CN113126289B - 一种基于高斯径向基函数曲面的成像系统设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于高斯径向基函数曲面的成像系统设计方法。本发明以视场比需求值小的光学系统作为设计起点，然后逐步增大视场，基于“视场扩展，高斯延拓”的思路，新的高斯函数随着视场的扩展依次添加到曲面边缘，逐步扩展曲面尺寸，通过渐进式优化得到最终满足设计指标的成像系统。本发明方法简单，易于实现，特别适用于大视场成像光学系统设计。本发明为实际成像系统运用高斯径向基函数曲面提供便利，且方便简便、适用性强，对于各种应用、各种系统结构的自由曲面成像系统，都可以用此方法，从一个简单的系统为起点，逐步完成系统设计。

Description

一种基于高斯径向基函数曲面的成像系统设计方法

技术领域

本发明涉及光学设计技术领域，具体涉及一种基于高斯径向基函数曲面的成像系统设计方法。

背景技术

自由曲面相对于传统的球面或非球面可为光学设计提供更多的自由度，进而可以大大提升系统成像质量，并可使系统结构更灵活、元件数量更少、体积更小、质量更轻。因此，自由曲面被认为是光学设计领域的一次革命性的发展。基于高斯函数构成的曲面是一类自由曲面，其在光学设计中具有一些优良特性。首先，高斯函数是光滑且连续的，具有任意阶导数。这个特性有利于光线追迹。其次，高斯函数的傅里叶变换是其本身，这在功率谱密度函数的计算中具有重要意义。第三，高斯函数具有局部性。在距离中心位置三倍标准差以外的高斯函数的函数值非常小，可以近似为零，从而使单个高斯函数仅在有限区域内有函数值，表现出局部性。这一特性使得高斯函数在光学设计中有利于实现局部面形控制。然而，现有的使用高斯函数进行成像光学系统设计的方法较少，大多是在已有系统基础上依靠曲面拟合后直接进行优化，且并未涉及到高斯函数数量的增减，系统参数并未改变，并未充分利用到高斯函数的局部性质，不适用于从系统参数较低的系统为起点开展系统参数较高(如大视场)的系统设计。

发明内容

有鉴于此，本发明提供了一种基于高斯径向基函数曲面的成像系统设计方法，新的高斯函数随着视场的扩展依次添加到曲面边缘，逐步扩展曲面尺寸，为将高斯径向基函数曲面应用于自由曲面成像系统，尤其是大视场成像光学系统的设计提供了一种有效、简便的方式。

本发明的基于高斯径向基函数曲面的成像系统设计方法，包括如下步骤：

步骤1，设计或直接采用现有的与目标成像系统结构接近或类似的成像系统，作为初始结构；

步骤2，对步骤1获得的成像系统进行预处理，使其满足一部分目标成像系统的设计指标；

步骤3，将预处理后的成像系统的曲面类型转换成高斯径向基函数曲面，高斯径向基函数的行数、列数、高斯间距以及标准差根据经验确定，得到新的成像系统；

步骤4，对当前成像系统进行成像质量评价，并基于成像质量进行成像系统参数优化；

步骤5，对步骤4优化后的成像系统，判断其视场角是否达到要求，若达到要求，则完成成像系统设计，当前成像系统即为所求；若未达到要求，则在高斯径向基函数曲面边缘增加高斯径向基函数，并进行高斯延拓判据I判断，即判断曲面是否满足|l_fg-l_mr|<A，若不满足，则继续在曲面边缘增加高斯径向基函数，直到满足高斯延拓判据I，然后返回步骤4；其中，l_fg为当前最远高斯径向基函数与子午线或弧矢线之间的距离，l_mr为边缘视场的边缘光线沿着视场扩展方向在XOY面上的投影坐标和中心视场主光线沿着视场扩展方向在XOY面上的投影坐标之差的绝对值，A为设定的阈值。

较优的，所述步骤2中，预处理包括：对步骤1获得的成像系统进行缩放、将某个曲面设为光阑面、将某方向视场角调整为与目标视场角一致。

较优的，所述步骤4中，将各镜面的偏心和倾斜、基底球面半径和二次曲面系数、各曲面的高斯径向基函数权重系数或多项式系数设为变量参与优化。

较优的，所述阈值A取0.5σ，所述σ为高斯径向基函数标准差。

较优的，若边缘视场的成像质量比中心视场成像质量差，则所述步骤5中，在高斯径向基函数曲面边缘采用密度更大的高斯径向基函数，并改用高斯延拓判据II判断，即判断曲面是否满足|l_fg-l_mr|<B，所述B为设定的大于阈值A的阈值。

较优的，所述阈值A取0.5σ，所述阈值B取2σ，所述σ为高斯径向基函数标准差。

有益效果：

本发明以视场比需求值小的光学系统作为设计起点，然后逐步增大视场，基于“视场扩展，高斯延拓”的思路，新的高斯函数随着视场的扩展依次添加到曲面边缘，逐步扩展曲面尺寸，通过渐进式优化得到最终满足设计指标的成像系统。本发明方法简单，易于实现，特别适用于大视场成像光学系统设计。

附图说明

图1为本发明中M×N个高斯函数在2D空间中的分布图；

图2为本发明步骤四全视场的足迹图和高斯函数在扩展过程中的相对位置示意图；

图3为本发明步骤五全视场的足迹图和具有两种不同密度的高斯函数在扩展过程中的相对位置示意图；

图4为本发明沿x方向应用本发明方法的视场和曲面扩展过程示意图；

图5为本发明方法在一维方向上实现视场扩展和曲面延拓流程图。

具体实施方式

下面结合附图并举实施例，对本发明进行详细描述。

本发明提供了一种基于高斯径向基函数曲面的成像系统设计方法。

高斯函数作为一种径向基，具有局部性，在面型描述中拥有局部面形调控的能力。一个典型的标准二维高斯函数的数学表达式可以由标准差σ和中心位置(x_i,y_i)来描述，即：

用于成像系统的高斯径向基函数曲面由基底二次曲面和一组加权高斯函数项之和组成：

式中，c是曲面顶点处的曲率，k是二次曲面系数，g_j(x,y)(1≤j≤J)是具有相同标准差但中心位置(x_i,y_i)不同的高斯函数，w_j是对应的高斯函数的权重系数。对于自由曲面成像系统设计，尤其是在大视场成像光学系统的设计中，由于现有系统的缺乏，设计者通常以当前视场比需求值小(甚至小很多)的系统作为设计起点。然后逐步增大视场，通过渐进式优化得到最终的系统。在本发明方法中，将新的高斯函数随着视场的扩展依次添加到曲面边缘，并逐步扩展曲面尺寸，最终优化获得满足设计指标的成像系统。

考虑到大多数成像系统都是关于子午面(YOZ平面)对称的，如果用高斯函数来描述曲面，它们也应该关于YOZ平面对称排列。中心高斯函数的中心位置应位于曲面的数学中心处(或顶点处)，两个关于YOZ平面对称的高斯函数应具有相同的权重系数。高斯函数的这种对称分布决定了它们的行数和列数必须为奇数。

选择合适的高斯函数中心位置进行曲面描述是非常重要的。本发明方法中所使用的高斯函数的中心位置在二维空间内(曲面的局部XOY平面)按照矩形网格点的方式排列分布。这样一组高斯函数将被用来描述自由曲面。假设一共有J个高斯函数参与面形描述，并按照M行N列的方式排布，如图1所示。其中较大的实心点为不同高斯函数的中心位置。距离子午线最远的高斯函数列被定义为最远高斯函数列。由于高斯函数是对称排列的，因此在+x和-x两个方向上都存在最远高斯函数列。类似地，高斯函数行中距离弧矢线最远的行被定义为最远高斯函数行。此外，将中心位置位于子午线和弧矢线的高斯函数组成的行与列分别定义为中心高斯函数行和中心高斯函数列。

如果将中心高斯函数列标记为第零列，则-x方向上的高斯函数列可记为负列，反之为正列。同理，也可以定义高斯函数行为零、负、正行。由于关于子午面对称的两个高斯函数的权重系数相同，式(2)中的高斯函数g_j(x,y)可以改写为:

式中，x_m,n,x_m,-n,y_m,n,y_m,-n分别代表了位于不同象限处的高斯函数的中心位置。显然，它们必须满足：

根据式(3)，高斯径向基函数曲面的矢高表达式(2)可以转换为:

本发明的基于高斯径向基函数曲面的成像系统设计方法，具体包括以下步骤：

步骤一：确定高斯函数在二维空间的排列分布(即高斯函数的行数、列数与函数之间的间隔)，以及高斯函数的标准差σ。在本步骤所定义的高斯函数组仅用于下一步的曲面拟合。随着设计的进行，高斯函数的行数和列数将逐渐增加。

步骤二：根据系统设计需求选择合适的约束条件。约束条件包括：控制焦距、控制畸变、控制光线遮拦与曲面干涉、控制中心视场主光线入射到自由曲面上的位置等。在整个设计过程中，对系统成像质量的改善和畸变校正采用了渐进式优化策略。即将被约束量的当前值作为初始值，按照一定的改善步长逐步优化到期望值，而不是直接将其优化到期望值。步骤一和步骤二的顺序是可以互换的，因为它们的内容并不相互影响。

步骤三：利用高斯径向基函数曲面建立设计起点。在现有的系统中，使用高斯径向基函数曲面的系统很少，我们很难直接获得一个用高斯径向基函数曲面作为面形的光学系统。因此我们可以选择一个使用其他类型的曲面且视场较小的成像系统作为设计起点，一般选择与目标成像系统结构接近或类似的成像系统，作为初始结构。然后使用第一阶段确定的那组高斯函数将该成像系统的自由曲面拟合成高斯径向基函数曲面。一般来说，完成曲面拟合后的光学系统会出现一定的成像质量退化，因此需要选择合适的优化条件，对拟合后的系统进行优化以获得良好的成像性能。

步骤四：视场扩展和曲面延拓。在讨论曲面延拓之前，首先需要先定义一些数学量。这里以一维(1D)视场角的扩展为例。对于每个待延拓的高斯径向基函数曲面，边缘视场的边缘光线沿着视场扩展方向(x或y方向)在XOY面上的投影坐标(x_mr,y_mr)，和中心视场主光线沿着视场扩展方向在XOY面上的投影坐标(x_cr,y_cr)分别都可以通过光线追迹得到。对于每个曲面，“最远光线距离”l_mr定义为上述两条光线的投影坐标之差的绝对值，即：

为了表征区域内高斯函数的密度，将相邻两个高斯函数的中心位置在扩展方向上的距离l定义为“高斯间隔”。显然，在一定区域内，高斯间隔越小，高斯函数的密度越大。此外，“最远高斯函数距离”l_fg被定义为当前最远高斯函数列与子午线之间的距离，或当前最远高斯函数行与弧矢线之间的距离，这取决于视场扩展方向是沿x方向还是y方向。

一般情况下，根据所需要设计的视场角大小，可以先确定扩展方向。这里，以x方向为扩展方向为例进行说明。如果当前系统的视场角不是很大，则视场角在x方向上以一定的步长值进行扩展，而在y方向上视场角保持不变。对于视场扩展后的系统，在每个待延拓曲面上，首先计算l_mr和l_fg两个量的值。在本阶段，我们引入高斯延拓判据I:|l_fg-l_mr|<A是否满足。A为设定的阈值，可选为0.5σ。如果所有曲面都满足判据I，则对该视场扩展系统进行优化。否则，对于不满足判据I的曲面，在曲面边缘处将高斯函数逐列添加到曲面描述中，直到满足判据I，然后再对系统进行优化。重复上述设计过程，可以不断的扩展视场角和曲面大小。图2是视场和高斯函数扩展过程的示意图，其中视场用视场角的足迹图(圆圈)来表示，网格排布的点代表了高斯函数的中心位置。对于一个实际光学系统来说，在x或y方向具有相同视场角的视场足迹图可能不在一条直线上，但是为了便于演示它们在图2、图3、图4中仍然按照直线来绘制，因为这不影响本发明提出的方法的有效性。

步骤五：使用更密的高斯函数进行视场扩展和曲面延拓。当视场扩展到较大值时，边缘视场的成像质量一般比中心视场差，需要在曲面边缘区域进行更精细的优化与控制。因此，本发明考虑使用密度更大的高斯函数来描述曲面边缘区域的面形。增加高斯函数密度的一个简单方法是减小曲面边缘处的高斯间隔。在本阶段，也同步更改了高斯延拓判据，将高斯延拓判据I替换为高斯延拓判据II:|l_fg-l_mr|<B，阈值B可取2σ。这一阶段的曲面延拓与第四阶段是类似的，区别仅在于使用了更密的高斯函数以及高斯延拓的判据不同。在实际的设计过程中，可以根据需要反复增加曲面边缘区域的高斯函数密度。图3展示了全视场下具有两种不同密度的高斯函数和视场足迹的相对位置。l和l′分别代表了两种不同大小的高斯间隔。

在之前的讨论中，展示了视场和高斯径向基函数曲面在一维方向上的扩展情形。图4是通过本发明提出的方法沿x方向进行高斯径向基函数曲面扩展过程的示意图。在一维方向上应用本发明提出的方法的整个设计过程流程图如图5所示。在二维方向上进行视场扩展与一维的情形类似。例如视场和曲面可以首先在一维方向上不断扩展，直到满足该方向的设计要求。然后，在新系统的基础上，对视场和曲面进行另一个方向的扩展，直到系统在二维方向上的设计需求均被满足。

下面以一个实例说明基于高斯径向基函数曲面的成像系统设计方法的应用过程。

通过使用高斯径向基函数曲面设计大视场离轴三反系统作为实例，验证所提出的方法的可行性。该系统希望实现的视场角为60°×0.6°，F数为4，有效焦距为160mm。系统的工作波段为可见光波段，并与线阵探测器相耦合，单个探测器的像素大小为6.5μm×6.5μm。为了保证良好的成像质量，根据奈奎斯特定律，系统在77lps/mm处的调制传递函数值要求大于0.5，并且全视场内最大径向和切向畸变应小于10％。此外，边缘视场处x方向的相对畸变应小于5％，以保证视场边缘区域具有较高的分辨率。

本系统设计的初始结构来自于一个已有系统。该系统的F数为4，有效焦距为400mm，FOV为4°×4°。三个镜子的曲面类型为二次曲面和非球面。对于该系统，首先进行了预处理使其满足一部分设计指标，包括对全系统进行缩放(缩放系数为0.4)，将次镜设置为光阑面，以及视场角重新设为4°×0.6°。

在完成预处理后，对新的系统进行曲面拟合。考虑到光学系统中视场是充满光阑M2(次镜)的，高斯函数的局部性在这种情况的优势不明显，因此只将系统的主镜M1和三镜M3的曲面类型转换成高斯径向基函数曲面。曲面拟合通过一组均匀排列7×3(y方向7行，x方向3列)分布的高斯函数来实现。在此阶段的高斯间隔l为30mm，即相邻两个高斯函数的中心位置在x、y方向的距离均为30mm。高斯函数的标准差σ也被为30mm，使得当前最远高斯函数的影响区域在y方向上恰好在中心高斯函数的中心位置处截止。高斯函数的列数、行数、高斯间隔和标准差，可以根据实际需要进行调整。次镜作为光阑面，被拟合成4阶XY多项式曲面。由于拟合误差的存在，新系统的成像性能会有所下降，因此对其进行了优化。将各镜面的偏心和倾斜、基底球面半径和二次曲面系数、M1和M3的高斯函数权重系数、M2的XY多项式系数设为变量参与优化。优化完成后，在本阶段即可获得一个使用高斯径向基函数曲面的小视场角(4°×0.6°)离轴三反成像系统，将其命名为系统I。

根据系统设计要求，视场需要在x方向上进行扩展。视场每次扩展的步长并不是一个严格不变的数值，可以在不同的设计阶段对其进行修改。由于光学系统和高斯函数的排列都是关于YOZ平面对称的，所以讨论视场和表面在+x方向上的扩展已足够(但是视场和高斯径向基函数曲面实际上在+x和–x方向上同时扩展)。在本实施例中，当视场角比较小的时候，在x方向上的扩展步长为半视场角4°(即全视场扩展了8°)，当视场角比较大的时候，在x方向上的扩展步长为半视场角2°。

从系统I作为新的设计起点，将x方向半视场角扩展到6°，y方向视场角保持不变。对于M1，光线追迹结果表明，最边缘视场的在x方向上的边缘光线和中心场主光线在XOY平面上的投影坐标分别为(45.7847mm,0.5614mm)和(0mm,0mm)。类似地，在M3中，通过光线追迹可以得到两条光线在XOY平面上的投影坐标分别为(53.0921mm，-0.4205mm)和(0mm,0mm)。因此，M1和M3的最远光距离l_mr分别为45.7847mm和53.0921mm。此外，M1和M3在+x方向上除中心高斯函数列外仅有一列高斯函数，故M1和M3上最远高斯函数距离l_fg均为30mm，从而|l_fg-l_mr|的值分别为15.7847mm和23.0921mm，均大于0.5σ，表明此时所用的高斯函数不满足高斯延拓判据I，需要对曲面进行延拓。根据高斯延拓判据I，M1和M3均在曲面边缘处需要增加一列高斯函数参与面形描述。此时|l_fg-l_mr|的值分别为14.2153mm和6.9079mm，从而均满足了判据I。接着根据上一阶段的约束条件对曲面进行优化。优化后的系统被命名为系统II。

接着重复系统II的设计过程，不断地以4°的步长扩展x方向的半视场角，并且根据高斯延拓判据I不断地添加新的高斯函数列，直到x半视场角扩展到26°(全视场角52°)。当x半视场角扩展到16°时，x方向的最大相对畸变控制从5％放松到15％，从而保证系统能优先满足系统的MTF指标。光学系统在不同视场角下的其他的约束条件基本一致。此外，为了能更好的表征系统的成像性能，采样视场的数量随着视场的扩展也同样在不断增加。将x半视场角为26°的系统命名为系统III。

系统III在77lps/mm处的MTF值有了显著下降，仅为0.6。可以预测到，如果进一步扩展视场角，在边缘视场处的成像质量会有极大的下降。因此，在后续的曲面延拓中，自由曲面边缘区域的曲面描述中将增加高斯函数的密度，以实现对边缘视场更精细的面形控制。在系统III的基础上，将x半视场角扩展到28°。该新系统命名为系统IV。在这里，引入了一个更小的高斯间隔l′，其值为15mm。在M1和M3的面形描述中，第0列到第6列之间的高斯函数中使用了高斯间隔l(30mm)，从第6列开始沿着x方向的高斯函数列，使用了高斯间隔l′(15mm)。根据高斯延拓判据II，M1的面形描述中需要加入2列新的高斯函数列，M3的面形描述中需要加入1列新的高斯函数列。类似地，对系统IV进行优化。

在系统IV的基础上，x半视场角进一步扩展到30°，即设计要求的视场角大小。将该系统命名为系统V。类似地，根据高斯延拓判据II，对M1和M3的曲面描述添加新的高斯函数列后进行优化。优化设置与前述系统的约束条件一样，但是将边缘视场在x方向的相对畸变被约束到小于3％，以保证在边缘视场处光学系统仍能维持较高的分辨率。

最终的系统设计结果，系统各视场在77lps/mm处的调制传递函数值大于0.6，像质良好。系统的平均RMS波像差为0.052λ(λ＝632.8nm)。系统全视场的最大径向畸变和切向畸变分别为7.6％和0.7％，并且边缘视场(±30°,0°)的径向畸变和x方向相对畸变仅为2.58％和2.51％，从而保证了全视场具有较高的分辨率，特别是在视场边缘的探测区域，仍然能有不错的探测能力。通过本实例验证本发明提出的设计方法的可行性。

本发明可以较好完成此类系统的设计，为实际成像系统运用高斯径向基函数曲面提供便利，且方便简便、适用性强，对于各种应用、各种系统结构的自由曲面成像系统，都可以用此方法，从一个简单的系统为起点，逐步完成系统设计。

综上所述，以上仅为本发明的较佳实施例而已，并非用于限定本发明的保护范围。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (6)

1.一种基于高斯径向基函数曲面的成像系统设计方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1，设计或直接采用现有的与目标成像系统结构接近或类似的成像系统，作为初始结构；

步骤2，对步骤1获得的成像系统进行预处理，使其满足一部分目标成像系统的设计指标；

步骤3，将预处理后的成像系统的曲面类型转换成高斯径向基函数曲面，高斯径向基函数的行数、列数、高斯间距以及标准差根据经验确定，得到新的成像系统；

步骤4，对当前成像系统进行成像质量评价，并基于成像质量进行成像系统参数优化；

步骤5，对步骤4优化后的成像系统，判断其视场角是否达到要求，若达到要求，则完成成像系统设计，当前成像系统即为所求；若未达到要求，则在高斯径向基函数曲面边缘增加高斯径向基函数，并进行高斯延拓判据I判断，即判断曲面是否满足|l_fg-l_mr|<A，若不满足，则继续在曲面边缘增加高斯径向基函数，直到满足高斯延拓判据I，然后返回步骤4；其中，l_fg为当前最远高斯径向基函数与子午线或弧矢线之间的距离，l_mr为边缘视场的边缘光线沿着视场扩展方向在XOY面上的投影坐标和中心视场主光线沿着视场扩展方向在XOY面上的投影坐标之差的绝对值，A为设定的阈值。

2.如权利要求1所述的基于高斯径向基函数曲面的成像系统设计方法，其特征在于，所述步骤2中，预处理包括：对步骤1获得的成像系统进行缩放、将某个曲面设为光阑面、将某方向视场角调整为与目标视场角一致。

3.如权利要求1所述的基于高斯径向基函数曲面的成像系统设计方法，其特征在于，所述步骤4中，将各镜面的偏心和倾斜、基底球面半径和二次曲面系数、各曲面的高斯径向基函数权重系数或多项式系数设为变量参与优化。

4.如权利要求1所述的基于高斯径向基函数曲面的成像系统设计方法，其特征在于，所述阈值A取0.5σ，所述σ为高斯径向基函数标准差。

5.如权利要求1所述的基于高斯径向基函数曲面的成像系统设计方法，其特征在于，若边缘视场的成像质量比中心视场成像质量差，则所述步骤5中，在高斯径向基函数曲面边缘采用密度更大的高斯径向基函数，并改用高斯延拓判据II判断，即判断曲面是否满足|l_fg-l_mr|<B，所述B为设定的大于阈值A的阈值。

6.如权利要求1所述的基于高斯径向基函数曲面的成像系统设计方法，其特征在于，所述阈值A取0.5σ，所述阈值B取2σ，所述σ为高斯径向基函数标准差。

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