CN112965127B - 一种基于重力异常计算外部扰动重力径向分量的方法 - Google Patents

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CN112965127B CN202110180191.4A CN202110180191A CN112965127B CN 112965127 B CN112965127 B CN 112965127B CN 202110180191 A CN202110180191 A CN 202110180191A CN 112965127 B CN112965127 B CN 112965127B
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Abstract

本发明涉及一种基于重力异常计算外部扰动重力径向分量的方法，其主要技术特点是：利用移去‑恢复技术，从重力异常观测值中移去参考重力异常，得到残差重力异常；从积分式核函数中移去与参考场对应阶次的核函数球谐表达式，得到截断核函数，使之与残差重力异常的频谱匹配；基于截断核函数和残差重力异常的局域积分，得到残差外部扰动重力径向分量；利用全球重力场位模型高阶信息进行远区效应补偿；恢复参考外部扰动重力径向分量；利用积分恒等式转换，补偿由全球积分过渡到局域积分引起的模型误差，得到计算点处高精度的外部扰动重力径向分量。本发明解决了基于重力异常计算外部扰动重力径向分量的不确定问题，提高外部扰动重力径向分量的计算精度，可广泛用于物理大地测量领域。

Description

一种基于重力异常计算外部扰动重力径向分量的方法
技术领域
本发明属于大地测量学与测量工程技术领域，尤其是一种基于重力异常计算外部扰动重力径向分量的方法。
背景技术
外部扰动重力径向分量是地球重力场逼近建模研究内容的重要组成部分，也是解算大地测量边值问题的主要应用目标之一，在航空航天器飞行轨迹精密计算和空间科学技术研究中具有重要的应用价值。
在基于重力异常计算外部扰动重力径向分量的积分式中，当计算点趋近于观测数据格网点时积分核函数会发生奇异，导致利用积分式计算超低空外部扰动重力径向分量时，会出现由核函数奇异引起的奇异性问题，无法保证计算结果的有效性。同时，在实际应用中受观测数据覆盖范围限制，无法做到全球覆盖，实际计算过程中外部扰动重力径向分量的全球积分式需要进行适用观测数据保障条件的改化，以保证计算结果的可靠性。目前迫切需要解决基于重力异常计算外部扰动重力径向分量的不确定问题，以提高外部扰动重力径向分量的计算精度。
发明内容
本发明的目的在于克服现有技术的不足，提出一种基于重力异常计算外部扰动重力径向分量的方法，解决基于重力异常计算外部扰动重力径向分量的不确定问题，提高外部扰动重力径向分量的计算精度。
本发明解决其技术问题是采取以下技术方案实现的：
一种基于重力异常计算外部扰动重力径向分量的方法，包括以下步骤：
步骤1、建立基于重力异常计算外部扰动重力径向分量δgr的积分式，恢复积分核函数的零阶和一阶项影响，得到完整核函数Ftr(r,ψ)；从流动点重力异常中移去外部空间计算点在球面上的投影点处的重力异常，通过积分恒等变换恢复外部空间计算点在球面上的投影点处的重力异常的全球影响；
步骤2、顾及实测数据局域保障条件，引入全球重力场位模型，利用移去-恢复技术，从重力异常观测值中移去参考重力异常，得到残差重力异常；从积分式核函数中移去与参考场对应阶次的核函数球谐表达式，得到截断核函数，使之与残差重力异常的频谱匹配；基于截断核函数和残差重力异常的局域积分，得到残差外部扰动重力径向分量；利用全球重力场位模型高阶信息进行远区效应补偿；恢复参考外部扰动重力径向分量；
步骤3、利用积分恒等式转换，补偿由全球积分过渡到局域积分引起的模型误差，得到计算点处高精度的外部扰动重力径向分量。
而且，所述步骤1的具体实现方法为：
建立基于重力异常计算外部扰动重力径向分量δgr的积分式：
Figure BDA0002941955120000011
Figure BDA0002941955120000021
式中，Δg为球面上流动点处的已知观测重力异常；R为地球椭球平均半径；r为计算点地心向径；
Figure BDA0002941955120000022
为计算点的纬度和经度；
Figure BDA0002941955120000023
为流动点的纬度和经度；σ为单位球面；dσ为单位球面的面积元；ψ为计算点至流动点之间的球面角距；
Figure BDA0002941955120000024
是计算点至流动点之间的空间距离；Fr(r,ψ)为积分核函数；
恢复积分核函数的零阶和一阶项影响，得到完整核函数Ftr(r,ψ)：
Figure BDA0002941955120000025
采用移去-恢复技术，从流动点重力异常中移去外部空间计算点在球面上的投影点处的重力异常，通过积分恒等变换，恢复外部空间计算点在球面上的投影点处的重力异常的影响，以削弱积分核函数奇异性的影响，得到外部扰动重力径向分量计算公式：
Figure BDA0002941955120000026
式中ΔgRp为外部空间计算点P在球面上的投影点PR处的重力异常。
而且，所述步骤2处理后得到的外部扰动重力径向分量计算公式为：
Figure BDA0002941955120000027
式中；δΔg为移去了N阶位模型参考场的流动点残差重力异常；δΔgRp为移去了N阶位模型参考场的外部空间计算点P在球面上的投影点PR处的残差重力异常；
Figure BDA0002941955120000028
为扰动重力径向分量截断核函数；
Figure BDA0002941955120000029
为扰动重力径向分量远区效应计算值，δgrefr为由N阶参考场位模型计算得到的参考扰动重力径向分量；
所述扰动重力径向分量截断核函数
Figure BDA00029419551200000210
的计算式为：
Figure BDA00029419551200000211
其中，Pn(cosψ)为n阶勒让德函数；
所述扰动重力径向分量远区效应计算值
Figure BDA00029419551200000212
的表达式为：
Figure BDA00029419551200000213
Figure BDA00029419551200000214
Figure BDA00029419551200000215
Figure BDA00029419551200000216
式中，GM为地球引力常数；L为用于补偿远区效应的高阶次重力位模型的最高阶数；N代表由位模型定义的参考场最高阶数；Tn代表地球扰动位n阶拉普拉斯面球谐函数；Qn(δgr)为扰动重力径向分量积分核截断系数；
Figure BDA0002941955120000031
为完全规格化缔合勒让德函数；
Figure BDA0002941955120000032
和
Figure BDA0002941955120000033
为完全规格化地球位系数。
而且，所述步骤3处理后得到的外部扰动重力径向分量计算公式为：
Figure BDA0002941955120000034
式中，
Figure BDA0002941955120000035
为δΔgRp在积分远区(σ-σ0)对计算参量δgr的影响，其表达式为：
Figure BDA0002941955120000036
Figure BDA0002941955120000037
Figure BDA0002941955120000038
Figure BDA0002941955120000039
Figure BDA00029419551200000310
Figure BDA00029419551200000311
Figure BDA00029419551200000312
Figure BDA00029419551200000313
本发明的优点和积极效果是：
本发明设计合理，其针对基于重力异常计算外部扰动重力径向分量的不确定问题，采用移去-恢复运算和积分恒等式转换技术，同时顾及实测数据保障条件，建立基于重力异常计算外部扰动重力径向分量的无奇异局域算法,解决了基于重力异常计算外部扰动重力径向分量的不确定问题，提高外部扰动重力径向分量的计算精度，可广泛用于物理大地测量领域。
具体实施方式
本发明的设计思想是：(1)联合采用移去-恢复运算和积分恒等转换技术，恢复积分核函数的零阶和一阶项影响；从流动点重力异常中移去外部空间计算点在球面上的投影点处的重力异常，通过积分恒等变换，恢复外部空间计算点在球面上的投影点处的重力异常的全球影响,以消除积分核函数奇异性的影响；(2)顾及实测数据局域保障条件，引入全球重力场位模型，利用移去-恢复技术，从重力异常观测值中移去参考重力异常，以得到残差重力异常；从积分式核函数中移去与参考场对应阶次的核函数球谐表达式，以得到截断核函数，使之与残差重力异常的频谱匹配；基于截断核函数和残差重力异常的局域积分得到残差外部重力异常；利用全球重力场位模型高阶信息进行远区效应补偿，以削弱远区截断误差的影响；恢复参考外部扰动重力径向分量。(3)利用积分恒等式转换，补偿由全球积分过渡到局域积分引起的模型误差，得到计算点处高精度的外部扰动重力径向分量。
基于上述设计思想，本发明提出一种基于重力异常计算外部扰动重力径向分量的方法，包括以下步骤：
步骤1、建立基于重力异常计算外部扰动重力径向分量δgr的积分式，恢复积分核函数的零阶和一阶项影响，得到完整核函数Ftr(r,ψ)；从流动点重力异常中移去外部空间计算点在球面上的投影点处的重力异常，通过积分恒等变换，恢复外部空间计算点在球面上的投影点处的重力异常的全球影响,以消除积分核函数奇异性的影响。本步骤的具体实现方法为：
建立基于重力异常计算外部扰动重力径向分量δgr的积分式：
Figure BDA0002941955120000041
Figure BDA0002941955120000042
式中，Δg为球面上流动点处的已知观测重力异常；R为地球椭球平均半径；r为计算点地心向径；
Figure BDA0002941955120000043
为计算点的纬度和经度；
Figure BDA0002941955120000044
为流动点的纬度和经度；σ为单位球面；dσ为单位球面的面积元；ψ为计算点至流动点之间的球面角距；
Figure BDA0002941955120000045
是计算点至流动点之间的空间距离；Fr(r,ψ)为积分核函数。
恢复积分核函数的零阶和一阶项影响，得到完整核函数Ftr(r,ψ)：
Figure BDA0002941955120000046
在式(3)中，当计算点趋近于数据点时，即当r→R和ψ→0时，会出现分母项l→0，积分核函数Ftr(r,ψ)发生奇异，这说明利用式(3)计算地球外部超低空扰动重力径向分量时，会出现由核函数奇异性引起的不确定性问题，无法保证计算结果的可靠性和有效性。为了消除式(1)的奇异性，确保外部扰动重力径向分量的整体连续性，采用移去-恢复技术，从流动点重力异常中移去外部空间计算点在球面上的投影点处的重力异常，通过积分恒等变换，恢复外部空间计算点在球面上的投影点处的重力异常的影响，以削弱积分核函数奇异性的影响；可得到如下公式：
Figure BDA0002941955120000047
式中ΔgRp为外部空间计算点P在球面上的投影点PR处的重力异常。
将公式(4)可化为：
Figure BDA0002941955120000048
经上述移去恢复变换后，使用式(5)计算外部扰动重力径向分量，不仅可以避免奇异积分的影响，同时可确保积分计算值从地球外部到球边界面的连续性。
步骤2、由于计算外部扰动重力径向分量要求全球积分，但在实际应用中受观测数据覆盖范围限制，无法做到全球覆盖，因此，实际计算过程中外部扰动重力径向分量的全球积分式需要进行适用观测数据保障条件的局域化处理，以保证计算结果的可靠性。本发明顾及实测数据局域保障条件，引入全球重力场位模型，利用移去-恢复技术，从重力异常观测值中移去参考重力异常，以得到残差重力异常；从积分式核函数中移去与参考场对应阶次的核函数球谐表达式，以得到截断核函数，使之与残差重力异常的频谱匹配；基于截断核函数和残差重力异常的局域积分得到残差外部扰动重力径向分量；利用全球重力场位模型高阶信息进行远区效应补偿，以削弱远区截断误差的影响；恢复参考外部扰动重力径向分量。具体实现方法为：
将式(5)化为：
Figure BDA0002941955120000051
式中；δΔg为移去了N阶位模型参考场的流动点残差重力异常；δΔgRp为移去了N阶位模型参考场的流外部空间计算点P在球面上的投影点PR处的残差重力异常；
Figure BDA0002941955120000052
为扰动重力径向分量截断核函数；
Figure BDA0002941955120000053
为扰动重力径向分量远区效应计算值，δgrefr为由N阶参考场位模型计算得到的参考扰动重力径向分量；其它符号意义同前。
在式(6)中，扰动重力径向分量截断核函数
Figure BDA0002941955120000054
的具体计算式为：
Figure BDA0002941955120000055
式中，Pn(cosψ)为n阶勒让德(Legendre)函数，其它符号意义同前。
在式(6)中，扰动重力径向分量远区效应计算值
Figure BDA0002941955120000056
的具体表达式为：
Figure BDA0002941955120000057
Figure BDA0002941955120000058
Figure BDA0002941955120000059
Figure BDA00029419551200000510
式中，GM为地球引力常数；L为用于补偿远区效应的高阶次重力位模型的最高阶数；N代表由位模型定义的参考场最高阶数；Tn代表地球扰动位n阶拉普拉斯(Laplace)面球谐函数；Qn(δgr)为扰动重力径向分量积分核截断系数；
Figure BDA00029419551200000511
为完全规格化缔合勒让德函数；
Figure BDA00029419551200000512
和
Figure BDA00029419551200000513
为完全规格化地球位系数。
步骤3、在既消除积分奇异性又顾及实测数据局域保障条件的式(6)中，由于远区效应
Figure BDA00029419551200000514
只代表积分项δΔgq在远区的补偿，并未顾及另一积分项δΔgRp在远区的影响。对此利用积分恒等式转换，补偿由全球积分过渡到局域积分引起的模型误差，得到计算点处高精度的外部扰动重力径向分量。本步骤的具体实现方法为：
将式(6)转换为：
Figure BDA0002941955120000061
式中，
Figure BDA0002941955120000062
为δΔgRp在积分远区(σ-σ0)对计算参量δgr的影响，具体表达式为：
Figure BDA0002941955120000063
Figure BDA0002941955120000064
Figure BDA0002941955120000065
Figure BDA0002941955120000066
Figure BDA0002941955120000067
Figure BDA0002941955120000068
Figure BDA0002941955120000069
下面采用超高阶位模型EGM2008作为数值计算检验的参考标准场，用于模拟产生地球表面1′×1′网格重力异常观测量“真值”及地球外部不同高度面上的1′×1′网格扰动重力径向分量理论“真值”。为了体现检验结果的代表性，这里特意选取重力异常场变化比较剧烈的马里亚纳海沟作为试验区，具体覆盖范围为：6°×6°(
Figure BDA00029419551200000610
10°N～16°N；λ:142°E～148°E)。选取r＝R+h，R＝6371km，使用标准场模型EGM2008分别计算对应于9个高度面上的1′×1′网格扰动重力径向分量理论“真值”δgtri(i＝1,2,…,9),每个高度面对应360×360＝129600个网格点数据，9个高度分别取为：hi＝0km,0.1km,0.3km,1km,3km,5km,10km,30km,50km。表1列出了其中的4个高度面上的扰动重力径向分量理论“真值”和球面上的重力异常观测量“真值”的统计结果。
表1由EGM2008模型计算得到的重力异常和扰动重力统计结果(单位：mGal)
Figure BDA00029419551200000611
Figure BDA0002941955120000071
为了对比分析本发明算法的计算效果，采用球面上的1′×1′网格重力异常“真值”Δgt作为观测量，基于本发明算法对前面选定的试验区对应于9个高度面上的1′×1′网格扰动重力径向分量进行计算分析；其中，传统算法是指直接使用式(1)作为基础计算模型，并对全球积分域作了分区处理，但在实施近区计算时，扣除掉计算点所在的1′×1′数据块，以避免出现奇异积分问题。将计算值分别与相对应的理论“真值”Δgtri作比较，可获得改精度评估信息，具体比对结果列于表2。这里积分半径统一取为ψ0＝2°，为了减小积分边缘效应对评估结果的影响，表2只列出中心区2°×2°方块内的比对结果。
表2由本发明计算得到的9个高度面扰动重力径向分量与“真值”的比较(单位：mGal)
Figure BDA0002941955120000072
对比表2和表1结果可以看出，传统算法在超低空高度段的误差量值甚至超过了径向分量自身大小，说明传统算法在超低空高度段是失效的，只有在5km以上计算高度才是可用的；本发明算法从理论上消除了积分奇异性和数值不连续性影响，并在超低空高度段取得了比传统模型好得多的计算精度，在所有9个高度面，计算值与比对基准“真值”的最大互差均不超过1.2mGal，均方根值不超过0.4mGal，验证了本发明算法的必要性和有效性，表明新方法实用易行，具有较高的应用价值。
需要强调的是，本发明所述的实施例是说明性的，而不是限定性的，因此本发明包括并不限于具体实施方式中所述的实施例，凡是由本领域技术人员根据本发明的技术方案得出的其他实施方式，同样属于本发明保护的范围。

Claims (4)

1.一种基于重力异常计算外部扰动重力径向分量的方法，其特征在于：包括以下步骤：
步骤1、建立基于重力异常计算外部扰动重力径向分量δgr的积分式，恢复积分核函数的零阶和一阶项影响，得到完整核函数Ftr(r,ψ)；从流动点重力异常中移去外部空间计算点在球面上的投影点处的重力异常，通过积分恒等变换恢复外部空间计算点在球面上的投影点处的重力异常的全球影响；
步骤2、顾及实测数据局域保障条件，引入全球重力场位模型，利用移去-恢复技术，从重力异常观测值中移去参考重力异常，得到残差重力异常；从积分式核函数中移去与参考场对应阶次的核函数球谐表达式，得到截断核函数，使之与残差重力异常的频谱匹配；基于截断核函数和残差重力异常的局域积分，得到残差外部扰动重力径向分量；利用全球重力场位模型高阶信息进行远区效应补偿；恢复参考外部扰动重力径向分量；
步骤3、利用积分恒等式转换，补偿由全球积分过渡到局域积分引起的模型误差，得到计算点处高精度的外部扰动重力径向分量。
2.根据权利要求1所述的一种基于重力异常计算外部扰动重力径向分量的方法，其特征在于：所述步骤1的具体实现方法为：
建立基于重力异常计算外部扰动重力径向分量δgr的积分式：
Figure FDA0003589156790000011
Figure FDA0003589156790000012
式中，Δg为球面上流动点处的已知观测重力异常；R为地球椭球平均半径；r为计算点地心向径；σ为单位球面；dσ为单位球面的面积元；ψ为计算点至流动点之间的球面角距；
Figure FDA0003589156790000013
是计算点至流动点之间的空间距离；Fr(r,ψ)为积分核函数；
恢复积分核函数的零阶和一阶项影响，得到完整核函数Ftr(r,ψ)：
Figure FDA0003589156790000014
采用移去-恢复技术，从流动点重力异常中移去外部空间计算点在球面上的投影点处的重力异常，通过积分恒等变换，恢复外部空间计算点在球面上的投影点处的重力异常的影响，以削弱积分核函数奇异性的影响，得到外部扰动重力径向分量计算公式：
Figure FDA0003589156790000015
式中ΔgRp为外部空间计算点P在球面上的投影点PR处的重力异常。
3.根据权利要求2所述的一种基于重力异常计算外部扰动重力径向分量的方法，其特征在于：所述步骤2处理后得到的外部扰动重力径向分量计算公式为：
Figure FDA0003589156790000016
式中；δΔg为移去了N阶位模型参考场的流动点残差重力异常；δΔgRp为移去了N阶位模型参考场的外部空间计算点P在球面上的投影点PR处的残差重力异常；
Figure FDA0003589156790000021
为扰动重力径向分量截断核函数；
Figure FDA0003589156790000022
为扰动重力径向分量远区效应计算值，δgrefr为由N阶参考场位模型计算得到的参考扰动重力径向分量；
所述扰动重力径向分量截断核函数
Figure FDA0003589156790000023
的计算式为：
Figure FDA0003589156790000024
其中，Pn(cosψ)为n阶勒让德函数；
所述扰动重力径向分量远区效应计算值
Figure FDA0003589156790000025
的表达式为：
Figure FDA0003589156790000026
Figure FDA0003589156790000027
Figure FDA0003589156790000028
Figure FDA0003589156790000029
式中，GM为地球引力常数；L为用于补偿远区效应的高阶次重力位模型的最高阶数；N代表由位模型定义的参考场最高阶数；Tn代表地球扰动位n阶拉普拉斯面球谐函数；Qn(δgr)为扰动重力径向分量积分核截断系数；
Figure FDA00035891567900000210
为完全规格化缔合勒让德函数；
Figure FDA00035891567900000211
和
Figure FDA00035891567900000212
为完全规格化地球位系数；
Figure FDA00035891567900000213
为计算点的纬度和经度。
4.根据权利要求3所述的一种基于重力异常计算外部扰动重力径向分量的方法，其特征在于：所述步骤3处理后得到的外部扰动重力径向分量计算公式为：
Figure FDA00035891567900000214
式中，
Figure FDA00035891567900000215
为δΔgRp在积分远区(σ-σ0)对计算参量δgr的影响，其表达式为：
Figure FDA00035891567900000216
Figure FDA00035891567900000217
Figure FDA00035891567900000218
Figure FDA00035891567900000219
Figure FDA0003589156790000031
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Figure FDA0003589156790000033
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