CN112579967A - 一种应用抛物方程模型求解水下声场简正波模态的方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种应用抛物方程模型求解水下声场简正波模态的方法，步骤如下：将能量守恒水声抛物方程模型中的多步矩阵运算简化为单步传递矩阵运算形式，并对传递矩阵进行特征值分解，根据传递矩阵的准对称性，获得一组相互正交的声场传播模态；通过与简正波理论声场表达式进行对比，得到基于抛物方程模型的简正波本征值和本征模态的近似表达式，实现声场简正波模态快速求解。本发明的有益效果为：本发明提出的简正波本征值和本征向量计算的新方法计算结果与简正波模型得出的结果吻合良好，同时新方法可以根据网格划分，灵活计算简正波的模态。

Description

一种应用抛物方程模型求解水下声场简正波模态的方法
技术领域
本发明涉及水声传播建模与海洋声场分析领域，主要是一种应用抛物方程模型求解水下声场简正波模态的方法。
背景技术
水声传播模型作为水声科学研究的基础组成部分，是分析水声传播规律及物理机理的重要工具，为水声设备提供基本的理论依据和技术参考，对于改善声呐的工作性能具有非常重大的现实意义。水声传播理论研究的核心问题是将实际声波传播的物理问题抽象成数学问题，即求解满足一定边界条件的波动方程问题。根据波动方程的求解方法和近似条件的不同，多种水声传播理论被陆续提出，极大地推动了声场计算和分析手段的进步。现有的水下声场传播模型主要包括简正波理论、抛物方程方法、射线模型、快速场(波数积分)方法、有限差分和有限元方法等；同时，还衍生出各种理论方法的混合模型，例如射线-简正波、简正波- 抛物方程、射线-简正波-抛物方程等声传播模型。
在处理与距离有关声传播问题时，基于简正波理论发展起来的耦合简正波模型虽然可以有效计算，但声场计算效率大打折扣。相比于其它大多数声传播理论，抛物方程模型具有快速、灵活的优点,可有效的解决与距离有关环境下的声传播问题，但其作为一种数值计算方法，难以有效分析声传播问题的内在物理机理和声场干涉结构，阻碍了该方法的进一步发展。
发明内容
本发明的目的在于克服现有技术存在的不足，而提供一种应用抛物方程模型求解水下声场简正波模态的方法。
本发明的目的是通过如下技术方案来完成的。一种应用抛物方程模型求解水下声场简正波模态的方法，步骤如下：将能量守恒水声抛物方程模型中的多步矩阵运算简化为单步传递矩阵运算形式，并对传递矩阵进行特征值分解，根据传递矩阵的准对称性，获得一组相互正交的声场传播模态；通过与简正波理论声场表达式进行对比，得到基于抛物方程模型的简正波本征值和本征模态的近似表达式，实现声场简正波模态快速求解。
本发明的有益效果为：本发明提出的简正波本征值和本征向量计算的新方法计算结果与简正波模型得出的结果吻合良好，同时新方法可以根据网格划分，灵活计算简正波的模态。
附图说明
图1为抛物方程模型计算简正波本征值和本征向量实现流程图。
图2为海洋波导环境参数分布图。
图3是声场模态本征函数结果比较示意图。
具体实施方式
下面将结合附图对本发明做详细的介绍：
本发明公开了一种应用抛物方程模型求解水下声场简正波模态的方法，步骤如下：首先，根据水声抛物方程模型递推计算方程，将多步矩阵计算简化为单步传递矩阵计算，然后对计算得到的传递矩阵进行特征值分解。根据矩阵的对称性，将抛物方程模型声场计算表达式改写成由特征值和特征向量表示的形式。最后，通过与简正波理论声场模态表达式对比，获得简正波本征值和本征向量的表达式，实现简正波模态的求解。
图1为本专利的实现过程图，采用传统抛物方程模型，计算得到传递矩阵，然后进行特征值分解，将抛物方程模型声场计算表达式改写成由特征值和特征向量表示的形式。最后，通过与简正波理论声场模态表达式对比，计算得到简正波本征值和本征函数。
图2为与距离无关海洋(水平)波导示意图，图中标出了海洋地声参数及声源信息。
图3是分别采用抛物方程模型和简正波理论对水平波导声传播模态本征函数求解，结果表明，采用抛物方程模型计算得到的模态本征函数与简正波模型计算结果吻合很好。
表1是分别采用抛物方程模型和简正波理论对水平波导声传播模态本征值求解。采用抛物方程模型计算得到的模态本征值的实部和虚部与简正波模型计算结果都高度一致，证明新方法的正确性。
本发明的具体实施方式如下：
(1)在二维柱坐标系下，水下声场满足的单向抛物方程模型声场计算公式为：
Figure BDA0002815975060000021
对上式中的算子采用Galerkin方法进行离散，可以获得如下的多步矩阵方程的形式：
RlUl＝SlUl-1(l＝1,2,...,L),
(2)抛物方程模型计算声场的过程是由上一个水平距离处的不同深度声场值向量向下一个水平距离处的不同深度声场值向量递推求解的过程，从最直观的角度看，可以写成如下的形式：
Figure BDA0002815975060000022
其中，矩阵ΥN×N为传递矩阵。
(3)在计算Rl和Sl的过程中发现，两个矩阵的各个元素总体上关于主对角线对称，即矩阵为准对称阵，满足:
Figure BDA0002815975060000023
传递矩阵Υ也为准对称阵，即:
Figure BDA0002815975060000031
传递矩阵为可逆矩阵，因此可以进行特征值分解，即:
Υ＝ΨΓΨ-1,
Ψ＝[φ1,φ2,φ3,...,φN],
Γ＝diag(λ1,λ2,λ3,...,λN),
其中，列向量φn(n＝1,2,...,N)为传递矩阵Υ的特征值λn(n＝1,2,...,N)对应的特征向量。特征值与特征向量满足如下的关系:
Υφn＝λnφn.
由于传递矩阵为准对称矩阵，而对称矩阵的特征向量之间相互正交，因此可以得出，特征向量组{φn},(n＝1,2,...,N)为一组完备的准正交基，即特征向量之间内积满足:
Figure BDA0002815975060000032
传递矩阵对声场的作用可以分解成传递矩阵对声场各正交分量独立作用的叠加.
(4)对于与距离无关声传播问题，每个水平步长递推求解过程中，传递矩阵保持不变，因此声场的计算公式可以表示成:
U(mΔr)＝Υm-1U(Δr).
采用特征值和特征向量可以表示成:
Figure BDA0002815975060000033
Figure BDA0002815975060000034
抛物方程模型的模态可以视为简正波模态的均匀离散采样形式，但由于抛物方程模型可以有效计算海底的声场，因此两者之间存在一定的差别。变量U(mΔr)经过反推可得水下声场声压表达式可以写成:
Figure BDA0002815975060000035
(5)通过与简正波理论声场模态表达式对比，可以得到简正波本征值和本征模态的表达式：
Figure BDA0002815975060000036
Figure BDA0002815975060000041
表1声场模态本征值计算结果比较
模态阶数 简正波理论 抛物方程方法
1 0.8376169-0.0000003i 0.8376173-0.0000003i
2 0.8371932-0.0000010i 0.8371948-0.0000010i
3 0.8364865-0.0000023i 0.8364900-0.0000023i
4 0.8354959-0.0000040i 0.8355020-0.0000041i
5 0.8342201-0.0000063i 0.8342292-0.0000063i
6 0.8326576-0.0000089i 0.8326700-0.0000090i
7 0.8308066-0.0000120i 0.8308221-0.0000122i
8 0.8286647-0.0000155i 0.8286829-0.0000157i
9 0.8262295-0.0000193i 0.8262495-0.0000198i
可以理解的是，对本领域技术人员来说，对本发明的技术方案及发明构思加以等同替换或改变都应属于本发明所附的权利要求的保护范围。

Claims (2)

1.一种应用抛物方程模型求解水下声场简正波模态的方法，其特征在于：步骤如下：将能量守恒水声抛物方程模型中的多步矩阵运算简化为单步传递矩阵运算形式，并对传递矩阵进行特征值分解，根据传递矩阵的准对称性，获得一组相互正交的声场传播模态；通过与简正波理论声场表达式进行对比，得到基于抛物方程模型的简正波本征值和本征模态的近似表达式，实现声场简正波模态快速求解。
2.根据权利要求1所述的应用抛物方程模型求解水下声场简正波模态的方法，其特征在于：具体步骤如下：
(1)在海洋环境参数水平方位变换缓慢的情况下，基于高阶Padé近似的抛物方程模型的水下声场计算公式获得如下的多步矩阵方程的形式：
RlUl＝SlUl-1(l＝1,2,...,L),
(2)从数学的角度看，等维列向量之间的变换通过一次等维可逆方阵实现，该方式视为向量变换的最简形式：
Figure FDA0002815975050000011
(3)传递矩阵为可逆矩阵，进行特征值分解，即:
Υ＝ΨΓΨ-1,
Ψ＝[φ1,φ2,φ3,...,φN],
Γ＝diag(λ1,λ2,λ3,...,λN),
(4)抛物方程模型的模态视为简正波模态的均匀离散采样形式，U(mΔr)经过反推得水下声场声压表达式写成:
Figure FDA0002815975050000012
(5)通过与简正波理论声场模态表达式对比，得到简正波本征值和本征模态的表达式：
Figure FDA0002815975050000013
Figure FDA0002815975050000014
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