CN112395700A - 一种代理模型驱动的梯度点阵夹层结构优化方法 - Google Patents

一种代理模型驱动的梯度点阵夹层结构优化方法 Download PDF

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CN112395700A CN202011248594.XA CN202011248594A CN112395700A CN 112395700 A CN112395700 A CN 112395700A CN 202011248594 A CN202011248594 A CN 202011248594A CN 112395700 A CN112395700 A CN 112395700A
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Abstract

本发明属于结构优化相关技术领域，其公开了一种代理模型驱动的梯度点阵夹层结构优化方法，所述方法包括以下步骤：(a)基于水平集函数构建原型点阵和样本点阵，计算样本点阵的弹性张量并将其用于搭建代理模型以用于预测点阵单元力学属性；(b)基于所述代理模型采用变厚度法优化各个切片层的密度，并根据优化后的切片层密度分布确定夹层结构的上面板、中间夹芯和下面板的厚度；(c)基于所述代理模型采用自由材料优化模型优化夹芯层内点阵单元的密度分布；(d)基于夹芯层内点阵单元的相对密度对其进行形状插值，以获取夹芯层内梯度点阵的具体构型，实现拓扑优化过程，提升夹层结构的力学性能。

Description

一种代理模型驱动的梯度点阵夹层结构优化方法
技术领域
本发明属于结构优化相关技术领域，更具体地，涉及一种代理模型驱动的梯度点阵夹层结构优化方法。
背景技术
夹层结构具有众多优异的性能，如超轻质、高比弯曲刚度/强度、高效吸收冲击能量、优异的声学和热学特性，广泛应用于航空航天、生物医学、建筑工程等相关结构设计领域。多尺度拓扑优化是一种有效的夹层设计方法，它能够高效地利用夹层结构的材料，使得夹层结构在给定的载荷条件下具有较低的质量和较好的力学性能。具有梯度点阵夹芯的夹层结构拓扑优化设计方法能充分发掘夹层结构上、下面板厚度分布，以及梯度点阵微结构的设计潜能，以最少的材料用量实现夹层结构的最佳性能。
针对点阵夹层结构的拓扑优化，本领域相关技术人员已做了一些研究，如文献1：“G.D.Xu,J.J.Zhai,Z.Tao,Z.H.Wang,C.Su,D.N.Fang,Response of composite sandwichbeams with graded lattice core,Composite Structures,119(2015)666-676.”公开了一种具有梯度点阵夹芯的夹层结构，该夹层结构的夹芯性能在长度方向上逐渐变化，能够更好地适应不同的加载条件。然该方法仅考虑了夹芯结构的拓扑优化而未考虑夹层结构的上、下面板优化。如文献2：“A.Catapano and M.Montemurro,A multi-scale approach forthe optimum design of sandwich plates with honeycomb core,CompositeStructures,118(2014)664-690.”公开了一种夹层结构的多尺度优化设计策略，既考虑了夹层结构夹芯层单元构型和面板层的细观尺度优化，又考虑了整个夹层结构的宏观尺度优化，该策略虽然使用多尺度拓扑优化方法较为全面地优化了夹层结构，但是该优化方的计算代价是非常高昂的，导致该策略难以在大规模工程问题中应用。
因此，以较低的计算代价，在同时考虑夹层结构的上、下面板厚度优化、以及中间夹芯点阵微结构分布优化的情况下，设计具有梯度点阵夹芯的夹层结构，以充分发掘夹层结构的设计空间，最大限度提升夹层结构的性能，使得针对夹层结构的多尺度优化方法可以很方便地应用到大规模工程问题中，是当前亟待解决的研究热点问题。
发明内容
针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种代理模型驱动的梯度点阵夹层结构优化设计方法，所述设计方法基于水平集函数定义原型点阵，并使用形状插值技术插值原型点阵的水平集函数以获得样本点阵，在使用均匀化方法计算样本点阵的等效弹性张量的基础上搭建Kriging代理模型，该代理模型将用于在优化迭代过程中基于各点阵单元的密度值获取其力学属性，在面板厚度优化阶段将夹层结构进行切片化处理，采用变厚度法优化各切片层的密度进而确定夹层结构的上、下面板厚度，在夹芯层优化阶段采用自由材料优化模型优化夹芯层内各点阵单元的密度值，最后采用形状插值技术对优化后的各单元进行插值以获得所有点阵单元的微结构构型，实现拓扑优化过程，由此以较低的计算成本充分发掘夹层结构的多尺度设计空间，同时保证夹层结构的中间夹芯所含点阵微结构之间的连接性，充分发挥材料潜能，提升夹层结构的力学性能。
为实现上述目的，按照本发明的一个方面，提供了一种代理模型驱动的梯度点阵夹层结构优化设计方法，所述方法包括以下步骤：
(a)使用水平集函数描述点阵微结构的拓扑构型并确定原型点阵，以该原型点阵为基础使用形状插值技术获得样本点阵，基于所述样本点阵的水平集函数使用均匀化方法求得样本点阵的弹性张量，并根据所述样本点阵的相对密度和弹性张量搭建预测点阵单元力学属性的代理模型；
(b)将待优化的夹层结构设定为初始夹层结构并将其进行切片化处理为若干切片层，基于所述代理模型采用变厚度法优化该夹层结构的各个切片层的密度，并根据优化后的各个所述切片层的密度分布，确定初始夹层结构的上面板、中间夹芯和下面板的厚度，同时获取中间夹芯层实体结构的体积所占夹层结构的体积率；
(c)将步骤(b)得到的夹层结构使用有限元方法离散为若干单元，基于步骤(b)得到的中间夹芯层实体结构的体积所占夹层结构的体积率及所述代理模型，采用自由材料优化模型优化夹层结构的夹芯层内各点阵单元的密度；
(d)根据步骤(c)得到的优化后的夹芯层内所有点阵单元的密度值，基于步骤(a)得到的原型点阵的水平集函数，使用形状插值技术对所有点阵单元进行形状插值，以获取夹层结构的夹芯层内梯度点阵的具体构型，实现拓扑优化过程。
进一步地，点阵的类型为体心立方点阵，其包含四根桁架，所述体心立方点阵的水平集函数为：
Figure BDA0002770848620000031
其中，φs(x)＝max(φi)，φi＝φ3D,i(x)，i＝1,2,3,4.φ3D,i是所述四根桁架的水平集函数，x表示在空间D内的点的坐标，D是一个固定的欧拉参考空间，
Figure BDA0002770848620000033
表示所述体心立方点阵的结构边界，Ωs是所述体心立方点阵所占据的空间，Ωs满足Ωs＝Ω1∪Ω2∪Ω3∪Ω4，Ω1,Ω2,Ω3,Ω4分别是四根桁架所占据的空间。
进一步地，所述体心立方点阵中一根桁架的水平集函数为：
Figure BDA0002770848620000032
φ3D(x)＝max(φ3D,c(x,y,z),φ3D,s1(x,y,z),φ3D,s2(x,y,z)),
φ3D,c(x,y,z)＝min(φ3D,c1(x,y,z),φ3D,c2(x,y,z)),
φ3D,c1(x,y,z)＝(L3D/2)2-(cosθ3D·Ld)2,φ3D,c2(x,y,z)＝(t3D/2)2-(sinθ3D·Ld)2,
Figure BDA0002770848620000041
dx2＝x2-x0,dy2＝y2-y0,dz2＝z2-z0,dx＝x-x0,dy＝y-y0,dz＝z-z0,
Figure BDA0002770848620000042
φ3D,s1(x,y,z)＝(t3D/2)2-(x-x1)2+(y-y1)2+(z-z1)2,
φ3D,s2(x,y,z)＝(t3D/2)2-(x-x2)2+(y-y2)2+(z-z2)2
其中，D是一个固定的欧拉参考空间，x表示在空间D内的点的坐标，
Figure BDA0002770848620000044
表示所述一根桁架的结构边界，Ω是所述一根桁架所占据的空间，φ3D,c(x,y,z)、φ3D,s1(x,y,z)和φ3D,s2(x,y,z)分别表示一根桁架所包含的一个圆柱体、两个球体的水平集函数、所述两个球体的球心与所述圆柱体的两个底面的圆心相互重合，(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)分别表示所述两个球体的球心坐标，(x0,y0,z0)表示所述两个球心连线的中点坐标，t3D和L3D分别表示所述圆柱体底面的直径和圆柱体的长度。
进一步地，所述代理模型为Kriging代理模型；所述样本点阵的数量为50个，且样本点阵的等效密度呈等差数列，所述样本点阵的密度值范围为[0.01，1]。
进一步地，采用变厚度法优化各切片层的密度值的模型为：
Find：
Figure BDA0002770848620000043
Minimize：C(ρLA)＝FTU＝UTKU
Subject to：
Figure BDA0002770848620000045
F＝KU，
Figure BDA0002770848620000046
其中，
Figure BDA0002770848620000051
为切片层相对密度的设计变量，一个切片层内的所有单元的密度值保持一致，NZ表示该夹层结构包含切片层的数量，C是所述夹层结构的结构柔度，G表示该夹层结构材料体积率约束，V0是所述一个切片层的体积，F和U分别表示夹层结构所承受的外部力矢量和结构内部节点的位移矢量，K表示结构刚度矩阵，ΩLA表示该夹层结构所包含的总的设计域，
Figure BDA0002770848620000052
表示允许的夹层结构的实体部分所占设计域的最大体积率，ρmax＝1和ρmin＝0.01分别表示设计变量
Figure BDA0002770848620000053
取值的上下边界。
进一步地，采用变厚度法优化各个所述切片层的密度时，计算点阵单元的刚度矩阵时所用到的弹性张量是由Kriging代理模型预测得到的。
进一步地，采用自由材料优化模型优化所述夹层结构的夹芯层内各点阵单元的密度分布的模型为：
Find：
Figure BDA0002770848620000054
Minimize：C(ρMA)＝FTU＝UTKU
Subject to：
Figure BDA0002770848620000058
F＝KU，
Figure BDA0002770848620000059
其中，
Figure BDA0002770848620000055
为所述夹芯层内一个单元相对密度的设计变量，NS表示所述夹芯层内单元的数量，C是所述夹层结构的结构柔度，F和U分别表示结构所承受的外部力矢量和结构内部节点的位移矢量，K表示结构刚度矩阵，GS表示该夹层结构的夹芯层材料体积率约束，V1是所述夹芯层内一个单元的体积，ΩBCL表示该夹层结构的夹芯层所包含的总的设计域，
Figure BDA0002770848620000056
表示允许的所述夹芯层的实体部分所占设计域的最大体积率，ρmax＝1和ρmin＝0.01分别表示设计变量
Figure BDA0002770848620000057
取值的上下边界。
进一步地，使用自由材料优化模型优化所述夹层结构的夹芯层内各单元的密度分布时，计算单元的刚度矩阵时所用到的弹性张量是由Kriging代理模型预测得到的。
进一步地，形状插值技术对应的模型为：
Figure BDA0002770848620000061
其中，φe是希望获得的梯度点阵的水平集函数，φpro是所述原型点阵的水平集函数，
Figure BDA0002770848620000062
是插值系数矩阵，
Figure BDA0002770848620000063
的取值范围为
Figure BDA0002770848620000064
Figure BDA0002770848620000065
的值可以通过二分法计算得到。
进一步地，将等效密度值为0.01的点阵作为原型点阵，使用均匀化方法求解样本点阵的等效弹性张量。
总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，本发明提供的代理模型驱动的梯度点阵夹层结构优化方法主要具有以下有益效果：
1.本发明实现了夹层结构上、下面板厚度，点阵微结构在夹芯层内分布的同时优化，最大限度地发挥了材料潜力，充分提升了夹层结构的力学性能。
2.本发明由于采用了体心立方点阵作为原型点阵，并以原型点阵为基础通过形状插值获得一系列的梯度点阵，所有梯度点阵均基于原型点阵插值获得，保证了梯度点阵具有相似的拓扑构型，从而保证了夹芯层内部的梯度点阵微结构具有较好的连接性。
3.本发明由于采用Kriging代理模型预测具有不同等效密度的点阵微结构的等效力学属性，避免了在优化迭代过程中使用耗时的均匀化方法评估点阵微结构的等效力学属性所带来的高昂计算成本，大大降低了优化梯度点阵在夹层结构内的分布所需计算成本。
4.本发明由于在进行结构优化前构建了代理模型来提供优化过程所需的点阵微结构力学性能的相关数据，且代理模型的构建是在迭代循环外部，代理模型的构建过程在优化历程中只执行了一次，使得在迭代优化梯度点阵的分布时不再需要获得梯度点阵的构型而只需要知晓其相对密度值即可获得其等效弹性张量，大大降低了在优化过程中对夹层结构进行有限元分析的计算成本。
5.本发明由于在迭代收敛后，基于点阵单元的相对密度值通过形状插值技术得到梯度点阵的具体构型，使得优化迭代过程仅涉及梯度点阵相对密度值的优化，耗时的点阵微结构构型计算演化过程在整个优化历程中仅需要执行一次，大大降低了对夹层结构进行多尺度拓扑优化的计算成本。
6.本发明提供的一种具有梯度点阵夹芯的夹层结构拓扑优化设计方法，实现了夹层结构的上、下面板厚度及中间夹芯内点阵微结构分布的联合优化，不仅在大大减少了计算成本的基础上保证了微结构之间的连接性，也极大地扩展了夹层结构的设计空间，能有效提升夹层结构的力学性能。
附图说明
图1是本发明实施例1所构建的一种代理模型驱动的梯度点阵夹层结构优化方法的流程图；
图2是本发明所构建的体心立方点阵微结构的构型示意图；
图3是本发明所构建的体心立方点阵中一根桁架所包含的一个圆柱体、两个球体之间的几何关系示意图；
图4是本发明所构建的以体心立方点阵作为原型点阵得到的样本点阵的等效密度及其对应的等效弹性张量示意图；
图5是本发明所构建的夹层结构设计域、载荷及边界条件示意图；
图6是本发明所构建的图5中夹层结构的上面板、下面板厚度优化及中间夹芯中的梯度点阵布局优化后的示意图；
图7是本发明所构建的图5中夹层结构自上而下的第四个切片层优化后的梯度点阵结构示意图；
图8是本发明所构建的图5中夹层结构优化得到的隐藏上面板后夹层结构示意图；
图9是本发明所构建的图5中夹层结构优化得到的梯度点阵夹层结构示意图。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。
本发明提供的代理模型驱动的梯度点阵夹层结构优化方法主要包括以下步骤：
(a)使用水平集函数描述点阵微结构的拓扑构型并确定原型点阵，以该原型点阵为基础使用形状插值技术获得样本点阵，基于所述样本点阵的水平集函数使用均匀化方法求得样本点阵的弹性张量，并根据所述样本点阵的相对密度和弹性张量搭建预测点阵单元力学属性的代理模型。
使用水平集函数描述点阵微结构的拓扑构型，并将等效密度值为0.01的点阵作为原型点阵，并以该原型点阵为基础使用形状插值技术获得一系列的样本点阵，使用均匀化方法求解样本点阵的弹性张量，并根据所述样本点阵的相对密度和弹性张量搭建预测点阵单元力学属性的代理模型，从而完成代理模型的构建。
本实施方式中，所述样本点阵的数量为50个，且样本点阵的等效密度呈等差数列，所述样本点阵的密度值范围为[0.01，1]；所述点阵的类型为体心立方点阵，其包含四根桁架，所述体心立方点阵的水平集函数为：
Figure BDA0002770848620000081
其中，φs(x)＝max(φi)，φi＝φ3D,i(x)，i＝1,2,3,4.φ3D,i是所述四根桁架的水平集函数，x表示在空间D内的点的坐标，D是一个固定的欧拉参考空间，
Figure BDA0002770848620000094
表示所述体心立方点阵的结构边界，Ωs是所述体心立方点阵所占据的空间，所述Ωs满足Ωs＝Ω1∪Ω2∪Ω3∪Ω4，Ω1,Ω2,Ω3,Ω4分别是四根桁架所占据的空间。
所述体心立方点阵中一根桁架的水平集函数为：
Figure BDA0002770848620000091
φ3D(x)＝max(φ3D,c(x,y,z),φ3D,s1(x,y,z),φ3D,s2(x,y,z)),
φ3D,c(x,y,z)＝min(φ3D,c1(x,y,z),φ3D,c2(x,y,z)),
φ3D,c1(x,y,z)＝(L3D/2)2-(cosθ3D·Ld)2,φ3D,c2(x,y,z)＝(t3D/2)2-(sinθ3D·Ld)2,
Figure BDA0002770848620000092
dx2＝x2-x0,dy2＝y2-y0,dz2＝z2-z0,dx＝x-x0,dy＝y-y0,dz＝z-z0,
Figure BDA0002770848620000093
φ3D,s1(x,y,z)＝(t3D/2)2-(x-x1)2+(y-y1)2+(z-z1)2,
φ3D,s2(x,y,z)＝(t3D/2)2-(x-x2)2+(y-y2)2+(z-z2)2
其中，D是一个固定的欧拉参考空间，x表示在空间D内的点的坐标，
Figure BDA0002770848620000095
表示所述一根桁架的结构边界，Ω是所述一根桁架所占据的空间，φ3D,c(x,y,z)、φ3D,s1(x,y,z)和φ3D,s2(x,y,z)分别表示一根桁架所包含的一个圆柱体、两个球体的水平集函数、所述两个球体的球心与所述圆柱体的两个底面的圆心相互重合，(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)分别表示所述两个球体的球心坐标，(x0,y0,z0)表示所述两个球心连线的中点坐标，t3D和L3D分别表示所述圆柱体底面的直径和圆柱体的长度。
其中，所述代理模型为Kriging代理模型。
(b)将待优化的夹层结构设定为初始夹层结构并将其进行切片化处理为若干切片层，设定各切片层的初始密度，基于步骤(a)得到的所述单元力学属性的代理模型，采用变厚度法优化各个所述切片层的密度，并根据优化后的各个所述切片层的密度分布，确定初始夹层结构的上面板、中间夹芯和下面板的厚度，同时获取中间夹芯层实体结构的体积所占夹层结构的体积率。
本实施方式中，采用变厚度法优化各切片层的密度值的模型为：
Find：
Figure BDA0002770848620000101
Minimize：C(ρLA)＝FTU＝UTKU
Subject to：
Figure BDA0002770848620000105
F＝KU，
Figure BDA0002770848620000106
其中，
Figure BDA0002770848620000102
为切片层相对密度的设计变量，所述一个切片层内的所有单元的密度值保持一致，NZ表示该夹层结构包含切片层的数量，C是所述夹层结构的结构柔度，G表示该夹层结构材料体积率约束，V0是所述一个切片层的体积，F和U分别表示夹层结构所承受的外部力矢量和结构内部节点的位移矢量，K表示结构刚度矩阵，ΩLA表示该夹层结构所包含的总的设计域，
Figure BDA0002770848620000103
表示允许的夹层结构的实体部分所占设计域的最大体积率，ρmax＝1和ρmin＝0.01分别表示设计变量
Figure BDA0002770848620000104
取值的上下边界。
本实施方式中，采用变厚度法优化各个所述切片层的密度时，计算单元的刚度矩阵时所用到的弹性张量是由Kriging代理模型预测得到的。
(c)将步骤(b)得到的夹层结构使用有限元方法离散为若干单元，基于步骤(b)得到的夹芯层实体结构所占夹层结构的体积率，使用步骤(a)得到的预测单元力学属性的代理模型，采用自由材料优化模型优化夹层结构的夹芯层内各点阵单元的密度分布，获取优化后的夹芯层内所有点阵单元的密度值。
本实施方式中，采用自由材料优化模型优化所述夹层结构的夹芯层内各单元的密度分布的模型为：
Find:
Figure BDA0002770848620000111
Minimize:C(ρMA)＝FTU＝UTKU
Subject to:
Figure BDA0002770848620000112
F＝KU,
Figure BDA0002770848620000113
其中，
Figure BDA0002770848620000114
为所述夹芯层内一个单元相对密度的设计变量，NS表示所述夹芯层内单元的数量，C是所述夹层结构的结构柔度，F和U分别表示夹层结构所承受的外部力矢量和结构内部节点的位移矢量，K表示结构刚度矩阵，GS表示该夹层结构的夹芯层材料体积率约束，V1是所述夹芯层内一个单元的体积，ΩBCL表示该夹层结构的夹芯层所包含的总的设计域，
Figure BDA0002770848620000115
表示允许的所述夹芯层的实体部分所占设计域的最大体积率，ρmax＝1和ρmin＝0.01分别表示设计变量
Figure BDA0002770848620000116
取值的上下边界。
本实施方式中，使用变密度法优化所述夹层结构的夹芯层内各单元的密度分布时，计算单元的刚度矩阵时所用到的弹性张量是由Kriging代理模型预测得到的。
(d)根据步骤(c)得到的优化后的夹芯层内所有点阵单元的密度值，基于步骤(a)得到的原型点阵的水平集函数，使用形状插值技术对点阵单元进行形状插值，以获取夹层结构的夹芯层内梯度点阵的具体构型，实现拓扑优化过程。
本实施方式中，所述形状插值技术的模型为：
Figure BDA0002770848620000117
其中，φe是希望获得的梯度点阵的水平集函数，φpro是所述原型点阵的水平集函数，
Figure BDA0002770848620000118
是插值系数矩阵，
Figure BDA0002770848620000119
的取值范围为
Figure BDA00027708486200001110
Figure BDA00027708486200001111
的值可以通过二分法计算得到。
实施例1
请参阅图1，本发明实施例1提供的具有梯度点阵夹芯的夹层结构拓扑优化设计方法，所述优化设计方法主要包括以下步骤：
本实施例中的待优化的夹层结构，其设计域、载荷及边界条件如图5所示，夹层结构如图6所示，其包括上、下面板和中间夹芯三个部分，本发明中的密度是指点阵单元中实体部分体积所占该点阵单元体积的体积率，其取值范围为[0.01,1]之间，本实施例中的优化目标设置为夹层结构的柔度值最小，允许的材料体积率为55％，为不失一般性，本实施例中所用到的所有物理量都假设为无量纲的。
如图1所示，本发明一种代理模型驱动的梯度点阵夹层结构优化方法包括如下步骤：
步骤一，构建代理模型，具体包括以下子步骤：
(1.1)根据实际问题的需求选用点阵类型，由于体心立方点阵具有超轻质、高比弯曲刚度/强度的特点，此处选择体心立方点阵来填充夹层结构的夹芯层，使用水平集函数来表述体心立方点阵的构型，所述体心立方点阵包含四根桁架，其水平集函数如下：
Figure BDA0002770848620000121
其中，φs(x)＝max(φi)，φi＝φ3D,i(x)，i＝1,2,3,4.φ3D,i是所述四根桁架的水平集函数，x表示在空间D内的点的坐标，D是一个固定的欧拉参考空间，
Figure BDA0002770848620000122
表示所述体心立方点阵的结构边界，Ωs是所述体心立方点阵所占据的空间，所述Ωs满足Ωs＝Ω1∪Ω2∪Ω3∪Ω4，Ω1,Ω2,Ω3,Ω4分别是四根桁架所占据的空间。所述一根桁架的水平集函数如下：
Figure BDA0002770848620000131
φ3D(x)＝max(φ3D,c(x,y,z),φ3D,s1(x,y,z),φ3D,s2(x,y,z)),
φ3D,c(x,y,z)＝min(φ3D,c1(x,y,z),φ3D,c2(x,y,z)),
φ3D,c1(x,y,z)＝(L3D/2)2-(cosθ3D·Ld)2,φ3D,c2(x,y,z)＝(t3D/2)2-(sinθ3D·Ld)2,
Figure BDA0002770848620000132
dx2＝x2-x0,dy2＝y2-y0,dz2＝z2-z0,dx＝x-x0,dy＝y-y0,dz＝z-z0,
Figure BDA0002770848620000133
φ3D,s1(x,y,z)＝(t3D/2)2-(x-x1)2+(y-y1)2+(z-z1)2,
φ3D,s2(x,y,z)＝(t3D/2)2-(x-x2)2+(y-y2)2+(z-z2)2
其中，D是一个固定的欧拉参考空间，x表示在空间D内的点的坐标，
Figure BDA0002770848620000134
表示所述一根桁架的结构边界，Ω是所述一根桁架所占据的空间，φ3D,c(x,y,z)、φ3D,s1(x,y,z)和φ3D,s2(x,y,z)分别表示一根桁架所包含的一个圆柱体、两个球体的水平集函数、所述两个球体的球心与所述圆柱体的两个底面的圆心相互重合，(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)分别表示所述两个球体的球心坐标，(x0,y0,z0)表示所述两个球心连线的中点坐标，t3D和L3D分别表示所述圆柱体的底面直径和圆柱体的长度。
(1.2)将等效密度值为0.01的体心立方点阵作为原型点阵，其水平集函数为φpro(x)，并以该原型点阵为基础使用形状插值技术获得一系列的样本点阵，样本点阵的等效密度呈等差数列排列，样本点阵的密度值范围为[0.01,1]，设定材料的杨氏模量E0＝1，泊松比μ＝0.3，使用均匀化方法计算样本点阵的等效弹性张量，将样本点阵的水平集函数及其对应的弹性张量用作样本训练Kriging代理模型。
步骤二，将待优化的夹层结构设定为初始夹层结构并将其进行切片化处理为若干切片层，设定各切片层的初始密度，采用变厚度法优化各个所述切片层所包含有限元单元的密度，并根据优化后的各个所述切片层的密度分布，确定初始夹层结构的上面板、中间夹芯和下面板的厚度，同时获取中间夹芯层实体结构的体积所占夹层结构的体积率。即将一个该夹层结构设定为初始夹层结构，将该夹层结构切片化处理为若干切片层，设定各切片层的初始密度，使用步骤一中构建的Kriging代理模型预测代表点阵微结构的有限元单元即点阵单元的力学属性，采用基于变厚度法的拓扑优化方法优化各切片层的密度，根据优化后的夹层结构中材料的密度分布确定上面板、下面板的厚度，具体包括以下子步骤：
(2.1)使用有限元的思想将所述夹层结构离散化为60×10×12＝7200个正六面体有限元单元，以夹层结构柔度最小为目标，结合提前给定的材料体积率约束，基于变厚度法拓扑优化方法构建夹层结构的优化模型，所述优化模型如下：
Find:
Figure BDA0002770848620000141
Minimize:C(ρLA)＝FTU＝UTKU
Subject to:
Figure BDA0002770848620000142
F＝KU,
Figure BDA0002770848620000143
其中，
Figure BDA0002770848620000144
为切片层相对密度的设计变量，所述一个切片层内的所有单元的密度值保持一致，NZ表示该夹层结构包含切片层的数量，C是所述夹层结构的结构柔度，G表示该夹层结构材料体积率约束，V0是所述一个切片层的体积，F和U分别表示夹层结构所承受的外部力矢量和结构内部节点的位移矢量，K表示结构刚度矩阵，ΩLA表示该夹层结构所包含的总的设计域，
Figure BDA0002770848620000145
表示允许的夹层结构的实体部分所占设计域的最大体积率，ρmax＝1和ρmin＝0.01分别表示设计变量
Figure BDA0002770848620000151
取值的上下边界。
(2.2)计算目标函数及约束条件对设计变量的敏度信息，采用基于梯度的优化算法更新设计变量，所述敏度计算公式如下：
Figure BDA0002770848620000152
Figure BDA0002770848620000153
Figure BDA0002770848620000154
其中，
Figure BDA0002770848620000155
是夹层结构的柔度对设计变量
Figure BDA0002770848620000156
的灵敏度，mean(ζ,h)表示沿着切片层排列方向的平均灵敏度，h表示切片层的排列方向，B是有限元单元的几何矩阵，
Figure BDA0002770848620000157
是由Kriging代理模型预测得到的密度值为
Figure BDA0002770848620000158
的有限元单元的弹性系数矩阵，
Figure BDA0002770848620000159
是材料体积率约束对设计变量
Figure BDA00027708486200001510
的灵敏度。
(2.3)在计算敏度信息时利用邻近有限元单元敏度信息对当前有限元单元的敏度信息进行过滤，避免棋盘格、网格依赖性等数值不稳定现象的发生，同时使当前夹层结构的构型变得光滑，根据优化结果判断目标函数是否满足设定收敛条件，若满足收敛条件，则输出当前夹层结构所包含有限元单元的密度信息，否则继续执行步骤(2.2)，更新设计变量
Figure BDA00027708486200001511
(2.4)基于步骤(2.3)得到的夹层结构所包含有限元单元的密度信息，设定一个阈值fc，本实施例中fc的值取0.9，规定该夹层结构所含切片层中密度值大于fc的切片层的集合分别视为该夹层结构的上面板、下面板，夹层结构中密度值小于fc的切片层的集合视为该夹层结构的中间夹芯，根据中间夹芯所包含各切片层内有限元单元的等效密度值设定下一阶段优化过程中的体积率约束函数GS。
步骤三，将步骤二得到的夹层结构使用有限元方法离散为若干单元，基于步骤二得到的中间夹芯层实体结构的体积所占夹层结构的体积率，使用步骤一中构建的Kriging代理模型预测代表点阵微结构的有限元单元即点阵单元的力学属性，采用基于自由材料优化模型的拓扑优化方法优化中间夹芯所包含的有限元单元的密度，获取优化后的中间夹芯内所有有限元单元的密度值，具体包括以下子步骤：
(3.1)使用有限元的思想将夹层结构离散化为60×12×10＝7200个正六面体有限元单元，以夹层结构柔度最小为目标，结合步骤二得到的中间夹芯所占夹层结构的体积率，使用步骤一中构建的Kriging代理模型预测代表点阵微结构的有限元单元即点阵单元的力学属性，基于自由材料优化模型构建夹层结构的优化模型，所述优化模型如下：
Find:
Figure BDA0002770848620000161
Minimize:C(ρMA)＝FTU＝UTKU
Subject to:
Figure BDA0002770848620000162
F＝KU,
Figure BDA0002770848620000163
其中，
Figure BDA0002770848620000164
为所述夹芯层内一个单元相对密度的设计变量，NS表示所述夹芯层内单元的数量，C是所述夹层结构的结构柔度，F和U分别表示夹层结构所承受的外部力矢量和结构内部节点的位移矢量，K表示结构刚度矩阵，GS表示该夹层结构的夹芯层材料体积率约束，V1是所述夹芯层内一个单元的体积，ΩBCL表示该夹层结构的夹芯层所包含的总的设计域，
Figure BDA0002770848620000165
表示允许的所述夹芯层的实体部分所占设计域的最大体积率，ρmax＝1和ρmin＝0.01分别表示设计变量
Figure BDA0002770848620000166
取值的上下边界。
(3.2)计算目标函数及约束条件对设计变量的敏度信息，采用基于梯度的优化算法更新设计变量，所述敏度计算公式如下：
Figure BDA0002770848620000171
Figure BDA0002770848620000172
其中，
Figure BDA0002770848620000173
是夹层结构的柔度对设计变量
Figure BDA0002770848620000174
的灵敏度，B是有限元单元的几何矩阵，
Figure BDA0002770848620000175
是由Kriging代理模型预测得到的密度值为
Figure BDA0002770848620000176
的有限元单元的弹性系数矩阵，
Figure BDA0002770848620000177
是材料体积率约束对设计变量
Figure BDA0002770848620000178
的灵敏度。
(3.3)在计算敏度信息时利用邻近有限元单元敏度信息对当前有限元单元的敏度信息进行过滤，避免棋盘格、网格依赖性等数值不稳定现象的发生，同时使当前夹层结构的构型变得光滑，根据优化结果判断目标函数是否满足设定收敛条件，若满足收敛条件，则输出当前夹层结构所包含有限元单元的密度信息，否则继续执行步骤(3.2)，更新设计变量
Figure BDA0002770848620000179
步骤四，根据步骤三得到的优化后的夹芯层内所有点阵单元的密度值，基于步骤一得到的原型点阵的水平集函数φpro(x)，使用形状插值技术对点阵单元进行形状插值，以获取夹层结构的夹芯层内梯度点阵的具体构型，将梯度点阵的具体构型回填至夹层结构中获得具有梯度点阵的夹层结构，实现拓扑优化过程，所述形状插值技术的模型为：
Figure BDA00027708486200001710
其中，φe是希望获得的梯度点阵的水平集函数，φpro是所述原型点阵的水平集函数，
Figure BDA00027708486200001711
是插值系数矩阵，
Figure BDA00027708486200001712
的取值范围为
Figure BDA00027708486200001713
Figure BDA00027708486200001714
的值可以通过二分法计算得到以保证获得的点阵具有特定的等效密度值。
请参阅图2至图9，以下以三维简支梁约束的夹层结构的设计来进一步说明本发明。为不失一般性，本实施例中所用到的所有物理量都假设为无量纲的。如图2为体心立方点阵微结构的构型示意图，所用材料的材料属性为弹性模量E0＝1，泊松比μ＝0.3，图3是图2所示体心立方点阵中一根桁架所包含的一个圆柱体、两个球体之间的几何关系示意图。
如图4所示为以体心立方点阵作为原型点阵所构建样本点阵的等效密度及其对应的等效弹性张量示意图，从体心立方点阵的弹性张量的各个项的值可以看出体心立方点阵具有很强的各向异性，由于其构型的对称性，体心立方点阵的弹性张量中不为零的且具有不同的值的项只有三个。
如图5所示，四角约束的夹层结构设计域尺寸为长L＝60，宽W＝10，高H＝12，一个分布载荷F施加在夹层结构上表面的中心，载荷的大小F＝1，夹层结构的边界约束条件与三维简支梁相同，夹层结构采用60×10×12＝7200个正六面体有限元单元进行网格划分，则所述一个切片层所包含的宏观单元数为60×10×1＝600个，优化目标为夹层结构的柔度值最小，限定的材料用量为55％。
如图6所示为通过变厚度法优化后夹层结构的上、下面板及中间夹芯的宏观材料布局示意图，可以看到夹层结构的下面板的厚度要大于上面板的厚度，这对于三维支撑结构来说是非常有意义的，因为下面板在抵抗弯曲变形方面比上面板更占优势，密度值大的有限元单元具有较高的刚度且大多位于载荷作用点与支撑作用点之间主传力路径附近的区域，这样有利于强化夹层结构内部主传力路径附近的结构刚度，密度值较低的梯度点阵微结构则大多分布于次要传力路径附近，它们的主要作用是抵抗X-Y平面的横向剪切变形。
图7是将优化后的梯度点阵微结构组装到其所在切片层的相应位置后得到的夹层结构自上而下的第四个切片层的梯度点阵结构示意图。图8是按照本发明所提供的方法进行优化得到的隐藏上面板后夹层结构的详细结构示意图。图9是按照本发明所提供的方法进行优化后完整的夹层结构的详细结构示意图。从上述图中可以看出，本发明提供的一种代理模型驱动的梯度点阵夹层结构优化方法，与现有的技术相比，实现了夹层结构的上、下面板厚度及点阵微结构在中间夹芯内分布的联合优化，同时保证所有梯度点阵微结构具有较好的连接性，本发明相较于传统的夹层结构设计，不仅在大大减少了计算成本的基础上保证了微结构之间的连接性，也极大地扩展了夹层结构的设计空间，能有效地提升夹层结构的力学性能。
本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (10)

1.一种代理模型驱动的梯度点阵夹层结构优化方法，其特征在于：
(a)使用水平集函数描述点阵微结构的拓扑构型并确定原型点阵，以该原型点阵为基础使用形状插值技术获得样本点阵，基于所述样本点阵的水平集函数使用均匀化方法求得样本点阵的弹性张量，并根据所述样本点阵的相对密度和弹性张量搭建预测点阵单元力学属性的代理模型；
(b)将待优化的夹层结构设定为初始夹层结构并将其进行切片化处理为若干切片层，基于所述代理模型采用变厚度法优化该夹层结构的各个切片层的密度，并根据优化后的各个所述切片层的密度分布，确定夹层结构的上面板、中间夹芯和下面板的厚度，同时获取中间夹芯层实体结构的体积所占夹层结构的体积率；
(c)将步骤(b)得到的夹层结构使用有限元方法离散为若干单元，基于步骤(b)得到的中间夹芯层实体结构的体积所占夹层结构的体积率及所述代理模型，采用自由材料优化模型优化夹层结构的夹芯层内各点阵单元的密度；
(d)根据步骤(c)得到的优化后的夹芯层内所有点阵单元的密度值，基于步骤(a)得到的原型点阵的水平集函数，使用形状插值技术对所有点阵单元进行形状插值，以获取夹层结构的夹芯层内梯度点阵的具体构型，实现拓扑优化过程。
2.如权利要求1所述的代理模型驱动的梯度点阵夹层结构优化方法，其特征在于：点阵的类型为体心立方点阵，其包含四根桁架，所述体心立方点阵的水平集函数为：
Figure FDA0002770848610000011
其中，φs(x)＝max(φi)，φi＝φ3D,i(x)，i＝1,2,3,4.φ3D,i是所述四根桁架的水平集函数，x表示在空间D内的点的坐标，D是一个固定的欧拉参考空间，
Figure FDA0002770848610000025
表示所述体心立方点阵的结构边界，Ωs是所述体心立方点阵所占据的空间，Ωs满足Ωs＝Ω1∪Ω2∪Ω3∪Ω4，Ω1,Ω2,Ω3,Ω4分别是四根桁架所占据的空间。
3.如权利要求2所述的代理模型驱动的梯度点阵夹层结构优化方法，其特征在于：所述体心立方点阵中一根桁架的水平集函数为：
Figure FDA0002770848610000021
φ3D(x)＝max(φ3D,c(x,y,z),φ3D,s1(x,y,z),φ3D,s2(x,y,z)),
φ3D,c(x,y,z)＝min(φ3D,c1(x,y,z),φ3D,c2(x,y,z)),
φ3D,c1(x,y,z)＝(L3D/2)2-(cosθ3D·Ld)2,φ3D,c2(x,y,z)＝(t3D/2)2-(sinθ3D·Ld)2,
Figure FDA0002770848610000022
Figure FDA0002770848610000023
dx＝x-x0,dy＝y-y0,dz＝z-z0,
Figure FDA0002770848610000024
φ3D,s1(x,y,z)＝(t3D/2)2-(x-x1)2+(y-y1)2+(z-z1)2,
φ3D,s2(x,y,z)＝(t3D/2)2-(x-x2)2+(y-y2)2+(z-z2)2
其中，D是一个固定的欧拉参考空间，x表示在空间D内的点的坐标，
Figure FDA0002770848610000026
表示所述一根桁架的结构边界，Ω是所述一根桁架所占据的空间，φ3D,c(x,y,z)、φ3D,s1(x,y,z)和φ3D,s2(x,y,z)分别表示一根桁架所包含的一个圆柱体、两个球体的水平集函数、所述两个球体的球心与所述圆柱体的两个底面的圆心相互重合，(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)分别表示所述两个球体的球心坐标，(x0,y0,z0)表示所述两个球心连线的中点坐标，t3D和L3D分别表示所述圆柱体底面的直径和圆柱体的长度。
4.如权利要求1所述的代理模型驱动的梯度点阵夹层结构优化方法，其特征在于：所述代理模型为Kriging代理模型；所述样本点阵的数量为50个，且样本点阵的等效密度呈等差数列，所述样本点阵的密度值范围为[0.01，1]。
5.如权利要求1所述的代理模型驱动的梯度点阵夹层结构优化方法，其特征在于：采用变厚度法优化各切片层的密度值的模型为：
Find:
Figure FDA0002770848610000031
Minimize:C(ρLA)＝FTU＝UTKU
Subjectto:
Figure FDA0002770848610000032
F＝KU,
Figure FDA0002770848610000033
其中，
Figure FDA0002770848610000034
为切片层相对密度的设计变量，一个切片层内的所有单元的密度值保持一致，NZ表示该夹层结构包含切片层的数量，C是所述夹层结构的结构柔度，G表示该夹层结构材料体积率约束，V0是所述一个切片层的体积，F和U分别表示夹层结构所承受的外部力矢量和结构内部节点的位移矢量，K表示结构刚度矩阵，ΩLA表示该夹层结构所包含的总的设计域，
Figure FDA0002770848610000035
表示允许的夹层结构的实体部分所占设计域的最大体积率，ρmax＝1和ρmin＝0.01分别表示设计变量
Figure FDA0002770848610000036
取值的上下边界。
6.如权利要求1所述的代理模型驱动的梯度点阵夹层结构优化方法，其特征在于：采用变厚度法优化各个所述切片层的密度时，计算单元的刚度矩阵时所用到的材料弹性张量是由Kriging代理模型预测得到的。
7.如权利要求1所述的代理模型驱动的梯度点阵夹层结构优化方法，其特征在于：采用自由材料优化模型优化所述夹层结构的夹芯层内各点阵单元的密度分布的模型为：
Find:
Figure FDA0002770848610000041
Minimize:C(ρMA)＝FTU＝UTKU
Subject to:
Figure FDA0002770848610000042
F＝KU,
Figure FDA0002770848610000043
其中，
Figure FDA0002770848610000044
为所述夹芯层内一个点阵单元相对密度的设计变量，NS表示所述夹芯层内点阵单元的数量，C是所述夹层结构的结构柔度，F和U分别表示结构所承受的外部力矢量和结构内部节点的位移矢量，K表示结构刚度矩阵，GS表示该夹层结构的夹芯层材料体积率约束，V1是所述夹芯层内一个单元的体积，ΩBCL表示该夹层结构的夹芯层所包含的总的设计域，
Figure FDA0002770848610000045
表示允许的所述夹芯层的实体部分所占设计域的最大体积率，ρmax＝1和ρmin＝0.01分别表示设计变量
Figure FDA0002770848610000046
取值的上下边界。
8.如权利要求1-7任一项所述的代理模型驱动的梯度点阵夹层结构优化方法，其特征在于：使用自由材料优化模型优化所述夹层结构的夹芯层内各单元的密度分布时，计算单元的刚度矩阵时所用到的弹性张量是由Kriging代理模型预测得到的。
9.如权利要求1-7任一项所述的代理模型驱动的梯度点阵夹层结构优化方法，其特征在于：形状插值技术对应的模型为：
Figure FDA0002770848610000047
其中，φe是希望获得的梯度点阵的水平集函数，φpro是所述原型点阵的水平集函数，
Figure FDA0002770848610000048
是插值系数矩阵，
Figure FDA0002770848610000049
的取值范围为
Figure FDA00027708486100000410
Figure FDA00027708486100000411
的值可以通过二分法计算得到。
10.如权利要求1-7任一项所述的代理模型驱动的梯度点阵夹层结构优化方法，其特征在于：将等效密度值为0.01的点阵作为原型点阵，使用均匀化方法求解样本点阵的等效弹性张量。
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