CN112743545A - 一种六轴工业机器人的动力学建模方法 - Google Patents

Abstract

一种六轴工业机器人的动力学建模方法，该方法首先将六轴工业机器人等效为有限个具有质量的质点，并确定质点相关参数，通过基于广义向量式力学的中央差分公式计算出质点运动位移，并结合关节处具有轴承故障和柔轮齿侧间隙的谐波减速器非线性摩擦模型，描述出工业机器人的运动变形情况，建立出更符合实际工况的六轴工业机器人动力学模型。本发明对六轴工业机器人进行简化描述，采用广义向量式有限元理论和迭代计算提高计算精度，使得计算流程简洁，并易于使用计算机进行迭代计算，获得更加准确的机械臂末端执行点的位置，也为揭示六轴工业机器人故障机理提供了理论依据。

Description

一种六轴工业机器人的动力学建模方法

技术领域

本发明属于动力学建模技术领域，具体涉及一种六轴工业机器人的动力学建模方法。

背景技术

对六轴工业机器人进行精准动力学建模是实现六轴工业机器人高速高精度运行的重要理论基础，当前对于六轴工业机器人的动力学建模方法主要有牛顿—欧拉法和拉格朗日法，牛顿—欧拉法通过描述六轴工业机器人驱动力矩、负载力矩、惯性项和加速度之间的关系对各个部件进行单独分析，推导出整个系统的动力学方程，牛顿—欧拉法对六轴工业机器人的刚性简化模型较为适用，对考虑柔性的六轴工业机器人建模较为困难；拉格朗日法忽略六轴工业机器人相邻臂杆之间的内力，以六轴工业机器人整个系统为对象，通过计算系统动能和势能建立出微分方程，进而计算出系统的动力学方程，但是现多应用于结构简单的工业机器人动力学建模中，未能满足六轴工业机器人的动力学建模的实际需求；工业机器人关节处的谐波减速器的非线性摩擦以及齿侧间隙误差也是影响工业机器人工作精度的重要特征，所以当前需要一种能够考虑六轴工业机器人柔性变形，以及关节处谐波减速器非线性摩擦和齿侧间隙误差的的动力学建模方法。

发明内容

本发明的目的是提供一种六轴工业机器人的动力学建模方法，即需要一种能够考虑六轴工业机器人柔性变形，以及关节处谐波减速器非线性摩擦和齿侧间隙误差的动力学建模方法，从而建立出更符合实际工况的六轴工业机器人动力学模型；同时具有计算流程简洁，易于使用计算机进行迭代计算，准确便捷等优点。

为实现上述目的，本发明的技术方案如下：

一种六轴工业机器人的动力学建模方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，设定六轴工业机器人基本参数：

对六轴工业机器人前三个关节运动工况进行动力学建模，将六轴工业机器人等效为4个具有质量的质点和3根不具有质量的杆件元；质点α的位置和速度分别为

和

上标n表示第n次迭代计算，n＝1,2,3...m，m＝ET/h，ET为运动截止时间，h为迭代计算步长；设定质点α的初始位置为

初始速度为

α＝1,2,3,4；

步骤2，建立关节处谐波减速器误差模型：

建立六轴工业机器人关节处具有轴承故障谐波减速器非线性摩擦产生的力矩T_d与电机输出角速度ω关系的模型为：

其中，T_c为库伦摩擦力矩；T_s为最大静摩擦力矩；ω为电机输出角速度；ω_s为斯特里贝克速度；σ_s为斯特里贝克模型参数；σ为粘滞摩擦因数；T_mβ为各个关节的电机驱动力矩，β＝1,2,3；T_τ为冲击衰减时间；t＝nh为系统时间变量；

为冲击序号，N为柔轮轴承一个滚动周期经过故障点的滚动体个数；

为冲击之间的间隔，z为轴承滚动体的个数，f_r为轴承转动频率，d为滚动体直径，r为轴承中径；

根据公式1计算出前三个关节的输出力矩T_β：

式中，I_β为前三个关节传动比；

六轴工业机器人关节处谐波减速器因齿间侧隙产生的传动角度误差θ_e为：

式中，j_n为柔轮法向侧隙；m_od为齿轮的模数；z₁为柔轮齿数；γ为齿廓工作压力角；

步骤3，求解质点外力：

以质点i为原点建立直角坐标系o_i-xyz，i＝1,2，坐标系各轴单位向量为：e_x＝[1 00]^T，e_y＝[0 1 0]^T，e_z＝[0 0 1]^T；

当工业机器人第一或第二关节运动时，模型的坐标系为o₁-xyz，坐标系内质点2,3,4为运动质点，质点序号j＝2,3,4；当工业机器人第三关节运动时，模型的坐标系为o₂-xyz，坐标系内质点3,4为运动质点，质点序号j＝3,4；

关节输出力矩T_β等于在坐标系o_i-xyz内的所有质点等效外力对原点取矩产生的力矩和：

式中，F_ij为在坐标系o_i-xyz内质点j对原点取矩的等效外力；

建立质点外力矩与质点处的重力矩和惯性矩之间的等式：

式中，G_j＝M_jg为质点j产生的重力，M_j为质点j的质量；g为重力加速度；L为计算质点重力矩所需的位矢；F_ijG＝-M_ja_ij为质点j惯性力，a_ij为在坐标系o_i-xyz内质点j相对原点运动的加速度；

通过联立公式4和公式5解出等效外力F_ij；

质点j的外力

等于质点重力G_j与质点向心力F_Cj以及等效外力F_ij的和，外力

公式为：

式中，

为在坐标系o_i-xyz内质点j相对原点运动产生的向心力，

为质点j的速度；

步骤4，求解质点内力：

式中，

为杆件元β的内力；A为杆件元横截面积；E为杆件元弹性模量；

为杆件元β的原始长度；

为第n次迭代时杆件元β的长度；

为第n次迭代时杆件元β的内力单位向量；

质点j的质点内力

为：

步骤5，求解质点中央差分运动公式：

质点j受到的合力

等于质点外力

与质点内力

的和：

为满足中央差分运动公式计算条件，需计算出第-1次迭代时虚拟的质点位置

式中，ζ为阻尼系数；

根据质点j的第n次迭代的中央差分运动公式所计算出来的质点坐标

为：

式中，

步骤6，对步骤2到步骤5进行m次迭代计算：

当系统时间变量t等于截止时间ET时，迭代计算停止，获得质点在整个运动过程中的m个的坐标值，至此六轴工业机器人动力学建模计算完成。

本发明具有以下优点及突出性的技术效果：本发明提出了一种六轴工业机器人的动力学建模方法，同时考虑了六轴工业机器人关节处谐波减速器的齿侧间隙和非线性摩擦，得到更符合实际工况的关节输出力矩，进一步根据广义向量式力学建立六轴工业机器人整机动力学模型，使得计算流程简洁，并易于使用计算机进行迭代计算，获得更加准确的机械臂末端执行点的位置，建立出更符合实际工况的六轴工业机器人动力学模型，有着重要的实用性和工程价值。

附图说明

图1为本发明的工作流程图。

图2为六轴工业机器人等效模型图。

图3为谐波传动模型简图。

图4a为六轴工业机器人执行末端z方向位移曲线。

图4b为六轴工业机器人执行末端x方向位移曲线。

具体实施方式

下面具体结合附图与实施例对本发明的建模方法进行详细说明，但是本发明的保护范围不局限于所述实施例。

现将六轴工业机器人第一关节转动，其余关节固定保持在水平面内最长伸展姿态这一工况作为实施例，使用本发明涉及的动力学建模方法进行具体实施：

步骤1，设定六轴工业机器人基本参数：

对六轴工业机器人第一关节运动工况进行动力学建模，将六轴工业机器人模型等效为4个具有质量的质点，以及3根不具有质量的杆件元；六轴工业机器人结构简图如图2所示：序号①至④代表质点1、2、3、4；

和

分别代表杆件元1、2和3的原始长度；序号Ⅰ至Ⅵ代表六轴工业机器人的六个回转关节；

质点α的位置和速度分别为

和

上标1表示第1次迭代计算，本具体实施例将从第n＝1次迭代开始计算；设定质点α的初始位置为：

初始速度为：

α＝1,2,3,4；

步骤2，建立关节处谐波减速器误差模型：

谐波减速器在传递力矩的过程中会产生非线性摩擦力矩的损失，建立具有非线性摩擦的谐波减速器传动模型，如图3所示：θ_wg为波发生器的输入角度；T_wg为波发生器的输入力矩；T_f1为波发生器摩擦产生的力矩；T_nwg＝T_wg-T_f1为波发生器去除T_f1后的力矩；T_f2为柔轮与刚轮啮合摩擦产生的力矩；N为柔轮与刚轮啮合的传动比；将柔轮轴承产生的摩擦忽略，θ_nfs＝θ_wg/N为柔轮输出角度；T_nfs为柔轮输出力矩；谐波减速器输入输出力矩关系为：

T_wg＝T_nfs/N+T_f1+T_f2 (公式1)

对谐波传动系统进行动力学分析：

式中，J_m为电机轴转动惯量；

电机输出角加速度；T_m1＝k_mI_AD为电机输出力矩，k_m为电机力矩系数，电流值I_AD＝2×(2.5-nCurInn/189)/3，nCurInn为电流A/D采样后的数字量；

式中，J₁为谐波减速器连接负载转动惯量；

为负载端输出角加速度；

为负载端轴承摩擦力矩与导电滑环摩擦力矩的和；

根据公式1至公式3建立六轴工业机器人关节处谐波减速器非线性摩擦产生的力矩T_f表达式为：

将谐波减速器非线性摩擦表达式与库伦—粘性—斯特里贝克模型结合描述谐波减速器非线性摩擦力矩T_f(ω)与电机输出角速度ω之间的关系：

根据谐波减速器柔性轴承外圈故障特征，谐波减速器柔性轴承外圈信号S(t)衰减为非线性过程，表示为：

根据公式5和公式6建立六轴工业机器人关节处具有轴承故障谐波减速器非线性摩擦产生的力矩T_d与电机输出角速度ω关系的模型为：

式中，T_c＝0.0246 N·m为库伦摩擦力矩；T_s＝0.0462N·m为最大静摩擦力矩；ω＝1.5πrad/s为电机输出角速度；ω_s＝0.55rad/s为斯特里贝克速度；σ_s＝1为斯特里贝克模型参数；σ＝0.0255为粘滞摩擦因数；电机输出转矩T_m1＝51.2N·m；T_τ＝0.001s为冲击衰减时间；t≠kT₀，t＝nh＝1×10^-4s为系统时间变量，h＝1×10^-3s为迭代计算步长；

为冲击序号，N＝22为柔轮轴承一个滚动周期经过故障点的滚动体个数；

为冲击之间的间隔，z＝9为轴承滚动体的个数，f_r＝0.75Hz为轴承转动频率，d＝25.906mm为滚动体直径，r＝155mm为轴承中径；

根据公式7计算出第一关节的输出力矩T₁：

式中，I₁＝100为第一关节传动比；

六轴工业机器人关节处谐波减速器因齿间侧隙产生的传动角度误差θ_e为：

式中，j_n＝2μm为柔轮法向侧隙；m_od＝0.2mm为齿轮的模数；z₁＝200为柔轮齿数；γ＝20°为齿廓工作压力角；

步骤3，求解质点外力：

以质点1为原点建立直角坐标系o₁-xyz，坐标系各轴单位向量为：e_x＝[1 0 0]^T，e_y＝[0 1 0]^T，e_z＝[0 0 1]^T；

关节输出力矩T₁等于在坐标系o₁-xyz内的所有质点等效外力对原点取矩产生的力矩和：

式中，F_1j为在坐标系o₁-xyz内质点j对原点取矩的等效外力，j＝2,3,4；

建立质点外力矩与质点处的重力矩和惯性矩之间的等式：

式中，G_j＝M_jg为质点j产生的重力，G_j＝M_jg为质点j产生的重力，G₂＝[0 -251.27N0]^T，G₃＝[0 -227.24N 0]^T，G₄＝[0 -234.81N 0]^T，M_j为质点j的质量，将机械臂质量平均分配到机械臂两端的节点上，并加上关节自重得到各个质点的质量，M₂＝25.64kg，M₃＝23.21kg，M₄＝23.96kg，g＝9.8m/s²为重力加速度；L为计算质点重力矩所需的位矢；F_1jG＝-M_ja_1j为质点j惯性力，a_1j为在坐标系o₁-xyz内质点j相对原点运动的加速度；

通过联立公式10和公式11解出等效外力F₁₂＝[0 266.14N 0]^T，F₁₃＝[0 240.62N0]^T，F₁₄＝[0 388.28N 0]^T；

质点j的外力

等于质点重力G_j与质点向心力F_Cj以及等效外力F_1j的和，外力

公式为：

式中，外力

为在坐标系o₁-xyz内质点j相对原点运动产生的向心力，

为质点j的速度，质点向心力F_C2＝[-4.89×10^-6N 0 0]^T，F_C3＝[-7.09×10^-6N 0 0]^T，F_C4＝[-1.11×10^-5N 0 0]^T；

步骤4，求解质点内力：

根据相邻质点之间杆件元的长度变化，获得质点纯变形量，进而结合材料力学内力计算公式，计算出杆件元内力，最终获得质点内力；

式中，

为杆件元β的内力，β＝1,2,3，

A＝0.01m²为杆件元横截面积；E＝201Gpa为杆件元弹性模量；

为杆件元β的原始长度，

为第1次迭代时杆件元β的长度，

为第1次迭代时杆件元β的内力单位向量，方向与杆件元长度变化方向一致，

质点j的质点内力

由下式算出：

步骤5，求解质点中央差分运动公式：

质点j受到的合力

等于质点外力

与质点内力

的和：

质点运动公式结合广义向量式力学以显式中央差分的形式给出，为满足中央差分运动公式计算条件，需计算出第-1次迭代时虚拟的质点位置

式中，ζ＝0.1为阻尼系数；

根据质点j的第1次迭代的中央差分运动公式所计算出来的质点坐标

为：

式中，

步骤6，对步骤2到步骤5进行m次迭代计算：

将

代入步骤2到步骤5，但是无需使用公式16对n-2次迭代虚拟质点位置计算，得到第n＝2次迭代计算出的位置

接下来对质点位置的计算都是对上述步骤的重复计算，当系统时间变量t等于截止时间ET＝10s时，已经进行了m＝ET/h＝10/1×10^-4＝1×10⁵迭代计算，至此计算停止，获得质点在整个运动过程中的1×10⁵个的坐标值，输出结果为机械臂末端执行点质点4的z方向和x方向坐标变化曲线如图4a和图4b所示，至此六轴工业机器人动力学建模计算完成。

Claims (1)

1.一种六轴工业机器人的动力学建模方法，其特征在于该方法包括以下步骤：

步骤1，设定六轴工业机器人基本参数：

对六轴工业机器人前三个关节运动工况进行动力学建模，将六轴工业机器人等效为4个具有质量的质点和3根不具有质量的杆件元；质点α的位置和速度分别为

和

上标n表示第n次迭代计算，n＝1,2,3...m，m＝ET/h，ET为运动截止时间，h为迭代计算步长；设定质点α的初始位置为

初始速度为

步骤2，建立关节处谐波减速器误差模型：

建立六轴工业机器人关节处具有轴承故障谐波减速器非线性摩擦产生的力矩T_d与电机输出角速度ω关系的模型为：

其中，T_c为库伦摩擦力矩；T_s为最大静摩擦力矩；ω为电机输出角速度；ω_s为斯特里贝克速度；σ_s为斯特里贝克模型参数；σ为粘滞摩擦因数；T_mβ为各个关节的电机驱动力矩，β＝1,2,3；T_τ为冲击衰减时间；t＝nh为系统时间变量；

为冲击序号，N为柔轮轴承一个滚动周期经过故障点的滚动体个数；

为冲击之间的间隔，z为轴承滚动体的个数，f_r为轴承转动频率，d为滚动体直径，r为轴承中径；

根据公式1计算出前三个关节的输出力矩T_β：

式中，I_β为前三个关节传动比；

六轴工业机器人关节处谐波减速器因齿间侧隙产生的传动角度误差θ_e为：

式中，j_n为柔轮法向侧隙；m_od为齿轮的模数；z₁为柔轮齿数；γ为齿廓工作压力角；

步骤3，求解质点外力：

以质点i为原点建立直角坐标系o_i-xyz，i＝1,2，坐标系各轴单位向量为：e_x＝[1 0 0]^T，e_y＝[0 1 0]^T，e_z＝[0 0 1]^T；

当工业机器人第一或第二关节运动时，模型的坐标系为o₁-xyz，坐标系内质点2,3,4为运动质点，质点序号j＝2,3,4；当工业机器人第三关节运动时，模型的坐标系为o₂-xyz，坐标系内质点3,4为运动质点，质点序号j＝3,4；

关节输出力矩T_β等于在坐标系o_i-xyz内的所有质点等效外力对原点取矩产生的力矩和：

式中，F_ij为在坐标系o_i-xyz内质点j对原点取矩的等效外力；

建立质点外力矩与质点处的重力矩和惯性矩之间的等式：

式中，G_j＝M_jg为质点j产生的重力，M_j为质点j的质量；g为重力加速度；L为计算质点重力矩所需的位矢；F_ijG＝-M_ja_ij为质点j惯性力，a_ij为在坐标系o_i-xyz内质点j相对原点运动的加速度；

通过联立公式4和公式5解出等效外力F_ij；

质点j的外力

等于质点重力G_j与质点向心力F_Cj以及等效外力F_ij的和，外力

公式为：

式中，

为在坐标系o_i-xyz内质点j相对原点运动产生的向心力，

为质点j的速度；

步骤4，求解质点内力：

式中，

为杆件元β的内力；A为杆件元横截面积；E为杆件元弹性模量；

为杆件元β的原始长度；

为第n次迭代时杆件元β的长度；

为第n次迭代时杆件元β的内力单位向量；

质点j的质点内力

为：

步骤5，求解质点中央差分运动公式：

质点j受到的合力

等于质点外力

与质点内力

的和：

为满足中央差分运动公式计算条件，需计算出第-1次迭代时虚拟的质点位置

式中，ζ为阻尼系数；

根据质点j的第n次迭代的中央差分运动公式所计算出来的质点坐标

为：

式中，

步骤6，对步骤2到步骤5进行m次迭代计算：

当系统时间变量t等于截止时间ET时，迭代计算停止，获得质点在整个运动过程中的m个的坐标值，至此六轴工业机器人动力学建模计算完成。

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