CN113222324B - 一种基于pls-pso-rbf神经网络模型的污水质量监测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种基于PLS‑PSO‑RBF神经网络模型的污水质量监测方法，实现了在小样本的前提下，利用RBF神经网络建立符合精度要求的污水质量监测模型，从而实现对污水出水端质量的实时监测或软测量。具体来讲，本发明方法首先使用PLS算法来降低输入数据的维数，然后使用PSO算法优化得到RBF神经网络各个隐层神经元的中心点向量，进而基于PLS‑PSO‑RBF神经网络模型实时污水出水端质量的实时监测。本发明方法通过PLS算法的降维策略，能降低污水质量监测建模时遇到的小样本问题相对于输入变量维数的负面影响。同时通过PSO算法优化搜寻出多个隐层神经元的中心点向量，能较大程度的保证RBF神经网络模型的精度。

Description

一种基于PLS-PSO-RBF神经网络模型的污水质量监测方法

技术领域

本发明涉及一种污水质量软测量方法，特别涉及一种基于PLS-PSO-RBF神经网络模型的污水质量监测方法。

背景技术

污水处理厂对污水出水质量的监测能直接影响到自然水环境以及公众的健康，因为不适宜的污水处理会将有害物质排放进大自然中，从而会传播疾病影响大众生活与工作。一般而言，污水出水的生化需氧量(Biochemical Oxygen Demand，缩写：BOD)、化学需氧量(Chemical Oxygen Demand，缩写：COD)、总磷浓度(Total Phosphorus，缩写：TP)、污泥体积指数(Sludge Volume Index，缩写：SVI)四个指标对于监测污水的出水质量有着重要作用。因此，监测污水质量其实就是在监测上述这四个污水的指标。

监测这个四个指标的技术手段无外乎直接测量与间接测量，直接测量通过仪器仪表直接测量得到，又可分为在线直接测量和离线直接测量。在线直接测量对仪表的可靠性要求比较高，且相应仪表的价格高昂，不为国内污水处理厂所采纳，离线直接测量则是通过采集污水出口端的污水样本，通过分析得到，这类离线直接测量方式为国内大多数污水处理厂所采纳，主要原因是其技术成本低，且测量数据非常可靠。但是，离线直接测量无法实时获取污水的质量指标数据，一般都是按照每天一次采样测量的频率实施的。

除此之外，还可采用数据驱动的软测量方式。实施污水质量软测量的算法有很多，其中以径向基函数(Radial Basis Function，缩写：RBF)神经网络是其中一类最具代表性的软测量方法，已经有相应的研究使用RBF神经网络实施污水出水端TP浓度的软测量。然而，由于软测量技术需要依赖大量的前期采样数据，特别是RBF神经网络对数据量的要求更高，不然无法保证软测量精度。如前所述，国内的污水处理厂的前期测量数据最多是按照每天采样的方式记录积累的，一年最多也就365个样本数据，远没达到RBF神经网络对数据量的要求。因此，小样本问题是建立污水质量监测模型必须考虑的一个问题。此外，RBF神经网络自身结构上的调整与优化同样也会影响软测量精度，因此利用RBF神经网络实施污水质量监测还需更进一步考虑网络结构及其参数的优化。

发明内容

本发明所要解决的主要技术问题是：如何在小样本的前提下，利用RBF神经网络建立符合精度要求的污水质量监测模型，从而实现对污水出水端质量的实时监测或软测量。具体来讲，本发明方法首先使用偏最小二乘(Partial Least Squares，缩写：PLS)算法来降低输入数据的维数，然后使用粒子群优化(Particle Swarm Optimization，缩写：PSO)算法优化得到RBF神经网络各个隐层神经元的中心点向量，进而基于PLS-PSO-RBF神经网络模型实时污水出水端质量的实时监测。

本发明方法解决上述问题所采用的技术方案为：一种基于PLS-PSO-RBF神经网络模型的污水质量监测方法，包括以下所示步骤：

步骤(1)：确定输入变量，具体由污水进站，曝气池，和沉淀池三个污水处理环节的15个测量变量组成；其中，污水进站的6个测量变量依次是：入水流量，入水温度，入水色度，入水氯离子浓度，入水悬浮物固体浓度，入水PH值；曝气池的4个测量变量依次是：污水色度，污水氯离子浓度，污水悬浮物固体浓度，污水PH值；沉淀池的5个测量变量依次是：污水PH值，污泥量，悬浮物固体浓度，污水色度，污水氯离子浓度；再确定输出变量，具体包括4个测量变量，依次是：生化需氧量，化学需氧量，总磷浓度，和污泥体积指数。

步骤(2)：连续采集n天的数据，并将每天采集到的输入变量与输出变量对应的数据分别存储为一个15×1维与4×1维的数据向量，则可得到n个输入数据向量x₁，x₂，…，x_n和n个输出数据向量y₁，y₂，…，y_n；其中，第i天的输入数据向量x_i∈R^15×1中的元素按照步骤(1)中15个输入变量的先后顺序排列，第i天的输出数据向量y_i∈R^4×1中的元素按照步骤(1)中4个输出变量的先后顺序排列，i∈{1，2，…，n}，R^15×1与R^4×1分别表示15×1维与4×1维的实数向量，R表示实数集。

步骤(3)：组建矩阵X＝[x₁，x₂，…，x_n]^T与矩阵Y＝[y₁，y₂，…，y_n]^T后，再根据如下所示公式分别对X与Y中的各个列向量实施归一化处理，得到归一化后的输入矩阵

与输出矩阵

其中，上标号T表示矩阵或向量的转置，j∈{1，2，…，15}，k∈{1，2，3，4}，z_j(min)和z_j(max)分别表示z_j中元素的最小值和最大值，ε_j(min)和ε_j(max)分别表示ε_j中元素的最小值和最大值，z_j和

分别表示X和

中的第j列的列向量，ε_k和

分别表示Y与

中第k列的列向量。

步骤(4)：使用5-折交叉验证法建立

与

之间的PLS模型：

具体的实施过程如步骤(4.1)至步骤(4.7)所示；其中，输入特征矩阵

P∈R^15×A与Q分别表示输入载荷矩阵和输出载荷矩阵，E为残差矩阵，R^15×A表示15×A维的实数矩阵，A表示输入特征的个数。

步骤(4.1)：将输入矩阵

划分成5个子输入矩阵X₁，X₂，…，X₅，并对应的将输出矩阵

划分成5个子输出矩阵Y₁，Y₂，…，Y₅；其中，

表示n_m×15维的实数矩阵，m∈{1，2，3，4，5}，n₁+n₂+n₃+n₄+n₅＝n。

在实施步骤(4.1)时，将

划分成5个子输入矩阵需尽可能的实现平均划分，从而使X₁，X₂，…，X₅中的行向量个数基本一致。具体的划分子输入矩阵与子输出矩阵的方式介绍如下。

首先，设置n₁等于n除以5的商，再将

中第1行至第n₁行的行向量组成第1个子输入矩阵X₁，并将

中第1行至第n₁行的行向量组成第1个子输出矩阵Y₁。

其次，设置n₄＝n₃＝n₂＝n₁后，依次将

中第n₁+1行至第2n₁行的行向量，第2n₁+1行至第3n₁行的行向量，第3n₁+1行至第4n₁行的行向量分别组成子输入矩阵X₂，X₃，X₄，并同时对应的将

中相同行的行向量分别组成子输出矩阵Y₂，Y₃，Y₄。

最后，设置n₅＝n-4n₁后，将

中最后n₅行的行向量组成子输入矩阵X₅，并将

中最后n₅行的行向量组成子输出矩阵Y₅。

步骤(4.2)：将第m个子输入矩阵X_m和子输出矩阵Y_m分别当成测试输入矩阵与测试输出矩阵，再将其余的4个子输入矩阵合并成一个训练输入矩阵X₀，其余的4个子输出矩阵合并成一个训练输出矩阵Y₀。

步骤(4.3)：利用PLS算法建立X₀与Y₀之间的PLS模型：

其中，S₀＝X₀P₀，E₀为残差矩阵，P₀∈R^15×j和Q₀分别为输入载荷矩阵和输出载荷矩阵。

步骤(4.4)：根据公式

计算当j分别等于1，2，…，15时，测试输入矩阵对应的测试误差H(m，j)；其中，

表示计算矩阵

中所有元素的平方和。

步骤(4.5)：重复上述步骤(4.2)至步骤(4.4)，从而得到当m分别等于1，2，…，5时，测试输入矩阵对应的测试误差后，再将所得的测试误差组建成误差矩阵H∈R^5×15；其中，H中的第m行第j列元素等于H(m，j)。

步骤(4.6)：计算误差矩阵H中所有行向量的均值向量f∈R^1×15，并设置A等于f中元素最小值所在的列，即f中第A列的元素最小。

步骤(4.7)：利用PLS算法建立

与

之间的PLS模型：

其中，保留的输入特征的个数等于A。

步骤(5)：搭建一个三层的RBF神经网络，并使用PSO算法优化得到n个中心点向量c₁，c₂，…，c_n，具体的实施过程如步骤(5.1)至步骤(5.5)所示；其中，输入层神经元的个数等于A，隐层神经元的个数等于n，输出层神经元的个数等于4。

步骤(5.1)：初始化迭代次数g＝0，确定PSO算法的参数，具体包括：种群个数N，加速因子α₁与α₂，最大迭代次数M，和惯性权重δ_g；其中，惯性权重δ_g是根据如下所示公式从δ_max＝1.2线性递减到δ_min＝0.4：

步骤(5.2)：随机产生N个n×A维的粒子矩阵U₁，U₂，…，U_N，每个粒子矩阵中的元素都按照均匀分布随机取值于区间[0，1]。

步骤(5.3)：计算粒子矩阵U₁，U₂，…，U_N分别对应的适应度L₁，L₂，…，L_N；其中，计算第γ个粒子矩阵U_γ对应的适应度L_γ的具体实施过程如步骤(5.3-1)至步骤(5.3-3)所示。

步骤(5.3-1)：分别将S∈R^n×A中的各行向量s₁，s₂，…，s_n作为RBF神经网络的输入，根据如下所示公式计算RBF神经网络的隐层输出向量v₁，v₂，…，v_n：

其中exp()表示以自然常数e为底数的指数函数，，v_i(h)表示v_i∈R^n×1中的第h个元素，||s_i-U_γ(h)||²＝[s_i-U_γ(h)][s_i-U_γ(h)]^T，U_γ(h)表示第γ个粒子矩阵U_γ中的第h行的行向量，ζ_γ表示第γ个粒子矩阵U_γ对应的RBF参数，h∈{1，2，…，n}，γ∈{1，2，…，N}，R^n×1表示n×1维的实数向量。

步骤(5.3-1)中需要确定ζ_γ才可以计算隐层输出向量，本发明方法提供一种客观的RBF参数确定方法：计算粒子矩阵U_γ中各行向量之间的距离后，将最大的距离记录为β，则RBF参数ζ_γ＝β²/n。

步骤(5.3-2)：根据公式

计算第γ个粒子矩阵U_γ对应的输出层权重矩阵θ_γ∈R^n×4后，再计算得到RBF神经网络的输出层估计矩阵

其中，V_γ＝[v₁，v₂，…，v_n]^T。

步骤(5.3-3)：根据公式

计算第γ个粒子矩阵对应的适应度值L_γ。

步骤(5.4)：将L₁，L₂，…，L_N中最大值对应的粒子矩阵，RBF参数，和输出层权重矩阵分别记录为U_best，ζ_best和θ_best后，再执行PSO算法的种群更新操作，得到更新后的N个粒子矩阵U₁，U₂，…，U_N。

步骤(5.5)：判断是否满足条件g＞M；若否，则设置g＝g+1后返回步骤(5.3)；若是，则将U_best中的各行向量依次记录为中心点向量c₁，c₂，…，c_n。

步骤(6)：搭建优化后的RBF神经网络模型，其中，输入层神经元的个数等于A，隐层神经元的个数等于n，输出层神经元的个数等于4，隐层神经元的中心点向量是c₁，c₂，…，c_n，RBF参数为ζ_best，输出层神经元的权重矩阵为θ_best。

步骤(7)：根据步骤(1)中的15个输入变量，采集污水处理厂新一天的数据，并将其存储为一个1×15维的数据向量x；其中，数据向量x中的元素需依次按照步骤(1)中所述的输入变量的先后顺序进行排列。

步骤(8)：按照公式

对x中的各个元素进行归一化处理，得到归一化后的数据向量

其中，x(j)与

分别表示x与

中的第j个元素，j∈{1，2，…，15}。

步骤(9)：根据公式

计算输入特征向量s∈R^1×A后，再利用步骤(6)中优化后的RBF神经网络，计算得到输出估计向量

具体的实施过程如步骤(9.1)至步骤(9.2)所示。

步骤(9.1)：根据如下所示公式计算RBF神经网络的隐层输出向量u∈R^n×1：

上式中，u(h)表示u中的第h个元素，||s-c_h||²＝(s-c_h)(s-c_h)^T，U_best(h)表示U_best中的第h行的行向量。

步骤(9.2)：根据公式

计算得到输出估计向量

步骤(10)：根据公式

分别计算污水的生化需氧量y(1)，化学需氧量y(2)，总磷浓度y(3)，污泥体积指数y(4)；其中，k∈{1，2，3，4}。

通过以上所述实施步骤，本发明方法的优势介绍如下。

首先，本发明方法通过PLS算法的降维策略，能降低污水质量监测建模时遇到的小样本问题相对于输入变量维数的负面影响，并将PLS模型的输入特征用作为RBF神经网络的输入；其次，本发明方法通过PSO算法优化搜寻出多个隐层神经元的中心点向量，比传统使用聚类策略得到的中心点向量更具有普遍意义，同时也能较大程度的保证RBF神经网络模型的精度。

附图说明

图1为本发明方法的实施流程示意图。

图2为污水处理厂的流程示意图。

图3为输出变量监测精度的拟合效果图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明进行详细说明。

如图1所示，本发明公开了一种基于PLS-PSO-RBF神经网络模型的污水质量监测方法，下面结合一个具体应用实例来说明本发明方法的具体实施方式。

本实施案例中的污水处理厂的流程如图2所示。在本实施案例中，共连续采集了212天的测量数据；其中，将前112天的数据向量用于模型训练，后100天的数据向量分别当成新一天采样的数据向量，用于验证污水质量监测精度。由此可见，用于训练模型的只有112个样本，远没有RBF神经网络模型所要求的数据量。因此，实施案例涉及到了小样本问题。首先，实施如下所示步骤(1)至步骤(6)，从而建立基于RBF神经网络的软测量模型。

步骤(1)：确定15个输入变量和4个输出变量。

步骤(2)：连续采集n天的数据，将每天采集到的输入变量与输出变量对应的数据分别存储为一个15×1维与4×1维的数据向量，则依次得到n个输入向量x₁，x₂，…，x_n和n个输出向量y₁，y₂，…，y_n。

步骤(3)：组建矩阵X＝[x₁，x₂，…，x_n]^T与矩阵Y＝[y₁，y₂，…，y_n]^T后，再根据如下所示公式分别对X与Y中的各个列向量实施归一化处理，得到归一化后的输入矩阵

与输出矩阵

步骤(4)：使用5-折交叉验证法建立

与

之间的PLS模型：

具体的实施过程如前述步骤(4.1)至步骤(4.7)所示。

步骤(5)：搭建一个三层的RBF神经网络，并使用PSO算法优化得到n个中心点向量c₁，c₂，…，c_n，具体的实施过程如步骤(5.1)至步骤(5.5)所示。

步骤(6)：搭建优化后的RBF神经网络模型，其中，输入层神经元的个数等于A，隐层神经元的个数等于n，输出层神经元的个数等于4，隐层神经元的中心点向量是c₁，c₂，…，c_n，RBF参数为ζ_best，输出层神经元的权重矩阵为θ_best。

完成上述步骤(1)至步骤(6)后，即可按照如下所示步骤(7)至步骤(10)实施污水质量监测。

步骤(7)：根据步骤(1)中的15个输入变量，采集污水处理厂新一天的数据，并将其存储为一个1×15维的数据向量x；其中，数据向量x中的元素需依次按照步骤(1)所述的输入变量的先后顺序进行排列。

步骤(8)：按照公式

对x中的各个元素进行归一化处理，得到归一化后的数据向量

步骤(9)：根据公式

计算输入特征向量s∈R^1×A后，再利用步骤(6)中优化后的RBF神经网络，计算得到输出估计向量

具体的实施过程如步骤(9.1)至步骤(9.2)所示。

步骤(10)：根据公式

分别计算污水的生化需氧量y(1)，化学需氧量y(2)，总磷浓度y(3)，污泥体积指数y(4)。

通过对比步骤(10)中通过RBF神经网络得到的输出值与实际通过化学手段测量得到的数据进行拟合程度分析，相应的结果展示于图3中。从图3中可以看出，本发明方法具备较强的拟合精度，基本上接近于实测的4个污水质量指标。

Claims (2)

1.一种基于PLS-PSO-RBF神经网络模型的污水质量监测方法，其特征在于，具体包括如下所示步骤：

步骤(1)：先确定输入变量，具体由污水进站，曝气池，和沉淀池三个污水处理环节的15个测量变量组成；其中，污水进站的6个测量变量依次是：入水流量，入水温度，入水色度，入水氯离子浓度，入水悬浮物固体浓度，入水PH值；曝气池的4个测量变量依次是：污水色度，污水氯离子浓度，污水悬浮物固体浓度，污水PH值；沉淀池的5个测量变量依次是：污水PH值，污泥量，悬浮物固体浓度，污水色度，污水氯离子浓度；再确定输出变量，具体包括4个测量变量，依次是：生化需氧量，化学需氧量，总磷浓度，和污泥体积指数；

步骤(2)：连续采集n天的数据，并将每天采集到的输入变量与输出变量对应的数据分别存储为一个15×1维与4×1维的数据向量，则可得到输入数据向量x₁，x₁，…，x_n和输出数据向量y₁，y₂，…，y_n；其中，第i天的输入数据向量x_i∈R^15×1中的元素按照步骤(1)中15个输入变量的先后顺序排列，第i天的输出数据向量y_i∈R^4×1中的元素按照步骤(1)中4个输出变量的先后顺序排列，i∈{1，2，…，n}，R^15×1与R^4×1分别表示15×1维与4×1维的实数向量，R表示实数集；

步骤(3)：组建矩阵X＝[x₁，x₂，…，x_n]^T与矩阵Y＝[y₁，y₂，…，y_n]^T后，再根据如下所示公式分别对X与Y中的各个列向量实施归一化处理，得到归一化后的输入矩阵

与输出矩阵

其中，上标号T表示矩阵或向量的转置，j∈{1，2，…，15}，k∈{1，2，3，4}，z_j(min)和z_j(max)分别表示z_j中元素的最小值和最大值，ε_j(min)和ε_j(max)分别表示ε_j中元素的最小值和最大值，z_j和

分别表示X和

中的第j列的列向量，ε_k和

分别表示Y与

中第k列的列向量；

步骤(4)：使用5-折交叉验证法建立

与

之间的PLS模型：

其中，输入特征矩阵

P∈R^15×A与Q分别表示输入载荷矩阵和输出载荷矩阵，E为残差矩阵，R^15×A表示15×A维的实数矩阵，A表示输入特征的个数；

步骤(5)：搭建一个三层的RBF神经网络，并使用PSO算法优化得到隐层神经元的中心点向量c₁，c₂，…，c_n，具体的实施过程如步骤(5.1)至步骤(5.5)所示；其中，输入层神经元的个数等于A，隐层神经元的个数等于n，输出层神经元的个数等于4；

步骤(5.1)：初始化迭代次数g＝0，确定PSO算法的参数，具体包括：粒子个数等于N，加速因子α₁与α₂，最大迭代次数M，和惯性权重δ_g；其中，惯性权重δ_g是根据如下所示公式从δ_max＝1.2线性递减到δ_min＝0.4：

步骤(5.2)：随机产生N个n×A维的粒子矩阵U₁，U₂，…，U_N，每个粒子矩阵中的元素都按照均匀分布随机取值于区间[0，1]；

步骤(5.3)：计算粒子矩阵U₁，U₂，…，U_N分别对应的适应度L₁，L₂，…，L_N；其中，计算第γ个粒子矩阵U_γ对应的适应度L_γ的具体实施过程如步骤(5.3-1)至步骤(5.3-3)所示；

步骤(5.3-1)：分别将S∈R^n×A中的各个行向量s₁，s₂，…，s_n作为RBF神经网络的输入，根据如下所示公式计算RBF神经网络的隐层输出向量v₁，v₂，…，v_n：

其中，exp()表示以自然常数e为底数的指数函数，||s_i-U_γ(h)||²＝[s_i-U_γ(h)][s_i-U_γ(h)]^T，v_i(h)表示v_i∈R^n×1中的第h个元素，U_γ(h)表示第γ个粒子矩阵U_γ中的第h行的行向量，ζ_γ表示第γ个粒子矩阵U_γ对应的RBF参数，h∈{1，2，…，n}，γ∈{1，2，…，N}，R^n×1表示n×1维的实数向量；

步骤(5.3-2)：根据

计算第γ个粒子矩阵U_γ对应的输出层权重矩阵θ_γ∈R^n×4后，再计算得到RBF神经网络的输出层估计矩阵

其中，V_γ＝[v₁，v₂，…，v_n]^T；

步骤(5.3-3)：根据公式

计算第γ个粒子矩阵U_γ对应的适应度L_γ；其中，

表示计算矩阵

中所有元素的平方和；

步骤(5.4)：将L₁，L₂，…，L_N中最小值对应的粒子矩阵，RBF参数，和输出层权重矩阵分别记录为U_best，ζ_best和θ_best后，再执行PSO算法的种群更新操作，得到更新后的N个粒子矩阵U₁，U₂，…，U_N；

步骤(5.5)：判断是否满足条件g＞M；若否，则设置g＝g+1后返回步骤(5.3)；若是，则将U_best中的各个行向量依次记录为隐层神经元的中心点向量c₁，c₂，…，c_n；

步骤(6)：搭建优化后的RBF神经网络模型，其中，输入层神经元的个数等于A，隐层神经元的个数等于n，输出层神经元的个数等于4，隐层神经元的中心点向量是c₁，c₂，…，c_n，RBF参数为ζ_best，输出层权重矩阵为θ_best；

步骤(7)：根据步骤(1)中的15个输入变量，采集污水处理厂新一天的数据，并将其存储为一个1×15维的数据向量x；其中，数据向量x中的元素需依次按照步骤(1)中所述的15个输入变量的先后顺序进行排列；

步骤(8)：按照公式

对x中的各个元素进行归一化处理，得到归一化后的数据向量

其中，j∈{1，2，…，15}，x(j)与

分别表示x与

中的第j个元素；

步骤(9)：根据公式

计算输入特征向量s∈R^1×A后，再利用步骤(6)中优化后的RBF神经网络模型，计算得到输出估计向量

具体的实施过程如步骤(9.1)至步骤(9.2)所示；

步骤(9.1)：根据如下所示公式计算RBF神经网络的隐层输出向量u∈R^n×1：

上式中，u(h)表示u中的第h个元素，||s-c_h||²＝(s-c_h)(s-c_h)^T，h∈{1，2，…，n}；

步骤(9.2)：根据公式

计算得到输出估计向量

步骤(10)：根据公式

分别计算生化需氧量y(1)，化学需氧量y(2)，总磷浓度y(3)，污泥体积指数y(4)；其中，k∈{1，2，3，4}，

表示

中的第k个元素。

2.根据权利要求1所述的一种基于PLS-PSO-RBF神经网络模型的污水质量监测方法，其特征在于，所述步骤(4)中使用5-折交叉验证法建立

与

之间的PLS模型的具体实施过程如下所示：

步骤(4.1)：将输入矩阵

划分成5个子输入矩阵X₁，X₂，…，X₅，并对应的将输出矩阵

划分成5个子输出矩阵Y₁，Y₂，…，Y₅；其中，

表示n_m×15维的实数矩阵，m∈{1，2，3，4，5}，n₁+n₂+n₃+n₄+n₅＝n，划分子输入矩阵与子输出矩阵的具体实施过程如步骤(A)至步骤(C)所示；

步骤(A)：设置n₁等于n除以5的商，再将

中第1行至第n₁行的行向量组成第1个子输入矩阵X₁，并将

中第1行至第n₁行的行向量组成第1个子输出矩阵Y₁；

步骤(B)：设置n₄＝n₃＝n₂＝n₁后，依次将

中第n₁+1行至第2n₁行的行向量，第2n₁+1行至第3n₁行的行向量，第3n₁+1行至第4n₁行的行向量分别组成子输入矩阵X₂，X₃，X₄，并同时对应的将

中相同行的行向量分别组成子输出矩阵Y₂，Y₃，Y₄；

步骤(C)：设置n₅＝n-4n₁后，将

中最后n₅行的行向量组成子输入矩阵X₅，并将

中最后n₅行的行向量组成子输出矩阵Y₅；

步骤(4.2)：将第m个子输入矩阵X_m和子输出矩阵Y_m分别当成测试输入矩阵与测试输出矩阵，再将其余的4个子输入矩阵合并成一个训练输入矩阵X₀，其余的4个子输出矩阵合并成一个训练输出矩阵Y₀；

步骤(4.3)：利用PLS算法建立X₀与Y₀之间的PLS模型：

其中，S₀＝X₀P₀，E₀为残差矩阵，P₀∈R^15×j和Q₀分别为输入载荷矩阵和输出载荷矩阵；

步骤(4.4)：根据公式

计算当j分别等于1，2，…，15时，测试输入矩阵对应的测试误差H(m，j)；其中，

表示计算矩阵

中所有元素的平方和；

步骤(4.5)：重复上述步骤(4.2)至步骤(4.4)，从而得到当m分别等于1，2，…，5时，测试输入矩阵对应的测试误差后，再将所得的测试误差组建成误差矩阵H∈R^5×15；其中，H中的第m行第j列元素等于H(m，j)；

步骤(4.6)：计算误差矩阵H中所有行向量的均值向量f∈R^1×15，并设置A等于f中元素最小值所在的列，即f中第A列的元素最小；

步骤(4.7)：利用PLS算法建立

与

之间的PLS模型：

其中，保留的输入特征的个数等于A。

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