为了精确计算各项刚度，需要将基圆与齿根圆之间实际未参与啮合区域的U_b、U_a、U_s从积分公式(8)中去除，否则将导致啮合刚度偏小。

将修正弯曲、轴向压缩以及剪切刚度的计算方法修改后，第i片切片齿轮的

计算方法见公式(10)所示。所涉及的修改主要为：将各项刚度计算积分式中啮合点与基圆距离d改为啮合点与齿根圆距离d₁，对应的积分上限角a₂改为角a₄；

式中：

a₄——齿根圆压力角；

a——分度圆压力角；

a_f——齿根圆齿厚半角；

S_f——齿根圆齿厚；

D_f——齿根圆直径；

D——分度圆直径；

m_t——端面模数；

inv——渐开线函数。

(2)齿根圆半径小于基圆半径

当齿根圆半径小于基圆半径时(r_f＜r_b)：将简化后的轮齿变截面悬臂梁置于齿根圆处，若继续按照公式(8)计算啮合刚度，则错误的将轮齿悬臂梁根部置于基圆处，忽略了图8中阴影区域的各项能量。为了精确计算各项刚度，需要将基圆与齿根圆之间被忽略实际参与啮合区域的U_b、U_a、U_s加入到积分公式(8)中，否则将导致啮合刚度偏大。在对K_a、K_b、K_s的积分式进行修正时，根据实际啮合位置又可分为两种情况：

A、若啮合点位于基圆外侧(d₁＞k)：

考虑到轮齿悬臂梁的根部位于齿根圆处，因此积分式的积分范围应为从啮合点到齿根圆处。根据渐开线齿轮原理，齿轮的渐开线起始于基圆处，齿根圆与基圆之间不存在渐开线(一般使用齿根圆弧表示)，不能直接采用公式(8)计算，为了兼顾计算精度与效率，此处将齿根圆弧曲线简化为平行于轮齿对称线的长度为k的直线(图8)，修正后的刚度计算模型将包含两个部分：从啮合点处到基圆处的渐开线啮合段、基圆处到齿根圆处的直线啮合段。具体计算见公式(11)。

式中：

a'₂——基圆处齿厚半角；

α_t——端面压力角；

d₁——啮合点与齿根圆的距离，公式(12)；

h——啮合点与轮齿对称线的距离，参数的几何意义参看图8。

B、若啮合点位于基圆与齿根圆之间(0＜d₁≤k)：

当齿轮在基圆与齿根圆之间啮合时，使用直线替代了齿根圆弧，图8中阴影区域可近似为完全的矩形，因此啮合点在这一段区域移动时，k_b、k_a、k_s可视为d₁的线性函数，具体计算方法见公式(13)。

/>

其中，d₁计算方法略有变动，其他参数如上。

d₁＝k+r_b((a₁+a'₂)sina₁+cosa₁-cosa'₂)(14)

对于赫兹接触刚度与轮齿基体刚度而言，则不受基圆与齿根圆相对位置的影响，可依旧使用公式(8)计算

与/>

最终得到主/从动轮每一片啮合齿轮的

S5：根据S4中计算获得的啮合刚度串联计算斜齿轮副中单齿啮合刚度；

S51：对S4中计算获得的离散直齿切片啮合刚度进行积分，得到单齿啮合刚度；

S52：对S51中的各项刚度进行串联计算单齿总啮合刚度。

得到主/从动轮每一片啮合齿轮的各项啮合刚度后，按照公式(15)累加所有啮合齿片的各项刚度得到当前时刻主/从动齿轮总的各项刚度数值，最终使用公式(9)计算得到斜齿轮单齿啮合刚度数值。斜齿轮参数见表1，从表中1可以看到，高低速级齿轮的各项参数不相同，应用前述的刚度修正模型对二级斜齿轮减速器齿轮进行分析，得到高/低速级齿对的单齿啮合刚度曲线(图12及图13)。

S6：根据S5中计算的单齿啮合刚度进行叠加得到斜齿轮副的完整啮合刚度。

S61：S5中获得的单齿啮合刚度依据啮合周期偏移分别得到所有啮合齿啮合刚度；

S62：将S61中获得的多片啮合齿啮合刚度进行叠加。

前述内容已经详细描述了斜齿轮单齿的完整啮合过程，对于斜齿轮完整的周期啮合而言，它是由多个单齿依次啮入以及依次啮出过程而组成，啮入以及啮出的时间间隔为一个端面基节的啮合时间t1。因此，斜齿轮的完整啮合时变刚度也是由多个单齿啮合刚度经过t1时间偏移后再叠加而形成。同样以表1为例，得到减速器高、低速级斜齿轮的完整时变啮合刚度如图14与图15所示。

最后对时变啮合刚度及修正算法精度验证：

此处采用ISO6336-1-2006标准对所研究减速器的两对齿轮传动的时变啮合刚度及修正算法进行精度验证。在该标准中，分别采用下式计算斜齿轮的单齿啮合刚度最大值C'以及平均啮合刚度值C_γa。

C'＝C_thC_MC_RC_Bcosβ (16)

C_γa＝(0.75ε_a+0.25)C' (17)

式中：

C_M为理论修正系数，此处取值0.8；

C_R为轮坯结构系数，此处取值1；

C_B为基本齿廓系数，此处取值1；

ε_a为啮合齿对的端面重合度；

C_th为单对齿刚度的理论值，其值为轮齿柔度最小值q'的倒数；

Z_n1与Z_n2分别为小、大斜齿轮的当量齿数；

表2轮齿柔度计算系数

表3及图16、图17、图18以及图19为未经齿根圆与基圆相对位置修正以及采用本发明提供的方法修正后的斜齿轮时变啮合刚度与ISO6336-1-2006标准的对比，可以看到高速级TMVS的误差在6％左右；低速级TMVS误差在9％左右，这是因为本发明提供的修正方法中，用直线替代齿根圆弧会不可避免地忽略一部分能量，齿轮整体尺寸越大，被忽略的能量越多，但总的来说，高低速级斜齿轮时变啮合刚度的误差都在10％以内，并且经过修正后的刚度模型相较于原始刚度模型，在单齿啮合刚度最大值以及啮合刚度平均值这两项数值指标上，与ISO标准相对误差的精度都有了较大提升。这证明了齿根圆与基圆相对位置的影响在斜齿轮能量法时变啮合刚度模型中不可忽略，同时也证明了修正刚度模型的正确性。

表3修正及未修正啮合刚度模型对比

综上所述，本发明基于直齿轮能量法时变啮合刚度模型，结合切片法处理斜齿轮模型，并考虑了基圆与齿根圆相对位置变化对于模型精度的影响，在齿根圆小于基圆时，使用直线代替齿根圆弧修正刚度模型；在齿根圆大于基圆时，将齿根圆与基圆之间额外计入的能量剔除出模型以修正刚度模型，最终提出斜齿轮修正时变啮合刚度模型。同时，采用ISO6336-1-2006标准对本文所提出的斜齿轮及修正算法进行验证，结果表明修正算法明显提高了TVMS模型精确度，并将其与ISO标准的相对误差缩减到10％之内，验证了修正刚度模型的正确性。

以上本发明的具体实施方式，并不构成对本发明保护范围的限定。任何根据本发明的技术构思所做出的各种其他相应的改变与变形，均应包含在本发明权利要求的保护范围内。

Claims (5)

1.一种斜齿轮时变啮合刚度计算方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1：获取实际工况下斜齿轮副初始基本参数；

S2：根据S1中斜齿轮副的基本参数，计算当前时刻斜齿轮副的重合度以及已旋转的角度，并对比判断斜齿轮轴向重合度和端面重合度的大小；

S3：根据S1、S2中斜齿轮副参数、重合度及旋转角度，判断此刻参与啮合的齿轮对数，计算该时刻每个参与啮合的轮齿对上的接触线长度；并将斜齿轮离散为无数个直齿切片，判断参与啮合的直齿切片的啮合半径范围，基于啮合半径，计算直齿切片的刚度；

S4：判断齿轮齿根圆与基圆的大小及其相对位置，并考虑齿轮啮合点相对于齿根圆、基圆所在位置的关系对直齿轮能量法TVMS模型进行修正；

S5：根据S4中计算获得的啮合刚度串联计算斜齿轮副中单齿啮合刚度；

S6：根据S5中计算的单齿啮合刚度进行叠加得到斜齿轮副的完整啮合刚度；

S3包括：

S31：将斜齿轮沿齿宽方向离散为N个直齿切片；

S32：计算啮合线长度，通过啮合线位置计算正在啮合的直齿齿片数量以及第i片在啮齿轮的当前啮合角a_1i，i<N，并按照直齿轮的时变啮合刚度模型计算每一片正在啮合齿轮的啮合刚度；

S32中啮合轮齿对上啮合线的长度计算公式为：

t₂～t₄为已知转速条件下对应啮合阶段的时间，t为从起始点a开始计算的啮合时间；

借由以上计算过程得到当前时刻斜齿轮啮合线长度后，得到当前啮合时刻的参与啮合的齿片数量m，式中L为啮合线长度，ΔL为每一片切片齿轮的齿宽，计算得出的齿片数量向下取整：

m＝round(Lcosβ_b/ΔL)

(1)当端面重合度大于轴向重合度，即ε_a≥ε_b，

L_max＝B/cosβ_b

通过计算啮合线首尾端点的啮合角来推算啮合线上其他齿片的啮合角

当j＝1时，主动轮第i个齿片啮合角的计算公式为：

(2)当端面重合度小于轴向重合度，即ε_b＞ε_a，

L_max＝ε_aP_bt/sinβ_b

通过计算啮合线首尾端点的啮合角来推算啮合线上其他齿片的啮合角

当j＝1时，主动轮第i个齿片啮合角的计算公式为：

其中，B为齿宽，β_b为基圆螺旋角，t₁为当量端面直齿的啮合周期，P_bt为端面基圆齿距，n为主动齿轮转速，z为主动齿轮齿数，r_b为主动轮基圆半径；

S4中直齿轮能量法时变刚度计算公式修正前为：

其中：F、F_a、F_b为沿啮合线方向的啮合力及径向分力、周向分力；

M为啮合力在轮齿上造成的弯矩；

Ix与Ax分别为啮合点处轮齿悬臂梁截面惯性矩及截面面积；

K_xn与U_xn分别代表一对啮合齿轮中两个齿轮的赫兹接触刚度及能量、剪切刚度及能量、轴向压缩刚度及能量、弯曲刚度及能量、轮齿基体刚度及能量，xn＝h、a1、a2、b1、b2、s1、s2、f1、f2；

E与G分别为齿轮弹性及剪切模量，L为齿宽，ν为泊松比；

a₃、a₂、a₁及a分别为轮齿齿顶啮合角、基圆齿厚半角、当前时刻啮合角以及积分式中的从-a₁到a₂的被积变量；

h、h_x、x、d分别代表啮合点与对称线的垂直距离、积分式中被积变量处与对称线的垂直距离、被积变量处与轮齿基圆交点水平方向的距离、啮合点与基圆之间径向的距离；

u_f与S_f分别为啮合点处与齿根圆在对称线上的距离以及齿根圆处齿厚；

S4中直齿轮能量法时变刚度部分计算公式修正后为：

(1)当齿根圆的半径大于基圆的半径时，即r_f＞r_b，第i片切片齿轮的

计算公式为：

(2)当齿根圆半径小于基圆半径时，即r_f＜r_b，第i片切片齿轮的

计算公式为：

若啮合点位于基圆外侧，即d₁＞k：

式中：

a'₂——基圆处齿厚半角；

α_t——端面压力角；

d₁——啮合点与齿根圆的距离：

h——啮合点与轮齿对称线的距离；

若啮合点位于基圆与齿根圆之间0＜d₁≤k：

d₁＝k+r_b((a₁+a'₂)sina₁+cosa₁-cosa'₂)。

2.根据权利要求1所述的一种斜齿轮时变啮合刚度计算方法，其特征在于，S5包括以下步骤：

S51：对S4中计算获得的离散直齿切片啮合刚度进行积分，得到单齿啮合刚度；

S52：对S51中的各项刚度进行串联计算单齿总啮合刚度。

3.根据权利要求2所述的一种斜齿轮时变啮合刚度计算方法，其特征在于，S51中积分公式为：

4.根据权利要求3所述的一种斜齿轮时变啮合刚度计算方法，其特征在于，S52中总啮合刚度计算公式为：

其中：K_xn与U_xn分别代表一对啮合齿轮中两个齿轮的赫兹接触刚度及能量、剪切刚度及能量、轴向压缩刚度及能量、弯曲刚度及能量、轮齿基体刚度及能量，xn＝h、a1、a2、b1、b2、s1、s2、f1、f2。

5.根据权利要求1所述的一种斜齿轮时变啮合刚度计算方法，其特征在于，S6包括以下步骤：

S61：S5中获得的单齿啮合刚度依据啮合周期偏移分别得到所有啮合齿啮合刚度；

S62：将S61中获得的多片啮合齿啮合刚度进行叠加。

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