CN113110317A - 混杂模型工业过程约束鲁棒预测控制综合优化设计方法 - Google Patents

混杂模型工业过程约束鲁棒预测控制综合优化设计方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种混杂模型工业过程约束鲁棒预测控制综合优化设计方法，包括步骤1：针对工业过程所给出的多个单输入单输出的输入输出模型,构建一个由状态变量、输出误差及与输出误差相关的新的状态变量构成的且其状态能够被各自调整的新型状态空间模型；步骤2：设计新型控制器。构建了由状态变量、输出误差及与输出误差相关的新的状态变量构成新型状态空间模型。基于此模型所设计的控制律因其状态能够提供更多的自由度使得所考虑的系统即使在故障及干扰共同影响下，依然具有较好的控制性能。不管是针对单模型这种特例控制还是针对具有普遍意义的多模型的控制，本申请所提供的方法下，系统运行更加平稳，系统输出更加贴近于设定值。

Description

混杂模型工业过程约束鲁棒预测控制综合优化设计方法
技术领域
本发明涉及自动化技术领域，具体为一种基于混杂模型的工业过程新型约束鲁棒模型预测控制综合优化设计。
背景技术
随着对产品质量和运行安全的要求越来越严格，工业过程控制正面临着严峻的挑战，不确定性和扰动也对改进的控制方法提出了更加严格的要求，并且设计控制器时除了需要考虑提高产品质量，同时还要考虑从有限的资源中不断挖掘潜力以实现节能降耗，最大化经济效益，并要降低污染，确保生产过程的安全性等诸多因素。因此控制器的设计问题，变成了各种不同形式的控制目标和控制约束的问题。
目前的传统控制理论难以满足这一要求。因此，亟待发展一种有效的控制方法来满足实际的工业需要，模型预测控制正是在这种背景下应运而生。模型预测控制(MPC)具有模型精度要求低、鲁棒性强、抗干扰性强、在线计算方便、而且能够在优化控制理论的框架内很好的处理系统的约束的特点，在实践中得到广泛的应用。针对具有执行器部分失效和未知扰动的复杂工业过程，本申请提出了一种基于混杂模型的新型约束鲁棒模型预测控制综合优化设计方法。
发明内容
本发明的目的在于提供了一种混杂模型工业过程约束鲁棒预测控制综合优化设计方法，以处理具有执行器部分失效和未知扰动的复杂工业过程。
为实现上述目的，本发明提供如下技术方案：混杂模型工业过程约束鲁棒预测控制综合优化设计方法，包括步骤1：针对工业过程所给出的多个单输入单输出的输入输出模型，构建一个由状态变量、输出误差及与输出误差相关的新的状态变量构成的且其状态能够被各自调整的新型状态空间模型；
步骤2：设计新型控制器。
与现有技术相比，本发明的有益效果是：针对具有执行器部分失效和未知扰动的复杂工业过程，本申请提出了一种新型约束混杂鲁棒模型预测控制综合优化设计方法。构建了由状态变量、输出误差及与输出误差相关的新的状态变量构成新型状态空间模型。基于此模型所设计的控制律因其状态能够提供更多的自由度使得所考虑的系统即使在故障及干扰共同影响下，依然具有较好的控制性能。不管是针对单模型这种特例控制还是针对具有普遍意义的多模型的控制，本申请所提供的方法下，系统运行更加平稳，系统输出更加贴近于设定值。
附图说明
图1为本发明所应用的非线性连续搅拌釜反应器。
图2a为本发明不同方法下的输出跟踪比较图。
图2b为本发明不同方法下的反应物浓度比较图。
图2c为本发明不同方法下的输入比较图。
图2d为本发明不同方法下的误差比较图。
图3a为本发明不同方法下的输出跟踪比较图。
图3b为本发明不同方法下的反应物浓度比较图。
图3c为本发明不同方法下的输入比较图。
图3d为本发明不同方法下的误差比较图。
图4a为本发明不同方法下的输出跟踪比较图。
图4b为本发明不同方法下的反应物浓度比较图。
图4c为本发明不同方法下的输入比较图。
图4d为本发明不同方法下的误差比较图。
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
本发明提供一种技术方案：混杂模型工业过程约束鲁棒预测控制综合优化设计方法，包括
步骤1：针对工业过程所给出的多个单输入单输出的输入输出模型，构建一个由状态变量、输出误差及与输出误差相关的新的状态变量构成的且其状态能够被各自调整的新型状态空间模型；
步骤2：设计新型控制器。
步骤1的具体步骤为
1.1描述模型
对于复杂的工业过程，常常可表示成如下含不确定性不同模态单输入单输出离散传递函数：
Figure BDA0003001113540000031
其中y(k)和u(k)分别是k时刻的输出和控制输入；
Figure BDA0003001113540000032
和
Figure BDA0003001113540000033
为式中相应系数；引入差分运算符号Δ，则上述离散系统模型可用如下形式表述：
Figure BDA0003001113540000034
选取相关状态空间向量：
Figure BDA0003001113540000041
对上述(2)式多模态离散系统模型做进一步处理，可转化为：
Figure BDA0003001113540000042
Figure BDA0003001113540000043
和
Figure BDA0003001113540000044
表示实际上凸包的顶点，即为过程响应的极端情况；假设
Figure BDA0003001113540000045
其中
Figure BDA00030011135400000412
则存在L个非负系数
Figure BDA0003001113540000047
其中(l＝1，2，...，L)
Figure BDA0003001113540000048
对于这种多胞型的多模系统，模型预测控制最常用到就是直接设计状态控制器，即Δu(k)＝KiΔxi(k)；但是研究结果发现，单模型情况，一些改善的模型预测控制算法已使得系统跟踪控制呈现较好的控制效果；如基于输出的拓展状态控制模型，控制律设计如下
Figure BDA0003001113540000049
基于跟踪误差的拓展状态控制模型，本发明提出了这样的控制律
Figure BDA00030011135400000410
其中e(k)为下面式(6)，i＝1情况；
1.2构建新型拓展模型
基于(4)，引入系统跟踪误差ei(k)可表示为：
ei(k)＝yi(k)-ri(k) (6)
其中ri(k)为系统的设定值，因此ei(k+1)可表示为：
Figure BDA00030011135400000411
考虑到(4)，新的状态空间模型不同于上述单模型曾提到的状态空间模型，其设计不仅同时包含输出跟踪误差ei(k)和状态的变化Δxi(k)，为了使稳态跟踪误差更快的趋于稳定且收敛，使系统输出量尽快达到设定值ri(k)，这里引入如下扩展动态模型：
Figure BDA0003001113540000051
将扩展动态模型、状态变量和跟踪误差相结合，得到新的扩展状态变量如下：
Figure BDA0003001113540000052
在此基础上，构建新型的状态控制模型；上述的i代表的是不同模态，则第i模态新型扩展状态空间模型为：
Figure BDA0003001113540000053
其中
Figure BDA0003001113540000054
这里
Figure BDA0003001113540000055
和
Figure BDA0003001113540000056
中的0是一个具有适当维数的0矩阵；
Figure BDA0003001113540000057
表示实际上凸包的顶点，即为过程响应的极端情况；
Figure BDA0003001113540000058
可用如下多面体形式进行描述：假设
Figure BDA0003001113540000059
其中
Figure BDA00030011135400000510
则存在L的非负系数
Figure BDA00030011135400000511
其中(l＝1，2，...，L)；
Figure BDA00030011135400000512
将上述系统(10)的模态表示再现为切换系统
Figure BDA0003001113540000061
其中υ(k)：
Figure BDA0003001113540000062
表示依赖于系统当前状态或离散时间的切换信号，同时
Figure BDA0003001113540000063
表示复杂工业过程被分成q个模态，对应的每模态各批次切换规则下：
Figure BDA0003001113540000064
对于：
Gi(z(k))＜0，i＝{1，2，…，q} (14)
表示在i模态与系统状态相关的切换条件；
在系统状态已知的情况下，系统的切换时间变得尤为关键，当系统处于任意时刻任意批次的i模态时，一旦满足切换条件Gi(z(k))＜0，系统就会在上一时刻的i模态切换至下一时刻的i+1模态，因此可将切换时间定义为如下形式：
Ti＝min{k＞Ti-1|Mi(z(k))＜0}，T0＝0 (15)
其中Ti切换时间点，在系统整体的运行时间，对于每批次各模态的切换序列可表示为：
∑＝{(T1，ρ(T1))，(T2，ρ(T2))，...，(Ti，ρ(Ti))，...} (16)
定义τp为每个模态的平均驻留时间，则同一批次相邻两模态的时间间隔满足Ti-Ti-1≥τi；其中Ti表示同一批次上一时刻的切换时间点，Ti+1为同一批次下一时刻的切换时间点。
步骤2的具体步骤为
2.1基于所述的扩展模型(10)，根据相应模态选取相关性能指标：
Figure BDA0003001113540000065
满足如下约束条件：
Figure BDA0003001113540000071
在这里将(17)式中的性能指标划分为有限时间和无穷时间两部分，分别用如下两种形式表述：
Figure BDA0003001113540000072
使得式(17)对所有的i＝0，1，...，N-1；
Figure BDA0003001113540000073
使得式(17)对所有的i≥N；
很显然，关于控制律的设计这里又采用了切换策略；对于无限时域约束最小-最大优化问题，引入如下状态反馈控制律：
Δui(k+i)＝Fi(k)zi(k+i)，i≥N (21)
其中Fi(k)为控制器的增益；
2.2求取控制器的增益Fi(k)，这里利用了李雅普诺夫稳定性理论；首先定义李雅普诺夫函数：
Vi(i，k)＝zi(k+i)TPi(i，k)zi(k+i) (a)
其中
Figure BDA0003001113540000074
且需满足
对于每一个模型i，存在L正定对称矩阵
Figure BDA0003001113540000075
时，有
Figure BDA0003001113540000076
对于
Figure BDA0003001113540000077
假设Vi(i，k)满足以下鲁棒稳定性约束：
Figure BDA0003001113540000078
由于，
Vi(i+1，k)-Vi(i，k)≤Vi(i+1，k)-βiVi(i，k) (c)
对此不等式从i＝N，N+1，...∞求和，结合(20)及(22)得：
Figure BDA0003001113540000081
因此(20)式中的优化问题可转化为求取Vi(N，k)的最小值问题，最终性能指标可简化为如下形式：
Figure BDA0003001113540000082
根据扩展状态空间模型(12)，在第i模态，可得状态空间预测模型表达式：
Figure BDA0003001113540000083
上述(25)式可被简化为：
Figure BDA0003001113540000084
上式(24)中的性能指标可改写为如下形式：
Figure BDA0003001113540000085
其中
Figure BDA0003001113540000086
由(22)可得如下不等式：
Figure BDA0003001113540000087
令
Figure BDA0003001113540000088
Figure BDA0003001113540000091
则(27)式的性能指标可被写为：
Figure BDA0003001113540000092
其中(28)-(30)式均满足(18)式的约束条件；
应用Schur引理，将(28)-(30)式转化为线性矩阵不等式(LMIs)；
其中
Figure BDA0003001113540000093
因此(28)式转化为如下LMIs形式：
Figure BDA0003001113540000094
其中，t＝1，2，...，L；l＝1，2，...，L
与(9)式相同，
Figure BDA0003001113540000095
可用如下多面体形式进行描述：
Figure BDA0003001113540000096
Figure BDA0003001113540000097
Figure BDA0003001113540000098
则(29)式可描述为如下LMIs形式：
Figure BDA0003001113540000099
与(9)式相同，
Figure BDA00030011135400000910
可用如下多面体形式进行描述：
Figure BDA00030011135400000911
Figure BDA0003001113540000101
Figure BDA0003001113540000102
同理，(30)式可用如下LMIs描述：
Figure BDA0003001113540000103
因此(31)式代价函数可改写为：
Figure BDA0003001113540000104
对于(32)，(35)和(38)约束条件如下：
Figure BDA0003001113540000105
2.3对于如上约束本专利分两部分进行讨论，在区间[0，N-1]的控制输入量被
Figure BDA0003001113540000106
参数化，从而得到如下约束条件：
Figure BDA0003001113540000107
其中
Figure BDA0003001113540000108
和
Figure BDA0003001113540000109
是通过
Figure BDA00030011135400001010
和
Figure BDA00030011135400001011
所构造的向量；
在[N，∞]区间的控制输入量被(24)式的反馈控制律参数化，为了满足所述的(21)式中所有i≥N的约束条件，且保证系统的稳定性，存在L个对称矩阵
Figure BDA00030011135400001012
当
Figure BDA00030011135400001013
Figure BDA00030011135400001014
使得下列矩阵不等式成立
Figure BDA00030011135400001015
Figure BDA00030011135400001016
其中
Figure BDA0003001113540000111
因此整个优化问题可表示为如下形式：
Figure BDA0003001113540000112
受制于(32)(35)(38)(41)-(43)
系统状态从一个模型切换到相邻的另一个模型需满足如下条件：
Vi(z(k))≤θiVi-1(z(k)) (45)
对于系统(12)平均驻留时间满足下述不等式的切换信号，则其指数稳定；
Figure BDA0003001113540000113
如前文描述，τi为不同模态的平均驻留时间；对了
Figure BDA0003001113540000114
可得：
Figure BDA0003001113540000115
在切换条件满足下，根据条件(45)可得：
Figure BDA0003001113540000116
由(47)和(48)可知：
Figure BDA0003001113540000117
根据条件(47)，可得：
Figure BDA0003001113540000118
其中0＜βi＜1，lnβi＜1，因此
τilnβi+Inθi≤0 (51)
Figure BDA0003001113540000121
显然由(51)式可知：
Figure BDA0003001113540000122
取
Figure BDA0003001113540000123
可得：
Figure BDA0003001113540000124
因此若满足条件(45)和(46)则有离散系统(12)在切换信号υ(k)下指数稳定。
下面对本发明作进一步说明；
请参阅图1，考虑多模控制，以非线性连续搅拌釜反应过程控制(CSTR)为例，调节手段是控制反应温度。
其模型可表示如下
Figure BDA0003001113540000125
Figure BDA0003001113540000126
其中CA是可逆反应(A→B)中的浓度为A，T是反应器的温度，TC是作为受控变量的冷却剂温度。q＝100(L/min)，V＝100(L)，CAf＝1(mol/L)，Tf＝400(K)，ρ＝1000(g/L)，CP＝1(J/gK)，k0＝4.71×108(min-1)，E/R＝8000(K)，ΔH＝-2×105(J/mol)，UA＝1×105(J/minK)。操作约束为200≤TC≤450(K)，0.01≤CA≤1(mol/L)和250≤T≤500(K)。主要的控制目标是调节冷却剂TC的温度，以跟踪反应堆温度T的期望值。将上述工艺参数带入，并选取如下状态变量和操作变量：
Figure BDA0003001113540000127
u(t)＝Tc
可获得如下状态空间模型：
Figure BDA0003001113540000131
其中
Figure BDA0003001113540000132
在理想运行条件下，约束为TC＝302(K)时，反应器有三个平衡点。运行目标是将系统从不希望的平衡点
Figure BDA0003001113540000133
转移至期望平衡点0#(398.972，0.52)。为实现上述控制目标，选取平衡点1#(361.141，0.8986)，2#(370，0.8391)，3#(380，0.7469)进行分段控制设计，1#到3#从(361.141，0.8986)(1#)过渡到(398.972，0.52)(0#)。首先在上述三个选取的点利用一阶欧拉近似对连续时间系统进行离散化，采样时间取0.02(s)。
结果如下表
Figure BDA0003001113540000134
表1.针对CSTR获得的分段线性模型
控制目标是让反应堆温度遵循设定值曲线：
Figure BDA0003001113540000141
下面，我们将从不同的情况分析系统控制性能。
1).完全匹配情况(情况1)
请参阅图2a、b、c和d，在这种情况下，图2(a)是输出跟踪比较图，为显示其各自方法的控制效果，在三个切换点120(s)，300(s)和480(s)中前两个切换点处进行局部放大。放大后可发现，采用本申请提出的控制算法，输出虽会出现微小波动，但明显系统的输出更加贴近于设定值，控制精度更高。这种控制效果从跟踪误差图2(b)也能看出，本申请提出的方法下，误差除了在切换点处变化大外，其余时间变化很小，且即使在切换点处，我们的方法下，误差变化也是较小的。图2(c)是反应物的浓度比较，整个过程中明显是我们的方法需要的浓度变化比较平缓。图2(d)是系统输入曲线，在切换点处，明显的本专利所采用的方法控制输入信号变化较大，但很快趋于平稳。
2).不匹配情况-常值故障及随机干扰(情况2)
请参阅图3a、b、c和d，这里执行器故障取为α＝0.6干扰取幅值为0.03的随机干扰。总体来说，尽管在出现上述情况下，系统控制性能有所下降，但是都在其可控制的范围内，依然是本申请的控制效果好，控制精度高。
3).不匹配情况-时变故障及随机干扰(情况3)
请参阅图4a、b、c和d，对于时变故障，我们取为α＝0.5+0.2sin(t)及干扰不变。与图3相比，各类曲线明显波动较大，控制性能再次降低，但依然是我们提出的算法使得系统控制效果好，运行更加平稳。
综上所述，本专利所设计的控制方法可更好解决系统内部不确定性，从而使系统运行更加平稳，在引入扩展动态模型后，稳态跟踪误差可更快趋于稳定，并且系统输出量可更加贴近于设定值达到更高的控制精度。

Claims (3)

1.混杂模型工业过程约束鲁棒预测控制综合优化设计方法，其特征在于：包括
步骤1：针对工业过程所给出的多个单输入单输出的输入输出模型，构建一个由状态变量、输出误差及与输出误差相关的新的状态变量构成的且其状态能够被各自调整的新型状态空间模型；
步骤2：设计新型控制器。
2.根据权利要求1所述的混杂模型工业过程约束鲁棒预测控制综合优化设计方法，其特征在于：所述步骤1的具体步骤为
1.1描述模型
对于复杂的工业过程，常常可表示成如下含不确定性不同模态单输入单输出离散传递函数：
Figure FDA0003001113530000011
其中y(k)和u(k)分别是k时刻的输出和控制输入；
Figure FDA0003001113530000012
和
Figure FDA0003001113530000013
为式中相应系数；引入差分运算符号Δ，则上述离散系统模型可用如下形式表述：
Figure FDA0003001113530000014
选取相关状态空间向量：
Figure FDA0003001113530000015
对上述(2)式多模态离散系统模型做进一步处理，可转化为：
Figure FDA0003001113530000016
Figure FDA0003001113530000021
和
Figure FDA0003001113530000022
表示实际上凸包的顶点，即为过程响应的极端情况；假设
Figure FDA0003001113530000023
其中
Figure FDA0003001113530000024
则存在L个非负系数
Figure FDA0003001113530000025
其中(l＝1，2，...，L)
Figure FDA0003001113530000026
对于这种多胞型的多模系统，模型预测控制最常用到就是直接设计状态控制器，即Δu(k)＝KiΔxi(k)；但是研究结果发现，单模型情况，一些改善的模型预测控制算法已使得系统跟踪控制呈现较好的控制效果；如基于输出的拓展状态控制模型，控制律设计如下
Figure FDA0003001113530000027
基于跟踪误差的拓展状态控制模型，本发明提出了这样的控制律
Figure FDA0003001113530000028
其中e(k)为下面式(6)，i＝1情况；
1.2构建新型拓展模型
基于(4)，引入系统跟踪误差ei(k)可表示为：
ei(k)＝yi(k)-ri(k) (6)
其中ri(k)为系统的设定值，因此ei(k+1)可表示为：
Figure FDA0003001113530000029
考虑到(4)，新的状态空间模型不同于上述单模型曾提到的状态空间模型，其设计不仅同时包含输出跟踪误差ei(k)和状态的变化Δxi(k)，为了使稳态跟踪误差更快的趋于稳定且收敛，使系统输出量尽快达到设定值ri(k)，这里引入如下扩展动态模型：
Figure FDA00030011135300000210
将扩展动态模型、状态变量和跟踪误差相结合，得到新的扩展状态变量如下：
Figure FDA0003001113530000031
在此基础上，构建新型的状态控制模型；上述的i代表的是不同模态，则第i模态新型扩展状态空间模型为：
Figure FDA0003001113530000032
其中
Figure FDA0003001113530000033
这里
Figure FDA0003001113530000034
和
Figure FDA0003001113530000035
中的0是一个具有适当维数的0矩阵；
Figure FDA0003001113530000036
表示实际上凸包的顶点，即为过程响应的极端情况；
Figure FDA0003001113530000037
可用如下多面体形式进行描述：假设
Figure FDA0003001113530000038
其中
Figure FDA0003001113530000039
则存在L的非负系数
Figure FDA00030011135300000310
其中(l＝1，2，...，L)；
Figure FDA00030011135300000311
将上述系统(10)的模态表示再现为切换系统
Figure FDA00030011135300000312
其中
Figure FDA00030011135300000313
表示依赖于系统当前状态或离散时间的切换信号，同时
Figure FDA00030011135300000314
表示复杂工业过程被分成q个模态，对应的每模态各批次切换规则下：
Figure FDA0003001113530000041
对于：
Gi(z(k))＜0，i＝{1，2，…，q} (14)
表示在i模态与系统状态相关的切换条件；
在系统状态已知的情况下，系统的切换时间变得尤为关键，当系统处于任意时刻任意批次的i模态时，一旦满足切换条件Gi(z(k))＜0，系统就会在上一时刻的i模态切换至下一时刻的i+1模态，因此可将切换时间定义为如下形式：
Ti＝min{k＞Ti-1|Mi(z(k))＜0}，T0＝0 (15)
其中Ti切换时间点，在系统整体的运行时间，对于每批次各模态的切换序列可表示为：
∑＝{(T1，ρ(T1))，(T2，ρ(T2))，...，(Ti，ρ(Ti))，...} (16)
定义τp为每个模态的平均驻留时间，则同一批次相邻两模态的时间间隔满足Ti-Ti-1≥τi；其中Ti表示同一批次上一时刻的切换时间点，Ti+1为同一批次下一时刻的切换时间点。
3.根据权利要求2所述的混杂模型工业过程约束鲁棒预测控制综合优化设计方法，其特征在于：所述步骤2的具体步骤为
2.1基于所述的扩展模型(10)，根据相应模态选取相关性能指标：
Figure FDA0003001113530000042
满足如下约束条件：
Figure FDA0003001113530000043
在这里将(17)式中的性能指标划分为有限时间和无穷时间两部分，分别用如下两种形式表述：
Figure FDA0003001113530000051
使得式(17)对所有的i＝0，1，...，N-1；
Figure FDA0003001113530000052
使得式(17)对所有的i≥N；
很显然，关于控制律的设计这里又采用了切换策略；对于无限时域约束最小-最大优化问题，引入如下状态反馈控制律：
Δui(k+i)＝Fi(k)zi(k+i)，i≥N (21)
其中Fi(k)为控制器的增益；
2.2求取控制器的增益Fi(k)，这里利用了李雅普诺夫稳定性理论；首先定义李雅普诺夫函数：
Vi(i，k)＝zi(k+i)TPi(i，k)zi(k+i) (a)
其中Pi(i，k)＞0，
Figure FDA0003001113530000053
且需满足
对于每一个模型i，存在L正定对称矩阵Pl i＝(1，2，...，L)时，有
Figure FDA0003001113530000054
对于
Figure FDA0003001113530000055
andβi＜1，假设Vi(i，k)满足以下鲁棒稳定性约束：
Figure FDA0003001113530000056
由于，
Vi(i+1，k)-Vi(i，k)≤Vi(i+1，k)-βiVi(i，k) (c)
对此不等式从i＝N，N+1，...∞求和，结合(20)及(22)得：
Figure FDA0003001113530000057
因此(20)式中的优化问题可转化为求取Vi(N，k)的最小值问题，最终性能指标可简化为如下形式：
Figure FDA0003001113530000061
根据扩展状态空间模型(12)，在第i模态，可得状态空间预测模型表达式：
Figure FDA0003001113530000062
上述(25)式可被简化为：
Figure FDA0003001113530000063
上式(24)中的性能指标可改写为如下形式：
Figure FDA0003001113530000064
其中
Figure FDA0003001113530000065
由(22)可得如下不等式：
Figure FDA0003001113530000066
令
Figure FDA0003001113530000067
Figure FDA0003001113530000068
则(27)式的性能指标可被写为：
Figure FDA0003001113530000069
其中(28)-(30)式均满足(18)式的约束条件；
应用Schur引理，将(28)-(30)式转化为线性矩阵不等式(LMIs)；
其中
Figure FDA00030011135300000711
因此(28)式转化为如下LMIs形式：
Figure FDA0003001113530000072
其中，t＝1，2，...，L；l＝1，2，...，L
与(9)式相同，
Figure FDA0003001113530000073
可用如下多面体形式进行描述：
Figure FDA0003001113530000074
Figure FDA0003001113530000075
则(29)式可描述为如下LMIs形式：
Figure FDA0003001113530000076
与(9)式相同，
Figure FDA0003001113530000077
可用如下多面体形式进行描述：
Figure FDA0003001113530000078
Figure FDA0003001113530000079
同理，(30)式可用如下LMIs描述：
Figure FDA00030011135300000710
因此(31)式代价函数可改写为：
Figure FDA0003001113530000081
对于(32)，(35)和(38)约束条件如下：
Figure FDA0003001113530000082
2.3对于如上约束本专利分两部分进行讨论，在区间[0，N-1]的控制输入量被
Figure FDA00030011135300000814
参数化，从而得到如下约束条件：
Figure FDA0003001113530000083
其中
Figure FDA0003001113530000084
和
Figure FDA0003001113530000085
是通过
Figure FDA0003001113530000086
和
Figure FDA0003001113530000087
所构造的向量；
在[N，∞]区间的控制输入量被(24)式的反馈控制律参数化，为了满足所述的(21)式中所有i≥N的约束条件，且保证系统的稳定性，存在L个对称矩阵
Figure FDA0003001113530000088
当
Figure FDA0003001113530000089
使得下列矩阵不等式成立
Figure FDA00030011135300000810
Figure FDA00030011135300000811
其中
Figure FDA00030011135300000812
因此整个优化问题可表示为如下形式：
Figure FDA00030011135300000813
受制于(32) (35) (38) (41)-(43)
系统状态从一个模型切换到相邻的另一个模型需满足如下条件：
Vi(z(k))≤θiVi-1(z(k)) (45)
对于系统(12)平均驻留时间满足下述不等式的切换信号，则其指数稳定；
Figure FDA0003001113530000091
如前文描述，τi为不同模态的平均驻留时间；对于
Figure FDA0003001113530000092
可得：
Figure FDA0003001113530000093
在切换条件满足下，根据条件(45)可得：
Figure FDA0003001113530000094
由(47)和(48)可知：
Figure FDA0003001113530000095
根据条件(47)，可得：
Figure FDA0003001113530000096
其中0＜βi＜1，lnβi＜1，因此
τilnβi+lnθi≤0 (51)
Figure FDA0003001113530000097
显然由(51)式可知：
Figure FDA0003001113530000098
取
Figure FDA0003001113530000099
可得：
Figure FDA00030011135300000910
因此若满足条件(45)和(46)则有离散系统(12)在切换信号υ(k)下指数稳定。
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