CN112214880A - 一种基于虚实融合的多阶段维修性评估方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种基于虚实融合的多阶段维修性评估方法，涉及多阶段维修性评估领域。该虚实融合的多阶段维修性评估方法，评估方法如下：S1.将装备研制各阶段的沉浸式虚拟维修仿真结果作为维修性评估的先验信息，充分利用真人的评价结果和虚拟人仿真评价结果，对其进行合理的虚实融合；S2.在S1基础上按阶段顺序对复杂模型下的融合先验信息进行多阶段序贯迭代融合，得到目标参数的最终后验分布；S3.结合定型样机的实物维修性试验数据，得到对应维修性参数的估计结果并进行相应分析，以减少后端的试验次数、降低试验成本。本发明使得评估结果更加的准确，较少实验次数，且使得评估具有时效性。

Description

一种基于虚实融合的多阶段维修性评估方法

技术领域

本发明涉及多阶段维修性评估领域，具体为一种基于虚实融合的多阶段维修性评估方法。

背景技术

维修性评估是判断装备的维修性水平是否满足维修性要求的过程。传统的维修性评估手段主要依赖于装备的物理样机开展实物试验，这种方式评估的准确度较高，但存在试验成本高、试验时机相对滞后的不足，同时试验系统的建立过程较为复杂且周期较长，制约了维修性评估的时效性。

发明内容

(一)解决的技术问题

针对现有技术的不足，本发明提供了一种基于虚实融合的多阶段维修性评估方法，解决了实验成本高、实验试剂滞后不足和实验周期长的问题。

(二)技术方案

为实现以上目的，本发明通过以下技术方案予以实现：一种基于虚实融合的多阶段维修性评估方法，评估方法如下：

S1.将装备研制各阶段的沉浸式虚拟维修仿真结果作为维修性评估的先验信息，充分利用真人的评价结果和虚拟人仿真评价结果，对其进行合理的虚实融合；

S2.在S1基础上按阶段顺序对复杂模型下的融合先验信息进行多阶段序贯迭代融合，得到目标参数的最终后验分布；

S3.结合定型样机的实物维修性试验数据，得到对应维修性参数的估计结果并进行相应分析，以减少后端的试验次数、降低试验成本。

优选的，S1中沉浸式虚拟维修试验的虚实融合方法具体体现如下：

1)虚实维修性评估结果的产生：以装备的平均维修时间(MTTR)为计算基础，假设在第i阶段共开展ni次沉浸式虚拟维修仿真试验，则可以得到ni 对样本，即真人体验样本

和虚拟评价样本

装备的维修时间可认为服从对数正态分布，即：

X＝lnT～N(μ,σ²)

因此，对于第i阶段的沉浸式虚拟维修仿真，可以得到：

为验证本文提出的融合方法，同时方便计算，下文涉及的各项工作均以时间样本T的对数值样本X为研究对象。

2)相容性检验的虚实评估结果融合方法：基于相容性检验结果的虚实融合主要步骤为：

a)在pi的基础上构造加权因子，得到虚拟数据的加权融合权重ωi；

即pi越大，则ωi越大，在此基础上可以构造加权函数，以保证虚拟评价结果在加权融合中的权重随可信度增加而增加。

b)分别对虚实样本的每一对数据进行加权平均，得到第i阶段维修性评价结果的融合结果

其中

优选的，S2为基于Bayes理论的多阶段序贯融合维修性评估具体体现如下：

1)多阶段Bayes序贯迭代的思路及具体流程如下：

假设沉浸式虚拟维修试验共产生m个阶段的数据样本，经过虚实融合处理后，第i个阶段的信息样本为：

现场实物试验样本为：Z＝z₁,z₂,......,z_n，其具体思路如下：将第1阶段的试验数据作为最初的先验信息，当获取第2阶段的数据后，按Bayes方法进行信息融合，得到后验信息，并将其作为下一阶段的先验信息，如此依次递推，直至得到多阶段先验信息的融合总后验分布，并以此作现场实物试验样本的先验分布。该方法无需确定先验信息权重，能够充分利用仿真试验各个阶段的先验信息并实现逐次精确评估；但实际计算使用的数学模型缺乏一般性，仅对方差已知的正态分布样本进行了研究，而且只用单一分布函数来生成多阶段先验及现场试验的模拟随机数，无法体现装备在研发改进过程中不同阶段先验信息的变化。因此，参数不同的多阶段对数正态分布样本为研究对象，在单阶段样本虚实融合的基础上，设计实现逐步精化的多阶段Bayes融合方案并对其进行数学验证，相应的具体方案如附图2所示。

2)多阶段Bayes序贯迭代的参数计算方法如下：

在统计学原理中，先验分布P(θ)表示在抽取样本X之前对未知参数θ的预先了解，似然函数P(X|θ)表示抽取X后得到的样本信息，P(θ|X)为综合先验分布P(θ)和样本信息P(X|θ)所得到的参数θ的后验分布，即 P(θ|X)∝P(X|θ)P(θ)。如果后验分布P(θ|X)和先验概率P(θ)满足同样形式的分布律，那么先验分布和后验分布称为共轭分布；同时，先验分布称为似然函数P(X|θ)的共轭先验分布。多阶段Bayes融合的本质即根据样本信息对各阶段的共轭分布进行计算。根据4.2节的虚实融合方法，融合后的单阶段数据样本理论上应当呈现或近似呈现正态分布，必要时需要对其进行正态性检验。

在贝叶斯概率理论中，对于均值、方差都未知的正态分布N(μ,σ²)，其均值服从正态分布，方差服从逆伽马分布，对应的共轭先验分布合称为为正态- 逆伽马分布(N-IGa)，即：

μ_π、κ_π、ν_π、σ_π ²即为各阶段迭代融合所需计算的四个未知超参数，根据概率论相关原理，对相应的概率密度函数进行乘法运算，推导得出在多阶段Bayes融合过程中第i(i≥2)阶段的超参数计算方法如下：

式中，n_i、

分别为第i(i≥2)阶段样本的数据个数、均值及方差。特别的，对于第1阶段的超参数，其无法通过递推算法推导，但可以根据N-IGa 分布的统计学特征量进行矩估计。使用Bootstrap方法求出

中μ₁的均值

和方差

的均值

和方差

对应的第1阶段的超参数计算公式为：

通过超参数的迭代计算，即可得到每一阶段数据对应的先验及后验分布。对于现场实物试验样本，其对应的超参数计算方法如下：

由于逆伽马分布的矩估计结果和极大似然估计结果不重合，基于最终后验分布的矩估计结果未必准确。在现场样本条件下，正态总体的未知参数μ和σ2的最大后验估计值的计算公式为：

在得到最大后验估计的基础上，根据对数正态分布原理，相应的对数正态总体期望值的计算公式为：

对于服从对数正态分布的维修时间指标，E(T)即为其平均值。

(三)有益效果

本发明提供了一种基于虚实融合的多阶段维修性评估方法。具备以下有益效果：

1、多阶段Bayes融合估计的精度与先验信息融合阶段的数目呈正相关；同时，采用多阶段迭代的Bayes融合相比传统不分阶段的Bayes融合对均值的估计结果更加准确。

2、多阶段Bayes融合估计的精度与现场样本的容量呈正相关，且在融合阶段足够多时可以一定程度上有效减少现场试验所需的次数。

3、对于沉浸式虚拟维修性评估，将真人试验结果和同步产生的虚拟评估结果进行融合，可以有效提高维修性估计的精度。

附图说明

图1为本发明为沉浸式虚拟维修性融合评估的基本内容图；

图2为本发明为多阶段贝叶斯融合维修性评估基本方案图；

图3为本发明基于normplot函数对虚拟评价数据对数值的正态性检验结果图；

图4为本发明基于normplot函数的对数值融合数据正态性检验结果图；

图5为不同融合阶段对应的维修时间分布估计图；

图6为不同现场子样数对应的维修时间分布估计图；

图7为有无虚实融合步骤的维修时间分布估计图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

实施例一：

如图1-2所示，本发明实施例提供一种基于虚实融合的多阶段维修性评估方法，评估方法如下：

S1.将装备研制各阶段的沉浸式虚拟维修仿真结果作为维修性评估的先验信息，充分利用真人的评价结果和虚拟人仿真评价结果，对其进行合理的虚实融合；

S2.在S1基础上按阶段顺序对复杂模型下的融合先验信息进行多阶段序贯迭代融合，得到目标参数的最终后验分布；

S3.结合定型样机的实物维修性试验数据，得到对应维修性参数的估计结果并进行相应分析，以减少后端的试验次数、降低试验成本。

S1中沉浸式虚拟维修试验的虚实融合方法具体体现如下：

1)虚实维修性评估结果的产生：以装备的平均维修时间(MTTR)为计算基础，假设在第i阶段共开展ni次沉浸式虚拟维修仿真试验，则可以得到ni 对样本，即真人体验样本

和虚拟评价样本

装备的维修时间可认为服从对数正态分布，即：

X＝lnT～N(μ,σ²)

因此，对于第i阶段的沉浸式虚拟维修仿真，可以得到：

为验证本文提出的融合方法，同时方便计算，下文涉及的各项工作均以时间样本T的对数值样本X为研究对象。

2)相容性检验的虚实评估结果融合方法：基于相容性检验结果的虚实融合主要步骤为：

a)在pi的基础上构造加权因子，得到虚拟数据的加权融合权重ωi；

即pi越大，则ωi越大，在此基础上可以构造加权函数，以保证虚拟评价结果在加权融合中的权重随可信度增加而增加。

b)分别对虚实样本的每一对数据进行加权平均，得到第i阶段维修性评价结果的融合结果

其中

在装备维修性试验评估过程中，为降低现场试验样本量，常采用Bayes 方法对先验信息进行融合，其原理较为简单，数学上便于计算，能够有效利用多源先验维修性信息。但是，装备的研制过程往往具有很强的阶段性，装备的设计方案也会随阶段发展不断进行完善，对每一阶段的设计方案开展虚拟维修仿真，可以得到对应的维修性评估信息，越靠后的阶段理论上得到的评估越准确。而传统的Bayes估计方法一般将所有先验信息作为单一来源的整体样本进行融合估计，没有区分不同阶段的维修性信息质量，而且有时为避免现场试验信息被淹没，会舍弃部分早期先验信息。

基于上述原因，可以考虑采用多阶段迭代的Bayes方法对不同阶段的先验信息进行序贯融合，充分利用各阶段试验的先验信息

S2为基于Bayes理论的多阶段序贯融合维修性评估具体体现如下：

1)多阶段Bayes序贯迭代的思路及具体流程如下：假设沉浸式虚拟维修试验共产生m个阶段的数据样本，经过虚实融合处理后，第i个阶段的信息样本为：

现场实物试验样本为： Z＝z₁,z₂,......,z_n，其具体思路如下：将第1阶段的试验数据作为最初的先验信息，当获取第2阶段的数据后，按Bayes方法进行信息融合，得到后验信息，并将其作为下一阶段的先验信息，如此依次递推，直至得到多阶段先验信息的融合总后验分布，并以此作现场实物试验样本的先验分布。该方法无需确定先验信息权重，能够充分利用仿真试验各个阶段的先验信息并实现逐次精确评估；但实际计算使用的数学模型缺乏一般性，仅对方差已知的正态分布样本进行了研究，而且只用单一分布函数来生成多阶段先验及现场试验的模拟随机数，无法体现装备在研发改进过程中不同阶段先验信息的变化。因此，参数不同的多阶段对数正态分布样本为研究对象，在单阶段样本虚实融合的基础上，设计实现逐步精化的多阶段Bayes融合方案并对其进行数学验证，相应的具体方案如附图2所示。

3)多阶段Bayes序贯迭代的参数计算方法如下：

在统计学原理中，先验分布P(θ)表示在抽取样本X之前对未知参数θ的预先了解，似然函数P(X|θ)表示抽取X后得到的样本信息，P(θ|X)为综合先验分布P(θ)和样本信息P(X|θ)所得到的参数θ的后验分布，即 P(θ|X)∝P(X|θ)P(θ)。如果后验分布P(θ|X)和先验概率P(θ)满足同样形式的分布律，那么先验分布和后验分布称为共轭分布；同时，先验分布称为似然函数P(X|θ)的共轭先验分布。多阶段Bayes融合的本质即根据样本信息对各阶段的共轭分布进行计算。根据4.2节的虚实融合方法，融合后的单阶段数据样本理论上应当呈现或近似呈现正态分布，必要时需要对其进行正态性检验。

在贝叶斯概率理论中，对于均值、方差都未知的正态分布N(μ,σ²)，其均值服从正态分布，方差服从逆伽马分布，对应的共轭先验分布合称为为正态- 逆伽马分布(N-IGa)，即：

μ_π、κ_π、ν_π、σ_π ²即为各阶段迭代融合所需计算的四个未知超参数，根据概率论相关原理，对相应的概率密度函数进行乘法运算，推导得出在多阶段Bayes融合过程中第i(i≥2)阶段的超参数计算方法如下：

式中，n_i、

分别为第i(i≥2)阶段样本的数据个数、均值及方差。特别的，对于第1阶段的超参数，其无法通过递推算法推导，但可以根据N-IGa 分布的统计学特征量进行矩估计。使用Bootstrap方法求出

中μ₁的均值

和方差

的均值

和方差

对应的第1阶段的超参数计算公式为：

通过超参数的迭代计算，即可得到每一阶段数据对应的先验及后验分布。对于现场实物试验样本，其对应的超参数计算方法如下：

由于逆伽马分布的矩估计结果和极大似然估计结果不重合，基于最终后验分布的矩估计结果未必准确。在现场样本条件下，正态总体的未知参数μ和σ2的最大后验估计值的计算公式为：

在得到最大后验估计的基础上，根据对数正态分布原理，相应的对数正态总体期望值的计算公式为：

对于服从对数正态分布的维修时间指标，E(T)即为其平均值。

案例验证：

1.不同类型样本的模拟随机数生成

(1)现场实物试验结果的随机数模拟样本以装备某故障部件的MTTR为目标研究对象，假设在现场实物维修试验期间共开展35次试验。将现场试验的时间样本TZ划分为T1、T2、T3共3组，样本量分别为5、10、20。通过计算机产生一组对数正态分布随机数TZ～logN(4,0.42)来模拟现场试验样本，并计算得到相应的对数值样本Z。具体数据如表1.1所示。

表1.1现场实物维修性试验样本TZ(单位：min)及其对数值样本Z

以Z作为多阶段Bayes融合的现场样本并进行点估计，得到目标维修时间对数值的分布规律为N(4.029,0.3452)。根据式得到目标维修时间均值的估计结果为59.64min，以此作为目标平均维修时间的真实值和验证依据。

(2)沉浸式虚拟维修仿真试验结果的随机数模拟样本

同样采用计算机生成多组对数正态分布随机数来模拟多阶段真人体验评价的结果样本(共4个阶段)。同时为体现虚实数据样本的相关性，设定在第 i阶段的第k次试验中(k＝1,2,3…ni)，有：

式中，

服从正态分布

在此基础上生成对应的各阶段虚拟评价结果样本。模拟数据的产生规律如表1.2所示。

表1.2多阶段仿真试验随机数样本生成分布律

各阶段仿真试验样本及其对数值样本的具体数值如表1.3和表1.4所示。

表1.3多阶段仿真试验得到的虚实数据样本T

表1.4多阶段仿真试验得到的虚实数据样本的对数值样本X

根据表1.2中的随机数生成原理，表1.4中的真人体验数据的对数值显然服从正态分布，但是虚拟评价数据的对数值分布情况只能推测为近似正态分布，需要对其进行正态性检验。使用Matlab自带的normplot函数的检验结果如图3所示。

根据normplot函数原理，横坐标为样本点数值，纵坐标为刻度不均匀的正态概率密度。如果样本点在正态概率纸上沿参考直线分布，则认为其服从或近似服从正态分布。在图3中，各阶段虚拟数据对数值的样本点均近似沿参考直线分布，因此可以认为根据表1.2生成的虚拟时间数据的对数值服从或近似服从正态分布，能够对其应用1.2节的虚实融合方法。

2.数值计算

分别对各阶段试验得到的虚实数据对数值样本进行配对t检验和F检验，得到对应各阶段的p值为：

计算得到ω⁽¹⁾＝0.2854，ω⁽²⁾＝0.3652，ω⁽³⁾＝0.3165，ω⁽⁴⁾＝0.1936。进行融合，得到各阶段维修时间对数值的虚实融合样本如表1.5所示。

表4.5各阶段维修时间对数值的虚实融合样本

为保证融合后的样本能够进行Bayes迭代工作，在虚实融合的基础上，同样使用normplot函数对各阶段对数值融合数据的正态性进行检验，如图4 所示。

经过检验，在图4中各阶段融合数据对数值的分布同样近似沿参考直线，可以认为各阶段的融合数据均服从或近似服从正态分布，能够对其开展下一步的Bayes迭代。

使用Bootstrap方法计算得到式中的初始参数分别为：

则先验分布π1中的超参数为：

根据式，各阶段后验分布对应的正态-逆伽马分布的超参数计算结果为：

3.不同融合方案的最终估计结果比较

(1)不同阶段数的Bayes融合

以Z2为现场试验的小子样样本，分别以第1阶段、第1～2阶段、第1～3 阶段及第1～4阶段样本进行Bayes融合，同时按照传统Bayes方法将所有阶段的先验样本视为一个整体进行估计，根据式进行未知参数μ和σ²的最大后验估计，并对维修时间均值进行估计。最终估计结果如表1.6和图5所示(虚线为基于现场总样本点估计的维修时间分布)。

表1.6不同融合阶段数目对应的估计结果

显然，对于目标维修时间均值的最终估计结果，其精度与融合阶段数目呈大致的正相关关系。对于只融合较少个阶段先验信息的估计结果，其均值的估计结果同实际值偏差较大；随着融合阶段数的增加，均值的最终估计结果逐渐向真实值靠拢。同时，相比传统的不分阶段的Bayes方法，采用多个阶段递推融合得到的维修时间均值的估计结果更加准确。

(2)不同现场子样数的Bayes融合

分别以Z1、Z2、Z3为现场试验的小子样样本，进行全部4阶段的Bayes 递推融合。得到估计结果如表1.7和图6所示(虚线同上文)。

表1.7不同现场样本容量对应的估计结果

显然，多阶段Bayes融合估计的精度与现场小样本的容量呈正相关。现场样本的数据量越大，对均值的融合估计结果越接近真实值；同时，综合表 1.6和表1.7，可以认为当参与融合的先验信息阶段数足够多时，能够凭借相对小样本的现场试验结果实现足够精确的评估，在一定程度上有效减少现场试验所需的次数。

(3)虚实融合的有效性验证

同样以Z2为现场试验的小子样样本。省略单阶段的虚实融合步骤，即将单个阶段的虚实数据样本合并为一个长样本，在此基础上进行全部4阶段的 Bayes递推融合及相应估计，并同有虚实融合步骤的估计结果进行对比。计算结果如表1.8和图7所示(虚线同上文)。

表1.8有无虚实融合对应的Bayes估计结果(现场样本取Z2)

显然，相比未经过虚实融合处理的估计结果，引入虚实融合后的关于均值的最终估计结果更加贴近真实值。

尽管已经示出和描述了本发明的实施例，对于本领域的普通技术人员而言，可以理解在不脱离本发明的原理和精神的情况下可以对这些实施例进行多种变化、修改、替换和变型，本发明的范围由所附权利要求及其等同物限定。

Claims (3)

1.一种基于虚实融合的多阶段维修性评估方法，其特征在于：评估方法如下：

S1.将装备研制各阶段的沉浸式虚拟维修仿真结果作为维修性评估的先验信息，充分利用真人的评价结果和虚拟人仿真评价结果，对其进行合理的虚实融合；

S2.在S1基础上按阶段顺序对复杂模型下的融合先验信息进行多阶段序贯迭代融合，得到目标参数的最终后验分布；

S3.结合定型样机的实物维修性试验数据，得到对应维修性参数的估计结果并进行相应分析，以减少后端的试验次数、降低试验成本。

2.根据权利要求1所述的一种基于虚实融合的多阶段维修性评估方法，其特征在于：S1中沉浸式虚拟维修试验的虚实融合方法具体体现如下：

1)虚实维修性评估结果的产生：以装备的平均维修时间(MTTR)为计算基础，假设在第i阶段共开展ni次沉浸式虚拟维修仿真试验，则可以得到ni对样本，即真人体验样本

和虚拟评价样本

装备的维修时间可认为服从对数正态分布，即：

X＝ln T～N(μ,σ²)

因此，对于第i阶段的沉浸式虚拟维修仿真，可以得到：

为验证本文提出的融合方法，同时方便计算，下文涉及的各项工作均以时间样本T的对数值样本X为研究对象；

2)相容性检验的虚实评估结果融合方法：基于相容性检验结果的虚实融合主要步骤为：

a)在pi的基础上构造加权因子，得到虚拟数据的加权融合权重ωi；

即pi越大，则ωi越大，在此基础上可以构造加权函数，以保证虚拟评价结果在加权融合中的权重随可信度增加而增加；

b)分别对虚实样本的每一对数据进行加权平均，得到第i阶段维修性评价结果的融合结果

其中

3.根据权利要求1所述的一种基于虚实融合的多阶段维修性评估方法，其特征在于：S2为基于Bayes理论的多阶段序贯融合维修性评估具体体现如下：

1)多阶段Bayes序贯迭代的思路及具体流程如下：

假设沉浸式虚拟维修试验共产生m个阶段的数据样本，经过虚实融合处理后，第i个阶段的信息样本为：

现场实物试验样本为：Z＝z₁,z₂,......,z_n，其具体思路如下：将第1阶段的试验数据作为最初的先验信息，当获取第2阶段的数据后，按Bayes方法进行信息融合，得到后验信息，并将其作为下一阶段的先验信息，如此依次递推，直至得到多阶段先验信息的融合总后验分布，并以此作现场实物试验样本的先验分布；该方法无需确定先验信息权重，能够充分利用仿真试验各个阶段的先验信息并实现逐次精确评估；但实际计算使用的数学模型缺乏一般性，仅对方差已知的正态分布样本进行了研究，而且只用单一分布函数来生成多阶段先验及现场试验的模拟随机数，无法体现装备在研发改进过程中不同阶段先验信息的变化；因此，参数不同的多阶段对数正态分布样本为研究对象，在单阶段样本虚实融合的基础上，设计实现逐步精化的多阶段Bayes融合方案并对其进行数学验证，相应的具体方案如附图2所示；

2)多阶段Bayes序贯迭代的参数计算方法如下：

在统计学原理中，先验分布P(θ)表示在抽取样本X之前对未知参数θ的预先了解，似然函数P(X|θ)表示抽取X后得到的样本信息，P(θ|X)为综合先验分布P(θ)和样本信息P(X|θ)所得到的参数θ的后验分布，即P(θ|X)∝P(X|θ)P(θ)；如果后验分布P(θ|X)和先验概率P(θ)满足同样形式的分布律，那么先验分布和后验分布称为共轭分布；同时，先验分布称为似然函数P(X|θ)的共轭先验分布；多阶段Bayes融合的本质即根据样本信息对各阶段的共轭分布进行计算；根据4.2节的虚实融合方法，融合后的单阶段数据样本理论上应当呈现或近似呈现正态分布，必要时需要对其进行正态性检验；

在贝叶斯概率理论中，对于均值、方差都未知的正态分布N(μ,σ²)，其均值服从正态分布，方差服从逆伽马分布，对应的共轭先验分布合称为为正态-逆伽马分布(N-IGa)，即：

μ_π、κ_π、ν_π、σ_π ²即为各阶段迭代融合所需计算的四个未知超参数，根据概率论相关原理，对相应的概率密度函数进行乘法运算，推导得出在多阶段Bayes融合过程中第i(i≥2)阶段的超参数计算方法如下：

式中，n_i、

分别为第i(i≥2)阶段样本的数据个数、均值及方差；特别的，对于第1阶段的超参数，其无法通过递推算法推导，但可以根据N-IGa分布的统计学特征量进行矩估计；使用Bootstrap方法求出

中μ₁的均值

和方差

的均值

和方差

对应的第1阶段的超参数计算公式为：

通过超参数的迭代计算，即可得到每一阶段数据对应的先验及后验分布；对于现场实物试验样本，其对应的超参数计算方法如下：

由于逆伽马分布的矩估计结果和极大似然估计结果不重合，基于最终后验分布的矩估计结果未必准确；在现场样本条件下，正态总体的未知参数μ和σ2的最大后验估计值的计算公式为：

在得到最大后验估计的基础上，根据对数正态分布原理，相应的对数正态总体期望值的计算公式为：

对于服从对数正态分布的维修时间指标，E(T)即为其平均值。

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