CN112543073A - 基于次奈奎斯特采样的联合宽带频谱感知和载频估计方法 - Google Patents

基于次奈奎斯特采样的联合宽带频谱感知和载频估计方法 Download PDF

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CN112543073A CN202011359642.2A CN202011359642A CN112543073A CN 112543073 A CN112543073 A CN 112543073A CN 202011359642 A CN202011359642 A CN 202011359642A CN 112543073 A CN112543073 A CN 112543073A
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Abstract

本发明属于无线通信技术领域，具体涉及一种基于次奈奎斯特采样的联合宽带频谱感知和载频估计方法。本发明的次奈奎斯特采样架构以及提出的联合宽带频谱感知和载频估计的方法，利用次奈奎斯特采样理论实现未知MIMO信道下的宽带频谱感知，重构信号的功率谱，并能够准确估计监测频段内的多个信号的载频信息，能够克服直接对超宽带频谱进行奈奎斯特采样存在的采样瓶颈问题。实验表明，本发明成功地在未知多径信道下恢复出了监测频段的功率谱和与监测频段内信号的载频，从而可以为实际系统提供频谱的占用情况以及哪些空闲频谱可用于二次接入的有用信息。

Description

基于次奈奎斯特采样的联合宽带频谱感知和载频估计方法
技术领域
本发明属于无线通信技术领域，具体涉及在信源与接收机之间存在多径且信道未知的情况下，基于次奈奎斯特采样的联合宽带频谱感知和载频估计的方法。
背景技术
对宽带频谱进行可靠的监测是认知无线电领域的重要问题。频谱监测设备对频谱的分析基于数字信号处理，监测设备将宽频带内的所有信号都接收下来，由模拟数字转换器(Analog-to-Digital Converter,ADC)将其转换成数字信号，再交给数字信号处理(Digital Signal Process,DSP)模块的频谱检测算法进行分析，最终得到宽带频谱的占用情况。奈奎斯特采样定理指出模数转换芯片的采样频率需高于信号最高频率的两倍。当被监测的带宽较宽时(如几个GHz)，模数转换器件就需要较高的采样频率(几个GHz到十几个GHz)，而当前的模数转换器件通常难以满足这一要求。
随着压缩感知理论的发展，提出了各种基于次奈奎斯特采样的宽带频谱感知(Wideband spectrum sensing,WSS)方案来克服采样频率的瓶颈。通过利用整个频谱通常未被充分利用的特性，WSS可被构造为稀疏信号恢复问题。近年来，在天线阵列的框架下，采用次奈奎斯特采样技术可以同时完成宽带频谱的感知、载频和到达方向(Direction ofArrival,DoA)的估计。然而，此类方法通常假设信源/信号通过直射径(即视线路径)到达接收机，在实际应用中，信源与接收机之间的直射径可能被遮挡，此外，由于反射和散射效应，信源发射的信号可以通过多径到达接收机，因此直射径的假设在很多应用中是不成立的。如何在存在多径且信道未知的情况下，完成宽带频谱的感知和载频的联合估计是需要面对的重要问题。
发明内容
本发明目的在于利用次奈奎斯特采样理论实现未知MIMO信道下的宽带频谱感知，重构信号的功率谱，并能够准确估计监测频段内的多个信号的载频信息。具体而言，本发明通过一种新的次奈奎斯特采样架构，以及一种基于(CANDECOMP/PARAFAC,CP)分解的方法在未知多径信道环境下恢复出监测频段的功率谱和与监测频段内信号的载频。
本发明的技术方案为：
未知多径信道环境下，基于次奈奎斯特采样的联合宽带频谱感知和载频估计的方法，系统中接收端配置天线数为N，需要识别的信号源个数为K，且满足N>K，包括以下步骤：
S1：信号源的发射信号表示为
Figure BDA0002803648710000021
其中
Figure BDA0002803648710000022
和ωk分别对应的复基带信号和载波频率；由于多径传播，发射信号sk(t)被散射和衍射，最后通过多条路径传输到接收机上，假设每个信号都是窄带的，在第n个接收机天线接收的信号表示为
Figure BDA0002803648710000023
其中，
Figure BDA0002803648710000024
是0均值且方差为
Figure BDA0002803648710000025
的复加性高斯白噪声，hnk表示多径传播环境的信道系数；
S2:基于次奈奎斯特采样方法对接收信号进行采样，包括：
对有N根天线的接收机，除第一根天线外，每根天线接收到的模拟信号都经过两个通道，即一条直接路径和一条具有预先指定时间延迟△n的延迟路径，第一根天线只涉及一条直接路径，可以认为是一条时间延迟△1＝0的延迟路径；直接路径和延迟路径上的模拟信号通过同步ADC采样，采样速率为fs＝1/Ts，Ts表示次奈奎斯特采样采样间隔；
由第n个天线收集到的直接路径中的采样信号为
Figure BDA0002803648710000026
其中，t＝ηTs(η＝0,1,…)表示采样时刻；
同样，第n个天线延迟路径中的采样信号为
Figure BDA0002803648710000027
其中，△n为时间延迟，且由于△n相对(Ts)较小，因此
Figure BDA0002803648710000028
即上式成立；
S3:对于通过直接通道的信号，来自两个第m和第n个天线的采样数据的互相关矩阵由下式计算得出
Figure BDA0002803648710000029
其中，
Figure BDA0002803648710000031
和
Figure BDA0002803648710000032
分别表示第k个调制信号及两根天线接收信号加性噪声的相关，定义如下
Figure BDA0002803648710000033
Figure BDA0002803648710000034
由于t1和t2是同步模数转换器(ADC)的采样时刻，有t1-t2＝lTs，其中Ts表示ADC的采样间隔，l＝-L,…,L表示时滞(即两组采样时刻的差关于采样间隔Ts的倍数)；定义
Figure BDA0002803648710000035
Figure BDA0002803648710000036
以及
Figure BDA0002803648710000037
将
Figure BDA0002803648710000038
即
Figure BDA0002803648710000039
作为互相关矩阵Ry(l)的第(m,n)个元素，则Ry(l)可以表示为如下形式的加权和
Figure BDA00028036487100000310
其中，
Figure BDA00028036487100000311
S4：取l＝-L,…,L，则
Figure BDA00028036487100000312
可以自然地表示为一个三阶张量
Figure BDA00028036487100000313
由于Ry(l)是一组秩一外积的加权和，因此
Figure BDA00028036487100000314
可以由CP分解为一组秩一张量的和，表示为
Figure BDA00028036487100000315
其中，
Figure BDA00028036487100000316
表示外积，
Figure BDA00028036487100000317
Figure BDA00028036487100000318
表示由
Figure BDA00028036487100000319
构成的三阶张量；令
Figure BDA00028036487100000320
由CP分解的唯一性可以得到
Figure BDA00028036487100000321
其中，||·||F表示Frobenius范数，可以由最小二乘法来求解得到因子矩阵
Figure BDA00028036487100000322
来自延迟路径可以用类似的方式处理；定义
Figure BDA00028036487100000323
其中
Figure BDA00028036487100000324
利用两个不同采样通道之间的互相关，可以构造一个三阶张量
Figure BDA00028036487100000325
并可以被分解为
Figure BDA0002803648710000041
令
Figure BDA0002803648710000042
由相似的方法可以得到
Figure BDA0002803648710000043
的因子矩阵
Figure BDA0002803648710000044
S5：由于
Figure BDA0002803648710000045
因此可以得到G＝Ω⊙H，其中
Figure BDA0002803648710000046
的第(n,k)的元素为
Figure BDA0002803648710000047
由于估计得出的
Figure BDA0002803648710000048
和
Figure BDA0002803648710000049
存在各自的排序以及相位和幅度模糊，因此需要利用延时通道所构张量分解得到的
Figure BDA00028036487100000410
与
Figure BDA00028036487100000411
做对比，从而消除不同的CP分解带来的排序以及相位模糊；由于CP分解的尺度和排序模糊是独立且唯一的，因此张量
Figure BDA00028036487100000412
和
Figure BDA00028036487100000413
的分解结果表示如下
Figure BDA00028036487100000414
其中{Γ1,Γ2,Γ3}和{Λ1,Λ2,Λ3}表示未知的非奇异对角矩阵且满足Γ1Γ2Γ3＝I和Λ1Λ2Λ3＝I；Π1和Π2表示未知的置换矩阵；{W1,W2,W3}和{V1,V2,V3}表示估计误差；由于R是张量
Figure BDA00028036487100000415
和
Figure BDA00028036487100000416
的公共因子矩阵，利用
Figure BDA00028036487100000417
和
Figure BDA00028036487100000418
的相关矩阵
Figure BDA00028036487100000419
来消除排序模糊，其第(k1,k2)个元素表示为
Figure BDA00028036487100000420
通过设置矩阵C每一列的最大值为1，其余值为0得到置换矩阵Π3使得
Π2＝Π1Π3
定义
Figure BDA00028036487100000421
可以得到
Figure BDA00028036487100000422
因此
Figure BDA00028036487100000423
和
Figure BDA00028036487100000424
此时具有相同的排序方式，即每一列对应相同的信号源；由于△1＝0，因此矩阵H和G的第一行是相同的，因此不同的相位模糊可以由把
Figure BDA00028036487100000425
的第一行转换为
Figure BDA00028036487100000426
的第一行来消除，即得到与
Figure BDA00028036487100000427
具有相同相位模糊的
Figure BDA00028036487100000428
为
Figure BDA00028036487100000429
因此第k个信源的载波频率可以从解模糊后的出的
Figure BDA0002803648710000051
和
Figure BDA0002803648710000052
获得，表示为
Figure BDA0002803648710000053
其中，mod(a,b)表示模运算，返回a除以b的余数，
Figure BDA0002803648710000054
由采样定理fs≥Bk，fs指次奈奎斯特采样频率，Bk表示第k个信号源的带宽，则第k个信号源的功率谱估计为
Figure BDA0002803648710000055
其中，自相关序列
Figure BDA00028036487100000510
来自CP分解得到的因子矩阵
Figure BDA0002803648710000056
或
Figure BDA0002803648710000057
(均可)，L足够大时(一般大于60)，由时滞截断引起的误差可以忽略不计，因此可以得到原始信号的功率谱。
本发明的有益效果为：本发明的宽带频谱感知方法具有较强的实用性，实现了未知MIMO信道下的宽带频谱感知，重构信号的功率谱，并能够准确估计监测频段内的多个信号的载频信息。
附图说明
图1为本发明的未知多径信道下的多天线次奈奎斯特采样架构，除第一根天线外，第n根天线接收的信号通过两个通道，一条直接通道和一条延时为△n的通道，对延时后的信号做次奈奎斯特采样；
图2为利用本发明的联合宽带频谱感知和载频估计的方法估计出的信号源载波频率的NMAE随着信噪比的变化曲线，蒙特卡洛次数为1000次。3个信号源调制的载波频率每次分别设置为f1＝U(100,200)MHz,f2＝U(300,400)MHz,f3＝U(500,600)MHz的均匀分布，带宽分别为20MHz，10MHz，15MHz。
图3为当信噪比为20dB时，利用本发明的联合宽带频谱感知方法重构的功率谱与原始功率谱的对比。
具体实施方式
下面结合附图和仿真示例对本发明进行详细的描述，以证明本发明的实用性。
本发明考虑利用次奈奎斯特采样理论实现未知多径信道环境下认知无线电系统中的宽带频谱感知以及载频估计问题，系统接收机配置天线数为N，需要识别的信号源个数为K，且满足N>K。信号源的发射信号表示为
Figure BDA0002803648710000058
其中
Figure BDA0002803648710000059
和ωk分别对应的复基带信号和载波频率；由于多径传播，发射信号sk(t)被散射和衍射，最后通过多条路径传输到接收器上。假设每个信号都是窄带的，在第n个天线接收的信号表示为
Figure BDA0002803648710000061
其中，
Figure BDA0002803648710000062
是0均值且方差为
Figure BDA0002803648710000063
的复加性高斯白噪声，hnk表示多径传播环境的信道系数。假定加性噪声与基带信号不相关，即
Figure BDA0002803648710000064
为了解决直接对超宽带信号进行奈奎斯特采样带来的采样瓶颈，本发明提出了次奈奎斯特采样架构，对有N根天线的接收机，除第一根天线外，每根天线接收到的模拟信号都经过两个通道，即一条直接路径和一条具有预先指定时间延迟△n的延迟路径，第一根天线只涉及一条直接路径，可以认为是一条时间延迟△1＝0的延迟路径；
直接路径和延迟路径上的模拟信号通过同步ADC采样，采样速率为fs＝1/Ts，Ts表示次奈奎斯特采样采样间隔，这些ADC的采样速率远低于奈奎斯特采样速率fnyq，即fs＜＜fnyq，因此，本发明提出的架构所需采样频率低于奈奎斯特频率；
由接收机第n个天线接收到的直接路径中的采样信号为
Figure BDA0002803648710000065
其中，t＝ηTs(η＝0,1,…)表示采样时刻；同样，第个n天线延迟路径中的采样信号为
Figure BDA0002803648710000066
其中，△n为时间延迟，且由于△n相对(次奈奎斯特采样间隔Ts)较小，因此
Figure BDA0002803648710000067
即上式成立；
对于通过直接通道的信号，来自两个第m和第n个天线的采样数据的互相关矩阵由下式计算得出
Figure BDA0002803648710000068
其中，
Figure BDA0002803648710000071
和
Figure BDA0002803648710000072
分别表示第k的调制信号及其加性噪声的自相关，定义如下
Figure BDA0002803648710000073
Figure BDA0002803648710000074
由于t1和t2是同步模数转换器(ADC)的采样时刻，有t1-t2＝lTs，其中Ts表示ADC的采样间隔，l＝-L,…,L表示时滞(即两组采样时刻的差关于采样间隔Ts的倍数)；定义
Figure BDA0002803648710000075
Figure BDA0002803648710000076
以及
Figure BDA0002803648710000077
将
Figure BDA0002803648710000078
即
Figure BDA0002803648710000079
作为互相关矩阵Ry(l)的第(m,n)个元素，则Ry(l)可以表示为如下形式的加权和
Figure BDA00028036487100000710
其中，
Figure BDA00028036487100000711
取l＝-L,…,L，则
Figure BDA00028036487100000712
可以自然地表示为一个三阶张量
Figure BDA00028036487100000713
由于Ry(l)是一组秩一外积的加权和，因此
Figure BDA00028036487100000714
可以由CP分解表示为一组秩一张量的和，表示为
Figure BDA00028036487100000715
其中，
Figure BDA00028036487100000716
表示外积，
Figure BDA00028036487100000717
Figure BDA00028036487100000718
表示由
Figure BDA00028036487100000719
构成的三阶张量；令
Figure BDA00028036487100000720
由CP分解的唯一性可以得到
Figure BDA00028036487100000721
其中，||·||F表示Frobenius范数，可以由最小二乘法来求解得到因子矩阵
Figure BDA00028036487100000722
来自延迟路径可以用类似的方式处理；定义
Figure BDA00028036487100000723
其中
Figure BDA00028036487100000724
利用两个不同采样通道之间的互相关，可以构造一个三阶张量
Figure BDA00028036487100000725
并可以被分解为
Figure BDA0002803648710000081
令
Figure BDA0002803648710000082
由相似的方法可以得到
Figure BDA0002803648710000083
的因子矩阵
Figure BDA0002803648710000084
由于
Figure BDA0002803648710000085
因此可以得到G＝Ω⊙H，其中
Figure BDA0002803648710000086
的第(n,k)的元素为
Figure BDA0002803648710000087
由于估计得出的
Figure BDA0002803648710000088
和
Figure BDA0002803648710000089
存在各自的排序以及相位和幅度模糊，因此需要利用延时通道所构张量分解得到的
Figure BDA00028036487100000810
与
Figure BDA00028036487100000811
做对比，从而消除不同的CP分解带来的排序以及相位模糊；由于CP分解的尺度和排序模糊是独立且唯一的，因此张量
Figure BDA00028036487100000812
和
Figure BDA00028036487100000813
的分解结果表示如下
Figure BDA00028036487100000814
其中{Γ1,Γ2,Γ3}和{Λ1,Λ2,Λ3}表示未知的非奇异对角矩阵且满足Γ1Γ2Γ3＝I和Λ1Λ2Λ3＝I；Π1和Π2表示未知的置换矩阵；{W1,W2,W3}和{V1,V2,V3}表示估计误差；由于R是张量
Figure BDA00028036487100000815
和
Figure BDA00028036487100000816
的公共因子矩阵，利用
Figure BDA00028036487100000817
和
Figure BDA00028036487100000818
的相关矩阵
Figure BDA00028036487100000819
来消除排序模糊，其第(k1,k2)个元素表示为
Figure BDA00028036487100000820
通过设置矩阵C每一列的最大值为1，其余值为0得到置换矩阵Π3使得
Π2＝Π1Π3
定义
Figure BDA00028036487100000821
可以得到
Figure BDA00028036487100000822
因此
Figure BDA00028036487100000823
和
Figure BDA00028036487100000824
此时具有相同的排序方式，即每一列对应相同的信号源；由于△1＝0，因此矩阵H和G的第一行是相同的，因此不同的相位模糊可以由把
Figure BDA00028036487100000825
的第一行转换为
Figure BDA00028036487100000826
的第一行来消除，即得到与
Figure BDA00028036487100000827
具有相同相位模糊的
Figure BDA00028036487100000828
为
Figure BDA00028036487100000829
因此第k个源信号的载波频率可以从解模糊后的出的
Figure BDA0002803648710000091
和
Figure BDA0002803648710000092
获得，表示为
Figure BDA0002803648710000093
其中，mod(a,b)表示模运算，返回a除以b的余数，
Figure BDA0002803648710000094
由采样定理fs≥Bk，fs指次奈奎斯特采样频率，Bk表示第k个信号源的带宽，则第k个信号源的功率谱估计为
Figure BDA0002803648710000095
其中，自相关序列
Figure BDA0002803648710000096
来自因子矩阵
Figure BDA0002803648710000097
或
Figure BDA0002803648710000098
(均可)，L足够大时(一般大于60)，由时滞截断引起的误差可以忽略不计，因此可以得到原始信号的功率谱。应该注意的是，估计的自相关序列既有相位模糊，也有幅度模糊。由于功率谱是实的且非负，所以相位模糊可以忽略。然而由于幅度模糊与信道增益的模糊相结合，而信道增益通常是未知的然而，所以幅度模糊不能被消除。因此，估计的功率谱仅包含远场源信号的带宽信息。
仿真中，设置系统中接收天线数为N＝8，需要识别的传输信号数为K＝3，3个传输信号的带宽分别为20MHz，10MHz，15MHz。在NAME与SNR关系的实验中，3个信号源调制的载波频率每次分别设置为f1＝U(100,200)MHz,f2＝U(300,400)MHz,f3＝U(500,600)MHz的均匀分布。时间延迟设置为△n＝10-9s，信道矩阵Η的第(n,k)个元素为hn,k～CN(0,1)表示均值为0，方差为1的复高斯分布。每一个过通道信号均设置采样频率为28MHz，采样长度为Ns＝105用来来计算相关矩阵
Figure BDA0002803648710000099
信噪比SNR定义为
Figure BDA00028036487100000910
其中，
Figure BDA00028036487100000911
表示信号s(t)的平均功率，σ2为高斯噪声的方差。
图1描述了未知多径信道下的多天线次奈奎斯特采样采样架构，除第一根天线外，第n根天线接收的信号通过两个通道，一条直接通道和一条延时为△n的通道，对延时后的信号做奈奎斯特采样，从而得到数字信号序列；
图2描述了利用本发明载频估计的方法估计出的信号源载波频率的NMAE随着信噪比的变化曲线。3个信号源调制的载波频率每次分别设置为f1＝U(100,200)MHz,f2＝U(300,400)MHz,f3＝U(500,600)MHz的均匀分布，带宽分别为20MHz，10MHz，15MHz，
Figure BDA0002803648710000101
i表示1000次蒙特卡洛的索引。
图3为当信噪比为20dB时，利用本发明的联合宽带频谱感知方法重构的功率谱与原始功率谱的对比。
综上所述，本发明的次奈奎斯特采样架构以及提出的联合宽带频谱感知和载频估计的方法，能够克服直接对超宽带频谱进行奈奎斯特采样存在的采样瓶颈问题。并成功地在信噪比SNR＝20dB的未知多径信道下恢复出了监测频段的功率谱和与监测频段内信号的载频。虽然给定频率的功率谱幅度没有完全恢复(主要原因是发射信号的功率和信道增益是耦合的)，但本发明的方法可以准确地估计源信号的带宽，从而可以为实际系统提供频谱的占用情况以及哪些空闲频谱可用于二次接入的有用信息。

Claims (1)

1.基于次奈奎斯特采样的联合宽带频谱感知和载频估计方法，系统中接收端配置天线数为N，需要识别的信号源个数为K，且满足N>K，其特征在于，包括以下步骤：
S1：信号源的发射信号表示为
Figure FDA0002803648700000011
其中
Figure FDA0002803648700000012
和ωk分别对应复基带信号和载波频率；由于多径传播，发射信号sk(t)被散射和衍射，最后通过多条路径传输到接收机上，假设每个信号都是窄带的，在第n个接收机天线接收的信号表示为：
Figure FDA0002803648700000013
其中，
Figure FDA0002803648700000014
是0均值且方差为
Figure FDA0002803648700000015
的复加性高斯白噪声，hnk表示多径传播环境的信道系数；
S2:基于次奈奎斯特采样方法对接收信号进行采样：
对有N根天线的接收机，除第一根天线外，每根天线接收到的模拟信号都经过两个通道，即一条直接路径和一条具有预先指定时间延迟△n的延迟路径；第一根天线只涉及一条直接路径，是一条时间延迟△1＝0的延迟路径；直接路径和延迟路径上的模拟信号通过同步模数转换器(ADC)采样，采样速率为fs＝1/Ts，Ts表示次奈奎斯特采样采样间隔；
由第n个天线收集到的直接路径中的采样信号为：
Figure FDA0002803648700000016
其中，t＝ηTs表示采样时刻，η＝0,1,…；
第n个天线延迟路径中的采样信号为：
Figure FDA0002803648700000017
其中，△n为时间延迟；
S3:对于直接路径，来自第m和第n根不同天线的采样数据的互相关矩阵由下式计算得出：
Figure FDA0002803648700000021
其中，
Figure FDA0002803648700000022
和
Figure FDA0002803648700000023
分别表示第k个调制信号及两根天线接收信号加性噪声的相关，定义如下：
Figure FDA0002803648700000024
Figure FDA0002803648700000025
t1和t2是ADC的采样时刻，有t1-t2＝lTs，其中Ts表示ADC的采样间隔，l＝-L,…,L表示时滞，即两组采样时刻的差关于采样间隔Ts的倍数；定义
Figure FDA0002803648700000026
以及
Figure FDA0002803648700000027
将
Figure FDA0002803648700000028
即
Figure FDA0002803648700000029
作为互相关矩阵Ry(l)的第(m,n)个元素，则Ry(l)可以表示为如下形式的加权和：
Figure FDA00028036487000000210
其中，
Figure FDA00028036487000000211
S4：取l＝-L,…,L，则
Figure FDA00028036487000000212
自然地表示为一个三阶张量
Figure FDA00028036487000000213
由于Ry(l)是一组秩一外积的加权和，因此
Figure FDA00028036487000000214
由CP分解为一组秩一张量的和，表示为：
Figure FDA00028036487000000215
其中，
Figure FDA00028036487000000216
表示外积，
Figure FDA00028036487000000217
Figure FDA00028036487000000218
表示由
Figure FDA00028036487000000219
构成的三阶张量；令
Figure FDA00028036487000000220
由CP分解的唯一性得到：
Figure FDA00028036487000000221
其中，||·||F表示Frobenius范数，由最小二乘法来求解得到因子矩阵
Figure FDA00028036487000000222
来自延迟路径采用类似的方式处理；定义
Figure FDA00028036487000000223
其中
Figure FDA00028036487000000224
利用两个不同采样通道之间的互相关，构造一个三阶张量
Figure FDA0002803648700000031
并可以被分解为
Figure FDA0002803648700000032
令
Figure FDA0002803648700000033
同理得到
Figure FDA0002803648700000034
的因子矩阵
Figure FDA0002803648700000035
S5：由
Figure FDA0002803648700000036
得到G＝Ω⊙H，其中
Figure FDA0002803648700000037
的第(n,k)的元素为
Figure FDA0002803648700000038
由于估计得出的
Figure FDA0002803648700000039
和
Figure FDA00028036487000000310
存在各自的排序以及相位和幅度模糊，因此需要利用延时通道所构张量分解得到的
Figure FDA00028036487000000311
与
Figure FDA00028036487000000312
做对比，从而消除不同的CP分解带来的排序以及相位模糊；由于CP分解的尺度和排序模糊是独立且唯一的，因此张量
Figure FDA00028036487000000313
和
Figure FDA00028036487000000314
的分解结果表示如下
Figure FDA00028036487000000315
其中{Γ1,Γ2,Γ3}和{Λ1,Λ2,Λ3}表示未知的非奇异对角矩阵且满足Γ1Γ2Γ3＝I和Λ1Λ2Λ3＝I；Π1和Π2表示未知的置换矩阵；{W1,W2,W3}和{V1,V2,V3}表示估计误差；由于R是张量
Figure FDA00028036487000000316
和
Figure FDA00028036487000000317
的公共因子矩阵，利用
Figure FDA00028036487000000318
和
Figure FDA00028036487000000319
的相关矩阵
Figure FDA00028036487000000320
来消除排序模糊，其第(k1,k2)个元素表示为：
Figure FDA00028036487000000321
通过设置矩阵C每一列的最大值为1，其余值为0得到置换矩阵Π3使得：
Π2＝Π1Π3
定义
Figure FDA00028036487000000322
得到
Figure FDA00028036487000000323
Figure FDA00028036487000000324
和
Figure FDA00028036487000000325
此时具有相同的排序方式，即每一列对应相同的信号源；由于△1＝0，矩阵H和G的第一行是相同的，因此不同的相位模糊可以由把
Figure FDA00028036487000000326
的第一行转换为
Figure FDA00028036487000000327
的第一行来消除，即得到与
Figure FDA00028036487000000328
具有相同相位模糊的
Figure FDA00028036487000000329
为：
Figure FDA0002803648700000041
第k个信源的载波频率从解模糊后得出的
Figure FDA0002803648700000042
和
Figure FDA0002803648700000043
获得，表示为：
Figure FDA0002803648700000044
其中，mod(a,b)表示模运算，返回a除以b的余数，
Figure FDA0002803648700000045
由采样定理fs≥Bk，Bk表示第k个信号源的带宽，则第k个信号源的功率谱估计为：
Figure FDA0002803648700000046
其中，自相关序列来自CP分解得到的因子矩阵
Figure FDA0002803648700000047
或
Figure FDA0002803648700000048
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