CN112507475B - 一种基于修正牛顿法求解航空发动机部件级模型的方法 - Google Patents

一种基于修正牛顿法求解航空发动机部件级模型的方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于修正牛顿法求解航空发动机部件级模型的方法，根据新的初猜值，计算模型残差，进而推算出雅可比矩阵；采用高斯消去法计算牛顿修正量，并计算出新的初猜值，进行迭代；本发明在程序设计时引入记忆矩阵与消去系数矩阵，它记住雅可比矩阵的行交换次序的消元系数，得到残差向量后回代求解，与常规牛顿法相比，大大减少模型求解时间。

Description

一种基于修正牛顿法求解航空发动机部件级模型的方法
技术领域
本发明涉及航空发动机数学建模与仿真技术领域，主要涉及一种基于修正牛顿法求解航空发动机部件级模型的方法。
背景技术
航空发动机机载自适应模型用于发动机性能健康监视与故障诊断，先进控制算法(如性能寻优控制、直接推力控制)的设计及验证，目前国内外机载自适应模型大多采用基于卡尔曼滤波器估计的方法，该方法由非线性模型中获得一个稳态点数据，在该工作点上做线性状态空间模型，该方法简单、计算速度非常快，但适用范围有限；航空发动机非线性部件级数学模型根据航空发动机各个部件气动热力学原理进行性能模拟计算，虽计算复杂，但有着线性状态空间模型无法比拟的优点，随着计算机与仿真技术的快速发展，航空发动机部件级模型直接作为机载模型使用将成为可能。限制部件级模型机载应用的因素比较多，如部件级模型计算方法复杂，牛顿迭代法迭代次数多等，这导致部件级模型在机载设备上计算时实时性往往达不到要求。
发明内容
发明目的：为了解决上述背景技术中存在的问题，本发明提供了一种基于修正牛顿法求解航空发动机部件级模型的方法，从模型求解方法上着手，运用修正牛顿法求解发动机模型，与常规牛顿法相比，大大减少模型求解时间。
技术方案：为实现上述目的，本发明采用的技术方案为：
一种基于修正牛顿法求解航空发动机部件级模型的方法，包括：
步骤S1、建立航空发动机部件级数学模型；
步骤S2、采用修正牛顿法求解航空发动机部件级数学模型；
所述步骤S2具体包括如下步骤：
步骤S2.1、根据一组新的初猜值
Figure BDA0002757303000000011
进入所述航空发动机部件级数学模型，计算模型残差
Figure BDA0002757303000000012
由所得初猜值Xk和模型残差f(Xk)计算雅可比矩阵f(Xk)n×n；
步骤S2.2、当雅可比矩阵为奇异时，终止迭代，调整初猜值；当雅可比矩阵f(Xk)n×n的行列式det(F(X(k) n×n)≠0时，采用高斯消去法计算牛顿修正量ΔWk，再计算出一组新的初猜值Wk＝Xk-ΔWk；具体地：
步骤S2.2.1、将雅可比矩阵f(Xk)n×n列选主元；当变换到第k步时，将第k列的元素Dfkk以及以下的各个元素中选出绝对值最大者，通过行变换将所述绝对值最大的元素换到主元素Dfkk的位置上；
模型残差f(Xk)作与上述相同的行变换；
步骤S2.2.2、将雅可比矩阵f(Xk)n×n消元如下：
Figure BDA0002757303000000021
Figure BDA0002757303000000022
Figure BDA0002757303000000023
式中，Dfkj为雅可比矩阵第k行第j列得导数值，Dfkk为第k行第k列导数值即雅可比矩阵对角元素，ck为消去系数，Cy为消去系数矩阵，用于对残差向量的修正。
经过消元后所述雅可比矩阵f(Xk)n×n变为上三角矩阵；
所述残差向量f(Xk)作与上述相同的消元如下：
Figure BDA0002757303000000024
步骤S2.2.3、将上述消元后的残差向量f(Xk)回代至航空发动机部件级数学模型，求解牛顿修正ΔWk；具体地：
首先由最后一个方程解出
Figure BDA0002757303000000025
如下：
Figure BDA0002757303000000026
然后依次向前迭代，计算出
Figure BDA0002757303000000027
如下：
Figure BDA0002757303000000028
步骤S2.2.4、根据牛顿修正ΔWk计算出下一组初猜值Wk＝Xk-ΔWk；
步骤S2.3、根据所述初猜值Wk，代入所述航空发动机部件级数学模型，计算新的模型残差f(Wk)；
步骤S2.4、所述模型残差f(Wk)按照步骤S2.2.1-S2.2.2，依次进行行变化和消元，将消元后的向量回代至航空发动机部件级数学模型，计算出新的牛顿修正量ΔXk；
步骤S2.5、获得下一步的初猜值Xk+1＝Wk-ΔXk，即
Figure BDA0002757303000000031
并代入航空发动机部件级数学模型，进行下一步迭代，直至达到预设迭代次数，输出迭代值。
有益效果：
(1)本发明采用修正牛顿法求解航空发动机部件级模型，与常规牛顿法相比，可以大大减少模型求解时间。同时运用高斯消去法求解线性方程组时，为了避免数值计算出现不稳定现象，采用列选主元的方案。考虑到常规的双转子发动机部件级模型初猜值个数为6，其构成的雅可比矩阵为6阶，所求解的方程组规模不大，本专利采用列选主元方法来确保高斯消去法的数值稳定性。
(2)本专利在程序设计时引入记忆矩阵与消去系数矩阵，记住了雅可比矩阵的行交换次序，由消元系数
Figure BDA0002757303000000032
得到残差向量f(Wk)，便可回代求解。
附图说明
图1常规牛顿迭代法求解非线性方程组图解；
图2修正牛顿迭代法求解非线性方程组图解；
图3带阻尼因子的修正牛顿迭代法求解非线性方程组图解；
图4本发明基于修正牛顿迭代法求解发动机模型的方法流程图。
具体实施方式
牛顿迭代法是非线性问题求解的重要方法，而航空发动机部件级模型是高度非线性的系统。在模型求解过程中，它每次迭代要执行n次模型流路计算，从而得到残差F(Xn)并计算偏导数，工作量较大。
图1-3分别为常规牛顿迭代法、修正牛顿法和阻尼因子小于1的修正牛顿法求解非线性方程形式的图解。若阻尼因子c＝1则就是图2的修正牛顿法，增加参数c是为了扩大迭代法的收敛范围，因此图2与图3统称为修正牛顿法。
如图1所示，设xk为方程f(x)＝0的根x*的一个近似解，将f(x)在xn处作Taylor展开，得
f(x)＝f(xn)+f′(xn)(x-xn)+…＝0
略去高阶项得：
0≈f(xn)+f′(xn)(x-xn)
将式中的x换成xn+1，并把“≈”改为“＝”得f(xn)+f′(xn)(xn+1-xn)＝0。即得迭代公式
Figure BDA0002757303000000041
由Taylor公式对牛顿迭代格式展开，取绝对值并将xn+1-xn＝-f′(xn)-1f(xn)代入得：
Figure BDA0002757303000000042
其中
Figure BDA0002757303000000043
由此看出，若
Figure BDA0002757303000000044
则有
|f(xn+1)|＜|f(xn)|
此时牛顿迭代收敛。
若
Figure BDA0002757303000000045
则牛顿法迭代发散。因此牛顿迭代法是局部收敛。
如图2所示，以常规牛顿迭代法为基础迭代出中间变量wn，再以点(wn,f(wn))以及f′(xn)，继续向前修正迭代序列，迭代格式如下：
Figure BDA0002757303000000051
Figure BDA0002757303000000052
如图3所示为带阻尼因子的修正牛顿法，引入阻尼系数c将牛顿迭代法的收敛域扩大。利用泰勒公式可导出：
Figure BDA0002757303000000053
其中0＜c＜1，当
Figure BDA0002757303000000054
时，|f(wn)|＜|f(xn)|。只要c充分小，可使上式大范围收敛。
由于|f(wn)|＜|f(xn)|，则
Figure BDA0002757303000000055
可得|f(xn+1)|＜|f(wn)|，只要c充分小，同样可使上式大范围收敛。
因此带参数的修正牛顿法迭代格式如下：
Figure BDA0002757303000000056
Figure BDA0002757303000000057
综合上述图1-3所述，本发明选择带参数的修正牛顿法，将提高收敛阶，提高收敛速。迭代格式如下：
Figure BDA0002757303000000058
Figure BDA0002757303000000059
其中，阻尼因子c∈(0，1)，该方法从Xn计算到Xn+1只计算一次雅可比矩阵F′(Xn)，根据两次残差对初猜值两次修正，提高收敛阶。
如图4所示为本发明基于修正牛顿法求解发动机模型的方法流程图，包括以下步骤：
步骤S1、建立航空发动机部件级数学模型；
步骤S2、采用修正牛顿法求解航空发动机部件级数学模型；其特征在于，所述步骤S2具体包括如下步骤：
步骤S2.1、根据一组新的初猜值
Figure BDA0002757303000000061
进入所述航空发动机部件级数学模型，计算模型残差
Figure BDA0002757303000000062
由所得初猜值Xk和模型残差f(Xk)计算雅可比矩阵f(Xk)n×n；
步骤S2.2、当雅可比矩阵f(Xk)n×n的行列式det(F(X(k))n×n)≠0时，采用高斯消去法计算牛顿修正量ΔWk，再计算出一组新的初猜值Wk＝Xk-ΔWk；具体地：
步骤S2.2.1、将雅可比矩阵f(Xk)n×n列选主元；当变换到第k步时，将第k列的元素Dfkk以及以下的各个元素中选出绝对值最大者，通过行变换将所述绝对值最大的元素换到主元素Dfkk的位置上；
模型残差f(Xk)作与上述相同的行变换；
步骤S2.2.2、将雅可比矩阵f(Xk)n×n消元如下：
Figure BDA0002757303000000063
Figure BDA0002757303000000064
Figure BDA0002757303000000065
式中，Dfkj为雅可比矩阵第k行第j列得导数值，Dfkk为第k行第k列导数值即雅可比矩阵对角元素，ck为消去系数，Cy为消去系数矩阵，用于对残差向量的修正。
经过消元后所述雅可比矩阵f(Xk)n×n变为上三角矩阵；
所述残差向量f(Xk)作与上述相同的消元如下：
Figure BDA0002757303000000066
步骤S2.2.3、将上述消元后的残差向量f(Xk)回代至航空发动机部件级数学模型，求解牛顿修正ΔWk；具体地：
首先由最后一个方程解出
Figure BDA0002757303000000071
如下：
Figure BDA0002757303000000072
然后依次向前迭代，依次计算出
Figure BDA0002757303000000073
如下：
Figure BDA0002757303000000074
步骤S2.2.4、根据牛顿修正ΔWk计算出下一组初猜值Wk＝Xk-ΔWk；
步骤S2.3、根据所述初猜值Wk，代入所述航空发动机部件级数学模型，计算新的模型残差f(Wk)；
步骤S2.4、所述模型残差f(Wk)按照步骤S2.2.1-S2.2.2，依次进行行变化和消元，将消元后的向量回代至航空发动机部件级数学模型，计算出新的牛顿修正量ΔXk；
具体步骤：雅可比矩阵同为，且已经进行了选主元与消元步骤，此步不必进行，但是之前选主元时涉及到矩阵的行交换，引入记忆矩阵就是记录选主元过程中当前行与矩阵哪一行进行交换，因而在本步骤中必须把残差向量做相同的行变换才是正确的，即雅可比矩阵与残差向量在变换上一一对应；在之前进行消元步骤时，把每行的消去系数记录在消去系数矩阵，在本次计算也必须将残差向量做相同的消去运算，即雅可比矩阵与残差向量在消元上一一对应。
步骤S2.5、获得下一步的初猜值Xk+1＝Wk-ΔXk，即
Figure BDA0002757303000000075
并代入航空发动机部件级数学模型，进行下一步迭代，直至达到预设迭代次数，输出迭代值。
为了验证本发明所设计的基于修正牛顿法求解发动机模型的方法的有效性，两种方法对单轴涡喷、双转子涡扇以及三组非线性方程组求解效率进行对比。
下面提供三组非线性方程组，并比较求解效率。
例1、求解非线性方程组
Figure BDA0002757303000000081
取初始值[2.5,4]T，其精确解为x1＝1；x2＝2
例2、求解非线性方程组
Figure BDA0002757303000000082
取初始值[2,3]T，其精确解为x1＝0；x2＝0
例3、求解非线性方程组
Figure BDA0002757303000000083
取初始值[1.5,1.5,1.0，-0.8]T，其精确解为x1＝x2＝x3＝0.577350269189626，x4＝-0.288675134594813。
如下表1所示为修正牛顿迭代与常规牛顿迭代求解常规非线性方程组迭代步数对比，对于求解常规非线性方程组，修正牛顿迭代法的迭代步数减少一半左右。如下表2所示为重复计算10万次时，修正牛顿迭代与常规牛顿迭代求解常规非线性方程组迭代时间对比，对于求解常规非线性方程组，修正牛顿法的迭代时间比常规的牛顿迭代法减少28％。
表1修正牛顿迭代与常规牛顿迭代求解常规非线性方程组迭代步数对比
c＝0.4 修正迭代步数 常规迭代步数
例1 14 28
例2 14 26
例3 11 22
表2修正牛顿迭代与常规牛顿迭代求解常规非线性方程组迭代时间对比(重复10万次)
c＝0.4 修正迭代时间 常规迭代时间
例1 0.653s 0.918s
例2 1.298s 1.805s
例3 1.274s 2.089s
修正牛顿迭代与常规牛顿迭代求解单轴涡喷发动机模型结果如表3-4所示，对于求解单轴涡喷发动机模型共同工作方程组，修正牛顿迭代法的迭代次数减少一半以上；，给定几组仿真的初猜值，修正牛顿法的迭代时间(重复计算1万次)比常规的牛顿迭代法减少37％以上。
表3修正牛顿迭代与常规牛顿迭代求解单轴涡喷模型迭代步数对比
初猜值(c＝0.4) 修正迭代步数 常规迭代步数
x[0]＝0.97；x[1]＝1.02；x[2]＝1.03 4 10
x[0]＝0.96；x[1]＝1.05；x[2]＝1.04 5 10
x[0]＝1.02；x[1]＝1.01；x[2]＝1.04 4 10
x[0]＝1.04；x[1]＝1.05；x[2]＝1.04 4 10
表4修正牛顿迭代与常规牛顿迭代求解单轴涡喷模型迭代时间对比(重复计算1万次)
初猜值(c＝0.4) 修正迭代时间 常规迭代时间
x[0]＝0.97；x[1]＝1.02；x[2]＝1.03 1.731s 3.391s
x[0]＝0.96；x[1]＝1.05；x[2]＝1.04 2.127s 3.399s
x[0]＝1.02；x[1]＝1.01；x[2]＝1.04 1.729s 3.403s
x[0]＝1.04；x[1]＝1.05；x[2]＝1.04 1.750s 3.412s
修正牛顿迭代与常规牛顿迭代求解双转子涡扇发动机模型共同工作方程组的结果如表5-6所示，修正牛顿法的迭代步数减少一半右。在给定几组仿真初猜值，修正牛顿法的迭代时间(重复计算1万次)比常规的牛顿迭代法减少38％以上。
表5修正牛顿迭代与常规牛顿迭代求解双转子涡扇模型迭代步数对比
Figure BDA0002757303000000091
表6修正牛顿迭代与常规牛顿迭代求解双转子涡扇模型迭代时间对比(重复计算10000次)
Figure BDA0002757303000000092
Figure BDA0002757303000000101
以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出：对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (1)

1.一种基于修正牛顿法求解航空发动机部件级模型的方法，包括：
步骤S1、建立航空发动机部件级数学模型；
步骤S2、采用修正牛顿法求解航空发动机部件级数学模型；其特征在于，所述步骤S2具体包括如下步骤：
步骤S2.1、根据一组新的初猜值进入所述航空发动机部件级数学模型，计算模型残差由所得初猜值Xk和模型残差f(Xk)计算雅可比矩阵f(Xk)n×n；
步骤S2.2、当雅可比矩阵为奇异时，终止迭代，调整初猜值；当雅可比矩阵f(Xk)n×n的行列式det(F(X(k))n×n)≠0时，采用高斯消去法计算牛顿修正量ΔWk，再计算出一组新的初猜值Wk＝Xk-ΔWk；具体地：
步骤S2.2.1、将雅可比矩阵f(Xk)n×n列选主元；当变换到第k步时，将第k列的元素Dfkk以及以下的各个元素中选出绝对值最大者，通过行变换将所述绝对值最大的元素换到主元素Dfkk的位置上；
模型残差f(Xk)作与上述相同的行变换；
步骤S2.2.2、将雅可比矩阵f(Xk)n×n消元如下：
式中，Dfkj为雅可比矩阵第k行第j列的导数值，Dfkk为第k行第k列导数值即雅可比矩阵对角元素，ck为消去系数，Cy为消去系数矩阵，用于对残差向量的修正；
经过消元后所述雅可比矩阵f(Xk)n×n变为上三角矩阵；
所述残差向量f(Xk)作与上述相同的消元如下：
步骤S2.2.3、将上述消元后的残差向量f(Xk)回代至航空发动机部件级数学模型，求解牛顿修正ΔWk；具体地：
首先由最后一个方程解出如下：
然后依次向前迭代，计算出如下：
步骤S2.2.4、根据牛顿修正ΔWk计算出下一组初猜值Wk＝Xk-ΔWk；
步骤S2.3、根据所述初猜值Wk，代入所述航空发动机部件级数学模型，计算新的模型残差f(Wk)；
步骤S2.4、所述模型残差f(Wk)按照步骤S2.2.1-S2.2.2，依次进行行变化和消元，将消元后的向量回代至航空发动机部件级数学模型，计算出新的牛顿修正量ΔXk；
步骤S2.5、获得下一步的初猜值Xk+1＝Wk-ΔXk，即并代入航空发动机部件级数学模型，进行下一步迭代，直至达到预设迭代次数，输出迭代值。
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叶纬 ; 陈玉春 ; 崔高锋 ; 黄兴 ; .拟牛顿法在航空发动机特性仿真中的应用.计算机仿真.2007,(第10期),全文. *
王元 ; 李秋红 ; 黄向华 ; .基于自校正Broyden拟牛顿法的航空发动机模型数值计算.航空动力学报.2016,(第01期),全文. *

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