CN112465713B - 基于流形优化的张量低秩模型非平滑三维图像补全方法 - Google Patents
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Abstract
Description
技术领域
本发明属于模式识别、机器学习、人工智能与图像处理技术领域,涉及图像数据低秩补全方法,具体涉及一种基于流形优化的张量低秩模型的非平滑三维图像补全方法。
背景技术
随着数据科学的飞速发展,高维的数据受到了广泛应用,与之对应的存储数据的高维矩阵(也即张量)的结构信息也越来越复杂,这使得在处理数据恢复等任务中,现有的低秩张量恢复模型面临了更多挑战。一般比较常用的数据恢复方法是基于原始张量数据的低秩特征从而根据一些受限的观测样本来恢复出原始数据,对应模型如下所示:
其中张量是由原始的低秩张量数据经过一个线性算子Ψ(·)作用之后得到的受限观测样本,在张量补全任务中,算子Ψ(·)被选为投影算子其作用是选出指标集Ω所对应位置的元素,将指标集的补集ΩC所对应位置的元素置为0。张量数据的低秩特征通常用其替代函数——张量核范数的极小化来描述,对应张量补全模型如下:
现有的常用三阶张量恢复算法根据张量秩和张量核范数的不同定义有很多分支,但是他们在数据恢复任务中都存在一些各自的局限性。Friedland等人基于CP分解提出的张量核范数cTNN(Tensor Nuclear Norm based on CP composition)的极小化模型是矩阵情况的直接推广,但是cTNN的求解是NP完全问题,求解CP分解具有极高的复杂度使得此方法较难实施。Liu等人基于Tucker分解提出了另一种张量核范数SNN(Sum of tensorNuclear Norm)的极小化模型,该模型将高维张量沿着各个维度展开成二阶矩阵,从而用每个展开矩阵的核范数之和作为张量核范数,其计算的便捷性使得此类方法得到了较多应用。但是Paredes等人指出范数SNN不是张量秩的最优凸包络,并且简单的将三阶张量沿着各个维度展开成为二阶矩阵的操作严重破坏了数据之间的连续性,这使得此方法在处理一些复杂视频数据时恢复效果不佳。
为了避免数据信息损坏,Kilmer等人基于t-SVD和离散傅里叶变换FFT(DiscreteFourier Transform)提出了新的张量核范数TNN(Tensor Nuclear Norm),傅里叶变换对数据的特征采样较为准确使得TNN极小化模型受到了广泛的研究与应用。Zhang,Lu和Yin等人对这类方法做了较为详尽的研究工作,然而目前对TNN恢复模型的主流研究中多采用平滑三维图像进行验证实验,当处理非平滑的三维图像数据时,使用离散傅里叶矩阵作为正交投影基进行特征投影就遇到了较大问题。(我们用通常的直观含义来定义平滑和非平滑数据,如一段连续的视频数据的各帧组成的张量是沿时间维度平滑的,但是如果将帧面打乱顺序,或者组合来自不同视频数据的帧面得到的三阶张量,那么沿着时间维度就是不平滑的。)在TNN极小化方法对不平滑的图像数据(例如背景变化较大的短视频)进行低秩恢复中,高频特征会变得更显著,使得低秩结构遭到破坏,从而难以得到较好的可行解。图1展示了在一个非平滑的三维图像数据下,TNN的奇异值分布所构造的数据低秩性明显差于我们的方法构造出的低秩性。
对于此局限性,Kernfeld等人希望通过将t-SVD中的离散傅里叶矩阵变为任意可逆的线性算子来提取非平滑方向的信号特征,从这个观点出发,Kernfeld和Lu等人提出了用一个固定的可逆矩阵来替代傅里叶矩阵的方向,Kernfeld等人利用Toeplitz-plus-Hankel矩阵可被离散余弦矩阵对角化的性质提出了TNN-C(Cosine)极小化模型,但是离散余弦矩阵仍然基于三角函数,对于非平滑图像仍然存在特征不显著问题;Song等人用多贝西小波变换矩阵来替换傅里叶矩阵提出了TTNN(Wavelet)极小化模型,小波基矩阵考虑了空间结构信息,但是对于严重无序的图像排列仍然存在适应性差的问题;Jiang等人参考了图像处理中的Framelet变换矩阵并提出了F-TNN(Framelet)极小化模型,他们指出冗余的投影基能更好的获取原始图像的特征,但是这会严重增大计算复杂度。综合来说,以上三个模型旨在解决非平滑三维图像的恢复问题,但是对于非平滑三维图像的恢复中替代TNN中离散傅里叶矩阵的各个投影基都缺乏科学合理的先验解释,并且手动设置投影基的方法使得应用场景非常受限,现有技术用于非平滑三维图像补全具有较大的局限性。
发明内容
为了克服上述现有技术在非平滑三维图像补全任务下的局限性,本发明提供一种基于流形优化的张量低秩模型的非平滑三维图像补全方法,可用于低秩图像恢复,提高图像补全的适用性,提升非平滑三维图像低秩补全效果。
三维图像恢复任务的低秩特征通常用其替代函数——张量核范数的极小化来描述,或者可以用奇异值的分布情况来衡量,在平方和一定的情况下,具有越少的大奇异值(远大于0)和越多的小奇异值(接近于0)可以使三维图像的低秩性越显著,如图1两条曲线所示。现有技术中固定的正交投影基在三维图像补全任务中不具有自适应性,所以在处理非平滑图像数据的低秩图像恢复任务中(如TNN模型在非平滑三维图像的低秩补全问题)上有恢复性能下降的局限性。根据现有技术,公式(1)定义了在给定正交投影基Q的作用下的新的张量Q-核范数TQN(Tensor Q-Nuclear Norm):
其中,是三维图像张量,是正交投影基矩阵,与分别代表变量和Q在多维度实数空间的对应方向的尺寸大小;“×3”运算符是基于Tucker分解的mode-3乘法,其定义为矩阵G(i)代表张量的第i个前切面图2展示了在正交投影基Q的作用下张量Q-核范数TQN的概要计算过程。
本发明提供的基于流形优化的张量低秩模型非平滑三维图像补全方法将式(1)中固定的正交投影基矩阵Q拓展为图像数据依赖的可学习变量,利用流形优化算法设计并求解每个三维图像最优的正交投影基矩阵Q(而不采用现有的离散傅里叶矩阵等手动设置的投影基),本发明方法称为MOTQN(Manifold Optimization Tensor Q-Nuclear Norm),用于高效的进行非平滑三维图像的低秩补全任务。
本发明针对非平滑三维图像数据的低秩补全任务中的张量Q-核范数TQN与正交投影基,从预先指定的投影矩阵设置为可学习的图像依赖型优化变量,并运用流形优化的方法对张量Q-核范数TQN与正交投影基进行更新,此方法的输入为来自非平滑三维图像在投影算子作用下的受限观测图像样本,输出为待恢复的非平滑的低秩三维图像。
本发明提供的技术方案是:
一种基于流形优化的张量低秩模型MOTQN的非平滑三维图像补全方法,利用流形优化将低秩补全非平滑三维图像中的张量Q-核范数TQN与正交投影基设置为可学习的图像依赖型优化变量,并更新数据依赖的正交投影基,输入为非平滑三维图像在投影算子作用下的受限观测图像样本,输出为待恢复的非平滑的低秩三维图像,从而高效地实现非平滑三维图像的低秩恢复;包括以下步骤:
3)运用交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers)框架的迭代算法对模型(3)进行求解,引入增广拉格朗日函数:
4-1)对于步骤2)中式(3)下层约束中关于Q的目标函数设相关定义如式(1)所示;令根据图2,对的每个前切面G(i)进行SVD(SingularValue Decomposition)运算得到引入辅助张量令其每个前切面矩阵最后取辅助变量为函数f(Q)在Qk处的梯度,其中分别为三阶张量和沿着第三维度展开所得。
4-2)借助辅助矩阵A,构造一个Stiefel流形上沿梯度方向的测地曲线如下:
在式(5)中,τ是待定步长参数,τ的最优步长τ*应使f(Q(τ*))极小化,也即:
4-3)考虑到步长τ足够小,将g(τ)在τ=0处做泰勒展开得到如下:
需要注意的是,g″(0)的符号正负不确定,但Wen等人指出
4-4)根据式(7)以及一阶、二阶微分的定义,可以求得g′(0)和g″(0)如下:
8)更新惩罚参数μk+1。根据Lin等人的工作,选取一个较大的惩罚参数上界μmax和膨胀系数ρ>1,更新公式如下:
μk+1=min{ρμk,μmax}. (15)
通过上述步骤,实现基于流形优化的张量低秩模型MOTQN的非平滑三维图像补全。
本发明的有益效果是:
本发明提供了一种基于流形优化的张量低秩模型MOTQN的非平滑三维图像补全方法,我们利用流形优化方法设计并更新了数据依赖的正交投影基矩阵。在具体实施中,我们可以将任意三维图像数据采用本发明设计的流形优化方法得到自适应的正交投影基矩阵,进而得到对应的三维低秩图像恢复模型,最后用该模型进行三维图像补全等图像处理任务。
本发明提出的自适应的图像依赖正交投影基矩阵不仅具有更好的可解释性,同时本发明的适用范围相比于现有技术大大增加。在非平滑三维图像补全任务中(如背景变换较大的三维视频图像数据的缺失补全任务),本发明与现有的三维低秩图像恢复技术如基于TNN,TNN-C,TTNN以及F-TNN的三维低秩图像恢复技术相比都有更好的补全效果。
附图说明
图1是在非平滑的三维视频图像数据下,基于t-SVD的张量核范数TNN与本发明方法MOTQN的数据低秩性对比;
其中,(a)为非平滑的三维视频图像数据示意图;(b)为基于t-SVD的张量核范数TNN与本发明方法MOTQN的数据低秩性对比。
图2是本发明的TQN在给定正交投影基下的计算过程示意图;
其中,是待求三维图像张量,Q是待求正交投影基矩阵,为图像张量经投影后得到的张量,G(i)是投影后张量的第i个前切面矩阵,令每个G(i)的奇异值分解为G(i)=U(i)S(i)V(i),其因子矩阵分别对应图中的矩阵U(i),S(i),V(i)。
图3是本发明方法与现方法在处理COIL-20上三维图像补全处理结果的可视化展示。
图4是本发明方法具体实施实现基于流形优化的张量低秩模型的非平滑三维图像补全的流程框图。
具体实施方式
下面结合附图,通过实施例进一步描述本发明,但不以任何方式限制本发明的范围。
本发明提供一种基于流形优化的张量低秩模型MOTQN的非平滑三维图像补全方法,利用流形优化更新数据依赖的正交投影基,用于高效的进行非平滑三维图像的低秩补全任务,图4所示是本发明方法实现基于流形优化的张量低秩模型的非平滑三维图像补全的具体实施流程,包括以下步骤:
步骤1:选取受限的三维图像观测样本假设其是由待恢复的原始非平滑三维图像经过一个投影算子在指标集Ω的作用所得。本实施例所用数据集为COIL-20,此数据集包含来自20个不同物体的1440张大小为128x128的图片数据,每个物体包含72张图片,分别为旋转360°且每隔5°拍摄所得。将数据集按序排列得到一个三维图像数据张量选取指标集Ω={(i,j,k)},其元素个数对应采样率p为:
步骤3:运用交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers)框架的迭代算法对式(3)表示的模型进行求解,引入增广拉格朗日函数:
其中,是增广拉格朗日函数,是待更新的拉格朗日乘子,是惩罚参数。将各变量初始化为其中Q0选为的右奇异值矩阵,Y(3)为的沿第三维度展开矩阵;选为ε0和都选为全0张量μ0选为10-5,μmax选为105,且膨胀系数ρ设置为1.1。下面逐个更新各个变量,设置更新上限次数K=103。
步骤4:更新图像数据依赖的投影矩阵Qk+1。
步骤4-1:设相关定义如式(1)所示;令根据图2,对的每个前切面G(i)进行SVD运算得到引入辅助张量令其每个前切面矩阵最后取辅助变量为函数f(Q)在Qk处的梯度,其中分别为三阶张量和沿着第三维度展开所得。
步骤4-2:借助辅助矩阵A,构造一个Stiefel流形上沿梯度方向的测地曲线如下:
在式(5)中τ是待定步长参数,其最优步长τ*应使f(Q(τ*))极小化,也即:
步骤4-3:将g(τ)在τ=0处进行泰勒展开得到如下:
通过极小化式(8),我们得到最优步长τ*的选取规则如下:
步骤4-4:根据式(7)以及一阶、二阶微分的定义,可以求得g′(0)和g″(0)如下:
步骤6:更新辅助变量εk+1通过如下公式:
步骤8:更新惩罚参数μk+1,惩罚因子膨胀系数为ρ=1.1。
μk+1=min{ρμk,μmax}. (15)
实施例模型在COIL-20数据集上采用带惩罚因子的ADMM框架进行迭代求解,模型最多迭代1000次,处理的三维图像大小为1440张128x128的图片。利用流形优化方法设置并更新自适应正交投影基矩阵的方式为本发明步骤4和步骤5。
表1给出了本发明模型MOTQN和其他主流模型在COIL-20数据集上的非平滑三维图像补全任务的峰值信噪比(PSNR:Peak Signal to Noise Ratio)比较,其定义为:
表1本方法和现有模型在COIL-20数据集上的非平滑三维图像补全的峰值信噪比
采样率p | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.6 |
MOTQN(本发明方法) | 21.91 | 25.41 | 27.86 | 30.13 | 31.79 | 33.64 |
TNN(Fourier) | 19.20 | 22.08 | 24.45 | 26.61 | 28.72 | 30.91 |
TNN-C(cosine) | 19.02 | 22.11 | 24.23 | 37.04 | 28.95 | 30.97 |
TTNN(wavelet) | 18.15 | 21.42 | 24.47 | 26.93 | 29.11 | 31.10 |
F-TNN(framelet) | 17.62 | 20.58 | 22.87 | 24.67 | 27.41 | 29.90 |
SiLRTC | 18.87 | 21.80 | 23.89 | 25.67 | 27.37 | 29.14 |
Latent Trace Norm | 19.09 | 22.98 | 25.75 | 28.11 | 30.40 | 32.42 |
表中比较的同类现有技术方法选自Lu等人的TNN,Kernfeld和Xu等人的TNN-C,Song等人的TTNN,Jiang等人的F-TNN,Liu等人的SiLRTC,以及Tomioka等人的LTN方法。从表中可以看出,本发明的方法在解决COIL-20的非平滑图像补全任务上相比于目前主流方法有较显著的优势。本发明在各个采样率下都有较大性能提升,并且在采样率较低的环境下,本发明方法有着更明显的性能提升优势。此外,图3给出了在采样率p=0.2的情况下实验结果的可视化展示,可以看出,本发明对应的方法在视觉效果上显著好于其他方法,尤其是在单张图像边缘细节的恢复上,本发明的恢复结果具有更好的区分度。
需要注意的是,公布实施例的目的在于帮助进一步理解本发明,但是本领域的技术人员可以理解:在不脱离本发明及所附权利要求的精神和范围内,各种替换和修改都是可能的。因此,本发明不应局限于实施例所公开的内容,本发明要求保护的范围以权利要求书界定的范围为准。
Claims (4)
1.一种基于流形优化的张量低秩模型MOTQN的非平滑三维图像补全方法,利用流形优化将低秩补全非平滑三维图像中的张量Q-核范数TQN与正交投影基设置为可学习的图像依赖型优化变量,并更新数据依赖的正交投影基,输入为非平滑三维图像在投影算子作用下的受限观测图像样本,输出为待恢复的非平滑的低秩三维图像,从而高效实现非平滑三维图像的低秩恢复;包括以下步骤:
3)运用交替方向乘子法的迭代算法对式(3)进行求解,引入增广拉格朗日函数,表示为式(4):
4)更新图像依赖的投影矩阵Qk+1;
包括如下操作:
4-2)借助辅助矩阵A,构造一个Stiefel流形上沿梯度方向的测地曲线为式(5):
在式(5)中,τ是待定步长参数,τ的最优步长τ*应使f(Q(τ*))极小化,表示为式(6):
4-3)将g(τ)在τ=0处做泰勒展开,得到式(8):
4-4)根据式(9)及一阶、二阶微分的定义,求得g′(0)和g″(0),表示为式(10):
把式(9)求得的最优步长τ*代入式(5),得到Qk+1=Q(τ*);
6)更新辅助变量εk+1;
8)更新惩罚参数μk+1;
选取一个惩罚参数上界μmax和膨胀系数ρ>1,更新惩罚参数μk+1如下:
μk+1=min{ρμk,μmax}. (15)
9)重复迭代步骤4)-步骤8),直至算法收敛,输出待恢复的非平滑三维低秩图像χ∞;
通过上述步骤,实现基于流形优化的张量低秩模型MOTQN的非平滑三维图像补全。
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低秩稀疏矩阵优化问题的模型与算法;潘少华等;《运筹学学报》;20200930;第1-26页 * |
Also Published As
Publication number | Publication date |
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CN112465713A (zh) | 2021-03-09 |
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