CN112395711A - 一种内啮合齿轮副六自由度动力学模型建模方法 - Google Patents

Abstract

一种内啮合齿轮副六自由度动力学模型建模方法，该方法包括以下步骤：S1、计算从进入啮合区域开始第

对轮齿之间的摩擦力作用于外齿轮和内齿轮的力臂大小；S2、用矩形波的形式去逼近内啮合齿轮副的综合时变刚度；S3、确定内啮合齿轮副沿啮合线方向上的相对位移，并通过沿啮合线方向上的相对位移确定齿侧间隙函数、啮合力、摩擦力以及摩擦力矩；S4、对整个内啮合齿轮副系统进行能量分析，由自由运动的拉格朗日方程得到内啮合齿轮副的六自由度动力学微分方程组；S5、对六自由度动力学微分方程组进行优化以及无量纲化处理。本设计不仅准确度高，而且通用性好。

Description

一种内啮合齿轮副六自由度动力学模型建模方法

技术领域

本发明涉及机械系统可靠性工程技术领域，尤其涉及一种内啮合齿轮副六自由度动力学模型建模方法，主要适用于提高准确度与通用性。

背景技术

内啮合齿轮传动具有传动效率高、结构紧凑、工作可靠、使用寿命长等优点，被广泛应用于联轴器、齿轮泵以及行星齿轮减速器等领域。内啮合齿轮副在实际工作的过程中会产生振动噪声等一些问题，会影响机器的正常工作。齿轮传动的非线性振动问题一直是研究的热点问题，可以通过监测其振动信号来预测或者判断内啮合齿轮传动的故障，因此研究内啮合齿轮副的振动机理具有重要意义。

现有技术中，范磊等人建立了一种考虑齿面摩擦和齿侧间隙的内啮合齿轮轴减速器非线性动力学模型，该模型中只考虑了内、外齿轮转动的两个自由度，不仅忽略了内啮合齿轮传动过程中齿轮与输入轴、输出轴之间相对位移的自由度，而且忽略了当重叠系数大于1时齿轮副会存在多齿同时啮合的情况。因此，该模型不能准确地反映内啮合齿轮副的实际工况，且通用性较差。

发明内容

本发明的目的是克服现有技术中存在的准确度低、通用性差的缺陷与问题，提供一种准确度高、通用性好的内啮合齿轮副六自由度动力学模型建模方法。

为实现以上目的，本发明的技术解决方案是：一种内啮合齿轮副六自由度动力学模型建模方法，该方法包括以下步骤：

S1、计算从进入啮合区域开始第i对轮齿之间的摩擦力作用于外齿轮和内齿轮的力臂大小；

S2、用矩形波的形式去逼近内啮合齿轮副的综合时变刚度；

S3、确定内啮合齿轮副沿啮合线方向上的相对位移，并通过沿啮合线方向上的相对位移确定齿侧间隙函数、啮合力、摩擦力以及摩擦力矩；

S4、对整个内啮合齿轮副系统进行能量分析，由自由运动的拉格朗日方程得到内啮合齿轮副的六自由度动力学微分方程组；

S5、对六自由度动力学微分方程组进行优化以及无量纲化处理。

步骤S1具体包括以下步骤：

S11、建立六自由度内啮合齿轮副动力学模型图；

S12、建立六自由度内啮合齿轮副端面模型图；

S13、计算第i对轮齿从进入啮合区域开始经过时间t后移动的距离为：

S_i＝w₁r_b1[mod(t，T_m)+(i-1)T_m]；

其中，w₁为外齿轮的角速度；r_b1为外齿轮的基圆半径；T_m为啮合周期，

n₁为外齿轮的转速，z₁为外齿轮的齿数；mod()为取余函数；i＝1，2…n；

S14、计算第i对轮齿之间的摩擦力对外齿轮作用的力臂大小为：

L_i1＝N₁B₂+S_i；

其中，N₁为内外齿轮基圆公切线与外齿轮的交点；B₂为实际啮合线起点；r₁为外齿轮的分度圆半径；r₂为内齿轮的分度圆半径；α为分度圆压力角；r_a2为内齿轮的齿顶圆半径；r_b2为内齿轮的基圆半径；

计算第i对轮齿之间的摩擦力对内齿轮作用的力臂大小为：

L_i2＝N₂B₂+S_i；

其中，N₂为内外齿轮基圆公切线与内齿轮的交点。

步骤S11中，内啮合齿轮副动力学模型的建模条件为：

(1)内齿轮、外齿轮均为渐开线式圆柱直齿轮；

(2)内齿轮、外齿轮均不存在质量偏心；

(3)按照标准中心距安装；

(4)输入轴、输出轴均为非刚性体；

(5)只考虑齿面滑动摩擦而忽略滚动摩擦，各处的滑动摩擦系数相等且为常数；

(6)不考虑轴向力的影响；

(7)忽略加工误差和安装误差。

步骤S3中，内啮合齿轮副沿啮合线方向上的相对位移为：

δ＝r_b1θ₁-r_b2θ₂+y₁-y₂-e；

其中，r_b1为外齿轮的基圆半径；r_b2为内齿轮的基圆半径；θ₁为外齿轮的扭振振动角位移；θ₂为内齿轮的扭振振动角位移；y₁为外齿轮沿y方向的位移；y₂为内齿轮沿y方向的位移；e为综合静态误差；e_m为误差幅值；w_m为内啮合齿轮副啮合频率；

为误差初相位角。

步骤S3中，齿侧间隙函数为：

其中，b为齿侧间隙常数；

第i对轮齿之间的啮合力大小为：

其中，c_mi为第i对轮齿之间的啮合阻尼；

为内啮合齿轮副沿啮合线方向上的相对速度；k_mi为第i对轮齿之间的啮合刚度；

第i对轮齿之间的摩擦力为：

F_fi＝λ_iμF_mi；

其中，λ_i为第i对轮齿之间摩擦力的方向系数；μ为滑动摩擦系数；

其中，B₂P为实际啮合线起点B₂到节点P的距离；r₂为内齿轮的分度圆半径；α为分度圆压力角；l为实际啮合点B₁到实际啮合线起点B₂的长度；r_a1为外齿轮的齿顶圆半径；r_a2为内齿轮的齿顶圆半径；r_b2为内齿轮的基圆半径；

第i对轮齿之间的摩擦力对外齿轮、内齿轮的摩擦力矩为：

齿轮副的啮合力、摩擦力以及摩擦力矩分别为：

步骤S4中，对整个内啮合齿轮副系统进行能量分析得：

其中，T为动能；m₁为外齿轮的质量；m₂为内齿轮的质量；

为外齿轮沿x方向的速度；

为内齿轮沿x方向的速度；I₁为外齿轮的转动惯量；I₂为内齿轮的转动惯量；

为外齿轮的角速度；

为内齿轮的角速度；

为外齿轮沿y方向的速度；

为内齿轮沿y方向的速度；U为势能；k_1x为外齿轮支承刚度沿x方向的分量；k_2x为内齿轮支承刚度沿x方向的分量；x₁为外齿轮沿x方向的位移；x₂为内齿轮沿x方向的位移；k_1y为外齿轮支承刚度沿y方向的分量；k_2y为内齿轮支承刚度沿y方向的分量；y₁为外齿轮沿y方向的位移；y₂为内齿轮沿y方向的位移；k_nt为内齿轮的扭转刚度；θ₁为外齿轮扭振振动位移；θ₂为内齿轮扭振振动位移；D为耗散能；c_1x为外齿轮支承阻尼沿x方向的分量；c_2x为内齿轮支承阻尼沿x方向的分量；c_1y为外齿轮支承阻尼沿y方向的分量；c_2y为内齿轮支承阻尼沿y方向的分量；c_mt为外齿轮的扭转阻尼；

取广义坐标q_j＝[x₁，y₁，θ₁，x₂，y₂，θ₂]；

自由运动的拉格朗日方程为：

根据自由运动的拉格朗日方程，得到内啮合齿轮副六自由度动力学微分方程组为：

其中，

为外齿轮沿x方向的加速度；

为外齿轮沿y方向的加速度；

为外齿轮的角加速度；k_mt为外齿轮的扭转刚度；

为内齿轮沿x方向的加速度；

为内齿轮沿y方向的加速度；

为内齿轮的角加速度；c_nt为内齿轮的扭转阻尼；T₁为输入转矩；T₂为负载转矩。

步骤S5中，忽略扭转刚度和扭转阻尼，引入δ作为新的自由度，得到优化后的六自由度动力学微分方程组：

其中，

为内啮合齿轮副沿啮合线方向上的加速度；

为静态误差的加速度。

步骤S5中，引入无量纲时间τ＝w_et和位移标尺b_m，对优化后的六自由度动力学微分方程组进行无量纲化处理；

其中，

为齿轮当量啮合固有频率，k_m为齿轮副平均啮合刚度；

为齿轮副当量质量；

无量纲化后的六自由度动力学微分方程组整理成矩阵的形式为：

其中，X＝{x₁，y₁，x₂，y₂，f(δ)}^T为位移向量；

为X的一阶导；

为X的二阶导；F＝{0，0，0，0，f}^T为激励向量，f为广义力；M为系统的质量矩阵；C为系统的阻尼矩阵；K为系统的刚度矩阵；

与现有技术相比，本发明的有益效果为：

本发明一种内啮合齿轮副六自由度动力学模型建模方法中，不仅考虑了齿面摩擦、齿侧间隙、综合时变刚度等内部参数激励，而且考虑了静态综合误差的外部激励以及输入轴、输出轴非刚性体的影响因素，能够准确地反映内啮合齿轮副的实际工况，通用性好。因此，本发明准确度高、通用性好。

附图说明

图1是本发明一种内啮合齿轮副六自由度动力学模型建模方法的流程图。

图2是本发明中六自由度内啮合齿轮副动力学模型图。

图3是本发明中六自由度内啮合齿轮副端面模型图。

图4是图3中A的放大图。

图5是本发明中内啮合齿轮副等效时变刚度图。

图6是内外齿轮沿x方向的振动位移图。

图7是内外齿轮沿y方向的振动位移图。

图8是内外齿轮沿啮合线方向的振动位移图。

图9是内啮合齿轮副系统的相平面图。

图6、图7中：1表示外齿轮、2表示内齿轮。

具体实施方式

以下结合附图说明和具体实施方式对本发明作进一步详细的说明。

参见图1，一种内啮合齿轮副六自由度动力学模型建模方法，该方法包括以下步骤：

S1、计算从进入啮合区域开始第i对轮齿之间的摩擦力作用于外齿轮和内齿轮的力臂大小；具体包括以下步骤：

S11、建立六自由度内啮合齿轮副动力学模型图(如图2所示)；

内啮合齿轮副动力学模型的建模条件为：

(1)内齿轮、外齿轮均为渐开线式圆柱直齿轮；

(2)内齿轮、外齿轮均不存在质量偏心；

(3)按照标准中心距安装；

(4)输入轴、输出轴均为非刚性体，即齿轮与轴之间存在刚度与阻尼以及扭转刚度与扭转阻尼；

(5)只考虑齿面滑动摩擦而忽略滚动摩擦，各处的滑动摩擦系数相等且为常数；

(6)不考虑轴向力的影响；

(7)忽略加工误差和安装误差；

S12、建立六自由度内啮合齿轮副端面模型图(如图3、图4所示)；

S13、计算第i对轮齿从进入啮合区域开始经过时间t后移动的距离为：

S_i＝w₁r_b1[mod(t，T_m)+(i-1)T_m]；

其中，w₁为外齿轮的角速度；r_b1为外齿轮的基圆半径；T_m为啮合周期，

n₁为外齿轮的转速，Z₁为外齿轮的齿数；mod()为取余函数；i＝1，2…n；

S14、计算第i对轮齿之间的摩擦力对外齿轮作用的力臂大小为：

L_i1＝N₁B₂+S_i；

其中，N₁为内外齿轮基圆公切线与外齿轮的交点；B₂为实际啮合线起点；r₁为外齿轮的分度圆半径；r₂为内齿轮的分度圆半径；α为分度圆压力角(一般取20°)；r_a2为内齿轮的齿顶圆半径；r_b2为内齿轮的基圆半径；

计算第i对轮齿之间的摩擦力对内齿轮作用的力臂大小为：

L_i2＝N₂B₂+S_i；

其中，N₂为内外齿轮基圆公切线与内齿轮的交点；

S2、用矩形波的形式去逼近内啮合齿轮副的综合时变刚度；

在重叠系数大于1时，内啮合直齿轮副在啮合过程中，存在单双齿交替啮合的现象，导致齿轮副的刚度呈现周期性的变化；为简单计，使用矩形波(如图5所示)去逼近内啮合齿轮副的综合时变刚度；

假设齿轮副单对齿啮合时的啮合刚度为恒定值k_1m，由于同时啮合的两对齿啮合状态不一样，另一对啮合轮齿的啮合刚度为k_2m，故两对齿同时啮合的啮合刚度为k_1m+k_2m；

S3、确定内啮合齿轮副沿啮合线方向上的相对位移，并通过沿啮合线方向上的相对位移确定齿侧间隙函数、啮合力、摩擦力以及摩擦力矩；

内啮合齿轮副沿啮合线方向上的相对位移为：

δ＝r_b1θ₁-r_b2θ₂+y₁-y₂-e；

其中，r_b1为外齿轮的基圆半径；r_b2为内齿轮的基圆半径；θ₁为外齿轮的扭振振动角位移；θ₂为内齿轮的扭振振动角位移；y₁为外齿轮沿y方向的位移；y₂为内齿轮沿y方向的位移；e为综合静态误差；e_m为误差幅值；w_m为内啮合齿轮副啮合频率；

为误差初相位角；

齿侧间隙函数为：

其中，b为齿侧间隙常数；

第i对轮齿之间的啮合力大小为：

其中，c_mi为第i对轮齿之间的啮合阻尼；

为内啮合齿轮副沿啮合线方向上的相对速度；k_mi为第i对轮齿之间的啮合刚度；

第i对轮齿之间的摩擦力为：

F_fi＝λ_iμF_mi；

其中，λ_i为第i对轮齿之间摩擦力的方向系数；μ为滑动摩擦系数；

其中，B₂P为实际啮合线起点B₂到节点P的距离；r₂为内齿轮的分度圆半径；α为分度圆压力角；l为实际啮合点B₁到实际啮合线起点B₂的长度；r_a1为外齿轮的齿顶圆半径；r_a2为内齿轮的齿顶圆半径；r_b2为内齿轮的基圆半径；

第i对轮齿之间的摩擦力对外齿轮、内齿轮的摩擦力矩为：

考虑到在重叠系数大于1的情况下，轮齿会有多对齿同时啮合的情况，故齿轮副的啮合力、摩擦力以及摩擦力矩分别为：

S4、对整个内啮合齿轮副系统进行能量分析，由自由运动的拉格朗日方程得到内啮合齿轮副的六自由度动力学微分方程组；

对整个内啮合齿轮副系统进行能量分析得：

其中，T为动能；m₁为外齿轮的质量；m₂为内齿轮的质量；

为外齿轮沿x方向的速度；

为内齿轮沿x方向的速度；I₁为外齿轮的转动惯量；I₂为内齿轮的转动惯量；

为外齿轮的角速度；

为内齿轮的角速度；

为外齿轮沿y方向的速度；

为内齿轮沿y方向的速度；U为势能；k_1x为外齿轮支承刚度沿x方向的分量；k_2x为内齿轮支承刚度沿x方向的分量；x₁为外齿轮沿x方向的位移；x₂为内齿轮沿x方向的位移；k_1y为外齿轮支承刚度沿y方向的分量；k_2y为内齿轮支承刚度沿y方向的分量；y₁为外齿轮沿y方向的位移；y₂为内齿轮沿y方向的位移；k_nt为内齿轮的扭转刚度；θ₁为外齿轮扭振振动位移；θ₂为内齿轮扭振振动位移；D为耗散能；c_1x为外齿轮支承阻尼沿x方向的分量；c_2x为内齿轮支承阻尼沿x方向的分量；c_1y为外齿轮支承阻尼沿y方向的分量；c_2y为内齿轮支承阻尼沿y方向的分量；c_mt为外齿轮的扭转阻尼；

取广义坐标q_j＝[x₁，y₁，θ₁，x₂，y₂，θ₂]；

自由运动的拉格朗日方程为：

根据自由运动的拉格朗日方程，得到内啮合齿轮副六自由度动力学微分方程组为：

其中，

为外齿轮沿x方向的加速度；

为外齿轮沿y方向的加速度；

为外齿轮的角加速度；k_mt为外齿轮的扭转刚度；

为内齿轮沿x方向的加速度；

为内齿轮沿y方向的加速度；

为内齿轮的角加速度；c_nt为内齿轮的扭转阻尼；T₁为输入转矩；T₂为负载转矩；

S5、对六自由度动力学微分方程组进行优化以及无量纲化处理；

内啮合齿轮副在实际工作过程中可以忽略扭转刚度和扭转阻尼，由于齿侧间隙函数的存在使得系统处于半正定状态，引入δ作为新的自由度，得到优化后的六自由度动力学微分方程组：

其中，

为内啮合齿轮副沿啮合线方向上的加速度；

为静态误差的加速度；

由于方程组中各个系统数值量级相差较大，要对六自由度动力学微分方程组进行无量纲化处理；引入无量纲时间τ＝w_et和位移标尺b_m，对优化后的六自由度动力学微分方程组进行无量纲化处理；

其中，

为齿轮当量啮合固有频率，k_m为齿轮副平均啮合刚度；

为齿轮副当量质量；

无量纲化后的六自由度动力学微分方程组整理成矩阵的形式为：

其中，X＝{x₁，y₁，x₂，y₂，f(δ)}^T为位移向量；

为X的一阶导；

为X的二阶导；F＝{0，0，0，0，f}^T为激励向量，f为广义力；M为系统的质量矩阵；C为系统的阻尼矩阵；K为系统的刚度矩阵；

选取一组系统参数，运用Runge-Kutta法进行数值求解，对系统的动力学特性进行分析，系统参数如下所示：

模数m＝2；齿数z₁＝45，z₂＝90；摩擦系数μ＝0.1；输入转矩T₁＝100N·m；负载转矩T₂＝200N·m；支承刚度k_1x＝k_1y＝k_2x＝k_2y＝3×10⁸kg/m²；支承阻尼c_1x＝c_1y＝c_2x＝c_2y＝1×10^-4kg/s；材料密度ρ＝7.83×10³kg/m³；单齿综合啮合刚度k_m1＝k_m2＝5×10⁸N/m；单齿综合啮合阻尼c_m1＝c_m2＝3×10^-4N/(m/s)；主从动齿轮质量m₁＝0.8kg，m₂＝0.5kg；压力角α＝20°；主从动齿轮的转动惯量I₁＝9.79×10^-4kg·m²，I₂＝3.8×10^-3kg·m²；误差幅值e_m＝20μm；

通过上述数值计算可以得到图6所示内外齿轮沿x方向的振动位移图、图7所示内外齿轮沿y方向的振动位移图、图8所示内外齿轮沿啮合线方向的振动位移图、图9所示内啮合齿轮副系统的相平面图；从图6至图8中可以看出，内外齿轮沿x、y以及啮合线方向的振动位移具有周期性，沿y方向的振动位移幅值最大，沿啮合线方向的振动位移幅值次之，沿x方向的振动位移幅值最小；从图9可以看出，内啮合齿轮副系统在实例选定参数下的状态为准周期状态。

Claims (8)

1.一种内啮合齿轮副六自由度动力学模型建模方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

S1、计算从进入啮合区域开始第i对轮齿之间的摩擦力作用于外齿轮和内齿轮的力臂大小；

S2、用矩形波的形式去逼近内啮合齿轮副的综合时变刚度；

S3、确定内啮合齿轮副沿啮合线方向上的相对位移，并通过沿啮合线方向上的相对位移确定齿侧间隙函数、啮合力、摩擦力以及摩擦力矩；

S4、对整个内啮合齿轮副系统进行能量分析，由自由运动的拉格朗日方程得到内啮合齿轮副的六自由度动力学微分方程组；

S5、对六自由度动力学微分方程组进行优化以及无量纲化处理。

2.根据权利要求1所述的一种内啮合齿轮副六自由度动力学模型建模方法，其特征在于：

步骤S1具体包括以下步骤：

S11、建立六自由度内啮合齿轮副动力学模型图；

S12、建立六自由度内啮合齿轮副端面模型图；

S13、计算第i对轮齿从进入啮合区域开始经过时间t后移动的距离为：

S_i＝w₁r_b1[mod(t，T_m)+(i-1)T_m]；

其中，w₁为外齿轮的角速度；r_b1为外齿轮的基圆半径；T_m为啮合周期，

n₁为外齿轮的转速，Z₁为外齿轮的齿数；mod()为取余函数；i＝1，2…n；

S14、计算第i对轮齿之间的摩擦力对外齿轮作用的力臂大小为：

L_i1＝N₁B₂+S_i；

其中，N₁为内外齿轮基圆公切线与外齿轮的交点；B₂为实际啮合线起点；r₁为外齿轮的分度圆半径；r₂为内齿轮的分度圆半径；α为分度圆压力角；r_a2为内齿轮的齿顶圆半径；r_b2为内齿轮的基圆半径；

计算第i对轮齿之间的摩擦力对内齿轮作用的力臂大小为：

L_i2＝N₂B₂+S_i；

其中，N₂为内外齿轮基圆公切线与内齿轮的交点。

3.根据权利要求2所述的一种内啮合齿轮副六自由度动力学模型建模方法，其特征在于：

步骤S11中，内啮合齿轮副动力学模型的建模条件为：

(1)内齿轮、外齿轮均为渐开线式圆柱直齿轮；

(2)内齿轮、外齿轮均不存在质量偏心；

(3)按照标准中心距安装；

(4)输入轴、输出轴均为非刚性体；

(5)只考虑齿面滑动摩擦而忽略滚动摩擦，各处的滑动摩擦系数相等且为常数；

(6)不考虑轴向力的影响；

(7)忽略加工误差和安装误差。

4.根据权利要求3所述的一种内啮合齿轮副六自由度动力学模型建模方法，其特征在于：

步骤S3中，内啮合齿轮副沿啮合线方向上的相对位移为：

δ＝r_b1θ₁-r_b2θ₂+y₁-y₂-e；

其中，γ_b1为外齿轮的基圆半径；r_b2为内齿轮的基圆半径；θ₁为外齿轮的扭振振动角位移；θ₂为内齿轮的扭振振动角位移；y₁为外齿轮沿y方向的位移；y₂为内齿轮沿y方向的位移；e为综合静态误差；e_m为误差幅值；w_m为内啮合齿轮副啮合频率；

为误差初相位角。

5.根据权利要求4所述的一种内啮合齿轮副六自由度动力学模型建模方法，其特征在于：

步骤S3中，齿侧间隙函数为：

其中，b为齿侧间隙常数；

第i对轮齿之间的啮合力大小为：

其中，c_mi为第i对轮齿之间的啮合阻尼；

为内啮合齿轮副沿啮合线方向上的相对速度；k_mi为第i对轮齿之间的啮合刚度；

第i对轮齿之间的摩擦力为：

F_fi＝λ_iμF_mi；

其中，λ_i为第i对轮齿之间摩擦力的方向系数；μ为滑动摩擦系数；

其中，B₂P为实际啮合线起点B₂到节点P的距离；r₂为内齿轮的分度圆半径；α为分度圆压力角；l为实际啮合点B₁到实际啮合线起点B₂的长度；r_a1为外齿轮的齿顶圆半径；r_a2为内齿轮的齿顶圆半径；r_b2为内齿轮的基圆半径；

第i对轮齿之间的摩擦力对外齿轮、内齿轮的摩擦力矩为：

齿轮副的啮合力、摩擦力以及摩擦力矩分别为：

6.根据权利要求5所述的一种内啮合齿轮副六自由度动力学模型建模方法，其特征在于：

步骤S4中，对整个内啮合齿轮副系统进行能量分析得：

其中，T为动能；m₁为外齿轮的质量；m₂为内齿轮的质量；

为外齿轮沿x方向的速度；

为内齿轮沿x方向的速度；I₁为外齿轮的转动惯量；I₂为内齿轮的转动惯量；

为外齿轮的角速度；

为内齿轮的角速度；

为外齿轮沿y方向的速度；

为内齿轮沿y方向的速度；U为势能；k_1x为外齿轮支承刚度沿x方向的分量；k_2x为内齿轮支承刚度沿x方向的分量；x₁为外齿轮沿x方向的位移；x₂为内齿轮沿x方向的位移；k_1y为外齿轮支承刚度沿y方向的分量；k_2y为内齿轮支承刚度沿y方向的分量；y₁为外齿轮沿y方向的位移；y₂为内齿轮沿y方向的位移；k_nt为内齿轮的扭转刚度；θ₁为外齿轮扭振振动位移；θ₂为内齿轮扭振振动位移；D为耗散能；c_1x为外齿轮支承阻尼沿x方向的分量；c_2x为内齿轮支承阻尼沿x方向的分量；c_1y为外齿轮支承阻尼沿y方向的分量；c_2y为内齿轮支承阻尼沿y方向的分量；c_mt为外齿轮的扭转阻尼；

取广义坐标q_j＝[x₁，y₁，θ₁，x₂，y₂，θ₂]；

自由运动的拉格朗日方程为：

根据自由运动的拉格朗日方程，得到内啮合齿轮副六自由度动力学微分方程组为：

其中，

为外齿轮沿x方向的加速度；

为外齿轮沿y方向的加速度；

为外齿轮的角加速度；k_mt为外齿轮的扭转刚度；

为内齿轮沿x方向的加速度；

为内齿轮沿y方向的加速度；

为内齿轮的角加速度；c_nt为内齿轮的扭转阻尼；T₁为输入转矩；T₂为负载转矩。

7.根据权利要求6所述的一种内啮合齿轮副六自由度动力学模型建模方法，其特征在于：

步骤S5中，忽略扭转刚度和扭转阻尼，引入δ作为新的自由度，得到优化后的六自由度动力学微分方程组：

其中，

为内啮合齿轮副沿啮合线方向上的加速度；

为静态误差的加速度。

8.根据权利要求7所述的一种内啮合齿轮副六自由度动力学模型建模方法，其特征在于：

步骤S5中，引入无量纲时间τ＝w_et和位移标尺b_m，对优化后的六自由度动力学微分方程组进行无量纲化处理；

其中，

为齿轮当量啮合固有频率，k_m为齿轮副平均啮合刚度；

为齿轮副当量质量；

无量纲化后的六自由度动力学微分方程组整理成矩阵的形式为：

其中，X＝{x₁，y₁，x₂，y₂，f(δ)}^T为位移向量；

为X的一阶导；

为X的二阶导；F＝{0，0，0，0，f}^T为激励向量，f为广义力；M为系统的质量矩阵；C为系统的阻尼矩阵；K为系统的刚度矩阵；

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