CN112183756A - 一种可选择的精确量子主成分分析方法及应用 - Google Patents

Abstract

本发明属于量子机器学习技术领域，公开了一种可选择的精确量子主成分分析方法及应用，基于量子奇异值阈值分解算法，同传统的量子主成分分析相比灵活度高，通过控制阈值既输出主要的成分即主要的特征值特征向量，又可以输出全部成分即全部特征值特征向量；另一方面该算法同以往改进的算法相比平行方向上量子门数量减少，结果更加精确。本发明选择的精确量子主成分分析算法主要包括：输入协方差矩阵量子态，相位估计提取特征值，特征值转换，受控翻转，逆变换，测量，相位估计提取筛选特征值七个步骤，最终输出大于给定阈值的特征值和相应的特征向量。本发明可以作为量子机器学习领域其他算法的子例程，加快整个算法的执行效率。

Description

一种可选择的精确量子主成分分析方法及应用

技术领域

本发明属于量子机器学习技术领域，尤其涉及一种一种可选择的精确量子主成分分析方法及应用。

背景技术

目前：各行各业数据呈爆炸式增长，数据量、数据结构、数据种类都变得越来越复杂，这些海量数据给传统的机器学习算法带来技术上的挑战。结合量子计算特性的机器学习算法可实现对传统算法的加速，N维数据集只需要logN比特数，指数级的加速使量子算法在各行各业的应用性具有重要意义。量子主成分分析算法作为指数级加速的降维算法为爆炸式数据的处理提供了有效工具。

目前，业内常用的现有技术是传统的量子主成分分析算法，其主体思想是相位估计特征分解，输入初始化的量子态和待分解矩阵的酉操作，终态可以输出二进制表示的特征值。输出量子态如下所示：

其中λ_k是协方差矩阵的特征值，u_k是协方差矩阵的特征向量。

后来根据量子奇异值阈值分解算法，提出一种基于该算法的改进量子主成分分析算法，算法包括两个部分，一个是量子奇异值阈值分解算法本身，另一个是修改后的量子奇异值阈值分解算法。改进量子主成分分析算法增加辅助比特位，当辅助比特位为0时，执行奇异值阈值分解算法，当辅助比特位为1时，执行修改后的奇异值阈值分解算法。输入态是数据矩阵，最终输出态为筛选后的量子态，其中的奇异值均大于阈值，量子奇异值阈值算法和基于两步改进的量子主成分分分析算法输出分别如下：

其中左式是该算法设计的量子电路输出结果，右式表示该算法理想的输出结果，可以看出这两种算法得到的量子态均为近似值。另外，r小于等于数据矩阵的秩T，σ_k，u_k，v_k分别表示数据矩阵的奇异值和左右奇异向量，其中u_k也是数据协方差矩阵的特征向量，λ_k表示特征值，τ表示提前设定的阈值，y_k＝(1-τ/σ_k)₊∈[0,1)，y'_k＝(1+τ/σ_k)₊∈[0,1),(σ_k-τ)₊＝max(0,(σ_k-τ))，α是可调节的参数。

通过上述分析，现有技术存在的问题及缺陷为：

(1)传统量子主成分分析算法只能输出全部成分。

(2)基于两步量子奇异值阈值分解的改进主成分分析算法虽然可以选择性输出主成分，但是结果不精确影响算法的成功率。

(2)目前采用技术所需量子门个数较多，在现有条件的量子模拟计算机上容易受更多噪声的影响。

解决以上问题及缺陷的难度为：如果选择输出的量子主成分分析算法完全依赖于量子奇异值阈值分解算法不容易得到一个精确值，因为量子奇异值阈值分解算法需要调整参数提高算法成功概率得到近似值，所以找到一种精确的简单的可选择的量子主成分分析的电路设计是比较困难的。

解决以上问题及缺陷的意义为：首先可选择性输出的量子主成分分析算法对于解决实际问题是有必要的，该算法同原始量子主成分分析算法相比灵活性较高，输出主成分可以通过阈值控制，在量子测量时，相同采样量下得到主要的成分的概率将会提高，另外若想得到全部特征值特征向量，阈值设为0即可。所以如何确保可选择的量子主成分分析算法输出更加精确，电路设计更加简单，使得在硬件设备运行时出现的误差减少，变得十分重要，进一步为量子机器学习其他算法提供一个更加有效的子例程加快整个算法的效率。

发明内容

针对现有技术存在的问题，本发明提供了一种可选择的精确量子主成分分析方法及应用。

本发明是这样实现的，一种可选择的精确量子主成分分析方法，所述可选择的精确量子主成分分析方法的初始态构造五个寄存器，包括存储协方差矩阵|ψ_A＞的寄存器Reg.M，存储阈值|τ＞的寄存器Reg.B，还有存储特征值和特征值转换值的寄存器Reg.A，Reg.C，两个寄存器初始态均为|0＞，另外还需一个辅助寄存器Anc.初始化后这五个寄存器分别经过提取特征值；阈值筛选；受控操作；重置冗余寄存器；测量；提取筛选后的特征值等步骤得到一个理论下的精确量子态，该量子态包含大于阈值的特征值和相应的特征向量。

进一步，所述可选择的精确量子主成分分析方法包括：

将待主成分分析的数据协方差矩阵转化为量子态，并对整个系统制备初始化量子态；

执行相位估计，将矩阵特征值提取到寄存器基态，得到量子态；

将特征值和阈值做变换，得到新的值，当特征值小于阈值时，以此对特征值进行阈值筛选；

以存储的寄存器为控制位，以附加量子比特为目标位，做控制酉操作；

执行相位估计和变换的逆操作，使得存储特征值的寄存器回到初始态；

当附加量子比特位为1时，系统测量的量子态为阈值筛选后的量子态；

提取筛选后的特征值，对以上输出的量子态再次执行相位估计，得到量子态从这个输出的量子态中得到阈值过滤以后的特征值。

进一步，所述可选择的精确量子主成分分析方法将待分解协方差矩阵A转换为量子态|ψ_A＞作为寄存器Reg.M的初始态，分别初始化寄存器Reg.A，Reg.B，Reg.C其中Reg.B的初始态为阈值|τ＞，其他寄存器初始为|0＞，另外需要一个附加比特位Anc.|0＞作为受控操作的目标位，初始化量子态为：|0＞|0＞|0＞|ψ_A＞。(其中A是输入的协方差矩阵，|ψ_A＞表示矩阵A量子化的结果，Reg.A，Reg.B，Reg.C，Reg.M分别表示寄存器A,B,C,M，|τ＞表示阈值)

进一步，所述可选择的精确量子主成分分析方法对存储协方差矩阵的量子态|ψ_A＞作相位估计，输出的特征值将存储到寄存器Reg.A，量子态为：

(其中，T表示矩阵A的秩，|λ_k＞表示特征值，|u_k＞表示特征向量)

进一步，所述可选择的精确量子主成分分析方法对寄存器Reg.A，Reg.B，Reg.C作酉变换，该变换的目的是将关于特征值和阈值的新变量y_k存储到寄存器Reg.C，即该步骤在Reg.C输出y_k，当特征值小于阈值时，y_k＝0，筛选出大于阈值部分的特征值，得到量子态：

(其中

)

进一步，所述可选择的精确量子主成分分析方法受控翻转操作，当y_k大于0时，翻转附加比特位，得到量子态：

(其中r表示前r项的y_k大于0)

进一步，所述可选择的精确量子主成分分析方法逆变换，执行逆变换使得冗余寄存器Reg.C和Reg.A重置，此时的逆变换的酉变换的逆变换，得到量子态：

所述可选择的精确量子主成分分析方法测量，当附加比特位测量结果为1时，该线路输出将塔缩到目标量子态

该量子态中的特征值均大于阈值。(其中|ψ'_A＞为矩阵A特征筛选后的量子态)

进一步，所述可选择的精确量子主成分分析方法的量子主成分分析算法特征提取包括：

步骤一：相位估计，对于筛选后的量子态，将其特征值从概率幅度提取到基态|λ_k＞，再次执行相位估计即可，得到量子态

本发明的另一目的在于提供一种计算机设备，其所述计算机设备包括存储器和处理器，所述存储器存储有计算机程序，所述计算机程序被所述处理器执行时，使得所述处理器执行如下步骤：初始态构造五个寄存器，包括存储协方差矩阵|ψ_A＞的寄存器Reg.M，存储阈值|τ＞的寄存器Reg.B，还有存储特征值和特征值转换值的寄存器Reg.A，Reg.C，两个寄存器初始态均为|0＞，另外还需一个辅助寄存器Anc.初始化后这五个寄存器分别经过提取特征值；阈值筛选；受控操作；重置冗余寄存器；测量；提取筛选后的特征值等步骤得到一个理论下的精确量子态，该量子态包含大于阈值的特征值和相应的特征向量。

本发明的另一目的在于提供一种实施所述可选择的精确量子主成分分析方法的可选择的精确量子主成分分析系统，所述可选择的精确量子主成分分析系统包括：

初始化量子态模块，用于将待主成分分析的数据协方差矩阵转化为量子态，并对整个系统制备初始化量子态；

提取特征值模块，用于执行相位估计，将矩阵特征值提取到寄存器基态，得到量子态；

阈值筛选模块，用于将特征值和阈值做变换，得到新的值，当特征值小于阈值时，以此对特征值进行阈值筛选；

受控操作模块，用于以存储的寄存器为控制位，以附加量子比特为目标位，做控制酉操作；

重置冗余寄存器模块，用于执行相位估计和变换的逆操作，使得存储特征值的寄存器回到初始态；

测量模块，用于当附加量子比特位为1时，系统测量的量子态为阈值筛选后的量子态；

提取筛选后特征值模块，用于提取筛选后的特征值，对以上输出的量子态再次执行相位估计，得到量子态从这个输出的量子态中可以得到阈值过滤以后的特征值。

结合上述的所有技术方案，本发明所具备的优点及积极效果为：本发明算法思想和线路设计主要基于量子主成分分析算法和量子奇异值分解算法，从量子奇异值阈值分解算法的阈值思想受到启发，提出可选择的精确量子主成分分析算法，该算法可以精确输出协方差矩阵大于阈值部分的特征值和特征向量。本发明提供了一种可选择的精确量子主成分分析算法，这里的“可选择”是指对特征值进行阈值筛选，输出大于阈值的特征值和相应的特征向量。本发明可以根据阈值选择性输出特征值和特征向量，从而在量子模拟计算结果采样中在较高概率下得到主要成分。可以在达到上一目的的同时尽可能减少量子门个数，从而在量子模拟计算机中减少噪声对结果的影响。

本发明可选择的精确量子主成分分析算法灵活度高，可以通过控制阈值选择性输出主成分，而且不需要任何参数的调整进行估计，在理论条件下将得到一个精确值。在电路设计上，更加简单，本发明提供的算法使用的量子门数量相当于一倍的量子奇异值阈值分解算法的量子门数量，和基于两步量子奇异值阈值分解的改进量子主成分分析算法相比在并行方向上减少了一半的量子门，使得在量子模拟过程中减少噪声对输出结果的影响。

附图说明

为了更清楚地说明本申请实施例的技术方案，下面将对本申请实施例中所需要使用的附图做简单的介绍，显而易见地，下面所描述的附图仅仅是本申请的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1是本发明实施例提供的可选择的精确量子主成分分析方法流程图。

图2是本发明实施例提供的可选择的精确量子主成分分析系统的结构示意图；

图2中：1、初始化量子态模块；2、提取特征值模块；3、阈值筛选模块；4、受控操作模块；5、重置冗余寄存器模块；6、测量模块；7、提取筛选后特征值模块。

图3是本发明实施例提供的量子主成分分析算法特征筛选电路图。

图4是本发明实施例提供的量子主成分分析算法特征提取电路图。

图5是本发明实施例提供的量子主成分分析算法特征提取IBM云平台电路图。

图6是本发明实施例提供的量子主成分分析算法特征提取IBM云平台电路理想结果图。

图7是是本发明实施例提供的量子主成分分析算法特征提取IBM云平台电路噪声结果图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

针对现有技术存在的问题，本发明提供了一种可选择的精确量子主成分分析方法、系统、计算机设备，下面结合附图对本发明作详细的描述。

如图1所示，本发明提供的可选择的精确量子主成分分析方法包括以下步骤：

S101：将待主成分分析的数据协方差矩阵转化为量子态，并对整个系统制备初始化量子态；

S102：执行相位估计，将矩阵特征值提取到寄存器基态，得到量子态；

S103：将特征值和阈值做变换，得到新的值，当特征值小于阈值时，以此对特征值进行阈值筛选；

S104：以存储的寄存器为控制位，以附加量子比特为目标位，做控制酉操作；

S105：执行相位估计和变换的逆操作，使得存储特征值的寄存器回到初始态；

S106：当附加量子比特位为1时，系统测量的量子态为阈值筛选后的量子态；

S107：提取筛选后的特征值，对以上输出的量子态再次执行相位估计，得到量子态从这个输出的量子态中可以得到阈值过滤以后的特征值。

本发明提供的可选择的精确量子主成分分析方法业内的普通技术人员还可以采用其他的步骤实施，图1的本发明提供的可选择的精确量子主成分分析方法仅仅是一个具体实施例而已。

如图2所示，本发明提供的可选择的精确量子主成分分析系统包括：

初始化量子态模块1，用于将待主成分分析的数据协方差矩阵转化为量子态，并对整个系统制备初始化量子态。

提取特征值模块2，用于执行相位估计，将矩阵特征值提取到寄存器基态，得到量子态。

阈值筛选模块3，用于将特征值和阈值做变换，得到新的值，当特征值小于阈值时，以此对特征值进行阈值筛选。

受控操作模块4，用于以存储的寄存器为控制位，以附加量子比特为目标位，做控制酉操作。

重置冗余寄存器模块5，用于执行相位估计和变换的逆操作，使得存储特征值的寄存器回到初始态。

测量模块6，用于当附加量子比特位为1时，系统测量的量子态为阈值筛选后的量子态。

提取筛选后特征值模块7，用于提取筛选后的特征值，对以上输出的量子态再次执行相位估计，得到量子态从这个输出的量子态中可以得到阈值过滤以后的特征值。

下面结合附图对本发明的技术方案作进一步的描述。

如图3所示，本发明的算法思想初始态构造五个寄存器，包括存储协方差矩阵|ψ_A＞的寄存器Reg.M，存储阈值|τ＞的寄存器Reg.B，还有存储特征值和特征值转换值的寄存器Reg.A，Reg.C，这两个寄存器初始态均为|0＞，另外还需一个辅助寄存器Anc.初始化后这五个寄存器分别经过提取特征值；阈值筛选；受控操作；重置冗余寄存器；测量；提取筛选后的特征值等步骤得到一个理论下的精确量子态，该量子态包含大于阈值的特征值和相应的特征向量。如图3所示该线路设计量子门数量和一倍的量子奇异值阈值分解算法量子门数量几乎相等，从而和和基于两步量子奇异值阈值分解的改进量子主成分分析算法相比量子门数量减少近一半，且理论条件下为精确值不需调参得到不断逼近的估计值。

本发明的算法原理主要包括两大部分特征筛选和特征提取，分别如图3和图4所示。

如图3所示，量子主成分分析算法特征筛选步骤包括：

步骤一：将待分解协方差矩阵A转换为量子态|ψ_A＞作为寄存器Reg.M的初始态。分别初始化寄存器Reg.A，Reg.B，Reg.C其中Reg.B的初始态为阈值|τ＞，其他寄存器初始为|0＞，另外需要一个附加比特位Anc.|0＞作为受控操作的目标位。该步骤初始化量子态为：|0＞|0＞|0＞|ψ_A＞。

步骤二：对存储协方差矩阵的量子态|ψ_A＞作相位估计，输出的特征值将存储到寄存器Reg.A。该步骤量子态为：

步骤三：对寄存器Reg.A，Reg.B，Reg.C作酉变换，该变换的目的是将关于特征值和阈值的新变量y_k存储到寄存器Reg.C，即该步骤在Reg.C输出y_k，当特征值小于阈值时，y_k＝0。目的是筛选出大于阈值部分的特征值。该步骤得到量子态：

步骤四：受控翻转操作。当y_k大于0时，翻转附加比特位。该步骤得到量子态：

步骤五：逆变换。执行逆变换使得冗余寄存器Reg.C和Reg.A重置，此时的逆变换指步骤二和步骤三的酉变换的逆变换。该步骤得到量子态：

步骤六：测量。当附加比特位测量结果为1时，该线路输出将塔缩到目标量子态

该量子态中的特征值均大于阈值。

如图4所示，量子主成分分析算法特征提取步骤包括：

步骤一：相位估计。对于筛选后的量子态，将其特征值从概率幅度提取到基态|λ_k＞，再次执行相位估计即可，得到量子态

由上述原理描述可证明结果

为精确值，而先前技术结果

为一近似的估计值，另外由附图3和图4描述看到本发明算法设计的电路量子门数量几乎是一倍的量子奇异值阈值分解算法量子门数量，与以往相同目的的改进算法相比所需量子门减少，进一步量子模拟的噪声也会减小。

IBM量子计算云平台实验具体实施如下：

输入数据矩阵

设置阈值τ＝1.0。

如图5所示为矩阵A的可选择的精确量子主成分分析实验过程(其中q[3]，q[4](第四个和第五量子比特)用来初始化得到矩阵量子态，q[1]，q[2](第二个和第三个量子比特)用来存储特征值和转换值，q[0]用来作为辅助比特做翻转)：

(1)第一部分将矩阵A初始化量子态

(2)第二部分是相位估计的主体部分得到特征值

(3)第三部分将特征值和阈值进行转换

(4)第四部分受控翻转，当转换值大于0时翻转第一个量子比特

(5)剩余部分为第三步和第二步的逆操作

(6)最后测量这五个量子比特，当第一个量子比特为1时即为所求。

证明部分(具体实施例/实验/仿真/能够证明本发明创造性的正面实验数据等)

IBM量子计算云平台实验效果如下：

输入数据矩阵

设置阈值τ＝1.0，其中特征值特征向量分析如下：

λ₁＝2,u₁＝[0.7071,0.7071]

λ₁＝2,u₁＝[-0.7071,0.7071]

理论情况下输出量子态应为：

量子模拟计算理想实验结果如图6所示，当第一个量子比特为1时所得量子态即为所求，归一化计算得到实验结果为：

|ψ_A'＞＝[0.5,0.5,0.5,0.5]

分析得到无噪声情况下该量子算法与经典算法结果完全一致＜ψ_A|ψ_A'＞＝1，正确率达到100％，当量子计算机加入噪声后，输出量子态如图7所示，选取第一个量子比特位1的量子态，经归一化计算结果为：

|ψ_A”＞＝[0.4911，0.5153,0.4972,0.4960]

分析得到加入噪声情况下该量子算法与经典算法结果为＜ψ_A|ψ_A”＞＝0.9998，正确率也可以达到99.9％。充分说明该算法的可行性。

以上所述，仅为本发明的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，都应涵盖在本发明的保护范围之内。

Claims (10)

1.一种可选择的精确量子主成分分析方法，其特征在于，所述可选择的精确量子主成分分析方法的初始态构造五个寄存器，包括存储协方差矩阵|ψ_A＞的寄存器Reg.M，存储阈值|τ＞的寄存器Reg.B，还有存储特征值和特征值转换值的寄存器Reg.A，Reg.C，两个寄存器初始态均为|0＞，另外还需一个辅助寄存器Anc.初始化后这五个寄存器分别经过提取特征值；阈值筛选；受控操作；重置冗余寄存器；测量；提取筛选后的特征值等步骤得到一个理论下的精确量子态，该量子态包含大于阈值的特征值和相应的特征向量。

2.如权利要求1所述的可选择的精确量子主成分分析方法，其特征在于，所述可选择的精确量子主成分分析方法包括：

将待主成分分析的数据协方差矩阵转化为量子态，并对整个系统制备初始化量子态；

执行相位估计，将矩阵特征值提取到寄存器基态，得到量子态；

将特征值和阈值做变换，得到新的值，当特征值小于阈值时，以此对特征值进行阈值筛选；

以存储的寄存器为控制位，以附加量子比特为目标位，做控制酉操作；

执行相位估计和变换的逆操作，使得存储特征值的寄存器回到初始态；

当附加量子比特位为1时，系统测量的量子态为阈值筛选后的量子态；

提取筛选后的特征值，对以上输出的量子态再次执行相位估计，得到量子态从这个输出的量子态中得到阈值过滤以后的特征值。

3.如权利要求2所述的可选择的精确量子主成分分析方法，其特征在于，所述可选择的精确量子主成分分析方法将待分解协方差矩阵A转换为量子态|ψ_A＞作为寄存器Reg.M的初始态，分别初始化寄存器Reg.A，Reg.B，Reg.C其中Reg.B的初始态为阈值|τ＞，其他寄存器初始为|0＞，另外需要一个附加比特位Anc.|0＞作为受控操作的目标位，初始化量子态为：|0＞|0＞|0＞|ψ_A＞。

4.如权利要求2所述的可选择的精确量子主成分分析方法，其特征在于，所述可选择的精确量子主成分分析方法对存储协方差矩阵的量子态|ψ_A＞作相位估计，输出的特征值将存储到寄存器Reg.A，量子态为：

5.如权利要求2所述的可选择的精确量子主成分分析方法，其特征在于，所述可选择的精确量子主成分分析方法对寄存器Reg.A，Reg.B，Reg.C作酉变换，该变换的目的是将关于特征值和阈值的新变量y_k存储到寄存器Reg.C，即该步骤在Reg.C输出y_k，当特征值小于阈值时，y_k＝0，筛选出大于阈值部分的特征值，得到量子态：

6.如权利要求2所述的可选择的精确量子主成分分析方法，其特征在于，所述可选择的精确量子主成分分析方法受控翻转操作，当y_k大于0时，翻转附加比特位，得到量子态：

7.如权利要求2所述的可选择的精确量子主成分分析方法，其特征在于，所述可选择的精确量子主成分分析方法逆变换，执行逆变换使得冗余寄存器Reg.C和Reg.A重置，此时的逆变换的酉变换的逆变换，得到量子态：

所述可选择的精确量子主成分分析方法测量，当附加比特位测量结果为1时，该线路输出将塔缩到目标量子态

该量子态中的特征值均大于阈值。

8.如权利要求2所述的可选择的精确量子主成分分析方法，其特征在于，所述可选择的精确量子主成分分析方法的量子主成分分析算法特征提取包括：

步骤一：相位估计，对于筛选后的量子态，将其特征值从概率幅度提取到基态|λ_k＞，再次执行相位估计即可，得到量子态

9.一种计算机设备，其特征在于，所述计算机设备包括存储器和处理器，所述存储器存储有计算机程序，所述计算机程序被所述处理器执行时，使得所述处理器执行如下步骤：初始态构造五个寄存器，包括存储协方差矩阵|ψ_A＞的寄存器Reg.M，存储阈值|τ＞的寄存器Reg.B，还有存储特征值和特征值转换值的寄存器Reg.A，Reg.C，两个寄存器初始态均为|0＞，另外还需一个辅助寄存器Anc.初始化后这五个寄存器分别经过提取特征值；阈值筛选；受控操作；重置冗余寄存器；测量；提取筛选后的特征值等步骤得到一个理论下的精确量子态，该量子态包含大于阈值的特征值和相应的特征向量。

10.一种实施权利要求1～8任意一项所述可选择的精确量子主成分分析方法的可选择的精确量子主成分分析系统，其特征在于，所述可选择的精确量子主成分分析系统包括：

初始化量子态模块，用于将待主成分分析的数据协方差矩阵转化为量子态，并对整个系统制备初始化量子态；

提取特征值模块，用于执行相位估计，将矩阵特征值提取到寄存器基态，得到量子态；

阈值筛选模块，用于将特征值和阈值做变换，得到新的值，当特征值小于阈值时，以此对特征值进行阈值筛选；

受控操作模块，用于以存储的寄存器为控制位，以附加量子比特为目标位，做控制酉操作；

重置冗余寄存器模块，用于执行相位估计和变换的逆操作，使得存储特征值的寄存器回到初始态；

测量模块，用于当附加量子比特位为1时，系统测量的量子态为阈值筛选后的量子态；

提取筛选后特征值模块，用于提取筛选后的特征值，对以上输出的量子态再次执行相位估计，得到量子态从这个输出的量子态中可以得到阈值过滤以后的特征值。

Images