CN113305834B - 一种二自由度机械臂最优控制问题的全局模式搜索方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种二自由度机械臂最优控制问题的全局模式搜索方法，先在搜索空间内对均匀分布的数个点进行计算，在具有最小函数值的点附近才展开迭代搜索。这种搜索方法既有传统模式搜索方法的快速迭代特点，又使得到的最优点在整个搜索空间内也是全局最优的，提高了搜索方法的实用性。另外，本发明在每次迭代搜索后均利用现有点集计算单纯形梯度，根据单纯形梯度来设计新的搜索向量集，使得每一次迭代的搜索向量都能更准确地反映目标函数的梯度下降方向，从而进一步降低搜索成本，提高搜索速率。

Description

一种二自由度机械臂最优控制问题的全局模式搜索方法

技术领域

本发明涉及机器人控制的技术领域，尤其涉及到一种二自由度机械臂最优控制问题的全局模式搜索方法。

背景技术

机械臂是一种最常见的机械作业装置，由数根刚性臂及数个转动关节轴组成。机械臂操作灵活，在工业领域有着广泛的应用。但机械臂也是一类具有高度非线性特点的复杂系统，因此，机械臂的控制问题一直是控制领域中的研究重点。

状态相关控制是一种适用于机械臂的非线性最优控制方法，其主要操作流程如图2所示。Francesco Topputo等人曾在《Optimal Selection of the Coefficient Matrixin State-Dependent Control Methods》提出过这类方法。这种方法将系统中的非线性项表达为一组带参数的状态相关矩阵与状态量的乘积之和，再通过求解状态相关黎卡提方程来获取控制律。状态相关控制方法实现简单，但状态相关矩阵参数对系统可控性乃至控制性能皆有影响。因此，如何获取最大系统可控性所对应的状态相关矩阵参数，成为了一个本发明所研究的导数无关优化问题。

最优化方法是以最小化某个目标函数为目的，在可行解区域内找寻最优解的一系列方法的总称。对于具有可导目标函数的问题，可以通过牛顿法、共轭梯度法等使用导数的优化方法寻找最优解。导数无关优化问题是实际生活中常见的一种问题，这类问题具有不可导或不可解析的目标函数，因此只能使用导数无关的搜索类方法来寻找最优解。

根据所得最优解是否有局限性，直接搜索方法可以分为全局搜索方法和局部搜索方法。诸如模拟退火的全局搜索方法，其思想是在解空间中随机采样寻找更优的解，寻得的新解也有一定概率被淘汰，从而避免了最优解的局部最优性质。但这类方法的搜索时间较长，不能盲目增加搜索速度。诸如模式搜索的局部搜索方法，其思想是以解空间中的正交基向量作为目标函数梯度下降的大致方向，并沿着这个方向寻找最优解。这类方法在计算机上的实现较为简单，且具有较快的搜索速度，但它所得到的最优解不具有全局最优特性。为此，寻找搜索速度更快、易用于优化控制性能的搜索方法，是当前状态相关控制技术中的一个研究重点，也是全局最优化方法技术领域的一个研究重点。

发明内容

本发明的目的在于克服传统全局搜索方法的搜索缓慢缺点，同时解决模式搜索只能求局部解的缺点，针对二自由度机械臂系统，提供一种二自由度机械臂最优控制问题的全局模式搜索方法，用于解决系统可控性关于状态相关矩阵参数的最优化问题。

为实现上述目的，本发明所提供的技术方案为：

一种二自由度机械臂最优控制问题的全局模式搜索方法，首先，针对控制系统的最优可控性，设定三维导数无关最优化问题，设定待优化变量、连续不可导目标函数及闭凸锥约束；然后，在搜索空间内对均匀分布的数个点进行计算，在具有最小目标函数值的点附近展开迭代搜索；最后，每次迭代搜索后均利用现有点集计算单纯形梯度，根据单纯形梯度来设计新的搜索向量集，使得每一次迭代的搜索向量都能准确地反映目标函数的梯度下降方向。

进一步地，找出最小目标函数值的点以及在具有最小目标函数值的点附近展开迭代搜索的具体过程如下：

1)从闭凸锥约束中找出互异顶点，建立顶点集U；

2)根据顶点集U构造候选点，分别计算候选点对应的目标函数值，计算得到具有最小目标函数值的候选点α₁；

3)根据顶点集U构造搜索向量集D；

4)初始化迭代次数k＝1，设置首次迭代的搜索向量集D₁＝D、首次迭代步长Δ₁∈R⁺、最小搜索步长Δ_min∈R⁺、放大底数τ∈R、放大参数ω∈R；

5)以α_k为初始点，开始第k次模式搜索，获取本次迭代的最优点α_k+1，并更新第k+1次迭代的步长Δ_k+1；

6)若Δ_k+1＜Δ_min，则停止迭代，输出最优解α_opt＝α_k+1及目标函数最优值f(α_opt)＝f(α_k+1)；否则更改当前迭代次数为k+1，重复步骤5)。

进一步地，5-1)构建本次迭代的搜索点集M_k；在搜索点集M_k中随机取点，对这些点做边界修正，分别计算每个边界修正后的点m_kη对应的目标函数值f(m_kη)，并用这些点m_kη建立本次迭代的候选点集X_k；若本次迭代的候选点集X_k中存在具有最小目标函数值的候选点，且该点函数值比上一次迭代的最小函数值还要小，则说明本次搜索成功，将该点记作本次迭代的最优点，并跳过步骤5-2)；若不存在这样的点，则说明本次搜索失败；

5-2)若本次搜索失败，则将下次迭代的搜索向量集D_k+1设置回首次迭代的搜索向量集D；与此同时，构建本次迭代的补偿搜索点集P_k；在补偿搜索点集P_k中一边取点一边计算其目标函数值，若存在某个点的目标函数值比上一次迭代的最小函数值更小，则说明补偿搜索成功，将该点记作本次迭代的最优点；若补偿搜索点集中不存在这样的点，则说明补偿搜索失败，仍将上次迭代的最优点记作本次迭代的最优点；

5-3)根据补偿搜索的失败与否，更新下一次迭代的搜索步长Δ_k+1；

5-4)若本次搜索成功，则利用本次迭代的候选点集X_k计算单纯形梯度向量

并利用施密特正交化方法，将单纯形梯度向量

扩展成一组三维的正交基向量

记作下一次迭代的搜索向量集D_k+1。

与现有技术相比，本方案原理及优点如下：

1.本方案改进了传统的模式搜索方法：传统模式搜索方法仅仅从初始点附近迭代搜索，获得的最优点并不能保证全局最优；本方案先在搜索空间内对均匀分布的数个点进行计算，在具有最小函数值的点附近才展开迭代搜索。这种搜索方法既有传统模式搜索方法的快速迭代特点，又使得到的最优点在整个搜索空间内也是全局最优的，提高了搜索方法的实用性。

2.本方案的另一个特点是利用单纯形梯度构造搜索向量集：传统模式搜索方法的搜索向量集多为固定集合，其搜索向量在大多情况下只能粗糙地指示目标函数的梯度下降方向，搜索速度也因此无法进一步加强；本方案在每次迭代搜索后都会利用现有点集计算单纯形梯度，根据单纯形梯度来设计新的搜索向量集，使得每一次迭代的搜索向量都能更准确地反映目标函数的梯度下降方向，从而进一步降低搜索成本，提高本方案的搜索速率。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的服务作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本发明一种二自由度机械臂最优控制问题的全局模式搜索方法的原理流程图；

图2为二自由度机械臂非线性最优控制问题的解题流程图；

具体实施方式

在说明实施例之前，先对二自由度机械臂非线性最优控制问题进行说明，如图2所示，具体如下：

式(1)中，x(t)∈R²为系统状态量，u(t)∈R为控制量，f(x,t)∈R²为系统非线性函数向量，B∈R^2×1为常数矩阵；J∈R为系统需要优化的性能指标，L(x,u,t)∈R为性能函数，t_i∈R、t_f∈R分别为该问题的开始时间和结束时间；其中，非线性向量f(x,u,t)用四种不同的状态相关矩阵A_i(x,t)∈R^2×2,i＝1,2,3,4表述成以下形式：

f(x,u,t)＝A(α,x,t)x(t) (2)

A(α,x,t)＝(1-α₁)(1-α₂)(1-α₃)A₁(x,t)+α₁(1-α₂)(1-α₃)A₂(x,t)+α₂(1-α₃)A₃(x,t)+α₃A₄(x,t) (3)

式(2)和式(3)中，α＝[α₁,α₂,α₃]^T∈R³为对应的状态相关矩阵参数，具有以下约束：

利用式(3)，问题(1)被重新描述为以下形式：

在问题(5)中，控制系统具有较为复杂的变系数矩阵A(α,x,t)，这意味着系统在控制过程中更容易出现不可控性，从而使得控制性能不稳定。可控性指一个系统在某个适当控制下，能够在有限时间内，使偏离平衡状态的某个初始状态量回到平衡点上。对于问题(5)，其可控性度量指标P(α)如下所示：

式(6)中，Φ(t_i,t,α)为t_i≤t≤t_f上的状态转移矩阵，它具有以下关系式：

式(7)中，I₂为二维单位矩阵。因此，在控制系统前需要调节α，使得问题(5)中的系统具有最优可控性，即求解以下优化问题：

其中，σ_min(P(α))指P(α)的最小奇异值。通过求解问题(8)，可以得到最优状态相关参数α_opt，进而在系统最优可控性的条件下求取最优控制律。这也是本发明提供的全局模式搜索方法在二自由度机械臂最优控制过程所起的关键作用。

针对问题(8)，下面结合具体实施例对本发明作进一步说明：

如图1所示，一种二自由度机械臂最优控制问题的全局模式搜索方法，具体包括以下步骤：

S1、设定三维导数无关最优化问题如下：

式(9)中，α为待优化变量，f(α):R³→R为最优化问题对应的连续不可导目标函数，约束条件(10)为闭凸锥约束，其中

指α的1-范数，a为已知常数。

S2、建立顶点集U：

式(11)中，u_γ∈R³,γ＝0,1,2,3为从约束条件(10)对应的解空间中找出的4个互异顶点。

S3、根据顶点集U构造4个候选点

γ＝0,1,2,3，构造公式如下：

分别计算候选点对应的函数值

用所有候选点建立点集

其中拥有最小函数值的候选点记作α₁；

然后利用顶点集U再次构造搜索向量集：

D＝{d₁,d₂,d₃,d_e} (13)

式(13)中，

ρ＝1,2,3为正交单位向量，

为元素全为-1的列向量。

设定迭代次数k＝1、首次迭代的搜索向量集D₁＝D、首次迭代步长Δ₁∈R⁺、最小搜索步长Δ_min∈R⁺、放大底数τ∈R、放大参数ω∈R，并满足Δ₁＞Δ_min,τ＞1,ω≥1，R⁺指正实数域。

S4、以α_k为初始点，开始第k次模式搜索，获取本次迭代的最优点α_k+1，并更新第k+1次迭代的步长Δ_k+1；

本步骤具体包括：

S4-1、构建搜索点集：

在M_k中随机取4个点

对这些点做边界修正，修正公式如下所示：

由此获得修正后的点m_kη,η＝1,2,3,4，并分别计算每个点对应的函数值f(m_kη),η＝1,2,3,4。用这些点建立集合X_k，在集合中对每个点按函数值从小到大排序。若X_k中存在点

满足

说明搜索成功，将点

记作本次迭代最优点α_k+1，并跳过步骤S4-2。否则说明搜索失败；

S4-2、若搜索失败，则将第k+1次迭代的搜索向量集设置回D_k+1＝D，并构建补偿搜索点集

在P_k中一边取点一边计算对应的函数值，若存在点

满足

说明补偿搜索成功，当前步长对应的搜索点集中仍有更优点，将点

记作第k+1次迭代的初始点α_k+1。否则说明补偿搜索失败，当前步长对应的搜索点集中已不存在更优点，记α_k+1＝α_k；

S4-3、按以下的步长更新公式设置第k+1次迭代的步长：

S4-4、若本次迭代中步骤S4-1搜索成功，则计算点集X_k中所有点m_kη,η＝1,2,3,4所构成的单纯形梯度向量

计算公式如下所示：

式(18)中，S_k＝[m_k2-m_k1,m_k3-m_k1,m_k4-m_k1]∈R^3×3为第k次迭代的3×3维的非奇异方阵，δ_k＝[f(m_k2)-f(m_k1),f(m_k3)-f(m_k1),f(m_k4)-f(m_k1)]^T∈R³为第k次迭代的3维向量。利用施密特正交方法，将梯度向量

扩张成一组3维的正交基向量

并设置第k+1次迭代的搜索向量集为：

S5、若Δ_k+1＜Δ_min，则停止迭代，输出最优解α_opt＝α_k+1及目标函数最优值f(α_opt)＝f(α_k+1)；否则更改当前迭代次数为k+1，重复步骤S4。

本实施例先在搜索空间内对均匀分布的数个点进行计算，在具有最小函数值的点附近才展开迭代搜索。这种搜索方法既有传统模式搜索方法的快速迭代特点，又使得到的最优点在整个搜索空间内也是全局最优的，提高了搜索方法的实用性。另外，本实施例在每次迭代搜索后都会利用现有点集计算单纯形梯度，根据单纯形梯度来设计新的搜索向量集，使得每一次迭代的搜索向量都能更准确地反映目标函数的梯度下降方向，从而进一步降低搜索成本，提高搜索速率。

以上所述之实施例子只为本发明之较佳实施例，并非以此限制本发明的实施范围，故凡依本发明之形状、原理所作的变化，均应涵盖在本发明的保护范围内。

Claims (2)

1.一种二自由度机械臂最优控制问题的全局模式搜索方法，其特征在于，首先，针对控制系统的最优可控性，设定三维导数无关最优化问题，设定待优化变量、连续不可导目标函数及闭凸锥约束；然后，在搜索空间内对均匀分布的数个点进行计算，在具有最小目标函数值的点附近展开迭代搜索；最后，每次迭代搜索后均利用现有点集计算单纯形梯度，根据单纯形梯度来设计新的搜索向量集，使得每一次迭代的搜索向量都能准确地反映目标函数的梯度下降方向；

找出最小目标函数值的点以及在具有最小目标函数值的点附近展开迭代搜索的具体过程如下：

1)从闭凸锥约束中找出互异顶点，建立顶点集U；

2)根据顶点集U构造候选点，分别计算候选点对应的目标函数值，计算得到具有最小目标函数值的候选点α₁；

3)根据顶点集U构造搜索向量集D；

4)初始化迭代次数k＝1，设置首次迭代的搜索向量集D₁＝D、首次迭代步长Δ₁∈R⁺、最小搜索步长Δ_min∈R⁺、放大底数τ∈R、放大参数ω∈R；

5)以α_k为初始点，开始第k次模式搜索，获取本次迭代的最优点α_k+1，并更新第k+1次迭代的步长Δ_k+1；

6)若Δ_k+1＜Δ_min，则停止迭代，输出最优解α_opt＝α_k+1及目标函数最优值f(α_opt)＝f(α_k+1)；否则更改当前迭代次数为k+1，重复步骤5)。

2.根据权利要求1所述的一种二自由度机械臂最优控制问题的全局模式搜索方法，其特征在于，所述步骤5)具体包括：

5-1)构建本次迭代的搜索点集M_k；在搜索点集M_k中随机取点，对这些点做边界修正，分别计算每个边界修正后的点m_kη对应的目标函数值f(m_kη)，并用这些点m_kη建立本次迭代的候选点集X_k；若本次迭代的候选点集X_k中存在具有最小目标函数值的候选点，且该点函数值比上一次迭代的最小函数值还要小，则说明本次搜索成功，将该点记作本次迭代的最优点，并跳过步骤5-2)；若不存在这样的点，则说明本次搜索失败；

5-2)若本次搜索失败，则将下次迭代的搜索向量集D_k+1设置回首次迭代的搜索向量集D；与此同时，构建本次迭代的补偿搜索点集P_k；在补偿搜索点集P_k中一边取点一边计算其目标函数值，若存在某个点的目标函数值比上一次迭代的最小函数值更小，则说明补偿搜索成功，将该点记作本次迭代的最优点；若补偿搜索点集中不存在这样的点，则说明补偿搜索失败，仍将上次迭代的最优点记作本次迭代的最优点；

5-3)根据补偿搜索的失败与否，更新下一次迭代的搜索步长Δ_k+1；

5-4)若本次搜索成功，则利用本次迭代的候选点集X_k计算单纯形梯度向量▽_kf₁，并利用施密特正交化方法，将单纯形梯度向量▽_kf₁扩展成一组三维的正交基向量▽_kf_ρ，记作下一次迭代的搜索向量集D_k+1。

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