CN112866198A - 一种用于低功率广域网的物理层帧结构优化方法 - Google Patents

一种用于低功率广域网的物理层帧结构优化方法 Download PDF

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CN112866198A CN202011629686.2A CN202011629686A CN112866198A CN 112866198 A CN112866198 A CN 112866198A CN 202011629686 A CN202011629686 A CN 202011629686A CN 112866198 A CN112866198 A CN 112866198A
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张涛
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Abstract

本发明公开了一种用于低功率广域网的物理层帧结构优化方法，包括以下步骤：步骤1：建立通用的G‑PSAM帧结构；步骤2：利用费歇尔信息矩阵，得到基于所述G‑PSAM帧结构的载波频偏估计的DA&NDA CRB及其近似估计值；步骤3：基于控制变量法最大化所有导频块下的近似DA&NDA CRB，得到优化的导频图样；步骤4：基于控制变量法最大化所有数据块下的近似DA&NDA CRB，得到优化的数据图样；步骤5：将所述优化的导频图样和所述优化的数据图样结合，得到优化的G‑PSAM帧结构G′，以完成物理层帧结构的优化。本发明提供的用于低功率广域网的物理层帧结构优化方法采用了一种通用的数据帧结构，能够提升数据组帧的灵活性和对通信环境的适应性。

Description

一种用于低功率广域网的物理层帧结构优化方法
技术领域
本发明属于无线通信技术领域，具体涉及一种用于低功率广域网的物理层帧结构优化方法。
背景技术
对于低功耗广域网，尤其是窄带物联网领域，在资源约束(尤其是导频资源的限制)下探索更高的功率效率和更好的系统性能具有很大的挑战性，这促使人们对一些相关的优化问题进行深入研究。其中，以探索高导频利用率和提高系统整体性能为目标的帧优化问题具有较为重要的现实意义。为了解决这个问题，A.F.Alfredsson et al.和J.A.delPeral-Rosado et al.分别在“Pilot distributions for joint-channel carrier-phaseestimation in multichannel optical communications”(J.Lightwave Technol.,2020,38(17):4656-4663)和“Pilot placement for power-efficient uplink positioning in5G vehicular networks”(IEEE21st Int.Works.Signal Process.Adv.in Wirel.Commun.(SPAWC),Sapporo,2017:1-5)两文中采用经典的克拉美罗界(CRB)准则对载波相位估计和时延估计的均方误差进行优化。根据导频的使用情况，CRB可分为用于载波频偏估计、相偏估计和时延估计的数据辅助CRB(DA-CRB)、非数据辅助CRB(NDA-CRB)和联合数据辅助与非数据辅助CRB(DA&NDA CRB)。由于采用了联合导频和数据辅助模式，DA&NDA CRB以增加可接受的复杂度为代价给出了最佳的性能，而其他两个CRB与之相比下存在不同程度的性能差距。
对于一个给定的物理层帧结构，对应的导频图样会显著影响以CRB为目标的载波参数估计性能。J.Tapparel et al.在“An open-source LoRa physical layer prototypeon GNU radio”(IEEE 21st Int.Works.Signal Process.Adv.In Wirel.Commun.(SPAWC),Atlanta,GA,2020:1-5)一文中考虑了利用LoRa数据包中的前导码来估计载波参数。实际上，该导频图样是由数据序列和插入到数据序列头部的导频块组成。X.Cai et al.在“Enhanced frequency offset estimation based on pilot signal design over flat-fading channel”(IET Int.Commun.Conf.Wireless Mobile and Computing,Shanghai,China,2009:468-471)一文中发现：与等间隔导频图样相比，常用的导频前后置导频图样并不是最优的。其中，前者是由一个数据序列和两个插入数据序列头尾的导频块组成的。P.Neshaastegaran et al.、N.Kamiya et al.、Z.Yu et al.分别在“Log-likelihoodratio calculation for pilot symbol assisted coded modulation schemes withresidual phase noise”(IEEE Trans.Commun.,2019,67(5):3782-3790)、“Pilot-symbol-assisted phase noise compensation with forward-backward Wiener smoothingfilters”(IEEE Trans.Signal Process.,2017,65,17:4443-4453)和“A phaseincrement-based frequency estimator for general PSAM in burst communications”(IEEE 83rd Veh.Technol.Conf.,Nanjing,China,2016:1-5)三文中提出了一些更有效的等间隔导频图样。这些导频图样都可以看作是一种类似导频符号辅助调制(PSAM)的帧结构。在上述三文中，作者们都考虑了这样一种情况，即在数据序列的头部、尾部和其他位置分别插入一些等间隔的导频块，从而产生了具有相同长度的数据块。
然而，上述标准PSAM(S-PSAM)帧结构在数据组帧方面缺乏灵活性，对于通信环境的适应性较差，而且在CRB基准的意义上并不是最优的。
发明内容
为了解决现有技术中存在的上述问题，本发明提供了一种用于低功率广域网的物理层帧结构优化方法。本发明要解决的技术问题通过以下技术方案实现：
一种用于低功率广域网的物理层帧结构优化方法，包括以下步骤：
步骤1：建立通用的G-PSAM帧结构；
步骤2：利用费歇尔信息矩阵，得到基于所述G-PSAM帧结构的载波频偏估计的DA&NDA CRB及其近似估计值；
步骤3：基于控制变量法最大化所有导频块下的近似DA&NDA CRB，得到优化的导频图样；
步骤4：基于控制变量法最大化所有数据块下的近似DA&NDA CRB，得到优化的数据图样；
步骤5：将所述优化的导频图样和所述优化的数据图样结合，得到优化的G-PSAM帧结构G′，以完成物理层帧结构的优化。
在本发明的一个实施例中，步骤1包括：
1a)设定导频序列长度为LP和数据序列长度为MD，且在导频受限情况下有LP＜＜MD；
1b)按照非均匀的分割方式将导频序列分割成m个导频块{Pi}，每个导频块长度为Li；其中索引i从1到m，数据块数为m-1，每个数据块长度为Mi；
1c)按照非均匀的分割方式将数据序列分割成m-1个数据块{Dj}，每个数据块长度为Mj；其中，索引j从1到m-1；
1d)按照非等间隔的插入方式将m个导频块插入到m-1个数据块中，得到通用的G-PSAM帧结构G。
在本发明的一个实施例中，步骤2包括：
2a)按照通用的G-PSAM帧结构G的复用结构，通过采样时刻k遍历，得到对应于m个导频块的采样时刻集合
Figure BDA0002875936910000031
和对应于m-1个数据块的采样时刻集合
Figure BDA0002875936910000032
Figure BDA0002875936910000033
2b)利用采样时刻集合κP和κD，通过采样时刻k逐一提取，得到相应的离散调制信号序列s＝{sk}；其中，sk表示第k时刻的调制信号；
2c)利用得到的调制信号序列s，通过附加一定载波频偏fd的加性高斯白噪声信道，得到相应的离散接收信号序列
Figure BDA0002875936910000034
其中，rk表示第k时刻的接收信号，e表示自然指数，π表示圆周率，j表示虚数单位，nk表示复高斯随机变量；
2d)利用得到的接收信号序列r，通过遍历所有接收信号，得到对应的对数概率密度函数ln{p(r|fd)}，其表达式为：
Figure BDA0002875936910000035
其中，ln{·}表示取自然对数操作，
Figure BDA0002875936910000036
Figure BDA0002875936910000037
表示调制信号sk的共轭，
Figure BDA0002875936910000038
表示噪声方差，Re{·}表示取实部操作；
2e)利用得到的对数概率密度函数lnp(r|fd)，通过费歇尔信息矩阵F，得到载波频偏估计的DA&NDA CRB，表示为：
Figure BDA0002875936910000041
其中，(·)-1表示取逆操作，E[·]表示取期望操作，
Figure BDA0002875936910000042
表示对y求x的二次偏导操作，Es表示调制信号sk的能量，N0表示噪声nk的单边功率谱密度，Ts表示调制信号sk的持续时间；
2f)利用得到的载波频偏估计CRB(fd)-1，通过考虑LP＜＜MD的情况，得到载波频偏估计DA&NDA CRB的近似估计值，其表达式为：
Figure BDA0002875936910000043
其中，
Figure BDA0002875936910000044
在本发明的一个实施例中，步骤3包括：
3a)利用得到的载波频偏估计CRB′(fd)-1，通过最大化操作，得到G-PSAM帧结构G的优化目标函数：
Figure BDA0002875936910000045
其中，
Figure BDA0002875936910000046
分别表示原G-PSAM帧结构G中导频与数据图样({Li},{Mj})的优化结果，argmax{·}表示对函数求集合的函数；
3b)利用得到的优化目标函数，通过仅考虑所有导频块的影响，得到优化导频图样的目标函数，其表达式为：
Figure BDA0002875936910000051
其中，
Figure BDA0002875936910000052
表示对第i个导频块的加权系数，且满足
Figure BDA0002875936910000053
Figure BDA0002875936910000054
表示一个对导频图样优化的无关项；
3c)利用得到的优化导频图样目标函数，通过渐近最大化求和项准则，得到优化的导频图样，表示为：
Figure BDA0002875936910000055
其中，→表示趋向于。
在本发明的一个实施例中，步骤4包括：
4a)利用得到的优化导频图样
Figure BDA0002875936910000056
通过考虑所有数据块的影响，得到优化数据图样的目标函数：
Figure BDA0002875936910000057
其中，
Figure BDA0002875936910000058
和
Figure BDA0002875936910000059
表示对第j个数据块的加权系数，且满足
Figure BDA00028759369100000510
4b)利用得到的优化数据图样目标函数，通过渐近最大化求和项准则，得到优化的数据图样，表示为：
Figure BDA00028759369100000511
在本发明的一个实施例中，利用得到的优化导频图样和数据导频图样，得到优化的G-PSAM帧结构G′，可表示为：
Figure BDA0002875936910000061
本发明的有益效果：
1、本发明提供的用于低功率广域网的物理层帧结构优化方法采用了一种通用的数据帧结构，能够提升数据组帧的灵活性和对通信环境的适应性；
2、本发明提供的数据帧结构的优化方法，可以在有限的导频开销下获得更高的估计性能，提高了在低功率广域网通信中的可行性。
以下将结合附图及实施例对本发明做进一步详细说明。
附图说明
图1是本发明实施例提供的一种用于低功率广域网的物理层帧结构优化方法流程示意图；
图2是本发明实施例提供的通用PSAM(G-PSAM)帧结构示意图；
图3是本发明与传统S-PSAM帧结构在不同导频块数下的载波频偏估计CRB性能仿真图；
图4是本发明与传统S-PSAM帧结构在不同信噪比下的误比特性能仿真图。
具体实施方式
下面结合具体实施例对本发明做进一步详细的描述，但本发明的实施方式不限于此。
实施例一
为了支持在导频受限下的低功率广域网通信，本发明提出了一种新的物理层帧优化方案，其实现分为三步：第一步，在S-PSAM帧结构的基础上设计了一个通用PSAM(G-PSAM)帧结构；第二步，基于G-PSAM帧结构推导了对应于载波频偏估计的DA&NDA CRB及其近似结果；第三步，利用该近似结果和控制变量法给出了一种有效的G-PSAM帧结构优化方案。
请参见图1，图1是本发明实施例提供的一种用于低功率广域网的物理层帧结构优化方法流程示意图，包括：
步骤1：获取通用的G-PSAM帧结构。
具体地，步骤1包括：
1a)设定导频序列长度为LP和数据序列长度为MD，且在导频受限情况下有LP＜＜MD；
1b)按照非均匀的分割方式将导频序列分割成m个导频块{Pi}，每个导频块长度为Li；其中索引i从1到m，数据块数为m-1，每个数据块长度为Mi；
1c)按照非均匀的分割方式将数据序列分割成m-1个数据块{Dj}，每个数据块长度为Mj；其中，索引j从1到m-1；
1d)按照非等间隔的插入方式将m个导频块插入到m-1个数据块中，得到通用的G-PSAM帧结构G。
请参见图2，图2是本发明实施例提供的通用PSAM(G-PSAM)帧结构示意图。
步骤2：利用费歇尔信息矩阵，得到基于所述G-PSAM帧结构的载波频偏估计的DA&NDA CRB及其近似估计值，具体包括：
2a)按照通用的G-PSAM帧结构G的复用结构，通过采样时刻k遍历，得到对应于m个导频块的采样时刻集合
Figure BDA0002875936910000071
和对应于m-1个数据块的采样时刻集合
Figure BDA0002875936910000072
Figure BDA0002875936910000073
2b)利用采样时刻集合κP和κD，通过采样时刻k逐一提取，得到相应的离散调制信号序列s＝{sk}；其中，sk表示第k时刻的调制信号；
2c)利用得到的调制信号序列s，通过附加一定载波频偏fd的加性高斯白噪声信道，得到相应的离散接收信号序列
Figure BDA0002875936910000074
其中，rk表示第k时刻的接收信号，e表示自然指数，π表示圆周率，j表示虚数单位，nk表示复高斯随机变量；
2d)利用得到的接收信号序列r，通过遍历所有接收信号，得到对应的对数概率密度函数ln{p(r|fd)}，其表达式为：
Figure BDA0002875936910000075
其中，ln{·}表示取自然对数操作，
Figure BDA0002875936910000076
Figure BDA0002875936910000077
表示调制信号sk的共轭，
Figure BDA0002875936910000078
表示噪声方差，Re{·}表示取实部操作；
2e)利用得到的对数概率密度函数lnp(r|fd)，通过费歇尔信息矩阵F，得到载波频偏估计数据辅助与非数据辅助克拉美罗界(DA&NDA CRB)，表示为：
Figure BDA0002875936910000081
其中，(·)-1表示取逆操作，E[·]表示取期望操作，
Figure BDA0002875936910000082
表示对y求x的二次偏导操作，Es表示调制信号sk的能量，N0表示噪声nk的单边功率谱密度，Ts表示调制信号sk的持续时间；
2f)利用得到的载波频偏估计CRB(fd)-1，通过考虑LP＜＜MD的情况，得到载波频偏估计DA&NDA CRB的近似估计值，其表达式为：
Figure BDA0002875936910000083
其中，
Figure BDA0002875936910000084
步骤3：基于控制变量法最大化所有导频块下的近似DA&NDACRB，得到优化的导频图样，具体包括：
3a)利用得到的载波频偏估计CRB′(fd)-1，通过最大化操作，得到G-PSAM帧结构G的优化目标函数：
Figure BDA0002875936910000085
其中，
Figure BDA0002875936910000086
分别表示原G-PSAM帧结构G中导频与数据图样({Li},{Mj})的优化结果，argmax{·}表示对函数求集合的函数；
3b)利用得到的优化目标函数，通过仅考虑所有导频块的影响，得到优化导频图样的目标函数，其表达式为：
Figure BDA0002875936910000091
其中，
Figure BDA0002875936910000092
表示对第i个导频块的加权系数，且满足
Figure BDA0002875936910000093
Figure BDA0002875936910000094
表示一个对导频图样优化的无关项；
3c)利用得到的优化导频图样目标函数，通过渐近最大化求和项准则，得到优化的导频图样，表示为：
Figure BDA0002875936910000095
其中，→表示趋向于。
步骤4：基于控制变量法最大化所有数据块下的近似DA&NDA CRB，得到优化的数据图样，具体包括：
4a)利用得到的优化导频图样
Figure BDA0002875936910000096
通过考虑所有数据块的影响，得到优化数据图样的目标函数：
Figure BDA0002875936910000097
其中，
Figure BDA0002875936910000098
和
Figure BDA0002875936910000099
表示对第j个数据块的加权系数，且满足
Figure BDA00028759369100000910
4b)利用得到的优化数据图样目标函数，通过渐近最大化求和项准则，得到优化的数据图样，表示为：
Figure BDA00028759369100000911
步骤5：将所述优化的导频图样和所述优化的数据图样结合，得到优化的G-PSAM帧结构G′，以完成物理层帧结构的优化。
具体地，利用得到的优化导频图样和数据导频图样，通过两者的结合，得到优化的G-PSAM帧结构G′，可表示为：
Figure BDA0002875936910000101
本实施例基于S-PSAM帧结构的组帧方式，利用“非均匀分割及非等间隔插入”的方式设计出一种通用的PSAM(G-PSAM)帧结构，再利用费歇尔信息矩阵推导出基于G-PSAM帧结构的载波频偏估计DA&NDACRB及其近似形式，最后通过该近似形式和控制变量策略分别给出优化的导频图样和数据图样，实现在导频资源受限下对给定的物理层帧结构进行优化以提升联合数据辅助和非数据辅助的载波参数估计性能，能够提升数据组帧的灵活性和对通信环境的适应性。
此外，本实施例提供的数据帧结构的优化方法，可以在有限的导频开销下获得更高的估计性能，提高了在低功率广域网通信中的可行性。
实施例二
为了进一步说明本发明的有益效果，下面通过仿真实验进行对比说明。
仿真1：
1.1仿真条件：
设置导频序列长度LP＝300，数据序列长度MD＝6144，信噪比Es/N0＝9dB，导频块数m＝3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。
1.2仿真结果及分析：
对给定的导频序列长度和数据序列长度，按照不同导频块数利用上述实施例一中步骤2f)中公式计算出传统S-PSAM帧结构和本发明的优化帧结构下的载波频偏估计CRB值，再取以10为底的对数，仿真结果如图3所示，图3是本发明与传统S-PSAM帧结构在不同导频块数下的载波频偏估计CRB性能仿真图。
图3中以三角形标记的曲线表示在不同导频块数下，传统S-PSAM帧结构对应的载波频偏估计CRB。
图3中以方形标记的曲线表示在不同导频块数下，本发明的优化帧结构对应的载波频偏估计CRB。
由图3可以看出，本发明的优化帧结构的载波频偏估计CRB性能要比传统S-PSAM帧结构的载波频偏估计CRB性能高很多，超过了2个数量级。
仿真2：
2.1仿真条件：
采用编码方式为低密度校验(LDPC)码，调制方式为高斯最小频移键控(GMSK)，导频序列长度LP＝300，数据序列长度MD＝6144，导频块数m＝3。
2.2仿真结果及分析：
对2个数据块进行低密度校验(LDPC)码编码后，再与3个导频块进行高斯最小频移键控(GMSK)调制，再分别进行传统S-PSAM帧结构和本发明的优化帧结构的形式组帧，经过加性高斯白噪声信道加噪处理，当归一化频偏fdTs＝0.45时，在不同信噪比Eb/N0下，通过蒙特卡罗仿真统计错误比特数，仿真结果如图4所示，图4是本发明与传统S-PSAM帧结构在不同信噪比下的误比特性能仿真图。
图4中以圆形标记的曲线表示在不同信噪比Eb/N0下，考虑传统S-PSAM帧结构后的误比特性能。
图4中以方形标记的曲线表示在不同信噪比Eb/N0下，考虑本发明的优化帧结构后的误比特性能。
图4中虚线表示在不同信噪比Eb/N0下，没有频偏的理想情况下的误比特性能。
由图4可以看出，在导频开销η＝300/6144≈0.05下，当误比特性能为10-4时，与理想性能相比，基于本发明的优化帧结构的系统仅有0.2dB信噪比损失，而基于传统S-PSAM帧结构的系统却有超过0.8dB信噪比损失。
由此说明，即使在短包传输方式下，本发明提供的优化帧结构在DA&NDA-CRB下能够获得比S-PSAM帧结构更好的性能，同时其在误码率性能方面也具有较大的优势。
以上内容是结合具体的优选实施方式对本发明所作的进一步详细说明，不能认定本发明的具体实施只局限于这些说明。对于本发明所属技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干简单推演或替换，都应当视为属于本发明的保护范围。

Claims (6)

1.一种用于低功率广域网的物理层帧结构优化方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1：建立通用的G-PSAM帧结构；
步骤2：利用费歇尔信息矩阵，得到基于所述G-PSAM帧结构的载波频偏估计的DA&NDACRB及其近似估计值；
步骤3：基于控制变量法最大化所有导频块下的近似DA&NDA CRB，得到优化的导频图样；
步骤4：基于控制变量法最大化所有数据块下的近似DA&NDA CRB，得到优化的数据图样；
步骤5：将所述优化的导频图样和所述优化的数据图样结合，得到优化的G-PSAM帧结构G′，以完成物理层帧结构的优化。
2.根据权利要求1所述的用于低功率广域网的物理层帧结构优化方法，其特征在于，步骤1包括：
1a)设定导频序列长度为LP和数据序列长度为MD，且在导频受限情况下有LP＜＜MD；
1b)按照非均匀的分割方式将导频序列分割成m个导频块{Pi}，每个导频块长度为Li；其中索引i从1到m，数据块数为m-1，每个数据块长度为Mi；
1c)按照非均匀的分割方式将数据序列分割成m-1个数据块{Dj}，每个数据块长度为Mj；其中，索引j从1到m-1；
1d)按照非等间隔的插入方式将m个导频块插入到m-1个数据块中，得到通用的G-PSAM帧结构G。
3.根据权利要求2所述的用于低功率广域网的物理层帧结构优化方法，其特征在于，步骤2包括：
2a)按照通用的G-PSAM帧结构G的复用结构，通过采样时刻k遍历，得到对应于m个导频块的采样时刻集合
Figure FDA0002875936900000011
和对应于m-1个数据块的采样时刻集合
Figure FDA0002875936900000012
Figure FDA0002875936900000013
2b)利用采样时刻集合κP和κD，通过采样时刻k逐一提取，得到相应的离散调制信号序列s＝{sk}；其中，sk表示第k时刻的调制信号；
2c)利用得到的调制信号序列s，通过附加一定载波频偏fd的加性高斯白噪声信道，得到相应的离散接收信号序列
Figure FDA0002875936900000021
其中，rk表示第k时刻的接收信号，e表示自然指数，π表示圆周率，j表示虚数单位，nk表示复高斯随机变量；
2d)利用得到的接收信号序列r，通过遍历所有接收信号，得到对应的对数概率密度函数ln{p(r|fd)}，其表达式为：
Figure FDA0002875936900000022
其中，ln{·}表示取自然对数操作，
Figure FDA0002875936900000023
Figure FDA0002875936900000024
表示调制信号sk的共轭，
Figure FDA0002875936900000025
表示噪声方差，Re{·}表示取实部操作；
2e)利用得到的对数概率密度函数lnp(r|fd)，通过费歇尔信息矩阵F，得到载波频偏估计的DA&NDA CRB，表示为：
Figure FDA0002875936900000026
其中，(·)-1表示取逆操作，E[·]表示取期望操作，
Figure FDA0002875936900000027
表示对y求x的二次偏导操作，Es表示调制信号sk的能量，N0表示噪声nk的单边功率谱密度，Ts表示调制信号sk的持续时间；
2f)利用得到的载波频偏估计CRB(fd)-1，通过考虑LP＜＜MD的情况，得到载波频偏估计DA&NDA CRB的近似估计值，其表达式为：
Figure FDA0002875936900000028
其中，
Figure FDA0002875936900000029
4.根据权利要求3所述的用于低功率广域网的物理层帧结构优化方法，其特征在于，步骤3包括：
3a)利用得到的载波频偏估计CRB′(fd)-1，通过最大化操作，得到G-PSAM帧结构G的优化目标函数：
Figure FDA0002875936900000031
其中，
Figure FDA0002875936900000032
分别表示原G-PSAM帧结构G中导频与数据图样({Li},{Mj})的优化结果，arg max{·}表示对函数求集合的函数；
3b)利用得到的优化目标函数，通过仅考虑所有导频块的影响，得到优化导频图样的目标函数，其表达式为：
Figure FDA0002875936900000033
其中，
Figure FDA0002875936900000034
表示对第i个导频块的加权系数，且满足
Figure FDA0002875936900000035
表示一个对导频图样优化的无关项；
3c)利用得到的优化导频图样目标函数，通过渐近最大化求和项准则，得到优化的导频图样，表示为：
Figure FDA0002875936900000036
其中，→表示趋向于。
5.根据权利要求4所述的用于低功率广域网的物理层帧结构优化方法，其特征在于，步骤4包括：
4a)利用得到的优化导频图样
Figure FDA0002875936900000037
通过考虑所有数据块的影响，得到优化数据图样的目标函数：
Figure FDA0002875936900000041
其中，
Figure FDA0002875936900000042
和
Figure FDA0002875936900000043
表示对第j个数据块的加权系数，且满足
Figure FDA0002875936900000044
4b)利用得到的优化数据图样目标函数，通过渐近最大化求和项准则，得到优化的数据图样，表示为：
Figure FDA0002875936900000045
6.根据权利要求5所述的用于低功率广域网的物理层帧结构优化方法，其特征在于，步骤5包括：
利用得到的优化导频图样和数据导频图样，得到优化的G-PSAM帧结构G′，可表示为：
Figure FDA0002875936900000046
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