CN112666947A - 基于改进los方法的蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器设计方法 - Google Patents

基于改进los方法的蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器设计方法 Download PDF

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CN112666947A CN202011529951.XA CN202011529951A CN112666947A CN 112666947 A CN112666947 A CN 112666947A CN 202011529951 A CN202011529951 A CN 202011529951A CN 112666947 A CN112666947 A CN 112666947A
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Abstract

本发明公开的一种基于改进LOS方法的蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器设计方法，属于仿生机器人领域。本发明包括如下步骤：根据蛇形机器人的身体结构，建立了机器人的力学模型；制定了轨迹跟踪控制器的动态控制目标和角度控制目标；通过积分环节改进LOS方法，避免机器人运动时的侧滑现象；同时，构建一个辅助函数，利用Backstepping方法构造了反馈控制器和连杆角补偿器；利用自适应控制方法设计自适应轨迹跟踪控制器的输入函数；利用Lyapunov方法验证系统的稳定性；通过实验验证了控制器的有效性。本发明要解决的技术问题是设计一种基于改进LOS方法的蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器，验证其有效性，并为多关节蛇形机器人的队列路径跟踪控制奠定了扎实的理论基础。

Description

基于改进LOS方法的蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器设计 方法
技术领域
本发明属于仿生机器人运动控制领域，具体涉及一种基于改进LOS方法的蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器设计方法。
背景技术
随着生物不断地演变和进化，许多生物在运动方式和环境适应中展现出了独特的优势。其中，身体细长的生物蛇表现尤为突出，它在运动的过程中身体紧贴地面、重心放低，这种特有的运动方式使生物蛇具有极强的环境适应能力和运动稳定性。这引起了科学家们的注意，于是将仿生学和机器人相结合的多关节仿生蛇形机器人应运而生。这种蛇形机器人的运动特性与蛇类似，蜿蜒爬行的运动步态使其能够在崎岖复杂的地形或是人类无法进入的区域中工作，代替人类完成许多危险的作业，所以蛇形机器人具有非常广泛的应用前景。
在蛇形机器人的结构中，控制器是机器人能否达到预期效果的重要组成部分。控制器能够实现对蛇形机器人运动步态和运动方向的控制，使蛇形机器人以蜿蜒爬行的步态运动并跟踪期望路径前行。在此基础上，我们可以为蛇形机器人进行优化或扩展更多的功能，所以设计蛇形机器人轨迹跟踪控制器可以为研究蛇形机器人的二维运动以及后续功能的拓展建立良好的基础。
发明内容
针对现有的蛇形机器人在运动过程中跟踪期望路径的问题，本发明要解决的技术问题是：提供一种基于改进LOS方法的蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器设计方法，实现机器人在运动过程中跟踪期望的路径。
本发明的目的是通过下述技术方案实现的：
本发明公开的一种基于改进LOS方法的蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器设计方法，包括如下步骤：
步骤一：分析蛇形机器人的运动机理，在广义坐标矩阵中建立了蛇形机器人线性化的动力学模型。
步骤二：制定基于改进LOS方法的蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器的动态控制目标和角度控制目标，并将两大控制目标划分为三项任务，同时分析了三项任务之间的作用和联系，分别是：任务一是蛇形机器人的运动位置误差为ep(t)。我们的目标是使机器人的运动轨迹跟踪x轴，即ep(t)＝ey→0。实现运动位置误差ep(t)渐进稳定；任务二是蛇形机器人的连杆角度误差为
Figure BDA0002851760850000021
我们的目标是使机器人的连杆角θ跟踪他的理想值
Figure BDA0002851760850000022
即
Figure BDA0002851760850000023
实现连杆角误差eθ渐近稳定；任务三是蛇形机器人的关节角度误差为
Figure BDA0002851760850000024
我们的目标是使机器人的关节角φ跟踪他的理想值
Figure BDA0002851760850000025
即
Figure BDA0002851760850000026
实现关节角误差eφ渐近稳定。
步骤三：根据步骤二制定的任务一，通过加入一个积分环节来改进LOS方法，得到了理想的连杆角方程，成功避免了机器人在运动过程中的侧滑现象，使得机器人的位置坐标误差快速收敛并渐进稳定。
步骤四：根据步骤二制定的任务二，设置一个理想的蛇形机器人连杆角函数
Figure BDA0002851760850000027
加入一个辅助函数，构造一个反馈控制器，设计连杆方向角补偿器φ0，实现连杆角误差收敛并渐进稳定。
步骤五：根据步骤二制定的任务三，设置一个反馈输入—输出控制器u来控制系统的输入u，利用自适应控制方法设计蛇形机器人摩擦力的估计值，并用估计值代替实际值来实时对控制器进行调整，实现关节角误差收敛并渐近稳定。
步骤六：构造Lyapunov函数L，验证步骤三中的运动位置误差ep(t)、步骤四中的连杆夹角误差eθ和连杆角速度误差eu、步骤五中的关节角误差eφ和关节角速度误差ev渐进稳定性。
步骤七：通过MATLAB仿真实验，验证基于改进LOS方法的蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器的有效性和优越性。
有益效果：
1.改进LOS方程，避免了蛇形机器人在轨迹跟踪过程出现的侧滑现象，使机器人的运动轨迹快速收敛到期望路径。
2.利用自适应控制方法设计了蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器，实现机器人的轨迹跟踪控制，消除了环境摩擦系数不确定和时变带来的消极影响，实现了机器人对时变误差的估计，提高了机器人的轨迹跟踪误差收敛速度，增加了控制器的稳定性，同时，该控制器为蛇形机器人的运动步态和路径跟踪控制奠定了扎实的理论基础。
附图说明
图1是蛇形机器人的运动学模型；
图2是自适应轨迹跟踪控制器结构；
图3是机器人改进LOS结构图；
图4是机器人的运动位置误差曲线；
图5是机器人的连杆角度误差曲线；
图6是机器人在改进LOS方法下的关节角误差曲线；
图7是机器人在LOS方法下的关节角误差曲线。
具体实施方式
下面结合附图对本发明作进一步说明。
本实施例从蛇形机器人的需求出发，结合蛇形机器人的运动特点，本实施例公开一种基于改进LOS方法的蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器设计方法，包括如下步骤：
步骤一中建立的蛇形机器人运动学模型，建立如公式(1)所示的机器人运动学模型方程，如图1所示；
Figure BDA0002851760850000041
其中，蛇形机器人由N个长度为2h的连杆关节组成，机器人的连杆角集合为
Figure BDA0002851760850000042
机器人的关节质心位置为p＝[px，py]T，机器人的连杆角速度为
Figure BDA0002851760850000043
关节角集合为
Figure BDA0002851760850000044
机器人的关节角速度为
Figure BDA0002851760850000045
机器人的切向量速度为vt∈RN，机器人的法向量速度为vn∈RN，机器人的关节质量为m，设辅助矩阵为
Figure BDA0002851760850000046
Figure BDA0002851760850000047
Figure BDA0002851760850000048
系统的控制输入量为
Figure BDA0002851760850000049
辅助矩阵
Figure BDA00028517608500000410
机器人的连杆角速度为
Figure BDA00028517608500000411
蛇形机器人连杆模型中的切向和法向摩擦系数分别为λ1＞0和λ2＞0，摩擦系数的大小受地理环境影响。设置机器人关节旋转速度到旋转加速度的映射比例为μ1＞0。设置机器人关节角度均值和切向速度到旋转加速度的映射比例为μ2＞0。
步骤二：根据蛇形机器人步态控制的自适应控制器，设计蛇形机器人实现轨迹跟踪运动的两大控制目标，分别是动态控制目标和角度控制目标。动态控制目标的实现可以使机器人沿着期望的路径，不会偏离预定的轨迹。角度控制目标的实现一方面可以保证蛇形机器人的连杆能够以一定的频率和幅度摆动，这种摆动产生的摩擦力为机器人提供动力，进而实现机器人的蜿蜒运动。另一方面可以保证蛇形机器人的运动方向与期望运动方向相同。但如果没有动态控制目标的支撑，蛇形机器人的蜿蜒运动就偏离了既定路线。简而言之，动态控制目标为机器人提供理想的位置，角度控制目标为机器人提供运动的方式和方向，只有同时完成这两个目标，蛇形机器人才能实现完整的轨迹跟踪运动。
对于动态控制目标，假设在全局坐标系下，蛇形机器人的运动路径始终与x轴方向对齐，机器人在x方向的跟踪误差始终为0，即ex≡0，那么则有ep(t)＝ey。所以，只需要控制机器人的实际纵向位置坐标跟踪理想的纵向位置坐标，实现ep(t)＝ey收敛到0。
对于角度控制目标，它包括对机器人连杆角度误差eθ和关节角度误差eφ的控制。我们需要使得机器人的连杆角θ跟踪理想的连杆角
Figure BDA0002851760850000051
实现连杆角度误差eθ收敛到0且渐近稳定。与此同时，我们还需要使得机器人的关节角φ跟踪理想的关节角
Figure BDA0002851760850000052
实现关节角度误差eφ收敛到0且渐进稳定。
任务一：蛇形机器人的运动位置误差为ep(t)。我们的目标是使机器人的运动轨迹跟踪x轴，即ep(t)＝ey→0。实现运动位置误差ep(t)渐进稳定。
Figure BDA0002851760850000053
任务二：蛇形机器人的连杆角度误差为
Figure BDA0002851760850000054
我们的目标是使机器人的连杆角θ跟踪他的理想值
Figure BDA0002851760850000055
即
Figure BDA0002851760850000056
实现连杆角误差eθ渐近稳定。
Figure BDA0002851760850000057
任务三：蛇形机器人的关节角度误差为
Figure BDA0002851760850000061
我们的目标是使机器人的关节角φ跟踪他的理想值
Figure BDA0002851760850000062
即
Figure BDA0002851760850000063
实现关节角误差eφ渐近稳定。
Figure BDA0002851760850000064
当任务一实现时，便实现了蛇形机器人轨迹跟踪的动态控制目标。此时蛇形机器人可以在期望的路径上运动。即使蛇形机器人受到外界的干扰而偏离期望的路径，机器人也可以通过自我调整恢复到期望的路径上来。
当任务二和任务三实现时，便实现了蛇形机器人轨迹跟踪的角度控制目标。其中，任务二的实现可以保证机器人朝着期望的方向运动。任务三的实现可以使机器人通过蜿蜒运动为其提供动力。
考虑到三个任务对蛇形机器人轨迹跟踪运动的作用，任务三保证了机器人实现蜿蜒运动，这是任务一和任务二得以实现的前提和基础。当机器人能够顺利运动后，任务二的实现可以为机器人提供正确的运动方向，但是此时机器人的运动位置误差并没有实现完全收敛。于是，需要借助任务一来确保机器人的运动路径能够收敛到期望的路径上。可以看出，只有当三个任务目标同时实现时，蛇形机器人才能够达到完整的轨迹跟踪运动性能。
自适应轨迹跟踪控制器的结构如图2所示。
在整个蛇形机器人轨迹跟踪的过程中，只要控制系统的输入-输出控制器u就能控制系统关节驱动力的控制输入u。而机器人关节驱动力的控制输入u直接影响关节角速度变量vφ。关节角速度变量vφ会控制机器人关节角度φ的变化值。这就实现了蛇形机器人的的关节角控制。
机器人的关节角度φ会跟踪关节角度的理想值
Figure BDA0002851760850000065
而机器人关节角度的理想值
Figure BDA0002851760850000066
是通过改进的LOS方法得到的，这将直接控制机器人的运动那个位置误差ep。这就实现了蛇形机器人的运动位置误差控制。
机器人的关节角度的理想值
Figure BDA0002851760850000071
会影响机器人的连杆方向角补偿φ0。机器人的连杆方向角补偿φ0会影响机器人的连杆角误差eθ。同时，改进的LOS方法为机器人提供了的理想连杆角度值
Figure BDA0002851760850000072
而机器人的连杆角误差eθ是机器人的实际连杆角度值θ与理想连杆角度值
Figure BDA0002851760850000073
之间的差值。这就实现了蛇形机器人的连杆角误差控制。
步骤三：蛇形机器人可以在不同环境中运动受到的摩擦力也会发生变化。这将导致蛇形机器人的连杆在完成摆动后难以维持蛇体的平衡。同时，在惯性力和阻力的作用下，蛇形机器人的运动位置和转动角度会在侧滑现象的作用下偏离理想值。为了避免机器人在运动过程中产生侧滑，对传统的LOS方法进行改进，在LOS方程中加入一个积分环节。利用积分的作用，将蛇形机器人在连续时间内的位置坐标误差累加起来，通过加上或减去一定比例的位置误差积分来补偿机器人连杆角由于侧滑而产生的误差。利用改进的LOS方法可以有效抑制蛇形机器人在运动过程中产生的侧滑现象，使机器人的运动轨迹快速逼近理想值。
在对LOS进行改进之前，要描述蛇形机器人的运动步态和推导蛇形机器人位置坐标误差ep(t)的解析表达式。
蛇形机器人的步态可以用第j关节角运动方程(5)来描述。
Figure BDA0002851760850000074
其中，A为蛇形机器人关节的摆动幅值增益。ω为机器人关节的摆动频率，摆动频率的作用是对机器人的运动速度进行补偿。φ0为机器人的连杆方向角补偿量，关节偏移量的作用是对机器人的前进方向进行补偿。δ为机器人关节与关节之间的相移。
机器人的位置坐标为
Figure BDA0002851760850000075
机器人的期望路径坐标为
Figure BDA0002851760850000081
改进的LOS方法如图3所示。
Figure BDA0002851760850000082
Figure BDA0002851760850000083
其中，α为蛇形机器人运动路径的正切角，这个角度决定了机器人的运动朝向,ex(t)为蛇形机器人x方向的位置误差，ey(t)为y方向的位置误差。
将(6)变换后可以得到机器人在x轴、y轴方向的位置误差(8)。
Figure BDA0002851760850000084
根据步骤二中的动态控制目标，我们可知ex≡0，于是便得到了蛇形机器人位置坐标误差ep(t)的解析表达式(9)。
Figure BDA0002851760850000085
为了补偿摩擦力变化导致的侧滑角，加入积分环节eint改进了LOS方程的理想连杆角
Figure BDA0002851760850000086
为(10)。我们利用Backstepping方法设计积分部分eint的时间微分为(11)。
Figure BDA0002851760850000087
Figure BDA0002851760850000088
其中，κ＞0为常数增益。Δ为前向距离，Δ＞0表示蛇形机器人的运动方向向前，Δ＜0表示机器人的运动方向向后。
对于蛇形机器人转弯时的动态控制，我们利用(12)来为机器人提供合适的前向距离Δ。当Δ较小时，机器人的关节转动很快，当Δ较大时，机器人的关节转动很慢。
Figure BDA0002851760850000091
其中，kΔ为收敛速度，Δmax和Δmin分别表示前向距离的上界和下界。
当蛇形机器人的运动轨迹还未收敛到期望路径时，机器人在改进LOS方程的控制下会始终朝着移动点(xLOS,yLOS)的方向运动。这一过程的最终结果就是机器人的运动路径与期望路径保持一致。换句话说，任务一得以实现。
接下来证明蛇形机器人位置坐标误差ep(t)收敛后的稳定性。先对蛇形机器人的位置坐标误差ep(t)进行微分得(13)。
Figure BDA0002851760850000092
公式(13)中的n3部分与(8)中的第一个方程联立可得
Figure BDA0002851760850000093
又有ex≡0，于是可知n3部分为0。
将(13)中的n2部分转换成幅相形式(14)。
Figure BDA0002851760850000094
然后我们设计(14)中的β2为(15)。
Figure BDA0002851760850000095
将(15)代入(14)后得到n2＝0。
将(13)中的n1部分转换成幅相形式(16)。
Figure BDA0002851760850000096
其中，蛇形机器人的侧滑角度为
Figure BDA0002851760850000097
机器人的速度矢量为
Figure BDA0002851760850000098
由于(13)中的n2和n3部分都等于0，那么
Figure BDA0002851760850000099
的方程(13)结合(16)可以简化得到(17)。
Figure BDA0002851760850000101
当机器人的运动轨迹完美跟踪期望路径时，根据图2可得到(18)。
Figure BDA0002851760850000102
联立(10)和(18)可以得到(19)。
Figure BDA0002851760850000103
将(19)代入(17)可以得到
Figure BDA0002851760850000104
的另一种形式(20)。
Figure BDA0002851760850000105
步骤四：蛇形机器人连杆角误差函数为(21)。
Figure BDA0002851760850000106
公式(21)两端进行时间微分可得(22)。
Figure BDA0002851760850000107
连杆角速度误差为(23)。
Figure BDA0002851760850000108
公式(23)两端进行时间微分可得(24)。
Figure BDA0002851760850000109
将(5)和(1)中的第六个方程代入(24)可得(25)。
Figure BDA00028517608500001010
设置辅助函数(26)。
Figure BDA00028517608500001011
联立(22)和(26)可得(27)。
Figure BDA00028517608500001012
把(25)和(27)代入(43)可以得到(28)。
Figure BDA0002851760850000111
利用Backstepping方法设计机器人的连杆方向角补偿φ0为(29)。
Figure BDA0002851760850000112
步骤五：蛇形机器人关节角误差eφ为(30)，且存在数学关系(46)。
Figure BDA0002851760850000113
将蛇形机器人关节角误差(30)进行时间微分得到(31)。关节角速度误差为(32)。
Figure BDA0002851760850000114
Figure BDA0002851760850000115
对(32)两端进行时间微分得到(33)。
Figure BDA0002851760850000116
设计一个反馈输入-输出控制器
Figure BDA0002851760850000117
满足(34)。
Figure BDA0002851760850000118
其中，kv＞0为常数增益，这个常数增益满足
Figure BDA0002851760850000119
将(1)中的第五个方程代入(33)可得(35)。
Figure BDA00028517608500001110
利用自适应控制方法，设置系统关节驱动力的控制输入u为(36)。
Figure BDA00028517608500001111
其中，
Figure BDA0002851760850000121
和
Figure BDA0002851760850000122
为估计值。
将(36)代入(35)，得到
Figure BDA0002851760850000123
的另一种形式(37)。
Figure BDA0002851760850000124
设置一个辅助函数(38)。
Figure BDA0002851760850000125
其中，
Figure BDA0002851760850000126
为时变量。同时，时变量
Figure BDA0002851760850000127
满足
Figure BDA0002851760850000128
将(38)代入(31)可以得到(39)。
Figure BDA0002851760850000129
步骤六：利用Lyapunov方法验证步骤三中的运动位置误差、步骤四中的连杆角误差和步骤五中的关节角误差的稳定性。
设计Lyapunov候选函数L1为(40)。
Figure BDA00028517608500001210
其中，κ＞0为常数增益。
Figure BDA00028517608500001211
很明显，
Figure BDA00028517608500001212
是负定的，所以蛇形机器人的位置坐标误差ep(t)渐近稳定。
设置Lyapunov候选函数L2为(42)。
Figure BDA00028517608500001213
Figure BDA00028517608500001214
把(25)和(27)代入(43)可以得到(44)。
Figure BDA0002851760850000131
将(29)代入(28)后，得到
Figure BDA0002851760850000132
的另一种形式为(45)。
Figure BDA0002851760850000133
Figure BDA0002851760850000134
公式(30)满足不等式(47)。
Figure BDA0002851760850000135
因为
Figure BDA0002851760850000136
所以，结合(46)、(47)和(48)可以得到(49)。
Figure BDA0002851760850000137
根据(49)，可以得到
Figure BDA0002851760850000138
的放缩形式为(50)。
Figure BDA0002851760850000139
设置Lyapunov候选函数V31为(51)。
Figure BDA00028517608500001310
对(51)进行时间微分后将(39)代入可得(52)。
Figure BDA00028517608500001311
利用自适应控制方法，设置Lyapunov候选函数V32为(53)。
Figure BDA00028517608500001312
Figure BDA0002851760850000141
其中，kφ为正常量。
始终保持不等式(55)成立。
Figure BDA0002851760850000142
其中，χφ＞0为正常数增益。
根据(55)可以推出(56)。
Figure BDA0002851760850000143
根据(56)可以得到
Figure BDA0002851760850000144
的放缩形式为(57)。
Figure BDA0002851760850000145
设置参考值
Figure BDA0002851760850000146
和
Figure BDA0002851760850000147
的微分为
Figure BDA0002851760850000148
和
Figure BDA0002851760850000149
设置Lyapunov候选函数L3为(58)。
Figure BDA00028517608500001410
对(58)两端进行时间微分可以得到(59)。
Figure BDA00028517608500001411
联立(34)和(57)得到
Figure BDA00028517608500001412
的放缩形式为(60)。
Figure BDA00028517608500001413
设计最终的Lyapunov函数为L＝L1+L2+L3。对L进行时间微分并联立(41)、(50)和(60)可以得到不等式(61)。
Figure BDA0002851760850000151
只要保证
Figure BDA0002851760850000152
就能保证
Figure BDA0002851760850000153
为负定的，即系统渐进稳定。
步骤七：通过MATLAB对基于改进LOS方法的多关节蛇形机器人自适应控制器进行仿真实验，机器人的运动位置误差曲线如图4所示，机器人的连杆角度误差曲线曲线如图5所示，机器人的改进LOS方法下的关节角误差曲线如图6所示，机器人的LOS方法下的关节角误差曲线如图7所示，根据仿真结果可以发现基于改进LOS曲线的蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器能使机器人较原LOS控制方法具有更快的轨迹跟踪收敛速度，更快的连杆角误差收敛速度，更稳定的关节角误差曲线，更高的连杆角速度误差稳定性，更好的关节角速度误差稳定性。这充分体现了所提出的自适应轨迹跟踪控制器的优越性。
以上仅是本发明的优选实施方式，应当指出：对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (8)

1.基于改进LOS方法的蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器设计方法，其特征在于：包括如下步骤：
步骤一：对蛇形机器人的运动机理进行分析，根据蛇形机器人的身体结构和运动特点，在广义坐标矩阵中建立了蛇形机器人线性化的动力学模型；
步骤二：制定基于改进LOS方法的蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器的动态控制目标和角度控制目标，并将两大控制目标划分为三项任务，同时分析了三项任务之间的作用和联系，分别是：任务一是使机器人的运动位置误差渐进稳定；任务二是使机器人的连杆角误差渐进稳定；任务三是使机器人的关节角误差渐进稳定；同时，分析三个任务之间的联系；
步骤三：根据步骤二的任务一，蛇形机器人的运动位置误差为ep(t)，目标是使机器人的运动轨迹跟踪x轴，即ep(t)＝ey→0，实现运动位置误差ep(t)渐进稳定；
步骤四：根据步骤二的任务二，构建一个辅助函数，利用Backstepping方法构造了一个反馈控制器，设计了连杆方向角补偿器φ0，实现机器人的步态控制，使得连杆角误差eθ和连杆角速度误差eu渐进稳定；
步骤五：根据步骤二的任务三，利用自适应控制方法构造了一个输入—输出控制函数u，设计一组自适应反馈控制器，构造一个虚拟控制器，使得关节角误差eφ和关节角速度误差ev渐近稳定；
步骤六：构造Lyapunov函数L，来判断步骤三中的运动位置误差ep(t)、步骤四中的连杆夹角误差eθ和连杆角速度误差eu、步骤五中的关节角误差eφ和关节角速度误差ev渐进稳定性。
2.根据权利要求1所述的基于改进LOS方法的蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器设计方法，其特征在于：还包括步骤七，通过MATLAB进行模拟仿真实验，验证基于改进LOS方法的蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器的有效性。
3.根据权利要求1或2所述的基于改进LOS方法的蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器设计方法，其特征在于：
步骤一中建立的蛇形机器人运动学模型，建立如公式(1)所示的机器人运动学模型方程；
Figure FDA0002851760840000021
其中，蛇形机器人由N个长度为2h的连杆关节组成，机器人的连杆角集合为
Figure FDA0002851760840000022
机器人的关节质心位置为p＝[px，py]T，机器人的连杆角速度为
Figure FDA0002851760840000023
关节角集合为
Figure FDA0002851760840000024
机器人的关节角速度为
Figure FDA0002851760840000025
机器人的切向量速度为vt∈RN，机器人的法向量速度为vn∈RN，机器人的关节质量为m，设辅助矩阵为
Figure FDA0002851760840000026
Figure FDA0002851760840000027
系统的控制输入量为
Figure FDA0002851760840000028
辅助矩阵
Figure FDA0002851760840000029
机器人的连杆角速度为
Figure FDA0002851760840000031
蛇形机器人连杆模型中的切向和法向摩擦系数分别为λ1＞0和λ2＞0，摩擦系数的大小受地理环境影响；设置机器人关节旋转速度到旋转加速度的映射比例为μ1＞0，设置机器人关节角度均值和切向速度到旋转加速度的映射比例为μ2＞0。
4.根据权利要求1或2所述的基于改进LOS方法的蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器设计方法，其特征在于：步骤二的具体实现方法为，
对于动态控制目标，假设在全局坐标系下，蛇形机器人的运动路径始终与x轴方向对齐，机器人在x方向的跟踪误差始终为0，即ex≡0，那么则有ep(t)＝ey；所以，只需要控制机器人的实际纵向位置坐标跟踪理想的纵向位置坐标，实现ep(t)＝ey收敛到0；
对于角度控制目标，它包括对机器人连杆角度误差eθ和关节角度误差eφ的控制；需要使得机器人的连杆角θ跟踪理想的连杆角
Figure FDA0002851760840000032
实现连杆角度误差eθ收敛到0且渐近稳定；与此同时，还需要使得机器人的关节角φ跟踪理想的关节角
Figure FDA0002851760840000033
实现关节角度误差eφ收敛到0且渐进稳定；
任务一：蛇形机器人的运动位置误差为ep(t)，目标是使机器人的运动轨迹跟踪x轴，即ep(t)＝ey→0，实现运动位置误差ep(t)渐进稳定；
Figure FDA0002851760840000034
任务二：蛇形机器人的连杆角度误差为
Figure FDA0002851760840000035
目标是使机器人的连杆角θ跟踪他的理想值
Figure FDA0002851760840000036
即
Figure FDA0002851760840000037
实现连杆角误差eθ渐近稳定；
Figure FDA0002851760840000038
任务三：蛇形机器人的关节角度误差为
Figure FDA0002851760840000039
目标是使机器人的关节角φ跟踪他的理想值
Figure FDA00028517608400000310
即
Figure FDA00028517608400000311
实现关节角误差eφ渐近稳定；
Figure FDA00028517608400000312
当任务一实现时，便实现了蛇形机器人轨迹跟踪的动态控制目标；此时蛇形机器人可以在期望的路径上运动，即使蛇形机器人受到外界的干扰而偏离期望的路径，机器人也可以通过自我调整恢复到期望的路径上来；
当任务二和任务三实现时，便实现了蛇形机器人轨迹跟踪的角度控制目标；其中，任务二的实现可以保证机器人朝着期望的方向运动；任务三的实现可以使机器人通过蜿蜒运动为其提供动力；
考虑到三个任务对蛇形机器人轨迹跟踪运动的作用，任务三保证了机器人实现蜿蜒运动，这是任务一和任务二得以实现的前提和基础；当机器人能够顺利运动后，任务二的实现可以为机器人提供正确的运动方向，但是此时机器人的运动位置误差并没有实现完全收敛；于是，需要借助任务一来确保机器人的运动路径能够收敛到期望的路径上；只有当三个任务目标同时实现时，蛇形机器人才能够达到完整的轨迹跟踪运动性能。
5.根据权利要求1或2所述的基于改进LOS方法的蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器设计方法，其特征在于：步骤三的具体实现方法为，
为了避免机器人在运动过程中产生侧滑，对传统的LOS方法进行改进，在LOS方程中加入一个积分环节；利用积分的作用，将蛇形机器人在连续时间内的位置坐标误差累加起来，通过加上或减去一定比例的位置误差积分来补偿机器人连杆角由于侧滑而产生的误差；
在对LOS进行改进之前，要描述蛇形机器人的运动步态和推导蛇形机器人位置坐标误差ep(t)的解析表达式；
蛇形机器人的步态可以用第j关节角运动方程(5)来描述；
Figure FDA0002851760840000041
其中，A为蛇形机器人关节的摆动幅值增益，ω为机器人关节的摆动频率，摆动频率的作用是对机器人的运动速度进行补偿，φ0为机器人的连杆方向角补偿量，关节偏移量的作用是对机器人的前进方向进行补偿，δ为机器人关节与关节之间的相移；
机器人的位置坐标为
Figure FDA0002851760840000051
机器人的期望路径坐标为
Figure FDA0002851760840000052
Figure FDA0002851760840000053
Figure FDA0002851760840000054
其中，α为蛇形机器人运动路径的正切角，这个角度决定了机器人的运动朝向,ex(t)为蛇形机器人x方向的位置误差，ey(t)为y方向的位置误差；
将(6)变换后可以得到机器人在x轴、y轴方向的位置误差(8)；
Figure FDA0002851760840000055
根据步骤二中的动态控制目标，可知ex≡0，于是便得到了蛇形机器人位置坐标误差ep(t)的解析表达式(9)；
Figure FDA0002851760840000056
为了补偿摩擦力变化导致的侧滑角，加入积分环节eint改进了LOS方程的理想连杆角
Figure FDA0002851760840000057
为(10)；利用Backstepping方法设计积分部分eint的时间微分为(11)；
Figure FDA0002851760840000058
Figure FDA0002851760840000059
其中，κ＞0为常数增益，Δ为前向距离，Δ＞0表示蛇形机器人的运动方向向前，Δ＜0表示机器人的运动方向向后；
对于蛇形机器人转弯时的动态控制，利用(12)来为机器人提供合适的前向距离Δ；当Δ较小时，机器人的关节转动很快，当Δ较大时，机器人的关节转动很慢；
Figure FDA0002851760840000061
其中，kΔ为收敛速度，Δmax和Δmin分别表示前向距离的上界和下界；
当蛇形机器人的运动轨迹还未收敛到期望路径时，机器人在改进LOS方程的控制下会始终朝着移动点(xLOS,yLOS)的方向运动；这一过程的最终结果就是机器人的运动路径与期望路径保持一致；换句话说，任务一得以实现；
接下来证明蛇形机器人位置坐标误差ep(t)收敛后的稳定性；先对蛇形机器人的位置坐标误差ep(t)进行微分得(13)；
Figure FDA0002851760840000062
公式(13)中的n3部分与(8)中的第一个方程联立可得
Figure FDA0002851760840000063
又有ex≡0，于是可知n3部分为0；
将(13)中的n2部分转换成幅相形式(14)；
Figure FDA0002851760840000064
然后设计(14)中的β2为(15)；
Figure FDA0002851760840000065
将(15)代入(14)后得到n2＝0；
将(13)中的n1部分转换成幅相形式(16)；
Figure FDA0002851760840000066
其中，蛇形机器人的侧滑角度为
Figure FDA0002851760840000071
机器人的速度矢量为
Figure FDA0002851760840000072
由于(13)中的n2和n3部分都等于0，那么
Figure FDA0002851760840000073
的方程(13)结合(16)可以简化得到(17)；
Figure FDA0002851760840000074
当机器人的运动轨迹完美跟踪期望路径时，可得到(18)；
Figure FDA0002851760840000075
联立(10)和(18)可以得到(19)；
Figure FDA0002851760840000076
将(19)代入(17)可以得到
Figure FDA0002851760840000077
的另一种形式(20)。
Figure FDA0002851760840000078
6.根据权利要求1或2所述的基于改进LOS方法的蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器设计方法，其特征在于：步骤四的具体实现方法为，
蛇形机器人连杆角误差函数为(21)；
Figure FDA0002851760840000079
公式(21)两端进行时间微分可得(22)；
Figure FDA00028517608400000710
连杆角速度误差为(23)；
Figure FDA00028517608400000711
公式(23)两端进行时间微分可得(24)；
Figure FDA00028517608400000712
将(5)和(1)中的第六个方程代入(24)可得(25)；
Figure FDA0002851760840000081
设置辅助函数(26)；
Figure FDA0002851760840000082
联立(22)和(26)可得(27)；
Figure FDA0002851760840000083
把(25)和(27)代入(43)可以得到(28)；
Figure FDA0002851760840000084
利用Backstepping方法设计机器人的连杆方向角补偿φ0为(29)。
Figure FDA0002851760840000085
7.根据权利要求1或2所述的基于改进LOS方法的蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器设计方法，其特征在于：步骤五的具体实现方法为，
蛇形机器人关节角误差eφ为(30)，且存在数学关系(46)；
Figure FDA0002851760840000086
将蛇形机器人关节角误差(30)进行时间微分得到(31)；关节角速度误差为(32)；
Figure FDA0002851760840000087
Figure FDA0002851760840000088
对(32)两端进行时间微分得到(33)；
Figure FDA0002851760840000089
设计一个反馈输入-输出控制器
Figure FDA0002851760840000091
满足(34)；
Figure FDA0002851760840000092
其中，kv＞0为常数增益，这个常数增益满足
Figure FDA0002851760840000093
Figure FDA0002851760840000094
利用自适应控制方法，设置系统关节驱动力的控制输入u为(36)；
Figure FDA0002851760840000095
其中，
Figure FDA0002851760840000096
和
Figure FDA0002851760840000097
为估计值；
将(36)代入(35)，得到
Figure FDA0002851760840000098
的另一种形式(37)；
Figure FDA0002851760840000099
设置一个辅助函数(38)；
Figure FDA00028517608400000910
其中，
Figure FDA00028517608400000911
为时变量；同时，时变量
Figure FDA00028517608400000912
满足
Figure FDA00028517608400000913
将(38)代入(31)可以得到(39)。
Figure FDA00028517608400000914
8.根据权利要求1或2所述的基于改进LOS方法的蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器设计方法，其特征在于：步骤六的具体实现方法为，
设计Lyapunov候选函数
Figure FDA00028517608400000915
为(40)；
Figure FDA00028517608400000916
其中，κ＞0为常数增益；
Figure FDA0002851760840000101
很明显，
Figure FDA0002851760840000102
是负定的，所以蛇形机器人的位置坐标误差ep(t)渐近稳定；
设置Lyapunov候选函数L2为(42)；
Figure FDA0002851760840000103
Figure FDA0002851760840000104
把(25)和(27)代入(43)可以得到(44)；
Figure FDA0002851760840000105
将(29)代入(28)后，得到
Figure FDA0002851760840000106
的另一种形式为(45)；
Figure FDA0002851760840000107
Figure FDA0002851760840000108
公式(30)满足不等式(47)；
Figure FDA0002851760840000109
因为
Figure FDA00028517608400001010
所以，结合(46)、(47)和(48)可以得到(49)；
Figure FDA00028517608400001011
根据(49)，可以得到
Figure FDA00028517608400001012
的放缩形式为(50)；
Figure FDA00028517608400001013
设置Lyapunov候选函数V31为(51)；
Figure FDA0002851760840000111
对(51)进行时间微分后将(39)代入可得(52)；
Figure FDA0002851760840000112
利用自适应控制方法，设置Lyapunov候选函数V32为(53)；
Figure FDA0002851760840000113
Figure FDA0002851760840000114
其中，kφ为正常量；
始终保持不等式(55)成立；
Figure FDA0002851760840000115
其中，χφ＞0为正常数增益；
根据(55)可以推出(56)；
Figure FDA0002851760840000116
根据(56)可以得到
Figure FDA0002851760840000117
的放缩形式为(57)；
Figure FDA0002851760840000118
设置参考值
Figure FDA0002851760840000119
和
Figure FDA00028517608400001110
的微分为
Figure FDA00028517608400001111
和
Figure FDA00028517608400001112
设置Lyapunov候选函数L3为(58)；
Figure FDA0002851760840000121
对(58)两端进行时间微分可以得到(59)；
Figure FDA0002851760840000122
联立(34)和(57)得到
Figure FDA0002851760840000123
的放缩形式为(60)；
Figure FDA0002851760840000124
设计最终的Lyapunov函数为L＝L1+L2+L3；对L进行时间微分并联立(41)、(50)和(60)可以得到不等式(61)；
Figure FDA0002851760840000125
只要保证
Figure FDA0002851760840000126
就能保证
Figure FDA0002851760840000127
为负定的，即系统渐进稳定。
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