CN111931301A - 一种应用在机械结构中的时变可靠性方法 - Google Patents

一种应用在机械结构中的时变可靠性方法 Download PDF

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CN111931301A CN202010590254.9A CN202010590254A CN111931301A CN 111931301 A CN111931301 A CN 111931301A CN 202010590254 A CN202010590254 A CN 202010590254A CN 111931301 A CN111931301 A CN 111931301A
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李富平
王丽霞
赵永胜
刘志峰
杨聪彬
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Beijing University of Technology
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Abstract

本发明公开了一种应用在机械结构中的时变可靠性方法，考虑到机械结构在时间历程上的时变性，由于长时间的使用，其自身的材料性能、所处的环境情况、载荷效应等产生的时变性及其他各种因素的影响，参数不确定性和结构可靠度常常会出现时变或动态特性，引入不确定性的随机变量表达结构各个参数的不确定性，用Wiener过程描述结构强度退化过程，从而解决时变结构可靠性的计算问题。在改进一次二阶矩方法基础上，利用提出的线性化Nataf变化完成相关非正态变量到独立标准正态变量的转换，并重新进行时变可靠度建模，解决随机参数服从任意分布的可靠度计算问题。该方法可有效解决结构体系强度退化时的可靠性灵敏度问题。

Description

一种应用在机械结构中的时变可靠性方法
技术领域
本发明属于结构可靠性分析领域，涉及一种基于线性化Nataf变换的时变可靠性计算方法。
背景技术
传统的可靠性分析方法没有考虑强度退化、时变载荷等动态不确定性，因而得到的可靠度是一个不变的数值。对于许多工程问题而言，由于长时间的使用，其自身的材料性能、所处的环境情况、载荷效应等产生的时变性及其他各种因素的影响，参数不确定性和结构可靠度常常会出现时变或动态特性，而不再是传统模型下的单一数值。对于传统静态可靠性模型，只需在一个时刻进行可靠性分析，得出的可靠度为一固定值。时变可靠性模型充分考虑了工程中的各种时变不确定性，可以实现对结构在全生命周期内的可靠性进行分析。
在全分布结构可靠度理论中，如一次可靠度方法(FORM)和二次可靠度方法(SORM)中，如何将非正态随机变量变换为独立标准正态随机变量是求解可靠指标的一个关键问题。同时，在实际工程中，随机变量一般都为相关非正态分布，问题会变得更加复杂。目前常用的方法都存在明显的缺陷，比如用Rackwitz-Fiessler变换进行当量正态化处理，然后通过线性变换(正交变换或三角变换)将相关的标准正态随机变量转换为独立标准正态随机变量，该方法在变量转换的过程中，默认变量之间的相关性不发生任何改变，或者变化甚微，事实上，这一假设只在某些特殊情况下才成立，对于大多数分布类型变换前后相关性的差别是不能忽略的。而Rosenblatt变换需要知道随机变量的联合概率密度函数，而在实际应用中，很少能够得到如此完备的信息；并且Rosenblatt变换受到随机变量选取次序的影响，对于一个含有n维随机变量的问题，可以得到n！种不同的Rosenblatt变换形式；Rosenblatt变换的正、逆变换一般为非线性函数，通常需要采用数值方法才能得到。
发明内容
本发明针对Rosenblatt变换存在的缺陷，采用Nataf变换代替Rosenblatt变换，从而获得一种更具实用价值的变换方法。Nataf变换不需要知道输入随机变量的联合概率密度函数，只要知道每个随机变量的边缘概率密度函数和随机变量的相关系数即可，然后通过Nataf分布并结合Cholesky分解的线性变换，将相关非正态随机变量直接转化为独立标准正态随机变量。但是Nataf变换仍然存在Rosenblatt变换的第三个缺陷，针对Nataf变换的非线性特征，本文提出了一种线性化的Nataf变换。本发明考虑的随机变量是含时变的不确定性随机变量，用Wiener过程来描述强度退化过程，基于前面提出的线性化Nataf变换，结合改进的一次二阶矩法(AFOSM),提出了一种新的时变可靠性研究方法，得到可靠性随时间变化的动态曲线。同时，为了估计各种不确定性随机因素对系统可靠性的影响水平大小，进行了可靠性灵敏度建模。最后用一个数值算例来验证该方法的正确性，将计算结果用Monte Carlo进行仿真模拟，并与实验结果进行对比，证明理论模型的正确性。
总结基于线性化Nataf变换的时变可靠性方法步骤如下：
步骤1：初始化
S1.迭代次数：i＝0；
S2.设置收敛误差ε；
S3.确定机械结构中随机变量X空间初始点，一般取为基本变量的均值μxi；
S4.确定机械结构中随机变量相关系数矩阵R0及其下三角分解矩阵L0,使得R0＝L0L0 T；
S5.计算机械结构随机变量x0的等效正态随机向量的平均值向量MX'和标准差矩DX'；
S6.计算机械结构随机变量U空间初始点
Figure BDA0002555178120000031
作为本发明的进一步改进，所述步骤S3的具体步骤包括：
S3.1假设机械结构中一组相关非正态基本随机变量xi(i＝1,2,…,n)的功能函数为Z＝g(x1,x2,···,xn)。
S3.2已知机械结构中随机变量xi的分布类型，随机变量xi＝(i＝1,2,···,n)的概率密度函数fi(xi)和累积分布函数Fi(xi)，已知xi的分布类型及其均值
Figure BDA0002555178120000032
和方差
Figure BDA0002555178120000033
作为本发明的进一步改进，所述步骤S4的具体步骤包括：
S4.1通过等概率转换原则
Figure BDA0002555178120000034
将机械结构中相关非正态随机变量转换为相关正态随机变量。引入标准正态随机向量y＝(y1,y2,···,yn)T,式中φ(·)和φ-1(·)分别为标准正态变量的累积分布函数和逆累积分布函数。
S4.2根据Nataf变换理论，利用隐函数求导法则，可以推导出机械结构中随机变量x的联合概率密度函数为
Figure BDA0002555178120000041
该分布模型称为Nataf分布。式中，
Figure BDA0002555178120000042
为标准正态分布变量的概率密度函数，而
Figure BDA0002555178120000043
对应于均值为0、方差为1及相关系数矩阵为ρ0的n维标准正态随机向量的联合概率密度函数。其中det(ρ0)表示ρ0的行列式的值。
S4.3设输入机械结构的随机向量x的相关系数矩阵ρ的分量为ρij，根据相关系数的定义及S4.2,计算表达式为
Figure BDA0002555178120000044
式中，ρ0,ij为标准正态随机向量y相关系数矩阵ρ0的分量；fXiXj(xi,xj)为第i和第j个变量的联合概率密度函数。
S4.4若已知机械结构中随机向量的相关系数矩阵ρ和输入随机变量的边缘概率密度函数，通过S4.3解非线性方程，理论上可以完全确定ρ0。但是由于ρij和ρ0,ij的解析关系式是很难给出的。Liu和Der Kiureghian通过大量的数值研究，针对各种分布类型，给出了经验公式ρ0,ij＝ρijF,式中F≥1，它是相关系数ρij以及边缘分布FXi(xi)的函数，文献给出了各种概率分布函数所对应的系数F的计算公式表格。
S4.5获取机械结构的标准正态随机向量y的相关系数矩阵R0＝[ρ0,ij]，显然R0是一对称矩阵，将其进行Choleskey分解R0＝L0L0 T式中，L0为相关系数矩阵R0经Choleskey分解得到的下三角形。
作为本发明的进一步改进，所述步骤S5的具体步骤包括：
S5.1假定机械结构中非正态随机变量xi服从某一分布，其分布函数为
Figure BDA0002555178120000051
密度函数为
Figure BDA0002555178120000052
为找到非正态变量xi的等价正态变量
Figure BDA0002555178120000053
必然要确定两个分布参数
Figure BDA0002555178120000054
和
Figure BDA0002555178120000055
S5.2机械结构中非正态变量xi在特定点xi*处的等价变换条件
Figure BDA0002555178120000056
式中，φ(·)和
Figure BDA0002555178120000057
分别为标准正态分布的分布函数和密度函数。
S5.3根据S5.2化简可得
Figure BDA0002555178120000058
Figure BDA0002555178120000059
和
Figure BDA00025551781200000510
分别为机械结构的等效正态随机向量X'＝[Xi']T的均值向量和标准差组成的对角矩阵。
作为本发明的进一步改进，所述步骤S6的具体步骤包括：
S6.1根据等概率变换原则p＝FX(x)＝φ(u),式中φ(·)为标准正态随机变量的累计分布函数，p为X≤x或U≤u的概率。
S6.2根据式S6.1，可得机械结构中独立非正态随机向量的概率正变换为
Figure BDA00025551781200000511
S6.3利用L0可将S4.1中相关的标准正态随机向量y转换到独立的标准正态随机向量u，即u＝L0 -1y。
步骤2：按如下顺序进行计算
S7.确定搜索方向：
Figure BDA00025551781200000512
S8.计算xi+1＝DX'(xi)L0(ui+di)+MX'(xi)；
S9.计算G(ui+1)＝g(xi+1)；
S10.计算
Figure BDA0002555178120000061
S11.直到满足以下收敛条件：ui+1-ui＜ε，结束迭代。
作为本发明的进一步改进，所述步骤S7的具体步骤包括：
S7.1采用
Figure BDA0002555178120000062
搜索设计点。
S7.2在S7.1中i代表迭代次数，a为机械结构中基本随机变量的灵敏度系数向量，定义为
Figure BDA0002555178120000063
S7.3在S7.1和S7.2中，根据链式微分法则，可得机械结构的极限状态函数G(u)的梯度向量
Figure BDA0002555178120000064
式中，
Figure BDA0002555178120000065
为概率变换的Jacobian矩阵。
作为本发明的进一步改进，所述步骤S8的具体步骤包括：
S8.1根据等概率变换原则p＝FX(x)＝φ(u)，式中φ(·)为机械结构标准正态随机变量的累计分布函数，p为X≤x或U≤u的概率。
S8.2根据S8.1，可得机械结构中独立非正态随机向量的概率正变换为
Figure BDA0002555178120000066
S8.3将S8.2在机械结构的设计点xi *处进行Taylor级数展开，只保留线性项进行重新排列可得
Figure BDA0002555178120000067
S8.4结合S5.3和S8.3可得
Figure BDA0002555178120000068
S8.5将S8.4写成矩阵形式
Figure BDA0002555178120000069
S8.6Nataf变换式S6仍为非线性变换，如果能够将其线性化，显然可以使得机械结构的可靠性指标的求解变得容易。我们可以采用S8.5中线性化的等效正态随机向量代替S6的第二部分。这样可得线性化Nataf概率变换公式
Figure BDA0002555178120000071
S8.7由S8.6所示的线性化Nataf概率变换公式容易得到线性化Nataf概率逆变换为
Figure BDA0002555178120000072
S8.8由于S8.7中的MX'和DX'均为x的函数，因此S8.7实际上不能得到解析表达式，在搜索设计点时本文建议利用下式进行迭代计算xi+1＝DX'(xi)L0ui+MX'(xi)(其中i代表跌倒次数)。
S8.9根据S8.1和S7搜索机械结构设计点的迭代计算式变为xi+1＝DX'(xi)L0(ui+di)+MX'(xi)。
作为本发明的进一步改进，所述步骤S10的具体步骤包括：
S10.1在S7.1和S7.2中，根据链式微分法则，可得机械结构的极限状态函数G(u)的梯度向量
Figure BDA0002555178120000073
S10.2在S10.1中，
Figure BDA0002555178120000074
为概率变换的Jacobian矩阵。
步骤3:输出结果
S12.机械结构设计点u*＝ui+1；
S13.机械结构灵敏度向量
Figure BDA0002555178120000075
S14.机械结构可靠性指标
Figure BDA0002555178120000076
S15.机械结构失效概率
Figure BDA0002555178120000077
S16.计算机械结构中各不确定性随机变量的灵敏度因子
Figure BDA0002555178120000078
作为本发明的进一步改进，所述步骤S13的具体步骤包括：
S13.1Wiener过程是目前工程实际中应用最为广泛的退化过程模型，能够描述多种典型产品的退化失效过程。如果机械结构具有独立增量的连续时间随机过程{Y(t),t≥0}初始值为0，且在任意时刻服从均值为0，方差为t的正态分布则称为标准Wiener过程，即(1)Y(0)＝0；(2)对于机械结构工作过程中任意两个不重叠的时间段[t1,t2]和[t3,t4]，增量Y(t2)-Y(t1)与Y(t4)-Y(t3)相互独立。
S13.2相应的，带有漂移的Wiener过程可以表示为X(t)＝λt+δβ(t)。
S13.3考虑到机械结构中随机变量随时变的不确定性，机械结构的极限状态函数的G(u)随时变的梯度向量▽Gt(u)也有一定的退化量，基于改进的Wiener退化过程，有
Figure BDA0002555178120000081
S13.4根据S7.2得机械结构中随时变的基本随机变量的灵敏度系数向量at可以表示为
Figure BDA0002555178120000082
作为本发明的进一步改进，所述步骤S16的具体步骤包括：
S16.1设机械结构在失效域中的最可能失效点(设计点)为P*(x1*,x2*,···,xn*)，则设计点一定在失效边界上，所以有
Figure BDA0002555178120000083
将非线性的功能函数在设计点处展开，可得到机械结构的原功能函数对应的线性极限状态方程
Figure BDA0002555178120000084
S16.2对于机械结构中非标准的正态分布的基本变量进行标准化变换
Figure BDA0002555178120000091
S16.3将S16.2的逆变换xi＝σxiyi+μxi代入机械结构的线性化的极限状态方程S16.1，整理后可得标准型法线方程
Figure BDA0002555178120000092
S16.4记S16.3中yi的系数为
Figure BDA0002555178120000093
为机械结构的不确定性随机变量的灵敏度因子。
综上，可以得到机械结构在使用周期中的可靠度随时间的动态变化曲线和机械结构中不同随机变量对可靠度的影响程度大小。这对与机械结构的维修和优化设计都有重要意义。
附图说明
表1采用线性化Nataf变换的AFOSM计算结果
图1时变可靠度退化曲线
图2灵敏度系数向量变化曲线
图3各变量时变可靠性灵敏因子
具体实施方式
以下结合说明书附图和具体优选的实施例对本发明进一步描述，但并不因此而限制本发明的保护范围。
本发明以一个具体算例为例，在已知一个机械结构的功能函数、不确定性随机变量的分布类型、均值、方差及其漂移率和波动率。利用MATLAB分析机械结构中各不确定性随机变量在动态特性下的可靠度与灵敏度。
已知一种机械结构的极限状态方程为：g(x)＝x1 2-2x2，其中，随机变量x1服从对数正态分布，其平均值和变异系数分别为：
Figure BDA0002555178120000101
Figure BDA0002555178120000102
x2服从极值I型分布，
Figure BDA0002555178120000103
x1和x2的相关系数ρ12＝0.5。x1的漂移率和波动率分别为
Figure BDA0002555178120000104
x2的漂移率和波动率分别为
Figure BDA0002555178120000105
1.机械结构功能函数为：g(x)＝x1 2-2x2。
2.机械结构强度退化量表示为：X(t)＝λt+σβ(t)。λ为漂移率，σ为波动率。
3.机械结构的各随机变量的分布规律及统计参数如下：
x1服从对数正态分布，
Figure BDA0002555178120000106
x2服从极值I型分布，
Figure BDA0002555178120000107
4.假定机械结构的设计点初值：
将机械结构最危险点处各随机变量的取值点作为结构设计点，所述结构设计点是结构功能函数中的某个点，下面假定一个初值，进行不断的迭代计算得到，所述假定的初值点为：初始的均值。
5.对机械结构中非正态变量进行当量正态化并求出其等效的均值和方差：
将机械结构中非正态基本随机变量进行当量正态化处理，将其转换为等效正态随机变量，如服从对服从对数正态分布的x1，及服从极值I型分布的x2，转换条件是保证转换后的各基本随机变量在设计点处分布密度函数的尾部面积与转换前相等。
机械结构的随机变量X1的累积分布函数和概率密度函数分别为：
Figure BDA0002555178120000111
式中，
Figure BDA0002555178120000112
和
Figure BDA0002555178120000113
分别是X1的对数标准差和对数平均值。
机械结构的随机变量X2的累积分布函数和概率密度函数分别为：
Figure BDA0002555178120000114
式中，分布参数
Figure BDA0002555178120000115
6.根据文献[7]，当量正态化之后的机械结构随机变量的相关系数ρ012与ρ12之间的经验系数为：
Figure BDA0002555178120000116
将ρ12和
Figure BDA0002555178120000117
代入上式，可得F＝1.0239,于是ρ0,12＝Fρ12＝0.51。由于对数正态分布和极值I型分布的非正态化程度不是很高，并且两个分布的偏斜方向相同，所以ρ0,12和ρ12的变化不大。
7.获取机械结构中标准正态随机向量y的相关系数矩阵
Figure BDA0002555178120000118
显然R0是一对称矩阵，将其进行Choleskey分解R0＝L0L0 T式中，可得
Figure BDA0002555178120000119
L0为相关系数矩阵R0经Choleskey分解得到的下三角形。
8.由步骤5计算机械结构随机变量X的等效正态随机向量的平均值向量MX'和标准差矩阵DX'。可得
Figure BDA00025551781200001110
9.计算机械结构随机变量U空间初始点
Figure BDA0002555178120000121
经计算可得
Figure BDA0002555178120000122
10.机械结构的极限状态函数G(u)的梯度向量
Figure BDA0002555178120000123
式中，
Figure BDA0002555178120000124
为概率变换的Jacobian矩阵。经线性化处理之后机械结构的梯度向量
Figure BDA0002555178120000125
代入数据计算可得
Figure BDA0002555178120000126
11.以上都是代入初始值(均值点)的计算结果。但是由于均值点只能代表机械结构局部的失效概率点，并不是机械结构全局的最危险点，为了找到对机械结构失效概率贡献最大的点，需要进行迭代计算，直到设计点的变化在误差范围内。
12.进行迭代计算，需要确定搜索方向：
Figure BDA0002555178120000127
按照S7中所包含的详细步骤进行计算。
13.计算xi+1＝DX'(xi)L0(ui+di)+MX'(xi)。按照S8中所包含的具体步骤进行计算。
14.计算
Figure BDA0002555178120000128
直到满足以下收敛条件：ui+1-ui＜ε，结束迭代。迭代结果如表1所示。
15.经计算，获取机械结构可靠度计算所需设计点X(6.9914,24.4405)(X空间)，U(-1.7082,1.2463)(U空间)后，计算G(ui+1)＝g(xi+1)，按照S13中所包含的具体步骤计算机械结构的灵敏度向量
Figure BDA0002555178120000129
得到机械结构中各不确定性随机变量随时变的灵敏度向量如图2所示。
16.根据步骤15所得结果计算机械结构的可靠性指标
Figure BDA0002555178120000131
17.根据步骤16所得结果计算机械结构的可靠度
Figure BDA0002555178120000132
得出结构可靠度随时变的动态曲线并用Monte Carlo进行验证，结果如图1所示。
18.计算机械结构中各不确定性随机变量的灵敏度因子
Figure BDA0002555178120000133
所得结果如图3所示。
综上，可以得到机械结构在使用周期中的可靠度随时间的动态变化曲线如图1和机械结构中不同随机变量对可靠度的影响程度大小如图3。这对与机械结构的维修和优化设计都有重要意义。
本发明采用的时变可靠度性灵敏度计算方法可以推广到更多的机械部件和机械系统中，在机械结构可靠性研究的基础上，提出了一种考虑强度退化过程的机械结构可靠性灵敏度计算方法，准确地反映了各因素对其可靠度的影响变化规律，结果表明机械结构的强度退化服从Wiener随机过程。能很好的在设计初期预测产品的使用寿命、强度退化情况，以及不确定性随机参数对结构整体可靠性的影响，有利于产品的设计、维护及维修。
上述只是发明的算例演示，并非对本发明作任何形式的限制。虽然本发明已以较佳的算例揭露如上，然而并非用以限定本发明。因此，凡是未脱离本发明技术方案的内容，依据本发明技术实质对以上实施例所做的任何简单修改、等同化及修饰，均应落在本发明技术方案保护的范围内。
表1采用线性化Nataf变换的AFOSM计算结果
Figure BDA0002555178120000141

Claims (8)

1.一种应用在机械结构中的时变可靠性方法，其特征在于：该方法的实施步骤如下：
步骤1：初始化
S1.迭代次数：i＝0；
S2.设置收敛误差ε；
S3.确定机械结构中随机变量X空间初始点，取为基本变量的均值
Figure RE-FDA0002718768760000016
S4.确定机械结构中随机变量相关系数矩阵R0及其下三角分解矩阵L0,使得R0＝L0L0 T；
S5.计算机械结构随机变量x0的等效正态随机向量的平均值向量MX'和标准差矩DX'；
S6.计算机械结构随机变量U空间初始点
Figure RE-FDA0002718768760000011
步骤2：按如下顺序进行计算
S7.确定搜索方向：
Figure RE-FDA0002718768760000012
S8.计算xi+1＝DX'(xi)L0(ui+di)+MX'(xi)；
S9.计算G(ui+1)＝g(xi+1)；
S10.计算
Figure RE-FDA0002718768760000013
S11.直到满足以下收敛条件：ui+1-ui＜ε，结束迭代；
步骤3:输出结果
S12.机械结构设计点u*＝ui+1；
S13.机械结构灵敏度向量
Figure RE-FDA0002718768760000014
S14.机械结构可靠性指标
Figure RE-FDA0002718768760000015
S15.机械结构失效概率
Figure RE-FDA0002718768760000021
S16.计算机械结构中各不确定性随机变量的灵敏度因子
Figure RE-FDA0002718768760000022
2.根据权利要求1所述的一种应用在机械结构中的时变可靠性方法，其特征在于：所述步骤S3的具体步骤包括：
S3.1假设机械结构中一组相关非正态基本随机变量xi(i＝1,2,…,n)的功能函数为Z＝g(x1,x2,···,xn)；
S3.2已知机械结构中随机变量xi的分布类型，随机变量xi＝(i＝1,2,···,n)的概率密度函数fi(xi)和累积分布函数Fi(xi)，已知xi的分布类型及其均值
Figure RE-FDA0002718768760000023
和方差
Figure RE-FDA0002718768760000024
3.根据权利要求1所述的一种应用在机械结构中的时变可靠性方法，其特征在于：所述步骤S4的具体步骤包括：
S4.1通过等概率转换原则
Figure RE-FDA0002718768760000025
将机械结构中相关非正态随机变量转换为相关正态随机变量；引入标准正态随机向量y＝(y1,y2,···,yn)T,式中φ(·)和φ-1(·)分别为标准正态变量的累积分布函数和逆累积分布函数；
S4.2根据Nataf变换理论，利用隐函数求导法则，推导出机械结构中随机变量x的联合概率密度函数为
Figure RE-FDA0002718768760000026
式中，
Figure RE-FDA0002718768760000027
为标准正态分布变量的概率密度函数，而
Figure RE-FDA0002718768760000028
对应于均值为0、方差为1及相关系数矩阵为ρ0的n维标准正态随机向量的联合概率密度函数；其中det(ρ0)表示ρ0的行列式的值；
S4.3设输入机械结构的随机向量x的相关系数矩阵ρ的分量为ρij，根据相关系数的定义及S4.2,计算表达式为
Figure RE-FDA0002718768760000031
式中，ρ0,ij为标准正态随机向量y相关系数矩阵ρ0的分量；fXiXj(xi,xj)为第i和第j个变量的联合概率密度函数；
S4.4若已知机械结构中随机向量的相关系数矩阵ρ和输入随机变量的边缘概率密度函数；
S4.5获取机械结构的标准正态随机向量y的相关系数矩阵R0＝[ρ0,ij]，R0是一对称矩阵，将R0进行Choleskey分解R0＝L0L0 T式中，L0为相关系数矩阵R0经Choleskey分解得到的下三角形。
4.根据权利要求1所述的一种应用在机械结构中的时变可靠性方法，其特征在于：所述步骤S5的具体步骤包括：
S5.1假定机械结构中非正态随机变量xi服从某一分布，其分布函数为
Figure RE-FDA0002718768760000032
密度函数为
Figure RE-FDA0002718768760000033
S5.2机械结构中非正态变量xi在特定点xi*处的等价变换条件
Figure RE-FDA0002718768760000034
式中，φ(·)和
Figure RE-FDA0002718768760000035
分别为标准正态分布的分布函数和密度函数；
S5.3根据S5.2化简得
Figure RE-FDA0002718768760000041
Figure RE-FDA0002718768760000042
和
Figure RE-FDA0002718768760000043
分别为机械结构的等效正态随机向量X'＝[Xi']T的均值向量和标准差组成的对角矩阵。
5.根据权利要求1所述的一种应用在机械结构中的时变可靠性方法，其特征在于：所述步骤S6的具体步骤包括：
S6.1根据等概率变换原则p＝FX(x)＝φ(u),式中φ(·)为标准正态随机变量的累计分布函数，p为X≤x或U≤u的概率；
S6.2根据式S6.1，得机械结构中独立非正态随机向量的概率正变换为T:
Figure RE-FDA0002718768760000044
S6.3利用L0将S4.1中相关的标准正态随机向量y转换到独立的标准正态随机向量u，即u＝L0 -1y。
6.根据权利要求1所述的一种应用在机械结构中的时变可靠性方法，其特征在于：所述步骤S7的具体步骤包括：
S7.1采用
Figure RE-FDA0002718768760000045
搜索设计点；
S7.2在S7.1中i代表迭代次数，a为机械结构中随机变量的灵敏度系数向量，定义为
Figure RE-FDA0002718768760000046
S7.3在S7.1和S7.2中，根据链式微分法则，得机械结构的极限状态函数G(u)的梯度向量
Figure RE-FDA0002718768760000047
式中，
Figure RE-FDA0002718768760000048
为概率变换的Jacobian矩阵。
7.根据权利要求1所述的一种应用在机械结构中的时变可靠性方法，其特征在于：所述步骤S8的具体步骤包括：
S8.1根据等概率变换原则p＝FX(x)＝φ(u)，式中φ(·)为机械结构标准正态随机变量的累计分布函数，p为X≤x或U≤u的概率；
S8.2根据S8.1，可得机械结构中独立非正态随机向量的概率正变换为T:
Figure RE-FDA0002718768760000051
S8.3将S8.2在机械结构的设计点xi*处进行Taylor级数展开，只保留线性项进行重新排列得
Figure RE-FDA0002718768760000052
S8.4结合S5.3和S8.3得
Figure RE-FDA0002718768760000053
S8.5将S8.4写成矩阵形式TL:
Figure RE-FDA0002718768760000054
S8.6采用S8.5中线性化的等效正态随机向量代替S6得线性化Nataf概率变换公式TL:
Figure RE-FDA0002718768760000055
S8.7由S8.6所示的线性化Nataf概率变换公式容易得到线性化Nataf概率逆变换为
Figure RE-FDA0002718768760000056
X＝DX'L0U+MX'；
S8.8在搜索设计点时利用下式进行迭代计算xi+1＝DX'(xi)L0ui+MX'(xi)，i代表跌倒次数；
S8.9根据S8.1和S7搜索机械结构设计点的迭代计算式变为xi+1＝DX'(xi)L0(ui+di)+MX'(xi)。
8.根据权利要求1所述的一种应用在机械结构中的时变可靠性方法，其特征在于：所述步骤S10的具体步骤包括：
S10.1在S7.1和S7.2中，根据链式微分法则，得机械结构的极限状态函数G(u)的梯度向量
Figure RE-FDA0002718768760000057
S10.2在S10.1中，
Figure RE-FDA0002718768760000058
为概率变换的Jacobian矩阵。
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