CN113023448B - 一种基于改进等效滑模控制的放卷张力波动抑制方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种基于改进等效滑模控制的放卷张力波动抑制方法，首先基于放卷系统的动力学分析和时变卷径模型，建立放卷张力和速度模型；然后用饱和函数替换滑模控制趋近律中的符号函数，以此为基础分别对指数趋近律和幂次趋近律进行改进，得到改进滑模趋近律。进一步基于放卷张力误差系统和积分型滑模面，求解使系统稳定趋于状态原点时的滑模控制律；最后将求得的改进滑模趋近律和滑模控制律进行组合，得到改进等效滑模控制律。本发明实现了有效削弱抖振、快速抑制时变卷径和速度扰动等导致的放卷张力波动。

Description

一种基于改进等效滑模控制的放卷张力波动抑制方法

技术领域

本发明属于自动控制技术领域，具体涉及一种基于改进等效滑模控制的放卷张力波动抑制方法。

背景技术

柔性基板的张力控制是卷到卷制造中的核心问题，张力控制的精度和稳定性对产品质量影响较大。放卷系统是卷到卷制造设备的最前端部分，料卷卷径的不断变化、系统频繁启停或加减速带来的速度扰动，使放卷系统具有较强的时变和非线性特征，容易导致放卷张力波动，直接影响后续工位的加工质量。常规PID控制器的参数固定，难以解决时变卷径和干扰问题。迭代学习和神经网络等控制方法对于时变卷径的适应性好，但算法学习时间长，难以满足卷到卷制造的实时性要求。滑模控制的响应速度快，对外界干扰和参数摄动的鲁棒性强，但存在输入抖振问题，难以较好地抑制张力波动。对滑模控制律进行改进，能实现消除抖振，提高系统对时变卷径、速度扰动等导致的放卷张力波动的抑制能力。

发明内容:

本发明要解决的技术问题是：提供一种基于改进等效滑模控制的放卷张力波动抑制方法，用于解决放卷系统的时变卷径、速度扰动和其它干扰导致的放卷张力波动。

本发明为解决上述技术问题所采取的技术方案为：一种基于改进等效滑模控制的放卷张力波动抑制方法，包括以下步骤：

S1：通过对放卷系统做动力学分析，基于质量守恒定律和胡克定律求得放卷张力模型，分析放卷辊的时变卷径模型，基于力矩平衡原理求得放卷辊速度模型和对辊速度模型；

S2：用饱和函数替换滑模趋近律中的符号函数，并分别对指数趋近律和幂次趋近律进行改进，将改进后的指数趋近律和幂次趋近律进行组合得到改进滑模趋近律，用于使系统快速趋近滑模面且有效削弱抖振；

S3：基于放卷张力误差系统设计积分型滑模面，求解使系统沿积分型滑模面稳定趋于状态原点的滑模控制律；

S4：将步骤S2得到的改进滑模趋近律作为切换控制项，将步骤S3得到的滑模控制律作为等效控制项，组合切换控制项和等效控制项得到改进等效滑模控制律，用于有效抑制放卷系统的张力波动。

按上述方案，所述步骤S1中，具体步骤为：

S11：设放卷系统的基板为理想弹性体，基板横截面积为A，杨氏模量为E，基板纵向形变时A不变；基板与辊轴之间无滑动，基板速度与辊轴速度相同；基板在相邻驱动辊轴间的距离为L₀，前驱动辊、后驱动辊的转速分别为v₁、v₂，前驱动辊之前的基板横截面积、密度、纵向应变和张力分别为A₁、ρ₁、ε₁和T₁，前驱动辊和后驱动辊之间的基板横截面积、密度、纵向应变和张力分别为A₂、ρ₂、ε₂和T₂，由质量守恒定律得：

设基板未拉伸时的密度为ρ₀，当基板应变极小时：

ρ₁≈(1-ε₁)·ρ₀，ρ₂≈(1-ε₂)·ρ₀，

代入上式得：

由胡克定律有：

T₁＝AEε₁，T₂＝AEε₂，

代入上式得：

设放卷辊、对辊的速度分别为v_u、v_r，放卷辊和对辊之间的基板张力为放卷张力T，放卷辊的料卷内层基板摩擦引起的张力为T₀，T₀远小于T，取T₀＝0；放卷辊与对辊之间的基板跨距为L，代入上式得到放卷张力T的模型为：

S12：设对辊的黏滞摩擦系数、转动惯量、角速度、半径、控制转矩分别为B_fr、J_r、ω_r、R_r和M_r，放卷辊的黏滞摩擦系数、转动惯量、角速度、半径、控制转矩分别为B_fu、J_u、ω_u、R_u和M_u；由力矩平衡方程求得对辊速度v_r的模型：

设基板厚度为h，放卷辊每旋转一圈卷径变化为h，通过单位时间内卷径变化与旋转圈数的关系求得放卷辊卷径R_u的模型：

由力矩平衡方程和放卷辊的卷径模型求得放卷辊速度v_u的模型为：

进一步的，所述的步骤S2中，具体步骤为：

设s为滑模面，令ε＞0，k＞0，将指数趋近律表示为：

令k＞0，1＞a＞0，将幂次趋近律表示为：

令μ＞0，则饱和函数表示为：

以饱和函数sat(s)分别取代指数趋近律和幂次趋近律中的符号函数sgn(s)使系统输出平滑有界，并对指数趋近律和幂次趋近律进行改进；

在指数趋近律中加入|s|项，令ε₁＞0，将指数趋近律改进为：

在幂次趋近律中修改系数项，令ε₂＞0，0＜b＜1，将幂次趋近律改进为：

将上述两项相加得到改进的滑模趋近律：

在改进滑模趋近律的控制下，系统状态离滑模面较远时，|s|＞1，改进指数趋近律起主要作用，系统趋近滑模面的速度较快；当系统状态接近滑模面时，|s|＜1，改进幂次趋近律起主要作用，系统趋近滑模面的速度变缓，有效地削弱了抖振。

进一步的，所述步骤S3中，具体步骤为：

设放卷张力为T，放卷张力的目标值为T_ref，放卷张力误差为e，放卷张力误差的变化率为

则将滑模控制下的放卷张力误差系统表示为：

e(t)＝T-T_ref，

为了保证系统的动态特性和稳定性，使系统状态一旦进入滑模面便沿滑模面稳定地趋向状态原点，令c₁＞0，c₂＞0，设计如下积分型滑模面：

根据步骤S1中求得的放卷张力模型得到：

对上式再次求导，联合对辊速度方程和放卷辊速度方程求得：

根据滑模控制理论，令积分型滑模面

则有：

求解上式得到滑模控制律u₀为：

进一步的，所述步骤S4中，具体步骤为：

S41：将步骤S2中求得的改进滑模趋近律作为切换控制项u_sw，

u_sw＝-ε₁|s|^asat(s)-ks-2^-bε₂|s|^2b-1sat(s)，

将步骤S3中求得的滑模控制律作为等效控制项u_eq，

将切换控制项u_sw与等效控制项u_eq相加，得到改进等效滑模控制律u为：

u＝u_eq+u_sw，

系统状态远离滑模面时切换控制项起作用，到达滑模面时等效控制项起作用，等效控制用于将系统状态保持在滑模面上有效抑制时变卷径和各种干扰导致的张力波动；

S42：构造正定函数V＝s²/2作为Lyapunov函数，对正定函数V进行求导得：

将

代入上式得：

由上式得到，

当且仅当s＝0时，

根据Lyapunov稳定性判定规则，系统轨迹渐近收敛到滑模面s＝0，此时放卷张力误差系统的轨迹被驱动到所设计的滑模面并停留在该位置，进一步实现放卷张力误差系统渐近稳定。

一种计算机存储介质，其内存储有可被计算机处理器执行的计算机程序，该计算机程序执行一种基于改进等效滑模控制的放卷张力波动抑制方法。

本发明的有益效果为：

1.本发明的基于改进等效滑模控制的放卷张力波动抑制方法，通过放卷系统的动力学分析，建立了放卷张力和速度模型，对指数趋近律和幂次趋近律做切换函数和参数改进，设计了改进滑模趋近律，基于放卷张力误差系统和积分型滑模面求解使系统稳定趋于状态原点的滑模控制律。将求得的改进滑模趋近律和滑模控制律进行组合，得到改进等效滑模控制律，能有效削弱抖振、抑制放卷系统的时变卷径、速度扰动和其它干扰导致的张力波动。

2.本发明通过对放卷系统的动力学分析，结合放卷辊的时变卷径模型，求得放卷张力和速度模型，模型精确高。

3.本发明的改进滑模趋近律兼顾快速和平滑，使系统快速趋近滑模面，且能有效削弱抖振。

4.本发明的改进等效滑膜控制律以改进滑模趋近律作为切换控制项，以满足稳定的滑模控制律作为等效控制项，放卷张力响应快，对时变卷径、速度扰动等导致的张力波动抑制能力强、鲁棒性好。

附图说明

图1是本发明实施例的流程图。

图2是本发明实施例的相邻驱动辊轴之间的单段基板示意图。

图3是本发明实施例的放卷系统示意图。

图4是本发明实施例的改进等效滑模控制系统原理框图。

图5是本发明实施例的阶跃输入下控制转矩的曲线图。

图6是本发明实施例的正弦输入下控制转矩的曲线图。

图7是本发明实施例的不同卷径下的放卷张力响应曲线图。

图8是本发明实施例的速度扰动下的放卷张力响应曲线图。

图9是本发明实施例的张力扰动下的放卷辊速度响应曲线图。

图10是本发明实施例的正弦干扰下的放卷张力响应曲线图。

具体实施方式：

下文结合附图和具体实施方式对本发明作进一步详细的说明。

本发明实施例以卷到卷制造中的放卷系统进行示例说明。如图3所示，放卷辊和对辊均为驱动辊，放卷辊和驱动辊之间的基板张力T即被视为放卷张力。放卷辊的料卷半径R_u在放卷过程中持续变小。此处所描述的具体实施例仅用以解释本发明，并不用于限定本发明的范围。

本发明实施例的一种基于改进等效滑模控制的放卷张力波动抑制方法的流程参见图1。

第一步：以图2所示的两个相邻驱动辊之间的单段基板进行数学建模，建立单段基板的张力模型。设放卷系统的基板为理想弹性体，基板横截面积为A，杨氏模量为E。通过对两个相邻驱动辊之间的单段基板在传输过程中产生的张力进行分析，基于质量守恒定律，可知基板流入驱动辊轴1的质量等于流出驱动辊轴2的质量加上基板经拉伸后在跨距长度L₀内的质量变化：

其中，L₀为基板在相邻驱动辊轴间的跨距，v₁，v₂分别为前驱动辊轴1和后驱动辊轴2的转速，无滑动情况下基板速度等于辊轴转速，A₁，A₂，ρ₁，ρ₂，ε₁，ε₂和T₁，T₂分别为基板进入前驱动辊轴1之前和之后的横截面积、密度、纵向应变和张力。

由假设可知基板在纵向应变时其横截面积A不变，则有A₁＝A₂＝A。基板在纵向拉伸后，其质量不变，则有ρAl＝ρ₀Al₀，其中ρ，ρ₀为拉伸前后的基板密度。将其表示成应变ε的形式为ρ＝ρ₀/(1+ε)。

当基板纵向应变极小时，ρ＝ρ₀/(1+ε)≈(1-ε)·ρ₀，则ρ₁≈(1-ε₁)·ρ₀，ρ₂≈(1-ε₂)·ρ₀，代入质量守恒方程，则有：

由胡克定律，有T₁＝AEε₁，T₂＝AEε₂，代入上式，得单段基板的张力模型：

将其应用到图3所示的放卷系统中，求得放卷张力T的模型为：

其中，v_u、v_r分别为放卷辊、对辊的速度；T为放卷辊和对辊之间的基板张力，即放卷张力；T₀为放卷辊的料卷内层基板摩擦引起的张力，T₀远小于T，取T₀＝0；L为放卷辊与对辊之间的基板跨距。

第二步：对图3所示的放卷辊和对辊进行动力学分析，根据力矩平衡方程得到对辊速度v_r的模型：

其中，J_r为对辊的转动惯量，ω_r为对辊的角速度，R_r为对辊的半径，B_fr为对辊轴的轴承粘滞摩擦系数，M_r为对辊电机的转矩，T_d为对辊后基板张力。

对于放卷辊，料卷的卷径和转动惯量都随时间变化，放卷张力T对放卷辊产生正向力矩，放卷电机提供反向力矩，放卷辊的力矩平衡方程表示为：

式中，J_u为放卷辊的转动惯量，ω_u为放卷辊的角速度，R_u为放卷辊的半径，B_fu为放卷轴的轴承粘滞摩擦系数，M_u为放卷辊电机的转矩；J_u和R_u均为变量。

每旋转一圈，放卷辊的卷径变化为单层基板厚度h；若在Δt时间内卷径的变化为ΔR_u，则放卷辊的旋转圈数为：

令时间Δt趋于零，求得放卷辊卷径R_u的模型：

放卷辊的转动惯量J_u包括放卷辊电机和轴芯的转动惯量J_mu两部分，放卷辊料卷的转动惯量J_eu，即J_u＝J_mu+J_eu。其中J_mu为常量，J_eu为变量，J_eu表示为：

式中，W为基板宽度；R_c为放卷辊的轴芯半径。

对放卷辊的转动惯量J_u求导，得：

将上式与放卷辊力矩平衡方程、放卷辊卷径R_u的模型联立求解，得到放卷辊速度v_u的模型为：

第三步：令s为滑模面，ε＞0，k＞0；将滑模控制中的指数趋近律表示为：

令k＞0，1＞a＞0，将幂次趋近律表示为：

指数趋近律和幂次趋近律中的符号函数sgn(s)是导致控制输入产生抖振的主要原因，为抑制趋近过程的抖振问题，以饱和函数sat(s)替代符号函数sgn(s)，使系统输出平滑有界。

令μ＞0，将饱和函数sat(s)表示为：

指数趋近律趋近速度快，能在有限时间内快速收敛，但系统趋近滑模面时在原点两侧往复运动，产生较大抖振。幂次趋近律下系统趋近滑模面时的速度放缓，有利于削弱抖振，但系统趋近滑模面的运动时间过长。在以饱和函数替换符号函数的基础上，分别对指数趋近律和幂次趋近律进行改进。

在指数趋近律中加入|s|项，ε₁＞0，k＞0，0＜a＜1，将指数趋近律改进为：

ε₂＞0，0＜b＜1，在幂次趋近律中修改系数项，将幂次趋近律改进为：

将上述两项相加，得到改进的滑模趋近律：

改进滑模趋近律包含改进后的指数趋近律和幂次趋近律两部分，其中指数趋近律增加了|s|项。系统状态离滑模面较远时(|s|＞1)，改进指数趋近律起主要作用，此时系统运动速度快、误差较大，但能较快地趋近滑模面；随着系统误差逐渐变小，|s|也随之减小，系统逐渐趋于平稳；当系统状态接近滑模面时(|s|＜1)，幂次趋近律起主要作用，有效地削弱了抖振，保证了系统的运动品质。

第四步：令放卷张力的目标值为T_ref，则滑模控制下的放卷张力误差系统可表示为：

e(t)＝T-T_ref，

其中，e为放卷张力误差，

为放卷张力误差的变化率。

为了保证系统要求的动态特性和稳定性，使系统状态一旦进入滑模面便能沿其稳定地趋向状态原点，设计如下积分型滑模面：

其中，c₁＞0，c₂＞0。

根据第一步中求得的放卷张力T的模型，可知：

对上式再次求导，联合对辊速度方程、放卷辊速度方程，求得：

根据滑模控制理论，令积分型滑模面

有：

求解上式得到滑模控制律u₀为：

第五步：根据第三步中求得的改进滑模趋近律和第四步中求得的滑模控制律进行组合设计，求得改进等效滑模控制律，并进行稳定性分析。

为了使系统满足滑模可达条件，将第三步中求得的改进滑模趋近律作为切换控制项u_sw：

u_sw＝-ε₁|s|^asat(s)-ks-2^-bε₂|s|^2b-1sat(s)，

通过调节参数ε₁、a、k、ε₂和b的值，改变控制输入，保证系统较快的收敛速度，同时有效削弱抖振。

将第四步中求得的滑模控制律作为等效控制项u_eq：

将切换控制项u_sw与等效控制项u_eq相加，得到改进等效滑模控制律u为：

u＝u_eq+u_sw

系统状态远离滑模面时切换控制项起作用，到达滑模面时等效控制项起作用，等效控制将系统状态保持在滑模面上，能有效抑制时变卷径和各种干扰导致的张力波动。

第六步：对本发明所设计的改进等效滑模控制律进行稳定性分析。

构造正定函数V＝s²/2作为Lyapunov函数，对正定函数V进行求导，得：

将

代入上式，得：

由上式可知，

当且仅当s＝0时，

根据Lyapunov稳定性判定规则，当ε₁,ε₂,k,a,b＞0成立时，系统的轨迹可以渐近收敛到滑模面s＝0，这意味着放卷张力误差系统的轨迹被驱动到所设计的滑模面s＝0并停留在该位置，进一步可以实现放卷张力误差系统渐近稳定。

图4是本发明实施例的改进等效滑模控制原理框图，图5、图6分别是阶跃输入和正弦输入下控制转矩的曲线图，与PID控制和滑模控制相比，改进等效滑模控制方法有效削弱了控制转矩的抖振。

图7是不同卷径下的放卷张力响应曲线，改进滑模控制能明显降低时变卷径对放卷张力动态性能的影响。

图8是速度扰动下的放卷张力响应曲线，图9是张力扰动下的放卷辊速度响应曲线。可知放卷张力和速度相互耦合，改进等效滑模控制能够有效减小速度扰动产生的张力波动，显著提升放卷系统抑制张力波动的能力。

图10是正弦干扰下的放卷张力响应曲线，改进等效滑模控制在抑制正弦干扰产生的张力波动时性能更佳，鲁棒性强。

以上实施例仅用于说明本发明的设计思想和特点，其目的在于使本领域内的技术人员能够了解本发明的内容并据以实施，本发明的保护范围不限于上述实施例。所以，凡依据本发明所揭示的原理、设计思路所作的等同变化或修饰，均在本发明的保护范围之内。

Claims (6)

1.一种基于改进等效滑模控制的放卷张力波动抑制方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1：通过对放卷系统做动力学分析，基于质量守恒定律和胡克定律求得放卷张力模型，分析放卷辊的时变卷径模型，基于力矩平衡原理求得放卷辊速度模型和对辊速度模型；

S2：用饱和函数替换滑模趋近律中的符号函数，并分别对指数趋近律和幂次趋近律进行改进，将改进后的指数趋近律和幂次趋近律进行组合得到改进滑模趋近律，用于使系统快速趋近滑模面且有效削弱抖振；

S3：基于放卷张力误差系统设计积分型滑模面，求解使系统沿积分型滑模面稳定趋于状态原点的滑模控制律；

S4：将步骤S2得到的改进滑模趋近律作为切换控制项，将步骤S3得到的滑模控制律作为等效控制项，组合切换控制项和等效控制项得到改进等效滑模控制律，用于有效抑制放卷系统的张力波动。

2.根据权利要求1所述的一种基于改进等效滑模控制的放卷张力波动抑制方法，其特征在于：所述步骤S1中，具体步骤为：

S11：设放卷系统的基板为理想弹性体，基板横截面积为A，杨氏模量为E，基板纵向形变时A不变；基板与辊轴之间无滑动，基板速度与辊轴速度相同；基板在相邻驱动辊轴间的距离为L₀，前驱动辊、后驱动辊的转速分别为v₁、v₂，前驱动辊之前的基板横截面积、密度、纵向应变和张力分别为A₁、ρ₁、ε₁和T₁，前驱动辊和后驱动辊之间的基板横截面积、密度、纵向应变和张力分别为A₂、ρ₂、ε₂和T₂，由质量守恒定律得：

设基板未拉伸时的密度为ρ₀，当基板应变极小时：

ρ₁≈(1-ε₁)·ρ₀，ρ₂≈(1-ε₂)·ρ₀，

代入上式得：

由胡克定律有：

T₁＝AEε₁，T₂＝AEε₂，

代入上式得：

设放卷辊、对辊的速度分别为v_u、v_r，放卷辊和对辊之间的基板张力为放卷张力T，放卷辊的料卷内层基板摩擦引起的张力为T₀，T₀远小于T，取T₀＝0；放卷辊与对辊之间的基板跨距为L，代入上式得到放卷张力T的模型为：

S12：设对辊的黏滞摩擦系数、转动惯量、角速度、半径、控制转矩分别为B_fr、J_r、ω_r、R_r和M_r，放卷辊的黏滞摩擦系数、转动惯量、角速度、半径、控制转矩分别为B_fu、J_u、ω_u、R_u和M_u；由力矩平衡方程求得对辊速度v_r的模型：

设基板厚度为h，放卷辊每旋转一圈卷径变化为h，通过单位时间内卷径变化与旋转圈数的关系求得放卷辊卷径R_u的模型：

由力矩平衡方程和放卷辊的卷径模型求得放卷辊速度v_u的模型为：

3.根据权利要求1所述的一种基于改进等效滑模控制的放卷张力波动抑制方法，其特征在于：所述的步骤S2中，具体步骤为：

设s为滑模面，令ε＞0，k＞0，将指数趋近律表示为：

令k＞0，1＞a＞0，将幂次趋近律表示为：

令μ＞0，则饱和函数表示为：

以饱和函数sat(s)分别取代指数趋近律和幂次趋近律中的符号函数sgn(s)使系统输出平滑有界，并对指数趋近律和幂次趋近律进行改进；

在指数趋近律中加入|s|项，令ε₁＞0，将指数趋近律改进为：

在幂次趋近律中修改系数项，令ε₂＞0，0＜b＜1，将幂次趋近律改进为：

将上述两项相加得到改进的滑模趋近律：

在改进滑模趋近律的控制下，系统状态离滑模面较远时，|s|＞1，改进指数趋近律起主要作用，系统趋近滑模面的速度较快；当系统状态接近滑模面时，|s|＜1，改进幂次趋近律起主要作用，系统趋近滑模面的速度变缓，有效地削弱了抖振。

4.根据权利要求2或3所述的一种基于改进等效滑模控制的放卷张力波动抑制方法，其特征在于：所述步骤S3中，具体步骤为：

设放卷张力为T，放卷张力的目标值为T_ref，放卷张力误差为e，放卷张力误差的变化率为

则将滑模控制下的放卷张力误差系统表示为：

e(t)＝T-T_ref，

为了保证系统的动态特性和稳定性，使系统状态一旦进入滑模面便沿滑模面稳定地趋向状态原点，令c₁＞0，c₂＞0，设计如下积分型滑模面：

根据步骤S1中求得的放卷张力模型得到：

对上式再次求导，联合对辊速度方程和放卷辊速度方程求得：

根据滑模控制理论，令积分型滑模面

则有：

求解上式得到滑模控制律u₀为：

5.根据权利要求4所述的一种基于改进等效滑模控制的放卷张力波动抑制方法，其特征在于：所述步骤S4中，具体步骤为：

S41：将步骤S2中求得的改进滑模趋近律作为切换控制项u_sw，

u_sw＝-ε₁|s|^asat(s)-ks-2^-bε₂|s|^2b-1sat(s)，

将步骤S3中求得的滑模控制律作为等效控制项u_eq，

将切换控制项u_sw与等效控制项u_eq相加，得到改进等效滑模控制律u为：

u＝u_eq+u_sw，

系统状态远离滑模面时切换控制项起作用，到达滑模面时等效控制项起作用，等效控制用于将系统状态保持在滑模面上有效抑制时变卷径和各种干扰导致的张力波动；

S42：构造正定函数V＝s²/2作为Lyapunov函数，对正定函数V进行求导得：

将

代入上式得：

由上式得到，

当且仅当s＝0时，

根据Lyapunov稳定性判定规则，系统轨迹渐近收敛到滑模面s＝0，此时放卷张力误差系统的轨迹被驱动到所设计的滑模面并停留在该位置，进一步实现放卷张力误差系统渐近稳定。

6.一种计算机存储介质，其特征在于：其内存储有可被计算机处理器执行的计算机程序，该计算机程序执行如权利要求1至权利要求5中任意一项所述的一种基于改进等效滑模控制的放卷张力波动抑制方法。

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