CN112989979A - 一种基于功率谱传播的桥梁随机激励识别方法 - Google Patents

一种基于功率谱传播的桥梁随机激励识别方法 Download PDF

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CN112989979A CN202110240717.3A CN202110240717A CN112989979A CN 112989979 A CN112989979 A CN 112989979A CN 202110240717 A CN202110240717 A CN 202110240717A CN 112989979 A CN112989979 A CN 112989979A
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Abstract

本发明公开了一种基于功率谱传播的桥梁随机激励识别方法，包括如下步骤：一种基于功率谱传播的桥梁随机激励识别方法，包括：获取运营环境下的桥梁位移响应功率谱Syy；从桥梁位移响应功率谱Syy中提取两个主子矩阵分别作为已知响应功率谱
Figure DDA0002962125420000011
及未知响应功率谱
Figure DDA0002962125420000012
并通过最小化预测误差来定位随机激励位置；利用随机激励位置重构虚拟激励；利用虚拟激励计算随机激励功率谱Sff。本发明采用了一种新的随机激励的定位方法，无需假设随机激励的作用位置，直接通过位移响应功率谱定位随机激励，更符合工程实际，有效的解决了激励位置未知的情形，为后续桥梁随机激励重构提供了基础。

Description

一种基于功率谱传播的桥梁随机激励识别方法
技术领域
本发明涉及桥梁领域，具体涉及一种基于功率谱传播的桥梁随机激励识别方法。
背景技术
随机激励是作用于桥梁结构上最常见的荷载形式，比如主梁受到的汽车荷载、拉吊索受到的风雨激振等。由于在桥梁结构优化设计、可靠性评估时需要获取随机激励的作用位置及幅值信息，因此识别作用于桥梁上的随机荷载具有重要的科学研究意义与工程应用价值。
现有桥梁随机激励识别方法大致可以分为两类，即时域方法和频域方法。具体来讲，时域方法在时域内通过杜哈梅积分或卡尔曼滤波等手段进行随机激励识别。然而，时域方法往往需要采集与处理大量的时程数据，进而导致识别效率低下。相反，频域方法通过频响函数将时域内复杂的卷积积分转换成较为简洁的乘积关系，使得识别过程更加高效、可靠。因而在频域内进行桥梁随机激励识别极具应用前景。
但是目前频域内桥梁随机激励识别方法大多需要激励位置的先验信息。这意味着传递函数需要是可得到的，即必须事先明确激励位置。然而，在实际工程中，对于车辆荷载、风荷载、等随机激励，提前获取这些荷载的激励位置是非常困难的，这将导致随机激励识别无法进行。然而，定位桥梁随机激励位置在监测结构的潜在损伤的过程中又是非常必要的。
综上所述，如何准确定位随机激励的作用位置成为了本领域技术人员急需解决的问题。
发明内容
针对上述现有技术的不足，本发明实际解决的问题是：如何准确定位随机激励的作用位置。
为了解决上述技术问题，本发明采用了如下的技术方案：
一种基于功率谱传播的桥梁随机激励识别方法，包括：
S1、获取运营环境下的桥梁位移响应功率谱Syy；
S2、从桥梁位移响应功率谱Syy中提取两个主子矩阵分别作为已知响应功率谱
Figure BDA0002962125400000012
及未知响应功率谱
Figure BDA0002962125400000011
并通过最小化预测误差来定位随机激励位置；
S3、利用随机激励位置重构虚拟激励；
S4、利用虚拟激励计算随机激励功率谱Sff。
优选地，步骤S2包括：
S201、从桥梁位移响应功率谱Syy中提取出两个阶数为h、m的主子矩阵，分别记作已知响应功率谱
Figure BDA0002962125400000021
及未知响应功率谱
Figure BDA0002962125400000022
所述h、m满足如下关系：
h＝M；m＝[h/2]
式中，M代表位移响应功率谱Syy的阶数，h代表已知响应功率谱
Figure BDA0002962125400000023
的阶数，m代表未知响应功率谱
Figure BDA0002962125400000024
的阶数；
S202、枚举所有可能的随机激励位置组合，并计算每一随机激励位置组合对应的可传递性矩阵；
S203、按下式在每一随机激励位置组合下由已知响应功率谱
Figure BDA0002962125400000025
计算未知响应功率谱
Figure BDA0002962125400000026
的预测值
Figure BDA0002962125400000027
Figure BDA0002962125400000028
式中，
Figure BDA0002962125400000029
表示第i个随机激励位置组合
Figure BDA00029621254000000210
对应的可传递性矩阵，
Figure BDA00029621254000000211
+表示矩阵的广义逆，
Figure BDA00029621254000000212
和
Figure BDA00029621254000000213
分别表示
Figure BDA00029621254000000214
到响应
Figure BDA00029621254000000215
和
Figure BDA00029621254000000216
的传递函数矩阵；
Figure BDA00029621254000000217
表示可传递性矩阵
Figure BDA00029621254000000218
的共轭转置；
S204、重复步骤S201～S203，按下式计算所有谱线下响应
Figure BDA00029621254000000219
的实际值与预测值的累积误差：
Figure BDA00029621254000000220
式中，ξi表示
Figure BDA00029621254000000221
的累积误差，n′表示谱线的数量，ω表示激励频率，
Figure BDA00029621254000000222
和
Figure BDA00029621254000000223
都是ω的函数，在每一频率下都有对应的值；n表示激励频率最大值；
S205、找出累积误差存在局部极小值的所有随机激励位置组合，将其中荷载数量最少随机激励位置组合作为目标组合
Figure BDA00029621254000000224
优选地，步骤S3包括：
S301、计算所定位的随机激励位置到桥梁位移响应功率谱Syy的传递函数矩阵H，并将桥梁位移响应功率谱Syy按下式分解：
Figure BDA0002962125400000031
式中，r表示表示位移响应功率谱Syy的秩，λj表示Syy的第j阶特征值，
Figure BDA0002962125400000032
表示λj对应的特征向量，
Figure BDA0002962125400000033
表示
Figure BDA0002962125400000034
的共轭转置，
Figure BDA0002962125400000035
表示Syy的第j阶虚拟响应，
Figure BDA0002962125400000036
表示
Figure BDA0002962125400000037
的共轭转置；
S302、生成全局虚拟响应向量
Figure BDA0002962125400000038
及对应的全局传递函数
Figure BDA0002962125400000039
Figure BDA00029621254000000310
Figure BDA00029621254000000311
S303、按下式建立适用于随机激励重构的无约束优化函数
Figure BDA00029621254000000312
Figure BDA00029621254000000313
式中，
Figure BDA00029621254000000314
表示待识别的第j阶虚拟激励；
Figure BDA00029621254000000315
为全局虚拟激励向量；
Figure BDA00029621254000000316
为数据保真项，其控制着噪声的分布；
Figure BDA00029621254000000317
为第j阶虚拟激励解的局部正则化项，其决定解的空间分布；
Figure BDA00029621254000000318
为全局正则化项；p、qj为待确定参数；
S304、运用加权迭代策略将无约束优化函数
Figure BDA00029621254000000319
转换为显示迭代形式：
Figure BDA00029621254000000320
式中，α(k+1)为自适应正则化参数，
Figure BDA00029621254000000321
和
Figure BDA00029621254000000322
分别为第k迭代步和k+1迭代步的全局虚拟激励解向量，
Figure BDA00029621254000000323
和
Figure BDA00029621254000000324
分别为第k迭代步的加权矩阵，
Figure BDA00029621254000000325
表示全局传递函数
Figure BDA00029621254000000326
的共轭转置；
S305、设置迭代过程的初始值
Figure BDA00029621254000000327
Figure BDA00029621254000000328
式中，α(0)由L-曲线选择，I表示单位矩阵；
S306、定义迭代过程的停止准则δ：
Figure BDA00029621254000000329
S307、通过迭代求解得到各阶虚拟激励。
综上所述，本发明与现有技术相比具有以下技术效果：
(1)本发明采用了一种新的随机激励的定位方法，无需假设随机激励的作用位置，直接通过位移响应功率谱定位随机激励，更符合工程实际，有效的解决了激励位置未知的情形，为后续桥梁随机激励重构提供了基础。
(2)本发明的随机激励重构方法能够自适应地计算正则化参数，即通过前后两次迭代步的解向量计算正则化参数，避免了采用其他计算量巨大的参数选择方法，可明显加快识别效率。此外由于全局虚拟响应向量的引入，各阶虚拟激励可以同时进行识别，可以避免重复的运算操作，起到了改善识别效率的作用。
附图说明
为了使发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图对本发明作进一步的详细描述，其中：
图1为本发明的一种基于功率谱传播的桥梁随机激励识别方法的流程图；
图2为用于随机激励识别的悬臂梁结构监测示意图；
图3为信噪比40dB时使用4个响应测点进行定位的累积误差；
图4为信噪比30dB时使用4个响应测点进行定位的累积误差；
图5为信噪比20dB时使用4个响应测点进行定位的累积误差；
图6为信噪比40dB时使用9个响应测点进行定位的累积误差；
图7为信噪比30dB时使用9个响应测点进行定位的累积误差；
图8为信噪比20dB时使用9个响应测点进行定位的累积误差；
图9(a)为信噪比30dB时激励点3的重构结果对比；
图9(b)为信噪比30dB时激励点5的重构结果对比；
图9(c)为信噪比30dB时激励点9的重构结果对比；
图9(d)为信噪比20dB时激励点3的重构结果对比；
图9(e)为信噪比20dB时激励点5的重构结果对比；
图9(f)为信噪比20dB时激励点9的重构结果对比。
具体实施方式
下面结合附图对本发明作进一步的详细说明。
如图1所示，本发明公开了一种基于功率谱传播的桥梁随机激励识别方法，包括：
S1、获取运营环境下的桥梁位移响应功率谱Syy；
S2、从桥梁位移响应功率谱Syy中提取两个主子矩阵分别作为已知响应功率谱
Figure BDA0002962125400000051
及未知响应功率谱
Figure BDA0002962125400000052
并通过最小化预测误差来定位随机激励位置；
S3、利用随机激励位置重构虚拟激励；
S4、利用虚拟激励计算随机激励功率谱Sff。
利用虚拟激励计算随机激励功率谱Sff的方法与步骤S301中的计算公式一致，只是把虚拟响应替换成虚拟激励，此为现有技术，在此不再赘述。
与现有技术相比，本发明采用了一种新的随机激励的定位方法，无需假设随机激励的作用位置，直接通过位移响应功率谱定位随机激励，更符合工程实际，有效的解决了激励位置未知的情形，为后续桥梁随机激励重构提供了基础。
具体实施时，步骤S2包括：
S201、从桥梁位移响应功率谱Syy中提取出两个阶数为h、m的主子矩阵，分别记作已知响应功率谱
Figure BDA0002962125400000053
及未知响应功率谱
Figure BDA0002962125400000054
所述h、m满足如下关系：
h＝M；m＝[h/2]
式中，M代表位移响应功率谱Syy的阶数，h代表已知响应功率谱
Figure BDA0002962125400000055
的阶数，m代表未知响应功率谱
Figure BDA0002962125400000056
的阶数；
S202、枚举所有可能的随机激励位置组合，并计算每一随机激励位置组合对应的可传递性矩阵；
S203、按下式在每一随机激励位置组合下由已知响应功率谱
Figure BDA0002962125400000057
计算未知响应功率谱
Figure BDA0002962125400000058
的预测值
Figure BDA0002962125400000059
Figure BDA00029621254000000510
式中，
Figure BDA00029621254000000511
表示第i个随机激励位置组合
Figure BDA00029621254000000512
对应的可传递性矩阵，
Figure BDA00029621254000000513
+表示矩阵的广义逆，
Figure BDA00029621254000000514
和
Figure BDA00029621254000000515
分别表示
Figure BDA00029621254000000516
到响应
Figure BDA00029621254000000517
和
Figure BDA00029621254000000518
的传递函数矩阵；
Figure BDA00029621254000000519
表示可传递性矩阵
Figure BDA00029621254000000520
的共轭转置；
S204、重复步骤S201～S203，按下式计算所有谱线下响应
Figure BDA00029621254000000521
的实际值与预测值的累积误差：
Figure BDA00029621254000000522
式中，ξi表示
Figure BDA0002962125400000061
的累积误差，n′表示谱线的数量，ω表示激励频率，
Figure BDA0002962125400000062
和
Figure BDA0002962125400000063
都是ω的函数，在每一频率下都有对应的值；n表示激励频率最大值；
S205、找出累积误差存在局部极小值的所有随机激励位置组合，将其中荷载数量最少随机激励位置组合作为目标组合
Figure BDA0002962125400000064
以图2所示悬臂梁为例来展示本发明的具体步骤。
该悬臂梁共有9个节点(也是测点)。从左往右，9个测点位置被编号为1到9。预先在节点3、5、9处施加互不相干的随机激励，其功率谱由计算机随机生成。频率范围为1～150，频率分辨率为1，因此共计150条谱线。位移传感器布置在测点2、4、5、7处，并接入数据采集系统，然后计算位移响应功率谱，如图2。为了模拟实际的测试条件，考虑了三种噪声水平，即在所得原始数据中分别添加了信噪比为40dB、30dB、20dB的高斯白噪声。
首先将测点2、4、5、7的桥梁位移响应功率谱Syy分解为两组子功率谱矩阵，随机选取测点4、5、7的响应构造
Figure BDA0002962125400000065
测点2、4、5的响应构造
Figure BDA0002962125400000066
接着，罗列出所有255种随机激励作用位置的可能组合，如表1所示。
表1可能的随机激励作用位置组合(使用4个响应测点)
Figure BDA0002962125400000067
利用所述功率谱传播关系，在每一随机激励组合下，通过
Figure BDA0002962125400000068
预测
Figure BDA0002962125400000069
然后计算所有谱线下的累积误差ξi；
图3至图5展示了当信噪比分别为40dB、30dB、20dB时各随机激励位置组合的累积误差的对数值。
从图3、图4以及图5中可以直观的看出累积误差在组合103处取得了最小值。与表1对比可知，三种噪声水平下的定位结果是正确的。
本例由于响应测点与激励数量相近，参与竞争的潜在激励组合数量较少(见表1)，导致全局最小值恰好在目标组合处出现。因此，下面将考虑更多的测点以引入更具竞争力的潜在组合来验证本发明的有效性。
这次还是沿用图2中的激励，但是考虑的测点数目为所有9处测点。因此，表2列出了参与定位的可能的激励组合。显然，本次的潜在组合数量较上次多了一倍，这会使得定位结果更具说服力。以所有测点的响应作为
Figure BDA0002962125400000071
而将测点2、4、6、8的响应作为
Figure BDA0002962125400000072
表2可能的随机激励作用位置组合(使用9个响应测点)
Figure BDA0002962125400000073
图6至图8展示了使用9处响应时各组合的累积误差的对数值。从图中可知，许多组合都存在局部最小值，并且全局最小值在组合511处。为便于对比分析，挑选了几个典型组合的累积误差列于表3中。
表3典型组合的累积误差(使用9个响应测点)
Figure BDA0002962125400000074
从表3中可知，这些取得局部最小值的组合均包含组合103，并且随着激励数目的增多累积误差逐渐减小。直到激励数目与响应数目相等时，累积误差减小到接近于零，即组合511。另外，三种噪声水平都遵循相同的规律。按照本发明的策略，这时所有具有局部最小值的组合中，激励数量最少的组合为103。那么组合103就是定位结果，也就是目标组合。这表明按所提策略进行定位是正确的。
从上述定位结果可知，本发明出色的完成了本例预先设定的随机激励的定位，在信噪比为20dB时也表现出了良好的性能，具有不错的抗噪声干扰能力。
具体实施时，步骤S3包括：
S301、计算所定位的随机激励位置到桥梁位移响应功率谱Syy的传递函数矩阵H，并将桥梁位移响应功率谱Syy按下式分解：
Figure BDA0002962125400000081
式中，r表示表示位移响应功率谱Syy的秩，λj表示Syy的第j阶特征值，
Figure BDA0002962125400000082
表示λj对应的特征向量，
Figure BDA0002962125400000083
表示
Figure BDA0002962125400000084
的共轭转置，
Figure BDA0002962125400000085
表示Syy的第j阶虚拟响应，
Figure BDA0002962125400000086
表示
Figure BDA0002962125400000087
的共轭转置；
S302、生成全局虚拟响应向量
Figure BDA0002962125400000088
及对应的全局传递函数
Figure BDA0002962125400000089
Figure BDA00029621254000000810
Figure BDA00029621254000000811
S303、按下式建立适用于随机激励重构的无约束优化函数
Figure BDA00029621254000000812
Figure BDA00029621254000000813
式中，
Figure BDA00029621254000000814
表示待识别的第j阶虚拟激励；
Figure BDA00029621254000000815
为全局虚拟激励向量；
Figure BDA00029621254000000816
为数据保真项，其控制着噪声的分布；
Figure BDA00029621254000000817
为第j阶虚拟激励解的局部正则化项，其决定解的空间分布；
Figure BDA00029621254000000818
为全局正则化项；p、qj为待确定参数，所述待确定参数p取2；虚拟响应均匀分布时qj取2，集中分布时取1；
S304、运用加权迭代策略将无约束优化函数
Figure BDA00029621254000000819
转换为显示迭代形式：
Figure BDA00029621254000000820
式中，α(k+1)为自适应正则化参数，
Figure BDA00029621254000000821
Figure BDA00029621254000000822
和
Figure BDA00029621254000000823
分别为第k迭代步和k+1迭代步的全局虚拟激励解向量，
Figure BDA00029621254000000824
和
Figure BDA00029621254000000825
分别为第k迭代步的加权矩阵(下标r的加权矩阵对应的是数据保真项的加权矩阵，下标f的加权矩阵对应的是全局虚拟激励解向量的加权矩阵)，
Figure BDA00029621254000000826
表示全局传递函数
Figure BDA00029621254000000827
的共轭转置；
S305、设置迭代过程的初始值
Figure BDA00029621254000000828
Figure BDA00029621254000000829
式中，α(0)由L-曲线选择，I表示单位矩阵；
S306、定义迭代过程的停止准则δ：
Figure BDA0002962125400000091
S307、通过迭代求解得到各阶虚拟激励。
为了验证本发明的效果，将本发明的方法与最小二乘法与Tikhonov法的重构结果进行比较分析。采用的评价指标包括平均绝对误差(Mean Absolute Error,MAE)、均方根误差(Root Mean Square Error,RMSE)、平均相对百分比误差(Mean Relative PercentageError,MRPE)、均方根相对误差(Root Mean Square Relative Error,RMSRE)，其计算公式为：
Figure BDA0002962125400000092
Figure BDA0002962125400000093
Figure BDA0002962125400000094
Figure BDA0002962125400000095
其中，n′是性能评估时的谱线数量；f(ω)和
Figure BDA0002962125400000096
分别为实际的功率谱和重构的功率谱。
表4～表6分别展示了三种噪声水平下不同算法的评估指标，其由三个激励点求平均得到。图9a～图9c展示了30dB时不同算法的重构结果，而图9e～图9f则展示了20dB时不同算法的重构结果。
从这些指标中，我们可以更有把握的得出以下结论。
首先，本发明在一定程度上改善了随机激励重构反问题的病态性，取得了较为满意的重构结果。更加准确的讲，表4至表6中，本发明的评估指标较最小二乘法有大幅的下降。比如，表4中本发明的MRPE为0.02，而最小二乘法为0.012；表6中本发明的RMSRE为0.122，而最小二乘法为9.440。同时，图9也形象的说明了这一点，即随着噪声水平的增加，最小二乘法的重构曲线的突起越来越多，而本发明更为平滑；
其次，本发明与Tikhonov法的性能差异不大。具体来讲，一方面本发明的RMSE指标均高于Tikhonov法。另一方面Tikhonov法的MAE、MRPE、RMSRE指标均高于本发明。另外，图9中也能看出两者的一致性较高。
表4不同算法的评估指标(40dB)
Figure BDA0002962125400000101
表5不同算法的评估指标(30dB)
Figure BDA0002962125400000102
表6不同算法的评估指标(20dB)
Figure BDA0002962125400000103
为了进一步的体现本发明在计算效率上的优势，下面将展示本发明与Tikhonov法的计算时间对比结果。
为了进行公平的对比，两种方法的预处理、初始化、停止准则均相同。唯一的区别在于迭代过程中正则化参数的计算，即本发明自适应地计算正则化参数，而Tikhonov法由L-曲线选取。本实施例计算了每一噪声水平下，所有谱线的重构过程的总时间。表7给出了具体的计算时间对比。表中的计算时间是运行20次取平均得到的。
表7计算时间对比(秒)
Figure BDA0002962125400000104
从表中可以发现，两种方法在三种噪声水平下的计算时间都较为稳定。但是Tikhonov法的计算时间接近于本发明的两倍。这表明本发明通过自适应的选取正则化参数确实减轻了不少的计算负担。实际上，当两种方法具有差不多的计算精度时，显然本能上会选择计算开销较少的方法。因此，本发明的优势还是非常明显的。
综上所述，本发明克服了原有随机激励识别方法适应性不足的问题，即无需假设随机激励位置，直接通过测量响应定位随机激励，贴合工程实际，更具应用价值；同时，由于引入了自适应正则化参数，本发明的重构时间较传统方法大幅度的减少，计算效率更高
最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管通过参照本发明的优选实施例已经对本发明进行了描述，但本领域的普通技术人员应当理解，可以在形式上和细节上对其作出各种各样的改变，而不偏离所附权利要求书所限定的本发明的精神和范围。

Claims (3)

1.一种基于功率谱传播的桥梁随机激励识别方法，其特征在于，包括：
S1、获取运营环境下的桥梁位移响应功率谱Syy；
S2、从桥梁位移响应功率谱Syy中提取两个主子矩阵分别作为已知响应功率谱
Figure FDA0002962125390000011
及未知响应功率谱
Figure FDA0002962125390000012
并通过最小化预测误差来定位随机激励位置；
S3、利用随机激励位置重构虚拟激励；
S4、利用虚拟激励计算随机激励功率谱Sff。
2.如权利要求1所述的基于功率谱传播的桥梁随机激励识别方法，其特征在于，步骤S2包括：
S201、从桥梁位移响应功率谱Syy中提取出两个阶数为h、m的主子矩阵，分别记作已知响应功率谱
Figure FDA0002962125390000013
及未知响应功率谱
Figure FDA0002962125390000014
所述h、m满足如下关系：
h＝M；m＝[h/2]
式中，M代表位移响应功率谱Syy的阶数，h代表已知响应功率谱
Figure FDA0002962125390000015
的阶数，m代表未知响应功率谱
Figure FDA0002962125390000016
的阶数；
S202、枚举所有可能的随机激励位置组合，并计算每一随机激励位置组合对应的可传递性矩阵；
S203、按下式在每一随机激励位置组合下由已知响应功率谱
Figure FDA0002962125390000017
计算未知响应功率谱
Figure FDA0002962125390000018
的预测值
Figure FDA0002962125390000019
Figure FDA00029621253900000110
式中，
Figure FDA00029621253900000111
表示第i个随机激励位置组合
Figure FDA00029621253900000112
对应的可传递性矩阵，
Figure FDA00029621253900000113
+表示矩阵的广义逆，
Figure FDA00029621253900000114
和
Figure FDA00029621253900000115
分别表示
Figure FDA00029621253900000116
到响应
Figure FDA00029621253900000117
和
Figure FDA00029621253900000118
的传递函数矩阵；
Figure FDA00029621253900000119
表示可传递性矩阵
Figure FDA00029621253900000120
的共轭转置；
S204、重复步骤S201～S203，按下式计算所有谱线下响应
Figure FDA00029621253900000121
的实际值与预测值的累积误差：
Figure FDA00029621253900000122
式中，ξi表示
Figure FDA00029621253900000123
的累积误差，n′表示谱线的数量，ω表示激励频率，
Figure FDA00029621253900000124
和
Figure FDA00029621253900000125
都是ω的函数，在每一频率下都有对应的值；n表示激励频率最大值；
S205、找出累积误差存在局部极小值的所有随机激励位置组合，将其中荷载数量最少随机激励位置组合作为目标组合
Figure FDA0002962125390000021
3.如权利要求1所述的基于功率谱传播的桥梁随机激励识别方法，其特征在于，步骤S3包括：
S301、计算所定位的随机激励位置到桥梁位移响应功率谱Syy的传递函数矩阵H，并将桥梁位移响应功率谱Syy按下式分解：
Figure FDA0002962125390000022
式中，r表示表示位移响应功率谱Syy的秩，λj表示Syy的第j阶特征值，
Figure FDA0002962125390000023
表示λj对应的特征向量，
Figure FDA0002962125390000024
表示
Figure FDA0002962125390000025
的共轭转置，
Figure FDA0002962125390000026
表示Syy的第j阶虚拟响应，
Figure FDA0002962125390000027
表示
Figure FDA0002962125390000028
的共轭转置；
S302、生成全局虚拟响应向量
Figure FDA0002962125390000029
及对应的全局传递函数
Figure FDA00029621253900000210
Figure FDA00029621253900000211
Figure FDA00029621253900000212
S303、按下式建立适用于随机激励重构的无约束优化函数
Figure FDA00029621253900000213
Figure FDA00029621253900000214
式中，
Figure FDA00029621253900000215
表示待识别的第j阶虚拟激励；
Figure FDA00029621253900000216
为全局虚拟激励向量；
Figure FDA00029621253900000217
为数据保真项，其控制着噪声的分布；
Figure FDA00029621253900000218
为第j阶虚拟激励解的局部正则化项，其决定解的空间分布；
Figure FDA00029621253900000219
为全局正则化项；p、qj为待确定参数；
S304、运用加权迭代策略将无约束优化函数
Figure FDA00029621253900000220
转换为显示迭代形式：
Figure FDA00029621253900000221
式中，α(k+1)为自适应正则化参数，
Figure FDA00029621253900000222
Figure FDA00029621253900000223
和
Figure FDA00029621253900000224
分别为第k迭代步和k+1迭代步的全局虚拟激励解向量，
Figure FDA00029621253900000225
和
Figure FDA00029621253900000226
分别为第k迭代步的加权矩阵，
Figure FDA00029621253900000227
表示全局传递函数
Figure FDA00029621253900000228
的共轭转置；
S305、设置迭代过程的初始值
Figure FDA0002962125390000031
Figure FDA0002962125390000032
式中，α(0)由L-曲线选择，I表示单位矩阵；
S306、定义迭代过程的停止准则δ：
Figure FDA0002962125390000033
S307、通过迭代求解得到各阶虚拟激励。
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