CN113146640B - 一种考虑执行器故障的机械臂分散最优容错控制方法 - Google Patents

Abstract

一种考虑执行器故障的机械臂分散最优容错控制方法，该方法为：构建执行器故障下基于关节力矩传感器反馈技术的模块化机械臂系统子关节模型，设计龙博格状态观测器估计未知执行器故障，基于关节力矩传感器测得的信息建立综合近似的未知执行器故障、跟踪性能、控制器输出的改进代价函数，利用评价神经网络结构近似最优容错控制器，优化系统跟踪性能的同时减少控制力矩的输出，最终得到分散近似最优控制器。最后，在不同的执行器故障下，通过不同构形的模块化机械臂进行实验探究验证了该方法的有效性。

Description

一种考虑执行器故障的机械臂分散最优容错控制方法

技术领域

本发明涉及一种考虑未知执行器故障的模块化机械臂分散最优容错控制方法，属于机器人控制系统及控制算法领域。

背景技术

模块化机械臂是一类具有标准模块与接口，可以根据不同的任务需求对自身构形进行重新组合与配置的机械臂。根据模块化的概念，模块化机械臂的关节模块包含了通讯、驱动、控制、传感等单元，可以使机械臂在不同的外界环境与约束下根据任务需要改变自身构形，使重构后的机械臂能够对新的工作环境有更好的适应性。正是由于这样的结构特点，模块化机械臂具有融合最新的机械、传感器以及计算机控制技术，和良好的重塑、自适应的能力，能够根据环境和任务改变和优化自身的结构，快速、有效地完成任务，因此模块化机械臂在军事、航天、救援和核工业等领域具有重大意义。

针对面向复杂环境和干预受限的模块化机械臂，在具体应用和作业中其元器部件、执行器、传感器等不可避免会发生未知故障，因此针对模块化机械臂的故障诊断与容错控制研究十分迫切。所谓容错是指一种先进的设计/调节方法，当某些部件或参数发生故障时，保证系统能够在系统性能下降的情况下工作。究其根本，这种技术通过软件(信息)冗余和/或硬件冗余来增加系统的鲁棒性能。目前，针对非线性系统解决未知故障的容错控制方法主要分为被动容错控制和主动容错控制。被动容错控制只能针对已知故障进行补偿控制，无法预测和估计未知的故障发生，它以降低标称性能为代价以达到容错控制的目的。主动容错控制策略是通过故障诊断与故障检测单元实时获得系统所发生的未知故障信息，并对其控制器进行重构以实现对故障的实时补偿。对比于被动容错控制，主动容错控制不需要预知故障的形式具有较强的灵活性，它可以通过以上故障诊断与监测方法实时获得系统故障信息，依据这些信息以及控制任务需求重新调整系统控制律的结构和参数以最小的系统性能劣化来满足控制目标的容错控制方法。然而，这样的容错控制方式更多地依赖于故障诊断与检测的有效性，故障信息是否及时、准确以及能否在短时间内进行控制器的重构，都将严重影响整个系统的性能。另外，模块化机械臂因其独特的结构特性使其动力学模型往往是不完备的，传统的方法是利用神经网络来近似模型信息从而实现对模块化机械臂的容错控制目标。然而，这一方案在实际操作中突显出了存在的缺点，由于神经网络辨识器需要大量的数据进行训练，因而在刚开始执行任务时，执行器的输出波动巨大，甚至超过执行器最大输出限制，对其造成了不可弥补的伤害。因此，将每个关节模块的执行器故障的情况考虑到模块化机械臂的分散容错控制方法中是十分必要的。

为了保证面向未知执行器故障的模块化机械臂具有良好的稳定性与精确性，设计龙博格状态观测器估计未知执行器故障，基于关节力矩传感器测得的信息建立综合近似的未知执行器故障、跟踪性能、控制器输出的改进代价函数，利用评价神经网络结构近似最优容错控制器，优化系统跟踪性能的同时减少控制力矩的输出，最终得到分散近似最优控制器，使得模块化机械臂关节子系统在发生执行器故障时，实时补偿模型的不确定性保证实际位置能够跟踪得上期望轨迹的同时，减少控制力矩的输出和资源的消耗。

发明内容

为了解决传统的模块化机械臂主动容错控制系统及其方法中存在的问题，本发明提出的一种考虑执行器故障的机械臂分散最优容错控制方法。

本发明解决技术问题的方案是：

一种考虑执行器故障的机械臂分散最优容错控制方法，该方法为：构建执行器故障下基于关节力矩传感器反馈技术的模块化机械臂系统子关节模型，设计龙博格状态观测器估计未知执行器故障，基于关节力矩传感器测得的信息建立综合近似的未知执行器故障、跟踪性能、控制器输出的改进代价函数，利用评价神经网络结构近似最优容错控制器，优化系统跟踪性能的同时减少控制力矩的输出，最终得到分散近似最优控制器。最后，在不同的执行器故障下，通过不同构形的模块化机械臂进行实验探究验证了该方法的有效性。

一种考虑执行器故障的机械臂分散最优容错控制方法，该方法包括如下步骤：

1.首先建立基于关节力矩传感器的n自由度模块化机械臂系统动力学模型表示为：

其中，q_i为第i个关节位置；

为关节角速度；/>

为关节角加速度；I_mi为电机转动惯量；γ_i为减速器的减速比；/>

关节间的动力学耦合交联项，/>

为包括所有关节的位置、速度、加速度的信息；τ_fi为关节力矩传感器所测得的力矩信息；τ_i为电机输出力矩；

为第i个关节的执行器故障函数，β_i(t_i-T_Fi)＝[0,t_i<T_Fior1,t_i≥T_Fi]为阶跃函数且β_i为阶跃函数的参数，t_i为模块化机械臂运行时刻；T_Fi为子关节系统发生执行器故障的时间，/>

为故障函数，0≤ρ_Fi≤1为故障有效因子；

为摩擦力矩项。

通过简化，将第i个关节的动力学模型表示为以下非线性系统I_i的状态空间形式：：

其中，

为模块化机械臂的状态向量表示关节运动角位置和角速度状态，/>

为系统状态对时间的微分形式，y_i为模块化机械臂系统的输出，D_i＝(I_miγ_i)^-1∈R⁺为转动惯量项，u_i＝τ_i为第i个关节的控制力矩及执行器输入力矩，Γ_fi为已知模型项和Θ_i为模型不确定项包括摩擦力矩模型的建模误差和近似误差，以及关节间的动力学耦合交联项，分别表示为：

/>

其中，

为由摩擦各项估计误差组成的近似误差向量，/>

分别为对应摩擦系数f_bi，f_ci，f_si，f_τi的估计值，

由与关节位置和关节速度有关的函数组成的向量。

2.关节模块的自适应龙博格故障观测器的设计

我们通过设计自适应龙博格故障观测器来实时近似未知的执行器故障：

其中，

为模块化机械臂关节子系统状态x_i的观测值，K_i为观测器给定的正增益，/>

为模块化机械臂关节子系统输出y_i的观测值，/>

为近似的执行器故障。其中，

其中，B_i，β_i(x_i)，C_i，O_i为与系统跟动力学信息相关的参数矩阵。定义观测器观测误差E_Fi为：

根据观测器稳定性证明和近似未知故障的准确性，将近似的执行器故障的更新控制律设计为：

其中，近似故障的更新律α_Fi＝[α_1iα_2i]^T且α_1i,α_2i为相对应的更新律参数，矩阵Λ_i为控制参数矩阵，可以由求解以下Riccati方程得到：

(B_i-K_iO_i)^TΛ_i+Λ_i(B_i-K_iO_i)＝-X_Fi (13)

其中，X_Fi为一个给定的对称正定矩阵。

3.基于优化思想的最优容错控制器结构

首先定义关节模块位置跟踪误差和速度跟踪误差分别为：

e_i＝x_i-x_id (14)

其中，e_i和

为模块化机械臂的位置跟踪误差和速度跟踪误差，x_id和/>

为期望的即任务目标的机械臂关节运动位置和运动速度。为了更好的实现跟踪目标，设计综合关节模块位置信息和速度信息的滑模函数m_i(t)为：

其中，k_ei为控制器所设定的参数。

为了实现发生未知执行故障下的模块化机械臂容错控制目标，与传统的控制思想不同，本发明利用优化思想，将分散主动容错控制问题转化为相对应的最优控制问题来解决。将跟踪目标和估计的故障以控制指标的形式放入代价函数中，从而找到最优容错控制策略。因此，建立含有近似执行器故障的代价函数J_i(m_i(t))：

其中，效应函数N_i(m_i(t),u_i(m_i(t)))＝m_i(t)^TQ_im_i(t)+u_i(t)^TR_iu_i(t)，对于所有m_i(t)和u_i(t)有不等式N_i(m_i(t),u_i(m_i(t)))≥0成立，并且初始状态N_i(0,0)＝0，矩阵Q_i和R_i为给定的正数，ρ_Fi，ρ_yi和ρ_ui为给定的控制器参数，

为由自适应龙博格观测器近似的未知执行器故障，Γ_fi为模块化机械臂可测的模型动力学信息，G_i为模型不确定项Θ_i的上界参数，且满足不等式/>

存在。Ψ_i(Ω)是由一系列可行的控制策略Ω组成的集合。

通过求解相对应的哈密尔顿-雅可比-贝尔曼方程，可以得到分散最优容错控制器的结构为：

4.策略迭代的学习算法

用策略迭代算法来寻找最优控制策略，具体步骤如下：

步骤1：参数初始化，选择j为迭代次数，当j＝0，给定一个初始的容许控制策略

并选取一个正常数δ_i；。

步骤2：当j>0时，结合控制策略

通过以下的等式来更新代价函数

这里代价函数

步骤3：通过以下等式来更新控制策略

步骤4：如果

停止计算，得到最优控制策略；否则，令j＝j+1，转到步骤2；

步骤5：停止。

通过该算法的迭代计算，当j→∞时可以近似计算出最优代价函数

和最优控制策略/>

5.评价神经网络的构建

建立评价神经网络结构近似相对应的最优代价函数：

其中，

是理想权值，N_i为隐含层神经元的个数，/>

是激活函数，ε_ic为评价神经网络近似残差。将代价函数J_i(m_i)的偏导数表示为：

其中，

和/>

分别为激活函数和评价神经网络近似残差的偏导数。并得到名义上的分散最优容错控制策略为：

根据名义上的神经网络建立，将哈密尔顿方程改写为：

其中，e_ich为由理想的评价神经网络近似哈密尔顿函数得到的残差。

由于理想的评价神经网络权值W_ic我们无法直接得知，所以将评价神经网络近似为：

其中，

为神经网络权值的近似值。从而，结合最优控制策略和评价神经网络近似能力，利用策略迭代算法，最终得到近似的分散最优容错控制策略为：

本发明的有益效果如下：

在机械臂容错控制方面，本发明解决了面向未知执行器故障的模块化机械臂子系统的最优容错控制目标，采用自适应龙博格状态观测器近似估计不确定的子关节模块执行器故障，能够快速响应估计未知的故障信息，保证机械臂系统在发生执行器故障时快速判断并保证系统的安全稳定地运行。

在控制精度方面，本发明将机械臂的容错控制任务转化为相应的最优控制问题来解决，另外利用机械臂本身已知的模型信息，更有针对性地对如机械臂这样的强实时性系统进行补偿和控制目标的有效实现，在保持系统即使在发生故障时仍能安全操作的同时，降低执行器的输出消耗。

因此，本发明解决了现有技术中受未知执行器故障影响的模块化机械臂跟踪任务目标中出现的鲁棒能力差、控制器重构响应速度慢以及系统不稳定运行的问题，为模块化机械臂提供稳定性和精确性，并且可以适用于发生各种可控执行器故障的机械臂系统安全需求。

附图说明

图1为本发明考虑未知执行器故障的模块化机械臂近似最优分散容错控制原理图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步详细说明。

如图1所示，本发明涉及一种考虑执行器故障的机械臂分散最优容错控制方法，具体实现方法和过程如下：

1.基于关节力矩传感器的关节模块子系统动力学模型的建立

考虑未知执行器故障下，基于关节力矩反馈技术的n自由度模块化机械臂系统动力学模型表示为：

其中，q_i为第i个关节位置；

为关节角速度；/>

为关节角加速度；I_mi为电机转动惯量；γ_i为减速器的减速比；/>

关节间的动力学耦合交联项，/>

为包括所有关节的位置、速度、加速度的信息；τ_fi为关节力矩传感器所测得的力矩信息；τ_i为电机输出力矩；

为第i个关节的执行器故障函数，β_i(t_i-T_Fi)＝[0,t_i<T_Fior1,t_i≥T_Fi]为阶跃函数且β_i为阶跃函数的参数，t_i为模块化机械臂运行时刻；T_Fi为子关节系统发生执行器故障的时间，/>

为故障函数，0≤ρ_Fi≤1为故障有效因子；

为摩擦力矩项，将定义为一类与关节位置和关节速度有关的函数：

其中，f_ci为库伦摩擦相关参数；f_si为静摩擦相关参数；f_τi为位置依赖型摩擦及摩擦建模误差；b_fi为待定常数；

为非参数化摩擦项。此外，符号函数/>

被定义为：

考虑到总摩擦力矩

主要包括谐波减速器中的柔轮之间摩擦和各关节模块执行电机中的摩擦。由大量学者现有研究可知，所建立的摩擦力矩项的模型(2)是有效且经过实验验证得到的，可将其中的名义系数f_bi，f_ci，f_si，f_τi看作与实际值十分接近。因此，根据线性化准则，将关节所受摩擦项有以下方程估计：

其中，

为由摩擦各项估计误差组成的近似误差向量，/>

分别为对应摩擦系数f_bi，f_ci，f_si，f_τi的估计值，

由与关节位置和关节速度有关的函数组成的向量。

通过上述推导简化整理得知，针对一个n-DOF模块化机械臂系统发生未知执行器故障时，将其第i个关节的动力学模型表示为以下非线性系统的状态空间形式：：

其中，

为模块化机械臂的状态向量表示关节运动角位置和角速度状态，/>

为系统状态对时间的微分形式，y_i为模块化机械臂系统的输出，D_i＝(I_miγ_i)^-1∈R⁺为转动惯量项，u_i＝τ_i为第i个关节的控制力矩及执行器输入力矩，Γ_fi为已知模型项和Θ_i为模型不确定项包括摩擦力矩模型的建模误差和近似误差，以及关节间的动力学耦合交联项，分别表示为：

2.子关节模块的自适应龙博格故障观测器的设计

为了建立自适应龙博格故障观测器，我们将模块化机械臂关节子系统(5)，表示为以下形式：

其中，

其中，B_i，β_i(x_i)，C_i，O_i为与系统跟动力学信息相关的参数矩阵。我们通过设计自适应龙博格故障观测器来实时近似未知的执行器故障：

其中，

为模块化机械臂关节子系统状态x_i的观测值，K_i为观测器给定的正增益，/>

为模块化机械臂关节子系统输出y_i的观测值，/>

为近似的执行器故障。定义观测器观测误差E_Fi为：

根据观测器稳定性证明和近似未知故障的准确性，将近似的执行器故障的更新控制律设计为：

其中，近似故障的更新律α_Fi＝[α_1iα_2i]^T且α_1i,α_2i为相对应的更新律参数，矩阵Λ_i为控制参数矩阵，可以由求解以下Riccati方程得到：

(B_i-K_iO_i)^TΛ_i+Λ_i(B_i-K_iO_i)＝-X_Fi (13)

其中，X_Fi为一个给定的对称正定矩阵。

3.首先定义关节模块位置跟踪误差和速度跟踪误差分别为：

e_i＝x_i-x_id (14)

其中，e_i和

为模块化机械臂的位置跟踪误差和速度跟踪误差，x_id和/>

为期望的即任务目标的机械臂关节运动位置和运动速度。为了更好的实现跟踪目标，设计综合关节模块位置信息和速度信息的滑模函数m_i(t)为：

其中，k_ei为控制器所设定的参数。

为了实现发生未知执行故障下的模块化机械臂容错控制目标，与传统的控制思想不同，本发明利用优化思想，将分散主动容错控制问题转化为相对应的最优控制问题来解决。将跟踪目标和估计的故障以控制指标的形式放入代价函数中，从而找到最优容错控制策略。因此，建立含有近似执行器故障的代价函数J_i(m_i(t))：

其中，效应函数N_i(m_i(t),u_i(m_i(t)))＝m_i(t)^TQ_im_i(t)+u_i(t)^TR_iu_i(t)，对于所有m_i(t)和u_i(t)有不等式N_i(m_i(t),u_i(m_i(t)))≥0成立，并且初始状态N_i(0,0)＝0，矩阵Q_i和R_i为给定的正数，ρ_Fi，ρ_yi和ρ_ui为给定的控制器参数，

为由自适应龙博格观测器近似的未知执行器故障，Γ_fi为模块化机械臂可测的模型动力学信息，G_i为模型不确定项Θ_i的上界参数，且满足不等式/>

存在。Ψ_i(Ω)是由一系列可行的控制策略Ω组成的集合。

为求解模块化机械臂分散最优容错控制问题，将相对应的哈密尔顿-雅可比-贝尔曼函数

和最优代价函数/>

定义如下：

/>

其中，

为代价函数J_i(m_i)对m_i的偏微分函数/>

表示与速度跟踪误差和期望角加速度相关的函数。利用上述哈密尔顿方程和最优代价函数，结合优化思想，最优代价函数/>

满足于哈密尔顿方程：

如果

存在且连续可微，我们可以得到考虑未知执行器故障的模块化机械臂系统分散最优容错控制策略为：

并通过整理和推导可以得到等式：

4.策略迭代的学习算法

接下来，利用策略迭代算法来寻找最优控制策略，它借助于动态规划基本方程，交替使用“求值计算”和“策略改进”两个步骤，求出逐次改进的、最终达到或收敛于最优控制策略。策略迭代算法由策略评估和策略改进两部分组成。具体步骤如下：

步骤1：参数初始化，选择j为迭代次数，当j＝0，给定一个初始的容许控制策略

并选取一个正常数δ_i；。

步骤2：当j>0时，结合控制策略

通过以下的等式来更新代价函数

这里代价函数

步骤3：通过以下等式来更新控制策略

步骤4：如果

停止计算，得到最优控制策略；否则，令j＝j+1，转到步骤2；

步骤5：停止。

通过该算法的迭代计算，当j→∞时可以近似计算出最优代价函数

和最优控制策略/>

5.评价神经网络的构建

为了找到最优控制策略，需要求解哈密尔顿方程得到最优代价函数，然后将解结合策略迭代算法得到最优控制策略。对于如模块化机械臂系统这样的高度非线性系统，哈密尔顿方程是一个计算量大且求解困难的非线性偏微分方程。因此，我们需要利用神经网络的逼近能力来近似得到最优代价函数，从而才能通过策略迭代算法找到最优控制策略。

建立评价神经网络结构近似相对应的最优代价函数：

其中，

是理想权值，N_i为隐含层神经元的个数，/>

是激活函数，ε_ic为评价神经网络近似残差。将代价函数J_i(m_i)的偏导数表示为：

其中，

和/>

分别为激活函数和评价神经网络近似残差的偏导数。并得到名义上的分散最优容错控制策略为：

根据名义上的神经网络建立，将哈密尔顿方程改写为：

其中，e_ich为由理想的评价神经网络近似哈密尔顿函数得到的残差。

由于理想的评价神经网络权值W_ic我们无法直接得知，所以将评价神经网络近似为：

其中，

为神经网络权值的近似值。从而，得到近似分散最优容错控制策略/>

为

进而，得到近似的哈密尔顿函数为：

其中，e_c是估计的哈密尔顿函数的近似误差，通过采用梯度下降算法最小化目标函数

以调整神经网络权值向量/>

设计其更新策略为：/>

其中，α_c为评价神经网络权值的更新学习律。

因此，针对发生未知执行器故障的模块化机械臂系统，结合最优控制策略和评价神经网络近似能力，利用策略迭代算法，最终得到近似的分散最优容错控制策略为：

6.实验验证

利用本实验室搭建的2自由度模块化机械臂实物，对所提出的分散近似最优容错控制器进行实验验证其有效性。该2自由度模块化机械臂由两组相同关节模块和连杆组成，其中每个关节模块包含一个Maxon直流有刷电动机作为各个关节模块的执行单元，一个增量式编码器来测量电机端的位移；一个绝对式编码器来采集连杆端的绝对位置，一个谐波减速器用于给电机减速并增大扭矩和一个在关节与连杆之间的力矩传感器来测量关节模块所受到的力矩，具体型号和额定参数参见表格1。接下来是数据采集和处理部分，采用Quanser公司生产的线性功率放大器驱动关节模块的电机以及QPIDe数据采集卡采集各个传感器的数据信息，将采集的实验数据送到计算机的Simulink仿真软件中进行处理和模块化机械臂控制模型的搭建，再通过QUARC软件与QPIDe数据采集卡进行通信，最终实现对该2自由度模块化机械臂的控制。

表1实验设备的型号和机械参数

在自由空间下，给定关节1和关节2的期望跟踪轨迹分别为：

对于评价神经网络部分，我们利用径向基函数神经网络近似最优代价函数。选取1-5-1的网络结构，即1个输入，5个隐含层和1个输出。神经网络权值定义为：

给定权值初始值为/>

激活函数为径向基函数表示为：/>

其中，b_j＝1.5，j＝1,2,3,4,5，c_1j＝[-1,-0.5,0,0.5,1]^T和c_2j＝[-2,-1,0,1,2]^T。关于模型的参数将在表2中体现。

表2参数的设定

选取故障参数ρ_Fi分别为0.7和0.5，针对不同关节的不同故障情况进行实验验证。通过实验结果证实所提出的考虑执行器故障的分散近似最优容错控制器为模块化机械臂提供稳定性和精确性，以保证各种执行器故障情况下系统的稳定运行。

Claims (1)

1.一种考虑执行器故障的机械臂分散最优容错控制方法，该方法为：构建执行器故障下基于关节力矩传感器反馈技术的模块化机械臂系统子关节模型，设计龙博格状态观测器估计未知执行器故障，基于关节力矩传感器测得的信息建立综合近似的未知执行器故障、跟踪性能、控制器输出的改进代价函数，利用评价神经网络结构近似最优容错控制器，优化系统跟踪性能的同时减少控制力矩的输出，最终得到分散近似最优控制器；最后，在不同的执行器故障下，通过不同构形的模块化机械臂进行实验探究验证了该方法的有效性；

所述方法包括以下步骤：

步骤一，考虑未知执行器故障下，基于关节力矩反馈技术的n自由度模块化机械臂系统动力学模型表示为：

其中，q_i为第i个关节位置；

为关节角速度；/>

为关节角加速度；I_mi为电机转动惯量；γ_i为减速器的减速比；/>

关节间的动力学耦合交联项，/>

为包括所有关节的位置、速度、加速度的信息；τ_fi为关节力矩传感器所测得的力矩信息；τ_i为电机输出力矩；

为第i个关节的执行器故障函数，β_i(t_i-T_Fi)＝[0,t_i＜T_Fi or1,t_i≥T_Fi]为阶跃函数且β_i为阶跃函数的参数，t_i为模块化机械臂运行时刻；T_Fi为子关节系统发生执行器故障的时间，为故障函数，0≤ρ_Fi≤1为故障有效因子；/>

为摩擦力矩项，将定义为一类与关节位置和关节速度有关的函数：

其中，f_ci为库伦摩擦相关参数；f_si为静摩擦相关参数；f_τi为位置依赖型摩擦及摩擦建模误差；b_fi为待定常数；

为非参数化摩擦项；此外，符号函数/>

被定义为：

考虑到总摩擦力矩

主要包括谐波减速器中的柔轮之间摩擦和各关节模块执行电机中的摩擦；所建立的摩擦力矩项的模型(2)是有效且经过实验验证得到的，可将其中的名义系数f_bi，f_ci，f_si，f_τi看作与实际值十分接近；因此，根据线性化准则，将关节所受摩擦项有以下方程估计：

其中，

为由摩擦各项估计误差组成的近似误差向量，/>

分别为对应摩擦系数f_bi，f_ci，f_si，f_τi的估计值，/>

由与关节位置和关节速度有关的函数组成的向量；

通过上述推导简化整理得知，针对一个n-DOF模块化机械臂系统发生未知执行器故障时，将其第i个关节的动力学模型表示为以下非线性系统的状态空间形式：

其中，

为模块化机械臂的状态向量表示关节运动角位置和角速度状态，/>

为系统状态对时间的微分形式，y_i为模块化机械臂系统的输出，D_i＝(I_miγ_i)-1∈R⁺为转动惯量项，u_i＝τ_i为第i个关节的控制力矩及执行器输入力矩，Γ_fi为已知模型项和Θ_i为模型不确定项包括摩擦力矩模型的建模误差和近似误差，以及关节间的动力学耦合交联项，分别表示为：

步骤二，为了建立自适应龙博格故障观测器，将模块化机械臂关节子系统(5)，表示为以下形式：

其中，

其中，B_i，β_i(x_i)，C_i，O_i为与系统跟动力学信息相关的参数矩阵；通过设计自适应龙博格故障观测器来实时近似未知的执行器故障：

其中，

为模块化机械臂关节子系统状态x_i的观测值，K_i为观测器给定的正增益，/>

为模块化机械臂关节子系统输出y_i的观测值，/>

为近似的执行器故障；定义观测器观测误差E_Fi为：

根据观测器稳定性证明和近似未知故障的准确性，将近似的执行器故障的更新控制律设计为：

其中，近似故障的更新律α_Fi＝[α_1i α_2i]^T且α_1i,α_2i为相对应的更新律参数，矩阵Λ_i为控制参数矩阵，可以由求解以下Riccati方程得到：

(B_i-K_iO_i)^TΛ_i+Λ_i(B_i-K_iO_i)＝-X_Fi (13)

其中，X_Fi为一个给定的对称正定矩阵；

步骤三，定义关节模块位置跟踪误差和速度跟踪误差分别为：

e_i＝x_i-x_id (14)

其中，e_i和为模块化机械臂的位置跟踪误差和速度跟踪误差，x_id和

为期望的即任务目标的机械臂关节运动位置和运动速度；为了更好的实现跟踪目标，设计综合关节模块位置信息和速度信息的滑模函数m_i(t)为：

其中，k_ei为控制器所设定的参数；

为了实现发生未知执行故障下的模块化机械臂容错控制目标，将跟踪目标和估计的故障以控制指标的形式放入代价函数中，从而找到最优容错控制策略；因此，建立含有近似执行器故障的代价函数J_i(m_i(t))：

其中，效应函数N_i(m_i(t),u_i(m_i(t)))＝m_i(t)^TQ_im_i(t)+u_i(t)^TR_iu_i(t)，对于所有m_i(t)和u_i(t)有不等式N_i(m_i(t),u_i(m_i(t)))≥0成立，并且初始状态N_i(0,0)＝0，矩阵Q_i和R_i为给定的正数，ρ_Fi，ρ_yi和ρ_ui为给定的控制器参数，

为由自适应龙博格观测器近似的未知执行器故障，Γ_fi为模块化机械臂可测的模型动力学信息，G_i为模型不确定项Θ_i的上界参数，且满足不等式/>

存在；Ψ_i(Ω)是由一系列可行的控制策略Ω组成的集合；

为求解模块化机械臂分散最优容错控制问题，将相对应的哈密尔顿-雅可比-贝尔曼函数

和最优代价函数/>

定义如下：

其中，

为代价函数J_i(m_i)对m_i的偏微分函数，/>

表示与速度跟踪误差和期望角加速度相关的函数；利用上述哈密尔顿-雅可比-贝尔曼函数和最优代价函数，结合优化思想，最优代价函数/>

满足于哈密尔顿-雅可比-贝尔曼函数：

如果

存在且连续可微，可以得到考虑未知执行器故障的模块化机械臂系统分散最优容错控制策略为：

并通过整理和推导可以得到等式：

步骤四，利用策略迭代算法来寻找最优控制策略，它借助于动态规划基本方程，交替使用“求值计算”和“策略改进”两个步骤，求出逐次改进的、最终达到或收敛于最优控制策略，策略迭代算法由策略评估和策略改进两部分组成，具体步骤如下：

步骤2：当j>0时，结合控制策略

通过以下的等式来更新代价函数

这里代价函数

步骤3：通过以下等式来更新控制策略

步骤4：如果

停止计算，得到最优控制策略；否则，令j＝j+1，转到步骤2；

步骤5：停止；

通过该算法的迭代计算，当j→∞时可以近似计算出最优代价函数

和最优控制策略/>

步骤五，为了找到最优控制策略，需要求解哈密尔顿-雅可比-贝尔曼函数得到最优代价函数，然后将解结合策略迭代算法得到最优控制策略；利用神经网络的逼近能力来近似得到最优代价函数，从而才能通过策略迭代算法找到最优控制策略；

建立评价神经网络结构近似相对应的最优代价函数：

其中，

是理想权值，N_i为隐含层神经元的个数，δ_ic(m_i)∈R^N是激活函数，ε_ic为评价神经网络近似残差；将代价函数J_i(m_i)的偏导数表示为：

其中，

和/>

分别为激活函数和评价神经网络近似残差的偏导数；并得到名义上的分散最优容错控制策略为：

根据名义上的神经网络建立，哈密尔顿-雅可比-贝尔曼函数改写为：

其中，e_ich为由理想的评价神经网络近似哈密尔顿-雅可比-贝尔曼函数得到的残差；

由于理想的评价神经网络权值W_ic无法直接得知，所以将评价神经网络近似为：

其中，

为神经网络权值的近似值；从而，得到近似分散最优容错控制策略/>

为：

进而，得到近似的哈密尔顿-雅可比-贝尔曼函数为：

其中，e_c是估计的哈密尔顿-雅可比-贝尔曼函数的近似误差，通过采用梯度下降算法最小化目标函数

以调整神经网络权值向量/>

设计其更新策略为：

其中，α_c为评价神经网络权值的更新学习律；

因此，针对发生未知执行器故障的模块化机械臂系统，结合最优控制策略和评价神经网络近似能力，利用策略迭代算法，最终得到近似的分散最优容错控制策略为：

/>

Images