CN112578668A - 一种任意时间收敛的扩张状态观测器设计方法 - Google Patents

一种任意时间收敛的扩张状态观测器设计方法 Download PDF

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CN112578668A CN202011248078.7A CN202011248078A CN112578668A CN 112578668 A CN112578668 A CN 112578668A CN 202011248078 A CN202011248078 A CN 202011248078A CN 112578668 A CN112578668 A CN 112578668A
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    • G05B13/02—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion electric
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Abstract

本发明公开了一种任意时间收敛的扩张状态观测器的设计方法，包括以下步骤：S1、针对二阶带扰动的单输入单输出系统根据实际工况需求确定扩张状态观测器收敛时间，并且引入相应的时变增益函数用于构造三阶扩张状态观测器；S2、构造带有时间切换函数以及时变增益函数的三阶扩张状态观测器；S3、根据扩张状态观测器收敛时间划分误差动态系统在规定时间收敛和误差动态系统在规定时间外维持在原点；S4、规定时间范围内的观测器参数保证误差系统能在规定时间收敛；S5、规定时间范围外的观测器参数保证误差系统能在规定时间外维持在原点；本发明主要应用于控制系统设计过程中，对被控系统中存在的“总扰动”进行精确估计，并在控制器设计中进行补偿。

Description

一种任意时间收敛的扩张状态观测器设计方法
技术领域
本发明涉及抗扰控制系统和扰动观测的技术领域，具体涉及一种任意时间收敛的扩张状态观测器的设计方法。
背景技术
由于在现实生活中，系统大多数都是带有各种各样的不确定性以及干扰的非线性系统，这类系统的控制系统设计存在巨大的困难。随着扰动/不确定性估计和消除技术的不断发展，能够很好地解决非线性系统中存在的各种干扰以及不确定性问题。而扩张状态观测器是一种有效的扰动/不确定性估计和消除技术，它作为自抗扰控制中的核心内容，能够实现对被控系统中包括未建模动态以及外部扰动的“总扰动”进行观测并在闭环反馈中补偿该“总扰动”对闭环系统动态特性的影响。此时，扩张状态观测器收敛性能的好坏严重影响着整个控制系统的控制性能。
传统意义上讲，扩张状态观测器可以分为线性扩张状态观测器和非线性扩张状态观测器。其中，线性扩张状态观测器参数整定已经形成了一套物理意义明确并且十分完善的理论体系，在实际应用中得到了很好地推广。但是为了得到较快的观测速率以及较高的观测精度，线性扩张状态观测器的增益通常会选取的非常大，这会造成在初始阶段由于状态估计误差引起非差大的“微分峰值”问题。而对于传统的非线性扩张状态观测器，它虽然有很好地估计效率，但是它存在稳定性证明复杂且参数难以选取等一系列问题。另外，扩张状态观测器按照其观测误差收敛特性的不同，又可以分为渐进收敛扩张状态观测器、有限时间扩张状态观测器以及固定时间扩张状态观测器，它们分别能够实现观测误差的渐进收敛，有限时间收敛以及固定时间收敛。但是，无论是有限时间扩张状态观测器还是固定时间扩张状态观测器，它只能确定误差收敛的时间上界，并且这个上界值往往与观测器的多个参数有关，不能够直观地进行设计。另外，“微分峰值”问题仍然严重，并且，对于非定常的扰动观测精度也与观测器的增益有关，不能保证观测误差收敛到原点。为了缓解“微分峰值”问题，提高观测器对于非定常扰动的观测精度，以及使得观测器的观测误差的收敛时间可以直观地进行设置，本发明提出了一种任意时间收敛的扩张状态观测器的设计方法，具有明确的理论意义以及较高的实用价值，并对本发明提出的扩张状态观测器进行了仿真实验进行验证。
发明内容
根据上述提出的现有的扩张状态观测器存在的一系列问题，本发明提供一种任意时间收敛的扩张状态观测器的设计方法，本发明将时变增益的方法与扩张状态观测器相结合，并通过时间切换函数，在规定时刻切换成能够保证观测误差系统稳定在0的Levant 精确微分器形式，具有高精度、小“微分峰值”、收敛时间直观可设置等特点，能够对未知非定常的总扰动进行有效地估计。本发明以三阶任意时间扩张状态观测器为例进行设计，应该理解，对于其它阶数的任意时间扩张状态观测器均可以采用本发明的方法进行设计。本发明的技术方案是，一种任意时间收敛的扩张状态观测器的设计方法，具体步骤如下：
一种任意时间收敛的扩张状态观测器设计方法，所述方法包括以下步骤：
S1、针对二阶带扰动的单输入单输出系统
Figure RE-GDA0002950578460000021
其中，x1＝y，
Figure RE-GDA0002950578460000022
是系统的状态量，x3＝f(y,w,t)为系统的扩张状态；根据实际工况需求确定扩张状态观测器收敛时间tf，并且引入相应的时变增益函数用于构造三阶扩张状态观测器；所述时变增益函数为：
Figure RE-GDA0002950578460000023
S2、构造带有时间切换函数以及时变增益函数的三阶扩张状态观测器
Figure RE-GDA0002950578460000024
其中，z1，z2，z3是扩张状态观测器的状态，ζ，l1,2,3，k1,2,3，Γ为待设计的正参数，
Figure RE-GDA0002950578460000025
为时间切换函数：
Figure RE-GDA0002950578460000026
S3、根据扩张状态观测器收敛时间tf划分误差动态系统在规定时间收敛和误差动态系统在规定时间外维持在原点；
S4、确定参数ζ，l1,2,3保证规定时间范围内的误差系统能在规定时间收敛；
S5、确定参数k1,2,3，Γ保证误差系统能在规定时间外维持稳定。至此，完成任意时间扩张状态观测器的设计。
进一步，所述S4-5步骤的误差动态系统在确定合适的观测器参数过程；
1)选取合适的参数γ＞2||A||+1，
Figure RE-GDA0002950578460000031
求解出一组正定矩阵P以及增益向量L使得下面关系式成立：
(A-LC)TP+P(A-LC)≤A+AT-γIn
Figure RE-GDA0002950578460000032
其中，D＝diag{3,2,1}；
2)选取合适的参数
Figure RE-GDA0002950578460000033
其中，ε是个任意的正实数。
3)k1,2,3，Γ的选取要求满足的参数k3＞Γ≥δ，
Figure RE-GDA0002950578460000034
当观测器的参数按照上述三个步骤进行选取时，误差动态系统会在规定的时刻tf收敛，并且在t＞tf之后的时间维持在原点。
进一步，所述任意时间收敛三阶扩张状态观测器包括能够实现在规定收敛时刻收敛的单元，以及切换后能够保证观测误差维持在0的Levant精确微分器单元，所述收敛的单元和所述微分器单元通过切换函数进行联系，其中所述切换函数为
Figure RE-GDA0002950578460000035
其中，tf为规定的收敛时间。
本发明与现有技术相比，具有如下优点与有益效果：
第一，本发明所提出的一种任意时间收敛的扩张状态观测器，不但能够实现对定常“总扰动”的有效估计，而且能够实现对非定常“总扰动”的精确估计。克服了大多数现有的扩张状态观测器不能保证对非定常“总扰动”观测误差收敛到原点的问题。
第二，本发明所提出的一种任意时间收敛的扩张状态观测器，通过在切换前的观测器结构中引入一种特殊的时变增益函数
Figure RE-GDA0002950578460000036
能够保证观测器的增益在初始阶段是个小值，从而有效地缓解了由于初始状态误差造成的“微分峰值”问题；另外，与一些现有的任意/规定时间观测器相比，本发明所提出的扩张状态观测器，通过引入一个时间切换函数
Figure RE-GDA0002950578460000037
在规定的收敛时刻将扩张状态观测器切换到能够维持观测误差为0的Levant精确微分器形式，保证了扩张状态观测器在规定时间范围外的有效性，更便于实际应用。
第三，本发明提出的一种任意时间收敛的扩张状态观测器，能够通过直观地设计tf参数，确定观测误差收敛的时间。
附图说明
图1为本发明一种任意时间收敛的扩张状态观测器的设计流程图。
图2为本发明观测器对系统非定常总扰动的观测效果图。
图3为本发明观测器对系统非定常总扰动的观测误差效果图。
具体实施方式
为了使本发明的设计思路及理论更加清楚，下面将从扩张状态观测器建立、设计原理、求解方法等几个方面进行详细说明，以下将结合参考附图以及具体设计方法对本发明进行详细说明。
如图1所示，本发明提供了一种任意时间收敛的扩张状态观测器的设计方法。
按照本发明的设计，观测器跟踪误差能够在任意的规定时间收敛到原点，以实现对被控系统中存在的各种复杂总扰动在任意规定时间的精确观测。本发明以三阶任意时间扩张状态观测器的设计为例，介绍观测器参数的设计步骤。本发明的技术方案是，一种基于任意时间稳定理论的扩张状态观测器的设计方法，具体步骤是：1)针对二阶带扰动的单输入单输出系统，建立三阶的任意时间状态观测器；2)对于上述扩张状态观测器，介绍观测器参数的设计步骤；3)通过实验仿真实例，验证设计的可行性。本发明主要应用于控制器设计过程中，对被控系统中存在的“总扰动”进行精确估计，并在控制器设计中进行补偿，以提升系统抗干扰的能力。为了实现上述目的，本发明的具体步骤如下：
S1、针对二阶带扰动的单输入单输出系统
Figure RE-GDA0002950578460000041
其中，x1＝y，
Figure RE-GDA0002950578460000042
是系统的状态量，x3＝f(y,w,t)为系统的扩张状态；根据实际工况需求确定扩张状态观测器收敛时间tf，并且引入相应的时变增益函数用于构造三阶扩张状态观测器；所述时变增益函数为：
Figure RE-GDA0002950578460000043
S2、构造带有时间切换函数以及时变增益函数的三阶扩张状态观测器
Figure RE-GDA0002950578460000044
其中，z1，z2，z3是扩张状态观测器的状态，ζ，l1,2,3，k1,2,3，Γ为待设计的正参数，
Figure RE-GDA0002950578460000051
为时间切换函数：
Figure RE-GDA0002950578460000052
S3、根据扩张状态观测器收敛时间tf划分误差动态系统在规定时间收敛和误差动态系统在规定时间外维持在原点；
S4、确定参数ζ，l1,2,3保证规定时间范围内的误差系统能在规定时间收敛；
S5、确定参数k1,2,3，Γ保证误差系统能在规定时间外维持稳定。至此，完成任意时间扩张状态观测器的设计。
观测误差系统为：
Figure RE-GDA0002950578460000053
其中，
Figure RE-GDA0002950578460000054
将上述误差系统写成如下形式：
Figure RE-GDA0002950578460000055
其中，
Figure RE-GDA0002950578460000056
L＝[l1,l2,l3]T，C＝[1,0,0]，
Figure RE-GDA0002950578460000057
在步骤S4-5中，通过数学推导以及仿真实验进行观测器参数的确定。
首先根据实际情况与要求选取合适的收敛时间tf，然后在规定时间范围内t∈[0,tf) (即切换前
Figure RE-GDA0002950578460000058
)，误差系统可以整理成如下形式：
Figure RE-GDA0002950578460000059
进行如下尺度变换：
Figure RE-GDA00029505784600000510
其中，
Figure RE-GDA00029505784600000511
此时尺度变换后的误差系统可以整理成如下形式：
Figure RE-GDA00029505784600000512
其中，
Figure RE-GDA0002950578460000061
考虑这样一个李雅普诺夫函数
Figure RE-GDA0002950578460000062
P∈R3×3是个正定矩阵。其中，求解正定矩阵P∈R3×3以及增益向量L＝[l1,l2,l3]T的具体步骤为：
文献“L.Chang,Q.Han,X.Ge,C.Zhang,X.Zhang,On designing distributedprescribed finite-time observers for strict-feedback nonlinear systems,IEEETransactions on Cybernetics(Early Access),2019.”中指出对于形如A和C的矩阵，对于任意的正实数γ，一定存在一个向量L以及正定矩阵P以及使得下面关系式成立：
(A-LC)TP+P(A-LC)≤A+AT-γIn
Figure RE-GDA0002950578460000063
其中
Figure RE-GDA0002950578460000064
是正数。
如上所述，选取一个合适的正实数γ＞2||A||+1，通过上述关系式求解出一组增益向量L以及正定矩阵P。
对选取的李雅普诺夫函数进行求导得：
Figure RE-GDA0002950578460000065
其中，
Figure RE-GDA0002950578460000066
是正定矩阵P中绝对值最大的元素的绝对值，它一定是个有界值。然后，针对不等式中的
Figure RE-GDA0002950578460000067
这一项，根据杨不等式很容易获得：
Figure RE-GDA0002950578460000068
其中，ε是任意的正数。再选取参数
Figure RE-GDA0002950578460000069
令ο＝ζ(γ-2||A||-1)>0，整理可得
Figure RE-GDA00029505784600000610
求解该不等式，可以得到
Figure RE-GDA00029505784600000611
其中，
Figure RE-GDA00029505784600000612
并且它有这样的性质Tg(tf)＝+∞，这也就意味着V(t)，
Figure RE-GDA00029505784600000613
在规定的时间范围内t∈[0,tf)是个有界的值。考虑到
Figure RE-GDA00029505784600000614
由于
Figure RE-GDA0002950578460000071
所以很容易得到
Figure RE-GDA0002950578460000072
即，观测误差系统会在规定时间tf收敛到原点。基于以上分析，说明按照本发明的设计步骤去选取观测器参数，能够保证观测误差在规定的时间收敛到原点。
在规定时间范围外t∈[tf,+∞)(即切换后
Figure RE-GDA0002950578460000073
)，观测器的结构变为
Figure RE-GDA0002950578460000074
误差系统可以整理成如下形式：
Figure RE-GDA0002950578460000075
切换后的观测器是三阶Levant精确微分器的形式，根据文献“E.Cruz-Zavala,J.Moreno,Levant’s arbitrary-order exact differentiator:a Lyapunov approach,IEEE Transactions on Automatic Control,vol.64,no.7,pp.3034–3039,2019”的结论，存在这样一个关于系统误差
Figure RE-GDA0002950578460000076
的李雅普诺夫函数
Figure RE-GDA0002950578460000077
其中
Figure RE-GDA0002950578460000078
Figure RE-GDA0002950578460000079
当参数k123，Γ的选取满足k3＞Γ≥δ，
Figure RE-GDA00029505784600000710
时，它的导数满足
Figure RE-GDA00029505784600000711
其中，κ是个正数。
已知
Figure RE-GDA00029505784600000712
所以很容易知道
Figure RE-GDA00029505784600000713
再由
Figure RE-GDA00029505784600000714
可知，在规定时间范围外t∈[tf,+∞)，
Figure RE-GDA00029505784600000716
成立，即
Figure RE-GDA00029505784600000715
在规定时间范围外t∈[tf,+∞)成立。因此，任意时间扩张状态观测器在规定时间范围外仍然能够精确观测系统状态以及扩张状态。
可以发现，无论是对于定常总扰动δ＝0，还是非定常总扰动δ≠0，本发明所提出的一种任意时间收敛的扩张状态观测器都能够保证观测误差在规定的收敛时间tf收敛到0，且收敛时间与初始状态以及其它参数无关。
根据对以上两个阶段进行的分析，我们将三阶任意时间收敛的扩张状态观测器的设计方法以如下的定理的形式直接给出：
定理1：如果三阶任意时间扩张状态观测器的参数选取满足以下条件：
根据实际情况以及需要选取合适的收敛时间tf，γ＞2||A||+1，再根据如下关系式
(A-LC)TP+P(A-LC)≤A+AT-γIn
Figure RE-GDA0002950578460000081
求解出一组合适的增益向量L＝[l1,l2,l3]T以及参数
Figure RE-GDA0002950578460000082
选取增益
Figure RE-GDA0002950578460000083
k3＞Γ≥δ，
Figure RE-GDA0002950578460000084
则误差系统
Figure RE-GDA0002950578460000085
能实现规定时间收敛，并且在规定时间范围外保持在原点，进而观测器的状态会在规定时间收敛到系统状态并在规定时间范围外维持，收敛时间是与系统状态以及初始误差无关的值。
虽然理论上我们能够在规定时间tf进行观测器结构的切换，但是在实际的应用以及仿真过程中，由于实际系统以及仿真过程都不是理想的连续过程，即采样间隔并不是无穷小，所以为了避免实验与仿真失败，我们需要将时间切换函数
Figure RE-GDA0002950578460000086
中的切换时间tswitch设置的比规定时间tf提前点。应该理解，设置合适的切换时间tswitch，能够保证观测误差在切换时间tswitch收敛到原点的很小领域内，并且它并不影响整体的收敛性。
实施例
为了对所提出的任意时间扩张状态观测器的有效性进行验证，我们尝试观察如下的二阶系统
Figure RE-GDA0002950578460000087
其中，
Figure RE-GDA0002950578460000088
是系统中存在的总扰动，并且只能获得x1状态量的信息。
按照本发明中任意时间扩张状态观测器的设计方法，首先对上述二阶系统进行扩张状态，得到扩张状态后的系统形式为
Figure RE-GDA0002950578460000089
设计的三阶任意时间状态观测器如下所示：
Figure RE-GDA00029505784600000810
按照参数的设计步骤首先选取一个合适的收敛时间tf＝0.5s(tswitch＝0.495s)，再求解出一组合适的观测器参数ζ＝4，L＝[6,8,2]T，Γ＝120，k3＝130，
Figure RE-GDA0002950578460000091
观测器的初始状态值设置为Z＝[100,5,0]T。本发明的设计目标是使按照设计步骤设计的任意时间状态观测器实现对系统中存在的未知总扰动d(t)进行有效地估计。
图2为观测器对未知总扰动d(t)的观测效果图，图中d是未知总扰动，z3是观测器的对总扰动的观测值。
图3为观测器对未知总扰动d(t)的观测误差的效果图。
从仿真图中可以看出，本发明所设计的任意时间扩张状态观测器能够实现对系统中存在的非定常总扰动在规定时间进行观测，观测误差在规定时间收敛，并且在规定时间外也能保证观测误差维持在原点。
所应该理解的是，以上所述仅为本发明的一般步骤，并不用于限制本发明，凡是在本发明的精神和原则之内能，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。
再本控制领域的技术人员易理解，本发明以三阶任意时间收敛的扩张状态观测器为例，进行观测器结构的设计。这里应该理解，对于其它阶数的任意时间扩张状态观测器的设计均可以采用本发明类似的方法进行设计。以上所述仅为本发明的较合适的实施方法，并不用以限制本发明，凡是在本发明的精神和原则之内能，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种任意时间收敛的扩张状态观测器设计方法，其特征在于：所述方法包括以下步骤：
S1、针对二阶带扰动的单输入单输出系统
Figure RE-FDA0002950578450000011
其中，x1＝y，
Figure RE-FDA0002950578450000015
是系统的状态量，x3＝f(y,w,t)为系统的扩张状态；根据实际工况需求确定扩张状态观测器收敛时间tf，并且引入相应的时变增益函数用于构造三阶扩张状态观测器；所述时变增益函数为：
Figure RE-FDA0002950578450000012
S2、构造带有时间切换函数以及时变增益函数的三阶扩张状态观测器
Figure RE-FDA0002950578450000013
其中，z1，z2，z3是扩张状态观测器的状态，ζ，l1,2,3，k1,2,3，Γ为待设计的正参数，
Figure RE-FDA0002950578450000016
为时间切换函数：
Figure RE-FDA0002950578450000014
S3、根据扩张状态观测器收敛时间tf划分误差动态系统在规定时间收敛和误差动态系统在规定时间外维持在原点；
S4、确定参数ζ，l1,2,3保证规定时间范围内的误差系统能在规定时间收敛；
S5、确定参数k1,2,3，Γ保证误差系统能在规定时间外维持稳定，完成任意时间扩张状态观测器的设计。
2.根据权利要求1所述的一种任意时间扩张状态观测器的设计方法，其特征在于：
所述误差动态系统为：
Figure RE-FDA0002950578450000021
其中，
Figure RE-FDA0002950578450000022
3.根据权利要求1所述的一种任意时间扩张状态观测器的设计方法，其特征在于：
所述S4-5步骤的误差动态系统在确定合适的观测器参数过程；
1)选取合适的参数γ＞2||A||+1，
Figure RE-FDA0002950578450000027
求解出一组正定矩阵P以及增益向量L使得下面关系式成立：
(A-LC)TP+P(A-LC)≤A+AT-γIn
Figure RE-FDA0002950578450000023
其中，D＝diag{3,2,1}；
2)选取合适的参数
Figure RE-FDA0002950578450000024
其中，ε是个任意的正实数。
3)k1,2,3，Γ的选取要求满足的参数k3＞Γ≥δ，
Figure RE-FDA0002950578450000025
当观测器的参数按照上述三个步骤进行选取时，误差动态系统会在规定的时刻tf收敛，并且在t＞tf之后的时间维持在原点。
4.根据权利要求1-3任一项所述的一种任意时间扩张状态观测器的设计方法，其特征在于：所述任意时间收敛三阶扩张状态观测器包括能够实现在规定收敛时刻收敛的单元，以及切换后能够保证观测误差维持在0的Levant精确微分器单元，所述收敛的单元和所述微分其单元通过切换函数进行联系，其中所述切换函数为
Figure RE-FDA0002950578450000026
其中，tf为规定的收敛时间。
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