CN112734079A - 一种基于优化路径规划算法的刚性折纸折叠方法 - Google Patents

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Abstract

本发明涉及计算机图形种动态折叠路径规划领域，具体涉及一种基于优化路径规划的刚性折纸折叠方法。将所有折叠角的集合作为一个配置空间，建立刚性折纸折叠模型；确定折纸在折叠过程的折叠运动的完整性。基于优化的RRT路径规划构建折叠路径，即结合RRT的随机性的特征和利用B样条曲线来对模型某条折叠边进行平滑处理，从而使刚性折纸折叠序列稳定性的可控度更高。本发明结合平滑曲线改进折叠路径规划方法，用于初步对选取折痕线折叠路径进行规划和平滑并减少折叠过程中折痕线在折叠过程中的形变量；提出一种基于B‑spline Curve优化刚性折纸折叠路径方法，融合刚性折纸折叠路径规划与折叠路径平滑，解决缺乏折叠稳定性的问题。

Description

一种基于优化路径规划算法的刚性折纸折叠方法
技术领域
本发明涉及计算机图形种动态折叠路径规划领域，具体涉及一种基于优化路径规划的刚性折纸折叠方法。
背景技术
随着计算机技术不断发展，机器人在人类生活工作中应用不断增多。在机器人技术中，折纸被研究人员用作一种手段加深对运动控制和规划方法的理解。路径规划在折纸的折叠过程起到关键的作用。目前来看，存在的路径规划方法主要有A*方法、Dijkstra方法等。但大多数的路径规划方法不适合在高维复杂空间应用。在运用过程中，像A*方法对于启发函数的选择要求较高，必须要选择适合的启发函数才能有较好的效果。Dijkstra方法搜索的效率比较缓慢，复杂度高并且运算成本高。
基于采样快速扩展随机树(RRT)是用于路径规划的新方法之一，与其他用于路径规划如A*方法、Dijkstra方法等传统办法相比，它具有概率完备性和收率速度较快的优点，但是他搜索过于均匀，它得到的路径常常与最短路径有较大的偏差。在此基础上有改进的算法，比如RRT*方法，使得它不但具备了RRT的优点而且还具有渐进最优性，即减少采样点的随机性，所以它得到最终路径较为接近最短路径。但是它收敛速率也会变慢时间成本变高。因此，一种基于优化RRT算法的刚性折纸折叠方法可以改善现存的问题。利用B样条曲线来对折痕线进行平滑处理，得到一条平滑的路径，从而达到提高对折叠角度折叠序列稳定控制的目的。
发明内容
针对现有技术中存在的问题，本发明提出了一种基于优化路径规划算法的刚性折纸折叠方法，利用B样条曲线来对折痕线进行平滑处理，得到一条平滑的路径，提高了对折叠角度折叠序列的稳定控制。
为实现上述发明目的，本发明的具体技术方案如下：一种基于优化路径规划算法的刚性折纸折叠方法，包括如下步骤：
S1)建立刚性折纸折叠模型；
S2)基于优化RRT算法和刚性折纸折叠模型规划刚性折纸折叠运动的路径；
S2.1)选定起点Xinit作为搜索树的起点，并初始化搜索树T,即初始化节点信息；
S2.2)基于RRT算法扩展搜索树T；
S2.3)对刚性折纸的折叠面进行自交检测，得到刚性折纸折叠模型每个状态所有折痕线角度集合，并生成一条初始的刚性折纸折叠路径；
S3)对S2)中得到的折叠路径进行优化；
S3.1)通过B样条曲线对刚性折纸折叠路径上的折痕线线进行平滑处理,
在配置空间
Figure BDA0002831848890000021
内，折叠的角度分量用一个含义n+1个控制点的K阶B样条曲线来表示，即如下式所示：
Figure BDA0002831848890000022
其中，Qi，k(u)为一个基函数，Pi(i＝0，1，…，n)为控制顶点，即随机树节点；Qi，k(i＝0，1，…，n)为k次规范B样条基函数，最高次数为k，基函数由折叠路径上的节点u的序列决定，u:u0≤ui≤…≤un+k+1；A(i，j)是通过折痕线上的折痕线l(i，j)连接的两个面的二面角，
Figure BDA0002831848890000023
为第n条折痕线所表示的二面角的角度。
S3.2)对刚性折纸折叠路径的折痕线初始折叠角度集合进行更新；
将S3.1中平滑处理后的折痕线折叠角度集合替换S2.3中初始刚性折纸折叠路径中的折痕线初始折叠角度集合，最终得到一条经平滑处理后新的刚性折纸折叠路径。
进一步地，上述步骤S1中刚性折纸折叠模型包括以下步骤：
S1.1)用折痕线l(i,j)的折叠角度作为变量构建刚性折纸折叠模型的构型折纸模型，公式如下：
Figure BDA0002831848890000024
其中，l(i,j)表示连接实顶点Vi(不在图形边界的顶点称为实顶点，反之为虚顶点)和虚顶点Vj的折痕线，A(i,j)是通过折痕线l(i,j)连接的两个面的二面角，
Figure BDA0002831848890000025
为第n条折痕线所表示的二面角的角度；
S1.2)用矩阵运算形式来表示刚性折纸在空间中的折叠过程，将公式(2)的计算结果与一个1*4的矩阵相乘即得出Vi经折叠运动后在三维空间中的点
Figure BDA0002831848890000031
其中，Vi是可折叠多顶点折痕图中的一个实顶点，Bi为4x4矩阵，它将空间中的一个点Vi的三维坐标转化到矩阵当中，矩阵Di为矩阵Bi的负矩阵，A(i,j)为齐次坐标系y-z平面上的矩阵，其旋转角度为A(i,j)，M(i,j)为齐次坐标系x-y平面上的矩阵，其旋转角度为p(i,j)。
进一步地，上述步骤S1.2)中的矩阵Bi如式(3)所示，矩阵Di如式(4)所示，矩阵A(i,j)如式(5)所示，矩阵M(i,j)如式(6)所示：
Figure BDA0002831848890000032
Figure BDA0002831848890000033
Figure BDA0002831848890000034
Figure BDA0002831848890000035
进一步地，所述步骤S2.2)中基于RRT算法扩展搜索树T具体包括以下内容：
在搜索空间区域内随机产生一个Xrand，根据节点代价找到树T中距离Xrand最近的节点Xnearest,根据公式(7)得到新节点的集合为Xnear为：
Figure BDA0002831848890000036
其中，Xnear为附近节点集合：Xpotential为搜索树周围附近节点，||||作为两个节点之间所花费的时间代价cost，C为一个固定常数，因为折叠在三维空间运动中进行，n是树的节点树；d代表空间的维度。
进一步地，上述步骤S2.3中的自交检测包括以下步骤：
将不同形状的多边形折纸面片拆分成三角面片，设三角形1中一条边为p1p2，边p1p2所在射线方程如下式(8)；设三角形2内部一点为puvw，点puvw位置表达式如下式(9)；其中V1、V2、V3表示三角形2的三个顶点，w、u、v表示点puvw所在的位置参数；边p1p2所在射线与三角形平面相交方程如下式(10)；如果0≤t≤1，则三角形1的边p1p2与三角形2所在平面相交，并且v∈[0,1]、u∈[0,1]、v+u∈[0,1]则表示相交于三角形2的内部，通过上述方法检测后得到一条初始的折叠路径。
Figure BDA0002831848890000041
puvw＝wV1+uV2+vV3(9)
Figure BDA0002831848890000042
进一步地，上述步骤S3.1)中三次B样条曲线的基函数具体计算过程为：
Figure BDA0002831848890000043
Figure BDA0002831848890000044
Figure BDA0002831848890000045
Figure BDA0002831848890000046
C(u)＝Q0,3(u)*p0+Q1,3(u)*p1+Q2,3(u)*p2+Q3,3(u)*p3 (11)
其中公式(11)就是三次B样条曲线方程，其中Qi,3(u)是三阶B样条基函数，pi表示控制曲线的特征点，u表示折叠路径节点。
本发明的有益效果如下：
1、结合平滑曲线改进折叠路径规划方法，用于初步对选取折痕线折叠路径进行规划和平滑并减少折叠过程中折痕线在折叠过程中的形变量；
2、提出一种基于B-spline Curve优化刚性折纸折叠路径方法，融合刚性折纸折叠路径规划与折叠路径平滑，解决缺乏折叠稳定性的问题。
附图说明
图1为基于优化RRT算法的刚性折纸折叠方法总流程图。
图2为基于RRT算法扩展搜索树展示图。
图3为刚性折纸折叠面之间的自交检测原理图。
图4为刚性折纸模型一条折痕线进行B样条曲线拟合前后对比图。
图5为刚性折纸模型平滑前后初始状态下和目标状态的刚性折纸模型图。
具体实施方式
下面结合附图和实施实例对本发明作进一步描述。
如附图1所示为本发明的总流程图，包括以下步骤：
S1)建立刚性折纸折叠模型；
作为本发明的优选实施例，步骤S1中刚性折纸折叠模型包括以下步骤：
S1.1)我们使用A(i，j)来表示折痕线l(i，j)在折叠形状上连接的两个面的二面角。所有折痕线的折叠角度作为变量来表示折纸模型的构型折纸模型，更具体的我们定义配置空间如下式(1)为：
Figure BDA0002831848890000051
其中，l(i,j)表示连接实顶点Vi(不在图形边界的顶点称为实顶点，反之为虚顶点)和虚顶点Vj的折痕线，A(i,j)是通过折痕线l(i,j)连接的两个面的二面角，
Figure BDA0002831848890000052
为第n条折痕线所表示的二面角的角度；作为本发明的优选实施例，A(i，j)在折纸中在(0，π)内取值，在现实世界中，A的范围会进一步受到具体材料的限制。
S1.2)用矩阵运算形式来表示刚性折纸在空间中的折叠过程，将公式(2)的计算结果与一个1*4的矩阵相乘即得出Vi经折叠运动后在三维空间中的点
Figure BDA0002831848890000053
其中，Vi是可折叠多顶点折痕图中的一个实顶点，Bi为4x4矩阵，它将空间中的一个点Vi的三维坐标转化到矩阵当中，矩阵Di为矩阵Bi的负矩阵，A(i,j)为齐次坐标系y-z平面上的矩阵，其旋转角度为A(i,j)，M(i,j)为齐次坐标系x-y平面上的矩阵，其旋转角度为p(i,j)。
作为本发明的优选实施例，步骤S1.2)中的矩阵Bi如式(3)所示，所述矩阵Di如式(4)所示，所述矩阵A(i,j)如式(5)所示，所述矩阵M(i,j)如式(6)所示：
Figure BDA0002831848890000061
Figure BDA0002831848890000062
Figure BDA0002831848890000063
Figure BDA0002831848890000064
S2)基于优化RRT算法和刚性折纸折叠模型规划刚性折纸折叠运动的路径；
S2.1)首先选定起点Xinit作为搜索树的起点，并初始化搜索树T,如附图2所示基于RRT算法扩展搜索树展示图，其中只包初始的节点信息；
S2.2)确定初始搜索树后，基于RRT算法扩展搜索树T；
作为本发明的优选实施例，步骤S2.2)中基于RRT算法扩展搜索树T具体包括以下内容：
在搜索空间区域内随机产生一个Xrand，根据节点代价找到树T中距离Xrand最近的节点Xnearest,根据公式(7)得到新节点的集合为Xnear为：
Figure BDA0002831848890000071
其中，Xnear为附近节点集合：Xpotential为搜索树周围附近节点，||||作为两个节点之间所花费的时间代价cost，C为一个固定常数，因为折叠在三维空间运动中进行，n是树的节点树；d代表空间的维度。
S2.3)对刚性折纸的模型折叠面进行自交检测，得到每个状态所有折痕线角度集合，并生成一条初始的刚性折纸折叠路径；
作为本发明的优选实施例，步骤S2.3中的自交检测包括以下步骤：
将不同形状的多边形折纸面片拆分成三角面片，如附图3所示，设三角形1中一条边为p1p2，边p1p2所在射线方程如下式(8)；设三角形2内部一点为puvw，点puvw位置表达式如下式(9)；其中V1、V2、V3表示三角形2的三个顶点，w、u、v表示点puvw所在的位置参数；边p1p2所在射线与三角形平面相交方程如下式(10)；如果0≤t≤1，则三角形1的边p1p2与三角形2所在平面相交，并且v∈[0,1]、u∈[0,1]、v+u∈[0,1]则表示相交于三角形2的内部，通过上述方法检测后得到一条初始的折叠路径。
Figure BDA0002831848890000072
puvw＝wV1+uV2+vV3 (9)
Figure BDA0002831848890000073
作为本发明的优选实施例，步骤S3.1)中三次B样条曲线的基函数具体计算过程为：
Figure BDA0002831848890000074
Figure BDA0002831848890000075
Figure BDA0002831848890000076
Figure BDA0002831848890000077
C(u)＝Q0,3(u)*p0+Q1,3(u)*p1+Q2,3(u)*p2+Q3,3(u)*p3(11) (11)
其中，公式(11)为三次B样条曲线方程，Qi,3(u)为三阶B样条基函数，pi表示控制曲线的特征点，u表示折叠路径节点。
根据其递推公式如上式(11)可知，基函数与节点元素的分布以及曲线的阶数有关，而与控制点独立，本发明将使用全部折叠路径节点作为控制点，我们选取一条需要平滑的折痕线，利用三次B样条曲线对特定控制曲线进行拟合，如附图4所示，刚性折纸模型某条折痕线进行B样条曲线拟合前后对比图。生成单条连续的参数化轨迹，为了使得曲线经过指定起点和终点，令节点两端元素均匀分布，这使得我们折纸的折叠曲线有更加良好的局部可修性。
S3)对S2)中得到的刚性折纸折叠路径进行优化；
S3.1)通过B样条曲线对刚性折纸折叠路径上的折叠线进行平滑处理,
在配置空间
Figure BDA0002831848890000081
内，折叠的角度分量用一个含义n+1个控制点的K阶B样条曲线来表示，即如下式所示：
Figure BDA0002831848890000082
其中，Qi，k(u)为一个基函数，Pi(i＝0，1，…，n)为控制顶点，即随机树节点；Qi，k(i＝0，1，…，n)为k次规范B样条基函数，最高次数为k，基函数由节点u的序列决定，u:u0≤ui≤…≤un+k+1；A(i，j)是通过折痕线上的折痕线l(i，j)连接的两个面的二面角，
Figure BDA0002831848890000083
为第n条折痕线所表示的二面角的角度。
S3.2)对刚性折纸折叠路径的折痕线初始折叠角度集合进行更新：
将S3.1中平滑处理后的折痕线折叠角度集合替换S2.3中初始刚性折纸折叠路径中的折痕线初始折叠角度集合，最终得到一条经平滑处理后新的刚性折纸折叠路径。如附图5所示，表示刚性折纸模型平滑前后从初始状态折叠到目标状态对比图。

Claims (6)

1.一种基于优化路径规划算法的刚性折纸折叠方法，其特征在于，包括如下步骤：
S1)建立刚性折纸折叠模型；
S2)基于优化RRT算法和刚性折纸折叠模型规划刚性折纸折叠运动的路径；
S2.1)选定起点Xinit作为搜索树的起点，并初始化搜索树T，即初始化节点信息；
S2.2)基于RRT算法扩展搜索树T；
S2.3)对刚性折纸的折叠面进行自交检测，得到刚性折纸折叠模型每个状态所有折痕线角度集合，并生成一条初始的刚性折纸折叠路径；
S3)对S2)中得到的刚性折纸折叠路径进行优化；
S3.1)通过B样条曲线对刚性折纸折叠路径上的折叠线进行平滑处理，
在配置空间
Figure FDA0002831848880000011
内，折叠的角度分量用一个含义n+1个控制点的K阶B样条曲线来表示，即如下式所示：
Figure FDA0002831848880000012
其中，Qi，k(u)为一个基函数，Pi(i＝0，1，…，n)为控制顶点，即随机树节点；Qi，k(i＝0，1，…，n)为k次规范B样条基函数，最高次数为k，基函数由节点u的序列决定，u：u0≤ui≤…≤un+k+1；A(i，j)是通过折痕线上的折痕线l(i，j)连接的两个面的二面角，
Figure FDA0002831848880000013
为第n条折痕线所表示的二面角的角度；
S3.2)对刚性折纸折叠路径的折痕线初始折叠角度集合进行更新；
将S3.1中平滑处理后的折痕线折叠角度集合替换S2.3中初始刚性折纸折叠路径中的折痕线初始折叠角度集合，最终得到一条经平滑处理后新的刚性折纸折叠路径。
2.如权利要求1所述的基于优化路径规划算法的刚性折纸折叠方法，其特征在于，所述步骤S1中刚性折纸折叠模型包括以下步骤：
S1.1)用折痕线l(i，j)的折叠角度作为变量构建刚性折纸折叠模型的构型折纸模型，公式如下：
Figure FDA0002831848880000021
其中，l(i，j)表示连接实顶点Vi和虚顶点Vj的折痕线，A(i，j)是通过折痕线l(i，j)连接的两个面的二面角，
Figure FDA0002831848880000025
为第n条折痕线所表示的二面角的角度；
S1.2)用矩阵运算形式来表示刚性折纸在空间中的折叠过程，将公式(2)的计算结果与一个1*4的矩阵相乘即得出Vi经折叠运动后在三维空间中的点
Figure FDA0002831848880000022
其中，Vi是可折叠多顶点折痕图中的一个实顶点，Bi为4x4矩阵，它将空间中的一个点Vi的三维坐标转化到矩阵当中，矩阵Di为矩阵Bi的负矩阵，A(i，j)为齐次坐标系y-z平面上的矩阵，其旋转角度为A(i，j)，M(i，j)为齐次坐标系x-y平面上的矩阵，其旋转角度为p(i，j)。
3.如权利要求2所述的基于优化路径规划算法的刚性折纸折叠方法，其特征在于，所述步骤S1.2)中的矩阵Bi如式(3)所示，所述矩阵Di如式(4)所示，所述矩阵A(i，j)如式(5)所示，所述矩阵M(i，j)如式(6)所示：
Figure FDA0002831848880000023
Figure FDA0002831848880000024
Figure FDA0002831848880000031
Figure FDA0002831848880000032
4.如权利要求1所述的基于优化路径规划算法的刚性折纸折叠方法，其特征在于，所述步骤S2.2)中基于RRT算法扩展搜索树T具体包括以下内容：
在搜索空间区域内随机产生一个Xrand，根据节点代价找到树T中距离Xrand最近的节点Xnearest，根据下列公式得到新节点的集合为Xnear为：
Figure FDA0002831848880000033
其中，Xnear为附近节点集合：Xpotential为搜索树周围附近节点，|| ||作为两个节点之间所花费的时间代价cost，C为一个固定常数，因为折叠在三维空间运动中进行，n是树的节点树；d代表空间的维度。
5.如权利要求1所述的基于优化路径规划算法的刚性折纸折叠方法，其特征在于，所述步骤S2.3中的自交检测包括以下步骤：
将不同形状的多边形折纸面片拆分成三角面片，设三角形1中一条边为p1p2，边p1p2所在射线方程如下式(8)；设三角形2内部一点为puvw，点puvw位置表达式如下式(9)；其中V1、V2、V3表示三角形2的三个顶点，w、u、v表示点puvw所在的位置参数；边p1p2所在射线与三角形平面相交方程如下式(10)；如果0≤t≤1，则三角形1的边p1p2与三角形2所在平面相交，并且v∈[0，1]、u∈[0，1]、v+u∈[0，1]则表示相交于三角形2的内部，通过上述方法检测后得到一条初始的折叠路径。
Figure FDA0002831848880000034
puvw＝wV1+uV2+vV3 (9)
Figure FDA0002831848880000041
6.如权利要求1所述的基于优化路径规划算法的刚性折纸折叠方法，其特征征于，所述步骤S3.1)中三次B样条曲线的基函数具体计算过程为：
Q0，3(u)＝1/6(1-u)3
Q1，3(u)＝1/6(3u3-6u2+4)
Q2，3(u)＝1/6(-3u3+3u2+3u+1)
Q3，3(u)＝1/6t3
C(u)＝Q0，3(u)*p0+Q1，3(u)*p1+Q2，3(u)*p2+Q3，3(u)*p3 (11)
其中公式(11)为三次B样条曲线方程，Qi，3(u)为三阶B样条基函数，pi表示控制曲线的特征点，u表示折叠路径节点。
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