CN112152751B - 单项迹的计算方法及应用单项迹的错误纠正方法 - Google Patents

Abstract

一种单项迹的计算方法，由接收端执行，包含以下步骤：(A)决定目标次数；(B)根据所述目标次数，获得多个模多项式；(C)从所述模多项式中获得满足预定条件的目标模多项式；(D)根据所述目标模多项式建立有限域；(E)根据所述接收信号获得多个校正子；及(F)根据所述校正子、所述有限域、所述目标模多项式、迹映射模型，获得多个单项的迹系数。此外，本发明还提供一种应用单项迹的错误纠正方法。

Description

单项迹的计算方法及应用单项迹的错误纠正方法

技术领域

本发明涉及一种计算方法，特别是涉及一种单项迹的计算方法及应用单项迹的错误纠正方法。

背景技术

在现有许多领域中有许多装置都会使用到迹运算，例如在通信领域中在错误纠正方法时就有机会使用到迹运算。

举例而言，一传送端将一原始数据经一错误纠正码(Error-Correcting Codes,ECC)编码后，经一通道(channel)传送至一接收端，由于通道会有许多干扰或噪声，因此接收端所接收到的数据就会变成有噪声的数据，而接收端需要利用该错误纠正码将有噪声的数据的错误改正回来，而在使用到迹运算的错误纠正方法中，是先计算所接收到的数据的多个校正子，并根据所述校正子使用迹映射(trace map)运算，以获取错误位置与该错误位置的正确值。然而，针对有限域(finite field,Galois field,GF)进行迹映射运算所计算出来的迹的项数为复数时，则需要用到加法器，因此迹的项数越多，表示硬件线路就会越复杂，除了会造成运算速度变慢外，也会增加能耗、减低续航力。

发明内容

本发明的目的在于提供一种能降低硬件线路复杂度的单项迹的计算方法。

本发明的单项迹的计算方法，由接收端执行，所述接收端适用于根据接收信号产生错误纠正信息，所述接收信号是由传送端以生成多项式将原始数据编码后经传输通道所产生，所述单项迹的计算方法包含一步骤(A)、一步骤(B)、一步骤(C)、一步骤(D)、一步骤(E)，及一步骤(F)。

在该步骤(A)中，所述接收端根据预存的码字长度决定目标次数，所述目标次数为满足2的候选次数次方减一后除以所述预存的码字长度被整除的所述候选次数中的最小值。

在该步骤(B)中，所述接收端根据所述目标次数，获得多个模多项式。

在该步骤(C)中，所述接收端从所述模多项式中获得满足预定条件的目标模多项式。

在该步骤(D)中，所述接收端根据所述目标模多项式建立有限域。

在该步骤(E)中，所述接收端根据所述有限域，获得多个有限域系数多项式。

在该步骤(F)中，所述接收端根据所述有限域系数多项式、所述目标模多项式、迹映射模型，获得多个单项的迹系数。

较佳地，本发明的单项迹的计算方法，在步骤(E)中，有限域系数多项式α⁰，α¹，...，α^m-1为所述有限域GF(2^m)的基底组，m为所述目标次数，i∈R，R表示所有i模n分圆陪集的代表元素的集合，j∈{0,1,…,n-1}。

较佳地，本发明的单项迹的计算方法，在步骤(C)中的所述预定条件为所述目标模多项式的最高次项为奇数，且除常数项外的所有次项皆为奇数。

较佳地，本发明的单项迹的计算方法，在步骤(C)中的所述预定条件为所述目标模多项式的最高次项次数为偶数，且所述目标模多项式内奇数次项的项数为所述目标模多项式内次数大于所述目标模多项式的最高次项与最高奇数次项的次数差值的偶数次项的项数，且所述次数差值大于等于所述最高次项的项数的一半，且每一个奇数次项对应于一个其次数加上所述次数差值的偶数次项。

较佳地，本发明的单项迹的计算方法，在步骤(F)中，所述迹映射模型Tr(γ)如下式

其中γ为所述有限域多项式c_ij为所述迹系数。

本发明的另一目的在于提供一种能降低硬件线路复杂度的应用单项迹的错误纠正方法。

本发明的基于应用单项迹的错误纠正方法，由接收端执行，所述接收端适用于根据接收信号产生错误纠正信息，所述接收信号是由传送端以生成多项式将原始数据编码后经传输通道所产生，所述错误纠正方法包含一步骤(A)、一步骤(B)、一步骤(C)、一步骤(D)、一步骤(E)、一步骤(F)、一步骤(G)、一步骤(H)，及一步骤(I)。

在该步骤(A)中，所述接收端根据预存的码字长度决定目标次数，所述目标次数为满足2的候选次数次方减一后除以所述预存的码字长度被整除的所述候选次数中的最小值。

在该步骤(B)中，所述接收端根据所述目标次数，获得多个模多项式。

在该步骤(C)中，所述接收端从所述模多项式中获得满足预定条件的目标模多项式。

在该步骤(D)中，所述接收端根据所述目标模多项式建立有限域。

在该步骤(E)中，所述接收端根据所述接收信号获得多个校正子。

在该步骤(F)中，所述接收端根据所述校正子及所述生成多项式获得多个有限域乘法结果。

在该步骤(G)中，所述接收端根据所述有限域，获得多个分别对应所述有限域乘法结果的有限域系数多项式。

在该步骤(H)中，所述接收端根据所述有限域系数多项式、所述目标模多项式、迹映射模型，获得多个单项的迹系数。

在该步骤(I)中，所述接收端根据所述迹系数，获得包括多个分别对应多个错误位置的错误纠正值的所述错误纠正信息。

较佳地，本发明的应用单项迹的错误纠正方法，在步骤(E)中，有限域系数多项式α⁰，α¹，...，α^m-1为所述有限域GF(2^m)的基底组，m为所述目标次数，i∈R，R表示所有i模n分圆陪集的代表元素的集合，j∈{0,1,…,n-1}。

较佳地，本发明的应用单项迹的错误纠正方法，在步骤(C)中的所述预定条件为所述目标模多项式的最高次项次数为奇数，且除常数项外的所有次项次数皆为奇数。

较佳地，本发明的应用单项迹的错误纠正方法，在步骤(C)中的所述预定条件为所述目标模多项式的最高次项次数为偶数，且所述目标模多项式内奇数次项的项数为所述目标模多项式内次数大于所述目标模多项式的最高次项与最高奇数次项的次数差值的偶数次项的项数，且所述次数差值大于等于所述最高次项的项数的一半，且每一个奇数次项对应于一个其次数加上所述次数差值的偶数次项。

较佳地，本发明的应用单项迹的错误纠正方法，在步骤(H)中，所述迹映射模型Tr(γ)如下式

其中γ为所述有限域多项式c_ij为所述迹系数。

较佳地，本发明的应用单项迹的错误纠正方法，在步骤(E)中，所述校正子S_i属于代表校正子集合，i∈R，R表示所有i模n分圆陪集的代表元素的集合，n为所述预存的码字长度，在步骤(F)中，所述有限域乘法结果为S_iβ^n-ij，β为所述生成多项式的原根，β属于所述有限域GF(2^m)，m为所述目标次数且为大于2的正整数，n为编码码字长度，j∈{0,1,…,n-1}

较佳地，本发明的应用单项迹的错误纠正方法，在步骤(I)中，所述错误纠正值e_j＝S₀|∑_i∈R*c_ij，e_j为第j错误位置的错误纠正值，c_ij为所述迹系数，R^*＝R\{0}为所有i模n分圆陪集的非零代表元素的集合。

本发明的有益效果在于：借由所述装置根据所述有限域系数多项式、所述目标模多项式，及所述迹映射模型，获得单项的所述迹系数，在硬件的实现上不需要加法器对迹系数进行运算，因此降低了硬件线路复杂度。

附图说明

本发明的其他的特征及功效，将在参照附图的实施方式中清楚地呈现，其中：

图1是一流程图，本发明单项迹的计算方法的一实施例；

图2是一方块图，说明一用来实施本发明应用单项迹的错误纠正方法的一实施例的一接收端；及

图3是一流程图，说明本发明应用单项迹的错误纠正方法的该实施例。

具体实施方式

在本发明被详细描述前，应当注意在以下的说明内容中，类似的元件是以相同的编号来表示。

参阅图1，说明本发明单项迹的计算方法的一实施例，由一装置(图未示)执行，该装置例如为接收端、解码器等使用到有限域迹运算的装置。

在步骤101中，该装置决定一目标次数m。值得注意的是，依据各种应用情境不同，决定该目标次数m的方式也不同。

在步骤102中，该装置根据该目标次数m，获得多个模多项式m(x)，其中所述模多项式m(x)为不可分解多项式(irreducible polynomial)，也就是说除了1与本身外无法被其他多项式整除的多项式。值得注意的是，随着目标次数m的不同，所获得的模多项式m(x)的数量也不同，如表1举例目标次数m为3～5所获得的模多项式m(x)。

在步骤103中，该装置从所述模多项式m(x)中获得满足一预定条件的一目标模多项式p(x)。该预定条件为该目标模多项式p(x)的一最高次项次数为奇数，且除常数项外的所有次项次数皆为奇数，或是该目标模多项式p(x)的一最高次项次数为偶数，该目标模多项式p(x)内奇数次项的项数为该目标模多项式p(x)内次数大于该目标模多项式p(x)的最高次项与最高奇数次项的一次数差值u的偶数次项的项数，且该次数差值u大于等于该最高次项的项数的一半，且每一个奇数次项对应于一个其次数加上该项数差值u的偶数次项。举例来说，m＝3时，由于x³+x+1的最高次项为奇数，且除常数项外的所有次项皆为奇数，因此x³+x+1为该目标模多项式p(x)；m＝4时，u＝3，由于x⁴+x+1内次数大于3的偶数次项的项数为1项(x⁴)，等于奇数次项的项数x，该次数差值u大于等于该最高次项的项数的一半(u＝3＞4/2)，且奇数次项x对应一个其次数加上3的偶数次项x⁴，因此x⁴+x+1为该目标模多项式p(x)。

在步骤104中，该装置根据该目标模多项式p(x)建立一有限域GF(2^m)。

在步骤105中，该装置根据该有限域GF(2^m)，获得多个有限域系数多项式其中/>α⁰，α¹，...，α^m-1为该有限域GF(2^m)的一基底组，/>

在步骤106中，根据所述有限域系数多项式该目标模多项式p(x)，及一迹映射模型Tr(γ)及，获得多个单项的迹系数。该迹映射模型Tr(γ)如下式

其中γ为所述有限域多项式c_ij为所述迹系数。

参阅图2，执行本发明应用单项迹的错误纠正方法的一实施例的一接收端12，该第二实施例应用于错误纠正，该接收端12经由一传输通道2连接一传送端11。

该传送端11以一生成多项式g(x)将一原始数据编码成例如一(n,k,d)循环码字(cyclic codeword)后经该传输通道2传送至该接收端12，n代表该循环码字的长度，k代表该原始数据的长度，d代表该循环码字的最小汉明距离(Hamming distance)，该循环码字的最大错误纠正容量(error correcting capacity)为该循环码字经该传输通道2后成一接收信号，以致该接收端12接收该接收信号，该接收信号为该循环码字加上一通道噪声(channel noise)，该接收信号的码字长度也为n。该接收信号可以一接收多项式来表示，如下式

其中，r_j∈GF(2)，c(x)为该循环码字以一码字多项式表示

c_j∈GF(2)，e(x)表示该通道噪声以一错误多项式表示

e_j∈GF(2)，表示第j个错误位置的错误纠正值。

参阅图2、3，以下详述本发明应用单项迹的错误纠正方法的该实施例的各个步骤。

在步骤201中，该接收端12根据一预存的码字长度决定一目标次数m，该预存的码字长度为该循环码字的长度n及该接收信号的码字长度n。该目标次数m为满足2的该目标次数次方减一后除以该预存的码字长度被整除((2^m'-1)modn＝0)的最小值，其中mod为模除，其中m’為所述候选次数。

在步骤202中，该接收端12根据该目标次数m，获得多个模多项式m(x)。

在步骤203中，该接收端12从所述模多项式m(x)中获得满足一预定条件的一目标模多项式p(x)。

在步骤204中，该接收端12根据该目标模多项式p(x)建立一有限域GF(2^m)。

值得注意的是，在本实施例中，步骤201～204在接收该接收信号前执行，在其他实施例中，也可在接收该接收信号后或同时执行，不以此为限。

在步骤205中，该接收端12根据该接收信号获得多个校正子(Syndromes)S_i，其中S_i＝e(βⁱ)，β为该生成多项式g(x)的原根(primitive root)，β属于该有限域GF(2^m)，m为该目标次数且为大于2的正整数，所述校正子S_i属于一代表(representative)校正子集合，i∈R，R表示所有i模n分圆陪集(cyclotomic coset of i modulo n)C_i的代表元素的集合，

C_i＝{i·2^k|k＝0,1,...，f-1}

其中，f为满足i·2^f≡imod n的最小正整数。由于所述校正子S_i的求法已揭露于一些现有的文献，例如，「"Algebraic Decoding of(71,36,11),(79,40,15),and(97,49,15)Quadratic Residue Codes,"IEEE TRANSACTIONS ON COMMUNICATIONS,VOL.51,NO.9,PP.1463-1473,SEPTEMBER2003」以及「"Algebraic Decoding of(103,52,19)and(113,57,15)Quadratic Residue Codes,"IEEE TRANSACTIONS ON COMMUNICATIONS,VOL.53,NO.5,PP.749-754,MAY 2005」，且非本发明的重点，故不在此赘述所述校正子S_i的求法。

在步骤206中，该接收端12根据所述校正子S_i及该接收端12所预存该生成多项式g(x)的该原根β获得多个有限域乘法结果S_iβ^n-ij，i∈R，j∈{0,1,...，n-1}。

在步骤207中，该接收端12根据该有限域GF(2^m)，获得多个分别对应所述有限域乘法结果的有限域系数多项式其中/>α⁰，α¹，...，α^m-1为该有限域GF(2^m)的一基底组，/>

在步骤208中，该接收端12根据所述有限域系数多项式该目标模多项式p(x)，及一迹映射模型Tr(γ)，获得多个单项的迹系数c_ij。

在步骤209中，该接收端12根据所述迹系数c_ij，获得包括多个分别对应多个错误位置的错误纠正值的错误纠正信息，第j错误位置的错误纠正值e_j如下式

e_j＝S₀+∑_i∈R*c_ij。

其中R^*＝R\{0}为所有i模n分圆陪集的非零代表元素的集合。

举例来说，(7,4,3)循环码字为例，该目标次数m＝3，因此该接收端12获得2个模多项式m(x)，分别为x³+x²+1＝0及x³+x+1＝0，由于后者满足所有次项皆为奇数的该预定条件，因此为目标模多项式p(x)。该接收端12根据所述有限域系数多项式该目标模多项式p(x)，及该迹映射模型Tr(γ)可知

再由该目标不可分解多项式x³+x+1＝0可知x³＝x+1，因此可知x⁴＝x+x²且x⁸＝x，代入上式可得所述迹系数最后可得第j错误位置的错误纠正值要特别注意的是，若以x³+x²+1＝0为目标不可分解多项式，可知x³＝x²+1，而x⁴＝1+x+x²且x⁸＝x，代入上式可得该迹系数/>每一个迹系数c_ij需要多2个加法器，第j错误位置的错误纠正值/>在接收端12的硬件设计上需要多4个加法器。

综上所述，本发明单项迹的计算方法及应用单项迹的错误纠正方法，借由该装置根据所述有限域系数多项式该目标模多项式p(x)，及该迹映射模型Tr(γ)，获得单项的所述迹系数c_ij，在硬件的实现上不需要加法器对迹系数进行运算，因此降低了硬件线路复杂度，故确实能达成本发明的目的。

Claims (12)

1.一种单项迹的计算方法，由接收端执行，所述接收端适用于根据接收信号产生错误纠正信息，所述接收信号是由传送端以生成多项式将原始数据编码后经传输通道所产生，其特征在于：

所述单项迹的计算方法包含以下步骤：

(A)根据预存的码字长度决定目标次数，所述目标次数为满足2的候选次数次方减一后除以所述预存的码字长度被整除的所述候选次数中的最小值；

(B)根据所述目标次数，获得多个模多项式；

(C)从所述模多项式中获得满足预定条件的目标模多项式；

(D)根据所述目标模多项式建立有限域；

(E)根据所述有限域，获得多个有限域系数多项式；及

(F)根据所述有限域系数多项式、所述目标模多项式、迹映射模型，获得多个单项的迹系数。

2.根据权利要求1所述的单项迹的计算方法，其特征在于：在步骤(E)中，有限域系数多项式α⁰,α¹,…,α^m-1为所述有限域GF(2^m)的基底组，m为所述目标次数，i∈R，R表示所有i模n分圆陪集的代表元素的集合，

j∈{0,1,…,n-1}。

3.根据权利要求1所述的单项迹的计算方法，其特征在于：在步骤(C)中的所述预定条件为所述目标模多项式的最高次项为奇数，且除常数项外的所有次项皆为奇数。

4.根据权利要求1所述的单项迹的计算方法，其特征在于：在步骤(C)中的所述预定条件为所述目标模多项式的最高次项次数为偶数，且所述目标模多项式内奇数次项的项数为所述目标模多项式内次数大于所述目标模多项式的最高次项与最高奇数次项的次数差值的偶数次项的项数，且所述次数差值大于等于所述最高次项的项数的一半，且每一个奇数次项对应于一个其次数加上所述次数差值的偶数次项。

5.根据权利要求2所述的单项迹的计算方法，其特征在于：在步骤(F)中，所述迹映射模型Tr(γ)如下式

其中γ为所述有限域多项式α_ij为所述迹系数。

6.一种应用单项迹的错误纠正方法，由接收端执行，所述接收端适用于根据接收信号产生错误纠正信息，所述接收信号是由传送端以生成多项式将原始数据编码后经传输通道所产生，其特征在于：所述应用单项迹的错误纠正方法包含以下步骤：

(A)根据预存的码字长度决定目标次数，所述目标次数为满足2的候选次数次方减一后除以所述预存的码字长度被整除的所述候选次数中的最小值；

(B)根据所述目标次数，获得多个模多项式；

(C)从所述模多项式中获得满足预定条件的目标模多项式；

(D)根据所述目标模多项式建立有限域；

(E)根据所述接收信号获得多个校正子；

(F)根据所述校正子及所述生成多项式获得多个有限域乘法结果；

(G)根据所述有限域，获得多个分别对应所述有限域乘法结果的有限域系数多项式；

(H)根据所述有限域系数多项式、所述目标模多项式、迹映射模型，获得多个单项的迹系数；及

(I)根据所述迹系数，获得包括多个分别对应多个错误位置的错误纠正值的所述错误纠正信息。

7.根据权利要求6所述的应用单项迹的错误纠正方法，其特征在于：在步骤(E)中，有限域系数多项式α⁰,α¹,…,α^m-1为所述有限域GF(2^m)的基底组，m为所述目标次数，/>R表示所有i模n分圆陪集的代表元素的集合，j∈{0,1,…,n-1}。

8.根据权利要求6所述的应用单项迹的错误纠正方法，其特征在于：在步骤(C)中的所述预定条件为所述目标模多项式的最高次项次数为奇数，且除常数项外的所有次项次数皆为奇数。

9.根据权利要求6所述的应用单项迹的错误纠正方法，其特征在于：在步骤(C)中的所述预定条件为所述目标模多项式的最高次项次数为偶数，且所述目标模多项式内奇数次项的项数为所述目标模多项式内次数大于所述目标模多项式的最高次项与最高奇数次项的次数差值的偶数次项的项数，且所述次数差值大于等于所述最高次项的项数的一半，且每一个奇数次项对应于一个其次数加上所述次数差值的偶数次项。

10.根据权利要求7所述的应用单项迹的错误纠正方法，其特征在于：在步骤(H)中，所述迹映射模型Tr(γ)如下式

其中γ为所述有限域多项式c_ij为所述迹系数。

11.根据权利要求6所述的应用单项迹的错误纠正方法，其特征在于：在步骤(E)中，所述校正子S_i属于代表校正子集合，i∈R，R表示所有i模n分圆陪集的代表元素的集合，n为所述预存的码字长度，在步骤(F)中，所述有限域乘法结果为S_iβ^n-ij，其中β为所述生成多项式的原根，β属于所述有限域GF(2^m)，m为所述目标次数且为大于2的正整数，n为编码码字长度，j∈{0,1,…,n-1}。

12.根据权利要求11所述的应用单项迹的错误纠正方法，其特征在于：在步骤(I)中，所述错误纠正值e_j为第j错误位置的错误纠正值，c_ij为所述迹系数，R^*＝R\{0}为所有i模n分圆陪集的非零代表元素的集合。