CN112131769A - 交叉滚柱直线导轨五自由度静刚度计算方法 - Google Patents

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Abstract

本发明提供了一种交叉滚柱直线导轨五自由度静刚度计算方法，包括以下步骤：步骤1：基于赫兹线接触理论与弹性理论的布西内解，采用分片法，建立滚柱‑滚道接触模型；根据所建滚柱‑滚道接触模型得到滚柱‑滚道接触力、接触力矩与滑轨相对导轨位移的关系；步骤2：根据交叉滚柱直线导轨滚道内滚柱的排布方式，计算每个滚柱处滚道间的初始预压量；步骤3：根据步骤1和步骤2得到的结果，计算交叉滚柱直线导轨垂向刚度、横向刚度、旋转角刚度、偏航角刚度及俯仰角刚度。采用本发明提供的交叉滚柱直线导轨五自由度静刚度计算方法，能够精确计算滚柱相对于滚道存在倾斜或者修形滚柱的交叉滚柱直线导轨副五自由度静刚度，为导轨的设计提供技术支持。

Description

交叉滚柱直线导轨五自由度静刚度计算方法
技术领域
本发明涉及一种交叉滚柱直线导轨五自由度静刚度计算方法。
背景技术
交叉滚柱直线导轨是机床中常用的一种典型的功能部件，其结合部静刚度是一项重要的性能指标，既能反映导轨承载能力，又直接影响机床整机动力学性能。因此，在导轨的结构设计与机床的动力学特性分析中都需要确定导轨的静刚度。交叉滚柱直线导轨五自由度静刚度的欠缺会导致交叉滚柱直线导轨的设计、选型与使用无法得到有效的技术支持和理论指导，此外，也会对高精度机床误差补偿技术的发展产生巨大的阻碍。
目前国内外对交叉滚柱直线导轨静刚度的理论计算方法主要有：(1)基于Palmgren经验公式建模计算，这种近似计算方法只对某一直径范围内的滚柱是准确的，且不适用于滚柱相对于滚道存在倾斜或者修形滚柱的导轨副计算。(2)有限元法，该方法建模繁琐、求解耗时，且依赖于大型的商业软件。
因此，需要发明一种交叉滚柱直线导轨五自由度静刚度计算方法，能够用于滚柱相对于滚道存在倾斜或者修形滚柱的交叉滚柱直线导轨副计算。
发明内容
技术问题：针对目前交叉滚柱直线导轨五自由度静刚度计算方法中存在的问题，本发明提供了一种交叉滚柱直线导轨五自由度静刚度计算方法，旨在更精确、更简便地计算导轨静刚度值，并增大适用导轨范围。
技术方案：本发明所述交叉滚柱直线导轨五自由度静刚度计算方法，包括以下步骤：
步骤1：基于赫兹线接触理论与弹性理论的布西内解，采用分片法，建立滚柱-滚道接触模型；根据所建滚柱-滚道接触模型得到滚柱-滚道接触力、接触力矩与滑轨相对导轨位移的关系；
步骤2：根据交叉滚柱直线导轨滚道内滚柱的排布方式，计算每个滚柱处滚道间的初始预压量；
步骤3：根据步骤1和步骤2得到的结果，计算交叉滚柱直线导轨垂向刚度、横向刚度、旋转角刚度、偏航角刚度及俯仰角刚度。
所述步骤1包括：
步骤1a：在交叉滚柱直线导轨内建立总体坐标系，具体为：
在交叉滚柱直线导轨内设定坐标系O-XYZ，坐标原点O置于左右导轨组的结构中心，X轴置于导轨滑动方向，Y轴置于水平方向，Z轴置于竖直方向；
步骤1b：将滚柱-滚道接触区进行分片离散，在滑轨、导轨内远离接触区的部分分别选取平行于滚道面的刚性平面AB、CD，当滑轨受到外力和绕O点的旋转力矩作用后，平面AB相对于平面CD产生线位移δ与角位移θ，建立方程组：
Figure BDA0002681124330000021
式中：z表示滚柱-滚道接触区分片数；i和j表示接触片区编号；p0j表示接触片区j中心处的应力；δ和θ分别表示滑轨受载后相对导轨的线位移和角位移；Zi表示滚柱的修形方程，滚柱无修形时Zi＝0；yi表示片区i中心点的y轴坐标值；E'和Dij分别表示滚柱-滚道当量弹性模量和柔度系数，可分别由以下两式计算：
Figure BDA0002681124330000022
Figure BDA0002681124330000023
式中：aj和hj分别表示接触片区j的半宽和半长；yj表示片区j中心点的y轴坐标值；μ1和μ2分别表示滚柱和滚道材料的泊松比；E1和E2分别表示滚柱和滚道材料的弹性模量；
根据Hertz线接触理论建立接触片区半宽与片区中心处应力的关系：
Figure BDA0002681124330000024
式中：R表示滚柱的半径；j＝1，2，…，z；
滚柱-滚道接触区内应力对滑轨的总接触力Q与对旋转中心O点的总接触力矩M表达式为：
Figure BDA0002681124330000031
Figure BDA0002681124330000032
式中：lOA为
Figure BDA0002681124330000033
的长度；α为
Figure BDA0002681124330000034
与
Figure BDA0002681124330000035
间的夹角；
由式(5)和(6)计算得到滚柱-滚道接触力与接触力矩。
所述步骤2计算每个滚柱处滚道间的初始预压量包括：
步骤2a：建立交叉滚柱直线导轨在横向预紧力与工作台重力联合作用下的初始位移与各滚柱-滚道结合部的变形协调关系；
步骤2b：由步骤1建立的滚柱-滚道接触模型，计算导轨在横向预紧力与工作台重力联合作用下滚柱-滚道间的初始接触力；
步骤2c：建立交叉滚柱直线导轨在初始预压状态下的静力平衡方程组；
步骤2d：运用Newton-Raphson法迭代求解交叉滚柱直线导轨各滚柱处滚道间的初始预压量。
所述步骤2a建立的初始位移与各滚柱-滚道结合部的变形协调关系为：
δ0k＝(-1)k+1τδOkZcosβ+δOkYsinβ (7)
δOkY＝δ0Y (8)
Figure BDA0002681124330000036
式中：δ0k表示通过滚道内第k个滚柱截面处滚道间的初始预压量；δOkY和δOkZ分别表示在横向预紧力与工作台重力联合作用下通过滚道内第k个滚柱的截面中心点的横向位移和垂向位移；δ0Y、δ0Z和θ0Y分别表示在横向预紧力和工作台重力联合作用下滑轨产生的横向、垂向线位移和俯仰角位移；n表示单排滚道内滚柱的数目；k表示滚道内滚柱编号，k＝1，2，…，n；s表示滚道内相邻滚柱的间距；β表示滚柱与滚道间的接触角；τ为由滚道内滚柱排布方式决定的系数，当滚道内第1个滚柱与滑轨上滚道相接触时，τ＝1，反之，τ＝-1；
所述步骤2b具体为：由式(7)-(9)得到单排滚道内第k个滚柱两侧刚体平面间产生的线位移δ0k，角位移则为0，采用步骤1)建立的滚柱-滚道接触模型，计算得到单排滚道第k个滚柱与滑轨滚道间的接触力Q0k；
所述步骤2c建立的静力平衡方程组为：
Figure BDA0002681124330000041
Figure BDA0002681124330000042
Figure BDA0002681124330000043
式中：Fpre和FG分别表示横向预紧力和工作台重力；
所述步骤2d具体为：运用Newton-Raphson法迭代求解交叉滚柱直线导轨各滚柱处滚道间的初始预压量，即联立求解式(7)-(12)得到初始位移δ0Y、δ0Z、θ0Y，然后采用式(7)计算获得每个滚柱处滚道间的初始预压量δ0k。
所述步骤3包括：
步骤3a：交叉滚柱直线导轨垂向刚度计算：
步骤3a1：给定垂向外载荷，建立交叉滚柱直线导轨垂向线位移与各滚柱-滚道结合部的变形协调关系；
步骤3a2：由步骤1建立的滚柱-滚道接触模型，计算在垂向力作用下导轨各滚柱-滚道接触力；
步骤3a3：建立交叉滚柱直线导轨的垂向力平衡方程；
步骤3a4：运用Newton-Raphson法迭代求解交叉滚柱直线导轨的垂向线位移，计算得到垂向刚度；
步骤3b：交叉滚柱直线导轨横向刚度计算：
步骤3b1：给定横向外载荷，建立交叉滚柱直线导轨横向线位移与各滚柱-滚道结合部的变形协调关系；
步骤3b2：由步骤1)建立的滚柱-滚道接触模型，计算在横向力作用下导轨各滚柱-滚道接触力；
步骤3b3：建立交叉滚柱直线导轨的横向力平衡方程；
步骤3b4：运用Newton-Raphson法迭代求解交叉滚柱直线导轨的横向线位移，计算得到横向刚度；
步骤3c：交叉滚柱直线导轨旋转角刚度计算：
步骤3c1：给定旋转外力矩，建立交叉滚柱直线导轨旋转角位移与各滚柱-滚道结合部的变形协调关系；
步骤3c2：由步骤1)建立的滚柱-滚道接触模型，计算在旋转力矩作用下导轨各滚柱-滚道接触区内应力对旋转中心的接触力矩；
步骤3c3：建立交叉滚柱直线导轨的旋转力矩平衡方程；
步骤3c4：运用Newton-Raphson法迭代求解交叉滚柱直线导轨的旋转角位移，计算得到旋转角刚度；
步骤3d：交叉滚柱直线导轨偏航角刚度计算：
步骤3d1：给定偏航外力矩，建立交叉滚柱直线导轨偏航角位移与各滚柱-滚道结合部的变形协调关系；
步骤3d2：由步骤1)建立的滚柱-滚道接触模型，计算在偏航力矩作用下导轨各滚柱-滚道接触力；
步骤3d3：建立交叉滚柱直线导轨的偏航力矩平衡方程；
步骤3d4：运用Newton-Raphson法迭代求解交叉滚柱直线导轨的偏航角位移，计算得到偏航角刚度；
步骤3e：交叉滚柱直线导轨俯仰角刚度计算：
步骤3e1：给定俯仰外力矩，建立交叉滚柱直线导轨俯仰角位移与各滚柱-滚道结合部的变形协调关系；
步骤3e2：由步骤1)建立的滚柱-滚道接触模型，计算在俯仰力矩作用下导轨各滚柱-滚道接触力；
步骤3e3：建立交叉滚柱直线导轨的俯仰力矩平衡方程；
步骤3e4：运用Newton-Raphson法迭代求解交叉滚柱直线导轨的俯仰角位移，计算得到俯仰角刚度。
所述步骤3a1建立的交叉滚柱直线导轨垂向线位移与各滚柱-滚道结合部的变形协调关系为：
δ1k＝δ0k+(-1)k+1τδZcosβ(k＝1，2，…，n) (13)
式中：δ1k表示滚道1内第k个滚柱两侧刚体平面间产生的线位移；δZ表示在垂向力作用下滑轨相对于导轨产生的垂向线位移；
所述步骤3a2具体为：由式(13)得到滚道1内第k个滚柱两侧刚体平面间产生的线位移δ1k，角位移则为0，采用步骤1建立的滚柱-滚道接触模型，计算得到滚道1内第k个滚柱与滑轨滚道间的接触力Q1k；
所述步骤3a3建立的交叉滚柱直线导轨的垂向力平衡方程为：
Figure BDA0002681124330000061
式中：FZ表示交叉滚柱直线导轨受到的垂向力；
所述步骤3a4具体为：运用Newton-Raphson法联立求解式(13)-(14)得到垂向线位移δZ，采用下式计算交叉滚柱直线导轨的垂向刚度：
Figure BDA0002681124330000062
式中：KZ表示交叉滚柱直线导轨的垂向刚度。
所述步骤3b1：给定横向外载荷，建立交叉滚柱直线导轨横向线位移与各滚柱-滚道结合部的变形协调关系，具体为：
δpk＝δ0k+(-1)pδYsinβ(p＝1，2)(k＝1，2，…，n) (16)
式中：δpk表示滚道p内第k个滚柱两侧刚体平面间产生的线位移；δY表示在横向力作用下滑轨相对于导轨产生的横向线位移；p表示滚道编号；
由式(16)得到滚道p内第k个滚柱两侧刚体平面间产生的线位移δpk，角位移则为0，采用步骤1)建立的滚柱-滚道接触模型，计算得到滚道p内第k个滚柱与滑轨滚道间的接触力Qpk；
所述步骤3b3建立的交叉滚柱直线导轨的横向力平衡方程为：
Figure BDA0002681124330000063
式中：FY表示交叉滚柱直线导轨受到的横向力；
所述步骤3b4计算交叉滚柱直线导轨的横向刚度为：
Figure BDA0002681124330000064
式中：KY表示交叉滚柱直线导轨的横向刚度。
所述步骤3c1建立的交叉滚柱直线导轨旋转角位移与各滚柱-滚道结合部的变形协调关系为：
δpk＝δ0k-(-1)k+pτlOAcosαtanθX(p＝1，2)(k＝1，2，…，n) (19)
式中：θX表示在旋转力矩作用下滑轨相对于导轨产生的旋转角位移；lOA和α为交叉滚柱直线导轨滚道结构参数，可分别由以下两式计算得到：
Figure BDA0002681124330000071
Figure BDA0002681124330000072
式中：L表示滚道内滚柱接触长度；YA1和ZA1、YB4和ZB4分别表示在坐标系O-XYZ中A1点、B4点的Y轴坐标和Z轴坐标，其表达式分别为：
Figure BDA0002681124330000073
Figure BDA0002681124330000074
Figure BDA0002681124330000075
Figure BDA0002681124330000076
式中：Db表示滚道内滚柱直径；L1表示滚道1、2间的水平距离；
所述步骤3c2具体为：由式(19)得到滚道p内第k个滚柱两侧刚体平面间产生的线位移δpk，角位移则为θX，由式(20)-(25)得到参数lOA、α，采用步骤1)建立的滚柱-滚道接触模型，计算得到滚道p内第k个滚柱与滑轨滚道间接触力对旋转中心的力矩Mpk；
所述步骤3c3建立交叉滚柱直线导轨的旋转力矩平衡方程为：
Figure BDA0002681124330000077
式中：MX表示交叉滚柱直线导轨受到的旋转力矩；
所述步骤3c4计算交叉滚柱直线导轨的旋转角刚度为：
Figure BDA0002681124330000078
式中：KθX表示交叉滚柱直线导轨的旋转角刚度。
所述步骤3d1建立的交叉滚柱直线导轨偏航角位移与各滚柱-滚道结合部的变形协调关系为：
Figure BDA0002681124330000081
式中：θZ表示在偏航力矩作用下滑轨相对于导轨产生的偏航角位移；
所述步骤3d2具体为：由式(28)得到滚道p内第k个滚柱两侧刚体平面间产生的线位移δpk，角位移则为0，采用步骤1)建立的滚柱-滚道接触模型，计算得到滚道p内第k个滚柱与滑轨滚道间的接触力Qpk；
所述步骤3d3建立的交叉滚柱直线导轨的偏航力矩平衡方程为：
Figure BDA0002681124330000082
式中：MZ表示交叉滚柱直线导轨受到的偏航力矩；
所述步骤3d4计算交叉滚柱直线导轨的偏航角刚度为：
Figure BDA0002681124330000083
式中：KθZ表示交叉滚柱直线导轨的偏航角刚度。
所述步骤3e1建立的交叉滚柱直线导轨俯仰角位移与各滚柱-滚道结合部的变形协调关系为：
Figure BDA0002681124330000084
式中：θY表示在俯仰力矩MY作用下滑轨相对于导轨产生的俯仰角位移；
所述步骤3e2具体为：由式(31)得到滚道p内第k个滚柱两侧刚体平面间产生的线位移δpk，角位移则为0，采用步骤1建立的滚柱-滚道接触模型，计算得到滚道p内第k个滚柱与滑轨滚道间的接触力Qpk；
所述步骤3e3建立的交叉滚柱直线导轨的俯仰力矩平衡方程为：
Figure BDA0002681124330000085
式中：MY表示交叉滚柱直线导轨受到的俯仰力矩；
所述步骤3e4计算交叉滚柱直线导轨的俯仰角刚度为：
Figure BDA0002681124330000086
式中：KθY表示交叉滚柱直线导轨的俯仰角刚度。
有益效果：采用本发明提供的交叉滚柱直线导轨五自由度静刚度计算方法，能够简便地计算导轨静刚度值，为导轨的设计、计算与选型等提供技术保障。
附图说明
图1是交叉滚柱直线导轨总体坐标系设定；
图2是滚柱-滚道结合部线接触模型示意图；
图3是滚柱-滚道接触区分片示意图；
图4a是在横向预紧力与工作台重力联合作用下滑轨产生的初始位移示图；
图4b是在横向预紧力与工作台重力联合作用下通过滚道内第k个滚柱截面处滚道的变形图(滚柱k与滑轨上滚道相接触)；
图4c是在横向预紧力与工作台重力联合作用下通过滚道内第k个滚柱截面处滚道的变形图(滚柱k与滑轨下滚道相接触)；
图5a是在初始预紧状态下滑轨的垂向力与横向力平衡示意图；
图5b是在初始预紧状态下滑轨的俯仰力矩平衡示意图；
图6a是交叉滚柱直线导轨垂向刚度随垂向力变化曲线；
图6b是交叉滚柱直线导轨横向刚度随横向力变化曲线；
图6c是交叉滚柱直线导轨旋转角刚度随旋转力矩变化曲线；
图6d是交叉滚柱直线导轨偏航角刚度随偏航力矩变化曲线；
图6e是交叉滚柱直线导轨俯仰角刚度随俯仰力矩变化曲线。
图中有：左导轨1、横向预紧螺钉2、工作台3、左滑轨4、右滑轨5、右导轨6、滚柱7、基座8。
具体实施方式
下面结合一个实施例(一款交叉滚柱直线导轨)，对本发明的交叉滚柱直线导轨五自由度静刚度计算方法作进一步详细说明。
本发明包括如下步骤：
步骤1：在交叉滚柱直线导轨内建立总体坐标系，如图1所示：交叉滚柱直线导轨滚柱7呈十字交错状均匀排列于滚道内，预紧状态下右导轨6固定于基座8上，横向预紧螺钉2对左导轨1施加横向预紧力实现直线导轨的预紧；工作状态下左右导轨1和6均固定，工作台3与左右滑轨4和5相连完成直线运动。设定总体坐标系O-XYZ于左右导轨结构中心，X轴置于滑轨滑动方向，Y轴置于水平方向，Z轴置于竖直方向。
步骤2：取单个滚柱-滚道结合部作为研究对象，建立如图2所示的模型，在滚柱上设置坐标系A0-xyz，滑轨受到外载荷Q和绕O点的外力转矩M作用后，滚柱-滚道接触区发生弹性变形，远离接触区部分的弹性变形不予考虑。平行于导轨滚道面的刚性平面为CD，平行于滑轨滚道面的刚性平面为AB，CD平面为固定面，滑轨受载后AB平面移至A'B'，可用线位移δ、角位移θ加以表述。将滚柱沿y轴方向将接触区域L划分为z个单元片区，片区j的长度为2hj，接触片区j的半宽为aj，其中心点处的应力为p0j，如图3所示。当δ、θ和滚柱修形量Zi(i＝1，2，…，z)确定后，由式(1)和式(4)构成z阶线性方程组，可以计算得到p0j(j＝1，2，…，z)与aj(j＝1，2，…，z)；
Figure BDA0002681124330000101
式中：z表示滚柱-滚道接触区分片数；i和j表示接触片区编号；p0j表示接触片区j中心处的应力；δ和θ分别表示滑轨受载后相对导轨的线位移和角位移；Zi表示滚柱的修形方程，滚柱无修形时Zi＝0；yi表示片区i中心点的y轴坐标值；E'和Dij分别表示滚柱-滚道当量弹性模量和柔度系数，可分别由以下两式计算：
Figure BDA0002681124330000102
Figure BDA0002681124330000103
式中：aj和hj分别表示接触片区j的半宽和半长；yj表示片区j中心点的y轴坐标值；μ1和μ2分别表示滚柱和滚道材料的泊松比；E1和E2分别表示滚柱和滚道材料的弹性模量；
根据Hertz线接触理论建立接触片区半宽与片区中心处应力的关系：
Figure BDA0002681124330000104
式中：R表示滚柱的半径；j＝1，2，…，z；
由式(5)和(6)计算出滚柱-滚道接触力与接触力矩，从而建立滚柱-滚道结合部接触力、接触力矩与位移参数δ、θ和结构参数Zi、lOA、α的关系函数，其中式(5)和(6)为：
滚柱-滚道接触区内应力对滑轨的总接触力Q与对旋转中心O点的总接触力矩M表达式为：
Figure BDA0002681124330000111
Figure BDA0002681124330000112
式中：lOA为
Figure BDA0002681124330000113
的长度；α为
Figure BDA0002681124330000114
与
Figure BDA0002681124330000115
间的夹角；
步骤3：导轨每个滚柱处滚道间的初始预压量计算可分为以下四步：
步骤3a：根据如图4所示导轨在横向预紧力和工作台重力联合作用下的初始位移以及与之对应的滚柱两侧刚体平面间产生的位移关系，按式(7)-(9)列写位移协调方程；
δ0k＝(-1)k+1τδOkZcosβ+δOkYsinβ (7)
δOkY＝δ0Y (8)
Figure BDA0002681124330000116
式中：δ0k表示通过滚道内第k个滚柱截面处滚道间的初始预压量；δOkY和δOkZ分别表示在横向预紧力与工作台重力联合作用下通过滚道内第k个滚柱的截面中心点的横向位移和垂向位移；δ0Y、δ0Z和θ0Y分别表示在横向预紧力和工作台重力联合作用下滑轨产生的横向、垂向线位移和俯仰角位移；n表示单排滚道内滚柱的数目；k表示滚道内滚柱编号，k＝1，2，…，n；s表示滚道内相邻滚柱的间距；β表示滚柱与滚道间的接触角；τ为由滚道内滚柱排布方式决定的系数，当滚道内第1个滚柱与滑轨上滚道相接触时，τ＝1，反之，τ＝-1；
步骤3b：由步骤2建立的滚柱-滚道接触力与线位移的关系，计算得到在横向预紧力和工作台重力联合作用下各滚柱-滚道结合部的接触力。
步骤3c：根据如图5所示的导轨受力分析图，按式(10)-(12)列写滚珠的静力平衡方程；
Figure BDA0002681124330000117
Figure BDA0002681124330000121
Figure BDA0002681124330000122
式中：Fpre和FG分别表示横向预紧力和工作台重力；
步骤3d：运用Newton-Raphson法联立求解式(7)-(12)，按式(7)计算导轨的初始预压量δ0k(k＝1，2，…，n)。
步骤4：交叉滚柱直线导轨垂向刚度计算可分为以下四步：
步骤4a：根据导轨在垂向力作用下的线位移以及与之对应的滚柱两侧刚体平面间产生的位移关系，按式(13)列写位移协调方程；
δ1k＝δ0k+(-1)k+1τδZcosβ(k＝1，2，…，n) (13)
式中：δ1k表示滚道1内第k个滚柱两侧刚体平面间产生的线位移；δZ表示在垂向力作用下滑轨相对于导轨产生的垂向线位移；
步骤4b：由步骤2建立的滚柱-滚道接触力与线位移的关系，计算得到在垂向力作用下各滚柱-滚道结合部的接触力。
步骤4c：按式(14)列写滚珠的垂向力平衡方程；
Figure BDA0002681124330000123
式中：FZ表示交叉滚柱直线导轨受到的垂向力；
步骤4d：运用Newton-Raphson法联立求解式(13)-(14)，按式(15)计算交叉滚柱直线导轨的垂向刚度KZ：
Figure BDA0002681124330000124
式中：KZ表示交叉滚柱直线导轨的垂向刚度。
步骤5：交叉滚柱直线导轨横向刚度计算可分为以下四步：
步骤5a：根据导轨在横向力作用下的线位移以及与之对应的滚柱两侧刚体平面间产生的位移关系，按式(16)列写位移协调方程：
δpk＝δ0k+(-1)pδYsinβ(p＝1，2)(k＝1，2，…，n) (16)
式中：δpk表示滚道p内第k个滚柱两侧刚体平面间产生的线位移；δY表示在横向力作用下滑轨相对于导轨产生的横向线位移；p表示滚道编号；
步骤5b：由步骤2建立的滚柱-滚道接触力与线位移的关系，计算得到在横向力作用下各滚柱-滚道结合部的接触力。
步骤5c：按式(17)列写滚珠的横向力平衡方程：
Figure BDA0002681124330000131
式中：FY表示交叉滚柱直线导轨受到的横向力；
步骤5d：运用Newton-Raphson法联立求解式(16)-(17)，按式(18)计算交叉滚柱直线导轨的横向刚度KY：
Figure BDA0002681124330000132
式中：KY表示交叉滚柱直线导轨的横向刚度。
步骤6：交叉滚柱直线导轨旋转角刚度计算可分为以下四步：
步骤6a：根据导轨在旋转力矩作用下的角位移以及与之对应的滚柱两侧刚体平面间产生的位移关系，按式(19)-(25)列写位移协调方程；
所述步骤3c1建立的交叉滚柱直线导轨旋转角位移与各滚柱-滚道结合部的变形协调关系为：
δpk＝δ0k-(-1)k+pτlOAcosαtanθX(p＝1，2)(k＝1，2，…，n) (19)
式中：θX表示在旋转力矩作用下滑轨相对于导轨产生的旋转角位移；lOA和α为交叉滚柱直线导轨滚道结构参数，可分别由以下两式计算得到：
Figure BDA0002681124330000133
Figure BDA0002681124330000134
式中：L表示滚道内滚柱接触长度；YA1和ZA1、YB4和ZB4分别表示在坐标系O-XYZ中A1点、B4点的Y轴坐标和Z轴坐标，其表达式分别为：
Figure BDA0002681124330000135
Figure BDA0002681124330000136
Figure BDA0002681124330000137
Figure BDA0002681124330000141
式中：Db表示滚道内滚柱直径；L1表示滚道1、2间的水平距离；
步骤6b：由步骤2建立的滚柱-滚道接触力矩与线位移、角位移和结构参数lOA、α的关系，计算得到在旋转力矩作用下各滚柱-滚道结合部的接触力矩。
步骤6c：按式(26)列写滚珠的旋转力矩平衡方程：
Figure BDA0002681124330000142
式中：MX表示交叉滚柱直线导轨受到的旋转力矩；
步骤6d：运用Newton-Raphson法联立求解式(19)-(26)，按式(27)计算交叉滚柱直线导轨的旋转角刚度KθX：
Figure BDA0002681124330000143
式中：KθX表示交叉滚柱直线导轨的旋转角刚度。
步骤7：交叉滚柱直线导轨偏航角刚度计算可分为以下四步：
步骤7a：根据导轨在偏航力矩作用下的角位移以及与之对应的滚柱两侧刚体平面间产生的位移关系，按式(28)列写位移协调方程：
Figure BDA0002681124330000144
式中：θZ表示在偏航力矩作用下滑轨相对于导轨产生的偏航角位移；
步骤7b：由步骤2建立的滚柱-滚道接触力与线位移的关系，计算得到在偏航力矩作用下各滚柱-滚道结合部的接触力。
步骤7c：按式(29)列写滚珠的偏航力矩平衡方程：
Figure BDA0002681124330000145
式中：MZ表示交叉滚柱直线导轨受到的偏航力矩；
步骤7d：运用Newton-Raphson法联立求解式(28)-(29)，按式(30)计算交叉滚柱直线导轨的偏航角刚度KθZ：
Figure BDA0002681124330000146
式中：KθZ表示交叉滚柱直线导轨的偏航角刚度。
步骤8：交叉滚柱直线导轨俯仰角刚度计算可分为以下四步：
步骤8a：根据导轨在俯仰力矩作用下的角位移以及与之对应的滚柱两侧刚体平面间产生的位移关系，按式(31)列写位移协调方程：
Figure BDA0002681124330000151
式中：θY表示在俯仰力矩MY作用下滑轨相对于导轨产生的俯仰角位移；
步骤8b：由步骤2建立的滚柱-滚道接触力与线位移的关系，计算得到在俯仰力矩作用下各滚柱-滚道结合部的接触力。
步骤8c：按式(32)列写滚珠的俯仰力矩平衡方程：
Figure BDA0002681124330000152
式中：MY表示交叉滚柱直线导轨受到的俯仰力矩；
步骤8d：运用Newton-Raphson法联立求解式(31)-(32)，按式(33)计算交叉滚柱直线导轨的俯仰角刚度KθY：
Figure BDA0002681124330000153
式中：KθY表示交叉滚柱直线导轨的俯仰角刚度。
本实施例计算的交叉滚柱直线导轨基本参数列于表1，由步骤1至步骤8计算得到交叉滚柱直线导轨的五自由度静刚度曲线，如图6所示。
表1交叉滚柱直线导轨基本参数
Figure BDA0002681124330000154

Claims (10)

1.一种交叉滚柱直线导轨五自由度静刚度计算方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1：基于赫兹线接触理论与弹性理论的布西内解，采用分片法，建立滚柱-滚道接触模型；根据所建滚柱-滚道接触模型得到滚柱-滚道接触力、接触力矩与滑轨相对导轨位移的关系；
步骤2：根据交叉滚柱直线导轨滚道内滚柱的排布方式，计算每个滚柱处滚道间的初始预压量；
步骤3：根据步骤1和步骤2得到的结果，计算交叉滚柱直线导轨垂向刚度、横向刚度、旋转角刚度、偏航角刚度及俯仰角刚度。
2.根据权利要求1所述的交叉滚柱直线导轨五自由度静刚度计算方法，其特征在于：所述步骤2计算每个滚柱处滚道间的初始预压量包括：
步骤2a：建立交叉滚柱直线导轨在横向预紧力与工作台重力联合作用下的初始位移与各滚柱-滚道结合部的变形协调关系；
步骤2b：由步骤1建立的滚柱-滚道接触模型，计算导轨在横向预紧力与工作台重力联合作用下滚柱-滚道间的初始接触力；
步骤2c：建立交叉滚柱直线导轨在初始预压状态下的静力平衡方程组；
步骤2d：运用Newton-Raphson法迭代求解交叉滚柱直线导轨各滚柱处滚道间的初始预压量。
3.根据权利要求2所述的交叉滚柱直线导轨五自由度静刚度计算方法，其特征在于：
所述步骤2a建立的初始位移与各滚柱-滚道结合部的变形协调关系为：
δ0k＝(-1)k+1τδOkZcosβ+δOkYsinβ (7)
δOkY＝δ0Y (8)
Figure FDA0002681124320000011
式中：δ0k表示通过滚道内第k个滚柱截面处滚道间的初始预压量；δOkY和δOkZ分别表示在横向预紧力与工作台重力联合作用下通过滚道内第k个滚柱的截面中心点的横向位移和垂向位移；δ0Y、δ0Z和θ0Y分别表示在横向预紧力和工作台重力联合作用下滑轨产生的横向、垂向线位移和俯仰角位移；n表示单排滚道内滚柱的数目；k表示滚道内滚柱编号，k＝1，2，…，n；s表示滚道内相邻滚柱的间距；β表示滚柱与滚道间的接触角；τ为由滚道内滚柱排布方式决定的系数，当滚道内第1个滚柱与滑轨上滚道相接触时，τ＝1，反之，τ＝-1；
所述步骤2b具体为：由式(7)-(9)得到单排滚道内第k个滚柱两侧刚体平面间产生的线位移δ0k，角位移则为0，采用步骤1)建立的滚柱-滚道接触模型，计算得到单排滚道第k个滚柱与滑轨滚道间的接触力Q0k；
所述步骤2c建立的静力平衡方程组为：
Figure FDA0002681124320000021
Figure FDA0002681124320000022
Figure FDA0002681124320000023
式中：Fpre和FG分别表示横向预紧力和工作台重力；
所述步骤2d具体为：运用Newton-Raphson法迭代求解交叉滚柱直线导轨各滚柱处滚道间的初始预压量，即联立求解式(7)-(12)得到初始位移δ0Y、δ0Z、θ0Y，然后采用式(7)计算获得每个滚柱处滚道间的初始预压量δ0k。
4.根据权利要求3所述的交叉滚柱直线导轨五自由度静刚度计算方法，其特征在于：所述步骤1包括：
步骤1a：在交叉滚柱直线导轨内建立总体坐标系，具体为：
在交叉滚柱直线导轨内设定坐标系O-XYZ，坐标原点O置于左右导轨组的结构中心，X轴置于导轨滑动方向，Y轴置于水平方向，Z轴置于竖直方向；
步骤1b：将滚柱-滚道接触区进行分片离散，在滑轨、导轨内远离接触区的部分分别选取平行于滚道面的刚性平面AB、CD，当滑轨受到外力和绕O点的旋转力矩作用后，平面AB相对于平面CD产生线位移δ与角位移θ，建立方程组：
Figure FDA0002681124320000024
式中：z表示滚柱-滚道接触区分片数；i和j表示接触片区编号；p0j表示接触片区j中心处的应力；δ和θ分别表示滑轨受载后相对导轨的线位移和角位移；Zi表示滚柱的修形方程，滚柱无修形时Zi＝0；yi表示片区i中心点的y轴坐标值；E'和Dij分别表示滚柱-滚道当量弹性模量和柔度系数，可分别由以下两式计算：
Figure FDA0002681124320000031
Figure FDA0002681124320000032
式中：aj和hj分别表示接触片区j的半宽和半长；yj表示片区j中心点的y轴坐标值；μ1和μ2分别表示滚柱和滚道材料的泊松比；E1和E2分别表示滚柱和滚道材料的弹性模量；
根据Hertz线接触理论建立接触片区半宽与片区中心处应力的关系：
Figure FDA0002681124320000033
式中：R表示滚柱的半径；j＝1，2，…，z；
滚柱-滚道接触区内应力对滑轨的总接触力Q与对旋转中心O点的总接触力矩M表达式为：
Figure FDA0002681124320000034
Figure FDA0002681124320000035
式中：lOA为
Figure FDA0002681124320000036
的长度；α为
Figure FDA0002681124320000037
与
Figure FDA0002681124320000038
间的夹角；
由式(5)和(6)计算得到滚柱-滚道接触力与接触力矩。
5.根据权利要求4所述的交叉滚柱直线导轨五自由度静刚度计算方法，其特征在于，所述步骤3包括：
步骤3a：交叉滚柱直线导轨垂向刚度计算：
步骤3a1：给定垂向外载荷，建立交叉滚柱直线导轨垂向线位移与各滚柱-滚道结合部的变形协调关系；
步骤3a2：由步骤1建立的滚柱-滚道接触模型，计算在垂向力作用下导轨各滚柱-滚道接触力；
步骤3a3：建立交叉滚柱直线导轨的垂向力平衡方程；
步骤3a4：运用Newton-Raphson法迭代求解交叉滚柱直线导轨的垂向线位移，计算得到垂向刚度；
步骤3b：交叉滚柱直线导轨横向刚度计算：
步骤3b1：给定横向外载荷，建立交叉滚柱直线导轨横向线位移与各滚柱-滚道结合部的变形协调关系；
步骤3b2：由步骤1)建立的滚柱-滚道接触模型，计算在横向力作用下导轨各滚柱-滚道接触力；
步骤3b3：建立交叉滚柱直线导轨的横向力平衡方程；
步骤3b4：运用Newton-Raphson法迭代求解交叉滚柱直线导轨的横向线位移，计算得到横向刚度；
步骤3c：交叉滚柱直线导轨旋转角刚度计算：
步骤3c1：给定旋转外力矩，建立交叉滚柱直线导轨旋转角位移与各滚柱-滚道结合部的变形协调关系；
步骤3c2：由步骤1)建立的滚柱-滚道接触模型，计算在旋转力矩作用下导轨各滚柱-滚道接触区内应力对旋转中心的接触力矩；
步骤3c3：建立交叉滚柱直线导轨的旋转力矩平衡方程；
步骤3c4：运用Newton-Raphson法迭代求解交叉滚柱直线导轨的旋转角位移，计算得到旋转角刚度；
步骤3d：交叉滚柱直线导轨偏航角刚度计算：
步骤3d1：给定偏航外力矩，建立交叉滚柱直线导轨偏航角位移与各滚柱-滚道结合部的变形协调关系；
步骤3d2：由步骤1)建立的滚柱-滚道接触模型，计算在偏航力矩作用下导轨各滚柱-滚道接触力；
步骤3d3：建立交叉滚柱直线导轨的偏航力矩平衡方程；
步骤3d4：运用Newton-Raphson法迭代求解交叉滚柱直线导轨的偏航角位移，计算得到偏航角刚度；
步骤3e：交叉滚柱直线导轨俯仰角刚度计算：
步骤3e1：给定俯仰外力矩，建立交叉滚柱直线导轨俯仰角位移与各滚柱-滚道结合部的变形协调关系；
步骤3e2：由步骤1)建立的滚柱-滚道接触模型，计算在俯仰力矩作用下导轨各滚柱-滚道接触力；
步骤3e3：建立交叉滚柱直线导轨的俯仰力矩平衡方程；
步骤3e4：运用Newton-Raphson法迭代求解交叉滚柱直线导轨的俯仰角位移，计算得到俯仰角刚度。
6.根据权利要求4所述的交叉滚柱直线导轨五自由度静刚度计算方法，其特征在于，所述步骤3a1建立的交叉滚柱直线导轨垂向线位移与各滚柱-滚道结合部的变形协调关系为：
δ1k＝δ0k+(-1)k+1τδZcosβ(k＝1，2，…，n) (13)
式中：δ1k表示滚道1内第k个滚柱两侧刚体平面间产生的线位移；δZ表示在垂向力作用下滑轨相对于导轨产生的垂向线位移；
所述步骤3a2具体为：由式(13)得到滚道1内第k个滚柱两侧刚体平面间产生的线位移δ1k，角位移则为0，采用步骤1建立的滚柱-滚道接触模型，计算得到滚道1内第k个滚柱与滑轨滚道间的接触力Q1k；
所述步骤3a3建立的交叉滚柱直线导轨的垂向力平衡方程为：
Figure FDA0002681124320000051
式中：FZ表示交叉滚柱直线导轨受到的垂向力；
所述步骤3a4具体为：运用Newton-Raphson法联立求解式(13)-(14)得到垂向线位移δZ，采用下式计算交叉滚柱直线导轨的垂向刚度：
Figure FDA0002681124320000052
式中：KZ表示交叉滚柱直线导轨的垂向刚度。
7.根据权利要求4所述的交叉滚柱直线导轨五自由度静刚度计算方法，其特征在于：
所述步骤3b1：给定横向外载荷，建立交叉滚柱直线导轨横向线位移与各滚柱-滚道结合部的变形协调关系，具体为：
δpk＝δ0k+(-1)pδYsinβ (p＝1，2)(k＝1，2，…，n) (16)
式中：δpk表示滚道p内第k个滚柱两侧刚体平面间产生的线位移；δY表示在横向力作用下滑轨相对于导轨产生的横向线位移；p表示滚道编号；
由式(16)得到滚道p内第k个滚柱两侧刚体平面间产生的线位移δpk，角位移则为0，采用步骤1)建立的滚柱-滚道接触模型，计算得到滚道p内第k个滚柱与滑轨滚道间的接触力Qpk；
所述步骤3b3建立的交叉滚柱直线导轨的横向力平衡方程为：
Figure FDA0002681124320000061
式中：FY表示交叉滚柱直线导轨受到的横向力；
所述步骤3b4计算交叉滚柱直线导轨的横向刚度为：
Figure FDA0002681124320000062
式中：KY表示交叉滚柱直线导轨的横向刚度。
8.根据权利要求4所述的交叉滚柱直线导轨五自由度静刚度计算方法，其特征在于：
所述步骤3c1建立的交叉滚柱直线导轨旋转角位移与各滚柱-滚道结合部的变形协调关系为：
δpk＝δ0k-(-1)k+pτlOAcosαtanθX (p＝1，2)(k＝1，2，…，n) (19)
式中：θX表示在旋转力矩作用下滑轨相对于导轨产生的旋转角位移；lOA和α为交叉滚柱直线导轨滚道结构参数，可分别由以下两式计算得到：
Figure FDA0002681124320000063
Figure FDA0002681124320000064
式中：L表示滚道内滚柱接触长度；YA1和ZA1、YB4和ZB4分别表示在坐标系O-XYZ中A1点、B4点的Y轴坐标和Z轴坐标，其表达式分别为：
Figure FDA0002681124320000065
Figure FDA0002681124320000066
Figure FDA0002681124320000067
Figure FDA0002681124320000071
式中：Db表示滚道内滚柱直径；L1表示滚道1、2间的水平距离；
所述步骤3c2具体为：由式(19)得到滚道p内第k个滚柱两侧刚体平面间产生的线位移δpk，角位移则为θX，由式(20)-(25)得到参数lOA、α，采用步骤1)建立的滚柱-滚道接触模型，计算得到滚道p内第k个滚柱与滑轨滚道间接触力对旋转中心的力矩Mpk；
所述步骤3c3建立交叉滚柱直线导轨的旋转力矩平衡方程为：
Figure FDA0002681124320000072
式中：MX表示交叉滚柱直线导轨受到的旋转力矩；
所述步骤3c4计算交叉滚柱直线导轨的旋转角刚度为：
Figure FDA0002681124320000073
式中：KθX表示交叉滚柱直线导轨的旋转角刚度。
9.根据权利要求4所述的交叉滚柱直线导轨五自由度静刚度计算方法，其特征在于：
所述步骤3d1建立的交叉滚柱直线导轨偏航角位移与各滚柱-滚道结合部的变形协调关系为：
Figure FDA0002681124320000074
式中：θZ表示在偏航力矩作用下滑轨相对于导轨产生的偏航角位移；
所述步骤3d2具体为：由式(28)得到滚道p内第k个滚柱两侧刚体平面间产生的线位移δpk，角位移则为0，采用步骤1)建立的滚柱-滚道接触模型，计算得到滚道p内第k个滚柱与滑轨滚道间的接触力Qpk；
所述步骤3d3建立的交叉滚柱直线导轨的偏航力矩平衡方程为：
Figure FDA0002681124320000075
式中：MZ表示交叉滚柱直线导轨受到的偏航力矩；
所述步骤3d4计算交叉滚柱直线导轨的偏航角刚度为：
Figure FDA0002681124320000081
式中：KθZ表示交叉滚柱直线导轨的偏航角刚度。
10.根据权利要求4所述的交叉滚柱直线导轨五自由度静刚度计算方法，其特征在于，
所述步骤3e1建立的交叉滚柱直线导轨俯仰角位移与各滚柱-滚道结合部的变形协调关系为：
Figure FDA0002681124320000082
式中：θY表示在俯仰力矩MY作用下滑轨相对于导轨产生的俯仰角位移；
所述步骤3e2具体为：由式(31)得到滚道p内第k个滚柱两侧刚体平面间产生的线位移δpk，角位移则为0，采用步骤1建立的滚柱-滚道接触模型，计算得到滚道p内第k个滚柱与滑轨滚道间的接触力Qpk；
所述步骤3e3建立的交叉滚柱直线导轨的俯仰力矩平衡方程为：
Figure FDA0002681124320000083
式中：MY表示交叉滚柱直线导轨受到的俯仰力矩；
所述步骤3e4计算交叉滚柱直线导轨的俯仰角刚度为：
Figure FDA0002681124320000084
式中：KθY表示交叉滚柱直线导轨的俯仰角刚度。
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