CN113342079A - 飞轮储能用磁悬浮轴承时滞系统变转速切换扰动抑制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了飞轮储能磁悬浮轴承时滞系统转速切换扰动抑制方法，包括，将时滞因素τ纳入考虑构建磁悬浮轴承闭环控制系统微分方程组，进而转化为状态方程形式的时滞模型；基于所述时滞模型采用Markov随机跳变过程来对磁悬浮轴承系统进行建模，得到磁悬浮轴承系统的时滞随机跳变模型：再利用H_∞控制理论推导三种模态下相应线性矩阵不等式的满足条件，将磁悬浮轴承系统的自身参数和相应的基本转移概率矩阵引入线性矩阵不等式的满足条件，求取对应三个模态的H_∞状态反馈控制器的参数得到模态依赖H_∞状态反馈控制器。本发明在进行扰动抑制时结合模态变换关系并考虑了时滞因素，因此产生更好的扰动抑制效果。

Description

飞轮储能用磁悬浮轴承时滞系统变转速切换扰动抑制方法

技术领域

本发明涉及飞轮储能磁悬浮轴承时滞系统转速切换扰动抑制方法。

背景技术

飞轮储能系统作为一种能量转换装置有充电和放电两种状态。充电状态时，从外部电源吸收电能，在电动机带动下飞轮转子从低转速开始提高转速。飞轮转子达到额定转速时，此时飞轮储能量达到最大值，利用传感器将转速信号变换成电信号，切断电动机电源。对于放电状态，只依靠飞轮转子的惯性来发电，转速随着时间逐渐降低，飞轮储能系统的储能量也将随着转速的降低而降低。因此在对其转子运转进行高精度控制时必须考虑系统在不同工作模态之间切换情况下的控制方法，同时设计控制方法时，将闭环控制系统各环节的时滞考虑在内是必需的，而对于含时滞的磁悬浮轴承闭环控制系统而言，目前现有技术中还缺乏缺乏针对在不同工作模态之间切换情况下并将将时滞因素考虑在内的一种飞轮储能磁悬浮轴承时滞系统转速切换扰动抑制方法。

发明内容

本发明的目的在于提供飞轮储能磁悬浮轴承时滞系统转速切换扰动抑制方法，以解决现有技术中扰动抑制方法不能在将时滞因素考虑在内的情况下用于不同工作模态之间切换的飞轮储能磁悬浮轴承系统，因此受时滞因素影响无法获得更好的扰动抑制效果的技术问题。

所述的飞轮储能磁悬浮轴承时滞系统转速切换扰动抑制方法，包括，将时滞因素τ纳入考虑构建磁悬浮轴承闭环控制系统微分方程组，进而转化为状态方程形式的时滞模型；

磁悬浮轴承转子系统在不同转速范围下的受力分析描述成马尔可夫链的统计特性，基于所述时滞模型采用Markov随机跳变过程来对磁悬浮轴承系统进行建模，将全转速划分为低速段、中速段和高速段，依次分别对应磁悬浮轴承 Markov系统描述的三个模态，得到磁悬浮轴承系统的时滞随机跳变模型：

u(r_t)＝K(r_t)x(t-τ),r_t＝1,2,3，

z(r_t)＝C(r_t)x(t)

式中，x(t)为磁悬浮轴承系统的状态量位移及位移变化率，u(t)为磁悬浮轴承系统的输入量电磁铁控制电流，v(t)为磁悬浮轴承系统的质量不平衡扰动， x(t-τ)为磁悬浮轴承系统各环节引起的时滞状态量，z(t)为系统性能输出， A(r_t)、B(r_t)、E(r_t)、K(r_t)和C(r_t)都是系统矩阵；

基于上述时滞随机跳变模型利用H_∞控制理论推导三种模态下相应线性矩阵不等式的满足条件，在该满足条件下磁悬浮轴承系统在全转速变化范围内随机稳定，通过统计获取上述三个模态相互切换的基本转移概率矩阵，将磁悬浮轴承系统的自身参数和相应的基本转移概率矩阵引入线性矩阵不等式的满足条件，求取对应三个模态的H_∞状态反馈控制器的参数——比例时间系数和微分系数，将上述H_∞状态反馈控制器的参数带入所述时滞随机跳变模型得到模态依赖H_∞状态反馈控制器。

优选的，所述时滞因素τ＝τ_c+τ_a+τ_m+τ_s，其中τ_c为控制器滞后时间系数，τ_a为功率放大器滞后时间系数，τ_m为执行器滞后时间系数，τ_s为传感器滞后时间系数，磁悬浮轴承系统属于高速动态系统，控制器时滞系数τ_c和执行器滞后时间系数τ_m都是时间变量，因此，论文中将磁悬浮轴承系统时滞参数τ(t)定义为有界时变函数：τ(t)＝τ₀+η(t),|η(t)|＜σ,

式中τ₀、σ和μ都为常数，可通过对反馈回路中时滞进行测算来确定，则有τ(t)∈[h₁,h₂]，其中h₁为系统时滞的下界值，h₂为系统时滞的上界值。

优选的，当r_t＝1即模态1时，磁悬浮轴承系统低速运行，运动学模型中既不考虑不平衡振动力也不考虑陀螺效应，此时磁悬浮轴承系统的时滞随机跳变模型为：

u₁(t)＝K₁x(t-τ)

z₁(t)＝C₁x(t)

当r_t＝2即模态2时，磁悬浮轴承系统中速运行，这时受力分析仅考虑不平衡振动力，此时磁悬浮轴承系统的时滞随机跳变模型为：

u₂(t)＝K₂x(t-τ)

z₂(t)＝C₂x(t)

当r_t＝3即模态3时，磁悬浮轴承系统高速运行，转子系统受力分析同时考虑不平衡振动力和陀螺效应，此时磁悬浮轴承系统的时滞随机跳变模型为：

优选的，模态1对应于磁悬浮系统高速段，模态2对应于磁悬浮系统中速段，模态3对应于磁悬浮系统低速段，π₁₁表示转子转速保持在高速段的概率，π₁₂表示转子转速由高速段跳变到中速段的概率，π₂₁表示转子转速由中速段提高到高速段的概率，π₂₂表示转子转速保持在中速段的概率，π₂₃表示转子转速从中速段跳变到低速段的概率，π₃₃表示转子转速保持在低速段的概率，π₃₂表示转子转速由低速段提高到中速段的概率，ω₁、ω₂和ω₃分别表示转子低速阈值、中速阈值和高速阈值。磁悬浮轴承系统的时滞随机跳变模型的基本转移概率矩阵可表示为：

由于飞轮转子的转速的变化是一个连续的过程，其不可能从低速直接跳变到高速状态，也不可能从高速直接跳变到低速状态，因此π₁₃＝π₃₁＝0。

优选的，线性矩阵不等式的满足条件包括：给定标量0≤h₁≤h₂，γ＞0，τ_1i，τ_2i，τ_3i，对于转移概率已知的磁悬浮轴承系统的时滞随机跳变模型若具有对称矩阵P_i>0，Q_1i>0，Q₁>0，Q₂>0，Q₃>0，R₁>0，R₂>0和矩阵H_i，M_i，N_i， W_i，S_i满足下式线性矩阵不等式：

当d(t)＝h₁,a＝2,b＝1时

当d(t)＝h₂,a＝1,b＝2时

式中

ψ₁₁₂＝-τ_1iB_iW_i+H_iB_i,

ψ₂₄＝-s₁₁+s₁₃-2bR₂+s₁₂-s₁₄,

ψ₂₆＝-2s₁₂+2s₁₄+6bR₂,

ψ₂₁₀＝-s₁₁+s₁₃,

ψ₂₁₁＝-s₁₂+s₁₄,

ψ₃₃＝-Q₁-R₁-4aR₂,

ψ₃₄＝s₁₁+s₁₃-s₁₂-s₁₄,

ψ₃₅＝2s₁₂+2s₁₄,

ψ₃₁₀＝s₁₁+s₁₃,

ψ₃₁₁＝s₁₂+s₁₄,

ψ₄₄＝-Q₂-4bR₂,

ψ₇₁₂＝-τ_2iB_iW_i+M_iB_i,

ψ₁₂₁₂＝He(-τ_3iW_i),

则磁悬浮轴承系统的在全转速变化范围内随机稳定，且满足H_∞性能指标，

优选的，对非线性项XBK项和XBLC进行解耦分离的分离解耦方法如下：

令K＝U-¹W，L＝-V-¹Y，将控制设计过程中的XBK项和XBLC重写为：

XBK＝XBU^-1W＝(XB-BU)U^-1W+BW，

以及，

-XBLC＝XBV^-1YC＝(XB-BV)V^-1YC+BYC。

本发明的技术效果：本方案能够根据磁悬浮轴承系统的参数设计得到相应的模态依赖H_∞状态反馈控制器，通过该控制器能够让考虑到时滞因素的磁悬浮轴承系统的时滞随机跳变模型保证随机稳定。由于将控制器滞后时间系数、功率放大器滞后时间系数、执行器滞后时间系数和传感器滞后时间系数等多种时滞因素考虑在内，本方案进行扰动抑制所用的磁悬浮轴承系统模态依赖控制器的有效性明显优于现有技术，克服了现有技术的不足。

另一方面由于飞轮储能系统的充放电状态并不确定，致使磁悬浮轴承转子转速范围的随机性，本方案基于马尔科夫链设计的控制方法，因此通过时滞随机跳变模型同时将磁悬浮轴承系统在高速、中速和低速三种模态彼此间的变化关系考虑在内，由此得到的与各个模态对应的考虑到时滞因素的模态依赖H_∞状态反馈控制器有效提高了模态转变过程和时滞因素双重影响下的控制效果。

本方案还通过特定的分离解耦方法对非线性项XBK项和XBLC进行解耦分离。通过此解耦技术和Finsler引理，消除了模态依赖H_∞状态反馈控制器K_i与李雅普诺夫矩阵P_i之间的约束关系，降低了控制器设计的保守性。

最后本发明进一步延伸考虑了转移概率部分未知时磁悬浮轴承系统的时滞随机跳变模型在模态依赖H_∞状态反馈控制器作用下的随机稳定充分条件。借助转移概率特性，充分利用转移概率行和特性，提出一种线性化方法，处理由于未知转移概率产生的非线性，确保推导采用的不等式为线性矩阵不等式。由此本方法对转移概率部分未知的情况也能设计出相应的模态依赖H_∞状态反馈控制器。

附图说明

图1为本发明中含时滞的磁悬浮轴承闭环控制系统方框图。

图2为本发明中磁悬浮轴承系统模态切换的示意图。

图3为本发明中描述磁悬浮轴承系统在每个时刻所处的模态的曲线图。

图4为本发明中模态依赖H_∞状态反馈控制器作用下x₁的状态相应曲线图， x₁表示上端磁悬浮轴承A随时间变化时在x轴方向位移偏离平衡点的偏移量。

图5为本发明中模态依赖H_∞状态反馈控制器作用下x₂的状态相应曲线图， x₂表示上端磁悬浮轴承A随时间变化时在y轴方向位移偏离平衡点的偏移量。

图6为本发明中模态依赖H_∞状态反馈控制器作用下x₃的状态相应曲线图， x₃表示下端磁悬浮轴承B随时间变化时在x轴方向位移偏离平衡点的偏移量。

图7为本发明中模态依赖H_∞状态反馈控制器作用下x₄的状态相应曲线图， x₄表示下端磁悬浮轴承B随时间变化时在y轴方向位移偏离平衡点的偏移量。

图8为本发明中模态依赖H_∞状态反馈控制器作用下x₅的状态相应曲线图， x₅表示上端磁悬浮轴承A在x轴方向的速率。

图9为本发明中模态依赖H_∞状态反馈控制器作用下x₆的状态相应曲线图， x₆表示上端磁悬浮轴承A在y轴方向的速率。

图10为本发明中模态依赖H_∞状态反馈控制器作用下x₇的状态相应曲线图， x₇表示下端磁悬浮轴承B在x轴方向的速率。

图11为本发明中模态依赖H_∞状态反馈控制器作用下x₈的状态相应曲线图， x₈表示下端磁悬浮轴承B在y轴方向的速率。

具体实施方式

下面对照附图，通过对实施例的描述，对本发明具体实施方式作进一步详细的说明，以帮助本领域的技术人员对本发明的发明构思、技术方案有更完整、准确和深入的理解。

下表为文中部分参数符号的含义。

表1文中部分参数符号的含义

将闭环控制系统各环节的时滞考虑在内是必需的，含时滞的磁悬浮轴承闭环控制系统方框图如图1所示。

图1中，G_s(s)为位移传感器传递函数：

其中A_s、T_s为增益系数和衰减时间系数。

G_c(s)为控制器传递函数:G_c(s)＝K_p+K_ds，其中K_p、K_d为比例时间系数和微分系数，二者均为增益系数矩阵。

G_a(s)为功率放大器，其传递函数为：

其中T_a、α_a为滞后时间常数和放大倍数。

τ_c为控制器滞后时间系数，产生原因主要来源于控制算法计算过程消耗的时间和数字信号软件滤波产生的时间，并且由于控制算法的复杂程度不同该时滞系数为变量；

τ_a为功率放大器滞后时间系数，控制信号在功率放大器电路中进行模拟信号和数字信号的转换消耗的时间；

τ_m为执行器滞后时间系数，电流信号进入电磁铁线圈后在电磁铁线圈中由于涡流、磁滞等引起的电磁力输出延时，该时滞系数为变量，与线圈内电流大小有关；

τ_s为传感器滞后时间系数，磁悬浮轴承转子位移信号检测后需要进行预处理及信号转换的时间。

如图1-11所示，本发明提供了一种飞轮储能用磁悬浮轴承时滞系统变转速切换扰动抑制方法，包括下列步骤。

将时滞因素纳入考虑构建磁悬浮轴承闭环控制系统微分方程组，

式(1)中

假设传感器和功率放大器工作在线性区域，则T_a＝0，T_s＝0。令τ₁＝τ_c+τ_a+τ_s。则上式方程组(1)可化简为

进而将式(2)写成状态方程形式为：

即转化为状态方程形式的时滞模型(3)，其中

v(t)＝[ω²cos(ωt+θ₁) ω²sin(ωt+θ₁) ω²cos(ωt+θ₂) ω²sin(ωt+θ₂)]^T，

磁悬浮轴承系统属于高速动态系统，稍微的时滞系数都会对系统动态性能产生影响，且控制器时滞系数τ_c和执行器滞后时间系数τ_m都是时间变量，因此，本发明中将磁悬浮轴承系统时滞参数τ(t)定义为有界时变函数：

式中τ₀、σ和μ都为常数，可通过对反馈回路中时滞进行测算来确定，则有τ(t)∈[h₁,h₂]，其中h₁为系统时滞的下界值，h₂为系统时滞的上界值。

飞轮储能系统运行时，储存的总能量为：

式中E是储能量，λ是放电深度，η是飞轮储能系统总效率，J是飞轮转动惯量为，ω是机械角速度，n∈[0～n_N]是转速范围。由公式可知当飞轮本体尺寸确定好之后飞轮转动惯量为定值，则飞轮储能量E总与转速平方成正比。

飞轮储能系统作为一种能量转换装置有充电和放电两种状态。充电状态时，从外部电源吸收电能，在电动机带动下飞轮转子从低转速开始提高转速。飞轮转子达到额定转速时，此时飞轮储能量达到最大值，利用传感器将转速信号变换成电信号，切断电动机电源。对于放电状态，只依靠飞轮转子的惯性来发电，转速随着时间逐渐降低，飞轮储能系统的储能量也将随着转速的降低而降低。由公式定量分析飞轮转速与飞轮储能量的关系如表所示：

表1飞轮储能系统储能量与转速关系

由表1可见，由于飞轮储能被使用和空气摩擦等因素导致飞轮转子转速下降至5/6n_N时，飞轮储能量下降约30％，剩余储能量约70％；当飞轮转子转速下降至2/3n_N时，飞轮储能量继续下降约30％，剩余储能量约40％；当飞轮转子转速下降至1/4n_N时，飞轮储能量下降至6％。

飞轮储能系统充电时飞轮转子转速提高，放电时飞轮转子转速下降，考虑空气阻力的影响将飞轮储能系统静止状态归纳于放电状态。飞轮储能系统处于充电或放电的工作状态与其电能剩余量有直接的关系，与飞轮转子转速有间接关系。由于飞轮储能系统工作环境和工况的不同，飞轮储能系统的充放电具有随机性，致使飞轮储能系统的电能储存量存在随机性，亦即飞轮储能磁悬浮轴承转子系统的转速状态存在随机性，且磁悬浮轴承转子系统在不同转速范围下的受力分析不同，故可将其看作一个随机过程，描述成马尔可夫链的统计特性： P{X_转速n+1|X_转速n}。

由于飞轮储能系统的充放电状态并不确定，致使磁悬浮轴承转子转速范围的随机性，因此采用Markov随机跳变过程来对磁悬浮轴承系统进行建模。由于磁轴承工作在不同转速范围下会受到不同程度的不平衡振动力和陀螺效应的影响，因此将全转速划分为低速段(0,2/3n_N]、中速段(2/3n_N,5/6n_N]和高速段[5/6n_N, n_N]，分别对应磁悬浮轴承Markov系统描述的三个模态：

模态1：磁悬浮轴承系统低速运行模态时，扰动分析既不考虑质量不平衡扰动也不考虑陀螺效应；

模态2：磁悬浮轴承系统中速运行模态时，扰动分析仅考虑质量不平衡扰动；

模态3：磁悬浮轴承系统高速运行模态时，扰动分析同时考虑质量不平衡扰动和陀螺效应。

基于上述分析，则可将第四章磁悬浮轴承系统的时滞模型(3)重写为：

式中，x(t)为磁悬浮轴承系统的状态量位移及位移变化率，u(t)为磁悬浮轴承系统的输入量电磁铁控制电流，v(t)为磁悬浮轴承系统的质量不平衡扰动， x(t-τ)为磁悬浮轴承系统各环节引起的时滞状态量，z(t)为系统性能输出， A(r_t)、B(r_t)、E(r_t)、K(r_t)和C(r_t)都是系统矩阵。

当r_t＝1即模态1时，磁悬浮轴承系统低速运行，运动学模型中既不考虑不平衡振动力也不考虑陀螺效应，此时磁悬浮轴承系统的时滞随机跳变模型为：

式中

E₁＝[0_8×4]N，

τ＝τ_c+τ_a+τ_m+τ_s。

当r_t＝2即模态2时，磁悬浮轴承系统中速运行，这时受力分析仅考虑不平衡振动力，此时磁悬浮轴承系统的时滞随机跳变模型为：

式中

τ＝τ_c+τ_a+τ_m+τ_s。

当r_t＝3即模态3时，磁悬浮轴承系统高速运行，转子系统受力分析同时考虑不平衡振动力和陀螺效应，此时磁悬浮轴承系统的时滞随机跳变模型为：

式中

τ＝τ_c+τ_a+τ_m+τ_s。

磁悬浮轴承转子系统在不同转速范围下的受力分析描述成马尔可夫链的统计特性，采用Markov随机跳变过程来对磁悬浮轴承系统进行建模，将全转速划分为低速段、中速段和高速段，依次分别对应磁悬浮轴承Markov系统描述的三个模态，得到磁悬浮轴承系统的时滞随机跳变模型：

u(r_t)＝K(r_t)x(t-τ),r_t＝1,2,3。

z(r_t)＝C(r_t)x(t)

式中，x(t)为磁悬浮轴承系统的状态量位移及位移变化率，u(t)为磁悬浮轴承系统的输入量电磁铁控制电流，v(t)为磁悬浮轴承系统的质量不平衡扰动， x(t-τ)为磁悬浮轴承系统各环节引起的时滞状态量，z(t)为系统性能输出， A(r_t)、B(r_t)、E(r_t)、K(r_t)和C(r_t)都是系统矩阵，τ＝τ_c+τ_a+τ_m+τ_s。

以上对磁悬浮轴承系统全转速下的转速切换过程运动特性展开了讨论，基于所述时滞模型采用Markov随机跳变过程来对磁悬浮轴承系统进行建模，将全转速划分为低速段、中速段和高速段，依次分别对应磁悬浮轴承Markov系统描述的三个模态，得到磁悬浮轴承系统的时滞随机跳变模型(5)。

磁悬浮轴承系统的时滞随机跳变模型中三个模态之间的切换过程可表示为图2，如图2所示，模态1对应于磁悬浮系统高速段，模态2对应于磁悬浮系统中速段，模态3对应于磁悬浮系统低速段，π₁₁表示转子转速保持在高速段的概率，π₁₂表示转子转速由高速段跳变到中速段的概率，π₂₁表示转子转速由中速段提高到高速段的概率，π₂₂表示转子转速保持在中速段的概率，π₂₃表示转子转速从中速段跳变到低速段的概率，π₃₃表示转子转速保持在低速段的概率，π₃₂表示转子转速由低速段提高到中速段的概率，ω₁、ω₂和ω₃分别表示转子低速阈值、中速阈值和高速阈值。磁悬浮轴承系统的时滞随机跳变模型的基本转移概率矩阵可表示为：

式中π_ij表示磁悬浮轴承转子系统从模态i跳变到模态j的概率。由于飞轮转子的转速的变化是一个连续的过程，其不可能从低速直接跳变到高速状态，也不可能从高速直接跳变到低速状态，因此π₁₃＝π₃₁＝0。

根据统计显示，当飞轮储能系统剩余储能量为70％时，提高转速充电概率较低，保持在此转速范围内的可能性较大；当飞轮电池剩余储能量40％时，充电概率较随机，即保持在此转速范围内或者提高转速亦或者降低转速；当飞轮储能系统剩余储能量6％时，保持在此转速范围内的可能性较小，充电概率非常高。由此统计可估算出基本转移概率矩阵，再将切普曼-科尔莫戈罗夫方程用于式(9) 可求出此参数连续、状态离散的磁悬浮轴承系统Markov过程的转移概率密度矩阵。

接下来将利用磁悬浮轴承系统的时滞随机跳变模型(5)，针对全转速范围内转速切换时引起的运动过程扰动进行研究，探讨磁悬浮轴承系统在不同模态在控制器的设计方法以及转移概率矩阵对控制器设计的影响。

首先推导三种模态下相应线性矩阵不等式的满足条件。

一、给定标量0≤h₁≤h₂，γ＞0，τ_1i，τ_2i，τ_3i，对于转移概率已知的磁悬浮轴承系统的时滞随机跳变模型(5)若具有对称矩阵P_i>0，Q_1i>0，Q₁>0， Q₂>0，Q₃>0，R₁>0，R₂>0和矩阵H_i，M_i，N_i，W_i，S_i满足下式线性矩阵不等式：

当d(t)＝h₁,a＝2,b＝1时

当d(t)＝h₂,a＝1,b＝2时

式中

ψ₁₁₂＝-τ_1iB_iW_i+H_iB_i,

ψ₂₄＝-s₁₁+s₁₃-2bR₂+s₁₂-s₁₄,

ψ₂₆＝-2s₁₂+2s₁₄+6bR₂,

ψ₂₁₀＝-s₁₁+s₁₃,

ψ₂₁₁＝-s₁₂+s₁₄,

ψ₃₃＝-Q₁-R₁-4aR₂,

ψ₃₄＝s₁₁+s₁₃-s₁₂-s₁₄,

ψ₃₅＝2s₁₂+2s₁₄,

ψ₃₁₀＝s₁₁+s₁₃,

ψ₃₁₁＝s₁₂+s₁₄,

ψ₄₄＝-Q₂-4bR₂,

ψ₇₁₂＝-τ_2iB_iW_i+M_iB_i,

ψ₁₂₁₂＝He(-τ_3iW_i),

则磁悬浮轴承系统的时滞随机跳变模型(5)在全转速变化范围内随机稳定，且满足H_∞性能指标，

这里利用了一种无损的分离解耦方法对非线性项XBK项和XBLC进行解耦分离。通过此解耦技术和Finsler引理，消除了模态依赖H_∞状态反馈控制器K_i与李雅普诺夫矩阵P_i之间的约束关系，降低了控制器设计的保守性。

下面为具体的分离解耦方法：

令K＝U^-1W，L＝-V^-1Y，将控制设计过程中的XBK项和XBLC重写为：

XBK＝XBU^-1W＝(XB-BU)U^-1W+BW，

以及，

-XBLC＝XBV^-1YC＝(XB-BV)V^-1YC+BYC。

下面对上面的推导过程进一步延伸，考虑转移概率部分未知时磁悬浮轴承系统的时滞随机跳变模型(5)在模态依赖H_∞状态反馈控制器作用下的随机稳定充分条件，内容如下。

二、给定标量0≤h₁≤h₂，γ>0，τ_1i，τ_2i，τ_3i，对于转移概率部分未知的磁悬浮轴承系统(5)若具有对称矩阵P_i>0，Q_1i>0，Q₁>0，Q₂>0，Q₃>0，R₁>0， R₂>0和矩阵H_i，M_i，N_i，W_i，S_i满足下列线性矩阵不等式：

当i∈L_k时，

当i∈L_uk时，

式中

(10)表示前述的不等式(10)，(11)表示前述的不等式(11)。

则磁悬浮轴承系统(5)在模态依赖H_∞状态反馈控制器作用下随机稳定，这里强调对转移概率部分未知的处理方法，设计的控制器与上面第一部分推导相同。第二部分推导借助转移概率特性，充分利用转移概率行和特性，提出一种线性化方法，处理由于未知转移概率产生的非线性，确保推导采用的不等式为线性矩阵不等式。

基于上述H_∞控制理论推导获得时滞随机跳变模型在三种模态下相应线性矩阵不等式的满足条件即模态依赖H_∞状态反馈控制器，在上述满足条件下磁悬浮轴承系统在全转速变化范围内随机稳定。之后通过统计获取上述三个模态相互切换的基本转移概率矩阵，将磁悬浮轴承系统的自身参数和相应的基本转移概率矩阵引入线性矩阵不等式的满足条件，求取对应三个模态的H_∞状态反馈控制器的参数：比例时间系数和微分系数，将上述求取的比例时间系数和微分系数带入所述时滞随机跳变模型得到模态依赖H_∞状态反馈控制器。这一部分依据具体实施例进行说明。

实施例中，磁悬浮轴承系统模型主要参数如表2所示。

表2磁悬浮轴承系统仿真参数

假设磁悬浮轴承系统最高转速为20000r/min，根据上文描述的将磁悬浮轴承系统转子的转速分为三个速度范围[0,ω₁]，[ω₁,ω₂]和[ω₂,ω₃]，选取转子低速阈值ω₁为5000r/min、中速阈值ω₂为15000r/min、高速阈值ω₃为20000r/min，并取转移概率矩阵为：

假设初始状态量x₀＝[0 -0.05 0.05 0.03 0 0 0 0]^T，τ₁＝τ₂＝τ₃＝50000，当u＝0， h₁＝0.05且h₂＝0.6时，根据线性不等式的满足条件求解所述模态依赖H_∞状态反馈控制器的参数K_pi和K_di如下，其中K_pi和K_di为分别对应三种模态下的参数：比例时间系数和微分系数。

将上述模态依赖H_∞状态反馈控制器参数K_pi和K_di带入磁悬浮轴承系统的时滞随机跳变模型(5)中，仿真得到磁悬浮轴承系统多模态运行时的模态曲线和状态响应曲线分别如图3和图5-11所示。

如图3中曲线描述的是磁悬浮轴承系统在每个时刻所处的模态，图中纵坐标为1表示当前磁悬浮轴承系统工作于模态1低速范围，纵坐标为2表示当前磁悬浮轴承系统工作于模态2中速范围，纵坐标为3表示当前磁悬浮轴承系统工作于模态3高转速范围。如图4至图11描述的是磁悬浮轴承系统在根据上述方法设计的模态依赖H_∞状态反馈控制器作用下的状态响应曲线，曲线x₁表示上端磁悬浮轴承A随时间变化时在x轴方向位移偏离平衡点的偏移量，曲线x₂表示上端磁悬浮轴承A随时间变化时在y轴方向位移偏离平衡点的偏移量，曲线x₃表示下端磁悬浮轴承B随时间变化时在x轴方向位移偏离平衡点的偏移量，曲线x₄表示下端磁悬浮轴承B随时间变化时在y轴方向位移偏离平衡点的偏移量，曲线x₅表示上端磁悬浮轴承A在x轴方向的速率，曲线x₆表示上端磁悬浮轴承A 在y轴方向的速率，曲线x₇表示下端磁悬浮轴承B在x轴方向的速率，曲线x₈表示下端磁悬浮轴承B在y轴方向的速率。由状态曲线图4至图11可见，磁悬浮轴承系统的时滞随机跳变模型(5)在本发明所设计的模态依赖H_∞状态反馈控制器下可保证随机稳定。

上面结合附图对本发明进行了示例性描述，显然本发明具体实现并不受上述方式的限制，只要采用了本发明的发明构思和技术方案进行的各种非实质性的改进，或未经改进将本发明构思和技术方案直接应用于其它场合的，均在本发明保护范围之内。

Claims (6)

1.飞轮储能磁悬浮轴承时滞系统转速切换扰动抑制方法，其特征在于：包括，将时滞因素τ纳入考虑构建磁悬浮轴承闭环控制系统微分方程组，进而转化为状态方程形式的时滞模型；

磁悬浮轴承转子系统在不同转速范围下的受力分析描述成马尔可夫链的统计特性，基于所述时滞模型采用Markov随机跳变过程来对磁悬浮轴承系统进行建模，将全转速划分为低速段、中速段和高速段，依次分别对应磁悬浮轴承Markov系统描述的三个模态，得到磁悬浮轴承系统的时滞随机跳变模型：

式中，x(t)为磁悬浮轴承系统的状态量位移及位移变化率，u(t)为磁悬浮轴承系统的输入量电磁铁控制电流，v(t)为磁悬浮轴承系统的质量不平衡扰动，x(t-τ)为磁悬浮轴承系统各环节引起的时滞状态量，z(t)为系统性能输出，A(r_t)、B(r_t)、E(r_t)、K(r_t)和C(r_t)都是系统矩阵；

基于上述时滞随机跳变模型利用H_∞控制理论推导三种模态下相应线性矩阵不等式的满足条件，在该满足条件下磁悬浮轴承系统在全转速变化范围内随机稳定，通过统计获取上述三个模态相互切换的基本转移概率矩阵，将磁悬浮轴承系统的自身参数和相应的基本转移概率矩阵引入线性矩阵不等式的满足条件，求取对应三个模态的H_∞状态反馈控制器的参数——比例时间系数和微分系数，将上述H_∞状态反馈控制器的参数带入所述时滞随机跳变模型得到模态依赖H_∞状态反馈控制器。

2.根据权利要求1所述的飞轮储能磁悬浮轴承时滞系统转速切换扰动抑制方法，其特征在于：所述时滞因素τ＝τ_c+τ_a+τ_m+τ_s，其中τ_c为控制器滞后时间系数，τ_a为功率放大器滞后时间系数，τ_m为执行器滞后时间系数，τ_s为传感器滞后时间系数，磁悬浮轴承系统属于高速动态系统，控制器时滞系数τ_c和执行器滞后时间系数τ_m都是时间变量，因此，论文中将磁悬浮轴承系统时滞参数τ(t)定义为有界时变函数：τ(t)＝τ₀+η(t),|η(t)|＜σ,

式中τ₀、σ和μ都为常数，可通过对反馈回路中时滞进行测算来确定，则有τ(t)∈[h₁,h₂]，其中h₁为系统时滞的下界值，h₂为系统时滞的上界值。

3.根据权利要求1所述的飞轮储能磁悬浮轴承时滞系统转速切换扰动抑制方法，其特征在于：当r_t＝1即模态1时，磁悬浮轴承系统低速运行，运动学模型中既不考虑不平衡振动力也不考虑陀螺效应，此时磁悬浮轴承系统的时滞随机跳变模型为：

u₁(t)＝K₁x(t-τ)

z₁(t)＝C₁x(t)

当r_t＝2即模态2时，磁悬浮轴承系统中速运行，这时受力分析仅考虑不平衡振动力，此时磁悬浮轴承系统的时滞随机跳变模型为：

u₂(t)＝K₂x(t-τ)

z₂(t)＝C₂x(t)

当r_t＝3即模态3时，磁悬浮轴承系统高速运行，转子系统受力分析同时考虑不平衡振动力和陀螺效应，此时磁悬浮轴承系统的时滞随机跳变模型为：

4.根据权利要求2所述的飞轮储能磁悬浮轴承时滞系统转速切换扰动抑制方法，其特征在于：模态1对应于磁悬浮系统高速段，模态2对应于磁悬浮系统中速段，模态3对应于磁悬浮系统低速段，π₁₁表示转子转速保持在高速段的概率，π₁₂表示转子转速由高速段跳变到中速段的概率，π₂₁表示转子转速由中速段提高到高速段的概率，π₂₂表示转子转速保持在中速段的概率，π₂₃表示转子转速从中速段跳变到低速段的概率，π₃₃表示转子转速保持在低速段的概率，π₃₂表示转子转速由低速段提高到中速段的概率，ω₁、ω₂和ω₃分别表示转子低速阈值、中速阈值和高速阈值。磁悬浮轴承系统的时滞随机跳变模型的基本转移概率矩阵可表示为：

由于飞轮转子的转速的变化是一个连续的过程，其不可能从低速直接跳变到高速状态，也不可能从高速直接跳变到低速状态，因此π₁₃＝π₃₁＝0。

5.根据权利要求4所述的飞轮储能磁悬浮轴承时滞系统转速切换扰动抑制方法，其特征在于：线性矩阵不等式的满足条件包括：给定标量0≤h₁≤h₂，γ＞0，τ_1i，τ_2i，τ_3i，对于转移概率已知的磁悬浮轴承系统的时滞随机跳变模型若具有对称矩阵P_i>0，Q_1i>0，Q₁>0，Q₂>0，Q₃>0，R₁>0，R₂>0和矩阵H_i，M_i，N_i，W_i，S_i满足下式线性矩阵不等式：

当d(t)＝h₁,a＝2,b＝1时

当d(t)＝h₂,a＝1,b＝2时

式中

ψ₁₁₂＝-τ_1iB_iW_i+H_iB_i,

ψ₂₄＝-s₁₁+s₁₃-2bR₂+s₁₂-s₁₄,

ψ₂₆＝-2s₁₂+2s₁₄+6bR₂,

ψ₂₁₀＝-s₁₁+s₁₃,

ψ₂₁₁＝-s₁₂+s₁₄,

ψ₃₃＝-Q₁-R₁-4aR₂,

ψ₃₄＝s₁₁+s₁₃-s₁₂-s₁₄,

ψ₃₅＝2s₁₂+2s₁₄,

ψ₃₁₀＝s₁₁+s₁₃,

ψ₃₁₁＝s₁₂+s₁₄,

ψ₄₄＝-Q₂-4bR₂,

ψ₇₁₂＝-τ_2iB_iW_i+M_iB_i,

ψ₁₂₁₂＝He(-τ_3iW_i),

则磁悬浮轴承系统的在全转速变化范围内随机稳定，且满足H_∞性能指标，K_i＝W_i ^-1N_i。

6.根据权利要求5所述的飞轮储能磁悬浮轴承时滞系统转速切换扰动抑制方法，其特征在于：对非线性项XBK项和XBLC进行解耦分离的分离解耦方法如下：

令K＝U^-1W，L＝-V^-1Y，将控制设计过程中的XBK项和XBLC重写为：

XBK＝XBU^-1W＝(XB-BU)U^-1W+BW，

以及，

-XBLC＝XBV^-1YC＝(XB-BV)V^-1YC+BYC。

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