CN112445134B - 考虑未完全建模的快速反射镜在线逼近自适应控制方法 - Google Patents

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CN112445134B CN202011306436.5A CN202011306436A CN112445134B CN 112445134 B CN112445134 B CN 112445134B CN 202011306436 A CN202011306436 A CN 202011306436A CN 112445134 B CN112445134 B CN 112445134B
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Abstract

本发明公开了一种考虑未完全建模的快速反射镜在线逼近自适应控制方法，包括以下步骤：建立音圈电机驱动快速反射镜的动力学模型；在逼近未完全建模音圈电机驱动快速反射镜动力学模型的基础上设计误差收敛控制律；设计自适应律，在线更新RBF神经网络参数和控制律参数，在线逼近动力学模型，并证明系统稳定性。本发明的方法能够解决两轴快速反射镜在音圈电机驱动反射镜偏摆时所存在的结构精密复杂、精准建模困难以及作动机构动力学性能退化等影响偏转指向性能等实际工程问题，能在未对音圈电机驱动快速反射镜精准完全建模的情况下，高精度跟踪期望位置信号，为快速反射镜伺服控制的设计与应用提供了新的研究思路与方向。

Description

考虑未完全建模的快速反射镜在线逼近自适应控制方法
技术领域
本发明属于精密机械控制技术领域，尤其涉及一种考虑未完全建模的快速反射镜在线逼近自适应控制方法，主要应用于使用快速反射镜扩充探测视场，跟踪目标，补偿光束抖动等。
背景技术
随着科技和军事水平的不断提高，空间高分辨率光学成像、空间测绘、态势感知以及激光通信等任务场景近年来备受关注，快速反射镜作为光电跟踪指向系统中的核心部件而在其中扮演越来越重要的角色。目前已有快速反射镜结构各有不同，但任务特点要求其应具备跟踪指向速度快、精度高的特性，尤其快速反射镜大部分时间作业在微重力、动基座和一定磁场等复杂空间环境中，对其快速跟踪指向能力和跟踪指向精度提出了更高的要求，而快速反射镜控制算法的优劣直接影响快速反射镜的跟踪指向速度与跟踪指向精度，所以研究合适的控制算法显得尤为重要。
在国内外的相关研究中，PID控制器作为一种成熟的控制方法在快速反射镜的控制中有着广泛的应用，其能较好提高系统控制带宽、抑制低频扰动，现有技术提出经典PID控制结合干扰观测器加强干扰抑制的控制方法，但PID控制需要被控对象的状态信息，也即意味着需要对快速反射镜进行精准建模，这在实际工程应用中是不可能的。而且，当作动机构面临着因变形、疲劳等而产生的动力学性能退化时，音圈电机驱动快速反射镜系统的参数将会发生改变，之前设定的PID控制器将不会有效工作。
发明内容
为了解决不能精准获取控制对象全部的状态变量情况下如何对期望位置信号进行高精度跟踪问题，以及由于作动机构的变形、疲劳等动力学性能退化导致系统参数变化而产生的高精度保持问题，本发明提出一种考虑未完全建模的快速反射镜在线逼近自适应控制方法，采用对于动力学性能退化问题有着良好控制效果的自适应控制方法，先用RBF神经网络逼近被控对象状态中的未知函数；其次，依据指数收敛的规则选择合适的误差收敛控制律，使音圈电机驱动快速反射镜的被控对象能够高精度跟踪期望信号，再根据李雅普诺夫方法选择自适应律并证明稳定性，从而可有效提高快速反射镜的控制效果与综合性能。本发明的具体技术方案如下：
一种考虑未完全建模的快速反射镜在线逼近自适应控制方法，包括以下步骤：
S1：建立音圈电机驱动快速反射镜的动力学模型；
S2：在逼近未完全建模的音圈电机驱动快速反射镜动力学模型的基础上设计误差收敛控制律；
S3：设计自适应律，在线更新RBF神经网络参数和控制律参数，在线逼近动力学模型，并证明系统稳定性。
进一步地，所述步骤S1的具体过程为：
在音圈电机等效电路和快速反射镜等效模型的基础上，依据动力学关系建立音圈电机驱动快速反射镜的动力学模型，拉氏变换下其传递函数为：
Figure BDA0002788220930000021
其中，θ为快速反射镜偏转角度，U为输入到音圈电机驱动快速反射镜的电压信号，Kt为电机转矩系数，R为音圈电机内部电枢电阻，J为负载及支承快速反射镜转动结构的转动惯量，me为支承结构与电机的等效质量，l为音圈电机与支承转动中心的距离，c为支承结构与电机的等效阻尼系数，Kb为音圈电机抗压降系数，K*为支撑结构在每个轴工作方向的刚度，s为拉氏变换中的复变量；
为方便表示模型阶数，将音圈电机驱动快速反射镜的动力学模型的传递函数改写为：
Figure BDA0002788220930000022
模型中的参数需经过实物测试而准确得知，为方便表示，令
Figure BDA0002788220930000023
其中，α1,α2,β均为正实数，则用以下微分方程描述音圈电机驱动快速反射镜的动力学模型：
Figure BDA0002788220930000024
其中，
Figure BDA0002788220930000031
表示快速反射镜偏转角速度，
Figure BDA0002788220930000032
表示快速反射镜偏转角加速度，α1,α2,β视为动力学参数，
Figure BDA0002788220930000033
为未建模部分。
进一步地，所述步骤S2的具体过程为：
根据步骤S1建立的动力学模型，令未知函数
Figure BDA0002788220930000034
则音圈电机驱动快速反射镜的动力学模型改写为
Figure BDA0002788220930000035
采用RBF网络逼近方法，达到对
Figure BDA0002788220930000036
的高精度逼近，RBF网络算法为：
Figure BDA0002788220930000037
f＝WTh(z)+ε
其中，hj为神经网络隐含层第j个神经元的输出；f表示未知函数
Figure BDA0002788220930000038
z 为RBF神经网络的输入；i为网络的输入个数；j为网络隐含层第j个节点；exp(·)表示自然对数的底的幂次方；
Figure BDA0002788220930000039
为高斯函数的输出；h(z)为基于误差信息输入的高斯函数；cij为针对第i个输入的第j个隐层神经元的高斯基函数中心点的坐标；bj为隐含层神经元j的高斯基函数的宽度；W为网络的权值，WT表示网络权值矩阵的转置；ε为网络的逼近误差，||·||表示矩阵的范数；
设期望位置信号为θr，设定误差e和误差向量E分别为：
Figure BDA00027882209300000310
Figure BDA00027882209300000311
表示对误差e的一阶微分，RBF神经网络的输入z设定为
Figure BDA00027882209300000312
RBF神经网络的输出将逼近未知函数
Figure BDA00027882209300000313
记为
Figure BDA00027882209300000314
其中，
Figure BDA00027882209300000315
其中，h(z)为基于误差信息输入的高斯函数，
Figure BDA00027882209300000316
为理想权值W的估计；
设计误差收敛控制律，即输入电压信号满足：
Figure BDA00027882209300000317
误差收敛控制律由RBF神经网络、PD控制器、前馈控制器和比例放大器执行，
Figure BDA0002788220930000041
是由RBF神经网络在线实时逼近生成的电压信号；K＝[kp kd]T，kp、kd分别为PD控制器比例项和微分项的系数，KTE为以误差e和
Figure BDA0002788220930000042
为输入信号的PD控制器生成的电压信号；
Figure BDA0002788220930000043
表示对期望位置信号θr的二阶微分，由前馈控制器生成的电压信号；
Figure BDA0002788220930000044
项需设计，其值在比例放大器中生成；
误差满足以下状态方程：
Figure BDA0002788220930000045
其中，
Figure BDA0002788220930000046
为误差状态方程中的状态矩阵，
Figure BDA0002788220930000047
表示对矩阵E的微分，显然，当
Figure BDA0002788220930000048
时，
Figure BDA0002788220930000049
即 E＝exp(At)*E(0)，当矩阵A特征值具有负实部时，能保证误差指数收敛到0；其中，exp(·)表示自然对数的底的幂次方；t表示时间；E(0)表示初始时刻的E值，有界；
取最优网络权值W*，
Figure BDA00027882209300000410
其中，Ω为W的可行解集；sup|·|表示上确界，argmin[·]表示使得逼近误差最小时的取值；
则定义最优网络权值W*下的逼近误差ω为
Figure BDA00027882209300000411
误差状态方程改写为
Figure BDA00027882209300000412
进一步地，所述步骤S3的具体过程为：
设计李雅普诺夫函数V为：
Figure BDA00027882209300000413
γ为正常数，ξ为大于0的实系数，正定对称阵P满足以下李雅普诺夫方程：
ATP+PA＝-Q
其中，AT为矩阵A的转置矩阵，矩阵Q为正定对称矩阵；
李雅普诺夫函数V对时间t求导，得到
Figure BDA0002788220930000051
显然，RBF神经网络权值自适应律为
Figure BDA0002788220930000052
其中，γ为正常数，需设计；
控制系统中参数
Figure BDA0002788220930000053
的选取规则为：
Figure BDA0002788220930000054
由于
Figure BDA0002788220930000055
当RBF神经网络权值
Figure BDA0002788220930000056
实时更新时，RBF神经网络的输出
Figure BDA0002788220930000057
在线实时逼近未知函数
Figure BDA0002788220930000058
逼近误差ω足够小，
Figure BDA0002788220930000059
小于0，则能够通过设计参数
Figure BDA00027882209300000510
和权重
Figure BDA00027882209300000511
自适应调节保证整个闭环系统的稳定性和收敛性。
本发明的有益效果在于：
1.本发明的方法能够实现音圈电机驱动快速反射镜未能精准完全建模情况下的高精度自适应控制，同时还可以解决作动机构变形、疲劳等动力学性能退化情况下而产生的高精度保持问题，能够有效提高系统整体的控制效果与综合性能。
2.与传统PID控制方案相比，本发明的方法在考虑不能对被控对象精准完全建模的情况下，依据自适应算法更新合适的神经网络权值，实现对音圈电机驱动快速反射镜模型良好在线实时逼近，避免传统PID控制方案因未建模部分影响控制系统动态性能，相比PID控制确定不变的控制参数，本发明的方法能有效在线逼近系统参数，提升系统控制性能，并满足实时求解的需求。
3.本发明采用自适应控制方法，更适应作动机构动力学性能退化情况下的控制问题，能避免系统参数改变导致的高精度保持问题，也具有更好的抗干扰能力。
附图说明
为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例中所需要使用的附图作简单地介绍，通过参考附图会更加清楚的理解本发明的特征和优点，附图是示意性的而不应理解为对本发明进行任何限制，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，可以根据这些附图获得其他的附图。其中：
图1为本发明的考虑未完全建模的快速反射镜在线逼近自适应控制原理框图；
图2为本发明的考虑未完全建模的快速反射镜在线逼近自适应控制控制流程图；
图3为两轴音圈电机驱动快速反射镜简要结构图，每轴两音圈电机对称分布，两轴正交；
图4为音圈电机驱动快速反射镜工作原理图，其中，(a)为音圈电机未输入电压反射镜未偏转，(b)为音圈电机输入电压信号，同轴两音圈电机电压信号输入值互为相反数，从而实现一推一拉，反射镜偏转一定角度；
图5为音圈电机驱动快速反射镜偏摆位置输出θ与期望位置信号θr的跟踪效果图。
附图标号说明：
1-反射镜片；2-音圈电机；3-支承镜架；4-支承结构；5-支承转动中心。
具体实施方式
为了能够更清楚地理解本发明的上述目的、特征和优点，下面结合附图和具体实施方式对本发明进行进一步的详细描述。需要说明的是，在不冲突的情况下，本发明的实施例及实施例中的特征可以相互组合。
在下面的描述中阐述了很多具体细节以便于充分理解本发明，但是，本发明还可以采用其他不同于在此描述的其他方式来实施，因此，本发明的保护范围并不受下面公开的具体实施例的限制。
图1为本发明的考虑未完全建模的快速反射镜智能自适应控制原理框图，系统由误差收敛控制律(由前馈控制器、PD控制器、RBF神经网络和比例放大器四者执行)、音圈电机驱动快速反射镜模型(包括已建模部分和未建模部分)和自适应律等几部分组成。首先，音圈电机驱动的快速反射镜由初始控制器执行控制任务，与期望信号生成误差信号，误差信号输入到RBF神经网络和PD控制器，RBF神经网络在线实时逼近音圈电机驱动快速反射镜模型中的未知函数，同时自适应律更新RBF神经网络权值和控制器参数，再RBF神经网络逼近输出组合前馈控制器和PD控制器电压输出信号输出到比例放大器中，构成音圈电机驱动快速反射镜的输入信号，整体形成一个闭环系统，使得音圈电机驱动快速反射镜跟踪期望位置信号的误差收敛到0，以达到未能精准建模情况下结合RBF神经网络和自适应控制的高精度跟踪控制。
如图2-图4所示，一种考虑未完全建模的快速反射镜在线逼近自适应控制方法，包括以下步骤：
S1：建立音圈电机驱动快速反射镜的动力学模型；步骤S1的具体过程为：
在音圈电机等效电路和快速反射镜等效模型的基础上，依据动力学关系建立音圈电机驱动快速反射镜的动力学模型，拉氏变换下其传递函数为：
Figure BDA0002788220930000071
其中，θ为快速反射镜偏转角度，U为输入到音圈电机驱动快速反射镜的电压信号，Kt为电机转矩系数，R为音圈电机内部电枢电阻，J为负载及支承快速反射镜转动结构的转动惯量，me为支承结构与电机的等效质量，l为音圈电机与支承转动中心的距离，c为支承结构与电机的等效阻尼系数，Kb为音圈电机抗压降系数，K*为支撑结构在每个轴工作方向的刚度，s为拉氏变换中的复变量；本发明只考虑两轴四音圈电机轴对称安装情况下的两轴正交分布情况，故只考虑其中一轴两电机的智能自适应控制方法。
为方便表示模型阶数，将音圈电机驱动快速反射镜的动力学模型的传递函数改写为：
Figure BDA0002788220930000072
模型中的参数需经过实物测试而准确得知，每个音圈电机驱动快速反射镜的参数都会有差异，实际工程中也未必能准确得知，尤其所用音圈电机和/或快速反射镜零部件为购买时。为方便表示，令
Figure BDA0002788220930000073
其中，α1,α2,β均为正实数，则用以下微分方程描述音圈电机驱动快速反射镜的动力学模型：
Figure BDA0002788220930000074
其中，
Figure BDA0002788220930000075
表示快速反射镜偏转角速度，
Figure BDA0002788220930000076
表示快速反射镜偏转角加速度，α1,α2,β视为动力学参数，
Figure BDA0002788220930000081
为未建模部分。本发明中α2＝15，α1＝100，β＝120，未建模环节
Figure BDA0002788220930000082
S2：在逼近未完全建模的音圈电机驱动快速反射镜动力学模型的基础上设计误差收敛控制律；步骤S2的具体过程为：
根据步骤S1建立的动力学模型，令未知函数
Figure BDA0002788220930000083
则音圈电机驱动快速反射镜的动力学模型改写为
Figure BDA0002788220930000084
采用能良好逼近未知函数的RBF网络逼近方法，达到对
Figure BDA0002788220930000085
的高精度逼近，RBF网络算法为：
Figure BDA0002788220930000086
f＝WTh(z)+ε
其中，hj为神经网络隐含层第j个神经元的输出；f表示未知函数
Figure RE-GDA0002860241320000087
z 为RBF神经网络的输入；i为网络的输入个数；j为网络隐含层第j个节点；exp(·)表示自然对数的底的幂次方；h＝[h1,h2,…,hn]T为高斯函数的输出；h(z)为基于误差信息输入的高斯函数；cij为针对第i个输入的第j个隐层神经元的高斯基函数中心点的坐标；cj＝[cj1,…,cjn]为第j个隐层神经元的中心点矢量值；bj为隐含层神经元j的高斯基函数的宽度；W为网络的权值，WT表示网络权值矩阵的转置；ε为网络的逼近误差；||·||表示矩阵的范数；较佳地，选取RBF神经网络结构为：2个输入层，5 个隐含层和1和输出层，其中cj和bj值的设计应使高斯基函数在有效的输入映射范围内。
设期望位置信号为θr，设定误差e和误差向量E分别为：
e＝θr-θ,
Figure BDA0002788220930000089
Figure BDA00027882209300000810
表示对误差e的一阶微分，RBF神经网络的输入z设定为
Figure BDA00027882209300000811
RBF神经网络的输出将逼近未知函数
Figure BDA00027882209300000812
记为
Figure BDA00027882209300000813
其中，
Figure BDA00027882209300000814
其中，h(z)为基于误差信息输入的高斯函数，
Figure BDA0002788220930000091
为理想权值W的估计；设定期望位置信号为θr＝sint，高斯函数参数设置为bj＝2和cj＝[-1-0.500.51]，能保证高斯基函数在有效的输入映射范围内；RBF神经网络的初始权值
Figure BDA0002788220930000092
定为0。
设计误差收敛控制律，即输入电压信号满足：
Figure BDA0002788220930000093
误差收敛控制律由RBF神经网络、PD控制器、前馈控制器和比例放大器执行，
Figure BDA0002788220930000094
是由RBF神经网络在线实时逼近生成的电压信号；K＝[kp kd]T，kp、kd分别为PD控制器比例项和微分项的系数，KTE为以误差e和
Figure BDA0002788220930000095
为输入信号的PD控制器生成的电压信号；
Figure BDA0002788220930000096
表示对期望位置信号θr的二阶微分，由前馈控制器生成的电压信号；
Figure BDA0002788220930000097
项需设计，其值在比例放大器中生成；
误差满足以下状态方程：
Figure BDA0002788220930000098
其中，
Figure BDA0002788220930000099
为误差状态方程中的状态矩阵，
Figure BDA00027882209300000910
表示对矩阵E的微分，显然，当
Figure BDA00027882209300000911
时，
Figure BDA00027882209300000912
即 E＝exp(At)*E(0)，当矩阵A特征值具有负实部时，能保证误差指数收敛到0；其中，exp(·)表示自然对数的底的幂次方；t表示时间；E(0)表示初始时刻的E值，有界；较佳地，选取A＝[0,1；-20,-40]，矩阵A特征值为λ1＝-39.4936,λ2＝-0.5064，能保证跟踪误差指数收敛到0。
取最优网络权值W*，
Figure BDA00027882209300000913
其中，Ω为W的可行解集；sup|·|表示上确界，argmin[·]表示使得逼近误差最小时的取值；
则定义最优网络权值W*下的逼近误差ω为
Figure BDA00027882209300000914
误差状态方程改写为
Figure BDA0002788220930000101
S3：设计自适应律，在线更新RBF神经网络参数和控制律参数，在线逼近动力学模型，并证明系统稳定性。步骤S3的具体过程为：
设计李雅普诺夫函数V为：
Figure BDA0002788220930000102
γ为正常数，ξ为大于0的实系数，正定对称阵P满足以下李雅普诺夫方程：
ATP+PA＝-Q
其中，AT为矩阵A的转置矩阵，矩阵Q为正定对称矩阵，取为 Q＝[600,0；0,600]；
李雅普诺夫函数V对时间t求导，得到
Figure BDA0002788220930000103
显然，RBF神经网络权值自适应律为
Figure BDA0002788220930000104
即
Figure BDA0002788220930000105
其中，γ为正常数，取γ＝2000；初始权值
Figure BDA0002788220930000106
控制系统中参数
Figure BDA0002788220930000107
的选取规则为：
Figure BDA0002788220930000108
即
Figure BDA0002788220930000109
由于
Figure BDA00027882209300001010
当RBF神经网络权值
Figure BDA00027882209300001011
实时更新时，RBF神经网络的输出
Figure BDA00027882209300001012
在线实时逼近未知函数
Figure BDA00027882209300001013
逼近误差ω足够小，
Figure BDA00027882209300001014
小于0，则能够通过设计参数
Figure BDA00027882209300001015
和权重
Figure BDA00027882209300001016
自适应调节保证整个闭环系统的稳定性和收敛性。较佳地，为保证系统能够快速收敛，
Figure BDA00027882209300001017
的取值应尽可能逼近真实的β值，考虑未精准建模情况下，取
Figure BDA0002788220930000111
ξ取值为0.0002。
图5为根据上述参数的进行仿真，得到的音圈电机驱动快速反射镜偏摆位置输出θ与期望位置信号θr的跟踪效果图，如图所示，说明本发明的一种考虑未完全建模的快速反射镜在线逼近自适应控制方法跟踪效果良好。
以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种考虑未完全建模的快速反射镜在线逼近自适应控制方法，其特征在于，包括以下步骤：
S1：建立音圈电机驱动快速反射镜的动力学模型，具体过程为：
在音圈电机等效电路和快速反射镜等效模型的基础上，依据动力学关系建立音圈电机驱动快速反射镜的动力学模型，拉氏变换下其传递函数为：
Figure FDA0003200085470000011
其中，θ为快速反射镜偏转角度，U为输入到音圈电机驱动快速反射镜的电压信号，Kt为电机转矩系数，R为音圈电机内部电枢电阻，J为负载及支承快速反射镜转动结构的转动惯量，me为支承结构与电机的等效质量，l为音圈电机与支承转动中心的距离，c为支承结构与电机的等效阻尼系数，Kb为音圈电机抗压降系数，K*为支撑结构在每个轴工作方向的刚度，s为拉氏变换中的复变量；
为方便表示模型阶数，将音圈电机驱动快速反射镜的动力学模型的传递函数改写为：
Figure FDA0003200085470000012
模型中的参数需经过实物测试而准确得知，为方便表示，令
Figure FDA0003200085470000013
其中，α1,α2,β均为正实数，则用以下微分方程描述音圈电机驱动快速反射镜的动力学模型：
Figure FDA0003200085470000014
其中，
Figure FDA0003200085470000015
表示快速反射镜偏转角速度，
Figure FDA0003200085470000016
表示快速反射镜偏转角加速度，α1,α2,β视为动力学参数，
Figure FDA0003200085470000017
为未建模部分；
S2：在逼近未完全建模的音圈电机驱动快速反射镜动力学模型的基础上设计误差收敛控制律，具体过程为：
根据步骤S1建立的动力学模型，令未知函数
Figure FDA0003200085470000018
则音圈电机驱动快速反射镜的动力学模型改写为
Figure FDA0003200085470000021
采用RBF网络逼近方法，达到对
Figure FDA0003200085470000022
的高精度逼近，RBF网络算法为：
Figure FDA0003200085470000023
f＝WTh(z)+ε
其中，hj为神经网络隐含层第j个神经元的输出；f表示未知函数
Figure FDA0003200085470000024
z为RBF神经网络的输入；i为网络的输入个数；j为网络隐含层第j个节点；exp(·)表示自然对数的底的幂次方；h＝[h1,h2,…,hn]T为高斯函数的输出；h(z)为基于误差信息输入的高斯函数；cij为针对第i个输入的第j个隐层神经元的高斯基函数中心点的坐标；bj为隐含层神经元j的高斯基函数的宽度；W为网络的权值，WT表示网络权值矩阵的转置；ε为网络的逼近误差，||·||表示矩阵的范数；
设期望位置信号为θr，设定误差e和误差向量E分别为：
Figure FDA0003200085470000025
Figure FDA0003200085470000026
表示对误差e的一阶微分，RBF神经网络的输入z设定为
Figure FDA0003200085470000027
RBF神经网络的输出将逼近未知函数
Figure FDA0003200085470000028
记为
Figure FDA0003200085470000029
其中，
Figure FDA00032000854700000210
其中，h(z)为基于误差信息输入的高斯函数，
Figure FDA00032000854700000211
为理想权值W的估计；
设计误差收敛控制律，即输入电压信号满足：
Figure FDA00032000854700000212
误差收敛控制律由RBF神经网络、PD控制器、前馈控制器和比例放大器执行，
Figure FDA00032000854700000213
是由RBF神经网络在线实时逼近生成的电压信号；K＝[kp kd]T，kp、kd分别为PD控制器比例项和微分项的系数，KTE为以误差e和
Figure FDA00032000854700000214
为输入信号的PD控制器生成的电压信号；
Figure FDA00032000854700000215
表示对期望位置信号θr的二阶微分，由前馈控制器生成的电压信号；
Figure FDA00032000854700000216
项需设计，其值在比例放大器中生成；
误差满足以下状态方程：
Figure FDA0003200085470000031
其中，
Figure FDA0003200085470000032
为误差状态方程中的状态矩阵，
Figure FDA0003200085470000033
表示对矩阵E的微分，显然，当
Figure FDA0003200085470000034
Figure FDA0003200085470000035
时，
Figure FDA0003200085470000036
即E＝exp(At)*E(0)，当矩阵A特征值具有负实部时，能保证误差指数收敛到0；其中，exp(·)表示自然对数的底的幂次方；t表示时间；E(0)表示初始时刻的E值，有界；
取最优网络权值W*，
Figure FDA0003200085470000037
其中，Ω为W的可行解集；sup|·|表示上确界，argmin[·]表示使得逼近误差最小时的取值；
则定义最优网络权值W*下的逼近误差ω为
Figure FDA0003200085470000038
误差状态方程改写为
Figure FDA0003200085470000039
S3：设计自适应律，在线更新RBF神经网络参数和控制律参数，在线逼近动力学模型，并证明系统稳定性；具体过程为：
设计李雅普诺夫函数V为：
Figure FDA00032000854700000310
γ为正常数，ξ为大于0的实系数，正定对称阵P满足以下李雅普诺夫方程：
ATP+PA＝-Q
其中，AT为矩阵A的转置矩阵，矩阵Q为正定对称矩阵；
李雅普诺夫函数V对时间t求导，得到
Figure FDA00032000854700000311
Figure FDA00032000854700000312
显然，RBF神经网络权值自适应律为
Figure FDA00032000854700000313
其中，γ为正常数，需设计；
控制系统中参数
Figure FDA00032000854700000314
的选取规则为：
Figure FDA00032000854700000315
由于
Figure FDA0003200085470000041
当RBF神经网络权值
Figure FDA0003200085470000042
实时更新时，RBF神经网络的输出
Figure FDA0003200085470000043
在线实时逼近未知函数
Figure FDA0003200085470000044
逼近误差ω足够小，
Figure FDA0003200085470000045
小于0，则能够通过设计参数
Figure FDA0003200085470000046
和权重
Figure FDA0003200085470000047
自适应调节保证整个闭环系统的稳定性和收敛性。
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