CN112131515A - 将高阶多项式转换成二次多项式的方法和计算机可读介质 - Google Patents

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CN112131515A CN202010102101.5A CN202010102101A CN112131515A CN 112131515 A CN112131515 A CN 112131515A CN 202010102101 A CN202010102101 A CN 202010102101A CN 112131515 A CN112131515 A CN 112131515A
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阿纳博·罗伊
萨瓦吉亚·乌帕德亚雅
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Abstract

公开了一种将高阶多项式转换成二次多项式的方法和计算机可读介质。该方法可以包括：通过对HOBO问题的变量的多个索引进行排序来创建键‑值对的数据结构，每个键‑值对中的键对应于出现在HOBO中的二次项的组合，并且值对应于包含关联键的至少三次的所有项。对于数据结构的每个键，执行二次化过程，包括：识别具有最大数目的关联值的键、用辅助变量替换所识别的键、更新数据结构以便与辅助变量的替换相对应、以及将辅助变量和辅助变量替换的二次项作为对存储在数据映射中。该方法还可以包括：为数据映射中的每一对构造二次多项式。

Description

将高阶多项式转换成二次多项式的方法和计算机可读介质
技术领域
本公开内容中讨论的实施方式涉及在二进制空间中将高阶多项式转换成二次多项式的启发式方法。
背景技术
高阶二进制优化(HOBO)是二次无约束二进制优化(QUBO)问题的概括，其中总的项的次数可以大于二。近来，QUBO问题在其应用于各种不同应用的能力方面获得了关注。更具体地，部分由于它与物理学中的伊辛问题的关联，QUBO模型已经成为被称为量子退火的量子计算领域的基础，并且已经成为包括模式匹配和神经形态计算的各种不同应用中的研究主题。尽管已经对QUBO模型的潜力及其作为传统建模和求解方法论的替选方案的有效性进行了广泛研究，但HOBO模型尚未被广泛地研究，并且即使有也很少有方法来解决这样的问题。
本公开内容中要求保护的主题不限于解决任何缺点或仅在诸如上述环境中操作的实施方式。确切地说，提供该背景技术仅用于示出可以实践本公开内容中描述的一些实施方式的一个示例技术领域。
发明内容
根据实施方式的一个方面，描述了一种用于将高阶二进制优化(HOBO)问题转换成二次无约束二进制优化(QUBO)问题的方法。该方法可以包括：通过对HOBO问题的变量的多个索引进行排序来创建键-值对的数据结构，键-值对中的每一对中的键对应于出现在HOBO问题中的二次项的所有可能组合，并且键-值对中的每一对中的值对应于包含关联键的至少三次的所有项。该方法还可以包括：对于数据结构的每个键，执行二次化过程，该二次化过程包括：识别键-值对中的具有最大数目的关联值的键，用辅助变量替换所识别的键，更新数据结构的键-值对的键和值以便与辅助变量的替换相对应，从数据结构中删除HOBO中涉及所识别的键的所有三次项。该二次化过程还可以包括：在确定已经删除所识别的键的所有值时，从数据结构中删除所识别的键，并且将辅助变量和辅助变量替换的所识别的键的二次项作为对存储在数据映射中。另外，该方法还可以包括：为数据映射中的每一对构造二次多项式。
实施方式的目的和优点将至少通过权利要求中特别指出的要素、特征和组合来实现和完成。
前述总体描述和以下详细描述两者被作为示例给出并且是说明性的，而不限制所要求保护的本发明。
附图说明
将通过使用附图以附加的特征和细节来描述和解释示例实施方式，在附图中：
图1是表示与将高阶二进制优化问题(HOBO)转换成二次无约束二进制优化问题(QUBO)相关的示例环境的图；
图2示出了示例操作流程；
图3示出了另一示例操作流程；
图4示出了可以被配置成辅助执行HOBO问题到QUBO问题的转换的示例计算系统；
图5A是用于执行HOBO问题到QUBO问题的转换的示例方法的流程图；以及
图5B是用于执行HOBO问题到QUBO问题的转换的示例方法的另一流程图。
具体实施方式
高阶二进制优化(HOBO)是旨在针对二进制变量使多项式最小化的离散优化问题。可以在伊辛空间(其中，变量是{-1,+1}的集合中的值)或布尔空间(其中，变量在{0,1}的集合中)中查看这样的二进制优化问题。但是，由于可以使用线性平移和添加约束对这两个空间进行相互转换，这两个空间被认为是等同的。
因此，HOBO问题可以表示为：
最小化：q(x)＝q(x1，x2，...，xn)，
其中，当在布尔空间中查看时，x∈{0，1}n，或者当在伊辛空间中查看时，x∈{-1，+1}n。
HOBO问题在组合优化、机器学习、数学编程和各种其他应用中十分普遍。它们在建模实际问题中特别有用。例如，布尔可满足性可以被建模为布尔空间中的HOBO问题。另外，求解布尔空间中的一组线性方程可以被建模为伊辛空间中的HOBO。然而，HOBO问题建模的困难在于，可以不失一般性地假设不存在该解必须满足的约束或条件。这样，从计算方面上讲，由于QUBO问题是HOBO问题的特殊情况，因此这类问题是棘手的或无法解决的。
解决HOBO问题的一种技术是利用在二进制变量上进行优化的面，这允许将任何HOBO问题转换成带有辅助变量的QUBO问题。然而，这种解决方案的一个困难是辅助变量的数目通常随着原始变量的数目呈指数增加。
与HOBO问题相比，QUBO问题是二进制优化问题，其中目标函数中的任何项是线性的或二次的：
最小化：
Figure BDA0002387197500000031
其中，对于所有的i∈{1，2，...，n}，，当在布尔空间中查看时，x∈{0，1}n，或者当在伊辛空间中查看时，x∈{-1，+1}n。
目前，通过QUBO问题来对若干困难的组合优化问题进行建模。例如，https//: www.sumofsquares.org/public/lec02-1_maxcut.html讨论了可以通过优化二次多项式来表述的三个NP-硬优化问题。在网站上描述的一种特定方法包括以下能力：制定最大割(maxcut)，或者对于任何图，制定切割尽可能多的边的顶点集合的二分法作为多项式优化问题。
尽管以前已经有将HOBO问题转换成QUBO问题的尝试，但该过程具有使转换困难的各种挑战。更具体地说，转换需要使一般多项式最小化或最大化，这会面临包括缺乏易于开发的属性、难以可视化优化各种挑战，并且最后，即使在紧凑集合中，优化问题也是棘手的或者不可能解决的。
然而，如本文所述的，对于二进制变量，HOBO问题到QUBO问题的转换提供了超过当前已知的和本领域中使用的方法和系统的改进的建模技术。更特别地，通过将二进制变量约束为相同范围内的实数，使得用于执行建模的各种选项可用。此外，改进了近似策略、改进的启发式技术，并且这些问题在几何上更容易可视化。此外，能够使用来自线性代数的技术，并且存在更易处理的优化策略，而且存在能够使用舍入或近似来确保接近最优的解的情况。
然而，执行HOBO问题到QUBO问题转换的主要困难在于，在某些情况下，在转换过程期间辅助变量的数目呈指数增加。因此，在某些情况下，可能存在变量的数目增大或变得太大而难以解决的问题。然而，随着改进的处理能力与改进的计算设备一起变得更容易获得，这个困难可能不是这些转换的不可能的障碍。
二进制优化问题可以在伊辛空间和布尔空间两者中表示，并且可以使用以下仿射变换进行互换：
y＝1-2x
其中x∈{0，1}，并且y∈{-1，+1}。
在布尔空间中将HOBO问题转换成QUBO问题的过程被广泛研究，但迄今为止，在伊辛空间中的HOBO问题到QUBO问题的转换被忽略。尽管如此，在量子化学、量子物理、计算机科学、组合学等诸多领域，伊辛空间已经变得无处不在。
此外，伊辛空间中的稀疏HOBO问题可能引起布尔空间中的密集HOBO问题，这进而需要更多的辅助变量来将布尔空间中的密集HOBO问题转换成布尔空间中的QUBO问题。例如，考虑以下等式：
Figure BDA0002387197500000041
在给定的等式中，给定等式的左手侧比等式的右手侧需要少得多的辅助变量。因此，对于该特定等式，更适合于在伊辛空间中转换成QUBO问题的可能性。
在布尔空间上HOBO问题到QUBO问题的转换
对于布尔空间中的以下HOBO问题：
x1x2x3x4+x1x2(1-x4)
作为第一步，y1＝x1x2和γ2＝x3x4可以被代入HOBO问题以将其简化为二次约束二进制优化(QCBO)问题。因此，得到的式子变成：
y1y2+y1(1-x4)
简化为QCBO问题之后，使用多项式在目标函数中强制执行约束y1＝x1x2和y2＝x3x4，使得如果满足约束，则对目标函数的贡献为零。反之，如果不满足约束，则对目标函数的贡献为正。使用此步骤，引入的多项式有常数项、线性项或二次项。
作为解，可以应用Rosenberg多项式，它是仅当目标辅变量等于x1x2时才获得最小值的二次多项式。Rosenberg多项式如下：
p(y1，x1，x2)＝3y1+x1x2-2y1x1-2y1x2 (等式1)
在伊辛空间上HOBO问题到QUBO问题的转换
对于伊辛空间中的以下HOBO问题：
x1x2x3x4+x1x2(1-x4)
作为第一步，y1＝x1x2和y2＝x3x4可以被代入HOBO问题以将其简化为二次约束二进制优化(QCBO)问题。因此，得到的式子变成：
y1y2+y1(1-x4)
简化为QCBO问题之后，使用多项式在目标函数中强制执行约束y1＝x1x2和y2＝x3x4，使得如果满足约束，则对目标函数的贡献为零。反之，如果不满足约束，则对目标函数的贡献为正。使用此步骤，引入的多项式有常数项、线性项或二次项。
本发明的一些实施方式的目的之一是仅当目标辅变量y1＝x1x2时才提供在伊辛空间中获得最小值的二次多项式。如本文所述的，仅将y表示为辅助变量会使得不等式系统不可行。
更具体地说，目的是构造二次多项式p，使得：
Figure BDA0002387197500000051
Figure BDA0002387197500000052
使：
p(x1，x2，y)＝α0+α1x1+α2x2+α3y+α12x1x2+α13x1y++α23x2y
Figure BDA0002387197500000061
该组等式条件使得：
Figure BDA0002387197500000062
因此，A在E的右核中，其由以下基本向量给出：
Figure BDA0002387197500000063
得到的不等式条件如下：
Figure BDA0002387197500000064
Figure BDA0002387197500000065
可以观察到FKD的四个条目之和为零。因此，它们不能都大于或等于1。因此，没有可行的解。
然而，本文描述的实施方式的一个优点是构造了二次多项式p，其提供了可行的解。更具体地说，可以添加额外的“虚拟”变量d来寻找解。为了这样做，提出了下列两个条件：
1：当y＝x1x2时，然后对于d的某些选择，多项式应该等于0。
2：当y≠x1x2时，然后对于d的所有选择，多项式应该为正。
为了构造二次多项式p，使得：
Figure BDA0002387197500000071
Figure BDA0002387197500000072
对于d作为x1和x2的函数的每个选择，所列举的约束条件引起不等式的线性系统。从16个可行的解的选择中，据认为SageMath(一种开源数学软件系统)，以下系统是一种解。
p(x1，x2，y，d)＝4+x1+x2-y-2d+x1x2-x1y-x2y-2x1d-2x2d+2yd(等式2)
本文描述的系统和方法提供了将HOBO问题转换成QUBO问题的启发式方法，提供了在伊辛空间和布尔空间两者中的实施方式。如本领域技术人员可以理解的，当底层HOBO问题在高阶项中稀疏时，本文的系统和方法是特别有益的。
参照附图对本公开内容的实施方式进行解释。
图1是表示根据本公开内容中描述的至少一个实施方式布置的、与执行HOBO问题到QUBO问题的启发式转换相关的示例环境100的图。如图1所示，本文的实施方式针对能够由转换模块120执行的系统和方法，该转换模块120能够接收由HOBO问题110组成的输入并且将HOBO问题110转换成QUBO问题130。如本领域普通技术人员可以理解的，通过执行该变换或转换，转换模块120可以独立地使用或者与被具体配置用于解决QUBO问题的各种不同的计算应用结合使用。因此，执行这样转换的能力扩展了HOBO问题的能力，在当今的各种领域中例如物理、计算机科学、量子化学、量子物理、组合学和使用现有系统或在处理能力中没有过度增加的情况下要解决的其他领域中HOBO问题普遍存在。
图2示出了根据本公开内容的至少一个实施方式的示例操作流程200。操作流程200可以示出根据本发明的第一实施方式的用于将HOBO问题转换成QUBO问题的操作流程。例如，操作流程200可以示出在转换模块120处接收HOBO问题110的输入并且生成易处理的QUBO问题130的输出。
如可以容易理解的，尽管环境100被示出为包括单个转换模块120，但是应当理解的是，环境100可以与被具体配置用于在各种不同的应用中利用HOBO问题110和QUBO问题130两者的其他系统相关联地使用。这样，环境100可以与机器学习环境或其他计算环境相关联使用或者作为其一部分使用，该机器学习环境或其他计算环境被专门设计为接收表示例如物理、计算机科学、量子化学、量子物理、组合学或其他的各种领域的数据，并且将数据作为HOBO问题和/或QUBO问题进行分析以便找到解。这样，转换模块120可以由单个独立的计算设备(例如下面关于图4更全面地描述的设备)组成，或者转换模块120可以作为被配置成接收、感测或以其他方式创建要作为HOBO问题和/或QUBO问题分析的输入数据的另一计算设备的部件或子模块存在。
因此，在不脱离本公开内容的范围的情况下，可以对图1进行修改、添加或省略。例如，环境100可以包括比本公开内容中示出和描述的元件更多或更少的元件。
图4示出了根据本公开内容的至少一个实施方式的可以被配置成辅助将HOBO问题转换成QUBO问题的示例计算系统402的框图。计算系统402可以被配置成实现或引导与转换模块(例如，图1的转换模块120)和/或执行环境(例如，图1的执行环境130)相关联的一个或更多个操作。计算系统402可以包括处理器450、存储器452和数据存储装置454。处理器450、存储器452和数据存储装置454可以通信地耦接。
通常，处理器450可以包括任何适当的专用或通用计算机、计算实体或包括各种计算机硬件模块或软件模块的处理设备，并且可以被配置成执行在任何适用的计算机可读存储介质上存储的指令。例如，处理器450可以包括微处理器、微控制器、数字信号处理器(DSP)、专用集成电路(ASIC)、现场可编程门阵列(FPGA)或者被配置成解释和/或执行程序指令和/或被配置成处理数据的任何其他数字或模拟电路。尽管在图4中被示为单个处理器，但是处理器450可以包括被配置成单独地或共同地执行或指导本公开内容中描述的任何数目的操作的性能的任何数目的处理器。另外，处理器中的一个或更多个可以存在于一个或更多个不同的电子设备例如不同的服务器上。
在一些实施方式中，处理器450可以被配置成解释和/或执行在存储器452、数据存储装置454、或者存储器452和数据存储装置454中存储的程序指令和/或处理在存储器452、数据存储装置454、或者存储器452和数据存储装置454中存储的数据。在一些实施方式中，处理器450可以从数据存储装置454中获取程序指令，并且将程序指令加载到存储器452中。在程序指令被加载到存储器452中之后，处理器450可以执行该程序指令。
存储器452和数据存储装置454可以包括计算机可读存储介质，用于承载计算机可执行指令或数据结构或者使计算机可执行指令或数据结构存储在其上。这样的计算机可读存储介质可以包括可以由通用或专用计算机(例如处理器350)访问的任何可用的非暂态介质。作为示例而非限制，这样的计算机可读存储介质可以包括有形的或非暂态计算机可读存储介质，包括：随机存取存储器(RAM)、只读存储器(ROM)、电可擦除可编程只读存储器(EEPROM)、致密盘只读存储器(CD-ROM)或其他光盘存储装置、磁盘存储装置或其他磁存储设备、闪速存储器设备(例如，固态存储器设备)、或可以用于以计算机可执行指令或数据结构的形式承载或存储特定程序代码并且可以由通用或专用计算机访问的任何其他非暂态存储介质。在这些实施方式和其他实施方式中，如本公开内容中所解释的术语“非暂态”应当被解释为仅排除被发现不在联邦巡回法院In re Nuijten判决，500 F.3d 1346(联邦巡回法院，2007)中的可取得专利的主题范围内的那些类型的暂态介质。以上的组合也可以被包括在计算机可读介质的范围内。
以上的组合也可以被包括在计算机可读存储介质的范围内。计算机可执行指令可以包括例如被配置成使处理器450执行特定操作或一组操作的指令和数据。
在不脱离本公开内容的范围的情况下，可以对计算系统402进行修改、添加或省略。例如，在一些实施方式中，计算系统402可以包括可能未明确示出或描述的任何数目的其他部件。
返回图2至图3，图2是根据本公开内容中描述的至少一个实施方式的提供用于将HOBO问题转换成QUBO问题的启发式过程的示例方法200的流程图。方法200可以由任何合适的系统、装置或设备来执行。例如，可以由图1的环境100的一个或更多个元件或者由图4的计算系统402或多个图4的计算系统402来执行方法200的一个或更多个操作。尽管用离散的块示出，但是取决于特定的实现方式，与方法200的块的一个或更多个块相关联的步骤和操作可以被划分为附加的块、被组合成更少的块、或者被消除。
方法200可以在块210处开始，其中对HOBO问题的变量的多个索引中的每个索引进行排序并且创建键-值对的数据结构。对于每个键-值对，键由出现在HOBO问题内的二次项的所有可能组合组成。与每个键相关联的值由包含关联键的至少三次的所有项组成。
在块212处，识别存储在数据结构内的键-值对中的具有最大数目的关联值的键。在识别出具有最大数目的关联值的键时，在块214处，用辅助变量替换所识别的键。
在块216处，基于辅助变量的替换更新数据结构，并且响应于辅助变量添加新的键和关联值。此外，在步骤218处，删除涉及所识别的键的所有三次项。在步骤220处，如果确定已经删除了所识别的键的所有值，则从数据结构中删除所识别的键。
在步骤222处，将辅助变量和所识别的键的二次项作为对存储在数据映射中。块212至块222在本文中被称为集体二次化(collective quadratization)过程223，并且重复块212至块222直到在步骤224处确定HOBO问题中的所有键或剩余的可能的二次项组合已经从在步骤210处创建的数据结构中删除。在步骤226处，为数据映射中的每一对构造二次多项式。
如前所述，本文的实施方式能够在伊辛空间和布尔空间两者中生成二次多项式。更具体地说，在步骤226处，根据期望的输出是用于布尔空间还是伊辛空间，可以分别应用本文描述的等式(1)或等式(2)来为数据映射中的每一对生成二次多项式。
在不脱离本公开内容的范围的情况下，可以对方法200进行修改、添加或省略。例如，可以以不同的顺序实现对方法200的操作。另外地或替选地，可以同时执行两个或更多个操作。此外，所概述的操作和动作仅作为示例来提供，并且在不背离所公开的实施方式的实质的情况下，操作和动作中的一些可以是可选的、可以组合成更少的操作和动作、或者可以扩展成附加的操作和动作。例如，如以下关于图5更全面地描述的，除了上述方法200的步骤之外，上述方法200还可以与剪枝过程相关联地使用，或者可以包括使用诸如上述变换的仿射变换的从伊辛空间到布尔空间或从布尔空间到伊辛空间的转换。
图3是根据本公开内容中描述的至少一个实施方式的用于将HOBO问题转换成QUBO问题的替选启发式方法的另一示例方法300的流程图。方法300可以由任何合适的系统、装置或设备来执行。例如，可以由图1的环境100的一个或更多个元件、由图4的计算系统402、或多个图4的计算系统402来执行方法300的一个或更多个操作。尽管用离散的块示出，但是取决于特定的实现方式，与方法300的块的一个或更多个块相关联的步骤和操作可以被划分为附加的块、被组合成更少的块、或者被消除。
可以理解，方法300使用二部图来将HOBO问题转换成QUBO问题，而图2的方法200利用键-值对的数据结构。因此，图3示出了使用替选的启发式计算机科学系统来执行本文的系统和方法的能力。应当理解，在不脱离本发明的含义和范围的情况下，可以使用各种不同的图形、建模和/或数据结构，并且方法200和方法300的描述并不意味着限制权利要求的范围。
方法300可以在块310处开始，其中对HOBO问题的变量的多个索引中的每个索引进行排序，并且创建加权二部图。在加权二部图中，出现在HOBO问题中的二次项的所有可能组合可以位于左节点并且HOBO问题中的所有单项位于右节点，其中当单项式包含给定的二次项时，二部图中存在边，并且边权重被表示为该单项式的次数。
在块312处，识别HOBO问题中出现的二次项的所有可能组合中具有最大边权重之和的二次项。在识别出具有最大边权重之和的二次项时，在块314处，用辅助变量替换所识别的二次项。
在块316处，删除涉及所识别的二次项的所有三次项。在块320处，在确定不存在源自与二次项相关联的节点的边时，删除所有二次项。
在块322处，通过添加对应于新变量的新二次项并且执行在块316和块320处执行的删除过程，更新二部图的权重和图。
在步骤324处，将辅助变量和与其相关联的二次项作为对存储在数据映射中。块312至块324在本文中被称为集体二次化过程318，并且重复块312至块324直到在步骤326处确定加权二部图完全断开。在步骤328处，为数据映射中的每一对构造二次多项式。
如前所述，本文的实施方式能够在伊辛空间和布尔空间两者中生成二次多项式。更具体地说，在步骤328处，根据期望的输出是用于布尔空间还是伊辛空间，可以分别应用本文描述的等式(1)或等式(2)来为数据映射中的每一对生成二次多项式。
在不脱离本公开内容的范围的情况下，可以对方法300进行修改、添加或省略。例如，方法300的操作可以以不同的顺序实现。另外地或替选地，可以同时执行两个或更多个操作。此外，所概述的操作和动作仅作为示例来提供，并且在不背离所公开的实施方式的实质的情况下，操作和动作中的一些可以是可选的、可以组合成更少的操作和动作、或者可以扩展成附加的操作和动作。例如，如以下关于图5更全面地描述的，除了上述方法300的步骤之外，上述方法300还可以与剪枝过程相关联地使用，或者包括使用诸如上述变换的仿射变换的从伊辛空间到布尔空间或从布尔空间到伊辛空间的转换。
如上所述，本公开内容中描述的实施方式可以包括使用包括如以下更详细讨论的各种计算机硬件模块或软件模块的专用或通用计算机(例如，图4的处理器450)。此外，如上所述，本公开内容中描述的实施方式可以使用用于承载计算机可执行指令或数据结构或者使计算机可执行指令或数据结构存储在其上的计算机可读介质(例如，图4的存储器452或数据存储装置454)来实现。
如本公开内容中所使用的，术语“模块”或“部件”可以指被配置成执行模块或部件的动作的特定硬件实现方式和/或可以存储在计算系统的通用硬件(例如，计算机可读介质、处理设备等)上和/或由计算系统的通用硬件执行的软件对象或软件例程。在一些实施方式中，本公开内容中描述的不同的部件、模块、引擎和服务可以被实现为在计算系统上执行的对象或进程(例如，作为单独的线程)。虽然本公开内容中描述的系统和方法中的一些总体被描述为以软件(存储在通用硬件上和/或由通用硬件执行)来实现，但是特定硬件实现方式或者软件和特定硬件实现方式的组合也是可能的并且可以是预期的。在本说明书中，“计算实体”可以是如本公开内容中先前定义的任何计算系统，或者是在计算系统上运行的任何模块或模块的组合。
除了上述实施方式之外，应当理解，可以使用附加的步骤或过程来对从HOBO问题到QUBO问题的转换的约束进行剪枝或设置。更具体地说，在布尔空间中，当最小化HOBO时，对于负项，可以仅使用一个变量来实现二次化。更具体地，具有负系数的以下单项式为：
Figure BDA0002387197500000131
该单项式可以由下面的代替：
Figure BDA0002387197500000132
尽管对于正项不存在类似的简化，并且在伊辛空间中不存在模拟，但是上述等效可以与关于图2和图3描述的方法一起使用以在布尔空间中将HOBO问题转换成QUBO问题。
可以理解，本文所描述的优点之一是使用这样的通用计算系统来执行本文所描述的方法的至少某些方面的能力。更具体地，本文所描述的实施方式能够以相对计算上高效的方式执行，这会引起易处理的QUBO问题，该QUBO问题比现有技术中先前可获得的QUBO问题更适合找到解。
图5A和5B是示出用于将HOBO问题转换成QUBO问题的另外的实施方式的每个流程图，其包括剪枝过程以便减少HOBO问题中的变量和项的数目，以进一步限制作为结果的QUBO问题的变量和项的数目。此外，根据本公开内容中描述的至少一个实施方式，图5A和图5B中分别示出的方法500和方法550中的每个示出了用于跨伊辛空间和布尔空间将HOBO问题转换成QUBO问题的过程的两个单独的策略。
方法500和方法550可以由任何合适的系统、装置或设备来执行。例如，可以由图1的环境100的一个或更多个元件、由图4的计算系统402或多个图4的计算系统402来执行方法500和方法550的一个或更多个操作。尽管用离散的块示出，但是取决于特定的实现方式，与方法500和方法550的块中的一个或更多个块相关联的步骤和操作可以被划分为附加的块、被组合成更少的块、或者被消除。
图5A的方法500可以在块510处开始，其中输入或接收伊辛空间中的HOBO问题。在块512处，对HOBO问题执行剪枝过程以便减少变量和项的数目，从而在给定的误差界内找到HOBO问题的解。下面更全面地描述剪枝过程的示例，该剪枝过程可以作为在块512处执行的剪枝过程的示例来执行，或者与在块512处执行的剪枝过程相关联地执行。
在块514处，使用例如上述方法200或方法300之一，使用例如块226和/或块328中的等式(2)，将伊辛空间中的HOBO问题转换成伊辛空间中的QUBO问题。在块516处，然后使用包括本文所述的那些技术的任何数目的技术将伊辛空间中的产生的QUBO问题转换成布尔空间中的QUBO问题。
图5B的方法550可以在块552处开始，其中输入或接收伊辛空间中的HOBO问题。在块552处，对HOBO问题执行剪枝过程以便减少变量和项的数目，从而在给定的误差界内找到HOBO问题的解。下面更全面地描述剪枝过程的示例，该剪枝过程可以作为在块552处执行的剪枝过程的示例来执行，或者与在块552处执行的剪枝过程相关联地执行。
在块556处，使用包括本文描述的仿射变换的任何数目的已知技术，将伊辛空间中的HOBO问题转换成布尔空间中的HOBO问题。在块558处，使用例如上述方法200或方法300之一，使用例如块226和/或块328中的等式(1)，将布尔空间中的HOBO问题转换成布尔空间中的QUBO问题。
关于剪枝过程，可以使用任何数目的剪枝过程以便限制HOBO问题的变量、项或最大次数。在一个剪枝过程中，HOBO问题和给定的误差界(表示为HOBO问题的最优解的百分比)可以被输入到例如图1所示的转换模块120中。
部分地使用最优最小值为负的假设，可以通过找到最小值的下界来建立误差容限。对于布尔优化，所有负系数值的和是有效下界。对于伊辛优化，所有系数的绝对值的和的负是有效下界。
在一些实施方式中，HOBO程序的优化问题可以放宽到求解连续优化问题来建立最小值的下界。
误差容限可以被设置为等于最小值的下界与误差界的乘积除以100。
随后，可以通过根据系数的绝对值以递增顺序对项排序，并且删除具有最小绝对值的初始项，直到系数的剩余绝对值的和达到误差容限，来识别和丢弃具有小绝对系数的项。
另外，剪枝过程可以包括普通变量的消除，如果对于与线性项对应的某些变量系数大于该变量存在的所有其他项的某些绝对值，则可以容易地猜测该变量的值。
作为上述剪枝过程的结果，可以合理地推断出被剪枝的HOBO问题的最优解在原始HOBO问题的最优解的误差界内。因此，除了上述HOBO问题到QUBO问题的转换之外，还可以执行上述剪枝过程，以便使在产生的QUBO问题中的变量和项的数目的扩展或扩大，并且进一步协助尽可能在计算上且有效地找到HOBO问题的可接受的解。
本文描述的实施方式提供了将HOBO问题容易且有效地转换成更适于寻找解的QUBO问题的能力。可以理解，将HOBO问题转化为更易处理的问题的能力具有许多应用。例如，在计算复杂度理论中，命题可满足性问题(SAT)和最大可满足性问题(MAX-SAT)是公知的，并且是高阶布尔优化问题的示例。其他已知的HOBO问题(特别是伊辛空间中的那些问题)是已知的，并且对于对复杂分子中的分子相互作用进行建模是重要的。因此，本文描述的实施方式和系统具有各种不同的应用，并且提供了当前在本领域中不可获得的益处。
在本公开内容中并且尤其是在所附权利要求(例如，所附权利要求的主体)中使用的术语一般旨在作为“开放的”术语(例如，术语“包括”应当解释为“包括，但不限于”，术语“具有”应当解释为“至少具有”，术语“包含”应当解释为“包含，但不限于”等)。
另外，如果意图是特定数目的所引入的权利要求陈述，则这样的意图将在权利要求中明确地记载，并且在没有这样的陈述的情况下，不存在这样的意图。例如，为了帮助理解，所附权利要求可以包含使用引导性短语“至少一个”和“一个或更多个”来引入权利要求陈述。然而，即使当同一权利要求包括引导性短语“一个或更多个”或“至少一个”以及不定冠词如“一”或“一个”时(例如，“一”和/或“一个”应当被解释为意指“至少一个”或“一个或更多个”)，这样的短语的使用也不应被解释为暗示着由不定冠词“一”或“一个”引入的权利要求陈述将包含这样引入的权利要求陈述的任何特定权利要求限制为仅包含一个这样陈述的实施方式；这同样适用于用来引入权利要求陈述的定冠词的使用。
另外，即使明确地记载了所引入的权利要求陈述的特定数目，本领域技术人员也将认识到，这样的陈述应当被解释为意指至少所记载的数目(例如，在没有其他修饰语的情况下，仅有的“两个陈述”的陈述意指至少两个陈述，或者两个或更多个陈述)。此外，在使用类似于“A、B和C等中的至少一个”或者“A、B和C等中的一个或更多个”的惯例那些情况下，通常这种构造旨在包括单独的A、单独的B、单独的C、A和B一起、A和C一起、B和C一起、或A、B和C一起等。另外，术语“和/或”的使用旨在以这种方式解释。
此外，无论在说明书、权利要求书或附图中，呈现两个或更多个替选术语的任何析取词或短语都应当被理解为考虑了包括这些术语之一、这些术语中的任一个或两个术语的可能性。例如，即使在其他地方使用术语“和/或”，短语“A或B”也应当被理解为包括“A”或“B”或“A和B”的可能性。
本公开内容中列举的所有示例和条件语言旨在用于教导目的以帮助读者理解本公开内容和发明人为了促进本领域而贡献的概念，并且应当被解释为不限于这样具体记载的示例和条件。尽管已经详细描述了本公开内容的实施方式，但是在不脱离本公开内容的精神和范围的情况下，可以对这些实施方式进行各种改变、替换和变更。

Claims (20)

1.一种将高阶二进制优化HOBO问题转换成二次无约束二进制优化QUBO问题的方法，所述方法包括：
通过对所述HOBO问题的变量的多个索引进行排序来创建键-值对的数据结构，所述键-值对中的每一对中的键对应于出现在所述HOBO问题中的二次项的所有可能组合，并且所述键-值对中的每一对中的值对应于包含关联键的至少三次的所有项；
对于所述数据结构的每个键，执行二次化过程，所述二次化过程包括：
识别所述键-值对中的具有最大数目的关联值的键，
用辅助变量替换所识别的键，
更新所述数据结构的所述键-值对中的每一对中的每个键和值，以便与所述辅助变量相对应，
从所述数据结构中删除所述HOBO问题中涉及所识别的键的所有三次项，
在确定已经删除了所识别的键的所有值时，从所述数据结构中删除所识别的键，以及
将所述辅助变量和所识别的键的二次项作为对存储在数据映射中；以及
为所述数据映射中的所述对构造二次多项式。
2.根据权利要求1所述的方法，其中，在布尔空间中表示所述HOBO问题，并且通过以下等式获得所述二次多项式：
p(y1，x1，x2)＝3y1+x1x2-2y1x1-2y1x2，其中，所述辅助变量y1等于x1x2。
3.根据权利要求1所述的方法，其中，在伊辛空间中表示所述HOBO问题，并且在构造所述二次多项式之前，将所述HOBO问题转换到布尔空间中，并且通过以下等式获得所述二次多项式：
p(y1，x1，x2)＝3y1+x1x2-2y1x1-2y1x2，其中，所述辅助变量y1等于x1x2。
4.根据权利要求1所述的方法，其中，在伊辛空间中表示所述HOBO问题，并且也在伊辛空间中表示所述二次多项式，并且通过以下等式获得所述二次多项式：
p(x1，x2，y，d)＝4+x1+x2-y-2d+x1x2-x1y-x2y-2x1d-2x2d+2yd，
其中，所述辅助变量y1等于x1x2，并且d是虚拟变量。
5.根据权利要求4所述的方法，还包括：将伊辛空间中的所述二次多项式转换成布尔空间中的二次多项式。
6.根据权利要求1所述的方法，还包括：在执行所述二次化过程之前对所述HOBO问题执行剪枝过程，以便减少所述HOBO问题的变量、项或最大次数的数目。
7.一种将高阶二进制优化HOBO问题转换成二次无约束二进制优化QUBO问题的方法，所述方法包括：
通过对所述HOBO问题的变量的多个索引进行排序来创建加权二部图，左节点或右节点中的一个表示所述HOBO问题的二次项的所有可能的组合，并且左节点或右节点中的另一个表示单项式，并且当单项式包含给定的二次项时，所述加权二部图中的边存在，并且边权重是该单项式的次数减1；
重复执行二次化过程，直到所述加权二部图断开，所述二次化过程包括：
识别具有最大边权重之和的二次项，
用辅助变量替换所识别的二次项，
更新所述加权二部图，以便与所述辅助变量相对应，
删除涉及所识别的二次项的所有三次项，
在确定不存在源自所述二次项的边时，删除所述二次项，以及
将所述辅助变量和所识别的二次项作为对存储在数据映射中；以及
为所述数据映射中的所述对构造二次多项式。
8.根据权利要求7所述的方法，其中，在布尔空间中表示所述HOBO问题，并且通过以下等式获得所述二次多项式：
p(y1，x1，x2)＝3y1+x1x2-2y1x1-2y1x2，其中，所述辅助变量y1等于x1x2。
9.根据权利要求7所述的方法，其中，在伊辛空间中表示所述HOBO问题，并且在构造所述二次多项式之前，将所述HOBO问题转换到布尔空间中，并且通过以下等式获得所述二次多项式：
p(y1，x1，x2)＝3y1+x1x2-2y1x1-2y1x2，其中，所述辅助变量y1等于x1x2。
10.根据权利要求7所述的方法，其中，在伊辛空间中表示所述HOBO问题，并且也在伊辛空间中表示所述二次多项式，并且通过以下等式获得所述二次多项式：
p(x1，x2，y，d)＝4+x1+x2-y-2d+x1x2-x1y-x2y-2x1d-2x2d+2yd，
其中，所述辅助变量y1等于x1x2，并且d是虚拟变量。
11.根据权利要求10所述的方法，还包括：将伊辛空间中的所述二次多项式转换成布尔空间中的二次多项式。
12.根据权利要求7所述的方法，还包括：在执行所述二次化过程之前对所述HOBO问题执行剪枝过程，以便减少所述HOBO问题的变量、项或最大次数的数目。
13.一个或更多个计算机可读介质，其被配置成存储指令，所述指令在由系统执行时使得或引导所述系统执行动作，所述动作包括：
通过对所述HOBO问题的变量的多个索引进行排序来创建键-值对的数据结构，所述键-值对中的每一对中的键对应于出现在所述HOBO问题中的二次项的所有可能组合，并且所述键-值对中的每一对中的值对应于包含关联键的至少三次的所有项；
对于所述数据结构的每个键，执行二次化过程，所述二次化过程包括：
识别所述键-值对中的具有最大数目的关联值的键，
用辅助变量替换所识别的键，
更新所述数据结构的所述键-值对中的每一对中的每个键和值，以便与所述辅助变量相对应，
从所述数据结构中删除所述HOBO问题中涉及所识别的键的所有三次项，
在确定已经删除了所识别的键的所有值时，从所述数据结构中删除所识别的键，以及
将所述辅助变量和所识别的键的二次项作为对存储在数据映射中；以及
为所述数据映射中的所述对构造二次多项式。
14.根据权利要求13所述的一个或更多个计算机可读介质，其中，在布尔空间中表示所述HOBO问题，并且通过以下等式获得所述二次多项式：
p(y1，x1，x2)＝3y1+x1x2-2y1x1-2y1x2，其中，所述辅助变量y1等于x1x2。
15.根据权利要求13所述的一个或更多个计算机可读介质，其中，在伊辛空间中表示所述HOBO问题，并且在构造所述二次多项式之前，将所述HOBO问题转换到布尔空间中，并且通过以下等式获得所述二次多项式：
p(y1，x1，x2)＝3y1+x1x2-2y1x1-2y1x2，其中，所述辅助变量y1等于x1x2。
16.根据权利要求13所述的一个或更多个计算机可读介质，其中，在伊辛空间中表示所述HOBO问题，并且也在伊辛空间中表示所述二次多项式，并且通过以下等式获得所述二次多项式：
p(x1，x2，y，d)＝4+x1+x2-y-2d+x1x2-x1y-x2y-2x1d-2x2d+2yd，
其中，所述辅助变量y1等于x1x2，并且d是虚拟变量。
17.根据权利要求16所述的一个或更多个计算机可读介质，其中，所述动作还包括：将伊辛空间中的所述二次多项式转换成布尔空间中的二次多项式。
18.根据权利要求13所述的一个或更多个计算机可读介质，其中，所述动作还包括：在执行所述二次化过程之前对所述HOBO问题执行剪枝过程，以便减少所述HOBO问题的变量、项或最大次数的数目。
19.根据权利要求18所述的一个或更多个计算机可读介质，其中，所述剪枝过程包括：通过找到所述HOBO问题的最小值的下界来建立误差容限。
20.根据权利要求18所述的一个或更多个计算机可读介质，其中，所述剪枝过程包括从所述HOBO问题中删除具有小于预定值的绝对系数的项。
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