CN113139247B - 一种机械结构不确定性参数量化与相关性分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种机械结构不确定性参数量化与相关性分析方法，为小样本情况下不确定性问题的分析提供一种参数的高可靠性的建模与分析方法，构建一套高可靠的参数量化方法，并且对不确定性参数进行相关性分析，为后续的不确定性问题研究奠定基础。根据是否已知不确定性参数的先验分布，决定采用何种建模方法。若已知参数的先验分布，采用贝叶斯方法建立不确定性参数的概率模型；若未知先验分布则采用灰色预报理论建立参数的区间模型。针对不确定性参数的相关性问题，分别采用Nataf变换和最小矩形包络方法对概率和区间两类模型参数相关性进行了分析。为小样本下如何进行不确定性参数的量化表征提供了理论方法。

Description

一种机械结构不确定性参数量化与相关性分析方法

技术领域

本发明属于结构可靠性分析领域，提供一种在不确定性条件下结构的不确定性参数建模与分析方法。

背景技术

工程中不确定性参数往往是通过历史或实验数据获取，而在实际的应用中往往存在着样本量不足的问题，如何通过对这些不确定性数据进行量化，是研究不确定性问题的基础和前提，关系着不确定性分析最终结果的可靠性。不确定性参数量化的主要问题是样本可靠性问题，包括样本异常值处理、模型关键参数获取、多参数相关性处理等方面。不确定性参数的可靠性建模是解决这类问题的关键和基础问题，需要对以上问题进行进一步的研究。

由于客观不确定性的存在获取的信息和知识大多是不确定的，这就需要对不确定性参数的描述方法进行研究。因此，对不确定性信息进行合理有效的表示成为了分析不确定性问题的基础和前提。不确定性问题一般采用随机、模糊以及未确知性三种形式描述。相应的，针对上述三种形式的不确定性，目前已经比较成熟的参数模型为概率模型、区间模型和模糊模型。

概率模型是将不确定性参数视为服从某种分布的随机变量，继而采用统计学的理论方法对数据进行处理，最后获得其分布类型和分布参数，然后通过这些数字特征对不确定性的传递分析进行研究。在机械领域，零部件加工误差的存在往往导致其几何参数等特征具有随机性，且往往服从正态分布，这就为概率方法的应用提供了便利。通过概率统计方法获得输入参数的数字特征，再通过概率论的相关方法获取系统输出响应的数字特征，描述系统响应的不确定性程度。概率方法是处理不确定性问题的最成熟最常用方法，但是对于已知信息量较少时，其概率分布特征无法获取，则需要研究非概率方法。

区间分析方法是解决不确定性问题的重要方法之一。区间算法在近几十年发展迅速，区间分析主要是用区间数代替实数进行运算，区间算法可以在已知条件很少的情况下快速求得系统的输出区间，可是有着难以有效控制的区间扩张效应。

当不确定性参数的数据样本信息较少，难以准确的获取概率分布和隶属度函数等信息，或者获得的信息并不可靠性。此时，区间模型仅仅通过已知参数的上下界就可以进行不确定性问题的分析，但是可能会引起最终分析结果区间的扩大。目前，有效控制区间扩张效应依然是区间算法发展的关键。在针对不确定性参数区间建模时，区间参数的上下界可以从已知数据、制造公差以及历史经验数据中获得。对于小样本数据，当下大多直接采用最值作为区间的边界，而对数具有一定量的试验样本，可以将概率统计方法与区间问题结合，得出一定置信概率下的置信区间作为区间模型。然而在实际的问题中，往往样本量不足，区间截断法以及直接方法获取的区间模型可靠性不高。因此，如何从小样本数据中确定区间模型的上下界就成为了一个重要的问题，直接关系到不确定性分析结果的精度和可靠性。

不确定性参数建模所期望的是能在较少数据的情况下获得期望的理论模型，要尽可能的兼顾不确定性范围和不确地性的精度。目前针对小样本数据的处理方法主要是直接采用上下界建立区间模型，这种方法的缺点在于区间存在着一定程度的扩大或者缩小，模型可靠性不高。因此，需要对小样本情况下的不确定性参数量化方法开展进一步研究。

发明内容

本发明首先对工程中常用的不确定性模型基础理论进行介绍，在此基础上提出了一种机械结构不确定性参数量化与相关性分析方法，推导了概率模型和区间模型中数字特征的高可靠性计算方法。进而对不确定性参数的相关性进行处理，研究了Nataf方法和坐标转换方法。最后，采用以上量化方法对螺栓预紧力等参数进行了应用分析。

具体步骤包括：

S1、机械结构的数据异常值处理方法；

S2、基于小样本数据建立机械结构不确定性参数概率模型；

S3、基于小样本数据建立机械结构不确定性参数区间模型；

S4、概率机械结构不确定性参数相关性分析模型；

S5、区间变量相关性分析模型。

该建模方法的实现过程如下。

步骤一 数据异常值处理方法

机械结构的不确定性参数是通过各种测量设备所测得结果来获得，在采用这些参数之前首先要对数据进行处理。首先要进行的是剔除异常值，因为异常值往往是由于不可重复的突发事件引起，对不确定性参数的建模具有明显的歪曲影像，应及时发现将其剔除。数据处理中采用“3σ”准则处理。

假设对某个参数进行重复n次测量时，参数可以表示关注的几何量和物理量，如尺寸参数、弹性模量等。其测量值可以构成一个序列x₁,x₂,…,x_n，其算术平均值为：

其各测量值的残差

和测量数据的标准偏差σ可由下式算出，即：

如果测得数据列x₁,x₂,…,x_n中某个特定量x_i的残差的绝对值满足下式：

则可认为x_i为异常值给与剔除。将异常值剔除后，重复以上计算过程，直至数据中没有异常值为止，这样可以保证所用数据的高可靠性。后续步骤的处理可以认为都是在步骤一的基础上，对已经剔除异常值得测量数据样本进行参数建模。

步骤二 基于小样本数据建立不确定性参数概率模型

对于某一具体参数，数据量不足以支撑进行概率分布统计。但是根据以往的经验等资料，这些不确定性参数的分布进行初步经验估计。利用先验概率分布信息对分布进行初估，再根据后验信息，即有限的试验数据对概率分布参数重新加以估计，能较为理想的避免由于样本数量不足引起的参数的偏差。具体步骤如下。

设X为一连续性随机变量，可以代表需要获取的关键参数，假设根据历史数据其先验概率分布密度为f'(x)，后验概率分布密度为f”(x)，根据Bayes公式，有：

式中：P(E|x_i)＝P(E|x_i≤x≤x_i+Δx)是x在区间[x_i,x_i+Δx]的试验概率，Δx为一微小增量；E代表试验结果；k为数据分段数。

由于Bayes统计中假设先验分布与后验分布模型一致，X的后验分布参数可近似确定：

式中：

为分段区间[x_i,x_i+Δx](i＝1,2,…,k)的中间值；Δx为分段间距，f”(x_i)Δx由公式(5)求得。

如果已知随机变量X的均值μ_x和方差σ_x ²，则可通过其分布类型的有关公式求得其概率分布，精确建立不确定性参数的概率模型。

在已经总体上了解不确定性参数的统计分布后，即初步了解分布类型和μ’、σ’。可以采用上述方法估计具体的分布参数。具体流程如下：

(1)针对测得的有效样本x₁,x₂,…,x_n，首先进行分段，分段原则上保证每段内都有样本的存在，因此分段数应小于样本数，即：k＜n。且为了更好的平衡计算精度和运算量，分段采取非均匀分段形式，越靠近中心，分段越精细。

(2)计算样本落在每个区间的概率，即：P(E|x_i)，为落在该区间样本的个数与样本容量n的比值。

(3)计算f'(x_i)Δx，这里已知先验分布形式和参数，将该区间段的上下界分别带入分布函数即可求得。可通过如下形式表示：

重复以上过程，计算每个区间段内的P(E|x_i)和f'(x_i)Δx。

(4)代入公式(5)，计算每段的后验分布概率f”(x_i)Δx。

(5)代入公式(6)和式(7)，计算分布参数均值和方差。

(6)得到真实的概率分布密度函数，建立不确定性参数的概率分布模型。

步骤三 基于小样本数据建立不确定性参数区间模型

针对小样本试验数据的概率分布特征有时无法确定，建立不确定性参数概率模型无法实现。因此，将灰色预报对小样本参数边界进行估计，避免样本不足引起的区间扩大或者缩小问题。

设数据有效样本为x₁,x₂,…,x_n，称之为容量为n的小样本数据，将其进行n次可放回抽样，形成一组新的样本，记作Y₁。重复以上抽样方法，可以形成P组样本：Y₁,…,Y_P。

将Y₁,…,Y_P中每个样本进行一次升序排列，一次降序排列，分别通过灰色预报模型GM(1,1)预测出下一个值，视其为该样本的上下界。GM(1,1)建模过程如下介绍。设原始数据为x⁽⁰⁾＝{x⁽⁰⁾(1),x⁽⁰⁾(2),…,x⁽⁰⁾(n)}。

进行一次累加生成，弱化序列的波动性和随机性得到新的数列{x⁽¹⁾}：

等权邻均值生成：z⁽¹⁾(k)＝0.5x⁽¹⁾(k-1)+0.5x⁽¹⁾(k),k＝2,3,…,n，即：

定义{x⁽¹⁾}的灰导数为：

dk＝x⁽⁰⁾(k)＝x⁽¹⁾(k)-x⁽¹⁾(k-1)   (11)

于是定义GM(1,1)的灰微分方程为：

dk+az⁽¹⁾(k)＝b   (12)

即：

按照矩阵写出：

即：Y＝Bu。

根据灰色理论对{x⁽¹⁾}建立关于k的白化形式的一阶一元微分方程：

式中：a和b分别称为发展系数和灰色作用量，k为序列数。并且其最小二乘估计参数列满足：

在初始值x⁽⁰⁾(1)＝x⁽¹⁾(1)下，此模型的解为：

再由累减生成原始序列x⁽⁰⁾＝{x⁽⁰⁾(1),x⁽⁰⁾(2),…,x⁽⁰⁾(n)}的预测值：

通过对P组自抽样数据Y₁,…,Y_P进行上述操作，可以得到区间边界的一组样本，取其均值作为区间边界，兼顾区间的可靠性和区间范围。

步骤四 概率型不确定性参数相关性分析

设输入随机变量向量：

x＝(x₁,x₂,···,x_n)^T   (19)

式中：随机变量x_i(i＝1,2,···,n)的概率密度函数f_i(x_i)和累积分布函数F_i(x_i)已知。通过下式等概率转换原则：

引入标准正态随机向量y＝(y₁,y₂,···,y_n)^T,式中：φ(·)和φ^-1(·)分别为标准正态变量的累积分布函数和逆累积分布函数。

根据Nataf变换理论，利用隐函数求导法则，可以推导出随机变量x的联合概率密度函数为：

式中：

为标准正态分布变量的概率密度函数，而：

对应于均值为0、方差为1及相关系数矩阵为ρ₀的n维标准正态随机向量的联合概率密度函数。其中det(ρ₀)表示ρ₀的行列式的值，将式(21)所示的分布模型称为Nataf分布。

设输入随机向量x的相关系数矩阵ρ的分量为ρ_ij，根据相关系数的定义及式(20)和式(21)可得相关系数矩阵各分量的计算表达式为：

式中：ρ_0,ij为标准正态随机向量y相关系数矩阵ρ₀的分量；f_XiXj(x_i,x_j)为第i和第j个变量的联合概率密度函数。

若已知ρ和输入随机变量的边缘概率密度函数，通过式(23)解非线性方程，理论上可以完全确定ρ₀。但是由于ρ_ij和ρ_0,ij的解析关系式是很难给出的，针对各种分布类型，给出了如下的经验公式：

ρ_0,ij＝ρ_ijF   (24)

式中：系数F≥1，它是相关系数ρ_ij以及边缘分布F_Xi(x_i)的函数。

获取标准正态随机向量y的相关系数矩阵R₀＝[ρ_0,ij]，显然R₀是一对称矩阵，将其进行下式所示的Choleskey分解：

R₀＝L₀L₀ ^T   (25)

式中：L₀为相关系数矩阵R₀经Choleskey分解得到的下三角矩阵。

利用L₀可将相关的标准正态随机向量y转换到独立的标准正态随机向量u，即：

u＝L₀ ^-1y   (26)

至此建立了Nataf变换的正变换过程(从相关非正态变量x到独立标准正态变量u)。

同样可以建立Nataf逆变换过程如下：

y＝L₀u   (27)

然后结合等概率边缘逆变换，即可得到Nataf变换的逆变换形式和Jacobian矩阵分别为：

符号意义同Nataf正变换一致。

Nataf变换式(26)仍为非线性变换，如果能够将其线性化，显然可以使得问题求解变得容易。可以采用R-F变换对Nataf变换中第一个步骤的“等概率边缘变换”进行替换，将其进行线性化，可得线性化Nataf概率变换公式如下：

容易得到线性化Nataf概率逆变换为：

由于式(31)中的M_X'和D_X'均为x的函数，因此式(31)实际上不能得到解析表达式，在搜索设计点时本文建议利用下式进行迭代计算(其中i代表迭代次数)：

x_i+1＝D_X'(x_i)L₀u_i+M_X'(x_i)   (32)

正、逆线性化Nataf概率变换的Jacobian矩阵分别为：

步骤五 区间变量相关性分析

假设X＝(X₁,X₂,…,X_n)是由n个存在相关性的区间变量构成的区间向量。以二维问题为例，可以构建一个包含所有已知数据的四边形，为了问题处理的方便，采用矩形包络。见附图1-3为不同相关性下的矩形包络示意图。对于多维问题，也可以依据类似的思想，构建多维的体包络。

尽管可以运用矩形包络对不确定性参数相关性进行基本描述，但是如何对相关性问题进行求解仍然是个难题。可以从下图看出坐标系P下，区间向量可以看作是相互独立的。因此，相关性问题就转化为如何构造仿射坐标系的问题。

如图4所示仿射坐标系可以通过原坐标系进行旋转和平移得到，假设仿射坐标系旋转角度为θ，坐标中心坐标为

则新旧坐标系下的坐标转化关系可以表示为：

写成矩阵形式：

若在进行坐标系转换之前，首先对区间参数进行标准化处理，则

坐标转换公式则简化为：

X＝A×U   (37)

式中：

为转化矩阵，且只和旋转角度有关。

如何通过数据构建最小包络矩形，并求得坐标系转角就成了该方法的难点问题。

首先已知样本集

r为样本点序号。假设样本集中使得纵坐标X₂取最小值的点为p₁，把点p₁与另外的样本点依次连接，得到m-1组线段，按照线段与横轴夹角大小排序，可以得到使得夹角最小的点记作p₂，则包络矩形一条边所在直线为p₁→p₂。

若

则：

剔除点

过其余所有样本点依次做斜率为tanθ的直线，设该直线与纵轴截距为b_r，则

可以找到样本点

使得b_r取最大值。此时，就确定了最小包络矩形的另外一条边，即：过点

斜率为tanθ。

同样的，剔除点

过其余所有样本点依次做斜率为

的直线，该直线与纵轴截距也可记作

可以找到样本点

分别使b_r取最大和最小值。此时，就确定了最小包络矩形的另外两条边，即：斜率为

分别过点

由上述的推导可以知道，确定p₁点对于矩形的确定及其重要，在实际的处理中也可以通过寻找使得横纵坐标取得最大最小值的点，可以找到对应的4个点，均可以作为p₁点。然后进行上述的运算，则可以得到对应的多个个矩形，其面积最小值的矩形为所需最小矩形包络。

至此，最小包络矩形由上述的四条直线所围成，坐标系旋转角度也可通过式(38)获得。

将其扩展到三维问题，对于空间中任意存在的坐标系P-U₁U₂U₃，已知的坐标系O-X₁X₂X₃都可以通过绕自身坐标轴的旋转平移得到。

式中：θ₁,θ₂,θ₃分别代表绕X₁,X₂,X₃旋转的角度。

对于包含高维区间相关性变量的工程问题，直接构建这样的多维矩形包络非常困难。因此，在实际分析中往往通过局部分析等数据降维方法，将多维问题转化为多个二维或者三维问题，从而更为高效的解决上述问题，这里不再进行赘述。

附图说明

图1.相互独立的区间变量。

图2.正相关的区间变量。

图3.负相关的区间变量。

图4.坐标系转换示意图。

图5.矩形包络的获取。

图6为本发明方法实施流程图。

具体实施方式

以下结合附图和实施例对本发明进行详细说明。

一种基于小样本的不确定性参数建模方法，推导了概率模型和区间模型中数字特征的高可靠性计算方法。进而对不确定性参数的相关性进行处理，研究了Nataf方法和坐标转换方法。最后，采用以上量化方法对螺栓预紧力等参数进行了应用分析。

具体步骤包括：

S1、数据异常值处理方法；

S2、基于小样本数据建立不确定性参数概率模型；

S3、基于小样本数据建立不确定性参数区间模型；

S4、概率不确定性参数相关性分析模型；

S5、区间变量相关性分析模型。

该建模方法的实现过程如下。

步骤一 数据异常值处理方法

不确定性参数是通过各种测量设备所测得结果来获得，在采用这些数据之前首先要对数据进行处理。首先要进行的是剔除异常值，因为异常值往往是由于不可重复的突发事件引起，对不确定性参数的建模具有明显的歪曲影像，应及时发现将其剔除。本文数据处理中采用“3σ”准则处理。

假设对某个参数进行重复n次测量时，参数可以表示关注的几何量和物理量，如尺寸参数、弹性模量等。其测量值可以构成一个序列x₁,x₂,…,x_n，其算术平均值为：

其各测量值的残差

和测量数据的标准偏差σ可由下式算出，即：

如果测得数据列x₁,x₂,…,x_n中某个特定量x_i的残差的绝对值满足下式：

则可认为x_i为异常值给与剔除。将异常值剔除后，重复以上计算过程，直至数据中没有异常值为止，这样可以保证所用数据的高可靠性。后续步骤的处理可以认为都是在步骤一的基础上，对已经剔除异常值得测量数据样本进行参数建模。

步骤二 基于小样本数据建立不确定性参数概率模型

对于某一具体参数，数据量不足以支撑进行概率分布统计。但是根据以往的经验等资料，这些不确定性参数的分布可以进行初步经验估计。利用先验概率分布信息对分布进行初估，再根据后验信息，即有限的试验数据对概率分布参数重新加以估计，能较为理想的避免由于样本数量不足引起的参数的偏差。具体步骤如下。

设X为一连续性随机变量，可以代表需要获取的关键参数，假设根据历史数据其先验概率分布密度为f'(x)，后验概率分布密度为f”(x)，根据Bayes公式，有：

式中：P(E|x_i)＝P(E|x_i≤x≤x_i+Δx)是x在区间[x_i,x_i+Δx]的试验概率，Δx为一微小增量；E代表试验结果；k为数据分段数。

由于Bayes统计中假设先验分布与后验分布模型一致，X的后验分布参数可近似确定：

式中：

为分段区间[x_i,x_i+Δx](i＝1,2,…,k)的中间值；Δx为分段间距，f”(x_i)Δx由公式(5)求得。

如果已知随机变量X的均值μ_x和方差σ_x ²，则可通过其分布类型的有关公式求得其概率分布，精确建立不确定性参数的概率模型。

在已经总体上了解不确定性参数的统计分布后，即初步了解分布类型和μ’、σ’。可以采用上述方法估计具体的分布参数。具体流程如下：

(1)针对测得的有效样本x₁,x₂,…,x_n，首先进行分段，分段原则上保证每段内都有样本的存在，因此分段数应小于样本数，即：k＜n。且为了更好的平衡计算精度和运算量，分段采取非均匀分段形式，越靠近中心，分段越精细。

(2)计算样本落在每个区间的概率，即：P(E|x_i)，为落在该区间样本的个数与样本容量n的比值。

(3)计算f'(x_i)Δx，这里已知先验分布形式和参数，将该区间段的上下界分别带入分布函数即可求得。可通过如下形式表示：

重复以上过程，计算每个区间段内的P(E|x_i)和f'(x_i)Δx。

(4)代入公式(5)，计算每段的后验分布概率f”(x_i)Δx。

(5)代入公式(6)和式(7)，计算分布参数均值和方差。

(6)得到真实的概率分布密度函数，建立不确定性参数的概率分布模型。

步骤三 基于小样本数据建立不确定性参数区间模型

针对小样本试验数据的概率分布特征有时无法确定，建立不确定性参数概率模型无法实现。因此，本节将灰色预报对小样本参数边界进行估计，避免样本不足引起的区间扩大或者缩小问题。

设数据有效样本为x₁,x₂,…,x_n，称之为容量为n的小样本数据，将其进行n次可放回抽样，形成一组新的样本，记作Y₁。重复以上抽样方法，可以形成P组样本：Y₁,…,Y_P。

将Y₁,…,Y_P中每个样本进行一次升序排列，一次降序排列，分别通过灰色预报模型GM(1,1)预测出下一个值，视其为该样本的上下界。GM(1,1)建模过程如下介绍。设原始数据为x⁽⁰⁾＝{x⁽⁰⁾(1),x⁽⁰⁾(2),…,x⁽⁰⁾(n)}。

进行一次累加生成，弱化序列的波动性和随机性得到新的数列{x⁽¹⁾}：

等权邻均值生成：z⁽¹⁾(k)＝0.5x⁽¹⁾(k-1)+0.5x⁽¹⁾(k),k＝2,3,…,n，即：

定义{x⁽¹⁾}的灰导数为：

dk＝x⁽⁰⁾(k)＝x⁽¹⁾(k)-x⁽¹⁾(k-1)   (11)

于是定义GM(1,1)的灰微分方程为：

dk+az⁽¹⁾(k)＝b   (12)

即：

按照矩阵写出：

即：Y＝Bu。

根据灰色理论对{x⁽¹⁾}建立关于k的白化形式的一阶一元微分方程：

式中：a和b分别称为发展系数和灰色作用量，k为序列数。并且其最小二乘估计参数列满足：

在初始值x⁽⁰⁾(1)＝x⁽¹⁾(1)下，此模型的解为：

再由累减生成原始序列x⁽⁰⁾＝{x⁽⁰⁾(1),x⁽⁰⁾(2),…,x⁽⁰⁾(n)}的预测值：

通过对P组自抽样数据Y₁,…,Y_P进行上述操作，可以得到区间边界的一组样本，取其均值作为区间边界，兼顾区间的可靠性和区间范围。

步骤四 概率型不确定性参数相关性分析

设输入随机变量向量：

x＝(x₁,x₂,···,x_n)^T   (19)

式中：随机变量x_i(i＝1,2,···,n)的概率密度函数f_i(x_i)和累积分布函数F_i(x_i)已知。通过下式等概率转换原则：

引入标准正态随机向量y＝(y₁,y₂,···,y_n)^T,式中：φ(·)和φ^-1(·)分别为标准正态变量的累积分布函数和逆累积分布函数。

根据Nataf变换理论，利用隐函数求导法则，可以推导出随机变量x的联合概率密度函数为：

式中：

为标准正态分布变量的概率密度函数，而：

对应于均值为0、方差为1及相关系数矩阵为ρ₀的n维标准正态随机向量的联合概率密度函数。其中det(ρ₀)表示ρ₀的行列式的值，将式(21)所示的分布模型称为Nataf分布。

设输入随机向量x的相关系数矩阵ρ的分量为ρ_ij，根据相关系数的定义及式(20)和式(21)可得相关系数矩阵各分量的计算表达式为：

式中：ρ_0,ij为标准正态随机向量y相关系数矩阵ρ₀的分量；f_XiXj(x_i,x_j)为第i和第j个变量的联合概率密度函数。

若已知ρ和输入随机变量的边缘概率密度函数，通过式(23)解非线性方程，理论上可以完全确定ρ₀。但是由于ρ_ij和ρ_0,ij的解析关系式是很难给出的，针对各种分布类型，给出了如下的经验公式：

ρ_0,ij＝ρ_ijF   (24)

式中：系数F≥1，它是相关系数ρ_ij以及边缘分布F_Xi(x_i)的函数。

获取标准正态随机向量y的相关系数矩阵R₀＝[ρ_0,ij]，显然R₀是一对称矩阵，将其进行下式所示的Choleskey分解：

R₀＝L₀L₀ ^T   (25)

式中：L₀为相关系数矩阵R₀经Choleskey分解得到的下三角矩阵。

利用L₀可将相关的标准正态随机向量y转换到独立的标准正态随机向量u，即：

u＝L₀ ^-1y   (26)

至此建立了Nataf变换的正变换过程(从相关非正态变量x到独立标准正态变量u)。

同样可以建立Nataf逆变换过程如下：

y＝L₀u    (27)

然后结合等概率边缘逆变换，即可得到Nataf变换的逆变换形式和Jacobian矩阵分别为：

符号意义同Nataf正变换一致。

Nataf变换式(26)仍为非线性变换，如果能够将其线性化，显然可以使得问题求解变得容易。可以采用R-F变换对Nataf变换中第一个步骤的“等概率边缘变换”进行替换，将其进行线性化，可得线性化Nataf概率变换公式如下：

容易得到线性化Nataf概率逆变换为：

由于式(31)中的M_X'和D_X'均为x的函数，因此式(31)实际上不能得到解析表达式，在搜索设计点时本文建议利用下式进行迭代计算(其中i代表迭代次数)：

x_i+1＝D_X'(x_i)L₀ u_i+M_X'(x_i)   (32)

正、逆线性化Nataf概率变换的Jacobian矩阵分别为：

步骤五 区间变量相关性分析

假设X＝(X₁,X₂,…,X_n)是由n个存在相关性的区间变量构成的区间向量。以二维问题为例，可以构建一个包含所有已知数据的四边形，为了问题处理的方便，采用矩形包络。见附图1-3为不同相关性下的矩形包络示意图。对于多维问题，也可以依据类似的思想，构建多维的体包络。

尽管可以运用矩形包络对不确定性参数相关性进行基本描述，但是如何对相关性问题进行求解仍然是个难题。可以从下图看出坐标系P下，区间向量可以看作是相互独立的。因此，相关性问题就转化为如何构造仿射坐标系的问题。

如图4所示仿射坐标系可以通过原坐标系进行旋转和平移得到，假设仿射坐标系旋转角度为θ，坐标中心坐标为

则新旧坐标系下的坐标转化关系可以表示为：

写成矩阵形式：

若在进行坐标系转换之前，首先对区间参数进行标准化处理，则

坐标转换公式则简化为：

X＝A×U   (37)

式中：

为转化矩阵，且只和旋转角度有关。

如何通过数据构建最小包络矩形，并求得坐标系转角就成了该方法的难点问题。

首先已知样本集

r为样本点序号。假设样本集中使得纵坐标X₂取最小值的点为p₁，把点p₁与另外的样本点依次连接，得到m-1组线段，按照线段与横轴夹角大小排序，可以得到使得夹角最小的点记作p₂，则包络矩形一条边所在直线为p₁→p₂。

若

则：

剔除点

过其余所有样本点依次做斜率为tanθ的直线，设该直线与纵轴截距为b_r，则

可以找到样本点

使得b_r取最大值。此时，就确定了最小包络矩形的另外一条边，即：过点

斜率为tanθ。

同样的，剔除点

过其余所有样本点依次做斜率为

的直线，该直线与纵轴截距也可记作

可以找到样本点

分别使b_r取最大和最小值。此时，就确定了最小包络矩形的另外两条边，即：斜率为

分别过点

由上述的推导可以知道，确定p₁点对于矩形的确定及其重要，在实际的处理中也可以通过寻找使得横纵坐标取得最大最小值的点，可以找到对应的4个点，均可以作为p₁点。然后进行上述的运算，则可以得到对应的多个个矩形，其面积最小值的矩形为所需最小矩形包络。

至此，最小包络矩形由上述的四条直线所围成，坐标系旋转角度也可通过式(38)获得。

将其扩展到三维问题，对于空间中任意存在的坐标系P-U₁U₂U₃，已知的坐标系O-X₁X₂X₃都可以通过绕自身坐标轴的旋转平移得到。

式中：θ₁,θ₂,θ₃分别代表绕X₁,X₂,X₃旋转的角度。

对于包含高维区间相关性变量的工程问题，直接构建这样的多维矩形包络非常困难。因此，在实际分析中往往通过局部分析等数据降维方法，将多维问题转化为多个二维或者三维问题，从而更为高效的解决上述问题，这里不再进行赘述。

Claims (2)

1.一种机械结构不确定性参数量化与相关性分析方法，其特征在于：

建模方法的实现过程如下；

步骤一 数据异常值处理方法

机械结构的不确定性参数是通过各种测量设备所测得结果来获得，在采用这些参数之前首先要对数据进行处理；

假设对某个参数进行重复n次测量时，参数表示关注的几何量和物理量，其测量值可以构成一个序列x₁,x₂,…,x_n，其算术平均值为：

其各测量值的残差和测量数据的标准偏差σ由下式算出，即：

如果测得数据列x₁,x₂,…,x_n中某个特定量x_i的残差的绝对值满足下式：

则认为x_i为异常值给与剔除；

步骤二 基于小样本数据建立不确定性参数概率模型

对于某一具体参数，数据量不足以支撑进行概率分布统计；利用先验概率分布信息对分布进行初估，再根据后验信息，即有限的试验数据对概率分布参数重新加以估计，能避免由于样本数量不足引起的参数的偏差；具体步骤如下；

设X为一连续性随机变量，代表需要获取的关键参数，假设根据历史数据其先验概率分布密度为f'(x)，后验概率分布密度为f”(x)，根据Bayes公式，有：

式中：P(E|x_i)＝P(E|x_i≤x≤x_i+Δx)是x在区间[x_i,x_i+Δx]的试验概率，Δx为一微小增量；E代表试验结果；k为数据分段数；

由于Bayes统计中假设先验分布与后验分布模型一致，X的后验分布参数近似确定：

式中：为分段区间[x_i,x_i+Δx](i＝1,2,…,k)的中间值；Δx为分段间距，f”(x_i)Δx由公式(5)求得；

如果已知随机变量X的均值μ_x和方差σ_x ²，则可通过其分布类型的有关公式求得其概率分布，精确建立不确定性参数的概率模型；

在已经总体上了解不确定性参数的统计分布后，即初步了解分布类型和μ’、σ’；采用上述方法估计具体的分布参数；具体流程如下：

(1)针对测得的有效样本x₁,x₂,…,x_n，首先进行分段，分段原则上保证每段内都有样本的存在，因此分段数应小于样本数，即：k＜n；且为了更好的平衡计算精度和运算量，分段采取非均匀分段形式，越靠近中心，分段越精细；

(2)计算样本落在每个区间的概率，即：P(E|x_i)，为落在该区间样本的个数与样本容量n的比值；

(3)计算f'(x_i)Δx，这里已知先验分布形式和参数，将该区间段的上下界分别带入分布函数即可求得；可通过如下形式表示：

重复以上过程，计算每个区间段内的P(E|x_i)和f'(x_i)Δx；

(4)代入公式(5)，计算每段的后验分布概率f”(x_i)Δx；

(5)代入公式(6)和式(7)，计算分布参数均值和方差；

(6)得到真实的概率分布密度函数，建立不确定性参数的概率分布模型；

步骤三 基于小样本数据建立不确定性参数区间模型

针对小样本试验数据的概率分布特征有时无法确定，建立不确定性参数概率模型无法实现；因此，将灰色预报对小样本参数边界进行估计，避免样本不足引起的区间扩大或者缩小问题；

设数据有效样本为x₁,x₂,…,x_n，称之为容量为n的小样本数据，将其进行n次可放回抽样，形成一组新的样本，记作Y₁；重复以上抽样方法，可以形成P组样本：Y₁,…,Y_P；

将Y₁,…,Y_P中每个样本进行一次升序排列，一次降序排列，分别通过灰色预报模型GM(1,1)预测出下一个值，视其为该样本的上下界；GM(1,1)建模过程如下介绍；设原始数据为x⁽⁰⁾＝{x⁽⁰⁾(1),x⁽⁰⁾(2),…,x⁽⁰⁾(n)}；

进行一次累加生成，弱化序列的波动性和随机性得到新的数列{x⁽¹⁾}：

等权邻均值生成：z⁽¹⁾(k)＝0.5x⁽¹⁾(k-1)+0.5x⁽¹⁾(k),k＝2,3,…,n，即：

定义{x⁽¹⁾}的灰导数为：

dk＝x⁽⁰⁾(k)＝x⁽¹⁾(k)-x⁽¹⁾(k-1)  (11)

于是定义GM(1,1)的灰微分方程为：

dk+az⁽¹⁾(k)＝b        (12)

即：

按照矩阵写出：

即：Y＝Bu；

根据灰色理论对{x⁽¹⁾}建立关于k的白化形式的一阶一元微分方程：

式中：a和b分别称为发展系数和灰色作用量，k为序列数；并且其最小二乘估计参数列满足：

在初始值x⁽⁰⁾(1)＝x⁽¹⁾(1)下，此模型的解为：

再由累减生成原始序列x⁽⁰⁾＝{x⁽⁰⁾(1),x⁽⁰⁾(2),…,x⁽⁰⁾(n)}的预测值：

通过对P组自抽样数据Y₁,…,Y_P进行上述操作，得到区间边界的一组样本，取其均值作为区间边界，兼顾区间的可靠性和区间范围；

步骤四 概率型不确定性参数相关性分析

设输入随机变量向量：

x＝(x₁,x₂,···,x_n)^T     (19)

式中：随机变量x_i(i＝1,2,···,n)的概率密度函数f_i(x_i)和累积分布函数F_i(x_i)已知；通过下式等概率转换原则：

引入标准正态随机向量y＝(y₁,y₂,···,y_n)^T,式中：φ(·)和φ^-1(·)分别为标准正态变量的累积分布函数和逆累积分布函数；

根据Nataf变换理论，利用隐函数求导法则，可以推导出随机变量x的联合概率密度函数为：

式中：为标准正态分布变量的概率密度函数，而：

对应于均值为0、方差为1及相关系数矩阵为ρ₀的n维标准正态随机向量的联合概率密度函数；其中det(ρ₀)表示ρ₀的行列式的值，将式(21)所示的分布模型称为Nataf分布；

设输入随机向量x的相关系数矩阵ρ的分量为ρ_ij，根据相关系数的定义及式(20)和式(21)可得相关系数矩阵各分量的计算表达式为：

式中：ρ_0,ij为标准正态随机向量y相关系数矩阵ρ₀的分量；f_XiXj(x_i,x_j)为第i和第j个变量的联合概率密度函数；

若已知ρ和输入随机变量的边缘概率密度函数，通过式(23)解非线性方程，理论上可以完全确定ρ₀；但是由于ρ_ij和ρ_0,ij的解析关系式是很难给出的，针对各种分布类型，给出了如下的经验公式：

ρ_0,ij＝ρ_ijF      (24)

式中：系数F≥1，它是相关系数ρ_ij以及边缘分布F_Xi(x_i)的函数；

获取标准正态随机向量y的相关系数矩阵R₀＝[ρ_0,ij]，显然R₀是一对称矩阵，将其进行下式所示的Choleskey分解：

R₀＝L₀L₀ ^T      (25)

式中：L₀为相关系数矩阵R₀经Choleskey分解得到的下三角矩阵；

利用L₀可将相关的标准正态随机向量y转换到独立的标准正态随机向量u，即：

u＝L₀ ^-1y      (26)

至此建立了Nataf变换的正变换过程(从相关非正态变量x到独立标准正态变量u)；

同样可以建立Nataf逆变换过程如下：

y＝L₀u     (27)

然后结合等概率边缘逆变换，即可得到Nataf变换的逆变换形式和Jacobian矩阵分别为：

x_i＝F_i ^-1(φ(y_i))，i＝1,2,···,n，      (28)

符号意义同Nataf正变换一致；

Nataf变换式(26)仍为非线性变换，如果能够将其线性化，显然可以使得问题求解变得容易；可以采用R-F变换对Nataf变换中第一个步骤的“等概率边缘变换”进行替换，将其进行线性化，可得线性化Nataf概率变换公式如下：

容易得到线性化Nataf概率逆变换为：

由于式(31)中的M_X'和D_X'均为x的函数，因此式(31)实际上不能得到解析表达式，在搜索设计点时本文建议利用下式进行迭代计算(其中i代表迭代次数)：

x_i+1＝D_X'(x_i)L₀u_i+M_X'(x_i)     (32)

正、逆线性化Nataf概率变换的Jacobian矩阵分别为：

步骤五 区间变量相关性分析

假设X＝(X₁,X₂,…,X_n)是由n个存在相关性的区间变量构成的区间向量；相关性问题就转化为如何构造仿射坐标系的问题；

仿射坐标系通过原坐标系进行旋转和平移得到，假设仿射坐标系旋转角度为θ，坐标中心坐标为则新旧坐标系下的坐标转化关系表示为：

写成矩阵形式：

若在进行坐标系转换之前，首先对区间参数进行标准化处理，则坐标转换公式则简化为：

X＝A×U      (37)

式中：为转化矩阵，且只和旋转角度有关；

首先已知样本集r为样本点序号；假设样本集中使得纵坐标X₂取最小值的点为p₁，把点p₁与另外的样本点依次连接，得到m-1组线段，按照线段与横轴夹角大小排序，可以得到使得夹角最小的点记作p₂，则包络矩形一条边所在直线为p₁→p₂；

若则：

剔除点过其余所有样本点依次做斜率为tanθ的直线，设该直线与纵轴截距为b_r，则可以找到样本点使得b_r取最大值；此时，就确定了最小包络矩形的另外一条边，即：过点斜率为tanθ；

同样的，剔除点过其余所有样本点依次做斜率为的直线，该直线与纵轴截距也可记作可以找到样本点分别使b_r取最大和最小值；此时，就确定了最小包络矩形的另外两条边，即：斜率为分别过点

确定p₁点对于矩形的确定及其重要，通过寻找使得横纵坐标取得最大最小值的点，找到对应的4个点，作为p₁点；得到对应的多个矩形，面积最小值的矩形为所需最小矩形包络；

最小包络矩形由上述的四条直线所围成，坐标系旋转角度通过式(38)获得；

将其扩展到三维问题，对于空间中任意存在的坐标系P-U₁U₂U₃，已知的坐标系O-X₁X₂X₃都可以通过绕自身坐标轴的旋转平移得到；

式中：θ₁,θ₂,θ₃分别代表绕X₁,X₂,X₃旋转的角度。

2.根据权利要求1所述的一种机械结构不确定性参数量化与相关性分析方法，其特征在于：S1中的预处理中，首先要进行的是剔除异常值，因为异常值往往是由于不可重复的突发事件引起，对不确定性参数的建模具有明显的歪曲影像，应及时发现将其剔除；数据处理中采用“3σ”准则处理。

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