CN107991636B - 一种基于适应性结构低秩矩阵的快速磁共振图像重建方法 - Google Patents

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CN107991636B CN201711202158.7A CN201711202158A CN107991636B CN 107991636 B CN107991636 B CN 107991636B CN 201711202158 A CN201711202158 A CN 201711202158A CN 107991636 B CN107991636 B CN 107991636B
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Abstract

一种基于适应性结构低秩矩阵的快速磁共振图像重建方法，涉及磁共振成像技术领域，为提高重建图像质量。包括以下步骤：(1)获取部分k空间数据；(2)求取偏导，并构造托普利兹矩阵；(3)建立图像重建模型；(4)对托普利兹矩阵变形并进行特征值分解；(5)计算权重系数矩阵带入重建模型；(6)引入辅助变量和拉格朗日乘子，利用ADMM算法迭代求解；(7)判断重建结果是否满足收敛条件；(8)达到迭代次数获得最终磁共振图像，否则以当前迭代得到的重建图像更新托普利兹矩阵，返回步骤(4)继续操作。与一阶、二阶结构低秩和全变分方法相比，本发明能在相同的欠采样倍数下获得质量更高的重建图像。

Description

一种基于适应性结构低秩矩阵的快速磁共振图像重建方法
技术领域
本发明涉及磁共振成像技术领域，具体涉及一种压缩感知理论下的基于适应性结构低秩矩阵正则化模型的交替迭代磁共振图像重建方法。
发明背景
磁共振成像技术凭借其无电离辐射、多参数控制、高成像质量等显著的优势，在临床医学诊断中得到了广泛应用。然而，较慢的成像速度是目前限制MRI发展的主要瓶颈问题。较长的扫描时间容易导致被扫描者的不自主生理性运动，导致图像伪影，降低成像质量，无法满足脑功能成像、心脏动态成像等高精度检测定位与高分辨率成像的要求，长时间扫描也会使一些病人产生不适感。因此，如何在保证图像质量的情况下缩短扫描时间、实现快速MR成像，已经成为一个亟待解决的问题。
基于图像数据的稀疏性，压缩感知理论提出可以在保证图像质量的情况下通过对k 空间数据欠采样实现图像重建，从而缩短成像时间。目前应用的方法主要集中于小波变换、全变分方法等，利用图像的先验知识进行正则化优化求解。但是这些方法存在一定局限性，例如全变分方法会产生阶梯状伪影，小波变换方法不能较好地重建边缘等细节信息，因此影响成像质量。
发明内容
本发明的目的是提出一种基于适应性结构低秩矩阵的快速磁共振图像重建方法，解决了目前磁共振成像速度较慢，重建的图像存在细节丢失等问题。
本发明为解决上述问题所采取的技术方案是：
(1)获取磁共振图像的部分k空间数据；
(2)利用图像一阶、二阶偏导矩阵对应的k空间矩阵与二维滤波器进行卷积操作得到托普利兹矩阵；
(3)基于托普利兹矩阵的低秩性，利用获取的部分k空间数据建立磁共振图像重建模型；
(4)将托普利兹矩阵改写并进行特征值分解，得到特征值与特征向量；
(5)利用求取的特征值和特征向量计算归零滤波矩阵并转化为权重系数矩阵带入重建模型中；
(6)引入辅助变量和拉格朗日乘子，利用交替方向乘子算法(ADMM)分别迭代求解重建图像、辅助变量与拉格朗日乘子；
(7)判断当前重建图像结果是否满足收敛条件，若满足进入步骤(8)，否则进入步骤(6)继续利用ADMM算法迭代求解重建图像、辅助变量与拉格朗日乘子；
(8)判断是否满足迭代次数，若满足则获得最终重建的磁共振图像，否则利用当前步骤中得到的磁共振图像更新托普利兹矩阵，返回步骤(4)继续进行循环迭代操作。
上述步骤(2)的操作如下：
f为空间域的重建图像，f1和f2分别为f的分块常数部分与分块线性部分，有 f＝f1+f2，其k空间的表示分别为
Figure GDA0002257141670000021
和
Figure GDA00022571416700000221
利用f1的一阶偏导数和f2的二阶偏导数分别对应的k空间矩阵与二维滤波器进行卷积操作得到托普利兹矩阵：
Figure GDA0002257141670000022
其中，
Figure GDA0002257141670000023
为f1的x方向上一阶偏导数对应的k空间矩阵与二维滤波器卷积得到的，
Figure GDA0002257141670000024
为f1的y方向上一阶偏导数对应的k空间矩阵与二维滤波器卷积得到的。
Figure GDA0002257141670000025
Figure GDA0002257141670000026
为f2三个方向上的二阶偏导数对应的k空间矩阵与二维滤波器卷积得到的。如式(1)，将这几个矩阵按行排列，得到
Figure GDA0002257141670000027
与
Figure GDA0002257141670000028
两个托普利兹矩阵，且这两个矩阵均具有低秩性。
步骤(3)中的图像重建模型如下所示：
Figure GDA0002257141670000029
其中A为k空间欠采样操作算子，b为获得的k空间欠采样数据，
Figure GDA00022571416700000210
表示p范数，β1与β2为用于平衡数据一致性项
Figure GDA00022571416700000211
和正则项
Figure GDA00022571416700000212
与
Figure GDA00022571416700000213
的两个正则化参数。式(2)的目的即为通过最小化代价方程，获得
Figure GDA00022571416700000214
与
Figure GDA00022571416700000215
利用
Figure GDA00022571416700000216
与
Figure GDA00022571416700000217
求和得到完整的k空间磁共振图像
Figure GDA00022571416700000218
经傅里叶反变换后重建出空间域的磁共振图像f。
上述步骤(4)具体包括：
通过对
Figure GDA00022571416700000219
进行行扩充，得到替代矩阵
Figure GDA00022571416700000220
再利用替代矩阵求取格拉姆矩阵：
Figure GDA0002257141670000031
Figure GDA0002257141670000032
表示
Figure GDA0002257141670000033
的共轭转置矩阵，对
Figure GDA0002257141670000034
进行特征值分解，得到其特征值与特征向量
Figure GDA0002257141670000035
N为非零特征值的个数。
上述步骤(5)具体包括：
通过步骤(4)中得到的特征值与特征向量，计算令
Figure GDA0002257141670000036
归零化的归零滤波器h:
Figure GDA0002257141670000037
其中，
Figure GDA0002257141670000038
表示hj[-k]的共轭向量，同理
Figure GDA0002257141670000039
Figure GDA00022571416700000310
p为建模过程中用到的范数值，ε为平滑参数，*表示乘法运算。再对
Figure GDA00022571416700000311
进行如下改写：
Figure GDA00022571416700000312
Tr[]为求矩阵迹的运算，||·||F表示F范数，hj为
Figure GDA00022571416700000313
的第j列，将hj带入上式，可以得到如下形式：
Figure GDA00022571416700000314
其中，D1和D2为通过归零滤波矩阵h求取的权重系数矩阵，M1与M2分别表示空间域图像一阶与二阶偏导操作所对应的k空间操作算子。
上述步骤(6)具体包括：
对于式(6)的求解，引入辅助变量yi与拉格朗日乘子qi，令
Figure GDA00022571416700000315
F为傅里叶变换，式(6)可表示为：
Figure GDA00022571416700000316
对于上式的求解可以利用ADMM的方法：
Figure GDA0002257141670000041
Figure GDA0002257141670000042
Figure GDA0002257141670000043
其中，γi为固定大小的系数，(n+1)表示第n+1次迭代求解，(n)表示第n次迭代， F*表示傅里叶反变换。
本发明的有益效果是：
利用本发明提出的算法重构磁共振图像，磁共振图像重建质量较高，并且可以较好的权衡图像平滑部分与细节部分。实验表明，与全变分方法、一阶、二阶结构低秩矩阵方法相比，本发明能够在相同的欠采样倍数下获得更好的重建效果，从而有效实现加速磁共振成像的目的。
附图说明
图1为本发明方法流程图(基于适应性结构低秩矩阵的快速磁共振图像重建方法流程图)；
图2为仿真实验所用参考磁共振图像，图中：(a)为分块平滑图像，(b)为脑部磁共振图像；
图3为利用不同方法对图2中 (a)分块平滑图像在相同4倍欠采样条件下重建图像对比图 (分块平滑图像重建结果)；图中：(a)为分块平滑图像放大图(原图)；(b)为适应性结构低秩方法重建结果图(SNR＝40.29dB；归零滤波器大小为15×15)，(c)为一阶结构低秩方法重建结果图(SNR＝38.93dB；归零滤波器大小为15×15)，(d)为二阶结构低秩方法重建结果图(SNR＝33.25dB；归零滤波器大小为15×15)，(e)全变分重建结果图(SNR＝35.96dB)；
图4为利用不同方法对图2中 (b)脑部磁共振图像在相同5倍欠采样条件下重建图像对比图(磁共振图像重建结果)；图中：(a)为脑部磁共振图像放大图(原图)；(b)为适应性结构低秩方法重建结果图(SNR＝22.93dB；归零滤波器大小为15×15)，(c)为一阶结构低秩方法重建结果图(SNR＝22.07dB；归零滤波器大小为15×15)，(d)为二阶结构低秩方法重建结果图(SNR＝22.16dB；归零滤波器大小为15×15)，(e)为全变分重建结果图 (SNR＝21.95dB)。
具体实施方法
下面结合附图和实施例对本发明进行详细说明。
如图1所示，本发明的具体实施步骤如下：
(1)利用预先设置的欠采样模板获取部分k空间数据，为了验证本发明的效果，采用了一组模拟图像、一组参考磁共振图像，如图2所示，分别为分块平滑图像(a)，正向脑部磁共振图像(b)，对参考图像进行傅里叶变换，采集原始k空间数据，采集到的欠采样k空间数据表示为
Figure GDA0002257141670000051
其中A为对磁共振图像进行傅里叶变换后在k空间进行欠采样的操作算子，n为实际采样中可能存在的加性噪声，b为获得的k空间欠采样数据，
Figure GDA0002257141670000052
为k空间待重建图像；
对测量数据b直接进行补零傅里叶逆变换可得到空间域初始重建图像finit＝F-1b，其中F-1表示对测量数据做傅里叶逆变换；
(2)利用图像一阶、二阶偏导矩阵对应的k空间矩阵与二维滤波器进行卷积操作得到托普利兹矩阵；
(3)基于托普利兹矩阵的低秩性，利用获取的部分k空间矩阵建立磁共振图像重建模型；
(4)将托普利兹矩阵改写并进行特征值分解，得到特征值与特征向量；
(5)利用求取的特征值和特征向量计算归零滤波矩阵并转化为权重系数矩阵带入重建模型中；
(6)引入辅助变量和拉格朗日乘子，利用交替方向乘子算法(ADMM)分别迭代求解重建图像、辅助变量与拉格朗日乘子；
(7)判断当前重建图像结果是否满足收敛条件，若满足进入步骤(8)，否则进入步骤(6)继续利用ADMM算法迭代求解重建图像、辅助变量与拉格朗日乘子；
(8)判断是否满足迭代次数，若满足则获得最终重建的磁共振图像，否则利用当前步骤中得到的磁共振图像更新托普利兹矩阵，返回步骤(4)继续进行循环迭代操作。
上述步骤(2)的操作如下：
f为空间域的重建图像，f1和f2分别为f的分块常数部分与分块线性部分，有 f＝f1+f2，其k空间的表示分别为
Figure GDA0002257141670000061
和
Figure GDA0002257141670000062
利用f1的一阶偏导数和f2的二阶偏导数分别对应的k空间数据与二维滤波器进行卷积操作得到托普利兹矩阵：
Figure GDA0002257141670000063
其中，
Figure GDA0002257141670000064
为f1的x方向上一阶偏导数对应的k空间数据与二维滤波器卷积得到的，
Figure GDA0002257141670000065
为f1的y方向上一阶偏导数对应的k空间数据与二维滤波器卷积得到的。
Figure GDA0002257141670000066
Figure GDA0002257141670000067
为f2三个方向上的二阶偏导数对应的k空间数据与二维滤波器卷积得到的。如式(1)，将这几个矩阵按行排列，得到
Figure GDA0002257141670000068
与
Figure GDA0002257141670000069
两个托普利兹矩阵，且这两个矩阵均具有低秩性。在第一次迭代过程中，
Figure GDA00022571416700000610
和
Figure GDA00022571416700000611
的初始值均选为步骤(1)中获取的 k空间数据。
步骤(3)中的图像重建模型如下所示：
Figure GDA00022571416700000612
其中A为磁共振图像傅里叶变换后k空间欠采样操作算子，b为获得的k空间欠采样数据，
Figure GDA00022571416700000613
表示p范数，β1与β2为用于平衡数据一致性项
Figure GDA00022571416700000614
和正则项
Figure GDA00022571416700000615
与
Figure GDA00022571416700000616
的两个正则化参数。式(2)的目的即为通过最小化代价方程，获得
Figure GDA00022571416700000617
与
Figure GDA00022571416700000618
利用
Figure GDA00022571416700000619
与
Figure GDA00022571416700000620
求和得到完整的k空间磁共振数据
Figure GDA00022571416700000621
经傅里叶反变换后重建出空间域的磁共振图像f。
上述步骤(4)具体包括：
通过对
Figure GDA00022571416700000622
进行行扩充，得到替代矩阵
Figure GDA00022571416700000623
再利用替代矩阵求取格拉姆矩阵：
Figure GDA00022571416700000624
对
Figure GDA0002257141670000071
进行特征值分解，得到其特征值与特征向量
Figure GDA0002257141670000072
N为非零的特征值个数。
上述步骤(5)具体包括：
通过步骤(4)中得到的特征值与特征向量，计算令
Figure GDA0002257141670000073
归零化的归零滤波器h:
Figure GDA0002257141670000074
其中，
Figure GDA0002257141670000075
表示hj[-k]的共轭向量，同理
Figure GDA0002257141670000076
Figure GDA0002257141670000077
p为建模过程中用到的范数值，ε为平滑参数，*表示乘法运算。再对
Figure GDA0002257141670000078
进行如下改写：
Figure GDA0002257141670000079
Tr[]为求取矩阵迹的运算，||·||F表示F范数，hj为
Figure GDA00022571416700000710
的第j列，将hj带入上式，可以得到如下形式：
Figure GDA00022571416700000711
其中，Di为通过归零滤波矩阵h求取的权重系数矩阵，M1与M2分别表示空间域图像一阶与二阶偏导操作所对应的k空间的操作算子。
上述步骤(6)具体包括：
对于式(6)的求解，引入辅助变量yi与拉格朗日乘子qi，令
Figure GDA00022571416700000712
F为傅里叶变换，式(6)可表示为：
Figure GDA00022571416700000713
对于上式的求解可以利用交替最小化的方法：
Figure GDA00022571416700000714
Figure GDA0002257141670000081
Figure GDA0002257141670000082
其中，γi为固定大小的系数，(n+1)表示第n+1次迭代求解，(n)表示第n次迭代， F*表示傅里叶反变换。
为了定量分析本发明中所进行实验的结果，本发明采用SNR指标对结果进行分析：
Figure GDA0002257141670000083
其中，forg表示原始图像，
Figure GDA0002257141670000084
表示重建的磁共振图像。
图3为利用图2中(a)分块平滑图像，在相同欠采样参数下基于不同方法重建出的结果图像对比。其中，(b)-(e)为4倍欠采样参数下，分别使用适应性结构低秩矩阵、一阶结构低秩矩阵、二阶结构低秩矩阵和全变分四种方法对其进行重建的效果图。可以看出，一阶结构低秩矩阵与全变分的方法阶梯状伪影较为明显；二阶结构低秩矩阵方法则造成了图像某些区域的过度模糊，信噪比较低，通过图中绿色箭头所标注的重建细节可以看出，本发明的重建效果最佳，优于其它方法。
图4为利用图2中(b)脑部磁共振图像，在相同欠采样参数下基于不同方法重建出的结果图像对比。其中，(b)-(e)为5倍欠采样参数下，同样分别使用适应性结构低秩矩阵、一阶结构低秩矩阵、二阶结构低秩矩阵和全变分四种方法对其进行重建的效果图。由箭头所指位置可以看出，单独利用一阶或二阶结构低秩矩阵方法，在细节处的失真都较为明显，而利用全变分方法会产生严重的片状伪影；无论在平滑区域还是细节区域，都可以看出本发明所提出方法的差值图的灰度值要小于其他三种方法，重建效果最佳。
表1为部分实验数据，若以SNR为衡量重建质量的标准，可以看出适应性结构低秩方法较其他方法效果更好。表1为利用不同方法对图2中四幅参考磁共振图像在不同欠采样参数及滤波器大小水平下重建图像的信噪比列表。
表1在不同采样参数和滤波器大小下用不同方法重建磁共振图像的SNR列表
Figure GDA0002257141670000091
如表1所示，在不同的欠采样倍数下，利用发明中所提方法重建出的磁共振图像均具有较高的信噪比，可满足重建要求。在2倍欠采样的情况下，只需传统磁共振成像方法中所采集的一半数据便可获得较好的重建效果，将磁共振扫描时间缩短50％，在4倍欠采样的情况下，可将磁共振扫描时间缩短75％，对比表中数据，相比于其他三种现已提出的方法，本发明所提方法可以获得更好的重建效果，达到在保证成像质量的前提下，加快磁共振成像速度的目的。

Claims (5)

1.一种基于适应性结构低秩矩阵的快速磁共振图像重建方法，包含以下步骤：
(1)获取磁共振图像的部分k空间数据；
(2)利用图像一阶、二阶偏导矩阵对应的k空间矩阵与二维滤波器进行卷积操作得到托普利兹矩阵；
(3)基于托普利兹矩阵的低秩性，利用获取的部分k空间数据建立磁共振图像重建模型；
(4)将托普利兹矩阵改写并进行特征值分解，得到特征值与特征向量；
(5)利用求取的特征值和特征向量计算归零滤波矩阵并转化为权重系数矩阵带入重建模型中；
(6)引入辅助变量和拉格朗日乘子，利用交替方向乘子算法分别迭代求解重建图像、辅助变量与拉格朗日乘子，交替方向乘子算法简称为ADMM算法；
(7)判断当前重建图像结果是否满足收敛条件，若满足进入步骤(8)，否则进入步骤(6)继续利用ADMM算法迭代求解重建图像、辅助变量与拉格朗日乘子；
(8)判断是否满足迭代次数，若满足则获得最终重建的磁共振图像，否则利用当前步骤中得到的磁共振图像更新托普利兹矩阵，返回步骤(4)继续进行循环迭代操作；
其特征在于，步骤(2)中所述托普利兹矩阵的建立过程为：
f为空间域的重建图像，f1和f2分别为f的分块常数部分与分块线性部分，有f＝f1+f2，其k空间的表示分别为
Figure FDA0002257141660000011
和
Figure FDA0002257141660000012
利用f1的一阶偏导数和f2的二阶偏导数分别对应的k空间数据与二维滤波器进行卷积操作得到托普利兹矩阵：
Figure FDA0002257141660000013
其中，
Figure FDA0002257141660000014
为f1的x方向上一阶偏导数对应的k空间数据与二维滤波器卷积得到的，
Figure FDA0002257141660000015
为f1的y方向上一阶偏导数对应的k空间数据与二维滤波器卷积得到的；
Figure FDA0002257141660000016
Figure FDA0002257141660000017
为f2三个方向上的二阶偏导数对应的k空间数据与二维滤波器卷积得到的，如式(1)，将
Figure FDA0002257141660000018
和
Figure FDA0002257141660000019
分别按行排列，得到
Figure FDA00022571416600000110
与
Figure FDA00022571416600000111
两个托普利兹矩阵，且这两个矩阵均具有低秩性。
2.如权利要求1所述的方法，其特征在于，对于步骤(3)中所述磁共振图像重建模型为：
Figure FDA0002257141660000021
其中A为磁共振图像傅里叶变换后k空间欠采样操作算子，b为获得的k空间欠采样数据，
Figure FDA0002257141660000022
表示p范数，β1与β2为用于平衡数据一致性项
Figure FDA0002257141660000023
和正则项
Figure FDA0002257141660000024
与
Figure FDA0002257141660000025
的两个正则化参数；式(2)的目的即为通过最小化代价方程，获得
Figure FDA0002257141660000026
与
Figure FDA0002257141660000027
通过将
Figure FDA0002257141660000028
与
Figure FDA0002257141660000029
相加得到完整的k空间磁共振数据
Figure FDA00022571416600000210
经傅里叶反变换后重建出空间域的磁共振图像f。
3.如权利要求2所述的方法，对于步骤(4)中将托普利兹矩阵改写并进行特征值分解，得到特征值与特征向量，其过程为：
通过对
Figure FDA00022571416600000211
进行行扩充，得到替代矩阵
Figure FDA00022571416600000212
再利用替代矩阵求取格拉姆矩阵：
Figure FDA00022571416600000213
Figure FDA00022571416600000214
表示
Figure FDA00022571416600000215
的共轭转置矩阵，对
Figure FDA00022571416600000216
进行特征值分解，得到其特征值与特征向量
Figure FDA00022571416600000217
N为非零特征值的个数。
4.如权利要求3所述的方法，对于步骤(5)中利用求取的特征值和特征向量计算归零滤波矩阵并转化为权重系数矩阵带入重建模型中，其过程为：
通过步骤(4)中计算得到的特征值与特征向量，计算令
Figure FDA00022571416600000218
归零化的归零滤波器h:
Figure FDA00022571416600000219
其中，
Figure FDA00022571416600000220
Figure FDA00022571416600000221
表示h[-k]的共轭向量，同理
Figure FDA00022571416600000222
Figure FDA00022571416600000223
p为建模过程中用到的范数值，ε为平滑参数，*表示乘法运算；再对
Figure FDA00022571416600000224
进行如下改写：
Figure FDA0002257141660000031
其中，Tr[]为求取矩阵迹的运算，||·||F表示F范数，hj为
Figure FDA0002257141660000032
的第j列，将hj带入上式，可以得到如下形式：
Figure FDA0002257141660000033
其中，Di为通过归零滤波矩阵h求取的权重系数矩阵；F*表示傅里叶反变换，M1与M2分别表示空间域图像一阶与二阶偏导操作所对应的k空间的操作算子。
5.如权利要求4所述的方法，对于步骤(6)中引入辅助变量、拉格朗日乘子并利用ADMM算法求取重建图像、辅助变量和拉格朗日乘子的过程为：
Figure FDA0002257141660000034
Figure FDA0002257141660000035
Figure FDA0002257141660000036
Figure FDA0002257141660000037
其中，
Figure FDA0002257141660000038
表示辅助变量，qi为拉格朗日乘子，γi为固定大小的系数，(n+1)表示第n+1次迭代求解，(n)表示第n次迭代，F表示傅里叶变换。
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