CN113191049B - 一种钢筋混凝土分离求解的有限元数值计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种钢筋混凝土分离求解的有限元数值计算方法，包括以下步骤：步骤一，建立钢筋混凝土结构的有限元模型，混凝土由等参单元及虚拟裂缝单元构成，钢筋与混凝土之间由粘结单元构成，钢筋由若干杆单元构成；步骤二，计算代表钢筋的杆单元的节点切线方向上的位移和作用力；步骤三，对所有单元进行组装，并且默认所有节点的力和位移均是节点局部坐标下的值；步骤四，计算代表混凝土的实体单元的节点位移和作用力；步骤五，基于钢筋和混凝土之间的位移关系形成有限元方程，利用数值计算方法求解。本发明既能较为精确地模拟钢筋混凝土结构在荷载作用下的力学行为，同时还简化了数值计算过程，实现了钢筋混凝土结构非线性受力特征快速模拟。

Description

一种钢筋混凝土分离求解的有限元数值计算方法

技术领域

本发明属于有限元模拟分析技术领域，具体涉及一种钢筋混凝土分离求解的有限元数值计算方法。

背景技术

拱坝作为一种坝身及基础工作条件好、超载能力强的坝型，其安全性和经济性都比较优越，已在得到国内外水利工程的广泛认可和应用。随着国家的快速发展，拱坝建设进入新的发展阶段，在西南地区建设了溪洛渡拱坝、小湾拱坝、锦屏一级拱坝等多座高拱坝，其中当今世界第一高拱坝锦屏一级拱坝高达305m，表明了我国的高拱坝建设设计技术及研究体系具有世界一流水平。但是作为典型的水工混凝土结构，拱坝的几何形状相比一般民用建筑要复杂很多，局部结构地形状与整体差异可能较大，削弱结构的整体性，改变应力状态，产生明显的应力集中，通常需要适当地配置钢筋，以达到限制局部裂缝的范围和开度的目的。水工混凝土结构受力情况和结构形式复杂，属于钢筋混凝土特种结构，现行水工混凝土设计规范采用弹性应力图形配筋法计算钢筋面积，在实际工程中当钢筋起作用时混凝土早已开裂，部分混凝土处于应变软化阶段，结构的工作性状表现为高度的非线性。此时若仅依据弹性拉应力图形指导配筋设计，不能反映实际情况，高效准确地模拟钢筋和混凝土应力情况对水工结构数值模拟和施工指导是极其重要的。

水工混凝土结构由于体型复杂不能简化为常规的板、梁、柱等基本杆系结构，且空间整体性强，不能简单作为平面问题计算，属于复杂非杆件体系结构，采用现行规范给出的弹性拉应力图形配筋设计法没有考虑混凝土材料的非线性和钢筋混凝土之间的相互作用关系，难以反应混凝土在配置钢筋后开裂情况及其应力的变化，无法准确模拟材料真实的力学行为。

混凝土材料的内部结构及力学性能较为复杂，应力应变表现出高度的非线性特征，且钢筋与混凝土之间的粘结滑移关系也具有非线性特征。为了较为精确地模拟钢筋混凝土结构在荷载作用下的力学行为，学者们对于钢筋混凝土的非线性特征提出并完善了多种理论，建立了相应的钢筋混凝土相互作用模型。通常的数值计算方法往往注重钢筋与混凝土的相互作用，因此，在考虑粘结滑移的基础上建立代表钢筋的杆单元和代表混凝土的实体单元的耦合有限元平衡方程，保证了模拟结果的准确性，缺点是牺牲了计算的高效性。

发明内容

本发明的目的是提供一种钢筋混凝土分离求解的有限元数值计算方法，对钢筋和混凝土在有限元模拟的过程中独立求解，对水工混凝土结构真实状态进行反馈。

为实现上述目的，本发明采用的技术方案是：

一种钢筋混凝土分离求解的有限元数值计算方法，包括以下步骤：

步骤一，建立钢筋混凝土结构的有限元模型；混凝土由等参单元及虚拟裂缝单元构成，钢筋与混凝土之间由粘结单元构成，钢筋由若干杆单元构成；

步骤二，计算代表钢筋的杆单元的节点切线方向上的位移和作用力之间的关系；

步骤三，根据所述位移和作用力之间的关系对所有杆单元进行组装，并且默认所有节点的力和位移均是节点局部坐标下的值；

步骤四，计算代表混凝土的实体单元的节点位移和作用力之间的关系；

步骤五，根据步骤四中混凝土的节点位移和作用力之间的关系以及步骤三中的组装逻辑，计算得到基于钢筋和混凝土之间的位移关系，并根据该位移关系形成有限元方程，利用数值计算方法求解。

具体地，步骤二中，所述杆单元的节点切线方向上的作用力和位移之间的关系为：

其中，

e下标表示单元局部坐标下的变量，l表示整体坐标下的变量；{u_s}^l是整体坐标系下的单元位移矩阵；

[R]^e是单元位移矩阵从整体坐标系向局部坐标系转换的关系矩阵；

其中，t_ei是将节点i位移从整体坐标系转向局部坐标系进行转换的关系矩阵，i＝1,2；

是局部坐标系下单元刚度矩阵，E为钢筋杆的弹性模量，A为钢筋杆的横截面积，l_e为钢筋杆单元的长度；

则有，

R]^eT[k_s]^e[R]^e{u_s}^l＝[R]^eT{f_cs}^e (2)

即：

[k_s]^e[R]^e{u_s}^l＝{f_cs}^e (3)

局部坐标系下节点的位移矩阵为：

t_ei＝[r_ex r_ey r_ez][r_ix r_iy r_iz]^T

其中，

为第i个节点在整体坐标系下的位移；[r_ex r_ey r_ez]为局部坐标到单元位移的转换矩阵；[r_ix r_iy r_iz]为整体坐标到局部坐标的转换矩阵；

则有局部坐标系下节点的位移矩阵为：

其中，

局部坐标系下单元控制方程为：

[k_s]^e{u_s}^e＝{f_cs}^e (6)

其中：{u_s}^e是局部坐标系下单元位移矩阵；

钢筋杆单元上的作用力矩阵为：

{F_cs}＝{f_cs1 f_cs2 ... f_csn}^T (7)

其中，f_csi为第i个节点上的作用力；

钢筋杆单元的位移矩阵为：

{U_s}＝{u_s1 u_s2 ... u_sn}^T (8)

其中，u_si为第i个节点处钢筋的位移，i＝1,2,…,n。

进一步地，步骤三中，所述单元的组装公式为：

[K_s]{U_s}＝{F_cs} (9)

其中，[K_s]为钢筋整体刚度矩阵。

进一步地，步骤四中，所述混凝土的节点的作用力和位移之间的关系为：

其中，{U_c}为混凝土节点的位移；

{U_c}＝{u_c1 u_c2 ... u_cn} (11)

Fsc}为作用在混凝土节点的力；

{Fsc}＝{f_sc1 f_sc2 ... f_scn} (12)

为混凝土结构中由外荷载产生的位移；[C_c]为混凝土结构中与钢筋相连节点的柔度矩阵。

进一步地，步骤五中，计算钢筋与混凝土之间的位移关系包括以下步骤：

计算钢筋和混凝土之间的作用力与位移的关系：

将式(13)代入式(9)中，则有；

即钢筋与混凝土之间的位移关系为：

其中，f_cs0是混凝土结构中与钢筋相连节点的初始作用力，Δf_cs是混凝土结构中与钢筋相连节点的作用力增量，s是钢筋和混凝土单元的相连节点处的相对位移，u_s、u_c分别是相连节点处钢筋和混凝土的位移。

进一步地，步骤五中，所述有限元方程为：

式中[K_cs]为对角线矩阵；

其中，

为钢筋与混凝土第i个相连节点对处的切向刚度；[I]为单位矩阵；d为钢筋直径；l_i为该节点对控制的钢筋长度；

为该节点对控制长度范围内均匀剪应力。

与现有技术相比，本发明的有益效果是：本发明的有限元数值计算方法通过对钢筋和混凝土在有限元模拟的过程中独立求解，既能较为精确地模拟钢筋混凝土结构在荷载作用下的力学行为，能够对水工混凝土结构真实状态进行反馈；同时还简化了数值计算过程，实现了钢筋混凝土结构非线性受力特征快速模拟。

附图说明

图1为本发明实施例中有限元数值计算方法的流程图；

图2为本发明实施例中三点钢筋混凝土弯曲梁模型示意图；

图3为本发明实施例中三点钢筋混凝土梁钢筋受力情况示意图；

图4为本发明实施例中三点钢筋混凝土梁位移情况示意图；

图5为本发明实施例中某拱坝的深孔配筋示意图；

图6为本发明实施例中某拱坝的深孔应力示意图；

图7为本发明实施例中某拱坝的深孔配筋应力示意图。

具体实施方式

下面将结合本发明中的附图，对本发明的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动条件下所获得的所有其它实施例，都属于本发明保护的范围。

如图1所示，本实施例提供了一种钢筋混凝土分离求解的有限元数值计算方法，包括以下步骤：

步骤一，建立钢筋混凝土结构的有限元模型；混凝土由等参单元及虚拟裂缝单元构成，钢筋与混凝土之间由粘结单元构成，钢筋由若干杆单元构成；

步骤二，计算代表钢筋的杆单元的节点切线方向上的位移和作用力之间的关系；

步骤三，根据所述位移和作用力之间的关系对所有杆单元进行组装，并且默认所有节点的力和位移均是节点局部坐标下的值；

步骤四，计算代表混凝土的实体单元的节点位移和作用力之间的关系；

步骤五，根据步骤四中混凝土的节点位移和作用力之间的关系以及步骤三中的组装逻辑，计算得到基于钢筋和混凝土之间的位移关系，并根据该位移关系形成有限元方程，利用数值计算方法求解。

具体地，步骤二中，所述杆单元的节点切线方向上的作用力和位移之间的关系为：

其中，

e下标表示单元局部坐标下的变量，l表示整体坐标下的变量；{u_s}^l是整体坐标系下的单元位移矩阵；

[R]^e是单元位移矩阵从整体坐标系向局部坐标系转换的关系矩阵；

其中，t_ei是将节点i位移从整体坐标系转向局部坐标系进行转换的关系矩阵，i＝1,2；

是局部坐标系下单元刚度矩阵，E为钢筋杆的弹性模量，A为钢筋杆的横截面积，l_e为钢筋杆单元的长度；

则有，

R]^eT[k_s]^e[R]^e{u_s}^l＝[R]^eT{f_cs}^e (2)

即：

[k_s]^e[R]^e{u_s}^l＝{f_cs}^e (3)

局部坐标系下节点的位移矩阵为：

t_ei＝[r_ex r_ey r_ez][r_ix r_iy r_iz]^T

其中，

为第i个节点在整体坐标系下的位移；[r_ex r_ey r_ez]为局部坐标到单元位移的转换矩阵；[r_ix r_iy r_iz]为整体坐标到局部坐标的转换矩阵；

则有局部坐标系下节点的位移矩阵为：

其中，

局部坐标系下单元控制方程为：

[k_s]^e{u_s}^e＝{f_cs}^e (6)

其中：{u_s}^e是局部坐标系下单元位移矩阵；

钢筋杆单元上的作用力矩阵为：

{F_cs}＝{f_cs1 f_cs2 ... f_csn}^T (7)

其中，f_csi为第i个节点上的作用力；

钢筋杆单元的位移矩阵为：

{U_s}＝{u_s1 u_s2 ... u_sn}^T (8)

其中，u_si为第i个节点处钢筋的位移，i＝1,2,…,n。

进一步地，步骤三中，所述单元的组装公式为：

[K_s]{U_s}＝{F_cs} (9)

其中，[K_s]为钢筋整体刚度矩阵。

进一步地，步骤四中，所述混凝土的节点的作用力和位移之间的关系为：

其中，{U_c}为混凝土节点的位移；

{U_c}＝{u_c1 u_c2 ... u_cn} (11)

F_sc}为作用在混凝土节点的力；

{F_sc}＝{f_sc1 f_sc2 ... f_scn} (12)

为混凝土结构中由外荷载产生的位移；[C_c]为混凝土结构中与钢筋相连节点的柔度矩阵。

进一步地，步骤五中，计算钢筋与混凝土之间的位移关系包括以下步骤：

计算钢筋和混凝土之间的作用力与位移的关系：

将式(13)代入式(9)中，则有；

即钢筋与混凝土之间的位移关系为：

其中，f_cs0是混凝土结构中与钢筋相连节点的初始作用力，Δf_cs是混凝土结构中与钢筋相连节点的作用力增量，s是钢筋和混凝土单元的相连节点处的相对位移，u_s、u_c分别是相连节点处钢筋和混凝土的位移。

进一步地，步骤五中，所述有限元方程的构建过程为：

式(15)减去式(10)可得：

其中，s₀是是钢筋和混凝土单元的节点之间的初始相对位移，ds为钢筋和混凝土单元的节点之间相对位移的变化量；[K_s]^-1是钢筋整体刚度矩阵的逆矩阵；

重新组合得：

两端同时乘以[K_s]，可得：

考虑到：

{F_cs}＝-{F_sc} (19)

最终形成有限元方程：

式中[K_cs]为对角线矩阵；

其中，

为钢筋与混凝土第i个相连节点对处的切向刚度；[I]为单位矩阵；d为钢筋直径；l_i为该节点对控制的钢筋长度；

为该节点对控制长度范围内均匀剪应力。

本实施例对钢筋混凝土三点弯曲梁进行算力验证，模型如附图2所示，钢筋变形如附图3所示，整体位移如附图4所示。将本方法应用到某拱坝深孔配筋的实际工程中，深孔配筋如附图5所示，图5中，(a)为某拱坝的深孔顶、底板配筋示意图，(b)为某拱坝的闸墩进口牛腿钢筋布置示意图；计算的位移结果如图6所示，深孔中所配置的钢筋的应力如附图7所示，从附图5至7可以看出，本方法的有限元数值计算方法适用于配筋后的复杂结构的受力特征模拟。采用本发明的有限元数值计算方法既能较为精确地模拟钢筋混凝土结构在荷载作用下的力学行为，能够对水工混凝土结构真实状态进行反馈；同时还简化了数值计算过程，实现了钢筋混凝土结构非线性受力特征快速模拟。

尽管已经示出和描述了本发明的实施例，对于本领域的普通技术人员而言，可以理解在不脱离本发明的原理和精神的情况下可以对这些实施例进行多种变化、修改、替换和变型，本发明的范围由所附权利要求及其等同物限定。

Claims (1)

1.一种钢筋混凝土分离求解的有限元数值计算方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一，建立钢筋混凝土结构的有限元模型；

步骤二，计算代表钢筋的杆单元的节点切线方向上的位移和作用力之间的关系；

步骤三，根据所述位移和作用力之间的关系对所有杆单元进行组装，并且默认所有节点的力和位移均是节点局部坐标下的值；

步骤四，计算代表混凝土的实体单元的节点位移和作用力之间的关系；

步骤五，根据步骤四中混凝土的节点位移和作用力之间的关系以及步骤三中的组装逻辑，计算得到基于钢筋和混凝土之间的位移关系，并根据该位移关系形成有限元方程，利用数值计算方法求解；

步骤二中，所述杆单元的节点切线方向上的作用力和位移之间的关系为：

其中，

e下标表示单元局部坐标下的变量，l表示整体坐标下的变量；{u_s}^l是整体坐标系下的单元位移矩阵；

[R]^e是单元位移矩阵从整体坐标系向局部坐标系转换的关系矩阵；

其中，t_ei是将节点i位移从整体坐标系转向局部坐标系进行转换的关系矩阵，i＝1，2；

是局部坐标系下单元刚度矩阵，E为钢筋杆的弹性模量，A为钢筋杆的横截面积，l_e为钢筋杆单元的长度；

则有，

[R]^eT[k_s]^e[R]^e{u_s}^l＝[R]^eT{f_cs}^e (2)

即：

[k_s]^e[R]^e{u_s}^l＝{f_cs}^e (3)

局部坐标系下节点的位移矩阵为：

t_ei＝[r_ex r_ey r_ez][r_ix r_iy r_iz]^T

其中，

为第i个节点在整体坐标系下的位移；[r_ex r_ey r_ez]为局部坐标到单元位移的转换矩阵；[r_ix r_iy r_iz]为整体坐标到局部坐标的转换矩阵；

则有局部坐标系下节点的位移矩阵为：

其中，

局部坐标系下单元控制方程为：

[k_s]^e{u_s}^e＝{f_cs}^e (6)

其中：{u_s}^e是局部坐标系下单元位移矩阵；

钢筋杆单元上的作用力矩阵为：

{F_cs}＝{f_cs1 f_cs2...f_csn}^T (7)

其中，f_csi为第i个节点上的作用力；

钢筋杆单元的位移矩阵为：

{U_s}＝{u_s1 u_s2...u_sn}^T (8)

其中，u_si为第i个节点处钢筋的位移，i＝1，2，...，n；

步骤三中，所述单元的组装公式为：

[K_s]{U_s}＝{F_cs} (9)

其中，[K_s]为钢筋整体刚度矩阵；

步骤四中，所述混凝土的节点的作用力和位移之间的关系为：

其中，{U_c}为混凝土节点的位移；

{U_c}＝{u_c1 u_c2...u_cn} (11)

{F_sc}为作用在混凝土节点的力；

{F_sc}＝{f_sc1 f_sc2...f_scn} (12)

为混凝土结构中由外荷载产生的位移；[C_c]为混凝土结构中与钢筋相连节点的柔度矩阵；

步骤五中，计算钢筋与混凝土之间的位移关系包括以下步骤：

计算钢筋和混凝土之间的作用力与位移的关系：

将式(13)代入式(9)中，则有；

即钢筋与混凝土之间的位移关系为：

其中，f_cs0是混凝土结构中与钢筋相连节点的初始作用力，Δf_cs是混凝土结构中与钢筋相连节点的作用力增量，s是钢筋和混凝土单元的相连节点处的相对位移，u_s、u_c分别是相连节点处钢筋和混凝土的位移；

步骤五中，所述有限元方程为：

式中[K_cs]为对角线矩阵；s₀是钢筋和混凝土单元的节点之间的初始相对位移；

其中，

为钢筋与混凝土第i个相连节点对处的切向刚度；[I]为单位矩阵；d为钢筋直径；l_i为该节点对控制的钢筋长度；

为该节点对控制长度范围内均匀剪应力。

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