CN110324135A - 一种基于云计算的同态加密矩阵行列式安全外包方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于云计算的同态加密矩阵行列式安全外包方法，它通过应用矩阵编码技术将整个矩阵编码并加密成一个密文，结合无除法行列式计算方法实现了高效的矩阵行列式安全外包计算。本发明包含数据加/解密方法和同态计算方法。客户端执行加密方法，将矩阵进行编码加密上传给云服务器；云服务器端执行同态计算方法，在不解密的情况下对密文运算，并将计算结果以密文的形式返回给客户端；最后，客户端执行解密模块得到所求矩阵行列式值。本发明绝大多数计算是在云服务器端进行，极大地减少了客户端计算工作量。

Description

一种基于云计算的同态加密矩阵行列式安全外包方法

技术领域

本发明涉及同态加密技术下的矩阵运算，尤其是矩阵的行列式计算。

背景技术

矩阵运算是数学中一个重要的基本运算，许多实际问题都可以用矩阵来描述，其在数学、物理、工程学科方面有着广泛的应用。矩阵运算中的行列式计算是矩阵计算的最基本的运算之一，广泛应用于线性方程组求解、求逆矩阵、求矩阵的特征值等方面。

近年来，云计算受到广泛关注，它拥有强大的计算能力，可以帮助客户端执行复杂的计算。目前，云计算主要采用身份验证和访问控制策略用于确保数据机密性和数据传输中的安全性。但是这些安全措施均是用于防止外部攻击，无法消除潜在的云平台内部威胁。有调查表明，用户无法完全信任云服务商是妨碍云计算普及的一个重要因素之一。虽然用户可以使用传统的加密方法来保护数据，但云平台将不能对用户的加密数据进行处理。

同态加密技术是一种新型的加密方法，它允许在密文上进行计算，得到加密结果。当解密时，该结果与明文操作结果相匹配，就好像它们在明文上执行的一样。同态加密技术可以有效地保护隐私数据的安全，是解决云服务中数据机密性问题的关键技术，在云计算领域有着广泛的应用前景。利用同态加密技术，用户可以将数据外包存储在云服务器，云服务器在不知道密钥的情形下直接对密文进行计算，并将计算结果以密文的形式返回给用户。最终用户解密获得所需要的计算结果。这种计算方式不仅大大减少的用户的存储量和计算量，同时保护了数据的安全性。

现有的矩阵行列式安全外包计算主要有两种：1)采用矩阵变换的方法进行矩阵行列式计算；2)采用同态加密技术进行矩阵行列式计算。矩阵变换方法通常采用启发式试错法进行安全性分析，这个过程极易出错。虽然同态加密技术的求解行列式效率相对较低，但是同态加密技术有着严格安全性证明，它的安全性基于经典的数学上困难问题如R-LWE问题，可以抵抗量子计算机攻击。本发明是第一个采用同态加密技术的矩阵行列式安全外包方法。

发明内容

本发明公布了一种基于云计算的同态加密矩阵行列式安全外包方法，其通过将整个矩阵编码成一个密文并结合无除法的行列式求解方法，最终计算出高阶行列式值。由于同态加密算法仅支持有限域上加法、乘法、旋转(rotate)和复制(replicate)操作，并不直接支持除法操作，因此我们采用Richard在《A simple division-free algorithm forcomputing determinants》，2011，Information Processing Letters，文中提出的无除法行列式计算方法。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：一种基于云计算的同态加密矩阵行列式安全外包方法，依次包括以下步骤：

(步骤一)客户端收集工业上的数据，并将收集的数据组成矩阵A。

(步骤二)将步骤一中的矩阵A进行编码并加密，得到相应的密文矩阵ct(A)，然后将密文矩阵ct(A)上传至云服务器端，

其中矩阵A为n阶方阵，n为正整数，ct表示密文。

(步骤三)云服务器基于无除法矩阵行列式方法，计算加密矩阵ct(A)的行列式。设F_A(X)＝μ(X)·A，其中μ(X)按如下定义：

μ(X)主对角线以下全部置为0，主对角线以上元素保持不变，主对角线的值为其中定义F_A(X)的n-1次迭代为设矩阵X的初值设为A，则最终行列式的值在矩阵的第一行第一列。

云服务器基于上述无除法矩阵行列式计算原理，计算加密矩阵ct(A)的行列式。首先云服务器计算ct(μ(X))；然后计算ct(F_A(X))＝ct(μ(X))·ct(A)；最后计算其中，矩阵X的初值设为A。具体步骤如下：

(1)计算ct(μ(X))，其计算过程如下：

(1.1)将密文矩阵ct(X)乘以上三角掩码矩阵得到如下上三角密文矩阵：

(1.2)将(1.1)中的密文矩阵ct(X)与单位掩码矩阵相乘，得到密文矩阵ct(X)的对角线矩阵再将得出的对角线矩阵通过replicate操作按列复制，得到密文矩阵

(1.3)将密文矩阵ct(R(X))通过rotate操作按行旋转操作，得到ct(X-i)为：

其中，i为旋转次数。

(1.4)将密文矩阵ct(X-i)乘以前n-i行为1的掩码矩阵n-i行1，得到如下：

再将对应相乘的结果相加，并乘以对角线为-1的掩码矩阵得到如下矩阵：

(1.5)将(1.4)得到的矩阵与步骤(1.1)中的上三角密文矩阵ct(X′)相加，得到密文矩阵ct(μ(X))：

(2)本步骤计算ct(F_A(X))＝ct(μ(X))·ct(A)，其计算过程如下：

(2.1)将(1.5)中的密文矩阵ct(μ(X))，取出其对角线，构成的对角线矩阵分别为ct_i(D(μ(X)))：

将上述对角线矩阵通过replicate操作按列复制，得到如下n个密文矩阵ct(μ(X)_i)：

(2.2)使用rotate操作将密文矩阵ct(A)按行进行i次旋转，得到n个密文矩阵ct(A-i)：

(2.3)将(2.1)所得的n个密文矩阵ct(μ(X)_i)与步骤(2.2)所得n个密文矩阵ct(A_i)点乘，并将n个点乘矩阵相加，即得到ct(F_A(X))＝ct(μ(X))·ct(A)。

(3)将(2.3)所得结果ct(F_A(X))赋值给ct(X)，然后重复(1)-(2)n-1次，得到的行列式：

其中，det(A)为矩阵A的行列式。

(步骤四)云服务器端将的行列式的结果返回给客户端，客户端对该结果进行解密。

与现有技术相比，本发明的有益效果是：本发明公开的基于云计算的同态加密矩阵行列式安全外包方法，可以在不泄露矩阵元素即客户端隐私数据的情况下，将矩阵行列式计算任务外包给云服务器，它保护了客户端数据的安全，减轻了客户端的计算量。将矩阵编码成一个密文来进行运算显著地降低空间复杂度和减少密文运算次数，达到提高效率的目的。本发明的安全性基于经典的R-LWE问题，可以抵抗量子计算机的攻击。

附图说明

图1为本发明行列式计算流程图；

图2为本发明中μ(A)计算示意图；

图3为本发明中矩阵相乘示意图。

具体实施方式

为了让本发明的特征和优点更加明显，下面结合本发明附图对本发明进行详细、完整的说明。

图1为本发明的流程示意图，其主要包含数据加/解密模块和同态计算模块。客户端执行加密模块，将矩阵进行编码加密上传给云服务器端；云服务器端执行同态计算模块，在不解密的情况下对密文运算，并将计算结果以密文的形式返回给客户端；最后，客户端执行解密模块得到所求矩阵行列式值。

实施例

图2、3为云服务器端计算μ(A)的过程和矩阵相乘的示意图(以三阶为例)，具体过程如下所述：

(步骤一)在云计算日益普及的情况下，人们将大量的计算任务外包给云服务商。客户端收集工业上的数据，如医疗数据、交通流量数据、客户销售数据、财务数据等需要保密的数据；并将收集的数据组成矩阵A，并且进行编码并加密，得到相应的密文矩阵ct(A)，然后将密文矩阵ct(A)上传至云服务器端。

其中矩阵A为n阶方阵，n为正整数，ct表示密文。

将整个矩阵编码并加密成一个密文不仅节省了存储空间，且仅需要有限次密文运算，大大减少了电路深度，提高了计算效率；

(步骤二)由于同态加密方案仅支持密文域上的加法、乘法和旋转操作，并不直接支持除法操作，因此本申请根据无除法矩阵行列式计算公式，计算加密矩阵ct(A)的行列式。首先云服务器计算ct(μ(X))；然后计算ct(F_A(X))＝ct(μ(X))·ct(A)；最后计算其中，矩阵X的初值设为A。具体步骤如下：

(1)计算ct(μ(X))，其计算过程如下：

(1.1)将密文矩阵ct(X)乘以上三角掩码矩阵得到如下上三角密文矩阵，如图2中的①所示：

(1.2)将(1.1)中的密文矩阵ct(X)与单位掩码矩阵相乘，得到密文矩阵ct(X)的对角线矩阵再将得出的对角线矩阵通过replicate操作按列复制，得到密文矩阵如图2中的②所示。

(1.3)将密文矩阵ct(R(X))通过rotate操作按行旋转操作，得到ct(X-i)为：

其中，i为旋转次数。

(1.4)将密文矩阵ct(X-i)乘以前n-i行为1的掩码矩阵n-i行为1，得到如下：

再将对应相乘的结果相加如图2中③所示，并乘以对角线为-1的掩码矩阵得到如下矩阵，如图2中④所示：

(1.5)将(1.4)得到的矩阵与步骤(1.1)中的上三角密文矩阵ct(X′)相加，得到密文矩阵ct(μ(X))，如图2中⑤所示：

(2)本步骤计算ct(F_A(X))＝ct(μ(X))·ct(A)，其计算过程如下：

(2.1)将(1.5)中的密文矩阵ct(μ(X))，取出其对角线，构成的对角线矩阵分别为ct_i(D(μ(X)))：

将上述对角线矩阵通过replicate操作按列复制，得到如下n个密文矩阵ct(μ(X)_i)，如图3中①所示：

(2.2)使用rotate操作将密文矩阵ct(A)按行进行i次旋转，得到n个密文矩阵ct(A-i)：

(2.3)将(2.1)所得的n个密文矩阵ct(μ(X)_i)与步骤(2.2)所得n个密文矩阵ct(A_i)点乘，如图3中的②所示，并将n个点乘矩阵相加，如图3中的③所示，得到ct(F_A(X))＝ct(μ(X))·ct(A)。

(3)将(2.3)所得结果ct(F_A(X))赋值给ct(X)，然后重复(1)-(2)n-1次，得到的行列式：

其中，det(A)为矩阵A的行列式。

(步骤三)云服务器端将的行列式的结果返回给客户端。客户端对该结果进行解密，得到所要求的行列式值。本方法可作为其它应用的子模块，可应用于保护隐私的数据分析任务，如医疗数据、交通流量、销售分析和财务分析等等。

本发明方案在CentOS 7.3操作系统，结合同态加密Helib库上实现。实验表明其针对矩阵行列式的密文计算结果和明文计算结果相一致，确保了该发明的正确性。本发明的安全性基于经典的R-LWE问题，可以抵抗量子计算机的攻击。本发明可以应用于客户端需要将数据外包给云服务商进行计算的场景，可以很好地保护用户数据的隐私。

Claims (1)

1.一种基于云计算的同态加密矩阵行列式安全外包方法，其特征在于，依次包括以下步骤：

(步骤一)客户端收集工业上的数据，并将收集的数据组成矩阵A。

(步骤二)将步骤一中的矩阵A进行编码并加密，得到相应的密文矩阵ct(A)，然后将密文矩阵ct(A)上传至云服务器端，

其中矩阵A为n阶方阵，n为正整数，ct表示密文。

(步骤三)云服务器首先云服务器计算ct(μ(X))；然后计算ct(F_A(X))＝ct(μ(X))·ct(A)；最后计算其中，矩阵X的初值设为A。具体步骤如下：

(1)计算ct(μ(X))，其计算过程如下：

(1.1)将密文矩阵ct(X)乘以上三角掩码矩阵得到上三角密文矩阵：

(1.2)密文矩阵ct(X)与单位掩码矩阵相乘，得到密文矩阵ct(X)的对角线矩阵再将得出的对角线矩阵通过replicate操作按列复制，得到密文矩阵

(1.3)将密文矩阵ct(R(X))通过rotate操作按行旋转操作，得到ct(X_i)为：

其中，i为旋转次数。

(1.4)将密文矩阵ct(X_i)乘以前n-i行为1的掩码矩阵n-i行为1，得到如下：

再将对应相乘的结果相加，并乘以对角线为-1的掩码矩阵得到如下矩阵：

(1.5)将(1.4)得到的矩阵与步骤(1.1)中的上三角密文矩阵ct(X′)相加，得到密文矩阵ct(μ(X))：

(2)本步骤计算ct(F_A(X))＝ct(μ(X))·ct(A)，其计算过程如下：

(2.1)将(1.5)中的密文矩阵ct(μ(X))，取出其对角线，构成的对角线矩阵分别为ct_i(D(μ(X)))：

将上述对角线矩阵通过replicate操作按列复制，得到如下n个密文矩阵ct(μ(X)_i)：

(2.2)使用rotate操作将密文矩阵ct(A)按行进行i次旋转，得到n个密文矩阵ct(A_i)：

(2.3)将(2.1)所得的n个密文矩阵ct(μ(X)_i)与步骤(2.2)所得n个密文矩阵ct(A_i)点乘，并将n个点乘矩阵相加，即得到ct(F_A(X))＝ct(μ(X))·ct(A)。

(3)将(2.3)所得结果ct(F_A(X))赋值给ct(X)，然后重复(1)-(2)n-1次，得到的行列式：

其中，det(A)为矩阵A的行列式。

(步骤四)云服务器端将的行列式的结果返回给客户端，客户端对该结果进行解密。