CN113326645A - 一种柔性微型磁控机器人跳跃动态的分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种柔性微型磁控机器人跳跃动态的分析方法，采用数值分析描述机器人在准静态变形时所能达到的稳态挠度曲线，将稳态挠度曲线应用于大挠度跳跃模型，综合运用稳态分析和瞬态分析的方法，从理论上分析不同磁场强度对机器人变形的影响，阐明了垂直跳跃的过程和本质，得出了使机器人跳跃的理论最小磁场强度，通过构建数学模型，预测在一定磁场强度下机器人的跳跃高度的。

Description

一种柔性微型磁控机器人跳跃动态的分析方法

技术领域

本发明属于微型机器人领域，具体涉及一种柔性微型磁控机器人跳跃动态的分析方法。

背景技术

准确地将外界环境中的物体放置在人体内的适当位置，在生物医学中具有重要意义。例如，靶向治疗的药物需要直接作用于病变部位，以确保将最合适浓度的药物应用于病变部位，以达到最佳治疗效果，而不会对其他组织造成负面干扰。受损的器官和组织需要借助一些器械进行修复，这些器械需要放置在正确的位置才能发挥作用。然而，如何在人体内实现精确定位是一大挑战。

首先，人体内部环境小而复杂，不同形状的组织器官分布在不同的位置。外部环境中的物体需要经过漫长而曲折的通道才能到达目的地。如果物体的运动不受控制，就很难达到预定的目的地，这将大大削弱其作用效果。第二，物体在人体内的受力非常复杂。通道内的运动受管壁摩擦的影响，在液体环境中的运动方式多样而复杂，单纯用药物设计的方法很难实现准确定位。第三，有一些辅助工具已经投入临床使用，比如通过内窥镜显示内部环境来检测病变，或者直接注射将干细胞输送到受损组织。然而，这些辅助手段往往给诊断和治疗过程带来更大的复杂性，对患者可能产生不良影响。此外，人体内的许多深部构造通常无法被这些工具探测到。

在此背景下，将磁控微型机器人应用于生物体进行体内的药物输送被认为是一种解决方案。在外磁场的控制下，携带药物的小型柔性单体机器人可以在体内进行多模态的运动，最终成功到达目的地。它的优点是显而易见的。首先，微型机器人的尺寸通常限于毫米甚至微米。这使其很容易进入人体(例如通过口腔进入消化道)，降低了进入过程的复杂性。由于其体积小且体态柔软，在体内的运动不会对内部组织造成损伤，柔韧性高，阻力小。其次，由于微型机器人的运动控制是通过磁场实现的，磁场可以很容易地穿透人体而不会对人体造成额外伤害，这保证了该方法的安全性和有效性。通过改变磁场的大小和方向，可以方便地调整机器人的运动，并在不同的环境下采用合适的运动方式，简化机器人的输送过程。

在先前的研究中，研究者们对柔性微型机器人的运动进行了理论分析，并在实验使用相应的磁场实现了不同的运动模态。在这其中，对于柔性微型机器人的运动，跳跃是非常重要的运动模态。无论是在同一区域的快速运动，还是在不同区域之间的跨越，只依靠爬行是不够的，必须还要能够实现跳跃，实现机器人空间位置的快速改变，如此才能让微型机器人在更复杂的环境中也能够自由运动，从一个靶向点以非接触的方式抵达下一个靶向点。对跳跃这一运动模态的控制，需要通过恰当的数学建模来实现。

然而，在以往的研究中，对于微型磁控机器人跳跃动态的理论模型还远远不能令人满意。挠度曲线在分析磁场诱导的运动过程(特别是跳跃运动)中没有得到充分的应用。同时，由于忽略了阻尼力等实际因素，理论分析的可靠性也一般，计算预测值与实验测得的实际值相差甚远。

发明目的

本发明的目的就是应对现有技术的不足，提供一种柔性微型磁控机器人跳跃动态的分析方法。具体是采用数值分析的方法来描述机器人在准静态变形时所能达到的稳态挠度曲线，更清晰地描述磁场对微型机器人运动状态的影响，将稳态挠度曲线应用于大挠度跳跃模型，综合运用稳态分析和瞬态分析的方法，从理论上分析不同磁场强度对机器人变形的影响，阐明了竖直跳跃的过程和本质，得出了使机器人跳跃的理论最小磁场强度，并给出了能够预测在一定磁场强度下的跳跃高度的、与先前研究相比更合理的数学模型。

发明内容

本发明提供了一种柔性微型磁控机器人跳跃动态的分析方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一、搭建三维磁场亥姆霍兹线圈控制模型，并通过该三维磁场亥姆霍兹线圈提供一个强度、方向适当的磁场来控制磁性微型机器人的运动；所述三维磁场亥姆霍兹线圈由三对正交的电磁铁组成，通过Python程序智能调控每一个电磁铁上的电压随时间的变化，实现四维时空磁场控制，具体是通过包括聚集、分散、振荡、涡旋、飘带等多种运动模态在内的Python—AC/DC Power进行三维磁场亥姆霍兹线圈智能控制；

步骤二、对柔性微型磁控机器人进行准静态分析，将柔性微型机器人视为一根梁，将磁力的作用视为磁扭矩，进行材料力学分析，通过弧微分变换，将材料力学分析结果转换为挠度曲线；

步骤三、对柔性微型磁控机器人进行稳态分析与瞬态分析，构建模拟的柔性微型磁控机器人的跳跃过程；所述稳态分析指利用步骤二所得到柔性微型磁控机器人的准静态分析结果；所述瞬态分析指将稳态分析中所输入参数的改变视为时间尺度上瞬态的变化；通过所述稳态分析和瞬态分析，用若干静止的挠度曲线构建柔性微型磁控机器人跳跃过程，分析得到使所述柔性微型磁控机器人跳跃的最小磁场强度；

步骤四、粘弹性机器人的跳跃阻力分析，计算在一定磁场强度下的柔性微型磁控机器人的跳跃高度；将粘弹性机器人的跳跃过程分为“带动加速段”和“带动匀速段”，构建数学模型，通过所述“带动加速段”和“带动匀速段”的过程计算，得出在一定磁场强度下柔性微型磁控机器人的跳跃高度。

优选地，所述柔性微型柔性机器人本体的基材为Smooth-On Inc公司的密度为1.04g/cm³的Ecoflex 00-10聚合物基体，按1:1的质量比负载钕铁硼磁性微粒，所述钕铁硼磁性微粒为Magnequench公司的MQP15-7型号，平均直径为5μm，密度为7.61g/cm³；所述柔性微型磁控机器人的密度为1.85g/cm³；所述柔性微型磁控机器人的躯体被包裹在一根圆柱形木棒上，之后，连同圆柱形木棒一起放入脉冲磁化器中，施加2.00T的强磁场，使钕铁硼颗粒指向相同的磁化方向。

更优选地，所述柔性微型柔性机器人的制备方法包括以下步骤：

步骤S1：将所述Ecoflex 00-10聚合物基体和所述钕铁硼磁性微粒一起浇铸到平板玻璃上形成薄膜，同时充分搅拌混合以获得均匀成分的材料；

步骤S2：将步骤S1中获得的均匀成分的材料在室温下暴露于空气中5小时，固化形成完整整体；

步骤S3：用刀将步骤S2中形成的完成整体材料脱模并切割成特定尺寸的“机器人”。

优选地，所述步骤二进一步包括以下子步骤：

子步骤S21：定义m是指由输入磁场B₀引起的单位体积的磁矩，即磁化强度(分布),表示为如式(1)所示：

式中，M_t是总磁化强度，也称为净磁矩；m描述磁化方向的分布，在磁化之后，将展开之后的柔性微型磁控机器人初始的磁化强度分布m₀描述为如式(2)所示：

式中，m_0x和m_0y代表m在x轴和y轴上的分量，m和ω分别代表m_0(s)的模和角频率，其中ω＝2π/L；

施加外磁场B，按照分量表示为B[B_x，B_y，B_z]^T；

所述柔性微型磁控机器人初始时刻的总磁化强度M_t0，表示为如式(3)所示：

式中，A为横截面积，A＝wh；

在初始时刻，施加在机器人上面的力矩M_w0来自总磁化强度M_t与外加磁场B的向量积，表示为如式(4)所示：

M_w0＝M_t0×B (4)，

当M_t0和B不平行时，在外加磁场B的作用下，机器人整体会发生刚体转动，直到M_t0与B达到平行，力矩变为零；当机器人整体与外加磁场B相互作用后达到平衡时，m不再是变形前的方向，而是绕z轴旋转了θ角，用m_(s)来表示变形后的m；

子步骤S22：用绕z轴的标准旋转矩阵R来表示m_(s)，如式(5)、式(6)所示：

m_(s)＝Rm_0(s) (6)；

选取所述柔性微型磁控机器人沿长度方向的一段微元，将其曲率1/ρ、旋转(θ和沿长度方向的微段长度ds之间的关系表示为如式(7)所示：

对于力学梁的弯曲，有曲率1/ρ和沿z方向弯矩M_z之间的关系，如式(8)所示：

将式(7)带入式(8)计算得出M_z，如式(9)所示：

子步骤S23：在准静态的条件下，所述每一段微元都处在近似平衡的状态，其平衡方程表达为如式(10)所示：

M_z＝(M_z+dM_z)+ΔM_z (10)，

式(10)中，Mz和Mz+dMz分别表示微元两端的力矩，而ΔMz是由于微元体的分布力所产生的力矩，式(10)进一步被写成如式(11)所示：

引入一个新的物理量τ_z，定义为z方向上单位体积产生的磁扭矩，表示为如式(12)所示：

τ_z＝Rm₀×B (12)，

将其带入式(11)，得到如式(13)所示：

其中，τ_z是τ_z的模,τ_z＝[001]Rm₀×B，I_z是z轴的惯性矩,计算得出

从而完成了所述柔性微型磁控机器人的变形与力的关系的表征。

优选地，所述步骤三进一步包括以下子步骤：

子步骤S31：制作一个β＝-90°的柔性微型磁控机器人，并将其放置在平坦的基板上，所述基板由油纸制成；求解如式(14)所示的二阶偏微分方程：

其边界条件为

从而得到在磁场中所述柔性微型磁控机器人的形状；

子步骤S32：对于竖直起跳的情况，

令B_x＝0，则机器人将只在y方向上发生主动运动，x方向在大挠度情况下产生牵连运动，从而将式(14)简化为如式(15)所示：

子步骤S32：分别在不同的磁场强度B_y下，获得相应的θ-s挠度曲线，和y-x挠度曲线，从而得到所述柔性微型磁控机器人在基板上的稳定状态与磁场强度B_y之间的关系，分析得到使所述柔性微型磁控机器人跳跃的最小磁场强度。

优选地，所述步骤四进一步包括以下子步骤：

子步骤S41：将初始状态定义为所述柔性微型磁控机器人身体平铺在基板上的状态，将跳跃临界状态定义为所述柔性微型磁控机器人躯体准备在磁场强度稍大的情况下就触发跳跃的状态，在这两种状态之间，柔性机器人从磁力矩W所做的功中获得能量，该能量被重新分配为三个部分：所述柔性微型磁控机器人跳跃过程中应变能的变化ΔS，动能的变化ΔK以及摩擦损失Q，描述为如式(16)所示：

W-ΔS-Q＝ΔK (16)；

子步骤S42：假设65％的磁力矩W会转变成摩擦损失Q，35％的磁力矩W会转变成应变能ΔS和动能ΔK，将式(16)简化为如式(17)所示：

0.3507W-ΔS＝ΔK (17)；

对于一段微元ds，满足如式(18)所示的关系：

在一段微元ds中，磁力矩W与偏转角dθ成正比，假设初始时刻所述柔性微型磁控机器人充分平铺在基板上故初始时刻的θ_i等于零，则得到如式(19)所示关系：

所述应变能ΔS等于弯曲整个机器人的躯体所需要做的功，被表示为如式(20)所示：

磁力矩做的功被表示为如式(21)所示：

将τ_z＝[001]Rm₀×B、

代入式(21)可得如式(22)所示结果：

将式(22)简化为如式(23)所示：

子步骤S43：对于竖直起跳的情况，B_x＝0且B_y＝B，则磁力矩所做的功如式(24)所示：

在跳跃的最高点，假设全部的动能ΔK都转变成了重力势能，则ΔK被表示为如式(25)所示：

ΔK＝m_rgH_max (25)，

其中，m_r代表柔性机器人的质量；

联立式(24)、(25)即可以计算得到所述柔性微型磁控机器人跳跃的最高高度H_max如式(26)所示：

子步骤S44：选取邻近使所述柔性微型磁控机器人跳跃的最小磁场强度下的稳定状态解θ(s)作为θ_f(s)，利用MATLAB计算得出稳定状态的解θ(s)作为θ_f(s)，带入式26中，通过无穷小分析得到H_max的值。

附图说明

图1是本发明的一个实施例的磁控微型柔性机器人的磁化示意图。

图2是本发明的一个实施例的磁控微型柔性机器人的几何参数及磁化强度分布。

图3是本发明的一个实施例的磁控微型柔性机器人沿长度方向的一段微元的曲率(1/ρ)、旋转角(θ)和微段长度(ds)的几何关系示意图。

图4是本发明的一个实施例的磁控微型柔性机器人的准静态分析所得到的挠度曲线。

图5是By＝1mT的θ-s曲线和y-x曲线(小挠度，稳定解)。

图6是By＝3mT的θ-s曲线和y-x曲线(小挠度，稳定解)。

图7是By＝5mT的θ-s曲线和y-x曲线(中/小挠度，介稳解)。

图8是By＝6mT的θ-s曲线和y-x曲线(中挠度，非稳定解)。

图9是By＝9mT的θ-s曲线和y-x曲线(大挠度，非稳定解)。

图10是By＝15mT的θ-s曲线和y-x曲线(大挠度，非稳定解)。

图11是本发明的一个实施例的磁控微型柔性机器人在β＝-90°的磁化强度分布图。

图12是本发明的一个实施例的磁控微型柔性机器人竖直跳跃的过程和本质分析。

具体实施方式

以下结合附图详细阐述本发明的具体实施方法。需要指出的是，本领域技术人员应当明白，本部分的具体实施方式仅是为了使技术人员能够更好地理解本发明，但不能将它们理解为对本发明保护范围的限定。

实施例

下面以具体的柔性微型磁控机器人为实例，描述对其跳跃动态分析的完整方法。

(1)微型柔性机器人的制备

微型柔性机器人本体的基材为Ecoflex 00-10聚合物基体(Smooth-On Inc.；密度为1.04g/cm3)按1:1的质量比负载钕铁硼磁性微粒(MQP15-7，Magnequench；平均直径为5μm，密度为7.61g/cm3)。Ecoflex 00-10聚合物基体为机器人躯体提供了基本的强度和弹性，而NdFeB微粒则赋予机器人对磁场做出响应并实现不同运动模态的能力。所得磁性机器人的密度为1.85g/cm3。

在机器人的制备过程中，聚合物基体和NdFeB磁性微粒一起被浇铸到平板玻璃上形成薄膜，同时充分搅拌混合以获得均匀的成分。材料在室温下暴露于空气中5小时，在此期间聚合物基体固化，使混合材料成为一个完整的整体。然后用刀将材料脱模并切割成特定尺寸的“机器人”——长度L＝3.7mm，宽度w＝1.5mm，高度h＝0.185mm。机器人很容易被磁铁吸引，这证明了钕铁硼磁性微粒给机器人带来了磁性。

为了给机器人一个正弦的磁化强度分布，把它的躯体包裹在一根周长为3.7mm的圆柱形木棒上。然后把包裹好的躯体连同圆柱形木棒一起放入脉冲磁化器中，施加2.00T的强磁场，使NdFeB颗粒指向相同的磁化方向,如附图1所示。脉冲磁化器中的强磁场给被包裹的机器人身体带来了一个正弦的磁化强度分布m)。为了在磁化强度分布m中产生相移β，杆在磁化过程中保持β的角度——即缠绕起点(缠绕接头)和竖直方向之间的角度(假设用于磁化的B沿水平方向，因此竖直方向与B竖直)。最后，展开机器人的躯体，卷曲时平行分布的磁化强度变成了展开后沿其长度呈谐波(正弦)分布的磁化曲线，如图2所示。

本实验自行搭建的磁驱动装置由三对正交的电磁铁组成，其内腔尺寸为80mm×80mm×50mm。

根据事先标定好的工作曲线，可以根据需要的磁场强度，适当控制各电磁铁上的电压，从而提供一个强度、方向适当的磁场来控制磁性微型机器人的运动。

(2)柔性微型磁控机器人准静态分析理论

在这里，首先给出m的定义，m是指由输入磁场B₀引起的单位体积的磁矩，即磁化强度(分布)，表示为如式(1)所示：

式中，M_t是总磁化强度，也称为净磁矩。m描述磁化方向的分布，由于上述磁化过程，对于展开之后的柔性机器人，其初始的磁化强度分布m₀可以描述为如式(2)所示：

式中，m_0x和m_0y代表m在x轴和y轴上的分量，m和ω分别代表m_0(s)的模和角频率，其中ω＝2π/L。

施加外磁场B，按照分量表示为

首先，把整个机器人当作研究对象。因此，需要得到初始时刻的总磁化强度M_t0，表示为如式(3)所示：

式中，A为横截面积，A＝wh。在初始时刻，施加在机器人上面的力矩(M_w0)来自总磁化强度M_t与外加磁场B的向量积，表示为如式(4)所示：

M_w0＝M_t0×B (4)，

根据式(4)，容易得到，当M_t0和B不平行时，在外加磁场B的作用下，机器人整体会发生刚体转动，直到M_t0与B达到平行，力矩变为零。

实际上，如果机器人不发生形变，

这意味着其并不会发生刚体转动。然而，如果机器人发生了形变，则可能发生刚性旋转。因为当变形体与外加磁场B相互作用后达到平衡时，m不再是变形前的方向，而是绕z轴旋转了θ角。这里，用mn_(s)来表示变形后的m。为了简化研究，类似于材料力学中梁的挠度分析，将重点放在柔性机器人的弯曲问题上。为了简化，令Bz＝0，研究xy平面的磁场对机器人的影响，此时机器人就像梁一样绕着z轴转动，能够使用材料力学的方法分析其受力与运动状态。

根据以上分析，m_(s)可以用绕z轴的标准旋转矩阵R来表示，如式(5)、式(6)所示：

m_(s)＝Rm_0(s) (6)。

接下来，如图3所示，考虑机器人沿长度方向的一段微元，由几何关系，有曲率(1/ρ)、旋转角(θ)和沿长度方向的微段长度(ds)之间的关系，表示为如式(7)所示：

与经典的材料力学分析不同的是，这里的微分量是ds而不是dx，因为前者对于任意幅度的弯曲都适用，而后者只适用于小挠度的近似情况。

此外，对于梁的弯曲，有曲率(1/ρ)和沿z方向弯矩(M_z)之间的关系，如式(8)所示：

将式(7)带入式(8)计算得出M_z，如式(9)所示：

图4示出了对微型机器人进行准静态分析的过程。在准静态的条件下，每一段微元都处在近似平衡的状态，因此平衡方程可以表达为如式(10)所示：

M_z＝(M_z+dM_z)+ΔM_z (10)。

此处，M_z和M_z+dM_z分别表示微元两端的力矩，而ΔM_z是由于微元体的分布力所产生的力矩，因此，式(10)可以写成如式(11)所示：

引入一个新的物理量τ_z，定义为z方向上单位体积产生的磁扭矩，如式(12)所示：

τ_z＝Rm₀×B (12)，

因此，式(11)可以写成如式(13)所示：

在这里，τ_z是τ_z的模，τ_z＝[001]Rm₀×B.I_z是z轴的惯性矩，计算可得

至此，已经得到了机器人变形与力的关系，包括整体力和微元力。

(3)跳跃运动模态的分析

为了简化，选取竖直起跳的情况进行分析。

制作一个β＝-90°的柔性机器人，并将其放置在平坦的基板上，为了减小阻碍跳跃运动的摩擦力，用油纸代替普通纸作为基板材料。

根据以上的分析，只需求解如式(14)所示的二阶偏微分方程；

其边界条件为

从而得到在磁场中柔性机器人的形状。

对于竖直起跳的情况，

且为了简化问题，令B_x＝0，这样机器人将只在y方向上发生主动运动，x方向在大挠度情况下产生牵连运动。

于是得到简化的方程如式(15)所示：

通过尝试不同的磁场强度，可得到相应的挠度曲线，从而得到机器人在基板上的稳定状态与磁场强度之间的关系，通过对这一关系的深入分析，可以揭示机器人起跳过程的原理。

图5、图6、图7、图8、图9、图10分别为B_y＝1、3、5、6、9、15mT式的θ-s曲线和y-x曲线，由图可知，当B_y＝1、3mT时，为“小挠度，稳定解”的情形；当B_y＝5mT时，为“中/小挠度，介稳解”；当B_y＝6mT时，为“中挠度，非稳定解”；当B_y＝9mT时，为“大挠度，非稳定解”的情形，最大残差(0.00683569)高于容差(0.001)，因此解是不稳定的，与B_y＝6mT的情况相比，挠度曲线的形态整体变化不大，但弯曲程度更高了；当B_y＝15mT时，为“大挠度，非稳定解”的情形，最大残差(0.527802)高于容差(0.001)，因此解是不稳定的。与B_y＝9mT的情况相比，挠度曲线的形态整体变化很小，即使进一步增大磁场强度也不会造成明显的挠度曲线形态变化了。

根据以上结果，可以分析机器人是如何从基板上成功实现起跳的。由于相位角β＝-90°，磁化强度分布如图11所示。在这种情况下，提供一个y方向的磁场B。由于M＝m×B，最初，柔性机器人身体的左侧有逆时针旋转的趋势，而右侧有顺时针旋转的趋势。这将使机器人身体的中间部分上升，而两端与基板保持接触，形成一个小挠度凸曲线。如果小挠度凸曲线符合最终的稳定形状，则机器人本体将保持该形状在基底上。但是，如果小挠度凸曲线不符合最终的稳定形状，则机器人本体可能会发生其他形式的变形。机器人在必须变形但依靠基板的支撑无法完成的情况下可能会因为能量积聚而跳起来。

当B_y＝1mT/3mT/5mT时，柔性机器人最终的稳定形状就是一条小挠度凸曲线。因此，机器人的身体只会保持这个稳定的形状在基板上，并不会跳起来。相比之下，当B_y＝6mT时，解的性质变化很大，挠度曲线的形状由凸曲线变为凹曲线。因此，初始变形时形成的小挠度凸曲线是不稳定的，因为最终状态应该是中挠度的凹曲线。所以机器人的身体有向最终状态转变的趋势。然而，随着机器人本体中部的上升，凸曲面体在变形过程中凸曲率越来越大，与凹曲面的“稳定态”背道而驰，这种寻找稳态的失败会使其继续变形。由于支撑面的限制，柔性机器人不可能由凸曲率很大的曲面再转化为凹面，故不可能达到稳定点，但在这个形变的过程中会积累弹性应变能和动能，直到其中一部分与基板脱离接触，最后在某一点跳起来，释放动能，转化为重力势能，实现跳高的运动模态，具体如图12所示，阐述了磁控微型柔性机器人竖直跳跃的过程和本质分析，所示流程即为跳跃过程本质，使机器人跳跃的理论最小磁场强度为6mT。

然而，当B_y＝6mT时，机器人实际上并没有跳起来，因为B_y＝6mT刚好在初始变形形成的小挠度凸曲线的不稳定临界点附近，所以跳起来的驱动力太小。由于机器人本体的跳跃还有其它阻碍，如摩擦能量损失等，这样小的动力不会引起跳跃运动。相反，初始的B_y＝6mT正好抵消了摩擦能量损失(与基体的接触摩擦、空气阻力和软机器人内部的粘弹性损失)，使得跳跃运动在更强的磁场中成为可能。

当B_y为6mT到9mT时，稳定挠度曲线的弯曲程度提高，不改变机器人跳跃的趋势，同时增强了机器人起跳的动力。当B_y大于9mT时，稳定挠度曲线变化不大。然而，较大的磁场强度仍然为跳跃运动提供了更大的动力。

在实验中，软机器人身体跳起的最低B_y为20.1mT，这大致相当于B_y＝18.9mT时的结果。实际上，20.1mT的大小符合上面的理论分析，6mT的磁场抵消了摩擦能量的损失，为机器人跳跃提供了基本趋势，而更高的磁场大小为跳跃运动提供了更大的动力。在实验中，大约有14.1mT的磁场被用来为跳跃提供额外的动力(可以看作是动能)。

(4)起跳高度的分析

通过以上分析，得到了更多的关于磁场大小可以使柔性机器人从衬底上起跳的信息，这是进行更深层次研究的基础。显然，对于跳高的运动模态来讲，跳跃高度也是一个重要的问题。为了更好地控制机器人的跳高运动，需要知道在一定的磁场强度下，机器人的跳跃高度。因此，以下将用能量守恒的方法来分析柔性机器人在磁场作用下的跳跃高度。

将初始状态定义为机器人身体平铺在基板上的状态，将跳跃临界状态定义为机器人躯体准备在磁场强度稍大的情况下就触发跳跃的状态。

基于能量守恒原理，在这两种状态之间，柔性机器人从磁力矩W所做的功中获得能量。然后，该能量被重新分配为三个部分：机器人跳跃过程中应变能的变化ΔS，动能的变化ΔK以及摩擦损失Q，描述为如式(16)所示：

W-ΔS-Q＝ΔK (16)。

在实验中，6mT的磁场为机器人提供了跳跃的基本趋势，补偿了能量损失，而约14.1mT的磁场用于提供额外的跳跃动力。为了进行定量计算，做两个假设：第一个假设是，初始6mT磁场产生的磁力矩W全部转化为摩擦损耗Q，为机器人的跳跃积累了基本趋势，这种近似可能看起来很突然，但实际上是合理的，最初，磁场输入的能量主要通过准静态摩擦能量损失来耗散，在准静态过程中，机器人机体调整到允许跳跃的姿态，获得了基本的跳跃倾向，就像一块从斜坡上均匀滑动的石块，所有的重力势能都转化为热能耗散到环境中；第二个假设是，假设由盈余的14.1mT磁场引起的磁力矩W变成应变能ΔS、动能ΔK和摩擦损失Q三部分这个过程中，摩擦损失Q等于这部分磁力矩W的一半，这个假设的合理性在于，由于附加磁场导致一个方向的运动，使机器人最终加速跳跃而不是一直处于准静态过程，此时的摩擦损失Q仍然存在但不属于压倒性因素，故假设其等于W的一半是可行的，此外，14.1mT磁场主要用于补充动能，就像一个物体被传送带加速一样，对于匀加速运动，一半的能量变成了摩擦损失，另一半的能量使物体加速，将起跳过程的后半段近似成传送带上面加速的物体，那么Q＝W/2就是自然成立的结论。

根据以上近似进行估计，(6+(14.1/2))/20.1＝64.93％的磁力矩W会转变成摩擦损失Q，而(14.1/2)/20.1＝35.07％的磁力矩W将会转变成应变能ΔS和动能ΔK，于是，能量守恒方程可以简化为如式(17)所示：

0.3507W-ΔS＝ΔK (17)：

对于一段微元ds，满足如式(18)所示的关系：

这意味着，在一段微元ds中，磁力矩W与偏转角dθ成正比，类比弹簧弹性势能的计算，并假设初始时刻机器人充分平铺在基板上故初始时刻的θ_i等于零，于是有如式(19)所示关系：

应变能ΔS等于弯曲整个机器人的躯体所需要做的功，表示为如式(20)所示：

另一方面，磁力矩做的功可以表示为如式(21)所示：

由于τ_z＝[001]Rm₀×B、

将它们代入式(21)可得如式(22)所示结果：

由于外加磁场和磁化强度分布都与θ是相互独立的，因此我们可以进一步化简上面的积分表示为如式(23)所示：

对于竖直起跳的情况，B_x＝0且B_y＝B，因此磁力矩做的功可以表示为如式(24)所示：

在最高点，假设全部的动能ΔK都转变成了重力势能。实际上，一部分的应变能ΔS应该也转变成了重力势能，但考虑到机器人在空中飞行过程中的形态变化不明显，故忽略这一项的影响。于是ΔK被表示为如式(25)所示：

ΔK＝m_rgH_max (25)，

其中，m_r代表柔性机器人的质量。

联立以上方程，得到H_max的表达式如式(26)所示：

代入几何参数和物理参数：|m|＝62000A/m，A＝wh＝2.775×10^-7m²，E＝8.5×10⁴Pa，I＝7.91453×10^-16m⁴，m_r＝1.9098×10^-6kg，g＝9.8015m/s²，B＝20.1mT，则上面的方程可以进一步简化，从而得到H_max的计算式被表示为如式(27)所示：

为了最终计算H_max，需要得到θ_f(s)。一般来讲，通过理论分析很难得到这个函数，取而代之的是，需要用摄像机来记录真实的跳跃过程，找到跳跃临界点，并从跳跃临界点的图片中得到θ_f(s)。这是一项复杂的工作，因为它对摄影技术提出了很高的要求.

然而，还有另一种方法来得到θ_f(s)。通过以上分析，得出结论，虽然实际实验中的跳跃临界点要求磁场较强，但理论上的跳跃临界点出现在5mT到6mT之间。5mT的情况对应于相对稳定的形状，而6mT的情况给出了一个完全不同的形状，它会引起反向变形，从而导致跳跃运动。因此，可以假设5mT情况下的稳定状态大致是机器人在临界跳跃点的身体形状。利用MATLAB给出的5mT稳定状态的解θ(s)作为θ_f(s)，进行上述积分，通过无穷小分析得到H_max。

通过计算，得到H_max的值如式(28)所示：

H_max＝12.3mm (28)。

与之前研究给出的理论计算值25.9mm的H_max相比，这一结果是一个相对较小的近似值，更加接近实际情况。然而，应该注意的是，实际的跳跃高度总是低于理论结果，在实验中是10.8毫米，在以前的研究中是4.9毫米。因此，在研究中，理论结果更接近于实验中真实的跳跃高度，给出了更为精确的近似值。这证明了在临界跳跃点处，5mT情况的稳定状态大致为机器人机体形状的假设是合理的，从而说明了本工作的前后自洽性。虽然相对误差仍然存在，但是由于柔性机器人的测量和计算非常复杂，必须引入大量近似，而且以往的研究只显示出较高的相对误差，因此本发明已经取得了显著的进步。

综上所述，本发明与现有相比，对微型磁控柔性机器人起跳过程的机理和起跳高度的预测都有更好的描述。本发明的创新点在于，采用准静态分析的方法对机器人的动态弹跳过程进行了研究，从而规避了复杂的粘弹性体瞬态非平衡态建模。在分析起跳过程的基础上，将准静态分析方法与能量守恒相结合，在适当的近似下，给出了较现有技术相比更为合理的起跳高度值。

Claims (6)

1.一种柔性微型磁控机器人跳跃动态的分析方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一、搭建三维磁场亥姆霍兹线圈控制模型，并通过该三维磁场亥姆霍兹线圈提供一个强度、方向适当的磁场来控制磁性微型机器人的运动；所述三维磁场亥姆霍兹线圈由三对正交的电磁铁组成，通过Python程序智能调控每一个电磁铁上的电压随时间的变化，实现四维时空磁场控制，具体是通过包括聚集、分散、振荡、涡旋、飘带等多种运动模态在内的Python—AC/DC Power进行三维磁场亥姆霍兹线圈智能控制；

步骤二、对柔性微型磁控机器人进行准静态分析，将柔性微型机器人视为一根梁，将磁力的作用视为磁扭矩，进行材料力学分析，通过弧微分变换，将材料力学分析结果转换为挠度曲线；

步骤三、对柔性微型磁控机器人进行稳态分析与瞬态分析，构建模拟的柔性微型磁控机器人的跳跃过程；所述稳态分析指利用步骤二所得到柔性微型磁控机器人的准静态分析结果；所述瞬态分析指将稳态分析中所输入参数的改变视为时间尺度上瞬态的变化；通过所述稳态分析和瞬态分析，用若干静止的挠度曲线构建柔性微型磁控机器人跳跃过程，分析得到使所述柔性微型磁控机器人跳跃的最小磁场强度；

步骤四、粘弹性机器人的跳跃阻力分析，计算在一定磁场强度下的柔性微型磁控机器人的跳跃高度；将粘弹性机器人的跳跃过程分为“带动加速段”和“带动匀速段”，构建数学模型，通过所述“带动加速段”和“带动匀速段”的过程计算，得出在一定磁场强度下柔性微型磁控机器人的跳跃高度。

2.根据权利要求1所述的一种柔性微型磁控机器人跳跃动态的分析方法，其特征在于，所述柔性微型柔性机器人本体的基材为Smooth-On Inc公司的密度为1.04g/cm³的Ecoflex00-10聚合物基体，按1:1的质量比负载钕铁硼磁性微粒，所述钕铁硼磁性微粒为Magnequench公司的MQP15-7型号，平均直径为5μm，密度为7.61g/cm³；所述柔性微型磁控机器人的密度为1.85g/cm³；所述柔性微型磁控机器人的躯体被包裹在一根圆柱形木棒上，之后，连同圆柱形木棒一起放入脉冲磁化器中，施加2.00T的强磁场，使钕铁硼颗粒指向相同的磁化方向。

3.根据权利要求2所述的一种柔性微型磁控机器人跳跃动态的分析方法，其特征在于，所述柔性微型柔性机器人的制备方法包括以下步骤：

步骤S1：将所述Ecoflex 00-10聚合物基体和所述钕铁硼磁性微粒一起浇铸到平板玻璃上形成薄膜，同时充分搅拌混合以获得均匀成分的材料；

步骤S2：将步骤S1中获得的均匀成分的材料在室温下暴露于空气中5小时，固化形成完整整体；

步骤S3：用刀将步骤S2中形成的完成整体材料脱模并切割成特定尺寸的“机器人”。

4.根据权利要求1所述的一种柔性微型磁控机器人跳跃动态的分析方法，其特征在于，所述步骤二进一步包括以下子步骤：

子步骤S21：定义m是指由输入磁场B₀引起的单位体积的磁矩，即磁化强度(分布),表示为如式(1)所示：

式中，M_t是总磁化强度，也称为净磁矩；m描述磁化方向的分布，在磁化之后，将展开之后的柔性微型磁控机器人初始的磁化强度分布m₀描述为如式(2)所示：

式中，m_0x和m_0y代表m在x轴和y轴上的分量,m和ω分别代表m_0(s)的模和角频率，其中ω＝2π/L；

施加外磁场B,按照分量表示为B[B_x,B_y,B_z]^T；

所述柔性微型磁控机器人初始时刻的总磁化强度M_t0，表示为如式(3)所示：

式中，A为横截面积,A＝wh；

在初始时刻，施加在机器人上面的力矩M_w0来自总磁化强度M_t与外加磁场B的向量积，表示为如式(4)所示：

M_w0＝M_t0×B (4)，

当M_t0和B不平行时,在外加磁场B的作用下，机器人整体会发生刚体转动，直到M_t0与B达到平行，力矩变为零；当机器人整体与外加磁场B相互作用后达到平衡时，m不再是变形前的方向，而是绕z轴旋转了θ角,用m_(s)来表示变形后的m；

子步骤S22：用绕z轴的标准旋转矩阵R来表示m_(s),如式(5)、式(6)所示：

m_(s)＝Rm_0(s) (6)；

选取所述柔性微型磁控机器人沿长度方向的一段微元，将其曲率1/ρ、旋转(

和沿长度方向的微段长度ds之间的关系表示为如式(7)所示：

对于力学梁的弯曲，有曲率1/ρ和沿z方向弯矩M_z之间的关系，如式(8)所示：

将式(7)带入式(8)计算得出M_z,如式(9)所示：

子步骤S23：在准静态的条件下，所述每一段微元都处在近似平衡的状态，其平衡方程表达为如式(10)所示：

M_z＝(M_z+dM_z)+ΔM_z (10)，

式(10)中，Mz和Mz+dMz分别表示微元两端的力矩,而ΔMz是由于微元体的分布力所产生的力矩，式(10)进一步被写成如式(11)所示：

引入一个新的物理量τ_z,定义为z方向上单位体积产生的磁扭矩,表示为如式(12)所示：

τ_z＝Rm₀×B (12),

将其带入式(11)，得到如式(13)所示：

其中，τ_z是τ_z的模,τ_z＝[001]Rm₀×B，I_z是z轴的惯性矩,计算得出

从而完成了所述柔性微型磁控机器人的变形与力的关系的表征。

5.根据权利要求1所述的一种柔性微型磁控机器人跳跃动态的分析方法，其特征在于，所述步骤三进一步包括以下子步骤：

子步骤S31：制作一个β＝-90°的柔性微型磁控机器人，并将其放置在平坦的基板上，所述基板由油纸制成；求解如式(14)所示的二阶偏微分方程：

其边界条件为

从而得到在磁场中所述柔性微型磁控机器人的形状；

子步骤S32：对于竖直起跳的情况，

令B_x＝0，则机器人将只在y方向上发生主动运动，x方向在大挠度情况下产生牵连运动，从而将式(14)简化为如式(15)所示：

子步骤S32：分别在不同的磁场强度B_y下，获得相应的θ-s挠度曲线，和y-x挠度曲线，从而得到所述柔性微型磁控机器人在基板上的稳定状态与磁场强度B_y之间的关系，分析得到使所述柔性微型磁控机器人跳跃的最小磁场强度。

6.根据权利要求1所述的一种柔性微型磁控机器人跳跃动态的分析方法，其特征在于，所述步骤四进一步包括以下子步骤：

子步骤S41：将初始状态定义为所述柔性微型磁控机器人身体平铺在基板上的状态，将跳跃临界状态定义为所述柔性微型磁控机器人躯体准备在磁场强度稍大的情况下就触发跳跃的状态，在这两种状态之间，柔性机器人从磁力矩W所做的功中获得能量，该能量被重新分配为三个部分：所述柔性微型磁控机器人跳跃过程中应变能的变化ΔS，动能的变化ΔK以及摩擦损失Q，描述为如式(16)所示：

W-ΔS-Q＝ΔK (16)；

子步骤S42：假设65％的磁力矩W会转变成摩擦损失Q，35％的磁力矩W会转变成应变能ΔS和动能ΔK，将式(16)简化为如式(17)所示：

0.3507W-ΔS＝ΔK (17)；

对于一段微元ds,满足如式(18)所示的关系：

在一段微元ds中,磁力矩W与偏转角dθ成正比，假设初始时刻所述柔性微型磁控机器人充分平铺在基板上故初始时刻的θ_i等于零，则得到如式(19)所示关系：

所述应变能ΔS等于弯曲整个机器人的躯体所需要做的功,被表示为如式(20)所示：

磁力矩做的功被表示为如式(21)所示：

将τ_z＝[001]Rm₀×B、

代入式(21)可得如式(22)所示结果：

将式(22)简化为如式(23)所示：

子步骤S43：对于竖直起跳的情况,B_x＝0且B_y＝B，则磁力矩所做的功如式(24)所示：

在跳跃的最高点，假设全部的动能ΔK都转变成了重力势能，则ΔK被表示为如式(25)所示：

ΔK＝m_rgH_max (25)，

其中，m_r代表柔性机器人的质量；

联立式(24)、(25)即可以计算得到所述柔性微型磁控机器人跳跃的最高高度H_max如式(26)所示：

子步骤S44：选取邻近使所述柔性微型磁控机器人跳跃的最小磁场强度下的稳定状态解0(s)作为0_f(s)，利用MATLAB计算得出稳定状态的解θ(s)作为θ_f(s)，带入式26中，通过无穷小分析得到H_max的值。

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