CN113268707A - 一种基于行编码的密文协方差矩阵计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于行编码的密文协方差矩阵计算方法，在密文域内完成对高维度数据的高效协方差矩阵计算，并保障了原始运算数据的隐私安全性。解决了在明文域环境下，协方差矩阵计算过程中的数据暴露进而被恶意方利用的问题。结合同态加密方案，将协方差计算算法转换到密文域，并通过对密文计算算法的优化，控制密文协方差矩阵计算的复杂性。

Description

一种基于行编码的密文协方差矩阵计算方法

技术领域

本发明属于加密技术领域，尤其涉及一种基于行编码的密文协方差矩阵计算方法。

背景技术

协方差矩阵作为多维随机变量的一种特征，被广泛应用于统计学和机器学习的数学模型中，进而分析随机变量之间的线性相关关系。

目前对多变量数据的协方差矩阵的计算都是在明文域内进行的，其算法也比较成熟，算法复杂性一般与数据维度和数据量正相关。但是明文域需要对原始数据进行操作运算，原始数据可能包含某些隐私敏感信息，恶意方获取原始数据也会给数据拥有者造成困扰。当前由于人们对数据隐私性的需求越来越高，亟需保护数据在运算过程中的安全性。

发明内容

本发明的目的在于，为克服现有技术缺陷，提供了一种基于行编码的密文协方差矩阵计算方法，密文域内完成对高维度数据的高效协方差矩阵计算，并保障原始运算数据的隐私安全性。解决了在明文域环境下，协方差矩阵计算过程中的数据暴露进而被恶意方利用的问题。

本发明目的通过下述技术方案来实现：

一种基于行编码的密文协方差矩阵计算方法，设数据矩阵X∈R^n×d，包含n个样本，每个样本有d维的特征，x_i,j表示第i个样本中的第j个特征；

其中，

协方差矩阵∑_X是对称矩阵，其计算过程如下：

μ表示数据矩阵X的均值向量，令μ＝[μ₀,μ₁,…,μ_d-1]，X＝[X₀,X₁,…,X_d]，其中，X_i表示数据矩阵的列向量，μ_i表示数据向量X_i对应的均值，

所述密文协方差矩阵计算方法包括：

S1：行打包编码步骤，将数据矩阵X打包编码为一个明文向量ptxt，ptxt[i]＝encode(X_i)，其中X_i表示矩阵X中第i行的行向量；

S2：明文同态加密步骤，对明文向量ptxt中的每一个明文ptxt_i进行加密，得到密文向量ctxt，ctxt_i＝HE.Enc_pk(ptxt_i)；

S3：密文域内计算密态均值步骤，密态均值c_mean＝HE.mul(c_sum,n_plain)，

其中，密文和c_sum为将密文向量ctxt中的各密文进行累加求和得到；n_plain为使用CKKS同态加密方法中的实数编码将

编码成明文得到，

S4：复用密态均值c_mean，于密文域内计算得到密文协方差矩阵向量c_covar；

S5：密文协方差矩阵向量解密步骤；

S6：明文向量解码步骤，并得到明文协方差矩阵。

根据一个优选的实施方式，所述步骤S4包括：在密文域内进行X^TX计算，获得密文向量c₁，然后进行对

计算，对c₁的每一个元素乘上n_plain，即

同时完成密文域内计算μ^Tμ，得到密文向量c₂。

根据一个优选的实施方式，所述步骤S4包括：于密文域内计算

获得密文协方差矩阵向量c_covar；令HE.mul(c₁[i],n_plain)＝c₁[i]，获得c_covar[i]＝HE.sub(c₁[i],c₂[i])。

根据一个优选的实施方式，所述步骤S5中：密文协方差矩阵向量解密步骤具体包括：解密得到的协方差矩阵向量的明文向量p_covar，其中，p_covar[i]＝HE.Dec_sk(c_covar[i])；

根据一个优选的实施方式，所述步骤S6具体包括：将明文协方差矩阵向量p_covar的解码得到协方差对角线向量covar[i]，其中，covar[i]＝decode(p_covar[i])；同时，将协方差对角线向量covar[i]对应的协方差数值进行相应位置排列，最终得到明文协方差矩阵。

根据一个优选的实施方式，所述密文协方差矩阵计算方法基于CKKS同态加密算法进行数据的加密、解密及同态运算。

前述本发明主方案及其各进一步选择方案可以自由组合以形成多个方案，均为本发明可采用并要求保护的方案；且本发明各选择之间(各非冲突选择)以及和其他选择之间也可以自由组合。本领域技术人员在了解本发明方案后根据现有技术和公知常识可明了有多种组合，均为本发明所要保护的技术方案，在此不做穷举。

本发明的有益效果：本发明提出的基于行编码的密文协方差矩阵计算方法，在整个计算过程中保障了原始数据的隐私安全性，恶意方不可轻易获取数据进行恶意操作。结合同态加密方案，将协方差计算算法转换到密文域，并通过对密文计算算法的优化，控制密文协方差矩阵计算的复杂性。本发明的计算方法可以应用于需要使用协方差矩阵计算的统计学和机器学习模型中，在运算过程中提供安全防护。

附图说明

图1是本发明基于行编码的密文协方差矩阵计算方法的流程示意图；

图2是本发明基于行编码的密文协方差矩阵计算方法中X^TX计算过程的对应关系示意图；

图3是本发明基于行编码的密文协方差矩阵计算方法中μ^Tμ计算过程的对应关系示意图。

具体实施方式

以下通过特定的具体实例说明本发明的实施方式，本领域技术人员可由本说明书所揭露的内容轻易地了解本发明的其他优点与功效。本发明还可以通过另外不同的具体实施方式加以实施或应用，本说明书中的各项细节也可以基于不同观点与应用，在没有背离本发明的精神下进行各种修饰或改变。需说明的是，在不冲突的情况下，以下实施例及实施例中的特征可以相互组合。

需要说明的是，为使本发明实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。

因此，以下对本发明的实施例的详细描述并非旨在限制要求保护的本发明的范围，而是仅仅表示本发明的选定实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有作出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

实施例1：

参考图1所示，本发明公开了一种基于行编码的密文协方差矩阵计算方法。

设数据矩阵X∈R^n×d，包含n个样本，每个样本有d维的特征，x_i,j表示第i个样本中的第j个特征。

其中，

协方差一般用来刻画两个随机变量的相似程度。计算协方差矩阵，是将数据矩阵X的每一列看作是一个变量，协方差矩阵用来刻画每一列的变量与其他变量之间的相似关系。此外，(∑_X)_ij与(∑_x)_ji表达的意义是一样的，数值也是相等的。

即是，协方差矩阵∑_X是对称矩阵，其计算过程如下：

其中，μ表示数据矩阵X的均值向量，令μ＝[μ₀,μ₁,…,μ_d-1]，X＝[X₀,X₁,…,X_d]，其中，X_i表示数据矩阵的列向量，μ_i表示数据向量X_i对应的均值，

同态加密是一种支持对加密数据进行算术操作的一种密码原语，允许在数据不解密的情况下完成同态加法以及同态乘法运算，在敏感数据分析处理时，被视为是防止隐私泄露的一种有潜力的解决方案。

优选地，本发明技术方案中所述密文协方差矩阵计算方法基于CKKS同态加密算法进行数据的加密、解密及同态运算。

其中，CKKS同态加密算法，主要包含以下几个算法：

(1)HE.KeyGen(params)：密钥生成算法，其中params由安全参数λ和层次参数L决定。输出公钥pk，私钥sk，计算密钥evk。

(2)HE.Enc_pk(m)：加密算法，使用公钥对明文m进行加密，输出密文c。

(3)HE.Dec_sk(c)：解密算法，使用公钥对密文c进行加密，输出明文m。

(4)HE.Add_evk(c₁,c₂)：同态加法运算，c₁和c₂分别是m₁和m₂的对应密文，输出c_add是m₁+m₂的对应密文。

(5)HE.Mul_evk(c₁,c₂)：同态乘法运算，c₁和c₂分别是m₁和m₂的对应密文，输出c_mul是m₁×m₂的对应密文。

(6)HE.rotate_vector(c,i)，对密文c中对应的明文槽元素移动i位，当i≥0表示向左移动，当i＜0表示向右移动。

此外，CKKS方案支持将一个数值向量v打包编码为一个环上的明文多项式p，这个过程叫做编码，即p＝encode(v)，其逆变换过程即为解码过程，即v＝decode(p)。

具体地，本发明所述密文协方差矩阵计算方法如下包括步骤：

步骤S1：行打包编码步骤，将数据矩阵X打包编码为一个明文向量ptxt，ptxt[i]＝encode(X_i)，其中X_i表示矩阵X中第i行的行向量。

具体地，

--打包编码-→

在一般数据集合中，数据样本的特征数量d一般是小于明文槽的数量nslots的，因此，可以按照原始数据行，将每一个样本数据的所有特征(即每一行数据)打包编码到一个明文，每一个特征值对应明文中的一个明文槽。

步骤S2：明文同态加密步骤，对明文向量ptxt中的每一个明文ptxt_i进行加密，得到密文向量ctxt，ctxt_i＝HE.Enc_pk(ptxt_i)。

具体地，

--加密-→

步骤S3：密文域内计算密态均值步骤。一次性批量计算整个密文数据的密态均值c_mean，具体步骤如下：1.使用CKKS同态加密方案的实数编码，直接将

编码成明文n_plain，即

2.将密文向量ctxt中的每一个密文进行累加求和，得到密文和c_sum；3.计算密态均值c_mean＝HE.mul(c_sum,n_plain)。

步骤S4：复用密态均值c_mean，于密文域内计算得到密文协方差矩阵向量c_covar。

优选地，所述步骤S4包括：在密文域内进行X^TX计算，获得密文向量c₁，然后进行对

计算，对c₁的每一个元素乘上n_plain，即

同时完成密文域内计算μ^Tμ，得到密文向量c₂。

并，于密文域内计算

获得密文协方差矩阵向量c_covar；令HE.mul(c₁[i],n_plain)＝c₁[i]，获得c_covar[i]＝HE.sub(c₁[i],c₂[i])。

密文域计算协方差矩阵，最终得到的是一个d维的密文协方差向量，第i个协方差密文c_covar[i]对应的密文是明文协方差矩阵第i个对角线上的元素，分布在密文c_covar[i]对应的前d-i个明文槽内。

优选地，密文域内计算得到密文协方差矩阵向量c_covar的具体算法可以如下表1.

表1基于行编码的密文协方差矩阵算法

由于数据是按照行进行编码的，而协方差却是以列作为一个特征变量，在密文计算协方差矩阵时，需要对数据密文进行相应的移位变换来批量计算协方差。

那么，在明文下，X^TX的计算过程如下：

而在密文域中，密文是按行对数据矩阵进行打包编码加密的，因此对多个密文计算X^TX的结果对应于明文X^TX的对角线元素，通过对密文移位操作，可以依次获得X^TX矩阵右上方所有元素的值，对应关系如图2所示，具体计算步骤为：

(1)密文域计算X^TX主对角线元素，即：

ctxt₀·ctx₀+ctxt₁·ctxt₁+…+ctxt_n-1·ctxt_n-1，

这一步得到的密文包含主对角线上的所有元素，分布在对应明文前d个有效明文槽上；

(2)密文域计算X^TX右上第二对角线元素，即：

ctxt₀·(ctxt₀左移1个slot)+ctxt₁·(ctxt₁左移1个slot)+…+ctxt_n-1·(ctxt_n-1左移1个slot)，这一步得到的密文包含第二对角线上的所有元素，分布在对应明文前d-1个有效明文槽上；

(3)依次计算其他对角线元素；

(4)密文域计算X^TX右上角元素，即：ctxt₀·(ctxt₀左移d-1个slot)+ctxt₁·(ctxt₁左移d-1个slot)+…+ctxt_n-1·(ctxt_n-1左移d-1个slot)

这一步得到的密文包含右上角元素，分布在对应明文的第1个明文槽上。

在明文下，μ^Tμ的计算过程如下：

同理，在密文域中，对多个密文计算μ^Tμ的结果对应于明文μ^Tμ的对角线元素，通过对密文移位操作，可以依次获得μ^Tμ矩阵右上方所有元素的值，对应关系如图3所示。

具体计算步骤：

(1)密文域计算μ^Tμ主对角线元素，即：c_mean·c_mean。这一步得到的密文包含主对角线上的所有元素，分布在对应明文前d个有效明文槽上；

(2)密文域计算μ^Tμ右上第二对角线元素，即：c_mean·(c_mean左移1个slot)，这一步得到的密文包含第二对角线上的所有元素，分布在对应明文前d-1个有效明文槽上；

(3)依次计算其他对角线元素；

(4)密文域计算μ^Tμ右上角元素，即：c_mean·(c_mean左移d-1个slot)。这一步得到的密文包含右上角元素，分布在对应明文的第1个明文槽上。

步骤S5：密文协方差矩阵向量解密步骤。

优选地，所述步骤S5中：密文协方差矩阵向量解密步骤具体包括：解密得到的协方差矩阵向量的明文向量p_covar，其中，p_covar[i]＝HE.Dec_sk(c_covar[i])。

S6：明文向量解码步骤，并得到明文协方差矩阵。也即是得到协方差矩阵的计算结果。

优选地，所述步骤S6具体包括：将明文协方差矩阵向量p_covar的解码得到协方差对角线向量covar[i]，其中，covar[i]＝decode(p_covar[i])；同时，将协方差对角线向量covar[i]对应的协方差数值进行相应位置排列，最终得到明文协方差矩阵。

具体地，明文协方差矩阵第i个对角线上的元素分布在协方差矩阵的明文向量p_covar的第i个元素p_covar[i]对应的前d-i个明文槽内。因此，需要对每一个明文多项式元素p_covar[i]进行解码，得到协方差矩阵的数值，即covar[i]＝decode(p_covar[i])。covar[i]表示协方差矩阵第i个对角线向量，包含d-i个有效值。

最后，需要将协方差对角线向量covar[i]对应的协方差数值进行对应的位置排列最终得到明文协方差矩阵。

本发明基于行编码的密文协方差矩阵计算方法的优点包括：

(1)支持高纬度数据的密文协方差矩阵计算，且计算时间浮动不大，并不随着维度的增加有明显增加；

(2)对数据使用高效的打包行编码，可在密文域内对数据不同维度的协方差值进行批量计算，最终构成密文协方差矩阵；

(3)密文域运算复杂性第，运算效率较高。本发明方法的乘法深度仅为1，且密文移位、密文乘积、密文加法运算与数据维度仅呈线性关系

本发明提出的基于行编码的密文协方差矩阵计算方法，其在整个计算过程中保障了原始数据的隐私安全性，恶意方不可轻易获取数据进行恶意操作。本发明的计算方法可以应用于需要使用协方差矩阵计算的统计学和机器学习模型中，在运算过程中提供安全防护。

前述本发明基本例及其各进一步选择例可以自由组合以形成多个实施例，均为本发明可采用并要求保护的实施例。本发明方案中，各选择例，与其他任何基本例和选择例都可以进行任意组合。本领域技术人员可知有众多组合。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (6)

1.一种基于行编码的密文协方差矩阵计算方法，设数据矩阵X∈R^n×d，包含n个样本，每个样本有d维的特征，x_i，j表示第i个样本中的第j个特征；

其中，

协方差矩阵∑_x是对称矩阵，其计算过程如下：

μ表示数据矩阵X的均值向量，令μ＝[μ₀，μ₁，...，μ_d-1]，X＝[X₀，X₁，...，X_d]，其中，X_i表示数据矩阵的列向量，μ_i表示数据向量X_i对应的均值，

其特征在于，所述密文协方差矩阵计算方法包括：

S1：行打包编码步骤，将数据矩阵X打包编码为一个明文向量ptxt，ptxt[i]＝encode(X_i)，其中X_i表示矩阵X中第i行的行向量；

S2：明文同态加密步骤，对明文向量ptxt中的每一个明文ptxt_i进行加密，得到密文向量ctxt，ctxt_i＝HE.Enc_pk(ptxt_i)；

S3：密文域内计算密态均值步骤，密态均值c_mean＝HE.mul(c_sum，n_plain)，

其中，密文和c_sum为将密文向量ctxt中的各密文进行累加求和得到；n_plain为使用CKKS同态加密方法中的实数编码将

编码成明文得到，

S4：复用密态均值c_mean，于密文域内计算得到密文协方差矩阵向量c_covar；

S5：密文协方差矩阵向量解密步骤；

S6：明文向量解码步骤，并得到明文协方差矩阵。

2.如权利要求1所述的密文协方差矩阵计算方法，其特征在于，所述步骤S4包括：

在密文域内进行X^TX计算，获得密文向量c₁，然后进行对

计算，对c₁的每一个元素乘上n_plain，即

同时完成密文域内计算μ^Tμ，得到密文向量c₂。

3.如权利要求2所述的密文协方差矩阵计算方法，其特征在于，所述步骤S4包括：于密文域内计算

获得密文协方差矩阵向量c_covar；

令HE.mul(c₁[i]，n_plain)＝c₁[i]，获得c_covar[i]＝HE.sub(c₁[i]，c₂[i])。

4.如权利要求1所述的密文协方差矩阵计算方法，其特征在于，所述步骤S5中：密文协方差矩阵向量解密步骤具体包括：解密得到的协方差矩阵向量的明文向量p_covar，其中，p_covar[i]＝HE.Dec_sk(c_covar[i])。

5.如权利要求4所述的密文协方差矩阵计算方法，其特征在于，所述步骤S6具体包括：

将明文协方差矩阵向量p_covar的解码得到协方差对角线向量covar[i]，其中，covar[i]＝decode(p_covar[i])；

同时，将协方差对角线向量covar[i]对应的协方差数值进行相应位置排列，最终得到明文协方差矩阵。

6.如权利要求1所述的密文协方差矩阵计算方法，其特征在于，所述密文协方差矩阵计算方法基于CKKS同态加密算法进行数据的加密、解密及同态运算。

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