WO2023281742A1 - 最適化装置、最適化方法、およびプログラム - Google Patents

最適化装置、最適化方法、およびプログラム Download PDF

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WO2023281742A1
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pseudo
quadratic polynomial
solution
multivariable
variable
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PCT/JP2021/025987
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French (fr)
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和大 宮原
謙介 稲葉
弘樹 武居
利守 本庄
康博 山田
純司 寺本
哲志 八木
Original Assignee
日本電信電話株式会社
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    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06N—COMPUTING ARRANGEMENTS BASED ON SPECIFIC COMPUTATIONAL MODELS
    • G06N99/00—Subject matter not provided for in other groups of this subclass

Definitions

  • the present invention relates to function conversion technology, and more particularly to function conversion technology for solving combinatorial optimization problems with a quantum computer.
  • QUBO is a multivariate quadratic polynomial for variables that take 0 or 1 (0-1 variables)
  • Ising Hamiltonian is a multivariate quadratic polynomial for variables that take +1 or -1 (spin).
  • the present invention has been made in view of these points, and converts a multivariate quadratic polynomial for variables that take positive or negative values into an equivalent form that can be easily calculated by a quantum computer specializing in combinatorial optimization problems. It is an object of the present invention to provide a technique for obtaining a solution that transforms and minimizes the multivariable quadratic polynomial.
  • the optimizer is a pseudo-polynomial obtained by multiplying each first-order term of a multivariate quadratic polynomial with respect to variables that take positive or negative values by a pseudo-variable that takes a value of +1 or -1.
  • variable quadratic polynomial Generate a variable quadratic polynomial, obtain a combination of a temporary solution that is the value of the variable and a pseudo constant that is the value of the pseudo variable that minimizes the pseudo multivariate quadratic polynomial, and if the pseudo constant is +1 , the temporary solution is output as the solution of the variable that minimizes the multivariate quadratic polynomial, and if the pseudo-constant is -1, the positive/negative value of the temporary solution is used to minimize the multivariable quadratic polynomial output as the solution of the variables that
  • the optimizer computes the coefficients of each first-order term of a multivariate quadratic polynomial with respect to variables with positive or negative values with respect to one or more pseudo-variables with values of +1 or -1.
  • Generating a pseudo-multivariable formula including at least a part of a pseudo-multivariable quadratic polynomial obtained by replacing each of the first-order polynomials, and minimizing the pseudo-multivariable formula, which are the values of the variables, and the pseudo-provisional solution Obtain a combination with a pseudo-constant that is the value of a variable, and if the pseudo-constant is +1, output the temporary solution as the solution of the variable that minimizes the multivariate quadratic polynomial, and the pseudo-constant is -1 In this case, the positive/negative value of the temporary solution is output as the variable solution that minimizes the multivariate quadratic polynomial.
  • multivariable quadratic polynomials related to variables that take positive or negative values are converted into an equivalent form that is easy to calculate with a quantum computer specializing in combinatorial optimization problems, and the multivariable quadratic polynomials are minimized. It is possible to find a solution that
  • FIG. 1 is a block diagram illustrating the functional configuration of the optimization system of the embodiment.
  • FIG. 2 is a diagram for explaining the optimization method of the embodiment.
  • FIG. 3 is a flow chart for explaining the optimization method of the embodiment.
  • FIG. 4 is a diagram for explaining the optimization method of the embodiment.
  • FIG. 5 is a diagram for explaining the optimization method of the embodiment.
  • FIG. 6 is a diagram for explaining the optimization method of the embodiment.
  • FIG. 7 is a diagram for explaining the optimization method of the embodiment.
  • FIG. 8 is a diagram illustrating the relationship between the number of pseudo-variables and the appearance rate of the optimal solution.
  • FIG. 9 is a block diagram illustrating the hardware configuration of the optimization device.
  • an optimization system 1 of this embodiment has an optimization device 11 and a quantum computer 12 .
  • the optimization device 11 is, for example, a device configured by causing a classical computer such as a von Neumann computer (hereinafter simply referred to as "computer") to execute a predetermined program.
  • the optimization device 11 has a pseudo-multivariate formula generation unit 111 , an inverse transform processing unit 112 , a control unit 113 and a storage unit 114 .
  • the optimization device 11 executes each process under the control of the control unit 113, and the data input to the optimization device 11 and the data obtained by each unit are stored in the storage unit 114. stored and read and used as needed.
  • the quantum computer 12 is a combinatorial optimization problem-specific quantum computer such as a quantum annealing machine or an Ising machine.
  • the optimization device 11 of the present embodiment generates a multivariable quadratic polynomial (for example, the Ising model Hamiltonian with a magnetic field term) related to variables that take positive or negative values, and converts the multivariable 2 Quantum computer by converting to a pseudo-multivariate quadratic polynomial obtained by multiplying each of the first-order terms of the polynomial by a pseudo-variable that takes a value of +1 or -1 (for example, Hamiltonian of Ising model without magnetic field term) output to 12.
  • a multivariable quadratic polynomial for example, the Ising model Hamiltonian with a magnetic field term
  • the quantum computer 12 generates a pseudo multivariable quadratic polynomial solution (for example, A solution that minimizes the Hamiltonian of the Ising model without the magnetic field term is calculated (quantum calculation) and returned to the optimization device 11 .
  • the optimization device 11 obtains a pseudo multivariable quadratic polynomial solution that is a combination of the provisional solution and the pseudo constants.
  • the optimization device 11 inversely transforms the obtained combination of the provisional solution and the pseudo-constant to obtain a multivariable quadratic polynomial solution (for example, the Hamiltonian of the Ising model with a magnetic field term ) is obtained and output.
  • the optimization device 11 when the pseudo constant is +1, the optimization device 11 outputs the provisional solution as the solution of the variables that minimize the multivariate quadratic polynomial, and when the pseudo constant is -1, the provisional solution A value obtained by reversing (reversing) the sign of is output as the solution of the variables that minimize the multivariate quadratic polynomial.
  • a multivariable quadratic polynomial E relating to variables that take positive or negative values is input to the pseudo-multivariable formula generator 111 of the optimization device 11 .
  • the optimization device 11 aims to obtain the values (solutions) of the variables that minimize the multivariate quadratic polynomial E in the end.
  • An example of such a multivariable quadratic polynomial E is an objective function, for example, the multivariable quadratic polynomial E is an objective function for solving a combinatorial optimization problem.
  • An example of the multivariable quadratic polynomial E is an objective function represented by the Hamiltonian of the Ising model for solving a desired combinatorial optimization problem with a combinatorial optimization problem-specific quantum computer.
  • the multivariate quadratic polynomial E is expressed, for example, as in Equation (1) below.
  • V and Y are subsets of integers, i ⁇ V and j ⁇ Y.
  • N is a positive integer greater than or equal to 2
  • M i and J ij are real coefficients
  • s i and s j are variables that take positive or negative values.
  • s i is a variable that takes +a i or -a i (s i ⁇ +a i ,-a i ⁇ ).
  • s j is a variable that takes +a j or -a j (s j ⁇ +a j ,-a j ⁇ ).
  • the multivariate quadratic polynomial E represents the Hamiltonian of the Ising model for solving combinatorial optimization problems, for example, with a quantum computer specialized for combinatorial optimization problems
  • a j 1
  • s i and s j are Both are variables that take +1 or -1.
  • this does not limit the invention.
  • the pseudo multivariable expression generation unit 111 generates a pseudo variable s unit (pseudo A pseudo-multivariate quadratic polynomial F obtained by multiplying by a constant spin) is generated and output. For example, if the pseudo-variable s unit is 1, the pseudo-multivariate quadratic polynomial F is equal to the multivariate quadratic polynomial E.
  • the pseudo-multivariate quadratic polynomial F is expressed, for example, as in Equation (2) below.
  • Equation (2) a pseudo multivariable quadratic polynomial F is obtained by converting the first-order terms of the multivariable quadratic polynomial E into quadratic terms.
  • a pseudo-multivariate quadratic polynomial F with only quadratic terms is obtained.
  • this is an example and does not limit the present invention.
  • the pseudo-multivariate formula generator 111 outputs such a pseudo-multivariate quadratic polynomial F to the quantum computer 12 .
  • the quantum computer 12 calculates a combination (S,S unit ) of the provisional solution S, which is the value of the variable that minimizes the input pseudo multivariate quadratic polynomial F, and the pseudo constant S unit , which is the value of the pseudo variable. output.
  • the quantum computer calculates the provisional solution S, which is the value of the variables s i and s j that minimizes the pseudo-multivariate quadratic polynomial F in Equation (2), and the values of the pseudo-variables s unit ⁇ +1,-1 ⁇
  • S,S unit the combination with the pseudo-constant S unit .
  • (S,S unit ) the combination (S, S unit ) with the pseudo-constant S unit .
  • S,S unit A combination (S, S unit ) of the provisional solution S and the pseudo-constant S unit is input to the inverse transform processing unit 112, and the inverse transform processing unit 112 thereby obtains the combination (S, S unit ).
  • the inverse transforming unit 112 inversely transforms the input combination (S, S unit ) of the provisional solution S and the pseudo-constant s unit to obtain a variable solution X that minimizes the original multivariate quadratic polynomial E. is obtained and output.
  • the multivariate quadratic polynomial E is a multivariate quadratic polynomial with respect to variables that take positive or negative values (see, for example, equation (1)).
  • the pseudo multivariable quadratic polynomial F is obtained by multiplying each first-order term of the multivariable quadratic polynomial E by a pseudo variable that takes a value of +1 or -1.
  • the pseudo-multivariate quadratic polynomial substituted with (S,S unit ) (S,-1) that minimizes the pseudo-multivariate quadratic polynomial F
  • the first-order term F 1 of F is denoted as F 1 (S,-1)
  • the second-order term F 2 is denoted as F 2 (S).
  • the pseudo-multivariate quadratic polynomial F is minimized to F 1 (S, ⁇ 1)+F 2 (S) at the temporary solution S.
  • the optimization device 11 of the present embodiment converts a multivariable quadratic polynomial E (for example, the Hamiltonian of the Ising model with a magnetic field term) relating to variables that take positive or negative values to the multivariable quadratic polynomial is converted to a pseudo-multivariable quadratic polynomial F obtained by multiplying each of the first-order terms by a pseudo-variable that takes a value of +1 or -1 (for example, the Hamiltonian of the Ising model without the magnetic field term), and the quantum computer 12 output to The quantum computer 12 calculates a combination (S,S unit ) of the provisional solution S, which is the value of the variable, and the pseudo-constant S unit , which is the value of the pseudo-variable, which minimizes the input pseudo-multivariate quadratic polynomial F.
  • E for example, the Hamiltonian of the Ising model with a magnetic field term
  • the pseudo multivariable quadratic polynomial F does not include a first-order term (for example, a magnetic field term)
  • the quantum computer 12 for example, a quantum annealing machine, an Ising machine, etc.
  • S, S unit the quantum computer 12 that cannot handle a polynomial having a first-order term
  • the optimization device 11 outputs the provisional solution S as the solution of the variables that minimize the multivariate quadratic polynomial E, and the pseudo constant S unit is s
  • the multivariable quadratic polynomial E is converted into a pseudo multivariable quadratic polynomial F, which is an equivalent form that does not have a first-order term, and the multivariable quadratic polynomial E is minimized. It is possible to find a solution that
  • the objective function expressed by an arbitrary QUBO can be minimized using this embodiment. method can be used.
  • the optimization system 2 of this embodiment has an optimization device 21 and a quantum computer 12 .
  • the optimization device 21 is, for example, a device configured by causing a computer to execute a predetermined program.
  • the optimization device 21 has a pseudo multivariable formula generation unit 211 , an inverse transform processing unit 212 , a control unit 113 and a storage unit 114 .
  • the optimization device 21 executes each process under the control of the control unit 113, and the data input to the optimization device 21 and the data obtained by each unit are stored in the storage unit 114. stored and read and used as needed.
  • a multivariable quadratic polynomial E is input to the pseudo-multivariable formula generator 111 of the optimization device 11 .
  • the multivariate quadratic polynomial E is the same as that described in the first embodiment.
  • the pseudo multivariable quadratic polynomial F′ uses a multivariable quadratic polynomial E relating to variables that take positive or negative values, and the pseudo multivariable quadratic polynomial F′ is at least partially Generate and output a pseudo-multivariate formula F containing
  • the pseudo multivariable quadratic polynomial F' is a single or multiple pseudo variables taking +1 or -1, each coefficient M i of the first-order term (magnetic field term) of the multivariable quadratic polynomial E. s unit(i,k) (pseudo-constant spin) is obtained by replacing each of the first-order polynomials.
  • the first-order terms of the pseudo-multivariate quadratic polynomial F′ are equal to the first-order terms of the multivariable quadratic polynomial E.
  • the pseudo-multivariate quadratic polynomial F' is expressed, for example, by Equation (5) below. where V, Y and K(i) are integer subsets, i ⁇ V, j ⁇ Y, and k ⁇ K(i).
  • N is a positive integer greater than or equal to 2
  • N'(i) is a positive integer greater than or equal to 1
  • s i and s j are variables and s unit(i,k) is a pseudo-variable.
  • s unit(i,k) may be individual pseudovariables for all (i,k), or at least some i,i' (where i ⁇ i' and i,i' ⁇ V) , unit(i,k) and unit(i',k') (where k ⁇ K(i), k' ⁇ K(i')) may be the same pseudo-variable.
  • s unit(i,k) and s unit(i',k) may be the same pseudo-variable.
  • the range of coefficient values (magnitude of coefficient variation) of the pseudo multivariate quadratic polynomial F' is larger than the range of coefficient values (magnitude of coefficient variation) of the original multivariable quadratic polynomial E. It is desirable that the coefficients m i,k be determined so as to be small. This is because polynomials with small variations in coefficients are more suitable for calculation by the quantum computer 12 .
  • coefficients m i,k may be determined as follows.
  • M i represents the coefficient of the first-order term for the variable s i of the multivariable quadratic polynomial E
  • N′(i) is the number of coefficients m i,k for the variable s i (s unit(i , k)) , where k is the pseudo-variable number for the variable s i . represents the smallest integer greater than or equal to the real number ⁇ (ceiling function value of ⁇ ), represents the largest integer less than or equal to the real number ⁇ (floor function value of ⁇ ).
  • the pseudo multivariable quadratic polynomial F' of this embodiment is a quadratic polynomial relating to variables s i and s j and a plurality of pseudo variables s unit (i, k)
  • the pseudo multivariable equation F of this embodiment is: Part of it includes a sign unification formula U that minimizes when all pseudo-variables s unit(i,k) have the same positive/negative sign. Any code unification formula U may be used.
  • the pseudo multivariable formula generation unit 211 outputs a linear sum of the pseudo multivariable quadratic polynomial F′ and the sign unifying formula U as the pseudo multivariable formula F.
  • FIG. the pseudo multivariable formula generator 211 obtains and outputs a pseudo multivariable formula F of the following equation (8).
  • the pseudo multivariable formula generator 111 outputs such a pseudo multivariable formula F to the quantum computer 12 .
  • the quantum computer 12 generates a provisional solution S, which is the value of the variable that minimizes the input pseudo multivariate formula F, and each pseudo variable s unit (i, k) (where i ⁇ V and k ⁇ K (i)) Calculate and output the combination (S, S unit ) with the pseudo-constant S unit which is the value of .
  • a quantum computer generates a provisional solution S, which is the value of variables s i and s j that minimizes a pseudo multivariate quadratic polynomial F, and each pseudo variable s unit (i, k) ⁇ ⁇ +1,-1 ⁇ ( where we obtain a combination (S,S unit ) with a pseudo-constant S unit that is the value of i ⁇ V and k ⁇ K(i)).
  • (S,S unit ) (s 0 ,...,s N-1 ,s unit(0,0) ,...,s unit(0,N'(0)-1) ,..., s unit(N-1,0) ,...,s unit(N-1,N'(N-1)-1) ).
  • a combination (S, S unit ) of the provisional solution S and the pseudo-constant s unit is input to the inverse transform processing unit 212, and the inverse transform processing unit 212 thereby obtains the combination (S, S unit ).
  • the inverse transformation processing unit 212 inversely transforms the input combination (S, S unit ) of the provisional solution S and the pseudo-constant s unit to obtain a variable solution that minimizes the original multivariate quadratic polynomial E. get and output.
  • the pseudo-constant S unit is +1
  • the pseudo-constant S unit of this embodiment is a plurality of pseudo-variables unit(i,k) ⁇ +1,-1 ⁇ (where i ⁇ V and k ⁇ K(i)). Although it is expected that all pseudo-constants S unit have the same positive/negative sign due to the effect of the sign unifying expression U described above, in some cases, all pseudo-constants S unit may not have the same positive/negative sign.
  • any pseudo-constant S unit any pseudo-variable unit(i,k) ⁇ +1,-1 ⁇ value
  • the inverse transform processing unit 212 performs, for example, one of the following examples 1 to 3.
  • the inverse transform processing unit 212 outputs information indicating that the variable solution X that minimizes the multivariate quadratic polynomial E cannot be obtained.
  • the inverse transform processing unit 212 selects either S or -S by an appropriate method, and outputs the selected S or -S as the variable solution X that minimizes the multivariate quadratic polynomial E. .
  • the inverse transform processing unit 212 sets the temporary solution S to the variable solution that minimizes the multivariate quadratic polynomial E.
  • the optimization device 21 of this embodiment uses the coefficient At least part of the pseudo-multivariate quadratic polynomial F′ obtained by replacing M i by each of the pseudo-multivariate quadratic polynomials with respect to one or more pseudo-variables unit(i,k) taking the value of +1 or -1 , and outputs it to the quantum computer 12 .
  • the pseudo-multivariate quadratic polynomial F does not include a first-order term (for example, a magnetic field term)
  • the adjustment of the variables of the first-order term to obtain (S, S unit ) is simplified.
  • the pseudo multivariate formula F does not include a first-order term, even if the quantum computer 12 (for example, a quantum annealing machine or an Ising machine) cannot handle a polynomial with a first-order term (S, S unit ) can be obtained, and the adjustment of the first-order term variables to obtain (S, S unit ) is not required. Further, by replacing the coefficients Mi of the first-order terms of the multivariable quadratic polynomial E with the first-order polynomials related to the plurality of pseudo-variables unit(i,k) , the range of the coefficients can be adjusted, Processing efficiency and processing accuracy in the quantum computer 12 can be improved.
  • the quantum computer 12 for example, a quantum annealing machine or an Ising machine
  • the pseudo-multivariate expression F further includes a sign unification expression U that minimizes when all pseudo-variables s unit(i,k) have the same sign, then the sign of all pseudo-constants S unit are more likely to be identical.
  • the pseudo-multivariate Formula F does not contain first order terms. In this case, even if the quantum computer 12 cannot handle polynomials with first-order terms, (S, S unit ) can be obtained . adjustment becomes unnecessary.
  • the optimization device 21 can perform any of the above-described examples 1 to 3, whereby the multivariate quadratic polynomial The result is that we cannot get a solution that minimizes E, or we can get a reasonable solution.
  • the objective function expressed by an arbitrary QUBO can be minimized using this embodiment. method can be used.
  • the optimal solution appearance rate obtained by the quantum computer 12 may change.
  • the optimal solution appearance rate may change depending on the number of pseudo-variables unit(i,k) . Therefore , at least It is desirable to be able to set some of them.
  • the number of pseudo-variables unit ( i,k) , the coefficients m i,k of the pseudo-variables unit(i,k) Parameters specifying at least part of the magnitude and the sign unification formula U may be set automatically.
  • the optimal parameter corresponding to the input multivariable quadratic polynomial E A model to be set may be generated, and parameters corresponding to the newly input multivariate quadratic polynomial E may be automatically set using the model.
  • the optimization devices 11 and 21 in each embodiment include, for example, processors (hardware processors) such as CPUs (central processing units) and memories such as RAMs (random-access memories) and ROMs (read-only memories). It is a device configured by executing a predetermined program on a general-purpose or dedicated computer. That is, the optimizer 11, 21 in each embodiment has, for example, processing circuitry configured to implement each unit it has.
  • This computer may have a single processor and memory, or may have multiple processors and memories.
  • This program may be installed in the computer, or may be recorded in ROM or the like in advance.
  • processing units may be configured using an electronic circuit that independently realizes processing functions, instead of an electronic circuit that realizes a functional configuration by reading a program like a CPU.
  • an electronic circuit that constitutes one device may include a plurality of CPUs.
  • FIG. 9 is a block diagram illustrating the hardware configuration of the optimization devices 11 and 21 in each embodiment.
  • the optimization devices 11 and 21 of this example include a CPU (Central Processing Unit) 10a, an input section 10b, an output section 10c, a RAM (Random Access Memory) 10d, and a ROM (Read Only Memory) 10e. , an auxiliary storage device 10f and a bus 10g.
  • the CPU 10a of this example has a control section 10aa, an arithmetic section 10ab, and a register 10ac, and executes various arithmetic processing according to various programs read into the register 10ac.
  • the input unit 10b is an input terminal for data input, a keyboard, a mouse, a touch panel, and the like.
  • the output unit 10c is an output terminal for outputting data, a display, a LAN card controlled by the CPU 10a having read a predetermined program, and the like.
  • the RAM 10d is SRAM (Static Random Access Memory), DRAM (Dynamic Random Access Memory), or the like, and has a program area 10da in which a predetermined program is stored and a data area 10db in which various data are stored.
  • the auxiliary storage device 10f is, for example, a hard disk, an MO (Magneto-Optical disc), a semiconductor memory, or the like, and has a program area 10fa in which a predetermined program is stored and a data area 10fb in which various data are stored.
  • the bus 10g connects the CPU 10a, the input section 10b, the output section 10c, the RAM 10d, the ROM 10e, and the auxiliary storage device 10f so that information can be exchanged.
  • the CPU 10a writes the program stored in the program area 10fa of the auxiliary storage device 10f to the program area 10da of the RAM 10d according to the read OS (Operating System) program.
  • the CPU 10a writes various data stored in the data area 10fb of the auxiliary storage device 10f to the data area 10db of the RAM 10d.
  • the address on the RAM 10d where the program and data are written is stored in the register 10ac of the CPU 10a.
  • the control unit 10aa of the CPU 10a sequentially reads these addresses stored in the register 10ac, reads the program and data from the area on the RAM 10d indicated by the read address, and causes the calculation unit 10ab to sequentially execute the calculation indicated by the program, The calculation result is stored in the register 10ac.
  • the above program can be recorded on a computer-readable recording medium.
  • a computer-readable recording medium is a non-transitory recording medium. Examples of such recording media are magnetic recording devices, optical discs, magneto-optical recording media, semiconductor memories, and the like.
  • the distribution of this program is carried out, for example, by selling, assigning, lending, etc. portable recording media such as DVDs and CD-ROMs on which the program is recorded. Further, the program may be distributed by storing the program in the storage device of the server computer and transferring the program from the server computer to other computers via the network.
  • a computer that executes such a program for example, first stores the program recorded on a portable recording medium or transferred from a server computer in its own storage device. When executing the process, this computer reads the program stored in its own storage device and executes the process according to the read program. Also, as another execution form of this program, the computer may read the program directly from a portable recording medium and execute processing according to the program, and the program is transferred from the server computer to this computer.
  • the processing according to the received program may be executed sequentially.
  • the above-mentioned processing is executed by a so-called ASP (Application Service Provider) type service, which does not transfer the program from the server computer to this computer, and realizes the processing function only by its execution instruction and result acquisition.
  • ASP Application Service Provider
  • the program in this embodiment includes information that is used for processing by a computer and that conforms to the program (data that is not a direct instruction to the computer but has the property of prescribing the processing of the computer, etc.).
  • the device is configured by executing a predetermined program on a computer, but at least part of these processing contents may be implemented by hardware.
  • the present invention is not limited to the above-described embodiments.
  • the various types of processing described above may not only be executed in chronological order according to the description, but may also be executed in parallel or individually according to the processing capacity of the device that executes the processing or as necessary.

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Abstract

最適化装置は、正または負の値をとる変数に関する多変数２次多項式の１次の項それぞれに、+1または-1の値をとる擬似変数を乗じて得られる擬似多変数２次多項式を生成し、当該擬似多変数２次多項式を最小化する、変数の値である暫定解と擬似変数の値である擬似定数との組み合わせを得、当該擬似定数が+1である場合に、当該暫定解を、多変数２次多項式を最小化する変数の解として出力し、当該擬似定数が-1である場合に、当該暫定解の正負を逆転させた値を、多変数２次多項式を最小化する変数の解として出力する。

Description

最適化装置、最適化方法、およびプログラム
　本発明は、関数変換技術に関し、特に組み合わせ最適化問題を量子コンピュータで解くための関数変換技術に関する。
　現在広く利用されているノイマン型コンピュータでは、組合せ最適化問題を効率的に解くことが難しいとされている。そこで、近年、組合せ最適化問題をノイマン型コンピュータよりも効率的に解くことが可能な計算機である、量子アニーリングマシンやイジングマシンなどの組み合わせ最適化問題の計算に特化した量子コンピュータ（以下、「組み合わせ最適化問題特化型の量子コンピュータ」という）の研究開発が進められている。
　これらの新たな計算機は、対象とする組合せ最適化問題をイジングハミルトニアン（イジングモデルのハミルトニアン）として表現した目的関数を入力とすることにより、高速にその問題の解を計算することができる（例えば、非特許文献１等参照）。
　また、これらの新たな計算機への入力形式としてはQUBO(Quadratic Unconstrained Binary Optimization)により表現した目的関数を用いることもあり、QUBOで表された目的関数とイジングハミルトニアンで表された目的関数とを相互に自動変換する技術も存在する。
　ここで、QUBOは0か1を取る変数(0-1変数)に関する多変数２次多項式であり、イジングハミルトニアンは+1か-1を取る変数(スピン)に関する多変数２次多項式である。
"Solving Problems with D-Wave Solvers", [online], D-Wave Systems Inc., D-Wave System Documentation, [2021年6月24日検索], インターネット＜https://docs.dwavesys.com/docs/latest/c_gs_3.html#ising-model＞
　組み合わせ最適化問題特化型の量子コンピュータを用いて組み合わせ最適化問題を解く際には、問題をイジングハミルトニアン形式の目的関数で表現し、この目的関数を最小化する解を計算させる必要がある。しかし、組み合わせ最適化問題特化型の量子コンピュータの中には、イジングハミルトニアン形式の２次多項式のうち、１次の項(磁場項)を持つものを扱えないものや、磁場項に関する調整が２次の項と独立しているものがある。このような場合、磁場項を含むイジングハミルトニアンで表された目的関数について解を得られないか、解を得るための調整難度が高くなる。
　このような問題はイジングハミルトニアンの形式で表された目的関数を最小化する解を求める場合のみならず、正または負の値をとる変数に関する多変数２次多項式を最小化する解を求める場合に共通する問題である。
　本発明はこのような点に鑑みてなされたものであり、正または負の値をとる変数に関する多変数２次多項式を、組み合わせ最適化問題特化型の量子コンピュータで計算しやすい等価な形式に変換して、当該多変数２次多項式を最小化する解を求める技術を提供すること目的とする。
　第１態様では、最適化装置が、正または負の値をとる変数に関する多変数２次多項式の１次の項それぞれに、+1または-1の値をとる擬似変数を乗じて得られる擬似多変数２次多項式を生成し、擬似多変数２次多項式を最小化する、変数の値である暫定解と擬似変数の値である擬似定数との組み合わせを得、擬似定数が+1である場合に、暫定解を、多変数２次多項式を最小化する変数の解として出力し、擬似定数が-1である場合に、暫定解の正負を逆転させた値を、多変数２次多項式を最小化する変数の解として出力する。
　第２態様では、最適化装置が、正または負の値をとる変数に関する多変数２次多項式の１次の項それぞれの係数を、+1または-1の値をとる単数または複数の擬似変数に関する１次多項式のそれぞれで置換して得られる擬似多変数２次多項式を少なくとも一部に含む、擬似多変数式を生成し、擬似多変数式を最小化する、変数の値である暫定解と擬似変数の値である擬似定数との組み合わせを得、擬似定数が+1である場合に、暫定解を、多変数２次多項式を最小化する変数の解として出力し、擬似定数が-1である場合に、暫定解の正負を逆転させた値を、多変数２次多項式を最小化する変数の解として出力する。ただし、擬似変数のすべてが+1である場合、擬似多変数２次多項式の１次の項は多変数２次多項式の１次の項と等しい。
　これにより、正または負の値をとる変数に関する多変数２次多項式を、組み合わせ最適化問題特化型の量子コンピュータで計算しやすい等価な形式に変換して、当該多変数２次多項式を最小化する解を求めることができる。
図１は実施形態の最適化システムの機能構成を例示するためのブロック図である。 図２は実施形態の最適化方法を説明するための図である。 図３は実施形態の最適化方法を説明するためのフロー図である。 図４は実施形態の最適化方法を説明するための図である。 図５は実施形態の最適化方法を説明するための図である。 図６は実施形態の最適化方法を説明するための図である。 図７は実施形態の最適化方法を説明するための図である。 図８は擬似変数の個数と最適解出現率との関係を例示した図である。 図９は最適化装置のハードウェア構成を例示するためのブロック図である。
　以下、図面を参照して本発明の実施形態を説明する。
　［第１実施形態］
　まず第１実施形態を説明する。
　［構成］
　図１に例示するように、本実施形態の最適化システム１は、最適化装置１１および量子コンピュータ１２を有する。最適化装置１１は、例えば、ノイマン型コンピュータなどの古典コンピュータ（以下、単に「コンピュータ」という）に所定プログラムを実行させることによる構成される装置である。最適化装置１１は、擬似多変数式生成部１１１、逆変換処理部１１２、制御部１１３、および記憶部１１４を有する。以下では説明を省略するが、最適化装置１１は、制御部１１３の制御のもとで各処理を実行し、最適化装置１１に入力されたデータおよび各部で得られたデータは記憶部１１４に格納され、必要に応じて読み出されて使用される。また、量子コンピュータ１２は、量子アニーリングマシンやイジングマシンなどの組み合わせ最適化問題特化型の量子コンピュータである。
　＜処理＞
　図２に例示するように、本実施形態の最適化装置１１は、正または負の値をとる変数に関する多変数２次多項式（例えば、磁場項ありのイジングモデルのハミルトニアン）を、当該多変数２次多項式の１次の項それぞれに、+1または-1の値をとる擬似変数を乗じて得られる擬似多変数２次多項式（例えば、磁場項なしのイジングモデルのハミルトニアン）に変換して量子コンピュータ１２に出力する。量子コンピュータ１２は、入力された擬似多変数２次多項式を最小化する、変数の値である暫定解と擬似変数の値である擬似定数との組み合わせである擬似多変数２次多項式解（例えば、磁場項なしのイジングモデルのハミルトニアンを最小化する解）を計算（量子計算）して最適化装置１１に返す。これにより、最適化装置１１は、暫定解と擬似定数との組み合わせである擬似多変数２次多項式解を得る。最適化装置１１は、得られた暫定解と擬似定数との組み合わせを逆変換し、元の多変数２次多項式の解である多変数２次多項式解（例えば、磁場項ありのイジングモデルのハミルトニアンを最小化する解）を得て出力する。すなわち、最適化装置１１は、擬似定数が+1である場合に、暫定解を、多変数２次多項式を最小化する変数の解として出力し、擬似定数が-1である場合に、暫定解の正負を逆転（反転）させた値を、多変数２次多項式を最小化する変数の解として出力する。以下、詳細に説明する。
　《ステップＳ１１》
　図３に例示するように、最適化装置１１の擬似多変数式生成部１１１には、正または負の値をとる変数に関する多変数２次多項式Eが入力される。最適化装置１１は、最終的に多変数２次多項式Eを最小化する変数の値（解）を得ることを目的としている。このような多変数２次多項式Eの例は目的関数であり、例えば、多変数２次多項式Eは、組み合わせ最適化問題を解くための目的関数である。多変数２次多項式Eの一例は、所望の組み合わせ最適化問題を、組み合わせ最適化問題特化型の量子コンピュータで解くための、イジングモデルのハミルトニアンで表された目的関数である。
　多変数２次多項式Eは、例えば、以下の式(1)のように表される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000005
 ここで、VおよびYは整数の部分集合であり、i∈Vであり、j∈Yである。例えば、Nを２以上の正の整数とすると、i=0,...,N-1（すなわち、V={0,...,N-1}）であり、j=i+1,...,N-1（すなわち、Y={i+1,...,N-1}）である。MiおよびJijが実数係数であり、siおよびsjは正または負の値をとる変数である。例えば、siは+aiまたは-aiをとる変数（si∈{+ai,-ai}）である。aiは正の実数であり、例えば、ai=1である。同様に、sjは+ajまたは-ajをとる変数（sj∈{+aj,-aj}）である。ajは正の実数であり、例えば、aj=1である。多変数２次多項式Eが組み合わせ最適化問題を、例えば、組み合わせ最適化問題特化型の量子コンピュータで解くためのイジングモデルのハミルトニアンを表す場合、aj=1であり、siおよびsjはともに+1または-1をとる変数である。ただし、これは本発明を限定するものではない。
　《ステップＳ１２》
　擬似多変数式生成部１１１は、入力された正または負の値をとる変数に関する多変数２次多項式Eの１次の項それぞれに、+1または-1の値をとる擬似変数sunit（疑似定数スピン）を乗じて得られる擬似多変数２次多項式Fを生成して出力する。例えば、擬似変数sunitが１である場合、擬似多変数２次多項式Fは多変数２次多項式Eと等しくなる。擬似多変数２次多項式Fは、例えば、以下の式(2)のように表される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000006
 　これにより、多変数２次多項式Eの１次の項を２次の項に変換した擬似多変数２次多項式Fが得られる。式(2)の例では、２次の項のみを持つ擬似多変数２次多項式Fが得られる。例えば、図４に例示するように、E=s0s1-2s1s2+3s2s0+4s0-6s1である場合（ａ）、擬似多変数式生成部１１１は、このEの一次の項"4s0","6s1"に擬似変数sunitを乗じてこれらを２次の項"4s0sunit","6s1sunit"に変換する。これにより、２次の項のみを持つ擬似多変数２次多項式Fが得られる（ｂ）。ただし、これは一例であって、本発明を限定するものではない。
　《ステップＳ１３》
　擬似多変数式生成部１１１は、このような擬似多変数２次多項式Fを量子コンピュータ１２に出力する。量子コンピュータ１２は、入力された擬似多変数２次多項式Fを最小化する変数の値である暫定解Sと擬似変数の値である擬似定数Sunitとの組み合わせ(S,Sunit)を計算して出力する。例えば、量子コンピュータは、式(2)の擬似多変数２次多項式Fを最小化する変数siおよびsjの値である暫定解Sと擬似変数sunit∈{+1,-1}の値である擬似定数Sunitとの組み合わせ(S,Sunit)を得る。例えば、i=0,...,N-1であり、j=i+1,...,N-1である場合、(S,Sunit)=(s0,...,sN-1,Sunit)である。暫定解Sと擬似定数Sunitとの組み合わせ(S,Sunit)は逆変換処理部１１２に入力され、これによって逆変換処理部１１２は当該組み合わせ(S,Sunit)を得る。
　《ステップＳ１４》
　逆変換処理部１１２は、入力された暫定解Sと擬似定数sunitとの組み合わせ(S,Sunit)を逆変換し、これによって元の多変数２次多項式Eを最小化する変数の解Xを得て出力する。この逆変換は、擬似定数Sunitに応じて暫定解Ｓの解としての解釈を切り替えることで実現される。すなわち、逆変換処理部１１２は、擬似定数Sunitが+1である場合に、暫定解Sを、多変数２次多項式を最小化する変数の解X=Sとして出力する。一方、逆変換処理部１１２は、擬似定数Sunitが-1である場合に、暫定解Sの正負を逆転させた値を、多変数２次多項式を最小化する変数の解X=-Sとして出力する。例えば、図５に例示するように、擬似定数Sunitがsunit=+1であり、暫定解Sが(s0,s1,s2)=(-1,+1,+1)である場合（ａ）、逆変換処理部１１２は、暫定解S=(s0,s1,s2)=(-1,+1,+1)を、多変数２次多項式Ｅを最小化する変数の解X=S=(-1,+1,+1)として出力する（ｂ）。一方、擬似定数Sunitがsunit=-1であり、暫定解Sが(s0,s1,s2)=(+1,-1,-1)である場合（ａ）、逆変換処理部１１２は、暫定解S=(s0,s1,s2)=(+1,-1,-1)の正負を逆転させた値-S=(-s0,-s1,-s2)=(-1,+1,+1)を、多変数２次多項式Eを最小化する変数の解X=-S=(-1,+1,+1)として出力する（ｂ）。
　《ステップＳ１４によって多変数２次多項式Ｅを最小化する変数の解Xが得られる理由》
　ここでステップS１４によって多変数２次多項式Eを最小化する変数の解Xが得られる理由を説明する。前述のように、多変数２次多項式Eは正または負の値をとる変数に関する多変数２次多項式である（例えば、式(1)参照）。また、擬似多変数２次多項式Fは、多変数２次多項式Eの１次の項それぞれに、+1または-1の値をとる擬似変数を乗じたものである。
　まず、擬似定数Sunitがsunit=+1である場合、擬似多変数２次多項式Fは多変数２次多項式Eと等しくなる（F=Eとなる）ため、擬似定数Sunitがsunit=+1の場合に擬似多変数２次多項式Fを最小化する暫定解Sは、多変数２次多項式Eを最小化する変数の解X=Sである。
　一方、擬似定数Sunitがsunit=-1である場合、擬似多変数２次多項式Fを最小化する(S,Sunit)=(S,-1)が代入された擬似多変数２次多項式Fの１次の項F1をF1(S,-1)と表記し、２次の項F2をF2(S)と表記する。この場合、擬似多変数２次多項式Fは、暫定解SのときにF1(S,-1)+F2(S)に最小化される。
　擬似定数Sunitがsunit=-1である場合、多変数２次多項式Eの１次の項E1の正負を逆転させたものが、擬似多変数２次多項式Ｆの１次の項F1と同一となる。そのため、擬似定数Sunitがsunit=-1である場合、暫定解Sが代入された多変数２次多項式Eの１次の項E1(S)の正負を逆転させたもの-E1(S)は、F1(S,-1)と同一である(-E1(S)=F1(S,-1))。さらに、１次の項E1(S)の変数Sの正負を逆転させると、当該１次の項E1(S)の正負が逆転するため、以下の式(3)が満たされる。
E1(-S)=F1(S,-1)  (3)
　また擬似定数Sunitがsunit=-1である場合も、多変数２次多項式Eの２次の項E2は擬似多変数２次多項式Ｆの２次の項F2と同一であるため、暫定解Sが代入された多変数２次多項式Eの２次の項E2(S)はF2(S)と等しい（E2(S)=F2(S)）。さらに、２次の項E2(S)の変数Sの正負を逆転させても当該２次の項E2(S)の値は変わらないため、以下の式(4)を満たす。
E2(-S)=F2(S)  (4)
　式(3)および(4)より、擬似定数Sunitがsunit=-1である場合、多変数２次多項式Eは、暫定解Sの正負を逆転させた-SのときにE1(-S)+E2(-S)に最小化されることが分かる。すなわち、擬似定数Sunitがsunit=-1である場合、暫定解Sの正負を逆転させた-Sは、多変数２次多項式Eを最小化する解となる。
　＜本実施形態の特徴＞
　上述したように、本実施形態の最適化装置１１は、正または負の値をとる変数に関する多変数２次多項式E（例えば、磁場項ありのイジングモデルのハミルトニアン）を、当該多変数２次多項式の１次の項それぞれに、+1または-1の値をとる擬似変数を乗じて得られる擬似多変数２次多項式F（例えば、磁場項なしのイジングモデルのハミルトニアン）に変換して量子コンピュータ１２に出力する。量子コンピュータ１２は、入力された擬似多変数２次多項式Fを最小化する、変数の値である暫定解Sと擬似変数の値である擬似定数Sunitとの組み合わせ(S,Sunit)を計算（量子計算）して最適化装置１１に返す。擬似多変数２次多項式Fは１次の項(例えば、磁場項)を含まないため、１次の項を持つ多項式を扱えない量子コンピュータ１２（例えば、量子アニーリングマシンやイジングマシンなど）であっても(S,Sunit)を得ることができ、さらに、(S,Sunit)の得るための１次の項の変数の調整も不要である。
　さらに最適化装置１１は、擬似定数Sunitがsunit=+1である場合に、暫定解Sを、多変数２次多項式Eを最小化する変数の解として出力し、擬似定数Sunitがsunit=-1である場合に、暫定解Sの正負を逆転（反転）させた値-Sを、多変数２次多項式Eを最小化する変数の解として出力する。このように、本実施形態では、多変数２次多項式Eを１次の項を持たない等価な形式である擬似多変数２次多項式Fに変換して、当該多変数２次多項式Eを最小化する解を求めることができる。
　QUBOで表された目的関数とイジングハミルトニアンで表された目的関数とを相互に自動変換する従来技術を組み合わせれば、任意のQUBOで表された目的関数を最小化する際にも本実施形態の手法を用いることができる。
　［第２実施形態］
　次に第２実施形態を説明する。多変数２次多項式を最小化する解を求める際に、当該多変数２次多項式の係数の大きさの調整が必要となる場合がある。例えば、組合せ最適化問題をイジングハミルトニアンとして表現した目的関数を、最適化問題の計算に特化した量子コンピュータに入力し、その目的関数を最小化する解を計算させる場合、目的関数の係数範囲の調整が必要となる場合がある。これに対し、第２実施形態では、多変数２次多項式の１次の項それぞれの係数を、+1または-1の値をとる単数または複数の擬似変数に関する１次多項式のそれぞれで置換した擬似多変数２次多項式を用いる。多変数２次多項式の１次の項の係数を複数の擬似変数に関する１次多項式で置換することで、多変数２次多項式の１次の項の係数を複数の２次の項に分散させることができ、これによって係数の大きさを調整することができる。この場合、すべての擬似変数の正負が同一となることが望ましい。そのため、すべての擬似変数の正負符号が同一のときに最小となる符号統一式を、擬似多変数２次多項式に加算することが望ましい。以下では第１実施形態との相違点を中心に説明し、既に説明した事項については説明を簡略化する。
　［構成］
　図１に例示するように、本実施形態の最適化システム２は、最適化装置２１および量子コンピュータ１２を有する。最適化装置２１は、例えば、コンピュータに所定プログラムを実行させることによる構成される装置である。最適化装置２１は、擬似多変数式生成部２１１、逆変換処理部２１２、制御部１１３、および記憶部１１４を有する。以下では説明を省略するが、最適化装置２１は、制御部１１３の制御のもとで各処理を実行し、最適化装置２１に入力されたデータおよび各部で得られたデータは記憶部１１４に格納され、必要に応じて読み出されて使用される。
　《ステップＳ１１》
　図３に例示するように、最適化装置１１の擬似多変数式生成部１１１には、多変数２次多項式Eが入力される。多変数２次多項式Eは第１実施形態で説明したものと同一である。
　《ステップＳ２２》
　擬似多変数式生成部２１１は、擬似多変数２次多項式F’は、正または負の値をとる変数に関する多変数２次多項式Eを用い、擬似多変数２次多項式F’を少なくとも一部に含む擬似多変数式Fを生成して出力する。ここで、擬似多変数２次多項式F’は、多変数２次多項式Eの１次の項（磁場項）それぞれの係数Miを、+1または-1の値をとる単数または複数の擬似変数sunit(i,k)（疑似定数スピン）に関する１次多項式のそれぞれで置換して得られるものである。ただし、擬似変数sunit(i,k)のすべてが+1である場合、擬似多変数２次多項式F’の１次の項は多変数２次多項式Eの１次の項と等しい。擬似多変数２次多項式F’は、例えば、以下の式(5)のように表される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000007
 ここで、V,YおよびK(i)は整数の部分集合であり、i∈Vであり、j∈Yであり、k∈K(i)である。例えば、Nを２以上の正の整数とすると、i=0,...,N-1（すなわち、V={0,...,N-1}）であり、j=i+1,...,N-1（すなわち、Y={i+1,...,N-1}）である。また例えば、N’(i)を１以上の正の整数とすると、k=0,...,N’(i)-1（すなわち、K(i)={0,...,N’(i)-1}）である。Mi,mi,kおよびJijは実数係数であり、Mi=Σk∈K(i) mi,kを満たす。siおよびsjは変数であり、sunit(i,k)は擬似変数である。すべての(i,k)についてｓunit(i,k)が個別の擬似変数であってもよいし、少なくとも一部のi,i’（ただし、i≠i’かつi,i’∈V）について、sunit(i,k)とsunit(i',k')（ただし、k∈K(i), k'∈K(i')）が互いに同一の擬似変数であってもよい。例えば、すべてのi,i’（ただし、i≠i’かつi,i’∈V）について、sunit(i,k)とsunit(i',k)（ただし、k∈K(i), k'∈K(i'), K(i)⊂K(i')）が互いに同一の擬似変数であってもよい。
　Mi=Σk∈K(i) mi,kを満たすのであれば、どのようにsi・sunit(i,k)の係数mi,kを定めてもよい。ただし、擬似多変数２次多項式F’の係数の値の範囲（係数のばらつきの大きさ）が、元の多変数２次多項式Eの係数の値の範囲（係数のばらつきの大きさ）よりも小さくなるように、係数mi,kが定められることが望ましい。係数のばらつきが小さい多項式の方が、量子コンピュータ１２での計算に適しているからである。例えば、以下のように係数mi,kが定められてもよい。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000008
 ここで、Miは多変数２次多項式Eの変数siについての１次の項の係数を表し、N’(i)は変数siについての係数mi,kの個数（sunit(i,k)の個数）を表し、ｋは変数siについての擬似変数の番号を表す。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000009
 は実数α以上の最小の整数（αの天井関数値）を表し、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000010
 は実数α以下の最大の整数（αの床関数値）を表す。この場合、N’(i)=4とすると、Mi=-1,2,3,4,5およびK=0,1,2,3についての各係数mi,kは以下のようになる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-T000011
　本実施形態の擬似多変数２次多項式F’は、変数si,sjおよび複数の擬似変数sunit(i,k)に関する２次多項式であり、本実施形態の擬似多変数式Fは、すべての擬似変数sunit(i,k)の正負符号が同一のときに最小となる符号統一式Uを一部に含む。符号統一式Uはどのようなものであってもよい。例えば、２個の擬似変数sunit(i,k1),sunit(i,k2)の積sunit(i,k1)・sunit(i,k2)の和と０以上の実数定数Wk1,k2との積の正負符号を逆転させた式を符号統一式Uとする（式(6)）。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000012
 ここで、k1,k2∈K(i)である。なお、記載表記の制約上、k1およびk2をそれぞれ、k1およびk2と表記する場合がある。
　例えば、擬似多変数式生成部２１１は、擬似多変数２次多項式F’と符号統一式Uとの線形和を擬似多変数式Fとして出力する。例えば、擬似多変数式生成部２１１は、以下の式(8)の擬似多変数式Fを得て出力する。
F=F'+U   (8)
　例えば、図６に例示するように、E=s0s1-2s1s2+3s2s0+4s0-6s1である場合（ａ）、擬似多変数式生成部２１１は、このEの一次の項"4s0"の係数"4"を"(1sunit(0,0)+3sunit(0,1))"に置換し、一次の項"-6s1"の係数"-6"を"-(1sunit(1,0)+2sunit(1,1)+3sunit(1,2))"に置換し、以下の式(9)の符号統一式Uを加算した式(10)の擬似多変数式Fを生成する。例えば、sunit(0,k)とsunit(1,k)（ただし、k=0,1）は互いに同一の擬似変数あってもよい。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000013
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000014
 ここで、E=s0s1-2s1s2+3s2s0+4s0-6s1である場合、V＝{0,1}であり、K(0),K(1)={0,1,2}である。
　以上により、２次の項のみを持つ擬似多変数２次多項式Ｆ’を少なくとも一部に含む、擬似多変数式Fが得られる（ｂ）。ただし、これは一例であって、本発明を限定するものではない。
　《ステップＳ２３》
　擬似多変数式生成部１１１は、このような擬似多変数式Fを量子コンピュータ１２に出力する。量子コンピュータ１２は、入力された擬似多変数式Fを最小化する変数の値である暫定解Sと各擬似変数sunit(i,k)（ただし、i∈Vおよびk∈K(i)）の値である擬似定数Sunitとの組み合わせ(S,Sunit)を計算して出力する。例えば、量子コンピュータは、擬似多変数２次多項式Fを最小化する変数siおよびsjの値である暫定解Sと各擬似変数sunit(i,k)∈{+1,-1}（ただし、i∈Vおよびk∈K(i)）の値である擬似定数Sunitとの組み合わせ(S,Sunit)を得る。例えば、i=0,...,N-1であり、j=i+1,...,N-1であり、k=0,...,N’(i)-1で場合、(S,Sunit)=(s0,...,sN-1,sunit(0,0),...,sunit(0,N'(0)-1),...,sunit(N-1,0),...,sunit(N-1,N'(N-1)-1))である。暫定解Sと擬似定数sunitとの組み合わせ(S,Sunit)は逆変換処理部２１２に入力され、これによって逆変換処理部２１２は当該組み合わせ(S,Sunit)を得る。
　《ステップＳ２４》
　逆変換処理部２１２は、入力された暫定解Sと擬似定数sunitとの組み合わせ(S,Sunit)を逆変換し、これによって元の多変数２次多項式Eを最小化する変数の解を得て出力する。基本的に、逆変換処理部２１２は、擬似定数Sunitが+1である場合に、暫定解Sを、多変数２次多項式を最小化する変数の解X=Sとして出力し、擬似定数Sunitが-1である場合に、暫定解Sの正負を逆転させた値を、多変数２次多項式を最小化する変数の解X=-Sとして出力する。
　しかしながら、本実施形態の擬似定数Sunitは、擬似多変数２次多項式Fを最小化する複数の擬似変数sunit(i,k)∈{+1,-1}（ただし、i∈Vおよびk∈K(i)）の各値である。前述した符号統一式Uの効果によって、すべての擬似定数Sunitの正負符号が同一となることが期待されるが、場合によってはすべての擬似定数Sunitの正負符号が同一とならない場合もある。
　すべての擬似定数Sunitの正負符号が同一の場合、逆変換処理部２１２は、何れかの擬似定数Sunit（何れかの擬似変数sunit(i,k)∈{+1,-1}の値）が+1である場合にX=Sとし、-1である場合にX=-Sとすればよい。例えば、式(10)の擬似多変数式Fの例において、図７に例示するように、擬似定数Sunitがsunit0=sunit(0,0)=sunit(1,0)=+1,sunit1=sunit(0,1)=sunit(1,1)=+1,sunit1=sunit(1,2)=+1であり、暫定解Sが(s0,s1,s2)=(-1,+1,+1)である場合（ａ）、逆変換処理部２１２は、暫定解S=(s0,s1,s2)=(-1,+1,+1)を、多変数２次多項式Ｅを最小化する変数の解X=S=(-1,+1,+1)として出力する（ｂ）。一方、擬似定数Sunitがsunit0=sunit(0,0)=sunit(1,0)=-1,sunit1=sunit(0,1)=sunit(1,1)=-1,sunit1=sunit(1,2)=-1であり、暫定解Sが(s0,s1,s2)=(+1,-1,-1)である場合（ａ）、逆変換処理部２１２は、暫定解S=(s0,s1,s2)=(+1,-1,-1)の正負を逆転させた値-S=(-s0,-s1,-s2)=(-1,+1,+1)を、多変数２次多項式Eを最小化する変数の解X=-S=(-1,+1,+1)として出力する（ｂ）。
　一方、すべての擬似定数Sunitの正負符号が同一の場合とならない場合、逆変換処理部２１２は、例えば、以下の例１から例３の何れかの処理を行う。
　（例１）逆変換処理部２１２は、多変数２次多項式Eを最小化する変数の解Xが得られない旨の情報を出力する。
　（例２）逆変換処理部２１２は、Sまたは-Sの一方を適当な方法で選択し、選択したSまたは-Sを、多変数２次多項式Eを最小化する変数の解Xとして出力する。例えば、逆変換処理部２１２は、+1である擬似定数Sunitが-1である擬似定数Sunitよりも多い場合に、暫定解Sを、多変数２次多項式Eを最小化する変数の解X=Sとして出力し、そうでない場合に、暫定解Sの正負を逆転させた値-Sを、多変数２次多項式Eを最小化する変数の解X=-Sとして出力する。例えば、擬似定数Sunitがsunit0=sunit(0,0)=sunit(1,0)=+1,sunit1=sunit(0,1)=sunit(1,1)=+1,sunit1=sunit(1,2)=-1であり、暫定解Sが(s0,s1,s2)=(-1,+1,+1)である場合、逆変換処理部２１２は、暫定解S=(s0,s1,s2)=(-1,+1,+1)を、多変数２次多項式Ｅを最小化する変数の解X=S=(-1,+1,+1)として出力する。
　（例３）逆変換処理部２１２は、暫定解Sおよび暫定解の正負を逆転させた値-Sの両方を、多変数２次多項式Eを最小化する変数の解X=S,-Sとして出力する。例えば、擬似定数Sunitがsunit0=sunit(0,0)=sunit(1,0)=+1,sunit1=sunit(0,1)=sunit(1,1)=+1,sunit1=sunit(1,2)=-1であり、暫定解Sが(s0,s1,s2)=(-1,+1,+1)である場合、逆変換処理部２１２は、暫定解S=(s0,s1,s2)=(-1,+1,+1)および-S=(-s0,-s1,-s2)=(1,-1,-1)を、多変数２次多項式Eを最小化する変数の解X=S=(-1,+1,+1),X=-S=(-s0,-s1,-s2)として出力する。その後、図示していない評価部が、得られた2個の解X=S,-Sを評価し、いずれか一方の解を選択して出力してもよい。例えば、評価部が、X=Sを多変数２次多項式Eに代入した値E(S)と、X=-Sを多変数２次多項式Eに代入した値E(-S)とを比較し、E(S)≦E(-S)の場合にX=Sを選択して出力し、そうでない場合にX=-Sを選択して出力してもよい。さらに評価部は、E(S)=E(-S)の場合に、2個の解X=S,-Sを選択して出力してもよい。
　＜本実施形態の特徴＞
　上述したように、本実施形態の最適化装置２１は、正または負の値をとる変数に関する多変数２次多項式E（例えば、磁場項ありのイジングモデルのハミルトニアン）の１次の項それぞれの係数Miを、+1または-1の値をとる単数または複数の擬似変数sunit(i,k)に関する１次多項式のそれぞれで置換して得られる擬似多変数２次多項式F’を少なくとも一部に含む、擬似多変数式Fを生成して量子コンピュータ１２に出力する。ここで、擬似多変数２次多項式Fは１次の項(例えば、磁場項)を含まないため、(S,Sunit)の得るための１次の項の変数の調整が簡易化される。さらに、擬似多変数式Fが１次の項を含まないのであれば、１次の項を持つ多項式を扱えない量子コンピュータ１２（例えば、量子アニーリングマシンやイジングマシンなど）であっても(S,Sunit)を得ることができ、さらに、(S,Sunit)の得るための１次の項の変数の調整が不要になる。また、多変数２次多項式Eの１次の項それぞれの係数Miを複数の擬似変数sunit(i,k)に関する１次多項式で置換することで、係数の範囲を調整することができ、量子コンピュータ１２での処理効率および処理精度を向上させることができる。
　擬似多変数式Fが、さらにすべての擬似変数sunit(i,k)の正負符号が同一のときに最小となる符号統一式Uを一部に含む場合、すべての擬似定数Sunitの正負符号が同一になる可能性を高めることができる。特に、Uが二次多項式であり、擬似多変数式Fが擬似多変数２次多項式F’と符号統一式Uとの線形和（例えば、F=F’+U）であれば、擬似多変数式Fは１次の項を含まない。この場合、１次の項を持つ多項式を扱えない量子コンピュータ１２であっても(S,Sunit)を得ることができ、さらに、(S,Sunit)の得るための１次の項の変数の調整が不要になる。
　最適化装置２１は、すべての擬似定数Sunitの正負符号が同一の場合、擬似定数Sunitがsunit=+1である場合に、暫定解Sを、多変数２次多項式Eを最小化する変数の解として出力し、擬似定数Sunitがsunit=-1である場合に、暫定解Sの正負を逆転（反転）させた値-Sを、多変数２次多項式Ｅを最小化する変数の解として出力する。これにより、当該多変数２次多項式Eを最小化する解を求めることができる。
　すべての擬似定数Sunitの正負符号が同一でない場合であっても、最適化装置２１は、前述の例１から例３の何れかの処理を行うことができ、それによって、多変数２次多項式Eを最小化する解を得られないとの結果、または、妥当な解を得ることができる。
　QUBOで表された目的関数とイジングハミルトニアンで表された目的関数とを相互に自動変換する従来技術を組み合わせれば、任意のQUBOで表された目的関数を最小化する際にも本実施形態の手法を用いることができる。
　［第２実施形態の変形例１］
　擬似変数sunit(i,k)（疑似定数スピン）の個数、擬似変数sunit(i,k)の係数mi,kの大きさ（ばらつき）、および符号統一式Uとして、どのようなものを用いるかによって、量子コンピュータ１２によって得られる最適解出現率が変化することがある。例えば、図８に例示するように、擬似変数sunit(i,k)の個数によって、最適解出現率が変化することがある。そのため、最適解出現率が大きくなるように、擬似変数sunit(i,k)の個数、擬似変数sunit(i,k)の係数mi,kの大きさ、および符号統一式Uの少なくとも一部を設定可能であることが望ましい。例えば、事前に準備された多変数２次多項式Eと最適解との組を用い、擬似変数sunit(i,k)の個数、擬似変数sunit(i,k)の係数mi,kの大きさ、および符号統一式Uの少なくとも一部を特定するパラメータを自動設定可能なようにされていてもよい。例えば、事前に準備された多変数２次多項式Eと最適解との組とそれに対応するパラメータとの組を用いた機械学習によって、入力された多変数２次多項式Eに対応する最適なパラメータを設定するモデルが生成され、当該モデルを用い、新たに入力された多変数２次多項式Eに対応するパラメータが自動設定されてもよい。
　［第２実施形態の変形例２］
　第２実施形態において、符号統一式Uを省略し、擬似多変数２次多項式F’をそのまま擬似多変数式Fとして用いてもよい（F=F'）。
　［ハードウェア構成］
　各実施形態における最適化装置１１，２１は、例えば、ＣＰＵ（central processing unit）等のプロセッサ（ハードウェア・プロセッサ）やＲＡＭ（random-access memory）・ＲＯＭ（read-only memory）等のメモリ等を備える汎用または専用のコンピュータが所定のプログラムを実行することで構成される装置である。すなわち、各実施形態における最適化装置１１，２１は、例えば、それぞれが有する各部を実装するように構成された処理回路（processing circuitry）を有する。このコンピュータは１個のプロセッサやメモリを備えていてもよいし、複数個のプロセッサやメモリを備えていてもよい。このプログラムはコンピュータにインストールされてもよいし、予めＲＯＭ等に記録されていてもよい。また、ＣＰＵのようにプログラムが読み込まれることで機能構成を実現する電子回路（circuitry）ではなく、単独で処理機能を実現する電子回路を用いて一部またはすべての処理部が構成されてもよい。また、１個の装置を構成する電子回路が複数のＣＰＵを含んでいてもよい。
　図９は、各実施形態における最適化装置１１，２１のハードウェア構成を例示したブロック図である。図９に例示するように、この例の最適化装置１１，２１は、ＣＰＵ（Central Processing Unit）１０ａ、入力部１０ｂ、出力部１０ｃ、ＲＡＭ（Random Access Memory）１０ｄ、ＲＯＭ（Read Only Memory）１０ｅ、補助記憶装置１０ｆ及びバス１０ｇを有している。この例のＣＰＵ１０ａは、制御部１０ａａ、演算部１０ａｂ及びレジスタ１０ａｃを有し、レジスタ１０ａｃに読み込まれた各種プログラムに従って様々な演算処理を実行する。また、入力部１０ｂは、データが入力される入力端子、キーボード、マウス、タッチパネル等である。また、出力部１０ｃは、データが出力される出力端子、ディスプレイ、所定のプログラムを読み込んだＣＰＵ１０ａによって制御されるＬＡＮカード等である。また、ＲＡＭ１０ｄは、ＳＲＡＭ (Static Random Access Memory)、ＤＲＡＭ (Dynamic Random Access Memory)等であり、所定のプログラムが格納されるプログラム領域１０ｄａ及び各種データが格納されるデータ領域１０ｄｂを有している。また、補助記憶装置１０ｆは、例えば、ハードディスク、ＭＯ（Magneto-Optical disc）、半導体メモリ等であり、所定のプログラムが格納されるプログラム領域１０ｆａ及び各種データが格納されるデータ領域１０ｆｂを有している。また、バス１０ｇは、ＣＰＵ１０ａ、入力部１０ｂ、出力部１０ｃ、ＲＡＭ１０ｄ、ＲＯＭ１０ｅ及び補助記憶装置１０ｆを、情報のやり取りが可能なように接続する。ＣＰＵ１０ａは、読み込まれたＯＳ（Operating System）プログラムに従い、補助記憶装置１０ｆのプログラム領域１０ｆａに格納されているプログラムをＲＡＭ１０ｄのプログラム領域１０ｄａに書き込む。同様にＣＰＵ１０ａは、補助記憶装置１０ｆのデータ領域１０ｆｂに格納されている各種データを、ＲＡＭ１０ｄのデータ領域１０ｄｂに書き込む。そして、このプログラムやデータが書き込まれたＲＡＭ１０ｄ上のアドレスがＣＰＵ１０ａのレジスタ１０ａｃに格納される。ＣＰＵ１０ａの制御部１０ａａは、レジスタ１０ａｃに格納されたこれらのアドレスを順次読み出し、読み出したアドレスが示すＲＡＭ１０ｄ上の領域からプログラムやデータを読み出し、そのプログラムが示す演算を演算部１０ａｂに順次実行させ、その演算結果をレジスタ１０ａｃに格納していく。このような構成により、最適化装置１１，２１の機能構成が実現される。
　上述のプログラムは、コンピュータで読み取り可能な記録媒体に記録しておくことができる。コンピュータで読み取り可能な記録媒体の例は非一時的な（non-transitory）記録媒体である。このような記録媒体の例は、磁気記録装置、光ディスク、光磁気記録媒体、半導体メモリ等である。
　このプログラムの流通は、例えば、そのプログラムを記録したＤＶＤ、ＣＤ－ＲＯＭ等の可搬型記録媒体を販売、譲渡、貸与等することによって行う。さらに、このプログラムをサーバコンピュータの記憶装置に格納しておき、ネットワークを介して、サーバコンピュータから他のコンピュータにそのプログラムを転送することにより、このプログラムを流通させる構成としてもよい。上述のように、このようなプログラムを実行するコンピュータは、例えば、まず、可搬型記録媒体に記録されたプログラムもしくはサーバコンピュータから転送されたプログラムを、一旦、自己の記憶装置に格納する。そして、処理の実行時、このコンピュータは、自己の記憶装置に格納されたプログラムを読み取り、読み取ったプログラムに従った処理を実行する。また、このプログラムの別の実行形態として、コンピュータが可搬型記録媒体から直接プログラムを読み取り、そのプログラムに従った処理を実行することとしてもよく、さらに、このコンピュータにサーバコンピュータからプログラムが転送されるたびに、逐次、受け取ったプログラムに従った処理を実行することとしてもよい。また、サーバコンピュータから、このコンピュータへのプログラムの転送は行わず、その実行指示と結果取得のみによって処理機能を実現する、いわゆるＡＳＰ（Application Service Provider）型のサービスによって、上述の処理を実行する構成としてもよい。なお、本形態におけるプログラムには、電子計算機による処理の用に供する情報であってプログラムに準ずるもの（コンピュータに対する直接の指令ではないがコンピュータの処理を規定する性質を有するデータ等）を含むものとする。
　各実施形態では、コンピュータ上で所定のプログラムを実行させることにより、本装置を構成することとしたが、これらの処理内容の少なくとも一部をハードウェア的に実現することとしてもよい。
　なお、本発明は上述の実施形態に限定されるものではない。例えば、上述の各種の処理は、記載に従って時系列に実行されるのみならず、処理を実行する装置の処理能力あるいは必要に応じて並列的にあるいは個別に実行されてもよい。その他、本発明の趣旨を逸脱しない範囲で適宜変更が可能であることはいうまでもない。
１１，２１　最適化装置
１１１，２１１　擬似多変数式生成部
１１２，２１２　逆変換処理部
１２　量子コンピュータ

Claims (11)

  1. 　正または負の値をとる変数に関する多変数２次多項式の１次の項それぞれに、+1または-1の値をとる擬似変数を乗じて得られる擬似多変数２次多項式を生成する擬似多変数式生成部と、
    　前記擬似多変数２次多項式を最小化する、前記変数の値である暫定解と前記擬似変数の値である擬似定数との組み合わせを得、
    前記擬似定数が+1である場合に、前記暫定解を、前記多変数２次多項式を最小化する前記変数の解として出力し、
    前記擬似定数が-1である場合に、前記暫定解の正負を逆転させた値を、前記多変数２次多項式を最小化する前記変数の解として出力する
    逆変換処理部と、
    を有する最適化装置。
  2. 　請求項１の最適化装置であって、
    　VおよびYが整数の部分集合であり、i∈Vであり、j∈Yであり、MiおよびJijが実数係数であり、siおよびsjが前記変数であり、sunitが前記擬似変数であり、
    　前記多変数２次多項式が
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000001
     であり、
    　前記擬似多変数２次多項式が
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000002
     である、最適化装置。
  3. 　正または負の値をとる変数に関する多変数２次多項式の１次の項それぞれの係数を、+1または-1の値をとる単数または複数の擬似変数に関する１次多項式のそれぞれで置換して得られる擬似多変数２次多項式を少なくとも一部に含む、擬似多変数式を生成する擬似多変数式生成部と、
    　前記擬似多変数式を最小化する、前記変数の値である暫定解と前記擬似変数の値である擬似定数との組み合わせを得、
    前記擬似定数が+1である場合に、前記暫定解を、前記多変数２次多項式を最小化する前記変数の解として出力し、
    前記擬似定数が-1である場合に、前記暫定解の正負を逆転させた値を、前記多変数２次多項式を最小化する前記変数の解として出力する
    逆変換処理部と、
    を有し、
    　前記擬似変数のすべてが+1である場合、前記擬似多変数２次多項式の１次の項は前記多変数２次多項式の１次の項と等しい、最適化装置。
  4. 　請求項３の最適化装置であって、
    　前記擬似多変数２次多項式は、前記変数および複数の前記擬似変数に関する２次多項式であり、
    　前記擬似多変数式は、すべての前記擬似変数の正負符号が同一のときに最小となる符号統一式を一部に含む、最適化装置。
  5. 　請求項３または４の最適化装置であって、
    　前記擬似多変数２次多項式の係数の値の範囲は、前記多変数２次多項式の係数の値の範囲よりも小さい、最適化装置。
  6. 　請求項３から５の何れかの最適化装置であって、
    　前記逆変換処理部は、すべての前記擬似定数の正負符号が同一とならない場合、（I）前記多変数２次多項式を最小化する前記変数の解が得られない旨の情報を出力するか、または、（II）+1である前記擬似定数が-1である前記擬似定数よりも多い場合に、前記暫定解を、前記多変数２次多項式を最小化する前記変数の解として出力し、そうでない場合に、前記暫定解の正負を逆転させた値を、前記多変数２次多項式を最小化する前記変数の解として出力するか、または、（III）前記暫定解および前記暫定解の正負を逆転させた値の両方を、前記多変数２次多項式を最小化する前記変数の解として出力する、最適化装置。
  7. 　請求項３から６の何れかの最適化装置であって、
    　V,YおよびK(i)が整数の部分集合であり、i∈Vであり、j∈Yであり、k∈K(i)であり、Mi,mi,kおよびJijが実数係数であり、Mi=Σk∈K(i) mi,kであり、siおよびsjが前記変数であり、sunit(i,k)が前記擬似変数であり、
    　前記多変数２次多項式が
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000003
     であり、
    　前記擬似多変数２次多項式が
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000004
     である、最適化装置。
  8. 　請求項１から７の何れかの最適化装置であって、
    　前記多変数２次多項式は、組み合わせ最適化問題を、組み合わせ最適化問題特化型の量子コンピュータで解くための、イジングモデルのハミルトニアンで表された目的関数であり、
    　前記変数は+1または-1の値をとる、最適化装置。
  9. 　擬似多変数式生成部と逆変換処理部とを有する最適化装置が実行する最適化方法であって、
    　前記擬似多変数式生成部が、正または負の値をとる変数に関する多変数２次多項式の１次の項それぞれに、+1または-1の値をとる擬似変数を乗じて得られる擬似多変数２次多項式を生成する擬似多変数式生成ステップと、
    　前記逆変換処理部が、
    前記擬似多変数２次多項式を最小化する、前記変数の値である暫定解と前記擬似変数の値である擬似定数との組み合わせを得、
    前記擬似定数が+1である場合に、前記暫定解を、前記多変数２次多項式を最小化する前記変数の解として出力し、
    前記擬似定数が-1である場合に、前記暫定解の正負を逆転させた値を、前記多変数２次多項式を最小化する前記変数の解として出力する
    逆変換処理ステップと、
    を有する最適化方法。
  10. 　擬似多変数式生成部と逆変換処理部とを有する最適化装置が実行する最適化方法であって、
    　前記擬似多変数式生成部が、正または負の値をとる変数に関する多変数２次多項式の１次の項それぞれの係数を、+1または-1の値をとる単数または複数の擬似変数に関する１次多項式のそれぞれで置換して得られる擬似多変数２次多項式を少なくとも一部に含む、擬似多変数式を生成する擬似多変数式生成ステップと、
    　前記逆変換処理部が、
    　前記擬似多変数式を最小化する、前記変数の値である暫定解と前記擬似変数の値である擬似定数との組み合わせを得、
    前記擬似定数が+1である場合に、前記暫定解を、前記多変数２次多項式を最小化する前記変数の解として出力し、
    前記擬似定数が-1である場合に、前記暫定解の正負を逆転させた値を、前記多変数２次多項式を最小化する前記変数の解として出力する
    逆変換処理ステップと、
    を有し、
    　前記擬似変数のすべてが+1である場合、前記擬似多変数２次多項式の１次の項は前記多変数２次多項式の１次の項と等しい、最適化方法。
  11. 　請求項１から８の何れかの最適化装置としてコンピュータを機能させるためのプログラム。
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