CN112632768B - 一种欠约束绳牵引并联机构稳定性分析方法 - Google Patents

Abstract

一种欠约束绳牵引并联机构稳定性分析方法，属于机构学领域。首先建立欠约束绳牵引并联机构的运动学方程和势能方程；基于最小势能原理，构建欠约束绳牵引并联机构稳定性的Hessian矩阵；联合求解静力几何方程，得到位姿和绳拉力等参数；基于此Hessian矩阵特性，直接推导子矩阵特征值表达式并进行求解，进而判断其是否大于零；对于不稳定情况，根据推导的约束条件，进一步提出了改进欠约束绳牵引并联结构稳定性的两种措施。能够快速有效地在机构设计初期判断约束绳牵引并联机构的稳定性，保证末端执行器在受到外界扰动后能保持原有平衡状态。

Description

一种欠约束绳牵引并联机构稳定性分析方法

技术领域

本发明属于机构学领域，尤其是涉及解决柔性并联机器人实用化过程中稳定性问题的一种欠约束绳牵引并联机构稳定性分析方法。

背景技术

绳牵引并联支撑系统(wire/cable-driven parallel suspension system，WDPSS)是基于并联机器人技术的一种新型机构，具有可伸缩性，通过传动机构调整绳索的长度很容易实现较大的工作空间，同时具有结构简单、成本低、响应速度快、动态性好等优点，非常适用于机械加工、装卸运载、航空航天等领域，已成为近年来研究的热点。

绳牵引并联支撑系统可根据绳索数量m和自由度数量n之间的关系特点，将绳牵引并联支撑分为可实现受迫运动的冗余约束支撑(m≥n+1)，以及可实现受迫+自由运动的欠约束支撑(m<n+1)。其中，当m＝n时，绳牵引并联支撑系统依靠重力保持绳索张紧，将重力看作附加绳索，也属于完全约束类。

与发展较为成熟的冗余/完全约束绳牵引并联技术相比，欠约束并联机构约束不足、刚度低，以及运动几何与静力学存在耦合等因素限制了它的应用，所以其相关方面的研究相对较少。但约束的减少也意味着欠约束绳牵引并联机构具有高度的灵巧性与自适应性，即末端执行器上的外力矩的变化会引起末端执行器位姿的变化，从而使末端执行器重新达到静力平衡状态。在高灵巧性和自适应性的特性下，稳定性作为反映该机构回到平衡位置的难易程度的特性需要更加深入的研究(稳定性越高，机构越容易回到原来的平衡位置或保持原来的平衡状态)，在设计机构的初始阶段能通过已知参数简易地对机构的稳定性进行判断对设计机构具有重要作用。

目前，在欠约束绳牵引并联机构的稳定性判断方面，虽然已有文献涉及Hessian矩阵、势能最小原理、静平衡工作空间等方面，如：国外，博罗尼亚大学的Marco Carricato近年来指出欠约束问题难点在于运动学和静力学(动力学)之间是本质上耦合的，动平台的姿态可能会受到外部干扰而改变，研究平衡稳定性是非常必要的，同时也给出利用既约Hessian矩阵来判断稳定性的方法(M.Carricato and J-P.Merlet,Stability Analysisof Underconstrained Cable-Driven Parallel Robots,IEEE Transaction onRobotics,2013,29(1):288-296.7)；Surdilovic D.提出一种力学方法的动态建模和分析欠约束绳牵引并联机构的平衡稳定性研究，也运用既约Hessian矩阵来分析机构的稳定性(Surdilovic D.,Radojicic J.Practical stability of under-constrained cable-suspended parallel robots.Cable-Driven Parallel Robots,2019:85-98)；国内，刘欣基于末端执行器的静力平衡方程推导并得出Hessian矩阵，得出欠约束绳牵引并联机构的静刚度，但并未用于其稳定性的判断(刘欣，仇原鹰.绳牵引并联机器人的静刚度解析.机械工程学报,2011,47(13),35-43)；刘鹏从绳牵引并联机构末端执行器的位置和最小约束的索拉为两个方面分析摄像机器人的稳定性，提出力位混合的稳定性因子，在位置性能因子和索力性能因子的基础上，把两者对末端执行器运动的稳定性进行加权综合，反映末端执行器运动的稳定性(刘鹏.柔索牵引并联机器人力学分析及稳定性评价.西安电子科技大学,2014)。但以上研究中Hessian矩阵表达式或不够完整，或使用既约Hessian矩阵进行判断稳定性，或采用斜坡角度定义稳定性度等过程较为复杂，因此亟需一种快速简易判断稳定性的方法。

针对绳牵引并联机构在风洞试验支撑系统、移动装载平台等应用情况下，不仅需要综合考虑系统稳定性，还要能够结合实际物理意义直观有效的判断。因此，本发明作为一种快速有效用于工程指导的稳定性分析方法，对欠约束绳牵引并联机构在设计过程中判断及改善稳定性具有重要意义。

发明内容

本发明的目的是为了克服现有技术存在的上述不足，提供可用来解决绳牵引并联机构现有稳定性判断方法过程复杂等问题的一种欠约束绳牵引并联机构稳定性分析方法。

本发明包括以下步骤：

1)建立欠约束绳牵引并联机构的运动学方程和势能方程，建立不同坐标系向量转换关系；

2)基于最小势能原理，构建欠约束绳牵引并联机构稳定性的Hessian矩阵；

3)联合求解静力几何方程，得到位姿和绳拉力等参数；

4)基于此Hessian矩阵特性，推导子矩阵特征值表达式并进行求解，进而判断其是否大于零；

5)对于不稳定情况，根据推导的约束条件，进一步提出改进欠约束绳牵引并联结构稳定性措施。

在步骤2)中，所述构建欠约束绳牵引并联机构稳定性的Hessian矩阵具体步骤如下：

H＝H₁+H₂

其中，H₁和H₂分别为：

式中，I为3阶单位阵，u_i为第i根绳的方向矢量，r_i为第i根绳末端执行器质心到绳索连接点在静坐标系下的矢量，u_i×、r_i×分别为u_i、r_i的反对称矩阵，T_i为第i根绳的实时拉力，l_i为第i根绳由末端执行器到定滑轮铰点的绳长，k_m绳的实时刚度，m表示绳索数量，()^T表示矩阵的转置，

为求和公式。

在步骤4)中，所述子矩阵特征值表达式如下：

式中，u_i为第i根绳的方向矢量，r_i为第i根绳末端执行器质心到绳索连接点在静坐标系下的矢量，u_i×、r_i×分别为u_i、r_i的反对称矩阵，l_i为第i根绳由末端执行器连接点到定滑轮铰点的绳长，m表示绳索数量，·表示两个向量之间的点乘。

在步骤5)中，所述对于不稳定情况，根据推导的约束条件，进一步提出改进欠约束绳牵引并联结构稳定性措施具体方法可为：提出改进稳定性的措施，使得u_i和r_i夹角α_i小于90度，或调整L_i/A_i小于1，u_i与r_i夹角处于两者之间，

的策略体现在第i根绳u_i与r_i的夹角α_i,如下式：

式中，u_i为第i根绳的方向矢量，r_i为第i根绳末端执行器质心到绳索连接点在静坐标系下的矢量，α_i为第i根绳u_i与r_i的夹角，本方法提出的优化策略在于减小u_i和r_i夹角，使其小于90度，或调整L_i/A_i小于1，其中A_i为第i根绳r_i的模，L_i为第i根绳的长度，arccos()为反三角函数，u_i和r_i夹角处于上述两者之间。

与现有技术相比，本发明具有以下优点：

本发明可解决柔性并联机器人实用化过程中稳定性问题，本发明不仅综合考虑系统稳定性，还能够结合实际物理意义直观有效的判断，是一种快速有效用于工程指导的稳定性分析方法，对欠约束绳牵引并联机构在设计过程中判断及改善稳定性具有重要意义。

附图说明

图1为一种典型的四绳牵引六自由度欠约束并联机构。

图2为一种绳牵引并联机构传统运动学模型。

图3为稳定性分析判断流程图。

具体实施方式

以下实施例将结合附图对本发明作进一步说明。

图1给出一种典型的四绳牵引六自由度欠约束并联机构。图2给出一种绳牵引并联机构传统运动学模型。图3给出稳定性分析判断流程图。本发明首先建立欠约束绳牵引并联机构的运动学方程和势能方程，建立不同坐标系向量转换关系；基于最小势能原理，构建欠约束绳牵引并联机构稳定性的Hessian矩阵；联合求解静力几何方程，得到位姿和绳拉力等参数；基于此Hessian矩阵特性，直接推导子矩阵特征值表达式并进行求解，进而判断其是否大于零；对于不稳定情况，根据推导的约束条件，进一步提出改进欠约束绳牵引并联结构稳定性的两种措施。具体步骤如下：

1、建立欠约束绳牵引并联机构的运动学方程，建立不同坐标系向量转换关系。根据欠约束绳牵引并联机构的重力势能和弹性势能表达式，表达式如下：

运动学方程：L_i＝B_i-X_P-r_i

机构势能表达式：

式中，L_i为第i根绳的矢量表达式，B_i为第i根绳定滑轮铰点在静坐标系下的位置向量，X_P为末端执行器质心在静坐标系下的位置向量，r_i为第i根绳末端执行器质心到绳索连接点在静坐标系下的矢量；U为机构能量变化，X为飞机的位移姿态角变化矩阵，W为动平台模型所受外部载荷，l为绳索向量，T为绳系拉力矢量，()^T表示矩阵的转置，·表示两个向量之间的点乘。

2、基于最小势能原理，即对机构势能表达式二阶偏导可得表征欠约束绳牵引并联机构稳定性的Hessian矩阵，表达式如下所示：

H＝H₁+H₂

其中，H₁和H₂分别为：

式中，I为3阶单位阵，u_i为第i根绳的方向矢量，r_i为第i根绳末端执行器质心到绳索连接点在静坐标系下的矢量，u_i×、r_i×分别为u_i、r_i的反对称矩阵，T_i为第i根绳的实时拉力，l_i为第i根绳由末端执行器连接点到定滑轮铰点的绳长，k_m为绳索的实时刚度，m表示绳索数量，()^T表示矩阵的转置，

为求和公式。

3、联合运动学方程与静力平衡方程，即可得到位姿和绳拉力等参数。静力平衡方程如下所示：

J^TT+W＝0

式中，J为系统结构Jacobian矩阵，T为绳系拉力矢量，()^T表示矩阵的转置，W为动平台模型所受外部载荷。此外，由于绳索只能受拉而不能受压的特性，T中的每一个元素应当满足以下约束：

T_max＞T_i＞T_min,i＝1,2,...,m.

其中，T_max和T_min分别为绳拉力的最大值和最小值。

4、求得子矩阵特征值表达式如下：

子矩阵特征值：

式中，u_i为第i根绳的方向矢量，r_i为第i根绳末端执行器质心到绳索连接点在静坐标系下的矢量，u_i×、r_i×分别为u_i、r_i的反对称矩阵，l_i为第i根绳由末端执行器连接点到定滑轮铰点的绳长，

为求和公式，其中m为绳索的数量，·表示两个向量之间的点乘。

本发明的上述方法中，提高稳定性的策略体现在下式：

式中u_i为第i根绳的方向矢量，r_i为第i根绳末端执行器质心到绳索连接点在静坐标系下的矢量，α_i为第i根绳u_i与r_i的夹角，本方法提出的优化策略在于减小u_i和r_i夹角，使其小于90度，或调整L_i/A_i小于1，其中A_i是r_i的模，L_i为第i根绳的长度，arccos()为反余弦函数，u_i和r_i夹角处于上述两者之间。

以四绳牵引为例，采用本稳定性判断方法实例的结果如表1所示。表1中质心坐标是末端执行器质心在静坐标系中的坐标，角度是末端执行器的姿态角分别为滚转角、俯仰角、偏航角，子矩阵特征值是按照步骤4)中的表达形式进行求解，最后通过结果来判断是否稳定。

表1 一般构型下稳定性判定

表1中质心坐标与姿态角是根据欠约束绳牵引并联机构运动学逆解所得，第三组为不稳定情况，其四根绳索u_i和r_i夹角分别为81.2°、92.5°、83.2°、105.5°。根据步骤5)提出的改善稳定性的方法，改变u_i和r_i，使第2根和第4根夹角小于90°，可以改善该情况下机构的稳定性。

Claims (1)

1.一种欠约束绳牵引并联机构稳定性分析方法，其特征在于包括以下步骤：

1)建立欠约束绳牵引并联机构的运动学方程和势能方程，建立不同坐标系向量转换关系；

2)基于最小势能原理，构建欠约束绳牵引并联机构稳定性的Hessian矩阵，具体步骤如下：

H＝H₁+H₂

其中，H₁和H₂分别为：

式中，I为3阶单位阵，u_i为第i根绳的方向矢量，r_i为第i根绳末端执行器质心到绳索连接点在静坐标系下的矢量，u_i×、r_i×分别为u_i、r_i的反对称矩阵，T_i为第i根绳的实时拉力，l_i为第i根绳由末端执行器到定滑轮铰点的绳长，k_m表示绳的实时刚度，m表示绳索数量，()^T表示矩阵的转置，

为求和公式；

3)联合求解静力几何方程，得到位姿和绳拉力参数；

4)基于此Hessian矩阵特性，推导子矩阵特征值表达式并进行求解，进而判断其是否大于零；

所述子矩阵特征值表达式如下：

式中，u_i为第i根绳的方向矢量，r_i为第i根绳末端执行器质心到绳索连接点在静坐标系下的矢量，u_i×、r_i×分别为u_i、r_i的反对称矩阵，l_i为第i根绳由末端执行器连接点到定滑轮铰点的绳长，m表示绳索数量，·表示两个向量之间的点乘；

5)对于不稳定情况，根据推导的约束条件，进一步提出改进欠约束绳牵引并联结构稳定性措施，具体方法为：提出改进稳定性的措施，使得u_i和r_i夹角α_i小于90度，或调整L_i/A_i小于1，u_i与r_i夹角α_i处于

之间，策略体现在第i根绳u_i与r_i的夹角α_i，如下式：

式中，u_i为第i根绳的方向矢量，r_i为第i根绳末端执行器质心到绳索连接点在静坐标系下的矢量，α_i为第i根绳u_i与r_i的夹角，提出的优化策略在于减小u_i和r_i夹角，使其小于90度，或调整L_i/A_i小于1，其中A_i为第i根绳r_i的模，L_i为第i根绳的长度，arccos()为反三角函数，u_i和r_i夹角处于

之间。

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