CN112298193B - 快速实时的后轮主动转向预测控制方法 - Google Patents

Abstract

一种快速实时的后轮主动转向预测控制方法，属于车辆控制技术领域。本发明的目的是使得车辆在低附着路面行驶工况下，能够在所设计的控制器的作用下跟踪期望的横摆角速度同时能够抑制质心侧偏角从而保证车辆稳定性的快速实时的后轮主动转向预测控制方法。本发明步骤是：后轮主动转向车辆的模型搭建与仿真工况的构建、模型预测控制器设计、优化问题快速求解算法设计。本发明进一步提高了车辆在低附着行驶工况下的稳定性，有效降低求解时间，提高算法实时性，降低了控制器的实现难度。

Description

快速实时的后轮主动转向预测控制方法

技术领域

本发明属于车辆控制技术领域。

背景技术

后轮主动转向技术一种新兴的技术形式，使用这种技术的车辆在行驶过程中后轮也可转动一定的角度因而具有更高的机动性和灵活性。例如，在低速行驶时可以通过后轮转向减小转弯半径，提高车辆灵活性，高速行驶时可以通过后轮转角提高稳定性，因此有必要对后轮主动转向车辆的控制问题进行研究。与传统车辆相比，后轮主动转向技术使得车辆的结构更加复杂，控制量也更多，后轮主动转向也进一步增加了车辆动力学的复杂程度，如何良好地发挥后轮主动转向的作用改善车辆在高速、低附着路面等行驶工况下的稳定性能成为了目前的研究热点。由于车辆动力学具有高度非线性的特点，且车辆是一个典型的快变系统，因此在车辆的稳定性控制中要求控制器有较高的控制精度来满足控制准确性的要求，同时控制器还要有较高的实时性来满足车辆对控制器的快速响应的要求，除此之外，在车辆行驶过程中还要考虑相应的安全性约束以及在未来一段时间内车辆状态的变化规律，进行及时有效的控制。由于预测控制能够在考虑系统的约束和非线性特性的条件下，对系统未来一段时间内的状态进行预测，并处理多目标优化问题，因此在同时满足上述要求的条件下，预测控制是一个较好地解决方案。模型预测控制基于系统的模型对系统的未来状态进行预测，同时考虑所设计的目标函数以及相应的状态约束和控制约束，将控制需求转化为数学优化问题，并通过在线求解优化问题来得到所需的控制量。一方面由于车辆是一个典型的快变系统，其失稳时间往往都是毫秒级的，一旦车辆失去稳定性则无法再通过控制作用使其回到稳定状态，因此车辆对车载控制器的实时性与快速响应能力有较高的要求；另一方面求解优化问题需要的计算量较大，同时车载控制器的计算能力却相当有限，在求解优化问题时需要较长的求解时间。因此，当前的面向后轮主动转向车辆的模型预测控制存在着以下问题：

1.相比于传统车辆，后轮主动转向车辆的控制机构更多，复杂程度也更高。因此，当行驶在在高速和低附着路面等复杂工况下时，后轮主动转向车辆具有更高的灵活性和稳定性。而在此类复杂工况下，车辆往往都进入了高度非线性区域，此时所需要的模型精度也更高，因此需要采用非线性模型来提高模型精度，这会造成计算负担大幅增加。

2.随着计算负担的增加，若采用传统的优化方法(例如已被广泛应用的内点法-IPOPT)，可能无法满足车载实时性的要求，从而导致控制器性能不能满足要求。

3.虽然车载控制器计算能力不足的问题可以通过安装更高性能的硬件设备来解决，但此举势必会造成车辆成本及能耗的大幅增加。若能够改进求解算法，使得能够在现有硬件设备的基础上提高求解速度，满足车辆对控制器的实时性的要求，便可节省大量成本同时还不增加整车的能耗。

发明内容

本发明的目的是使得车辆在低附着路面行驶工况下，能够在所设计的控制器的作用下跟踪期望的横摆角速度同时能够抑制质心侧偏角从而保证车辆稳定性的快速实时的后轮主动转向预测控制方法。

本发明步骤是：

步骤一、后轮主动转向车辆的模型搭建与仿真工况的构建：在CarSim软件中选择车辆模型，并将车辆的运动状态参数读取到Simulink中，基于所选的车辆模型构建低附着路面下行驶的仿真工况，模拟实际车辆的横摆运动和侧向运动特征；

步骤二、模型预测控制器设计：

1)建立考虑后轮主动转向的车辆动力学模型；

2)建立能够产生期望状态参考值的参考模型；

3)根据控制器设计中跟踪期望横摆角速度、抑制质心侧偏角以及限制控制作动能量的需求，并结合相应的约束和车辆动力学模型构建目标函数；

步骤三、优化问题快速求解算法设计

1)引入松弛函数，将初始的带约束的非线性优化问题转化为无约束非线性优化问题；

2)根据目标函数和车辆动力学模型构建哈密顿函数；

3)根据PMP原理推导出沿最优轨线的递推关系式，以及最优终端必要性条件；

4)根据Nelder-Mead单纯形算法原理设计最优协态变量初值搜索算法；

上述步骤详细过程如下：

1)车辆运动模型

根据车辆动力学的理论，简化后的车辆二自由度模型可由如下方程描述：

其中，

和

分别表示车辆的质心侧偏角的导数和车辆的横摆角速度的导数，V表示车辆的纵向速度，F_yf和F_yr则分别表示前后轮胎的轮胎侧向力，L_f和L_r分别表示前后轴到车辆质心的距离，m是车辆的质量，I_z是车辆绕质心旋转的转动惯量，ΔM_z为附加的横摆力矩；

2)前轮轮胎模型建立

当前轮侧偏角α_f很小时，有tan(α_f)≈α_f，之后该前轮模型可近似为：

其中μ为路面附着系数，F_z为垂直载荷，C_f为前轮侧偏刚度；

式中的前轮侧偏角α_f可由下式进行计算：

其中δ_f车辆的前轮转角；

3)后轮轮胎模型建立

考虑路面的附着系数的影响，该模型可描述为：

其中的μ为路面附着系数，F_z为垂直载荷，C_r为后轮侧偏刚度；

式中的后轮侧偏角α_r可由下式进行计算：

其中的δ_r为后轮转角；

4)车辆参考模型建立

前轮转角δ_f到车辆的期望横摆角速度γ_ref以及期望质心侧偏角β_ref的传递函数为：

定义车辆的稳定因子为

其中L＝L_f+L_r为车辆的前后轴距；

系统的振荡频率为

系统的阻尼系数为

横摆角速度稳态增益为

质心侧偏角稳态增益为

其中的横摆角速度微分系数定义为

质心侧偏角微分系数定义为

定义横摆角速度的上限值为

横摆角速度的参考值γ_ref应被约束在|γ_ref|≤γ_up，定义质心侧偏角的上限值为

横摆角速度的参考值β_ref应被约束在|β_ref|≤βu_p；

5)控制器设计

定义系统的状态向量为x＝[x₁,x₂]^T＝[β,γ]^T，控制量定义为u＝[u₁,u₂]＝[δ_r,ΔM_z]，定义ΔM_max和δ_max分别是附加横摆力矩和后轮主动转角的最大约束，将(1)式中的状态空间方程进行欧拉离散化得在每个采样时刻kT_s离散后的状态空间方程为：

其中的前轮侧向力F_yf由式(2)中的非线性轮胎模型计算得到，后轮侧向力F_yr则由式(4)中的线性轮胎模型计算得到，β_up和γ_up分别为质心侧偏角和横摆角速度的上限值，ΔM_max为附加横摆力矩的最大值；

在每个时刻k+1≤k_i≤k+N+1定义代价函数为：

其中L₁(k_i)、L'₂(k_i)和L₃(k_i)分别用于跟踪横摆角速度参考值、跟踪质心侧偏角参考值和抑制作动能量；

状态约束为|x₁(k_i)|≤β_up，控制量限幅为|u₁(k_i-1)|≤δ_max以及|u₂(k_i-1)|≤ΔM_max；

得到非线性模型预测控制的目标函数为：

满足的约束为|u₁(k_i-1)|≤δ_max，|u₂(k_i-1)|≤ΔM_max以及|x₁(k_i)|≤β_up，其中Γ_β和Γ_u＝[Γ_r,Γ_M]分别为质心侧偏角和控制量的权重系数，N为预测时域；

6)基于PMP原理的求解

由PMP原理可知，对于此类的问题得到：

若存在控制量u^*(t)和以及终端时间

使得性能指标中的目标函数在该控制量的作用下取到最小的最优解，且在该最优解的作用下最优状态轨线x^*(t)所形成的最优轨迹也存在，则可导出如下必要条件：

(1)x(t)和λ(t)满足正则方程：

其中λ＝[λ₁,λ₂]^T为拉格朗日乘子的向量函数，L(x,u)为目标函数中的各项，

H(x,λ,u)＝L(x,u)+λ^T(t)f(x,u)为哈密顿函数；

(2)状态轨线x(t)和协态变量λ(t)满足边界条件：

(3)哈密顿函数H(x,λ,u)在最优控制量u^*(t)的作用下取到绝对极小值：

(4)同时哈密顿函数在最优状态轨线的末端满足：

H[x^*(t),λ(t),u^*(t)]＝H[x^*(t_f),λ(t_f),u^*(t_f)]＝constant (14)

由上述的状态约束|x₁(k_i)|≤1的基础上，引入终端松弛因子对状态约束进行处理：

其中的κ代表了函数的松弛程度，而ν则为一个较大的数，

最终得到目标函数的子项L₂(k_i)为：

L₂(k_i)＝L′₂(k_i)+ζ(k_i) (16)

此时式(10)中的目标函数则转化为：

该目标函数可满足状态约束|x₁(k_i)|≤1；

定义在时刻k+1≤k_i≤k+N+1的哈密顿函数为：

其中F₁(x(k_i))和F₂(x(k_i))分别定义为：

在上述方程中，λ₁(k)和λ₂(k)分别表示拉格朗日乘子，根据庞特里亚金最小值原理可得到最优必要性条件为：

终端条件为：

在各个时刻都有最优控制律u^*(k_i)使得哈密顿函数最小化：

将哈密顿函数重新整理为关于二维控制量u＝[u₁,u₂]^T的二元二次函数：

其中g[x(k_i),δ_f(k)]为与当前控制量无关的余项，其定义如下：

哈密顿函分别对两个控制量求偏导可得：

分别令上述两个偏导等于零便可求得哈密顿函数的驻点为

以及

对哈密顿函数相对于控制量求二阶偏导，其二阶偏导如下所示：

令

得AC-B²＞0，且A＞0,C＞0可知哈密顿函数在驻点处取得极小值；

根据在驻点处的结果，便可给出使哈密顿函数取得极小值的最优控制律：

其中的第一个控制量u₁为后轮主动转角，该控制量直接施加给后轮转向执行机构，第二个控制量u₂为附加横摆力矩，该控制量首先需要通过如下转换：

其中ΔT_fl(k),ΔT_rl(k),ΔT_fr(k),ΔT_rr(k)分别表示左前轮、左后轮、右前轮以及右后轮的附加转矩，R_e表示轮胎的滚动半径，d表示车辆车身的宽度，之后该控制量便转换为四个轮胎的附加转矩施加给车辆；

最优控制问题此时转化为了两点边值问题：

该两点边值问题通过Nelder-Mead算法进行求解；

7)基于Nelder-Mead的最优初值搜索

(1)检查给定初始测试点的收敛情况

三个初始测试点p₁,p₂,p₃，每个测试点都是二维向量；各个测试点的终端收敛值记作

之后按照终端收敛值从小到大的顺序进行排序，现假设排序情况为：

(2)计算质心点

(3)计算反射点

p_r＝p₀+α(p₀-p₃) (36)

其中α＝0.5为反射系数，之后按照图三所示的迭代过程计算反射点p_r的终端收敛值

之后进行如下判断；

(3.1)反射

如果反射点的收敛值

小于第二个测试点的收敛值

且大于第一个测试点的收敛值

此时将p_r的值赋予p₃并回到第(1)步重新计算排序；

(3.2)扩张

如果反射点的收敛值

小于第一个测试点的收敛值

即表示找到了一个更好的收敛方向，此时需要继续沿着该方向搜索，之后计算扩展点：

p_e＝p₀+η(p_r-p₀) (37)

其中η＝2为扩展系数，之后计算扩展点的收敛值

如果

则将p_e的值赋予p₃并回到第(1)步重新计算排序，否则将p_r的值赋予p₃并回到第(1)步重新计算排序；(3.3)紧缩

如果反射点收敛值满足

则计算紧缩点：

p_c＝p₀+ρ(p₃-p₀) (38)

其中ρ＝0.5为紧缩系数，如果紧缩点的收敛值满足

则将p_c的值赋予p₃并回到第(1)步重新计算排序；

(3.4)收缩

如果以上条件均不满足，则证明此时的测试点已经很接近最优点了，此时需要沿着当前最优点的方向进行收缩，即将第二和第三个测试点按照如下方式进行替换：

p_i＝p₁+σ(p_i-p₁),i＝2,3 (39)

其中σ＝0.5为收缩系数，替换完成后回到第(1)步重新计算排序。

本发明的有益效果是：

1、本发明针对低附着路面行驶工况，面向后轮主动转向车辆设计了非线性模型预测控器，与传统车辆相比，在车辆能够跟踪期望的横摆角速度的条件下，同时能够大幅抑制质心侧偏角，进一步提高了车辆在低附着行驶工况下的稳定性；

2、本发明根据PMP原理结合后轮主动转向车辆的动力学模型，设计了面向后轮主动转向车辆的模型预测控制中的非线性优化问题的间接求解算法，与传统的IPOPT方法相比，本发明所提出的求解算法可以有效降低求解时间，提高算法实时性；

3、本发明根据PMP原理将原最优控制问题进行转化，并使用Nelder-Mead单纯形算法进行搜索求解，该方法在搜索过程中无需数学求导，也不需要复杂的数值优化运算，降低了控制器的实现难度。

附图说明

图1是发明中所设计的控制器框图；

图2是车辆模型示意图；

图3是求解过程中的迭代关系示意图；

图4是本发明所设计的快速求解算法的控制效果；

图5是使用传统IPOPT求解算法的控制效果；

图6是在本发明中所设计的仿真工况中不施加控制的效果图；

图7是在仿真过程中车辆的质心侧偏角对比图；

图8是在仿真过程中不同求解算法的平均求解时间；

图9是在仿真过程中在不同预测时域下基于传统IPOPT求解算法的求解时间；

图10是在仿真过程中在不同预测时域下基于本发明所设计的快速求解算法的求解时间。

具体实施方式

本发明涉及一种快速实时的后轮主动转向预测控制器设计方法，具体涉及一种模型预测控制框架下的后轮主动转向控制方法，同时设计了面向车载应用的控制器快速实时求解方法。更具体地说，由于在车辆的稳定性控制中，不仅需要同时考虑车辆动力学的非线性特性和车辆的安全性约束，还需要考虑车辆在未来一段时间内的运动状态从而防止车辆失稳。基于以上考虑，本发明基于后轮主动转向技术设计了后轮主动转向预测控制器。但由于模型预测控制需要在线求解优化问题，计算负担较大，不能够满足车载应用的实时性要求。因此本发明同时设计了一种预测控制快速实时求解的方法，使得所设计的模型预测控制器能够加快计算速度，满足车载实时性要求。

由于在复杂行驶工况下，后轮主动转向车辆具有更好的灵活性和更高的稳定性，因此本发明在考虑车辆动力学非线性特性和安全性约束的条件下，针对在低附着路面下的后轮主动转向车辆的稳定性控制问题设计了一种模型预测控制器，使得车辆在低附着路面行驶工况下，能够在所设计的控制器的作用下跟踪期望的横摆角速度同时能够抑制质心侧偏角从而保证车辆的稳定性。但在通常情况下，出于控制成本和整车能耗等方面的考虑，车载控制器的计算能力往往较为有限，在求解较为复杂的优化问题时不能够满足车辆的实时性要求。因此在求解本发明中所设计的模型预测控制中的优化问题时，若采用传统的优化算法，例如序列二次规划(SQP)和内点法(IPOPT)，计算时间会随着预测时域呈指数级增加，不能满足车载实时性要求。为了解决这一问题，本发明同时设计了一种预测控制的快速实时求解方法。具体为基于庞特里亚金极值原理(PMP)将模型预测控制中的非线性优化问题转化为显式的迭代计算问题进行求解，同时为了寻找满足最优性终端必要条件的最优协态变量初值，本发明采用了Nelder-Mead单纯形算法来搜索最优协态变量的初值。通过PMP和Nelder-Mead算法的结合，可以大大加快模型预测中优化问题的求解速度。为了证明本发明所设计的控制器的有效性以及优化算法的快速性，需要设计相应的仿真实验来进行验证与对比。本发明设计了一组车辆在低附着路面上的仿真实验来验证控制器的有效性。而在求解算法的对比中，采用了应用较为广泛的内点法(IPOPT)来和本发明所设计的快速求解算法进行对比。

本发明包括以下步骤：

步骤一、后轮主动转向车辆的模型搭建与仿真工况的构建：在CarSim软件中选择车辆模型，并将车辆的运动状态参数读取到Simulink中，基于所选的车辆模型构建低附着路面下行驶的仿真工况，模拟实际车辆的横摆运动和侧向运动特征；

步骤二、模型预测控制器设计：

1)建立考虑后轮主动转向的车辆动力学模型；

2)建立能够产生期望状态参考值的参考模型；

3)根据控制器设计中跟踪期望横摆角速度、抑制质心侧偏角以及限制控制作动能量的需求，并结合相应的约束和车辆动力学模型构建目标函数；

步骤三、优化问题快速求解算法设计

1)引入松弛函数，将初始的带约束的非线性优化问题转化为无约束非线性优化问题；

2)根据目标函数和车辆动力学模型构建哈密顿函数；

3)根据PMP原理推导出沿最优轨线的递推关系式，以及最优终端必要性条件；

4)根据Nelder-Mead单纯形算法原理设计最优协态变量初值搜索算法。

为详细说明本发明的技术内容、构造特点、实现目的等下面结合附图对本发明进行全面解释：

基于本发明所述的控制器框图如图1所示，其中驾驶员为CarSim中自带的驾驶员模型，在仿真验证中负责操纵车辆完成设定的工况。驾驶员在驾驶车辆时会打出相应的方向盘转角，参考模型根据驾驶的方向盘转角计算出期望的横摆角速度和质心侧偏角，并将期望值送入控制器。控制器根据期望值和车辆当前的状态计算出相应的控制量，在本发明中的控制量为附加横摆力矩和后轮主动转角。其中附加横摆力矩会送入转矩分配模块，将附加横摆力矩转化为四个轮胎的附加转矩并施加在车辆上。由控制器计算所得的后轮转角则直接施加给车辆的后轮转向机构。在仿真实验中，车辆模型和仿真工况均是在CarSim中构建的，控制器则是在Simulink中构建的。

本发明所述的控制器是通过软件系统的联合仿真实现并进行验证的1、软件选择

该快速求解算法及其相应的控制器和由控制器控制的被控对象的仿真模型分别通过软件Matlab/Simulink和高保真车辆动力学仿真软件CarSim进行搭建，软件版本分别为MatlabR2019b和CarSim2016.1，求解器选择为ODE1。仿真步长为0.001s。其中CarSim用于提供高保真的车辆动力学模型以及相应的仿真工况；MATLAB/Simulink软件则是用于控制器的搭建，即通过Simulink编程来完成该方法中控制器的运算。

2、联合仿真设置

要实现两者的联合仿真，首先需要在Matlab的路径设置中添加CarSim的路径；其次在CarSim界面中添加输出接口模块；然后将CarSim中的模型信息经过系统编译之后以CarSimS-function的形式保留在Simulink中，最后再进行Simulink中CarSim模块的参数设置。

为了对本发明所述的面向后轮主动转向车辆的模型预测控制快速求解算法进行验证，选择了低附着路面下的车辆稳定性控制的工况来进行验证。首先推导出后轮主动转向车辆的数学模型；其次，在CarSim中选择合适的车辆模型并获取相应参数；之后在低附着路面下构建仿真工况；然后设计面向后轮主动转向车辆的模型预测控制器并使用本发明所述的快速求解算法进行控制量的求解；最后，在联合仿真实验中对本发明所述的方法进行验证，同时与传统的IPOPT求解算法进行对比，以说明本发明的有益效果。

本发明具体包括以下步骤：

步骤一、后轮主动转向车辆模型搭建：车辆模型模拟真实的被控对象，主要作用是能够精确的模拟实际的后轮主动转向车辆的横摆运动和侧向运动特征。

在本发明中，由于使用了联合仿真，因此在CarSim中，主要用到的是车辆模型选择以及仿真工况的构建。

首先选择典型的乘用车模型，之后对模型的相关参数进行修改并获取，将车辆模型参数添加到Simulink仿真模型中。车辆的主要模型参数有车辆质量、前后轴距轮胎侧偏刚度等。在选择相应的车辆模型和参数之后，需要构建相应的仿真工况，仿真工况中可以选择车辆的行驶路线，行驶环境以及驾驶员模型等。由于在本发明中只是对通过附加横摆力矩来对车辆的稳定性进行控制，因此选用CarSim中自带的驾驶员模型，并将车辆的运动状态参数读取到Simulink中，基于所选的车辆模型构建低附着路面下的仿真工况。

步骤二、基于快速求解算法的控制器设计：基于模型预测控制原理对所需要的控制问题进行描述，描述为一个非线性优化问题，并基于本发明所述的快速求解算法进行控制器的设计。

本发明的被控对象是行驶在低附着路面上的后轮主动转向车辆，因此控制目标就是根据当前车辆的状态信息以及当前的参考值计算出所需要的后轮转角以及附加横摆力矩，提高车辆的稳定性。主要设计过程描述如下。首先，针对后轮主动转向车辆的横摆运动和侧向运动进行建模，建立合适的数学模型。

1)车辆运动模型

在本发明中采用了已被广泛应用的二自由度模型来对车辆的运动进行描述，在该模型中只考虑了车辆的侧向运动和横摆运动。如图2所示，车辆被描述为一个只有单个前轮和单个后轮的车辆模型。在本发明中，驾驶员通过方向盘操纵前轮，而后轮的转向则由相应的后轮转向机构来操纵。此时车辆模型便可以简化为车辆二自由度模型。同时根据车辆动力学的理论，简化后的车辆二自由度模型可由如下方程描述：

其中，

和

分别表示车辆的质心侧偏角的导数和车辆的横摆角速度的导数，V表示车辆的纵向速度，F_yf和F_yr则分别表示前后轮胎的轮胎侧向力，L_f和L_r分别表示前后轴到车辆质心的距离，m是车辆的质量，I_z是车辆绕质心旋转的转动惯量，ΔM_z为附加的横摆力矩。

2)前轮轮胎模型建立

在本发明中，为了提高模型精度，前轴轮胎的侧向力是由一个非线性模型来描述的，采用了Fiala轮胎模型进行描述。在该模型中，使用了前轴轮胎的侧偏角作为内部变量。当前轮侧偏角α_f很小时，有tan(α_f)≈α_f，之后该前轮模型可近似为：

其中μ为路面附着系数，F_z为垂直载荷，C_f为前轮侧偏刚度。

式中的前轮侧偏角α_f可由下式进行计算：

其中δ_f车辆的前轮转角。

3)后轮轮胎模型建立

在本发明中，为了保证优化问题的哈密顿函数能够在驻点处取到极小值，同时也为了在保证精度的情况下降低模型的复杂度，后轮的轮胎模型选择为一个线性的轮胎模型。与前轮轮胎模型类似，在后轮轮胎模型中同样选取轮胎的侧偏角作为内部变量。同时考虑路面的附着系数的影响，该模型可描述为：

其中的μ为路面附着系数，F_z为垂直载荷，C_r为后轮侧偏刚度。

式中的后轮侧偏角α_r可由下式进行计算：

其中的δ_r为后轮转角，在本发明中后轮转角有控制器计算得到并直接施加给后轮转向的执行机构。

4)车辆参考模型建立

在本发明中，车辆在行驶过程中需要计算出当前的期望状态，其中包括期望的横摆角速度和期望的质心侧偏角。在本发明中，采用了已被广泛应用的二阶参考模型来计算车辆的期望状态。在参考模型中，根据当前的前轮转角以及相应的传递函数来计算期望状态。

其中前轮转角δ_f到车辆的期望横摆角速度γ_ref以及期望质心侧偏角β_ref的传递函数为：

此时我们定义车辆的稳定因子为

其中L＝L_f+L_r为车辆的前后轴距。系统的振荡频率为

系统的阻尼系数为

横摆角速度稳态增益为

质心侧偏角稳态增益为

其中的横摆角速度微分系数定义为

质心侧偏角微分系数定义为

由于车辆的二阶参考模型没有考虑车辆所行驶的道路环境，因此计算所得到的期望值还需要进一步处理。当路面的附着系数较低时，轮胎所能产生的轮胎力的最大值不足以支撑所需要的较大的横摆角速度。此时我们需要对横摆角速度的参考值进行适当的限制，来适应路面的摩擦系数。为了达到满意的性能，首先定义横摆角速度的上限值为

横摆角速度的参考值γ_ref应被约束在|γ_ref|≤γ_up。类似地，我们定义质心侧偏角的上限值为

横摆角速度的参考值β_ref应被约束在|β_ref|≤β_up。

5)控制器设计

针对后轮主动转向车辆，为了提高车辆的稳定性，可以通过控制作用使车辆能够跟踪期望的横摆角速度和质心侧偏角。因此在本发明所设计的控制器中有两个控制量，分别是作用于车辆附加横摆力矩和作用于后轮转向机构的后轮主动转角。控制器的框图如图1所示，其中计算所得的附加横摆力矩通过转矩分配模块分别施加到四个轮胎上，后轮转角则直接施加到后轮转向机构上。

首先定义系统的状态向量为x＝[x₁,x₂]^T＝[β,γ]^T。控制量定义为u＝[u₁,u₂]＝[δ_r,ΔM_z]。同时定义ΔM_max和δ_max分别是附加横摆力矩和后轮主动转角的最大约束。由于硬件设备需要进行离散计算，首先需要将状态空间方程进行离散化，将(1)式中的状态空间方程进行欧拉离散化可得在每个采样时刻kT_s离散后的状态空间方程为：

其中的前轮侧向力F_yf由式(2)中的非线性轮胎模型计算得到，后轮侧向力F_yr则由式(4)中的线性轮胎模型计算得到，β_up和γ_up分别为质心侧偏角和横摆角速度的上限值，ΔM_max为附加横摆力矩的最大值。

在本发明中，目标函数由三项组成，分别为跟踪期望横摆角速度，跟踪质心侧偏角参考值以及考虑作动能量的最小化。因此在每个时刻k+1≤k_i≤k+N+1定义代价函数为：

其中L₁(k_i)、L'₂(k_i)和L₃(k_i)分别用于跟踪横摆角速度参考值、跟踪质心侧偏角参考值和抑制作动能量。处于车辆的行驶安全性考虑，需要对车辆的状态进行约束，可得状态约束为|x₁(k_i)|≤β_up，控制量限幅为|u₁(k_i-1)|≤δ_max以及|u₂(k_i-1)|≤ΔM_max。

此时便可以得到非线性模型预测控制的目标函数为：

满足的约束为|u₁(k_i-1)|≤δ_max，|u₂(k_i-1)|≤ΔM_max以及|x₁(k_i)|≤β_up，其中Γ_β和Γ_u＝[Γ_r,Γ_M]分别为质心侧偏角和控制量的权重系数，N为预测时域。

6)基于PMP原理的求解算法

通过上述过程可知，本发明中所设计的目标函数实质上是一种典型的积分型性能指标目标函数，且控制受约束的最优控制问题。由PMP原理可知，对于此类的问题可以得到：

若存在控制量u^*(t)和以及终端时间

使得性能指标中的目标函数在该控制量的作用下取到最小的最优解。

且在该最优解的作用下最优状态轨线x^*(t)所形成的最优轨迹也存在，则可导出如下必要条件：

(1)x(t)和λ(t)满足正则方程：

其中λ＝[λ₁,λ₂]^T为拉格朗日乘子的向量函数，L(x,u)为目标函数中的各项，H(x,λ,u)＝L(x,u)+λ^T(t)f(x,u)为哈密顿函数。

(2)状态轨线x(t)和协态变量λ(t)(也可称为拉格朗日乘子)满足边界条件：

(3)哈密顿函数H(x,λ,u)在最优控制量u^*(t)的作用下取到绝对极小值：

(4)同时哈密顿函数在最优状态轨线的末端满足：

H[x^*(t),λ(t),u^*(t)]＝H[x^*(t_f),λ(t_f),u^*(t_f)]＝constant (53)

由上述基于PMP原理导出的必要性条件可知，基于PMP原理的最优控制是无法处理系统状态约束的，而出于安全性的考虑，系统状态约束不得不考虑，因此需要对原状态约束进行转化处理。由上述的状态约束|x₁(k_i)|≤1的基础上，引入终端松弛因子对状态约束进行处理：

其中的κ代表了函数的松弛程度，而ν则为一个较大的数，用来保证最优的状态轨迹是在约束范围之内的。通过该松弛因子的定义可知，在求解过程中若状态接近约束值，则松弛因子的值将会急剧增大，而当状态离边界约束较远时，松弛因子的值约等于零，此时对目标函数整体的影响可忽略不计。

最终可得到目标函数的子项L₂(k_i)为：

L₂(k_i)＝L′₂(k_i)+ζ(k_i) (55)

此时式(10)中的目标函数则转化为：

该目标函数可满足状态约束|x₁(k_i)|≤1。

根据PMP原理可知，与系统模型的离散化类似，需要将上述的最优控制必要条件离散化处理。再根据离散化的系统状态空间模型，现定义在时刻k+1≤k_i≤k+N+1的哈密顿函数为：

其中F₁(x(k_i))和F₂(x(k_i))分别定义为：

在上述方程中，λ₁(k)和λ₂(k)分别表示拉格朗日乘子，根据庞特里亚金最小值原理可得到最优必要性条件为：

终端条件为：

在各个时刻都有最优控制律u^*(k_i)使得哈密顿函数最小化：

基于必要性条件，我们便可以给出从初始状态到终端状态的映射关系，如图3所示。

基于上述讨论，在初始条件λ(k_i)和x(k_i)已知的条件下，便可基于PMP原理，给出优化控制问题的最优解。为了简便起见，现将哈密顿函数重新整理为关于二维控制量u＝[u₁,u₂]^T的二元二次函数：

其中g[x(k_i),δ_f(k)]为与当前控制量无关的余项，其定义如下：

哈密顿函分别对两个控制量求偏导可得：

分别令上述两个偏导等于零便可求得哈密顿函数的驻点为

以及

在求得哈密顿函数的驻点之后，还需要进一步判断在驻点处哈密顿函数是否可以取到极小值。

由上述哈密顿函数的形式可知，该哈密顿函数为一个二元二次函数，由二元函数极值判定条件可知，为了判断二元二次函数在驻点处是否取得极值，以及取到的极值为极大值或极小值，需要对哈密顿函数相对于控制量求二阶偏导，其二阶偏导如下所示：

令

可得AC-B²＞0，且A＞0,C＞0可知哈密顿函数在驻点处取得极小值。根据在驻点处的结果，便可给出使哈密顿函数取得极小值的最优控制律：

其中的第一个控制量u₁为后轮主动转角，该控制量直接施加给后轮转向执行机构，第二个控制量u₂为附加横摆力矩。

该控制量首先需要通过如下转换：

其中ΔT_fl(k),ΔT_rl(k),ΔT_fr(k),ΔT_rr(k)分别表示左前轮、左后轮、右前轮以及右后轮的附加转矩，R_e表示轮胎的滚动半径，d表示车辆车身的宽度，之后该控制量便转换为四个轮胎的附加转矩施加给车辆。

通过上述过程可知，原最优控制问题在经过PMP原理转化后，变成了求解最优拉格朗日乘子初值λ^*(k)的问题，若可以找到最优初值，使得在该初值条件下哈密顿函数取最小值且终端协态变量可以收敛到零，便可得到最优控制序列。换句话说，原最优控制问题此时转化为了两点边值问题：

该两点边值问题在本发明中通过Nelder-Mead算法进行求解。

7)基于Nelder-Mead的最优初值搜索算法

为了找到满足最优必要性条件的最优初值λ^*(k)，本发明采用了Nelder-Mead算法进行搜索最优初值。在该搜索算法中，可以根据给定的测试点进行搜索，经过事先定义的基本搜索环节后便可找到满足最优必要性条件的最优初值。

在本发明中，搜索的详细过程如下：

(1)检查给定初始测试点的收敛情况

由上述过程可知，在本发明中后轮主动转向车辆是一个二阶系统，因此需要找到一个二阶的最优初值使其满足最优必要性条件。因此需要给定三个初始测试点p₁,p₂,p₃，每个测试点都是二维向量。按照图3所示的迭代过程计算各个测试点的终端收敛值记作

之后按照终端收敛值从小到大的顺序进行排序，现假设排序情况为：

(2)计算质心点

在搜索过程中需要使用到测试点的质心点，质心点的计算方式如下：

(3)计算反射点

基于上一步得到的质心点计算反射点，其计算过程如下：

p_r＝p₀+α(p₀-p₃) (75)

其中α＝0.5为反射系数，之后按照图三所示的迭代过程计算反射点p_r的终端收敛值

之后进行如下判断。

(3.1)反射

如果反射点的收敛值

小于第二个测试点的收敛值

且大于第一个测试点的收敛值

此时将p_r的值赋予p₃并回到第(1)步重新计算排序。

(3.2)扩张

如果反射点的收敛值

小于第一个测试点的收敛值

即表示找到了一个更好的收敛方向，此时需要继续沿着该方向搜索，之后计算扩展点：

p_e＝p₀+η(p_r-p₀) (76)

其中η＝2为扩展系数，之后计算扩展点的收敛值

如果

则将p_e的值赋予p₃并回到第(1)步重新计算排序，否则将p_r的值赋予p₃并回到第(1)步重新计算排序。

(3.3)紧缩

如果反射点收敛值满足

则计算紧缩点：

p_c＝p₀+ρ(p₃-p₀) (77)

其中ρ＝0.5为紧缩系数，如果紧缩点的收敛值满足

则将p_c的值赋予p₃并回到第(1)步重新计算排序。

(3.4)收缩

如果以上条件均不满足，则证明此时的测试点已经很接近最优点了，此时需要沿着当前最优点的方向进行收缩，即将第二和第三个测试点按照如下方式进行替换：

p_i＝p₁+σ(p_i-p₁),i＝2,3 (78)

其中σ＝0.5为收缩系数，替换完成后回到第(1)步重新计算排序。

通过上述讨论可知，基于Nelder-Mead的搜索过程是一个给定初始值后反复迭代的搜索过程，因此需要设定迭代过程的相关参数。在本发明中的迭代终止条件设定为迭代次数达到上限值或三个测试点的标准差小于设定阈值。其中，迭代次数上限为100次，标准差阈值设定为0.05，迭代的初始测试点给定为[0,0；1,0；0,1]^T，之后通过上述搜索过程便可找出最优初始值λ^*(k)，进而求得最优控制量u^*(k)。

仿真实验验证与对比

为了验证本发明所设计的面向后轮主动转向车辆的快速实时预测控制算法的有效性，对行驶在低附着路面上后轮主动转向车辆进行稳定性控制。为了进行对比，同样的控制问题还是用了传统的IPOPT方法进行求解。在仿真验证中的各个参数设定为质量m＝1430kg，车辆前半轴距L_f＝1.05m，车辆后半轴距L_r＝1.61m，车辆绕质心的转动惯量I_z＝2059.2kg·m²，前轮等效侧偏刚度C_f＝90700N/rad，后轮等效侧偏刚度C_r＝109000N/rad，车轮半径R_e＝0.32m5，车辆车体宽度d＝1.5m5，路面附着系数μ＝0.5。状态约束分别为γ_up＝0.205ra8d s和β_up＝0.0376rad，车辆纵向速度V＝60km/h，采样时间T_s＝0.01s，预测时域N＝5，最大后轮转角约束δ_max＝0.05rad，最大附加横摆力矩ΔM_max＝2000Nm。目标函数中的权重系数分别为Γ_β＝0.2和Γ_u＝[Γ_r,Γ_M]＝[100,1/8000]。

双移线工况实验

在仿真实验中，所选择的是双移线工况，车辆速度为60km/h且在整个工况中保持不变。图4和图5分别给出了在不同求解算法下的控制效果图以及相应的控制量，从图中可以看到，在不同的求解算法下均可求得合理的控制量，且在控制器作用下，车辆可以准确地跟踪期望的横摆角速度，提高了车辆的稳定性。图6给出了车辆在不施加控制作用时的效果图，可以看到车辆不能够跟踪上期望的横摆角速度，更进一步证明了本发明所设计的控制器的有效性。图7则给出了质心侧偏角的对比结果，可以发现在控制器的作用下，质心侧偏角可以被抑制在一个更小的范围内，车辆的稳定性有较大的提升。通过以上对比可以证明，本发明所提出的面向后轮主动转向车辆的快速实时预测控制可以满足控制器的控制需求，且在求解精度上与传统的求解算法类似，能够求得满足要求的控制量。

图8给出了在不同预测时域下本发明所设计的快速实时求解算法和传统IPOPT求解算法的平均计算时间，可以看到随着预测时域的增加，本发明所设计的求解算法的平均计算时间和预测时域基本呈线性关系，增长较为缓慢；而传统的IPOPT求解算法的平均计算时间和预测时域呈指数关系，增长较快，且其平均计算时间也大于本发明所设计的求解算法的计算时间。图9和图10分别给出了在不同预测时域下两种求解算法的瞬态求解时间。从图中可以看出，不论是基于传统IPOPT算法还是基于本发明所设计的快速实时求解算法，他们的计算时间都会随着预测时域的增加而增加。但在同样的预测时域下，本发明所设计的快速实时求解算法的求解时间要大大小于传统IPOPT算法的求解时间。当优化问题较为复杂时，例如在第4秒到第11秒期间，本发明所设计的快速实时求解算法的求解时间可比IPOPT算法的求解时间快约十倍。以上两点充分体现出了本发明所述的快速求解算法的有益性。

通过仿真示例可以看出，本发明所设计的面向后轮主动转向车辆的快速实时预测控制算法能够在大幅提高计算速度的情况下还能保证较高的求解精度。从而满足了车载的实时性要求，同时也降低了车载控制器预测控制的实现难度。

Claims (1)

1.一种快速实时的后轮主动转向预测控制方法，其特征在于：其步骤是：

步骤一、后轮主动转向车辆的模型搭建与仿真工况的构建：在CarSim软件中选择车辆模型，并将车辆的运动状态参数读取到Simulink中，基于所选的车辆模型构建低附着路面下行驶的仿真工况，模拟实际车辆的横摆运动和侧向运动特征；

步骤二、模型预测控制器设计：

1)建立考虑后轮主动转向的车辆动力学模型；

2)建立能够产生期望状态参考值的参考模型；

3)根据控制器设计中跟踪期望横摆角速度、抑制质心侧偏角以及限制控制作动能量的需求，并结合相应的约束和车辆动力学模型构建目标函数；

步骤三、优化问题快速求解算法设计

1)引入松弛函数，将初始的带约束的非线性优化问题转化为无约束非线性优化问题；

2)根据目标函数和车辆动力学模型构建哈密顿函数；

3)根据PMP原理推导出沿最优轨线的递推关系式，以及最优终端必要性条件；

4)根据Nelder-Mead单纯形算法原理设计最优协态变量初值搜索算法；

上述步骤详细过程如下：

1)车辆动力学模型

根据车辆动力学的理论，简化后的车辆二自由度模型可由如下方程描述：

其中，

和

分别表示车辆的质心侧偏角的导数和车辆的横摆角速度的导数，V表示车辆的纵向速度，F_yf和F_yr则分别表示前后轮胎的轮胎侧向力，L_f和L_r分别表示前后轴到车辆质心的距离，m是车辆的质量，I_z是车辆绕质心旋转的转动惯量，ΔM_z为附加的横摆力矩；

2)前轮轮胎模型建立

当前轮侧偏角α_f很小时，有tan(α_f)≈α_f，之后该前轮轮胎模型可近似为：

其中μ为路面附着系数，F_z为垂直载荷，C_f为前轮侧偏刚度；

式中的前轮侧偏角α_f可由下式进行计算：

其中δ_f车辆的前轮转角；

3)后轮轮胎模型建立

考虑路面的附着系数的影响，该模型可描述为：

其中的μ为路面附着系数，F_z为垂直载荷，C_r为后轮侧偏刚度；

式中的后轮侧偏角α_r可由下式进行计算：

其中的δ_r为后轮转角；

4)车辆参考模型建立

前轮转角δ_f到车辆的期望横摆角速度γ_ref以及期望质心侧偏角β_ref的传递函数为：

定义车辆的稳定因子为

其中L＝L_f+L_r为车辆的前后轴距；

系统的振荡频率为

系统的阻尼系数为

横摆角速度稳态增益为

质心侧偏角稳态增益为

其中的横摆角速度微分系数定义为

质心侧偏角微分系数定义为

定义横摆角速度的上限值为

横摆角速度的参考值γ_ref应被约束在|γ_ref|≤γ_up，定义质心侧偏角的上限值为

横摆角速度的参考值β_ref应被约束在|β_ref|≤β_up；

5)控制器设计

定义系统的状态向量为x＝[x₁,x₂]^T＝[β,γ]^T，控制量定义为u＝[u₁,u₂]＝[δ_r,ΔM_z]，定义ΔM_max和δ_max分别是附加横摆力矩和后轮主动转角的最大约束，将(1)式中的状态空间方程进行欧拉离散化得在每个采样时刻kT_s离散后的状态空间方程为：

其中的前轮侧向力F_yf由式(2)中的前轮轮胎模型计算得到，后轮侧向力F_yr则由式(4)中的后轮轮胎模型计算得到，β_up和γ_up分别为质心侧偏角和横摆角速度的上限值，ΔM_max为附加横摆力矩的最大值；

在每个时刻k+1≤k_i≤k+N+1定义代价函数为：

其中L₁(k_i)、L'₂(k_i)和L₃(k_i)分别用于跟踪横摆角速度参考值、跟踪质心侧偏角参考值和抑制作动能量；

状态约束为|x₁(k_i)|≤β_up，控制量限幅为|u₁(k_i-1)|≤δ_max以及|u₂(k_i-1)|≤ΔM_max；

得到非线性模型预测控制的目标函数为：

分别为质心侧偏角和控制量的权重系数，N为预测时域；

6)基于PMP原理的求解

由PMP原理可知，对于此类的问题得到：

若存在控制量u^*(t)和以及终端时间

使得性能指标中的目标函数在该控制量的作用下取到最小的最优解，且在该最优解的作用下最优状态轨线x^*(t)所形成的最优轨迹也存在，则可导出如下必要条件：

(1)x(t)和λ(t)满足正则方程：

其中λ＝[λ₁,λ₂]^T为拉格朗日乘子的向量函数，L(x,u)为目标函数中的各项，H(x,λ,u)＝L(x,u)+λ^T(t)f(x,u)为哈密顿函数；

(2)状态轨线x(t)和协态变量λ(t)满足边界条件：

(3)哈密顿函数H(x,λ,u)在最优控制量u^*(t)的作用下取到绝对极小值：

(4)同时哈密顿函数在最优状态轨线的末端满足：

H[x^*(t),λ(t),u^*(t)]＝H[x^*(t_f),λ(t_f),u^*(t_f)]＝constant (14)

由上述的状态约束|x₁(k_i)|≤1的基础上，引入终端松弛因子对状态约束进行处理：

其中的κ代表了函数的松弛程度，而ν则为一个较大的数，

最终得到目标函数的子项L₂(k_i)为：

L₂(k_i)＝L′₂(k_i)+ζ(k_i) (16)

此时式(10)中的目标函数则转化为：

该目标函数可满足状态约束|x₁(k_i)|≤1；

定义在时刻k+1≤k_i≤k+N+1的哈密顿函数为：

其中F₁(x(k_i))和F₂(x(k_i))分别定义为：

在上述方程中，λ₁(k)和λ₂(k)分别表示拉格朗日乘子，根据庞特里亚金最小值原理可得到最优必要性条件为：

终端条件为：

在各个时刻都有最优控制律u^*(k_i)使得哈密顿函数最小化：

将哈密顿函数重新整理为关于二维控制量u＝[u₁,u₂]^T的二元二次函数：

其中g[x(k_i),δ_f(k)]为与当前控制量无关的余项，其定义如下：

哈密顿函分别对两个控制量求偏导可得：

分别令上述两个偏导等于零便可求得哈密顿函数的驻点为

以及

对哈密顿函数相对于控制量求二阶偏导，其二阶偏导如下所示：

令

得AC-B²＞0，且A＞0,C＞0可知哈密顿函数在驻点处取得极小值；

根据在驻点处的结果，便可给出使哈密顿函数取得极小值的最优控制律：

其中的第一个控制量u₁为后轮主动转角，该控制量直接施加给后轮转向执行机构，第二个控制量u₂为附加横摆力矩，该控制量首先需要通过如下转换：

其中ΔT_fl(k),ΔT_rl(k),ΔT_fr(k),ΔT_rr(k)分别表示左前轮、左后轮、右前轮以及右后轮的附加转矩，R_e表示轮胎的滚动半径，d表示车辆车身的宽度，之后该控制量便转换为四个轮胎的附加转矩施加给车辆；

最优控制问题此时转化为了两点边值问题：

该两点边值问题通过Nelder-Mead算法进行求解；

7)基于Nelder-Mead的最优初值搜索

(1)检查给定初始测试点的收敛情况

三个初始测试点p₁,p₂,p₃，每个测试点都是二维向量；各个测试点的终端收敛值记作

之后按照终端收敛值从小到大的顺序进行排序，现假设排序情况为：

(2)计算质心点

(3)计算反射点

p_r＝p₀+α(p₀-p₃) (36)

其中α＝0.5为反射系数，之后按照图三所示的迭代过程计算反射点p_r的终端收敛值

之后进行如下判断；

(3.1)反射

如果反射点的收敛值

小于第二个测试点的收敛值

且大于第一个测试点的收敛值

此时将p_r的值赋予p₃并回到第(1)步重新计算排序；

(3.2)扩张

如果反射点的收敛值

小于第一个测试点的收敛值

即表示找到了一个更好的收敛方向，此时需要继续沿着该方向搜索，之后计算扩展点：

p_e＝p₀+η(p_r-p₀) (37)

其中η＝2为扩展系数，之后计算扩展点的收敛值

如果

则将p_e的值赋予p₃并回到第(1)步重新计算排序，否则将p_r的值赋予p₃并回到第(1)步重新计算排序；

(3.3)紧缩

如果反射点收敛值满足

则计算紧缩点：

p_c＝p₀+ρ(p₃-p₀) (38)

其中ρ＝0.5为紧缩系数，如果紧缩点的收敛值满足

则将p_c的值赋予p₃并回到第(1)步重新计算排序；

(3.4)收缩

如果以上条件均不满足，则证明此时的测试点已经很接近最优点了，此时需要沿着当前最优点的方向进行收缩，即将第二和第三个测试点按照如下方式进行替换：

p_i＝p₁+σ(p_i-p₁),i＝2,3 (39)

其中σ＝0.5为收缩系数，替换完成后回到第(1)步重新计算排序。

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