CN112651133A - 一种三维立体移动式自动存取系统最优尺寸设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出一种三维立体移动式自动存取系统最优尺寸设计方法，包括如下步骤：步骤1，输入给定的系统参数，利用概率统计知识、卷积公式和曼哈顿距离公式确定出随机取货时间的概率密度函数和概率分布函数；步骤2、建立数学优化模型，根据移动式三维立体AS/RS存储系统在时间上的三维尺寸关系分成四种情况，并逐一建立数学模型，最后进行求解获得最优设计方案和最小的期望取货时间；第三，将四种情形下的最优设计方案进行对比筛选出整体最优设计方案，并最终确定全局最小期望取货时间。

Description

一种三维立体移动式自动存取系统最优尺寸设计方法

技术领域

本发明涉及仓储领域，尤其涉及一种三维立体移动式自动存取系统最优尺寸设计方 法。

背景技术

在线销售行业在中国取得了极大成功，众所周知的“双十一”、“六一八”购物节 已经成为中国老百姓享受线上购物的快乐节日。在线销售之所以成功离不开背后的一系 列高科技技术支撑和赋能。特别地，物流仓储技术在其中起着非常重要的作用。电子商 务越来越离不开现代化的物流仓储技术。在新一代仓储技术中，自动化三维存取系统(Automated Storage and Retrieval System，以下简称为AS/RS)使用最为广泛。国内在上世纪60年代开始研制AS/RS，80年代投入使用，截止到现在为止，国内的AS/RS应 用已经广泛存在。特别是随着电商物流业的蓬勃发展，业内实践者已经意识到AS/RS具 有高效率、低成本、自动化的特性，因此AS/RS越来越受到业界的重视。比如，京东公 司亚洲一号自动化仓储系统，烟草行业中的自动化立体存储系统都是典型应用案例。在 AS/RS的研究和使用中，绝大多数都聚焦在立体货架为固定安装的场景。比如无存储托 盘的自动化存储系统(物流工程与管理，04：62-63，2015)，一种存储袋装物料的组合 式立体仓储系统(物流技术与应用，01：100-103，2015)，一种遥控有轨车式自动仓储 密集库系统(物流技术与应用，09：90-94，2010)，以及存储圆盘类零件的自动存取系 统设计与仿真(机械制造与自动化，03：42-43，2007)等。但对于可移动式立体货架的 AS/RS研究论文几乎没有，相关专利成果也没有发现。但其具有更为广泛的应用潜力， 比如应用在大型图书馆、档案馆中，也可以应用到存储小型包裹的电商仓库中。因此针 对可移动式三维立体AS/RS系统的深入研究可以弥补这方面的研究缺陷，因此，本发明 主要针对可移动式三维立体AS/RS系统的最优尺寸设计开发了一套设计方法，为其在行 业实践中成功应用提供可靠的理论和技术保障。现有技术存在如下缺陷：

1.固定式的三维立体AS/RS系统最优尺寸设计方法对移动式的三维立体AS/RS系统最优尺寸的设计不能提供正确有效的设计方案。

2.移动式的三维立体AS/RS系统中立体货架可移动性给其最优尺寸设计带来了完全不同的新的挑战，需要依据该系统的具体操作特点重新进行设计。

发明内容

本发明的目的在于为三维立体AS/RS系统建立最优尺寸设计的数学模型，并基于数 学模型和一定的数学与统计学原理为三维立体AS/RS系统最优尺寸设计模型提供一整套设计方法。该最优设计方法能够快速准确地确定出最优设计尺寸比例结果。为三维立 体AS/RS系统在行业实践中顺利高效运营提供准确可靠的方法论支撑。本发明还在结论 中对三维立体AS/RS系统给出明确的最优尺寸设计结果。

本发明的技术方案为：一种三维立体移动式自动存取系统最优尺寸设计方法，其特 征在于，包括如下步骤：

步骤1，输入给定的系统参数，利用概率统计知识、卷积公式和曼哈顿距离公式确定出随机取货时间的概率密度函数和概率分布函数；

步骤2、建立数学优化模型，根据移动式三维立体AS/RS存储系统在时间上的三维尺寸关系分成四种情况，并逐一建立数学模型，最后进行求解获得最优设计方案和最小 的期望取货时间；

第三，将四种情形下的最优设计方案对比筛选出整体最优设计方案，并最终确定全 局最小期望取货时间。

有益效果：

利用本发明提供的优化方法，具有如下优点：

1.本发明为移动式三维立体AS/RS系统的期望取货时间最优设计建立正确可靠的数学模型，并发展了详细的计算步骤；

2.根据本发明提供的优化设计方法，可直接计算出给定货架三维尺寸下的期望最小 取货时间，方便快捷高效；

3.按照本发明提供的方法进行优化设计，可证明能够大幅度缩减移动式三维立体AS/RS系统的运营成本。

附图说明

图1三维立体AS/RS存储系统的三维立体示意图；

图2三维立体AS/RS存储系统的三维立体结构图；

图3本发明分析方法的详细结果。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整 的描述，显然，所描述的实施例仅为本发明的一部分实施例，而不是全部的实施例，基于本发明中的实施例，本领域的普通技术人员在不付出创造性劳动的前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明的保护范围。

本发明提供的与移动式三维立体AS/RS存储系统配合使用的最优尺寸设计方法，其 包括如下步骤：

第一，输入给定的系统参数，利用概率统计知识、卷积公式和曼哈顿距离公式确定出随机取货时间的概率密度函数和概率分布函数。

第二，建立数学优化模型，根据移动式三维立体AS/RS存储系统在时间上的三维尺寸关系分成四种情况进行讨论，并逐一建立数学模型，最后进行求解获得最优设计方案 和最小的期望取货时间。

第三，将四种情形下的最优设计方案对比筛选出整体最优设计方案，并最终确定全 局最小期望取货时间。

该发明能够直接利用AS\RS存储系统的任意给定参数确定出最优尺寸设计，然后确 定方法中所需的密度函数和分布函数，最后根据凸优化方法求解获得最后的设计方案。该发明中的方法整体简易操作，整个优化过程易于编程代码化，能够为该系统的日常运 营提供理论上最优的取货时间方案。

参数如下：

L：货架的长度；

H：货架的高度；

W：移动式AS/RS系统的深度；

s_h：S/R机在水平方向上的速度；

s_v：S/R机在垂直方向上的速度；

s_p：S/R机在纵深方向上的速度，根据系统特点，一般设定s_p＝s_h，即纵深方向的 速度与水平方向上的速度相等；

运行时间上货架的长度；

运行时间上货架的高度；

运行时间上货架的深度。

令T＝max{t_h,t_v,t_p}，b＝min{t_h/T,t_v/T,t_p/T}运行时间上货架的深度，则有0＜b≤1； 当且仅当t_h＝t_p＝t_v成立时有b＝1。设a表示集合{t_h/T,t_v/T,t_p/T}中剩下的表达式的比值， 可知有如下关系成立，即0＜b≤a≤1。如果t_h＝t_v，则货架是时间意义上的正方形(Square in time,SIT)。

假设移动式AS/RS系统的存储容量V′是常数，即L×H×W≡V′，因此t_ht_vt_p＝V也是常 数。进一步，关于V′和V有如下关系式成立：

下面本发明考虑S/R机在单指令周期下期望取货时间表达式。设：

Ξ：S/R机从I/O点处运行到取货位置所需的时长；

U：S/R机从取货点位置返回到I/O点所需的时长；

κ：S/R机货物装卸所需时长。

有了上述记号，可以将AS/RS系统的期望取货时间表示为E(Ξ)+E(U)+κ，由于κ通常是常数因此可以在这里省略不予考虑。因此该表达式可进一步表示为：

ESC＝E(Ξ)+E(U) (2)

对于随机变量Ξ,它由两个因素决定，一个是S/R机在平面xoy上的运行时间Ω,另一个是S/R机在竖直方向上所需的运行时间Z,然而Ω的大小是由S/R机在两个方向x和 y上的运行时间X和Y决定的，也就是说Ω＝X+Y。因此有Ξ＝max{X+Y,Z}。

对于U来说，它的大小等于Ξ的大小，因此，本发明有U＝max{X+Y,Z}，由(2)，S/R 机的期望取货时间能表示为ESC＝2E(max{X+Y,Z})。设f_X(x)和f_Y(y)分别表示随机变 量X和Y的概率密度函数。因为X和Y互相独立，因此它们的密度函数可分别表示为：

和

令

表示S/R机在平面xoy上运行时间Ω的随机变量。利用卷积公式，Ω的概率密度函数能够计算获得如下表示：

随机变量Z的概率密度函数为

利用概率分布计算方法，能够计 算得到随机变量Ω的概率分布函数为：

类似地，随机变量Z的概率分布函数也能计算表示为：

由(3)和(4)，由于和互相独立，因此本发明能获得Ξ(同时也是U)的概率分布函数为：

F_Ξ(ξ)＝F_Ω(ξ)F_Z(ξ) (5)

设f_Ξ(ξ)表示为Ξ的概率密度函数，则有如下计算公式

随机变量Ξ的数学期望可以通过求解如下的连续型期望积分获得，即：

注意到前面的假设条件t_p＜t_h。基于t_v，t_p和t_h的关系，本发明需要讨论四种情形来最终确定最优的尺寸比例，即，0＜t_v≤t_p＜t_h，0＜t_p＜t_v≤t_h，0＜t_p＜t_h＜t_v≤t_p+t_h和t_v＞t_p+t_h。

情形1：0＜t_v≤t_p＜t_h

在该情形下本发明有T＝t_h＝max{t_h,t_v,t_p},t_v＝bT,t_p＝aT.a,b是形状因子。此时，随 机变量Ω和Z的分布密度函数分别可以表示为如下结果。

因此Ω和Z的概率分布函数可以计算表示为：

由式(5)，(7)和(8)，我么能获得Ξ的概率分布函数F_Ξ(ξ)的详细表达式为：

设M＞(a+1)T为一个充分大的常数，由式(6)，本发明可以通过连续性随机变量数学 期望积分公式球的AS\RS系统的期望取货时间为：

因此，本发明正式的将期望运行时间表示为形状因子a和b的二元函数，即：

由t_ht_vt_p＝V，即可知abT³＝V，因此有

故上式(9)能表示为：

在系统仓储容量为常数V的条件下，本发明的目标是求上述目标函数的最小值。因此，本发明将目标函数和必要的约束条件放在一起构成如下的非线性约束优化问题 (OBJ-1)：

如果上述优化问题为凸优化问题，只要能找到一个局部最优解也就找到了问题的全 局最优解，因此下面本发明证明该问题是一个凸优化问题。首先观察问题的约束条件均是线性，因此都是凸约束条件，剩下的工作就是考察目标函数是否为凸函数。目标函数 为二元函数，因此本发明考察它的海塞矩阵的正定性。通过计算变量的二阶导数和交叉 二阶导数，可知其海塞矩阵对应的行列式大于零，即(注意到0＜b≤a≤1)

上述结果表明问题OBJ-1为一个凸的约束优化问题，因此可以利用 Karush-Kuhn-Tucker(KKT)条件进行求解，为此本发明求出目标函数关于两个变量的一 阶导数表达式为：

设点

表示满足KKT条件方程的解，这样KKT条件在点

处可以表示为如 下面的非线性方程组：

其中

为拉格朗日乘子。

利用嵌入通用求解平台(比如Matlab或Mathematica)的数值优化方法，本发明能够求得问题得最优结果，即期望最小运行时间为

且

最优形状因子为

情形2：0＜t_p＜t_v≤t_h.(t_p＝b,t_v＝a)

由式(5)，(7)和(8)，本发明能够获得随机变量Ξ的概率分布函数表达式为：

设M＞(a+1)T是一个充分大的常数，由式(6)，本发明可以获得如下面的期望运行时 间的数学表达，即：

因此，本发明正式的将期望运行时间表示为a和b的二元函数，即：

类似于情形1的分析求解过程，期望取货时间的目标函数最优值为

最优解为

情形3：0＜t_h＜t_v≤t_h+t_p,(t_p＝b,t_h＝a)

目标函数是：

同理，情形3中期望取货目标函数最优值是

最优解为

也即是

情形4：t_v＞t_p+t_h,(t_p＝b,t_h＝a)

目标函数是：

同理，情形4中期望取货目标函数最优值是

最优解为

也即是

通过比较上述四情形的最优结果，可以发现，情形3的结果是整体最优结果，即t_v:t_h:t_p＝1:0.67:0.67.

表1

最大相对误差为：

根据本发明的一个实施例，本发明依照某家实际具体移动式三维立体AS/RS系统给 定的长度上的尺寸大小，利用本发明提供的方案进行具体实例计算验证，具体过程如下：

1)给定移动式三维立体AS/RS系统的三维长度尺寸，货架的长度为100米，货架 的高度为50米，系统深度为200米。并给出S/R机的三个速度值，即水平方向的速度 为1米/秒，垂直方向上的速度为1米/秒，纵深方向的速度为0.5米/秒。

2)计算得出系统在运行时间上的货架三维尺寸，即运行时间上的货架长度为100秒，运行时间上的货架高度为100秒，以及运行时间上的货架深度为200秒。

3)分别确定出公式(2)中S/R机在xoy平面和竖直方向上随机运行时间的概率密度函数f_Ω(ω)和f_Z(z)，进而计算得出对应得分布函数F_Ω(ω)和F_Z(z)。最后通过公式(5) 计算获得分布函数F_Ξ(ξ)。

4)根据货架在运行时间上的三维尺寸关系，即货架的(在运行时间上的)长度、高度和深度之间的三者所有大小关系，分成四种情形进行数学建模。

5)对每一种情形下的数学模型使用凸优化方法进行求解，确定出该模型的最优解， 也就是该情形下对用的最优尺寸设计方案以及最小的期望取货时间，分别为4.9分钟、4.83分钟、4.68分钟和4.69分钟。(具体结果见附图3)

6)对四类情形下的最优方案进行排序比较，确定出全局最优方案，即为情形3(具体结果见附图3)。

7)然后对系统在一个周期内的取货吞吐量进行比较，假定一天工作时间为8小时，则该系统的最大吞吐量可达到8*60/4.68＝103次。企业实际运作中，系统每次取货平均 需要花费6分钟。因此，其吞吐量约为8*60/6＝80次。采用本发明的设计方案，可以使 得该移动式AS/RS系统提高效率为100％*(103-80)/80＝28.75％。

尽管上面对本发明说明性的具体实施方式进行了描述，以便于本技术领域的技术人 员理解本发明，且应该清楚，本发明不限于具体实施方式的范围，对本技术领域的普通技术人员来讲，只要各种变化在所附的权利要求限定和确定的本发明的精神和范围内， 这些变化是显而易见的，一切利用本发明构思的发明创造均在保护之列。

Claims (7)

1.一种三维立体移动式自动存取系统最优尺寸设计方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1，输入给定的系统参数，利用概率统计知识、卷积公式和曼哈顿距离公式确定出随机取货时间的概率密度函数和概率分布函数；

步骤2、建立数学优化模型，根据移动式三维立体AS/RS存储系统在时间上的三维尺寸关系分成四种情况，并逐一建立数学模型，最后进行求解获得最优设计方案和最小的期望取货时间；

第三，将四种情形下的最优设计方案对比筛选出整体最优设计方案，并最终确定全局最小期望取货时间。

2.根据权利要求1所述的一种三维立体移动式自动存取系统最优尺寸设计方法，其特征在于，步骤1中的给定的系统参数包括：

L：货架的长度；H：货架的高度；W：移动式AS/RS系统的深度；s_h：S/R机在水平方向上的速度；s_v：S/R机在垂直方向上的速度；s_p：S/R机在纵深方向上的速度，设定s_p＝s_h，即纵深方向的速度与水平方向上的速度相等；

运行时间上货架的长度；

运行时间上货架的高度；

运行时间上货架的深度。

3.根据权利要求1所述的一种三维立体移动式自动存取系统最优尺寸设计方法，其特征在于，步骤1中利用概率统计知识、卷积公式和曼哈顿距离公式确定出随机取货时间的概率密度函数和概率分布函数，具体包括：

AS/RS系统的期望取货时间表示为E(Ξ)+E(U)+κ，

Ξ：S/R机从I/O点处运行到取货位置所需的时长；U：S/R机从取货点位置返回到I/O点所需的时长；κ：S/R机货物装卸所需时长，是常数；

进一步表示为：

ESC＝E(Ξ)+E(U) (2)

对于随机变量Ξ,Ξ＝max{X+Y,Z}，Z是S/R机在竖直方向上所需的运行时间,X和Y是S/R机在两个方向x和y上的运行时间；S/R机在平面xoy上的运行时间为Ω，Ω＝X+Y；

对于U等于Ξ，即U＝max{X+Y,Z}，由(2)，S/R机的期望取货时间能表示为：ESC＝2E(max{X+Y,Z})；

设f_X(x)和f_Y(y)分别表示随机变量X和Y的概率密度函数；X和Y互相独立，它们的密度函数分别表示为：

和

令

表示S/R机在平面xoy上运行时间Ω的随机变量，则利用卷积公式，Ω的概率密度函数能够计算获得如下表示：

随机变量Z的概率密度函数为

利用概率分布计算方法，能够计算得到随机变量Ω的概率分布函数为：

随机变量Z的概率分布函数也能计算表示为：

4.根据权利要求1所述的一种三维立体移动式自动存取系统最优尺寸设计方法，其特征在于：

其中的公式(3)和(4)互相独立，则Ξ或U的概率分布函数为，令ξ表示S/R机从I/O点处运行到取货位置所需时长的随机变量：

F_Ξ(ξ)＝F_Ω(ξ)F_Z(ξ) (5)

设f_Ξ(ξ)表示为Ξ的概率密度函数，

随机变量Ξ的数学期望通过求解如下的连续型期望积分获得，即：

5.根据权利要求1所述的一种三维立体移动式自动存取系统最优尺寸设计方法，其特征在于：

基于t_v，t_p和t_h的关系，根据四种情形来最终确定最优的尺寸比例，即，0＜t_v≤t_p＜t_h，0＜t_p＜t_v≤t_h，0＜t_p＜t_h＜t_v≤t_p+t_h和t_v＞t_p+t_h，从而获得Ξ的概率分布函数F_Ξ(ξ)和取货时间目标函数最优值。

6.根据权利要求5所述的一种三维立体移动式自动存取系统最优尺寸设计方法，其特征在于：

将移动式三维立体AS/RS系统期望取货时间使用曼哈顿距离公式进行描述。

7.根据权利要求5所述的一种三维立体移动式自动存取系统最优尺寸设计方法，其特征在于：

根据货架长度、高度和深度之间可能存在的大小关系，将货架取货情景正确分为四种情形，并在每个情形中分别建立移动式货架取货时间最小化数学模型，然后利用凸优化技术进行求解并作比较。

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