TWI742371B - 應用單項跡之錯誤更正方法 - Google Patents

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Abstract

一種應用單項跡之錯誤更正方法，由一接收端執行，包含以下步驟：(A)根據一預存的碼字長度決定一目標次數；(B)根據該目標次數，獲得多個模多項式；(C)從該等模多項式中獲得滿足一預定條件的一目標模多項式；(D)根據該目標模多項式建立一有限體；(E)根據一接收訊號獲得多個徵狀值；(F)根據該等徵狀值及一生成多項式獲得多個有限體乘法結果；(G)根據該有限體獲得多個有限體係數多項式；(H)根據該等有限體係數多項式、該目標模多項式、一跡映射模型，獲得多個單項的跡係數；及(I)根據該等跡係數，獲得包括多個錯誤更正值的該錯誤更正資訊。

Description

應用單項跡之錯誤更正方法
本發明是有關於一種計算方法，特別是指一種應用單項跡之錯誤更正方法。
在現有許多領域中有許多裝置都會使用到跡運算，例如在通訊領域中在錯誤更正方法時就有機會使用到跡運算。
舉例而言，一傳送端將一原始資料經一錯誤更正碼(Error-Correcting Codes,ECC)編碼後，經一通道(channel)傳送至一接收端，由於通道會有許多干擾或雜訊，因此接收端所接收到的資料就會變成有雜訊的資料，而接收端需要利用該錯誤更正碼將有雜訊的資料的錯誤改正回來，而在使用到跡運算的錯誤更正方法中，係先計算所接收到的資料的多個徵狀值，並根據該等徵狀值使用跡映射(trace map)運算，以獲取錯誤位置與該錯誤位置之正確值。
然而，針對有限體(finite field,Galois field,GF)進行跡映射運算所計算出來的跡的項數為複數時，則需要用到加法 器，因此跡的項數越多，表示硬體線路就會越複雜，除了會造成運算速度變慢外，也會增加能耗、減低續航力。
因此，本發明的目的，即在提供一種能降低硬體線路複雜度的單項跡之計算方法。
於是，本發明單項跡之計算方法，由一裝置執行，該單項跡之計算方法包含一步驟(A)、一步驟(B)、一步驟(C)、一步驟(D)、一步驟(E)，及一步驟(F)。
在該步驟(A)中，該裝置決定一目標次數。
在該步驟(B)中，該裝置根據該目標次數，獲得多個模多項式。
在該步驟(C)中，該裝置從該等模多項式中獲得滿足一預定條件的一目標模多項式。
在該步驟(D)中，該裝置根據該目標模多項式建立一有限體。
在該步驟(E)中，該裝置根據該有限體，獲得多個有限體係數多項式。
在該步驟(F)中，該裝置根據該等有限體係數多項式、該目標模多項式、一跡映射模型，獲得多個單項的跡係數。
本發明的另一目的，即在提供一種能降低硬體線路複雜度的應用單項跡之錯誤更正方法。
於是，本發明基於應用單項跡之錯誤更正方法，由一接收端執行，該接收端適用於根據一接收訊號產生一錯誤更正資訊，該接收訊號係由一傳送端以一生成多項式將一原始資料編碼後經一傳輸通道所產生，該錯誤更正方法包含一步驟(A)、一步驟(B)、一步驟(C)、一步驟(D)、一步驟(E)、一步驟(F)、一步驟(G)、一步驟(H)，及一步驟(I)。
在該步驟(A)中，該接收端根據一預存的碼字長度決定一目標次數。
在該步驟(B)中，該接收端根據該目標次數，獲得多個模多項式。
在該步驟(C)中，該接收端從該等模多項式中獲得滿足一預定條件的一目標模多項式。
在該步驟(D)中，該接收端根據該目標模多項式建立一有限體。
在該步驟(E)中，該接收端根據該接收訊號獲得多個徵狀值。
在該步驟(F)中，該接收端根據該等徵狀值及該生成多項式獲得多個有限體乘法結果。
在該步驟(G)中，該接收端根據該有限體，獲得多個分別對應該等有限體乘法結果的有限體係數多項式。
在該步驟(H)中，該接收端根據該等有限體係數多項式、該目標模多項式、一跡映射模型，獲得多個單項的跡係數。
在該步驟(I)中，該接收端根據該等跡係數，獲得包括多個分別對應多個錯誤位置的錯誤更正值的該錯誤更正資訊。
本發明之功效在於：藉由該裝置根據該等有限體係數多項式、該目標模多項式，及該跡映射模型，獲得單項的該等跡係數，在硬體的實現上不需要加法器對跡係數進行運算，因此降低了硬體線路複雜度。
11:傳送端
12:接收端
2:傳輸通道
101~106:步驟
201~209:步驟
本發明的其他的特徵及功效，將於參照圖式的實施方式中清楚地呈現，其中：圖1是一流程圖，本發明單項跡之計算方法的一實施例；圖2是一方塊圖，說明一用來實施本發明應用單項跡之錯誤更正方法的一實施例的一接收端；及圖3是一流程圖，說明本發明應用單項跡之錯誤更正方法的該實施例。
在本發明被詳細描述前，應當注意在以下的說明內容中，類似的元件是以相同的編號來表示。
參閱圖1，說明本發明單項跡之計算方法的一實施例，由一裝置(圖未示)執行，該裝置例如為接收端、解碼器等使用到有限體跡運算的裝置。
在步驟101中，該裝置決定一目標次數m。值得注意的是，依據各種應用情境不同，決定該目標次數m的方式亦不同。
在步驟102中，該裝置根據該目標次數m，獲得多個模多項式m(x)，其中該等模多項式m(x)為不可分解多項式(irreducible polynomial)，即除了1與本身外無法被其他多項式整除的多項式。值得注意的是，隨著目標次數m的不同，所獲得的模多項式m(x)的數量也不同，如表1舉例目標次數m為3~5所獲得的模多項式m(x)。
Figure 108116365-A0305-02-0006-1
在步驟103中，該裝置從該等模多項式m(x)中獲得滿足一預定條件的一目標模多項式p(x)。該預定條件為該目標模多項式p(x)的一最高次項次數為奇數，且除常數項外的所有次項次數皆為 奇數，或是該目標模多項式p(x)的一最高次項次數為偶數，該目標模多項式p(x)內奇數次項的項數為該目標模多項式p(x)內次數大於該目標模多項式p(x)的最高次項與最高奇數次項的一次數差值u的偶數次項的項數，且該次數差值u大於等於該最高次項的項數的一半，且每一個奇數次項對應於一個其次數加上該項數差值u的偶數次項。舉例來說，m=3時，由於x 3+x+1的最高次項為奇數，且除常數項外的所有次項皆為奇數，因此x 3+x+1為該目標模多項式p(x)；m=4時，u=3，由於x 4+x+1內次數大於3的偶數次項的項數為1項(即x 4)，等於奇數次項的項數x，該次數差值u大於等於該最高次項的項數的一半(即u=3>4/2)，且奇數次項x對應一個其次數加上3的偶數次項x 4，因此x 4+x+1為該目標模多項式p(x)。
在步驟104中，該裝置根據該目標模多項式p(x)建立一有限體GF(2 m )。
在步驟105中，該裝置根據該有限體GF(2 m )，獲得多個 有限體係數多項式
Figure 108116365-A0305-02-0007-22
，其中
Figure 108116365-A0305-02-0007-2
，α 0,α 1,...,α m-1為該有 限體GF(2 m )的一基底組，
Figure 108116365-A0305-02-0007-23
GF(2)。
在步驟106中，根據該等有限體係數多項式
Figure 108116365-A0305-02-0007-24
、該目標模多項式p(x)，及一跡映射模型Tr(γ)，獲得多個單項的跡係數。該跡映射模型Tr(γ)如下式
Figure 108116365-A0305-02-0008-3
 其中γ為該等有限體多項式
Figure 108116365-A0305-02-0008-5
，c ij 為該等跡係數。
參閱圖2，執行本發明應用單項跡之錯誤更正方法的一實施例的一接收端12，該第二實施例應用於錯誤更正，該接收端12經由一傳輸通道2連接一傳送端11。
該傳送端11以一生成多項式g(x)將一原始資料編碼成例如一(n,k,d)循環碼字(cyclic codeword)後經該傳輸通道2傳送至該接收端12，其中，n代表該循環碼字之長度，k代表該原始資料之長度，d代表該循環碼字之最小漢明距離(Hamming distance)，該循環碼字之最大錯誤更正容量(error correcting capacity)為
Figure 108116365-A0305-02-0008-4
。該循環碼字經該傳輸通道2後成一接收訊號，以致該接收 端12接收該接收訊號，該接收訊號為該循環碼字加上一通道雜訊(channel noise)，該接收訊號的碼字長度亦為n。該接收訊號可以一接收多項式來表示，如下式
Figure 108116365-A0305-02-0008-7
 其中，r j
Figure 108116365-A0305-02-0008-25
GF(2)，c(x)為該循環碼字以一碼字多項式表示
Figure 108116365-A0305-02-0008-6
 c j
Figure 108116365-A0305-02-0008-26
GF(2)，e(x)表示該通道雜訊以一錯誤多項式表示
Figure 108116365-A0305-02-0009-8
 e j
Figure 108116365-A0305-02-0009-27
GF(2)，表示第j個錯誤位置的錯誤更正值。
參閱圖2、3，以下詳述本發明應用單項跡之錯誤更正方法的該實施例之各個步驟。
在步驟201中，該接收端12根據一預存的碼字長度決定一目標次數m，該預存的碼字長度即為該循環碼字之長度n及該接收訊號的碼字長度n。該目標次數m為滿足2的該目標次數次方減一後除以該預存的碼字長度被整除(即(2 m -1)mod n=0)的最小值，其中mod為模除。
在步驟202中，該接收端12根據該目標次數m，獲得多個模多項式m(x)。
在步驟203中，該接收端12從該等模多項式m(x)中獲得滿足一預定條件的一目標模多項式p(x)。
在步驟204中，該接收端12根據該目標模多項式p(x)建立一有限體GF(2 m )。
值得注意的是，在本實施例中，步驟201~204在接收該接收訊號前執行，在其他實施例中，亦可在接收該接收訊號後或同時執行，不以此為限。
在步驟205中，該接收端12根據該接收訊號獲得多個徵 狀值(Syndromes)S i ，其中S i =e(β i )，β為該生成多項式g(x)的原根(primitive root)，β屬於該有限體GF(2 m )，m為該目標次數且為大於2的正整數，該等徵狀值S i 屬於一代表(representative)徵狀值集合，i
Figure 108116365-A0305-02-0010-28
R，R表示所有i模n分圓陪集(cyclotomic coset of i modulo n)C i 的代表元素的集合，C i ={i．2 k |k=0,1,...,f-1}其中，f為滿足i．2 f ≡i mod n的最小正整數。由於該等徵狀值S i 之求法已揭露於一些現有之文獻，例如，「"Algebraic Decoding of(71,36,11),(79,40,15),and(97,49,15)Quadratic Residue Codes,"IEEE TRANSACTIONS ON COMMUNICATIONS ,VOL.51,NO.9,PP.1463-1473,SEPTE MBER 2003」以及「"Algebraic Decoding of(103,52,19)and(113,57,15)Quadratic Residue Codes,"IEEE TRANSACTIONS ON COMMUNICATIONS,VOL.53,NO.5,PP.749-754,MAY 2005」，且非本發明之重點，故不在此贅述該等徵狀值S i 之求法。
在步驟206中，該接收端12根據該等徵狀值S i 及該接收端12所預存該生成多項式g(x)的該原根β獲得多個有限體乘法結果S i β n-ij ，i
Figure 108116365-A0305-02-0010-29
R，j
Figure 108116365-A0305-02-0010-30
{0,1,...,n-1}。
在步驟207中，該接收端12根據該有限體GF(2 m )，獲得多個分別對應該等有限體乘法結果的有限體係數多項式
Figure 108116365-A0305-02-0010-31
，其 中
Figure 108116365-A0305-02-0010-10
，α 0,α 1,...,α m-1為該有限體GF(2 m )的一 基底組，
Figure 108116365-A0305-02-0010-32
GF(2)。
在步驟208中，該接收端12根據該等有限體係數多項式
Figure 108116365-A0305-02-0011-33
、該目標模多項式p(x)，及一跡映射模型Tr(γ)，獲得多個單項的跡係數c ij 。
在步驟209中，該接收端12根據該等跡係數c ij ，獲得包括多個分別對應多個錯誤位置的錯誤更正值的錯誤更正資訊，第j錯誤位置的錯誤更正值e j 如下式
Figure 108116365-A0305-02-0011-12
 其中R*=R\{0}為所有i模n分圓陪集的非零代表元素的集合。
舉例來說，(7,4,3)循環碼字為例，該目標次數m=3，因此該接收端12獲得2個模多項式m(x)，分別為x 3+x 2+1=0及x 3+x+1=0，由於後者滿足所有次項皆為奇數的該預定條件，因此為目標模多項式p(x)。該接收端12根據該等有限體係數多項式
Figure 108116365-A0305-02-0011-34
(x)、該目標模多項式p(x)，及該跡映射模型Tr(γ)可知
Figure 108116365-A0305-02-0011-11
 再由該目標不可分解多項式x 3+x+1=0可知x 3=x+1，因此可知 x 4=x+x 2且x 8=x，代入上式可得該等跡係數
Figure 108116365-A0305-02-0011-15
，最後可得第j 錯誤位置的錯誤更正值
Figure 108116365-A0305-02-0011-13
。要特別注意的是，若以 x 3+x 2+1=0為目標不可分解多項式，可知x 3=x 2+1，而x 4=1+x+x 2 且x 8=x，代入上式可得該跡係數
Figure 108116365-A0305-02-0011-14
，每一個跡係數c ij 需要多2個加法器，第j錯誤位置的錯誤更正值
Figure 108116365-A0305-02-0011-16
Figure 108116365-A0305-02-0012-17
，在接收端12的硬體設計上需要多4個加法器。
綜上所述，本發明單項跡之計算方法及應用單項跡之錯誤更正方法，藉由該裝置根據該等有限體係數多項式
Figure 108116365-A0305-02-0012-35
、該目標模多項式p(x)，及該跡映射模型Tr(γ)，獲得單項的該等跡係數c ij ，在硬體的實現上不需要加法器對跡係數進行運算，因此降低了硬體線路複雜度，故確實能達成本發明的目的。
惟以上所述者，僅為本發明的實施例而已，當不能以此限定本發明實施的範圍，凡是依本發明申請專利範圍及專利說明書內容所作的簡單的等效變化與修飾，皆仍屬本發明專利涵蓋的範圍內。
101~106:步驟

Claims (8)

  1. 一種應用單項跡之錯誤更正方法，由一接收端執行，該接收端適用於根據一接收訊號產生一錯誤更正資訊，該接收訊號係由一傳送端以一生成多項式將一原始資料編碼後經一傳輸通道所產生，該應用單項跡之錯誤更正方法包含以下步驟：(A)根據一預存的碼字長度決定一目標次數；(B)根據該目標次數，獲得多個模多項式；(C)從該等模多項式中獲得滿足一預定條件的一目標模多項式；(D)根據該目標模多項式建立一有限體；(E)根據該接收訊號獲得多個徵狀值；(F)根據該等徵狀值及該生成多項式獲得多個有限體乘法結果；(G)根據該有限體，獲得多個分別對應該等有限體乘法結果的有限體係數多項式；(H)根據該等有限體係數多項式、該目標模多項式、一跡映射模型，獲得多個單項的跡係數；及(I)根據該等跡係數，獲得包括多個分別對應多個錯誤位置的錯誤更正值的該錯誤更正資訊。
  2. 如請求項1所述的應用單項跡之錯誤更正方法，其中，在步驟(A)中，該目標次數為滿足2的該目標次數次方減一後除以該預定的碼字長度被整除的最小值。
  3. 如請求項1所述的應用單項跡之錯誤更正方法，其中，在 步驟(E)中，有限體係數多項式
    Figure 108116365-A0305-02-0014-20
    ，α 0,α 1,...,α m-1為該有限體GF(2 m )的一基底組，m為該目標次數，
    Figure 108116365-A0305-02-0014-36
    GF(2)。
  4. 如請求項1所述的應用單項跡之錯誤更正方法，其中，在步驟(C)中的該預定條件為該目標模多項式的最高次項次數為奇數，且除常數項外的所有次項次數皆為奇數。
  5. 如請求項1所述的應用單項跡之錯誤更正方法，其中，在步驟(C)中的該預定條件為該目標模多項式的最高次項次數為偶數，且該目標模多項式內奇數次項的項數為該目標模多項式內次數大於該目標模多項式的最高次項與最高奇數次項的一次數差值的偶數次項的項數，且該次數差值大於等於該最高次項的項數的一半，且每一個奇數次項對應於一個其次數加上該次數差值的偶數次項。
  6. 如請求項1所述的應用單項跡之錯誤更正方法，其中，在步驟(H)中，該跡映射模型Tr(γ)如下式
    Figure 108116365-A0305-02-0014-18
     其中γ為該等有限體多項式
    Figure 108116365-A0305-02-0014-19
    ，c ij 為該等跡係數。
  7. 如請求項1所述的應用單項跡之錯誤更正方法，其中在步驟(E)中，該等徵狀值Si屬於一代表徵狀值集合，i
    Figure 108116365-A0305-02-0014-37
    R，R表示所有i模n分圓陪集的代表元素的集合，n為該預定的碼字長度，在步驟(F)中，該等有限體乘法結果為S i β n-ij ，其中β為該生成多項式的該原根，β屬於該有限體GF(2 m )，m為該目標次數且為大於2的正整數，n為編碼碼 字長度，j
    Figure 108116365-A0305-02-0015-38
    {0,1,...,n-1}。
  8. 如請求項7所述的應用單項跡之錯誤更正方法，其中，在 步驟(I)中，該等錯誤更正值
    Figure 108116365-A0305-02-0015-21
    ，e j 為第j錯誤 位置的錯誤更正值，c ij 為該等跡係數，R*=R\{0}為所有i模n分圓陪集的非零代表元素的集合。
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