CN112819949B - 一种基于结构化低秩矩阵的磁共振指纹图像重建方法 - Google Patents

一种基于结构化低秩矩阵的磁共振指纹图像重建方法 Download PDF

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Abstract

一种基于结构化低秩矩阵的磁共振指纹图像重建方法，属于磁共振指纹成像领域，用以解决欠采样机制下磁共振指纹定量参数图像重建质量问题。本发明方法的技术要点包括利用磁共振指纹图像一阶偏导的傅里叶变换获取结构化低秩矩阵；根据结构化低秩约束和磁共振指纹图像的欠采样空间数据建立图像重建优化方程；利用迭代重加权最小二乘法和子空间映射求解图像重建优化方程；判断图像重建结果是否满足收敛条件和迭代终止条件，若满足则获取最终的图像重建数据；对图像重建数据做傅里叶逆变换获取三维重建指纹数据矩阵；将其与通过计算机仿真得到的字典进行匹配，获得重建定量参数图像。本发明可用于进一步提高欠采样机制下磁共振指纹图像的重建质量。

Description

一种基于结构化低秩矩阵的磁共振指纹图像重建方法
技术领域
本发明涉及磁共振指纹成像领域，具体涉及一种基于结构化低秩矩阵的磁共振指纹图像重建方法。
背景技术
磁共振成像技术(MRI)因其无电离辐射、成像分辨率高、成像参数多等优势，在临床诊断和医学研究上得到了广泛应用。然而MRI所成图像为信号强度对比图像，为定性图像，无法满足临床上精细定量诊断的目标。由核磁共振原理可知，MRI生而固有定量成像的潜质。随着磁共振成像研究的深入，定量磁共振成像应运而生，但其成像时间开销大、对磁共振仪器精度要求高且一次成像只能得到一种磁共振参数的定量图像，临床上难以推广。
2013年，Ma Dan等人提出磁共振指纹成像(MRF)理论，引起极大的关注，其成像速度快、噪声容忍度高并且一次成像可同时获得多个磁共振参数定量数据，改善了定量磁共振成像的不足，使得定量磁共振成像的临床推广成为可能。实际中，为了加快成像速度，MRF在信号采集过程中往往引入高倍欠采样机制，而欠采样的数据必然引起混叠误差，从而降低定量磁共振参数成像质量。传统的MRF重建算法—快速傅里叶逆变换法(IFFT)具有一定的局限性，未充分利用MRF的先验知识，未对欠采样噪声妥善处理，因此影响图像重建质量。目前广泛用于压制MRF欠采样噪声的方法主要为稀疏、低秩方法，但通过研究发现，在欠采样倍数不变的前提下，图像质量仍有一定的提高空间。
发明内容
本发明提出一种基于结构化低秩矩阵的磁共振指纹图像重建方法，用以解决欠采样机制下磁共振指纹定量参数图像重建质量问题。
本发明为解决上述问题所采取的技术方案：
一种基于结构化低秩矩阵的磁共振指纹图像重建方法，包括以下步骤：
步骤一、对磁共振指纹图像的k空间数据进行欠采样，获取欠采样k空间数据；
步骤二、利用磁共振指纹图像的一阶偏导矩阵的傅里叶变换与三维滤波器进行卷积，获取结构化低秩矩阵；
步骤三、根据步骤二获取的结构化低秩矩阵引入结构化低秩约束，并利用步骤一获取的欠采样k空间数据构建信号保真项，建立图像重建优化方程；
步骤四、利用迭代重加权最小二乘法(IRLS)和子空间映射求解步骤三中的图像重建优化方程，获取图像重建结果；
步骤五、判断步骤四中获取的图像重建结果是否满足收敛条件和迭代终止条件，若满足则获取最终的图像重建数据；若不满足则返回步骤四继续求解；
步骤六、对图像重建数据做傅里叶逆变换获取三维重建指纹数据矩阵；
步骤七、将获取的三维重建指纹数据矩阵与通过计算机仿真得到的字典进行匹配，获取重建定量参数图像。
进一步地，步骤二中利用磁共振指纹图像的一阶偏导矩阵的傅里叶变换与三维滤波器进行卷积的具体步骤包括，将三维滤波器上下左右前后反转为卷积滤波器，将所述卷积滤波器滑动窗口对应位置的信号矩阵块直接按照卷积滤波器的索引顺序列化为行向量，滑动卷积滤波器重复执行，并将所有的行向量按顺序纵向排列，即得到Toeplitz矩阵。
进一步地，步骤二中结构化低秩矩阵为由磁共振指纹图像获得的Toeplitz矩阵的组合。
进一步地，步骤三中所述简化图像重建优化方程为：
其中，A＝SFt *，Ft *表示时间维度上的一维傅里叶反变换，S表示欠采样模板；U表示(k,Ft)-空间MR数据；b表示欠采样k空间数据；λ为正则化参数；Rank[T(U)]表示结构化低秩约束项。
进一步地，步骤四中利用迭代重加权最小二乘法(IRLS)和子空间映射求解图像重建优化方程包括更新权重系数矩阵、求解最小二乘方程和子空间映射三个循环迭代步骤。
进一步地，更新权重系数矩阵步骤包括利用特征值分解求解权重系数矩阵。
进一步地，求解最小二乘方程步骤包括利用结构化低秩矩阵性质来简化最小二乘方程，并利用交替方向乘子算法(ADMM)和共轭梯度算法(CG)分别进行迭代求解。
进一步地，子空间映射步骤包括利用Moore-Penrose伪逆将最小二乘方程求解得到磁共振指纹图像映射到字典子空间。
进一步地，步骤六的具体步骤包括对图像重建数据先做时间维傅里叶逆变换，再做空间维傅里叶逆变换。
进一步地，步骤七中对通过计算机仿真得到的字典进行下述处理，对于字典D，以带有下标的Dk索引单个字典条目，将Dk对应的磁共振参数以相同的排列顺序排列形成磁共振参数查找表。
本发明具有以下有益技术效果：
本发明基于结构化低秩矩阵的磁共振指纹图像重建方法，采用一阶结构低秩矩阵，所需计算量小且速度快；同时，本发明面向磁共振指纹图像的三维图像处理，较二维图像处理更加复杂，且直接运用结构低秩矩阵进行图像重建将面临巨大的计算量，本发明充分利用结构化低秩矩阵的性质，大幅减小了计算量，使其能够在计算机上高效运行，并且由于三维重建的特殊性，还运用了共轭梯度算法(CG)迭代求解，有效降低欠采样噪声，可以在较高采样倍数下重建更高质量的磁共振指纹定量图像；另外，本发明充分利用磁共振指纹与字典的约束关系，引入子空间映射将磁共振指纹图像映射到字典的子空间，大幅提高了磁共振指纹定量图像的重建质量。
附图说明
图1示出了根据本发明实施方式的一种基于结构化低秩矩阵的磁共振指纹图像重建方法的示意性流程图。
图2示出了根据本发明实施方式的一种基于结构化低秩矩阵的磁共振指纹图像重建方法的变密度螺旋欠采样模板示意图。
图3示出了根据本发明实施方式的一种基于结构化低秩矩阵的磁共振指纹图像重建方法中结构化低秩矩阵的形成过程示意图。
图4示出了根据本发明实施方式的一种基于结构化低秩矩阵的磁共振指纹图像重建方法的Toeplitz矩阵形成过程示意图。
图5示出了重建的人脑磁共振参数定量图像对比图。
图6示出了重建的人脑磁共振参数定量图像的误差对比图。
具体实施方式
下面结合附图和实例对本发明进行详细说明。
磁共振指纹成像(MRF)过程主要分为以下四个步骤：
(1)对任意给定的MRF脉冲序列及其伪随机变化的扫描参数，通过磁共振扫描设备运行该MRF脉冲序列得到欠采样的(k,t)-空间MR数据b；
(2)根据设定的MRF脉冲序列及其参数，利用计算机仿真形成字典D；
(3)利用欠采样的(k,t)-空间MR数据b重建指纹信号u；
(4)将指纹信号u与字典D做匹配，重建磁共振参数定量图像。
本发明的目的是克服上述步骤(3)中欠采样噪声对指纹信号u重建的干扰问题，提出了一种基于结构化低秩矩阵的磁共振指纹重建方法，能够有效压制欠采样噪声，在较高欠采样倍数下高质量重建指纹信号，从而能够高质量重建磁共振参数定量图像。
图1示出了根据本发明实施方式的一种基于结构化低秩矩阵的磁共振指纹图像重建方法的示意性流程图。如图1所示，该方法步骤包括，
步骤一、对磁共振指纹图像的k空间数据进行欠采样，获取欠采样k空间数据；
根据本发明实施例，采用完全计算机仿真的方式获取数据。设置MRF的脉冲序列为400个TR周期的FISP脉冲序列，其中，脉冲周期TR和脉冲翻转角FA为伪随机序列。采用中间密集、两侧稀疏的二维变密度螺旋采样模板进行欠采样，其欠采样率约为20％，变密度螺旋采样模板如图2所示。
利用一组已知实测的人脑定量磁共振参数(T1、T2、PD)图像Ri(x),i∈{T1,T2,PD}，基于布洛赫方程，针对前述设置的FISP脉冲序列，采用EPG方法[1,2]，经计算机逐像素仿真生成对应于前述FISP脉冲序列指纹信号R(x,t)，对其进行逐帧的二维快速傅里叶变换得到(k,t)-空间MR数据利用变密度螺旋采样模板对其进行欠采样，并叠加一定的高斯白噪声，生成仿真模拟的欠采样(k,t)-空间MR数据b，且/>S表示二维变密度螺旋欠采样，n表示高斯噪声。
步骤二、利用磁共振指纹图像的一阶偏导矩阵的傅里叶变换与三维滤波器进行卷积，获取结构化低秩矩阵；
根据本发明实施例，设磁共振指纹图像为u(x,t)，其中，x表示MR图像的空间位置。对u(x,t)的空间维x做二维傅里叶变换得到(k,t)-空间MR数据再对时间维做一维傅里叶变换得到(k,Ft)-空间MR数据U(k,Ft)。本发明中规定符号u和U均为三维矩阵按线性索引顺序向量化的列向量，并以此向量指代三维矩阵，可进行三维矩阵运算。此后步骤均在数据为向量的角度进行说明。图3示出了根据本发明实施方式的一种基于结构化低秩矩阵的磁共振指纹图像重建方法中结构化低秩矩阵的形成过程示意图。
对u求一阶偏导得其一阶偏导的三维傅里叶变换可表示为 上述过程可由矩阵相乘来快速实现：
其中，下标i＝{x,y,t}表示维数索引，Mi表示矩阵模板。
本实施例选定15×15×7像素的三维矩阵块Q(该矩阵大小一般小于矩阵u)，则一阶偏导矩阵的傅里叶变换矩阵与Q的卷积，可表示为Toeplitz矩阵相乘的形式：
其中，运算符*表示三维离散卷积； 表示一个矩形的Toeplitz矩阵，其可以利用/>与三维滤波器Q进行“卷积列化”操作得到，具体过程为：将三维滤波器Q上下左右前后反转为卷积滤波器，执行类似于卷积过程的卷积滤波器滑动，将卷积滤波器滑动窗口对应位置的/>的矩阵块直接按照卷积滤波器的索引顺序列化为行向量，滑动卷积滤波器重复此过程，并将所有的行向量按顺序纵向排列，即得到Toeplitz矩阵Ti(U)，图4示出了根据本发明实施方式的一种基于结构化低秩矩阵的磁共振指纹图像重建方法中Toeplitz矩阵形成过程示意图，图中“○”符号表示三维矩阵的第一个元素，/>符号表示最后一个元素。
由自然图像处理相关内容可知，u(x,t)可由三维分段常数矩阵近似且其形成的Toeplitz矩阵Ti(U)具有低秩性。
进一步地，将由获得的三个Toeplitz矩阵Tx(U)，Ty(U)，Tt(U)纵向排列组合成一个矩阵T(U)，如下所示：
则由Toeplitz矩阵低秩性可知，T(U)也具有低秩性，因此本发明中矩阵T(U)为结构化低秩矩阵。
步骤三、根据步骤二获取的结构化低秩矩阵引入结构化低秩约束，并利用步骤一获取的欠采样k空间数据构建信号保真项，建立图像重建优化方程；
根据本发明实施例，利用结构化低秩约束，并引入信号保真项，可得到如下图像重建优化方程：
其中，A＝SFt *，Ft *为时间维度上的一维傅里叶反变换，S为欠采样模板；U表示(k,Ft)-空间MR数据；b为获得的欠采样k空间数据；λ为正则化参数；Rank[T(U)]为结构化低秩约束项。
实际中，出于减小计算量的目的，常常利用Topelitz矩阵的性质—Toeplitz矩阵可嵌入一个更大的循环矩阵中：
其中，C(MiU)表示MiU的卷积循环矩阵；PΓ和分别表示卷积循环矩阵的行限制和列限制算子，省略行限制算子PΓ，则有/>进一步得到简化的结构化低秩矩阵T(U)，并松弛约束问题为：
低秩约束项Rank[T(U)]在行业内有很多选择，本实施例以schatten-p范数为例来说明，其定义为：
1)p＝0时定义为：
其中，X*表示X的共轭转置；
2)0＜p＜1时定义为：
步骤四、利用迭代重加权最小二乘法(IRLS)和子空间映射求解步骤三中的图像重建优化方程，获取图像重建结果；
根据本发明实施例，利用迭代重加权最小二乘法(IRLS)和子空间映射求解图像重建优化方程包括更新权重系数矩阵、求解最小二乘方程和子空间映射三个循环迭代步骤。
首先，更新权重系数矩阵包括利用特征值分解求解权重系数矩阵，权重系数矩阵为：
对上式中T(U(n-1))*T(U(n-1))进行特征值分解，得到：
其中，V为特征向量vj形成的特征矩阵；Λ为对角元素为特征值λj的特征值矩阵；εn→0用于平衡指数项/>为负所带来的不稳定性。
实际中，由于磁共振指纹图像为三维，形成的结构低秩矩阵T(U(n-1))将达到几百G的量级，因此直接计算T(U(n-1))*T(U(n-1))不可实现，本发明利用将该计算式转化为：
其中,F表示傅里叶变换。此变换将计算量从百G量级迅速压低到磁共振指纹图像内存量级，使得算法能够在普通计算机上高效运行。
然后，最小二乘问题为：
其中，||·||F表示F范数。
运用结构化低秩矩阵的性质化简最小二乘问题，进一步变换为：
其中，L为一个对角阵，其对角线向量可由得到；/>即为对对角矩阵的每一个元素开平方根的结果；|·|2表示对矩阵的每个元素平方；F表示傅里叶变换；wn为权重系数矩阵/>的列向量；N表示/>的列数。
令di＝F*MiU，则上述无约束优化问题可转变为有约束问题：
s.t.di＝F*MiU
引入拉格朗日乘子qi，利用交替方向乘子算法(ADMM)和共轭梯度算法(CG)分别迭代求解(k,Ft)-空间MR数据U、辅助变量di与拉格朗日乘子qi；
利用交替方向乘子算法求解上述有约束问题公式，计算结果如下：
di (n+1)＝(L+γiI)-1γi(F*MiU(n)-qi (n))
qi (n+1)＝qi (n)+di (n+1)-F*MiU(n+1)
其中，γi为固定大小的系数；上标n表示迭代次数；U表示(k,Ft)-空间MR数据；di表示辅助变量；qi表示拉格朗日乘子；L+γiI是一个对角矩阵，它的逆矩阵就是每个元素的倒数。
由于A＝SFt *，因此U的表达式中，含有直接对U起作用的傅里叶算子，不能直接用矩阵运算直接进行的更新，因此使用共轭梯度算法(CG)求解下式，进而对U进行更新。
最后，对磁共振指纹图像进行子空间映射，映射到字典的子空间。
由磁共振指纹(MRF)的原理可知，一个特定的指纹信号可由一个或多个字典条目线性表示，因此所有指纹信号张成的空间应当为所有字典条目所张成空间的子空间，因此通过Moore-Penrose伪逆将磁共振指纹图像映射到字典D的子空间：
Unew＝FP(F*U)
其中，F,F*表示三维傅里叶变换和逆变换；P(·)表示映射算子；D为字典矩阵；表示字典矩阵的Moore-Penrose伪逆。
步骤五、判断步骤四中获取的图像重建结果是否满足收敛条件和迭代终止条件，若满足则获取最终的图像重建数据；若不满足则返回步骤四继续求解；
根据本发明实施例，判断是否满足迭代终止条件，若不满足迭代终止条件则利用当前获得的(k,Ft)-空间MR数据U更新结构化低秩矩阵，并返回步骤四中继续进行循环迭代；若满足迭代终止条件则获得最终的(k,Ft)-空间MR数据U。
步骤六、对图像重建数据做傅里叶逆变换获取三维重建指纹数据矩阵；
根据本发明实施例，对求解优化方程求得的(k,Ft)-空间MR数据U先做时间维傅里叶逆变换，再做空间维傅里叶逆变换即得到三维磁共振指纹数据矩阵u(x,t)：
步骤七、将获取的三维重建指纹数据矩阵与通过计算机仿真得到的字典进行匹配，获取重建定量参数图像。
根据本发明实施例，采用400个TR周期的FISP脉冲序列，设置T1的取值范围及步进为100～2000ms步进20ms、2000～5000ms步进300ms；T2的取值范围及步进为20～100ms步进5ms、100～200ms步进10ms、300～1900ms步进200ms，利用EPG方程仿真形成大小为3366×400的字典D，并以带有下标的Dk索引单个字典条目，将Dk对应的T1、T2参数以相同的排列顺序排列形成大小为3366×2的磁共振参数查找表LUT。
对于第j个指纹信号u(j,:)，其指纹匹配过程为：
其中，PD为质子密度。遍历所有指纹信号，即得到磁共振参数T1,T2,PD的定量图像。
根据本发明实施例，为了定量分析本发明发明效果，采用SNR指标对实验结果进行分析，SNR指标的定量分析公式为：
其中，R(x)表示原始图像，u(x)表示重建的磁共振指纹定量图像。
将本发明方法与一种重建质量较高的低秩方法、快速傅里叶反变换(IFFT)方法在图像重建效果上进行比较。SNR指标对比结果如表1所示。由表1可知，本发明方法对磁共振参数定量图像的重建精度最高。
表1
图5示出了重建的人脑磁共振参数定量图像对比图，从重建图像的直观对比中可以看出，本发明方法对磁共振参数的定量图像重建的质量最高，最接近原始参考图像，优于其他两种方法。
图6示出了重建的人脑磁共振参数定量图像的误差对比图，从误差图像对比中可以看出，本发明方法图像重建误差最低，重建效果最佳，优于其他两种方法。
尽管根据有限数量的实施例描述了本发明，但是受益于上面的描述，本技术领域内的技术人员明白，在由此描述的本发明的范围内，可以设想其它实施例。对于本发明的范围，对本发明所做的公开是说明性的，而非限制性的，本发明的范围由所附权利要求书限定。
本发明援引的文献如下：
[1]Hennig J.Echoes—how to generate,recognize,use or avoid them inMR-imaging sequences.Part I:Fundamental and not so fundamental properties ofspin echoes[J].Concepts in Magnetic Resonance,1991,3(3):125–143.
[2]Hennig J.Multiecho imaging sequences with low refocusing flipangles[J].Journal of Magnetic Resonance(1969),1988,78(3):397–407.

Claims (10)

1.一种基于结构化低秩矩阵的磁共振指纹图像重建方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤一、对磁共振指纹图像的k空间数据进行欠采样，获取欠采样k空间数据；
步骤二、利用磁共振指纹图像的一阶偏导矩阵的傅里叶变换与三维滤波器进行卷积，获取结构化低秩矩阵；
步骤三、根据所述结构化低秩矩阵引入结构化低秩约束，并利用所述欠采样k空间数据构建信号保真项，建立图像重建优化方程；
步骤四、利用迭代重加权最小二乘法和子空间映射求解所述图像重建优化方程，获取图像重建结果；
步骤五、判断所述图像重建结果是否满足收敛条件和迭代终止条件，若满足则获取最终的图像重建数据；若不满足则返回步骤四继续求解；
步骤六、对图像重建数据做傅里叶逆变换，获取三维重建指纹数据矩阵；
步骤七、将获取的三维重建指纹数据矩阵与通过计算机仿真得到的字典进行匹配，获取重建定量参数图像。
2.根据权利要求1所述一种基于结构化低秩矩阵的磁共振指纹图像重建方法，其特征在于，步骤二中利用磁共振指纹图像的一阶偏导矩阵的傅里叶变换与三维滤波器进行卷积的具体步骤包括：将三维滤波器上下左右前后反转为卷积滤波器，将卷积滤波器滑动窗口对应位置的信号矩阵块直接按照卷积滤波器的索引顺序列化为行向量，滑动卷积滤波器重复执行上述过程即将卷积滤波器滑动窗口对应位置的信号矩阵块直接按照卷积滤波器的索引顺序列化为行向量，并将所有的行向量按顺序纵向排列，得到Toeplitz矩阵。
3.根据权利要求2所述一种基于结构化低秩矩阵的磁共振指纹图像重建方法，其特征在于，步骤二中所述结构化低秩矩阵为由动态磁共振图像的一阶偏导矩阵的傅里叶变换与三维滤波器进行卷积获得的Toeplitz矩阵的组合。
4.根据权利要求1所述一种基于结构化低秩矩阵的磁共振指纹图像重建方法，其特征在于，步骤三中所述图像重建优化方程为：
其中，A＝SFt *，Ft *表示时间维度上的一维傅里叶逆变换，S表示欠采样模板；U为(k,Ft)-空间MR数据；b表示欠采样k空间数据；λ为正则化参数；Rank[T(U)]表示结构化低秩约束项。
5.根据权利要求1所述一种基于结构化低秩矩阵的磁共振指纹图像重建方法，其特征在于，步骤四中利用迭代重加权最小二乘法和子空间映射求解图像重建优化方程包括更新权重系数矩阵、求解最小二乘方程和子空间映射三个循环迭代步骤。
6.根据权利要求5所述一种基于结构化低秩矩阵的磁共振指纹图像重建方法，其特征在于，更新权重系数矩阵步骤包括利用特征值分解求解权重系数矩阵。
7.根据权利要求5所述一种基于结构化低秩矩阵的磁共振指纹图像重建方法，其特征在于，求解最小二乘方程步骤包括利用结构化低秩矩阵性质来简化最小二乘方程，并利用交替方向乘子算法和共轭梯度算法分别进行迭代求解。
8.根据权利要求5所述一种基于结构化低秩矩阵的磁共振指纹图像重建方法，其特征在于，子空间映射步骤包括利用Moore-Penrose伪逆将最小二乘方程求解得到磁共振指纹图像映射到字典子空间。
9.根据权利要求1所述一种基于结构化低秩矩阵的磁共振指纹图像重建方法，其特征在于，步骤六的具体步骤包括对图像重建数据先做时间维傅里叶逆变换，再做空间维傅里叶逆变换。
10.根据权利要求1所述一种基于结构化低秩矩阵的磁共振指纹图像重建方法，其特征在于，步骤七中对通过计算机仿真得到的字典进行下述处理，对于字典D，以带有下标的Dk索引单个字典条目，将Dk对应的磁共振参数以相同的排列顺序排列形成磁共振参数查找表。
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