CN112883330A - 基于秩最小化Toeplitz重构的互质阵波达方向估计方法 - Google Patents

基于秩最小化Toeplitz重构的互质阵波达方向估计方法 Download PDF

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CN112883330A CN202110073349.8A CN202110073349A CN112883330A CN 112883330 A CN112883330 A CN 112883330A CN 202110073349 A CN202110073349 A CN 202110073349A CN 112883330 A CN112883330 A CN 112883330A
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Abstract

本发明提出了一种基于秩最小化Toeplitz重构的互质阵波达方向估计方法，该方法考虑了插值虚拟阵列测量值的原子范数表示，并利用循环优化求解了等效秩极小化问题来恢复信号的协方差矩阵。然后，简单地将传统的基于子空间的谱估计算法应用于恢复的协方差矩阵来完成波达方向估计，提高了波达方向估计性能。该方法在波达方向估计方面能有较高的分辨率和自由度，且在估计精度方面优于现有的方法，具有良好的鲁棒性。

Description

基于秩最小化Toeplitz重构的互质阵波达方向估计方法
技术领域
本发明涉及互质阵波达方向估计算法技术领域，具体涉及一种基于秩最小化Toeplitz重构的互质阵波达方向估计方法。
背景技术
互质阵列是一对阵元数为互质的稀疏子阵列。与具有相同物理单元数的均匀线阵相比，互质阵列除了具有更大的阵列孔径和更高的自由度等优点外，还具有减少互耦和较高的性能保证。因此，近十年来，它在雷达研究领域内外备受关注。
波达方向(DoA)估计是雷达和其他许多工程应用中的一个重要而基础性的问题。为了检测到比阵元数目更多的目标，通常采用互质阵列。这种由一对互质整数子阵组成的阵列可以仅用M+N-1个物理阵元估计MN个发射角度。为了充分利用互质阵的自由度优势，通过差集数组推导构成虚拟域阵列，并对相应的虚拟域信号进行了DoA估计。然而，所导出的虚拟阵列通常包含多个缺失元素或“孔洞”，导致模型失配问题和估计性能下降。一个简单的解决方案是提取虚拟阵列的最大连续段，然后应用子空间类方法进行DoA估计。然而，这种方法显然没有充分利用阵列孔径和自由度来丢弃非均匀部分，从而不可避免地造成性能损失。
插值算法是比较常见的用来解决信息缺失问题的方法，通过重建内插虚拟阵列的信号协方差矩阵来进行波达方向估计，常见的有基于核范数最小化和基于原子范数最小化等协方差矩阵重建算法。本发明提出了一种稀疏感知的互质阵列DoA估计算法，通过循环秩最小化来重构测量的协方差矩阵。
发明内容
技术问题：
针对差分阵列的孔洞造成的信息缺失问题，进行插值填充后，考虑虚拟域原子范数的定义和性质，从而将重建内插虚拟阵列协方差矩阵的问题转变为一个多凸秩优化问题，推导其闭式解，经过一系列循环迭代来恢复虚拟阵列协方差矩阵，并在此基础上应用子空间类方法进行波达方向估计。
技术方案：
本发明的目的是通过以下技术方案实现的，基于秩最小化Toeplitz重构的互质阵波达方向估计方法，具体包括如下步骤：
步骤一，互质阵信号模型
考虑图1所示的互质阵列结构模型，其中阵元位置可以写成
Figure BDA0002906708880000021
假设M和N是两个互质整数(M＜N)。设单位阵元间距为d＝λ/2，λ表示波长。因此，阵元总个数为M+N-1。假设有K个远场窄带非相干信号，入射角为θk(k＝1，…，K)。接收信号可以被表示为
x(t)＝As(t)+n(t) (2)
这里
Figure BDA0002906708880000022
表示互质阵阵列导向流型矩阵。向量a(θk)＝[1，exp(-J2πd2sinθk/λ)，…，exp(-J2πdM+N-1sinθk/λ)]T表示阵列导向矢量，
Figure BDA0002906708880000023
Figure BDA0002906708880000024
其中sk(t)是具有T个快拍数的第k个目标的接收信号。n(t)表示独立同分布的零均值加性高斯白噪声。
互质阵列接收信号的协方差矩阵定义为
Figure BDA0002906708880000025
其中右边的Rs代表了信号协方差矩阵，
Figure BDA0002906708880000026
代表噪声功率。需要注意的是Rs在目标非相干的情况下应该是一个对角矩阵，例如
Figure BDA0002906708880000027
Figure BDA0002906708880000028
代表了第k个目标的功率。由于理想的协方差矩阵是未知的，它通常被近似替代为
Figure BDA0002906708880000029
步骤二，虚拟阵列的原子范数
通过向量化协方差矩阵Rx，虚拟域的等价信号可以写成
Figure BDA00029067088800000210
其中
Figure BDA00029067088800000211
由于不同阵元间的互相关，v的每个元素都对应于虚拟域中的一个阵元，其位置由物理阵元位置的差集确定。虚拟阵元的位置如图2所示，它可以从两个互质整数集的差集中导出
Figure BDA00029067088800000212
相应地，虚拟阵列的等价信号可通过选取v中的元素来获取
Figure BDA00029067088800000213
其中，
Figure BDA00029067088800000214
和
Figure BDA00029067088800000215
分别是Av和I的子阵。
为了充分利用非均匀虚拟阵列中包含的信息，采用插值的方法对差分共阵中的孔洞进行填充。插值虚拟阵列信号vI可以初始化为
Figure BDA0002906708880000031
其中，
Figure BDA0002906708880000032
表示具有2M(N-1)+1个阵元的虚拟均匀线阵，[·]i表示位置为id的虚拟阵元。为了有效地利用插值后的均匀线性阵列，需要恢复被初始化为0的孔洞上的信号。
在多采样虚拟信号原子范数思想的基础上，插值后的虚拟阵列
Figure BDA0002906708880000033
被分为
Figure BDA0002906708880000034
个重叠的子阵，每个子阵有U个连续的虚拟阵元，如图3所示。相应地，插值虚拟阵列
Figure BDA0002906708880000035
对应的虚拟信号向量y被分为U个子阵列{r1，…，rU}。将这U个虚拟子阵列等价组合为
Figure BDA0002906708880000036
Figure BDA0002906708880000037
V可视为包含U个虚拟域采样快拍的内插虚拟阵列信号，称为多采样虚拟信号。
根据V的原子范数定义，用于描述V的一个原子可以定义为
G(θ)＝r(θ)bH(θ) (9)
其中r(θ)表示图3中第一个虚拟均匀线性子阵的导向矢量，同时也作为参考虚拟阵列，b(θ)＝[1，exp(-Jπsinθ)，…，exp(-Jπ(U-1)sinθ)]表示U个虚拟子阵与参考虚拟阵列之间的相位偏移，
Figure BDA0002906708880000038
其中θ∈[-90°，90°]。相应的原子集合为
Figure BDA0002906708880000039
用于描述多采样虚拟信号V的最少原子个数为
Figure BDA00029067088800000310
步骤三，利用Toeplitz重构进行波达方向估计
本发明开发了一种新的基于Toeplitz矩阵循环低秩恢复的波达方向估计算法。该算法将原子范数最小化问题转化为具有部分闭式解的双变量循环秩最小化问题。一旦恢复了Toeplitz协方差矩阵，只需使用MUSIC等子空间谱估计算法就可以很容易地估计目标的波达方向。
根据多采样虚拟原子范数的性质，(11)可以等效为下面的秩最小化问题
Figure BDA00029067088800000311
Figure BDA00029067088800000312
Figure BDA00029067088800000313
其中
Figure BDA00029067088800000314
是厄密特Toeplitz矩阵，也是虚拟接收信号的协方差矩阵。向量z是T(z)的首列。
Figure BDA00029067088800000315
作为参考虚拟协方差矩阵。
Figure BDA00029067088800000316
是一个二值矩阵用来区分参考矩阵
Figure BDA00029067088800000317
中的零元素(对应于内插虚拟阵元的初始化等价信号)和非零元素(对应于推导的原始非均匀虚拟阵列等价信号)。
Figure BDA00029067088800000318
是一个厄密特矩阵，η是一个很小的常数。一个相似的等价表示曾在文献中证明过，于是上式可以写成
Figure BDA0002906708880000041
Figure BDA0002906708880000042
Figure BDA0002906708880000043
为了解(13)，使用一个多参数问题公式进行线谱估计。取γ为一个正的常数并且定义一个函数f[W，T(z)，γ]为
Figure BDA0002906708880000044
然后优化问题可以重新写为
Figure BDA0002906708880000045
Figure BDA0002906708880000046
Figure BDA00029067088800000412
Figure BDA0002906708880000047
因为函数f[W，T(z)，γ]是多凸的，所以(15)是一个多凸优化问题。也就是说，对于固定的z或者W，式子(15)是凸的。于是，本发明提出交替优化变量z和W，也就是在固定一个变量的同时去优化另一个变量，再代回到(15)进行循环迭代。进一步地，将(15)中的第一个约束重新表示为一个μ控制的正则项加入到优化函数中。因此，根据(15)所提出的循环优化算法可以分解为
Figure BDA0002906708880000048
Figure BDA0002906708880000049
Figure BDA00029067088800000410
Figure BDA00029067088800000413
其中z(i)和W(i)表示第i次迭代更新的数值。由于最小化f[W(i-1)，T(z)，γ]等价于最小化tr[WT(z)]，限制条件tr[WT(z)]≤0被用来作为循环的终止条件。因此，整个循环终止当tr[W(i)T(z(i))]趋于收敛或者达到最大循环迭代次数。除此之外，(16)和(17)两个迭代过程分别对应信号子空间和零空间的优化，因为z在T(z)的子空间中而W在T(z)的零空间中。
显然，(16)和(17)都是凸的半定规划。为了得到半定规划问题(17)的闭式解，考虑对一个厄密特矩阵
Figure BDA00029067088800000411
做特征值分解
Figure BDA0002906708880000051
其中
Figure BDA0002906708880000052
是一个酉矩阵，
Figure BDA0002906708880000053
是正的特征值。考虑到类似问题解之间的相似性，(17)的全局最优解为
Figure BDA0002906708880000054
其中
Figure BDA0002906708880000055
Ωγ，ζ[Y]＝UΩγ，ζ[∑]UH。
由此问题(15)可以在多次迭代中有效地解决。在协方差矩阵T(z)恢复之后，可以用MUSIC算法来完成波达方向估计。
Figure BDA0002906708880000056
有益效果：
本发明在波达方向估计方面能够实现互质阵列虚拟域插值，充分利用阵列的接收信号信息提高测角自由度，在保持良好分辨率的同时实现无网格的波达方向估计，且在低信噪比情况下估计精度方面优于现有的互质阵列虚拟域插值方法，具有良好的鲁棒性。
附图说明
图1互质阵列的阵元结构；
图2虚拟阵元位置；
图3各虚拟子阵间的相位偏移；
图4自由度性能；
图5分辨率性能；
图6本发明的算法与其他算法的均方误差随信噪比变化对比曲线图；
图7本发明的算法与其他算法的均方误差随快拍数变化对比曲线图。
具体实施方式
下面将结合附图和具体实施方式对本发明进行详细说明，需要指出的是，本具体实施实例不具有限定作用，只用来验证发明的有效性。
本发明提出了基于秩最小化Toeplitz重构的互质阵波达方向估计方法，为了验证该方法的性能优势，以下给出了本发明的一个实例流程。
(1)实验装置与参数
针对本发明提出算法的伪代码，在仿真时，选择M＝3，N＝5来作为一对互质子阵的阵元数。因此一共有M+N-1＝7个物理阵元在{0，3d，5d，6d，9d，10d，12d}位置上。参数γ设置为0.05，μ设置为40，∈设置为10-9。最大迭代次数设置为50。
(2)自由度性能
假设有9个不相关的等功率入射源均匀分布在[-40°，40°]范围内，信噪比(SNR)30dB，快拍数为500。垂直虚线表示入射源的真实方位角。从图4可以看出，本实施例仅用7个物理传感器就能估计出真实方向上的所有峰值，体现了互质阵列的自由度优势。由于光谱峰值与真实值非常接近，证明了该算法在多个信号源检测中的有效性。
(3)分辨率性能
假设有来自θ1＝-0.5°和θ2＝0.5°方向上的两个紧密间隔的非相干信号。SNR和快拍数设置保持不变。如图5所示，所提出的算法能够分辨真实方向上的两个峰值，并且归一化的空间谱具有尖峰和准确的估计。
(3)均方误差随信噪比和快拍数变化对比曲线图
(4)接下来，将所提出算法的均方根误差(RMSE)与克拉美罗界(CRB)和几种基于互质阵列的DoA估计算法，包括稀疏信号重建(SSR)算法、核范数最小化(NNM)算法、带PSD约束的核范数最小化算法(NUC-PSD)算法、最大熵(ME)算法、原子范数最小化算法和协方差矩阵稀疏重建(CMSR)算法进行了比较。入射信号的方向由高斯分布
Figure BDA0002906708880000061
随机生成。通过500次的蒙特卡罗试验来评估统计性能。首先将快拍数固定在500，并让SNR从-20dB到30dB。如图6所示。与其他算法相比，该算法的RMSE曲线明显更低，更接近CRB。在高信噪比范围内，除SSR和CMSR外，所有算法的均方根误差均随信噪比的增大而逐渐减小，并趋于CRB。这是合理的，因为SSR和CMSR都是基于网格的算法，因此，它们会因为基础失配问题而遭受性能损失。如果改变快拍数并固定输入信噪比，如图7所示，可以观察到，除SSR和CMSR外，所有方法都获得了非常相似的性能，并且本发明所提出的算法产生的RMSE略低。到目前为止，本实施例已经在自由度、空间分辨率和估计精度方面验证了该算法的有效性。
(5)以上所述仅为本发明的具体实施例，并不用于限定本发明的保护范围，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.基于秩最小化Toeplitz重构的互质阵波达方向估计方法，其特征在于，具体包括如下步骤：
步骤1：构建互质阵列接收信号的协方差矩阵；
步骤2：将互质阵列的虚拟阵列用原子范数表示；
步骤3：将原子范数最小化问题转化为具有部分闭式解的双变量循环秩最小化问题，求解双变量循环秩最小化问题，并恢复Toeplitz协方差矩阵；
步骤4：使用子空间谱估计算法估计目标的波达方向。
2.根据权利要求1所述的基于秩最小化Toeplitz重构的互质阵波达方向估计方法，其特征在于，步骤1的具体步骤包括：
构建互质阵列结构模型，其中阵元位置写成
Figure FDA0002906708870000011
假设M和N是两个互质整数，M＜N，设单位阵元间距为d＝λ/2，λ表示波长，阵元总个数为M+N-1；假设有K个远场窄带非相干信号，入射角为θk，k＝1，…，K，接收信号表示为
x(t)＝As(t)+n(t) (2)
其中
Figure FDA0002906708870000012
表示互质阵阵列导向流型矩阵，向量a(θk)＝[1，exp(-j2πd2sinθk/λ)，...，exp(-j2πdM+N-1sinθk/λ)]T表示阵列导向矢量，
Figure FDA0002906708870000013
t表示采样时间；
Figure FDA0002906708870000014
其中sk(t)是具有T个快拍数的第k个目标的接收信号；n(t)表示独立同分布的零均值加性高斯白噪声；
互质阵列接收信号的协方差矩阵定义为
Figure FDA0002906708870000015
其中Rs表示信号协方差矩阵，
Figure FDA0002906708870000016
表示噪声功率，Rs在目标非相干的情况下是一个对角矩阵，I表示单位矩阵；协方差矩阵被近似替代为
Figure FDA0002906708870000017
3.根据权利要求2所述的基于秩最小化Toeplitz重构的互质阵波达方向估计方法，其特征在于，步骤2的具体步骤包括：
通过向量化协方差矩阵Rx，虚拟域的等价信号写成
Figure FDA0002906708870000018
其中
Figure FDA0002906708870000019
虚拟阵元的位置从两个互质整数集的差集中导出
Figure FDA0002906708870000021
sd表示
Figure FDA0002906708870000022
中的元素，物理意义是虚拟阵列阵元的位置；相应地，虚拟阵列的等价信号通过选取v中的元素来获取
Figure FDA0002906708870000023
其中，
Figure FDA0002906708870000024
科
Figure FDA0002906708870000025
分别是Av和vec(I)的子阵；
采用插值的方法对虚拟阵列中的孔洞进行填充；插值虚拟阵列信号vI初始化为
Figure FDA0002906708870000026
其中，
Figure FDA0002906708870000027
表示具有2M(N-1)+1个阵元的虚拟均匀线阵，[·]i表示位置为id的虚拟阵元；
插值后的虚拟阵列
Figure FDA0002906708870000028
被分为
Figure FDA0002906708870000029
个重叠的子阵，每个子阵有U个连续的虚拟阵元；相应地，插值虚拟阵列
Figure FDA00029067088700000210
对应的虚拟信号向量y被分为U个子阵列{r1，...，rU}；将这U个虚拟子阵列等价组合为
Figure FDA00029067088700000211
V视为包含U个虚拟域采样快拍的内插虚拟阵列信号，称为多采样虚拟信号；
根据V的原子范数定义，用于描述V的一个原子定义为
G(θ)＝r(θ)bH(θ) (9)
其中r(θ)表示第一个虚拟均匀线性子阵的导向矢量，同时也作为参考虚拟阵列，b(θ)＝[1，exp(-Jπsinθ)，...，exp(-Jπ(U-1)sinθ)]表示U个虚拟子阵与参考虚拟阵列之间的相位偏移，
Figure FDA00029067088700000212
其中θ∈[-90°，90°]；相应的原子集合为
Figure FDA00029067088700000213
用于描述多采样虚拟信号V的最少原子个数为
Figure FDA00029067088700000214
4.根据权利要求3所述的基于秩最小化Toeplitz重构的互质阵波达方向估计方法，其特征在于，步骤3的具体步骤包括：
根据多采样虚拟原子范数的性质，(11)等效为下面的秩最小化问题
Figure FDA00029067088700000215
Figure FDA00029067088700000216
Figure FDA00029067088700000217
其中
Figure FDA00029067088700000218
是厄密特Toeplitz矩阵，也是虚拟接收信号的协方差矩阵；向量z是T(z)的首列；
Figure FDA00029067088700000219
作为参考虚拟协方差矩阵；
Figure FDA00029067088700000220
是一个二值矩阵用来区分参考矩阵
Figure FDA00029067088700000221
中的零元素和非零元素；
Figure FDA0002906708870000031
是一个厄密特矩阵，η是常数；式(12)写成
Figure FDA0002906708870000032
Figure FDA0002906708870000033
Figure FDA0002906708870000034
为了解(13)，使用一个多参数问题公式进行线谱估计，取γ为一个正的常数并且定义一个函数f[W，T(z)，γ]为
Figure FDA0002906708870000035
其中
Figure FDA0002906708870000036
是一个厄密特矩阵，然后优化问题重新写为
Figure FDA0002906708870000037
Figure FDA0002906708870000038
Figure FDA0002906708870000039
Figure FDA00029067088700000310
交替优化变量z和W，即在固定一个变量的同时去优化另一个变量，再代回到(15)进行循环迭代；进一步地，将(15)中的第一个约束重新表示为一个μ控制的正则项加入到优化函数中；因此，根据(15)所提出的循环优化算法可分解为
Figure FDA00029067088700000311
Figure FDA00029067088700000312
Figure FDA00029067088700000313
Figure FDA00029067088700000314
其中z(i)和W(i)表示第i次迭代更新的数值；循环的终止条件为限制条件tr[WT(z)]≤0；
对一个厄密特矩阵
Figure FDA00029067088700000315
做特征值分解
Figure FDA00029067088700000316
其中
Figure FDA00029067088700000317
是一个酉矩阵，
Figure FDA00029067088700000318
是正的特征值；(17)的全局最优解为
Figure FDA00029067088700000319
其中
Figure FDA00029067088700000320
Ωγ，ζ[Y]＝UΩγ，ζ[∑]UH。
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