WO2022219770A1 - 関数変換装置、関数変換方法、およびプログラム - Google Patents

関数変換装置、関数変換方法、およびプログラム Download PDF

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WO2022219770A1
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multivariate
polynomial
multivariable
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PCT/JP2021/015549
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Inventor
和大 宮原
Original Assignee
日本電信電話株式会社
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    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06N—COMPUTING ARRANGEMENTS BASED ON SPECIFIC COMPUTATIONAL MODELS
    • G06N99/00—Subject matter not provided for in other groups of this subclass

Definitions

  • the present invention relates to technology for converting a multivariable function with constraints into a multivariable polynomial.
  • the objective function of a combinatorial optimization problem is, for example, the addition of a constraint function for expressing an effective solution as a combinatorial optimization problem and a cost function for expressing a more suitable solution among the effective solutions.
  • a constraint function for expressing an effective solution as a combinatorial optimization problem
  • a cost function for expressing a more suitable solution among the effective solutions.
  • the constraint function is expressed in a form that takes a value of zero for a valid solution and a large value for an invalid solution, and the cost function expresses the evaluation of the solution with a small value compared to the constraint function.
  • QUBO's objective function and its equivalent Ising Hamiltonian are multivariate quadratic polynomials related to binary variables that take 0 or 1 (0-1 variables). , or an equivalent Ising Hamiltonian conversion method (see, for example, Non-Patent Documents 1 and 2).
  • Such problems are common not only when generating optimization functions for solving combinatorial optimization problems on a quantum computer, but also when converting arbitrary constrained multivariate functions into multivariate polynomials. .
  • the present invention has been made in view of these points, and aims to provide a technique for converting a multivariable function with arbitrary constraints into a multivariable polynomial.
  • An arbitrary constrained multivariate function f(x1,..., xN) on N variables x1 ,..., xN is given by a multivariate polynomial q(x1,...,xN) on variables x1,...,xN. , x N ).
  • N is an integer of 1 or more.
  • the transformation unit receives a multivariable function f(x 1 , . . . , x N ) with constraints and outputs a multivariate polynomial q(x 1 , . . . , x N ).
  • q(x 1 ,..., x N ) is expressed as the sum of f'(s 1 ,..., s N )P(s 1 ,..., s N ,x 1 ,..., x N ) be done.
  • f'(s 1 ,..., s N ) is f(x 1 ,..., x N ) when (x 1 ,..., x N ) satisfies the constraints, and (x 1 ,..., x N ). ) does not satisfy the constraint, it is a multivariate function that takes f′′ ( x 1 , . . . , x N ). less than the number of terms of the multivariate polynomial g(x 1 ,..., x N ) obtained by summing s 1 ,..., s N )P(s 1 ,..., s N , x 1 ,..., x N ).
  • any multivariable function can be converted into a multivariable polynomial.
  • FIG. 1A is a block diagram illustrating the functional configuration of the function conversion device of the first and second embodiments
  • FIG. 1B is a block diagram for illustrating the functional configuration of the multivariate polynomial generator in FIG. 1A
  • FIG. 2 is a flow diagram for illustrating the processing of the function conversion device of the first and second embodiments.
  • FIG. 3 is a block diagram illustrating the functional configuration of the function conversion device of the third embodiment.
  • FIG. 4 is a graph showing experimental results showing the effect of reducing the number of additional variables.
  • FIG. 5 is a block diagram illustrating the hardware configuration of the function conversion device of the first, second and third embodiments.
  • each variable x i is a 0-1 variable
  • Possible values for each variable x i may be set individually for each i.
  • P ( s 1 , ..., s N , x 1 , . . . , x N ) 0
  • This polynomial P(s 1 , . . . , s N , x 1 , . . . , x N ) is called a unit polynomial.
  • the variables s 1 , . . . , s N can be anything , but for example, each of the variables s 1 , . be.
  • the binary variable s i is a 0-1 variable
  • b 0 0
  • b 1 1.
  • the input multivariable function f(x 1 , . . . , x N ) may be a partial function. That is, the domain d x of the multivariable function f(x 1 , . . . , x N ) does not have to include all combinations on the variables x i .
  • the unit polynomial P(s 1 ,..., s N , x 1 ,..., x N ) is at least each vector (s 1 ,..., x N ) belonging to the domain d x of the vector (x 1 ,..., x N ). , s N ) ⁇ d x . That is, the unit polynomial f(s 1 , . .
  • s N should be set for at least part of the vectors (s 1 , . . . , s N ) (s 1 , .
  • the unit polynomial f s 1 , . . . , s N
  • the binary variables x i and s i are 0-1 variables
  • the domain d x is the total area of the vector (x 1 , . . . , x N )
  • the domain d x has 2 N
  • unit polynomials f(s 1 , . . . , s N ) are set for 2 N vectors (s 1 , . . . , s N ) ⁇ 0, 1 ⁇ N .
  • the conversion unit of the first embodiment receives the multivariable function f( x 1 , . . . , x N ) to be converted, and at least the vector (s 1 , . N ) f(s1,..., sN )P(s1,..., sN , x1 ,..., xN ) for at least some of the sets ( s1 ,..., sN ) are added to obtain and output a multivariate polynomial g(x 1 , . . . , x N ).
  • the conversion unit outputs a multivariate polynomial g(x 1 , . . .
  • the unit polynomial P s 1 , . . . , s N , x 1 , .
  • s i , x i ⁇ 0, 1 ⁇ .
  • the transformation unit is to compute all vectors (s 1 ,..., s N ) ⁇ u x (all pairs (s 1 ,..., s N )) f(s 1 ,..., s N )
  • P(s 1 ,..., s N , x 1 ,..., x N ) is a multivariate polynomial g(x 1 ,... , x N ) are obtained and output. That is, the conversion unit outputs a multivariate polynomial g(x 1 , . . . , x N ) obtained by the following equation (5).
  • Equation (5) becomes Equation (6) below.
  • the multivariate polynomial g(x 1 , . is.
  • Combinatorial optimization problems can be solved at high speed by inputting the QUBO objective function and Ising Hamiltonian obtained in this way to a quantum annealing machine, an Ising machine, or the like.
  • the multivariate polynomial g(x 1 , . . . , x N ) transformed from an arbitrary multivariate function f(x 1 , . . . , x N ) on N variables x 1 , . contains many monomials. For example , if the variables x 1 , . When converting the multivariate polynomial g(x 1 , . , . . . , x N ), one or more additional variables are added for each monomial. Therefore, this transformation adds O(2 N ) additional variables. Therefore, in the first embodiment, additional variables that increase exponentially with respect to the type N of variables are required. Since the number of variables that can be input is limited in the currently provided quantum annealing machines and Ising machines, the explosive increase in additional variables greatly limits the size of problems that can be input.
  • Such problems are not limited to solving combinatorial optimization problems with quantum annealing machines or Ising machines. That is, an increase in the number of polynomial terms leads to an increase in resources required for computation, and an increase in the number of polynomial terms is undesirable in any computation.
  • the multivariable function f(x 1 , . . . , x N ) is a constrained multivariable function including constraints.
  • the multivariable function f(x 1 ,...,x N ) is a constrained multivariate function
  • (x 1 ,...,x N ) satisfying a particular constraint is valid, but the constraint is valid.
  • (x 1 , . . . , x N ) that do not satisfy is invalid.
  • the objective function of a combinatorial optimization problem, the QUBO objective function corresponding to it, and the Ising Hamiltonian are a constraint function to express an effective solution as a combinatorial optimization problem, and a more suitable solution among the effective solutions. is the addition of the cost function for expressing
  • the constraint function is zero for valid solutions ((x 1 , . . .
  • the cost function represents the evaluation of the solution in terms of small values compared to the constraint functions.
  • a solution to a combinatorial optimization problem is sought to minimize such an objective function or Ising Hamiltonian.
  • the value of the constraint function for the invalid solution ((x 1 , . . . , x N ) that does not satisfy the constraint) is large and the value of the cost function does not make sense.
  • the value of the constrained multivariate function f(x 1 ,..., x N ) for (x 1 ,..., x N ) that does not satisfy the constraint does not make sense, and such constrained multivariate function f( x 1 , . . . , x N ) can be set to any value in practice.
  • the constrained multivariate function f ( x 1 , . Consider the case where the constraint represented by the constraint function is " two of x1, x2 , and x3 are 1 ".
  • the following underlined cost function values can be set to any value.
  • g ( x1,x2 , x3 ) Cost(0,0,0) x1 - x2 - x3- + Cost(0,0,1) x1- x2 - x3 + Cost ( 0,1,0) x1 - x2x 3 - + Cost ( 0,1,1 ) x1 - x2x3 + Cost(1,0,0)x1x2 - x3- +Cost( 1,0,1 ) x1x2 - x3 + Cost (1,1,0) x1x2x3- + Cost ( 1,1,1)x1x2x3 + Constraint ( x1 , x2 , x3 ) Under these conditions, the values of the multivariable function f ( x 1 , .
  • the number of terms (total number of terms related to x i and constant terms) is greater than the number of terms (total number of terms related to x i and constant terms) when expanding the multivariate polynomial g(x 1 , . . . , x N ) Reduce.
  • f(s 1 ,..., s N ) be the multivariable function value f'(s 1 ,..., s N ) for (s 1 ,..., s N ) of ( Let the multivariable function value f'( s1 ,..., sN ) for ( s1,..., sN ) identical to x1,..., xN ) be f"( s1 ,..., sN ) , f′(s 1 ,...,s N )P for vectors (s 1 ,...,s N ) ⁇ d x (at least some pairs (s 1 ,...,s N )) belonging to at least domain d x .
  • a multivariate polynomial q(x 1 ,..., x N ) is obtained by summing (s 1 ,..., s N , x 1 ,..., x N ) and output, provided that the multivariate polynomial q(x 1 , ... , x N ) is f less than the number of terms of the multivariate polynomial g(x 1 ,..., x N ) which is the sum of (s 1 ,..., s N )P(s 1 ,..., s N ,x 1 ,..., x N ) .
  • the domain d x is the full domain u x of the vector (x 1 , . f′(s 1 , ... ,s N ) P ( s 1 , ...,s N , x 1 , . . . , x N ) to obtain and output a multivariate polynomial q ( x 1 , .
  • the number of terms of the multivariate polynomial q ( x 1 ,..., x N ) is given by f(s1,..., sN )P(s1,..., sN ,x1,..., xN ) than the number of terms of the multivariate polynomial g( x1 ,..., xN ) Few.
  • the conversion unit of the second embodiment replaces f (s 1 , . Obtain and output a multivariate polynomial q(x 1 , . . . , x N ) according to the formula.
  • the multivariate polynomial q (x 1 , . is.
  • Combinatorial optimization problems can be solved at high speed by inputting the QUBO objective function and Ising Hamiltonian obtained in this way to a quantum annealing machine, an Ising machine, or the like.
  • the function conversion device 1 of this embodiment has a conversion section 10, a storage section 13, and a control section .
  • the conversion unit 10 exemplified in this embodiment has a multivariable function value generation unit 11 and a multivariable polynomial generation unit 12 .
  • the multivariate polynomial generator 12 exemplified in this embodiment has a multiplier 121 and an adder 122 .
  • these do not limit the present invention, and at least some functions of a plurality of processing units may be combined.
  • Each process is executed under the control of the control unit 14, and data obtained by each process is stored in the storage unit 13, and read out and used in other processes as necessary.
  • a multivariable function f(x 1 , . . . , x N ) to be converted is input to the conversion unit 10 of the function conversion device 1 .
  • the multivariable function f(x 1 , . . . , x N ) is not limited, for example, an objective function of a combinatorial optimization problem or an equivalent multivariable function f(x 1 , . . . , x N ) is input.
  • the domain d x of the multivariable function f(x 1 , . . . , x N ) may be input to the transformation unit 10 .
  • the domain dx does not have to be input to the function conversion device 1 . For example, when the domain dx is the entire region ux or when the domain dx is known, the input of the domain dx can be omitted.
  • the transformation unit 10 adds f(s 1 , . . . , s N )P (s 1 , . . . , s N , x 1 , . Obtain and output the combined multivariate polynomial g(x 1 , . . . , x N ).
  • the transformation unit 10 calculates f(s 1 , . . . , s N ) P(s 1 , . . . , s N , x 1 , . x N ) may be obtained and output as a multivariate polynomial g(x 1 , . . . , x N ), or f ( s 1 , . sN )P(s1,..., sN ,x1,..., xN ) may be summed to obtain and output a multivariate polynomial g( x1 ,..., xN ).
  • FIG. 2 is used to illustrate the function conversion processing of this embodiment.
  • the multivariable function value generation unit 11 generates multivariable function values f ( s 1 , . . . , s N ) for at least part of the vectors (s 1 , . ) and outputs it.
  • the multivariable function value generation unit 11 may obtain and output multivariable function values f ( s 1 , . . . , s N ) for vectors (s 1 , .
  • multivariable function values f(s 1 , . . . , s N ) for all vectors (s 1 , . . . , s N ) may be obtained and output (step S11).
  • the multivariate polynomial generator 12 generates f(s 1 , . . . , s N )P ( s 1 , , s N , x 1 , .
  • the multivariate polynomial generator 12 generates f(s 1 ,..., s N )P(s 1 ,..., s N , x 1 for vectors (s 1 ,..., s N ) belonging to at least domain d x , ..., x N ) to obtain and output a multivariate polynomial g(x 1 , ..., x N ), or f ( s 1 .
  • the multivariate polynomial generator 12 generates and outputs a multivariate polynomial g(x 1 , .
  • the multiplication unit 121 (FIG. 1B) performs f(s 1 ,..., s N ) and P(s 1 , , s N , x 1 , . . . , x N ) are input to obtain f ( s 1 , .
  • f(s 1 ,..., s N )P(s 1 ,..., s N , x 1 ,..., x N ) are cumulatively added or added together to form the multivariate polynomial g (x 1 , . . . , x N ) are obtained and output (step S12).
  • the function conversion device 2 of this embodiment has a conversion section 20, a storage section 13, and a control section .
  • the conversion unit 20 exemplified in this embodiment has a multivariable function value generation unit 21 and a multivariable polynomial generation unit 22 .
  • the multivariate polynomial generator 22 illustrated in this embodiment has a multiplier 221 and an adder 222 .
  • these do not limit the present invention, and at least some functions of a plurality of processing units may be combined.
  • Each process is executed under the control of the control unit 14, and data obtained by each process is stored in the storage unit 13, and read out and used in other processes as necessary.
  • the multivariable function f(x 1 , . . . , x N ) with constraints is not limited . be done.
  • the domain d x of the multivariable function f(x 1 , . . . , x N ) may also be input to the transformation unit 20 .
  • the domain dx does not have to be input to the function conversion device 2 . For example, when the domain dx is the entire region ux or when the domain dx is known, the input of the domain dx can be omitted.
  • the transformation unit 20 transforms the multivariable function values f' (s 1 , . . . , s N ) for the same ( s 1 , . Let (s 1 , . . . , s N ) and the multivariable function value f′(s 1 , s 1 , , s N ) be f′′ ( s 1 , . . . , s N ) and f ′ ( s 1 , . , s N , x 1 , .
  • Multivariate polynomial q ( x _ _ _ 1 ,...,x N ) and output f'(s 1 ,...,s N )P(s 1 ,...,s N ) for all vectors (s 1 ,...,s N ) , x 1 , . _ ) satisfies q(x 1 , . . . , x N ) f(x 1 , . . . , x N ) for the set ( x 1 , .
  • FIG. 2 is used to illustrate the function conversion processing of this embodiment.
  • this domain d x is also input to the multivariable function value generator 21 .
  • the multivariable function value generator 21 generates multivariable function values f ′( s 1 , ...,s N ) is obtained and output.
  • f'(s 1 ,..., s N ) f(s 1 , . _ _ _ _ _ _ _ _ "(s 1 ,..., s N ).
  • the multivariable function value generating unit 21 obtains and outputs multivariable function values f′(s 1 , . . . , s N ) for at least vectors (s 1 , .
  • multivariable function values f′(s 1 , . . . , s N ) for all vectors (s 1 , . . . , s N ) may be obtained and output (step S21).
  • the multivariate polynomial generator 22 calculates f′(s 1 , . . . , s N )P(s 1 ) for at least some of the vectors (s 1 , . , . . . , s N , x 1 , .
  • P(s 1 ,..., s N , x 1 ,..., x N ) ⁇ 1 ⁇ i ⁇ N (x i (+)s i ).
  • the multivariate polynomial generator 22 generates f′(s 1 , . . . , s N )P ( s 1 , . . . , s N , x 1 , ..., x N ) may be obtained and output as a multivariate polynomial q(x 1 , ..., x N ), or f' ( s 1 , . . . , s N ) P ( s 1 , . . . , s N , x 1 , . good.
  • the multivariate polynomial generator 22 replaces f(s 1 , . . .
  • a variable polynomial q(x 1 , . . . , x N ) is obtained and output (step S22).
  • N 3
  • variables s i and x i are 0-1 variables
  • P(s 1 , . . . , s N , x 1 , . i (+) s i ) is recursively defined by equation (7), and the constraint is ⁇ Of x 1 , x 2 , x 3 , two of 1” will be shown.
  • Multivariable function of input f(x 1 , x 2 , x 3 )
  • Transformed multivariate polynomial q (
  • J is an integer of 0 or more and N or less.
  • the fixed number constraint is a frequent QUBO constraint. If the constraint is a number - fixed constraint , q (x 1 , . sets f′(s 1 , . . . , s N ) less than J to zero.
  • the number of terms of q(x 1 , . . . , x N ) is the number of combinations from N to J and becomes O(N J ).
  • q ( x1,x2 , x3 , x4 ) f(0,0,1,1) x3x4 +f(0,1,0,1) x2x4 + f(0,1,1,0) x2x3 + f( 1,0,0 , 1 ) x1x4 + f( 1,0,1,0 ) x1x3 +f(1,1,0,0) x1x2
  • the number upper limit constraint also frequently appears in QUBO constraints.
  • the constraint condition is the number upper limit constraint , q(x 1 , .
  • An experiment confirmed the effect of reducing the number of additional variables when converting to the QUBO objective function, etc. by the method of Patent Document 1.
  • the third embodiment shows such an example.
  • the function conversion device 3 of this embodiment has a separating section 31 , a function conversion device 1 or 2 , and a synthesizing section 32 .
  • the function conversion processing of this embodiment will be exemplified.
  • the separating unit 31 of the function conversion device 3 receives a multivariable function to be converted or a function including a multivariable function f(x 1 , .
  • An example of such a function is f (x 1 , . . . , x N )+h(x 1 , . . . , x N , w).
  • this is not a limitation of the invention.
  • the separating unit 31 divides f(x 1 ,..., x N )+h(x 1 ,..., x N , w) into f(x 1 ,..., x N ) and remaining terms (for example, h(x 1 , , x N , w)), f ( x 1 , . w)) is input to the synthesizing unit 32 .
  • the function conversion device 1 or 2 converts f(x 1 , . . . , x N ) into a multivariate polynomial g ( x 1 , . , x N ) and output.
  • the synthesizing unit 32 combines the input g(x 1 , . . . , x N ) or q ( x 1 , . ) and a function (for example, g(x 1 ,..., x N )+h(x 1 ,..., x N , w) or q(x 1 ,..., x N )+h(x 1 , . . , x N , w)).
  • Input multivariate function f(x 1 , x 2 , x 3 )+h(x 1 , x 2 , x 3 , w)
  • N 3
  • variables s i and x i are 0-1 variables
  • P(s 1 ,..., s N , x 1 ,..., x N ) ⁇ 1 ⁇ i ⁇ N (x i (+ ) s i ) , f ” ( s 1 , .
  • N 3
  • variables s i and x i are 0-1 variables
  • P(s 1 ,..., s N , x 1 ,..., x N ) ⁇ 1 ⁇ i ⁇ N (x i (+ ) s i ) , f ” ( s 1 , .
  • Input multivariate function f(x 1 , x 2 , x 3 )+h(x 1 , x 2 , x 3 , w)
  • the function conversion devices 1, 2, and 3 in each embodiment are, for example, processors (hardware processors) such as CPUs (central processing units) and memories such as RAMs (random-access memories) and ROMs (read-only memories). It is a device configured by executing a predetermined program on a general-purpose or special-purpose computer equipped with, etc. That is, the function converters 1, 2, 3 in each embodiment, for example, have processing circuitry configured to implement each unit they have.
  • This computer may have a single processor and memory, or may have multiple processors and memories.
  • This program may be installed in the computer, or may be recorded in ROM or the like in advance.
  • processing units may be configured using an electronic circuit that independently realizes processing functions, instead of an electronic circuit that realizes a functional configuration by reading a program like a CPU.
  • an electronic circuit that constitutes one device may include a plurality of CPUs.
  • FIG. 5 is a block diagram illustrating the hardware configuration of function conversion devices 1, 2, and 3 in each embodiment.
  • the function conversion devices 1, 2, and 3 of this example include a CPU (Central Processing Unit) 10a, an input section 10b, an output section 10c, a RAM (Random Access Memory) 10d, a ROM (Read Only Memory) ) 10e, an auxiliary storage device 10f and a bus 10g.
  • the CPU 10a of this example has a control section 10aa, an arithmetic section 10ab, and a register 10ac, and executes various arithmetic processing according to various programs read into the register 10ac.
  • the input unit 10b is an input terminal, a keyboard, a mouse, a touch panel, etc.
  • the output unit 10c is an output terminal for outputting data, a display, a LAN card controlled by the CPU 10a having read a predetermined program, and the like.
  • the RAM 10d is SRAM (Static Random Access Memory), DRAM (Dynamic Random Access Memory), or the like, and has a program area 10da in which a predetermined program is stored and a data area 10db in which various data are stored.
  • the auxiliary storage device 10f is, for example, a hard disk, an MO (Magneto-Optical disc), a semiconductor memory, or the like, and has a program area 10fa in which a predetermined program is stored and a data area 10fb in which various data are stored.
  • the bus 10g connects the CPU 10a, the input section 10b, the output section 10c, the RAM 10d, the ROM 10e, and the auxiliary storage device 10f so that information can be exchanged.
  • the CPU 10a writes the program stored in the program area 10fa of the auxiliary storage device 10f to the program area 10da of the RAM 10d according to the read OS (Operating System) program.
  • the CPU 10a writes various data stored in the data area 10fb of the auxiliary storage device 10f to the data area 10db of the RAM 10d.
  • the address on the RAM 10d where the program and data are written is stored in the register 10ac of the CPU 10a.
  • the control unit 10aa of the CPU 10a sequentially reads these addresses stored in the register 10ac, reads the program and data from the area on the RAM 10d indicated by the read address, and causes the calculation unit 10ab to sequentially execute the calculation indicated by the program, The calculation result is stored in the register 10ac.
  • the above program can be recorded on a computer-readable recording medium.
  • a computer-readable recording medium is a non-transitory recording medium. Examples of such recording media are magnetic recording devices, optical discs, magneto-optical recording media, semiconductor memories, and the like.
  • the distribution of this program is carried out, for example, by selling, assigning, lending, etc. portable recording media such as DVDs and CD-ROMs on which the program is recorded. Further, the program may be distributed by storing the program in the storage device of the server computer and transferring the program from the server computer to other computers via the network.
  • a computer that executes such a program for example, first stores the program recorded on a portable recording medium or transferred from a server computer in its own storage device. When executing the process, this computer reads the program stored in its own storage device and executes the process according to the read program. Also, as another execution form of this program, the computer may read the program directly from a portable recording medium and execute processing according to the program, and the program is transferred from the server computer to this computer.
  • the processing according to the received program may be executed sequentially.
  • the above-mentioned processing is executed by a so-called ASP (Application Service Provider) type service, which does not transfer the program from the server computer to this computer, and realizes the processing function only by its execution instruction and result acquisition.
  • ASP Application Service Provider
  • the program in this embodiment includes information that is used for processing by a computer and that conforms to the program (data that is not a direct instruction to the computer but has the property of prescribing the processing of the computer, etc.).
  • the device is configured by executing a predetermined program on a computer, but at least part of these processing contents may be implemented by hardware.
  • the present invention is not limited to the above-described embodiments.
  • the various types of processing described above may not only be executed in chronological order according to the description, but may also be executed in parallel or individually according to the processing capacity of the device that executes the processing or as necessary.
  • the present invention can be used, for example, when solving combinatorial optimization problems using a quantum annealing machine, an Ising machine, or the like.
  • the obtained multivariate polynomial q(x 1 , . . . , x N ) can be converted into a QUBO objective function or an equivalent Ising Hamiltonian by the methods described in Non-Patent Documents 1 and 2.
  • Combinatorial optimization problems can be solved at high speed by inputting the QUBO objective function and Ising Hamiltonian obtained in this way to a quantum annealing machine, an Ising machine, or the like.

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Abstract

任意の制約条件付き多変数関数ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）を多変数多項式ｑ（ｘ１，…，ｘＮ）に変換する。（ｓ１，…，ｓＮ）＝（ｘ１，…，ｘＮ）のときにＰ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）＝１であり、（ｓ１，…，ｓＮ）≠（ｘ１，…，ｘＮ）のときにＰ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）＝０である。変換部が、制約条件を満たす組（ｘ１，…，ｘＮ）と同一の（ｓ１，…，ｓＮ）についてのｆ'（ｓ１，…，ｓＮ）をｆ（ｓ１，…，ｓＮ）とし、その他のｆ'（ｓ１，…，ｓＮ）をｆ"（ｓ１，…，ｓＮ）とし、ｆ'（ｓ１，…，ｓＮ）Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）を足し合わせたｑ（ｘ１，…，ｘＮ）を得る。ただし、ｑ（ｘ１，…，ｘＮ）の項数は、ｆ（ｓ１，…，ｓＮ）Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）を足し合わせたｇ（ｘ１，…，ｘＮ）の項数よりも少ない。

Description

関数変換装置、関数変換方法、およびプログラム
　本発明は、制約条件付き多変数関数を多変数多項式に変換する技術に関する。
　現在広く利用されているノイマン型コンピュータでは、組合せ最適化問題を効率的に解くことが難しいとされている。そこで、近年、組合せ最適化問題をノイマン型コンピュータよりも効率的に解くことが可能な計算機である、量子アニーリングマシンやイジングマシンなどの研究開発が進められている。
　これらの新たな計算機は、対象とする組合せ最適化問題の目的関数をQUBO(Quadratic Unconstrained Binary Optimization)の目的関数やそれと等価なイジングハミルトニアンとして表現した最適化関数を入力とし、高速にその問題の解を計算することができる。組合せ最適化問題の目的関数は、例えば、組合せ最適化問題としての有効な解を表現するための制約条件関数と、有効な解の中でより適した解を表現するためのコスト関数とを加算した制約条件付き多変数関数である。例えば、制約条件関数は、有効な解のときにゼロ、無効な解のときに大きな値を取る形式で表現され、コスト関数は、制約条件関数に比べて小さな値で解の評価を表す。
　QUBOの目的関数やそれと等価なイジングハミルトニアンは０か１を取る二値変数（０－１変数）に関する多変数２次多項式であるが、０－１変数に関する任意の多変数多項式をQUBOの目的関数やそれと等価なイジングハミルトニアンに変換する手法が存在する（例えば、非特許文献１および２等参照）。
Nike Dattani,"Quadratization in Discrete Optimization and Quantum Mechanics",[online]，arXiv:1901.04405v2 [quant-ph] 23 Sep 2019，[2021年3月30日検索]，インターネット＜https://arxiv.org/pdf/1901.04405.pdf＞ Endre Boros, Yves Crama, Elisabeth Rodriguez-Heck,"Quadratizations of symmetric pseudo-Boolean functions: sub-linear bounds on the number of auxiliary variables",[online]，International Symposium on Artificial Intelligence and Mathematics (ISAIM 2018)，4-Jan-2018，[2021年3月30日検索]，インターネット＜https://orbi.uliege.be/handle/2268/220766＞
　上述のように、量子アニーリングマシンやイジングマシンなどを用いて組み合わせ最適化問題を解くには、その問題の目的関数をQUBOの目的関数やそれと等価なイジングハミルトニアンの形式で表現する必要があるが、この表現は自明なものではない。すなわち、前述のように０－１変数に関する任意の多変数多項式をQUBOの目的関数やそれと等価なイジングハミルトニアンに変換する手法が存在する。しかしながら、組み合わせ最適化問題の目的関数を表す、０－１変数に関する任意の制約条件付き多変数関数を、０－１変数に関する次数の多変数多項式に変換する手法は知られていない。特に、有理関数、指数関数、または対数関数のような加減乗算でない形式で定義された制約条件付き多変数関数については、多項式としての表現を直接得ることはできない。
　このような問題は、組み合わせ最適化問題を量子コンピュータで解くための最適化関数を生成する場合のみならず、任意の制約条件付き多変数関数を多変数多項式に変換する際に共通するものである。
　本発明はこのような点に鑑みてなされたものであり、任意の制約条件付き多変数関数を多変数多項式に変換する技術を提供することを目的とする。
　Ｎ個の変数ｘ１，…，ｘＮに関する任意の制約条件付き多変数関数ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）を、変数ｘ１，…，ｘＮに関する多変数多項式ｑ（ｘ１，…，ｘＮ）に変換する。Ｎは１以上の整数とする。、変換部は、制約条件付き多変数関数ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）を入力とし、多変数多項式ｑ（ｘ１，…，ｘＮ）を出力する。このときｑ（ｘ１，…，ｘＮ）は、ｆ’（ｓ１，…，ｓＮ）Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）を足し合わせたものとして表現される。このときＰ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）は、（ｓ１，…，ｓＮ）＝（ｘ１，…，ｘＮ）のときに１を、（ｓ１，…，ｓＮ）≠（ｘ１，…，ｘＮ）のときに０をとる関数であり、ｓ１，…，ｓＮはＮ個の変数である。また、ｆ’（ｓ１，…，ｓＮ）は（ｘ１，…，ｘＮ）が制約条件を満たすときにｆ（ｘ１，…，ｘＮ）を、（ｘ１，…，ｘＮ）が制約条件を満たさないときにｆ”（ｘ１，…，ｘＮ）をとる多変数関数である。ただし、多変数多項式ｑ（ｘ１，…，ｘＮ）の項数は、ｆ（ｓ１，…，ｓＮ）Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）を足し合わせた多変数多項式ｇ（ｘ１，…，ｘＮ）の項数よりも少ない。
　以上のように、本発明では、任意の多変数関数を多変数多項式に変換することができる。
図１Ａは第１および２実施形態の関数変換装置の機能構成を例示するためのブロック図である。図１Ｂは図１Ａの多変数多項式生成部の機能構成を例示するためのブロック図である。 図２は第１および２実施形態の関数変換装置の処理を例示するためのフロー図である。 図３は第３実施形態の関数変換装置の機能構成を例示するためのブロック図である。 図４は追加変数個数の削減効果を示す実験結果を表すグラフである。 図５は第１，２，３実施形態の関数変換装置のハードウェア構成を例示するためのブロック図である。
　以下、図面を参照して本発明の実施形態を説明する。
　［原理］
　まず、各実施形態の原理を説明する。
　各実施形態では、Ｎ個の変数ｘ１，…，ｘＮに関する任意の多変数関数ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）を、変数ｘ１，…，ｘＮに関する多変数多項式ｇ（ｘ１，…，ｘＮ）に変換する。ここでＮは１以上の整数である。また、変数ｘ１，…，ｘＮはどのようなものであってもよいが、例えば、変数ｘ１，…，ｘＮのそれぞれは二値変数ｘｉ∈｛ｂ０，ｂ１｝であり、ｂ０≠ｂ１である。ただし、ｉ＝１，…，Ｎである。特に、二値変数ｘｉが０－１変数である場合、ｂ０＝０であり、ｂ１＝１である。各変数ｘｉについて取り得る値がｉごとに個別に設定されてもよい。例えば、変数ｘ１，…，ｘＮのそれぞれが二値変数ｘｉ∈｛ｂ０，ｉ，ｂ１，ｉ｝であり、各｛ｂ０，ｉ，ｂ１，ｉ｝がｉにより異なっていてもよい。特に、二値変数ｘｉが０－１変数である場合、（ｂ０，ｉ，ｂ１，ｉ）＝（０，１）であるか（ｂ０，ｉ，ｂ１，ｉ）＝（１，０）であるかが、ｉにより異なっていてもよい。
　第１実施形態では、Ｎ個の変数ｓ１，…，ｓＮを要素とするベクトル（ｓ１，…，ｓＮ）のそれぞれについて、当該ベクトル（ｓ１，…，ｓＮ）およびＮ個の変数ｘ１，…，ｘＮを要素とするベクトル（ｘ１，…，ｘＮ）が（ｓ１，…，ｓＮ）＝（ｘ１，…，ｘＮ）を満たすときにＰ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）＝１となり、（ｓ１，…，ｓＮ）≠（ｘ１，…，ｘＮ）を満たすときにＰ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）＝０となる多項式Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）を定義し、それらを組み合わせることで上記の変換を実現する。すなわち、各ベクトル（ｓ１，…，ｓＮ）についての多項式Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）は、（ｓ１，…，ｓＮ）＝（ｘ１，…，ｘＮ）となる変数ｘ１，…，ｘＮが入力された場合に１となり、それ以外の場合に０となる。この多項式Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）を単位多項式と呼ぶことにする。ここで、変数ｓ１，…，ｓＮはどのようなものであってもよいが、例えば、変数ｓ１，…，ｓＮのそれぞれは二値変数ｓｉ∈｛ｂ０，ｂ１｝である。特に、二値変数ｓｉが０－１変数である場合、ｂ０＝０であり、ｂ１＝１である。
　二値変数ｘｉおよびｓｉ（ただし、ｉ＝１，…，Ｎ）が０－１変数である場合の単位多項式Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）を例示する。まず、が０－１変数ｘｉについて、変数ｘｉの否定形を以下のように定義する。
ｘｉ －＝１－ｘｉ
なお、ｘｉ －の右上添え字の「－」は本来「ｘｉ」の真上に記載されるべきであるが、記載表記の制約上、「ｘｉ」の右上に記載する場合がある。
　次に、０－１変数ｘｉおよびｓｉについて、以下の演算（＋）を定義する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000002
すなわち、ｓｉ＝１のときｘｉ（＋）ｓｉ＝ｘｉであり、ｓｉ＝０のときｘｉ（＋）ｓｉ＝ｘｉ －である。このとき、各ベクトル（ｓ１，…，ｓＮ）についての単位多項式Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）は以下のようになる。
Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）＝Π１≦ｉ≦Ｎ(ｘｉ（＋）ｓｉ)　　(2)
　　　　　　　　　　　　　　　　＝(ｘ１（＋）ｓ１)…(ｘＮ（＋）ｓＮ)
　この多項式Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）は、（ｓ１，…，ｓＮ）＝（ｘ１，…，ｘＮ）のときにＰ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）＝１となり、（ｓ１，…，ｓＮ）≠（ｘ１，…，ｘＮ）のときにＰ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）＝０となる。
　入力となる多変数関数ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）は部分関数であってもよい。すなわち、多変数関数ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）の定義域ｄｘは変数ｘｉ上のすべての組み合わせを含まなくてもよい。この場合、単位多項式Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）は、少なくともベクトル（ｘ１，…，ｘＮ）の定義域ｄｘに属する各ベクトル（ｓ１，…，ｓＮ）∈ｄｘについて設定すればよい。すなわち、少なくとも一部のベクトル（ｓ１，…，ｓＮ）（ｓ１，…，ｓＮの列）について単位多項式ｆ（ｓ１，…，ｓＮ）が設定されればよい。また定義域ｄｘがベクトル（ｘ１，…，ｘＮ）の全領域（全空間）ｕｘである場合、すべてのベクトル（ｓ１，…，ｓＮ）∈ｕｘについて単位多項式ｆ（ｓ１，…，ｓＮ）が設定される。例えば、二値変数ｘｉおよびｓｉが０－１変数であり、定義域ｄｘがベクトル（ｘ１，…，ｘＮ）の全領域である場合、定義域ｄｘには２Ｎ通りのベクトル（ｘ１，…，ｘＮ）が存在する。この場合には２Ｎ通りのベクトル（ｓ１，…，ｓＮ）∈｛０，１｝Ｎについて、それぞれ単位多項式ｆ（ｓ１，…，ｓＮ）が設定される。
　この前提のもと、第１実施形態の変換部は、変換対象の多変数関数ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）を入力とし、少なくとも定義域ｄｘに属するベクトル（ｓ１，…，ｓＮ）∈ｄｘ（少なくとも一部の組（ｓ１，…，ｓＮ））についてｆ（ｓ１，…，ｓＮ）Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）を足し合わせた多変数多項式ｇ（ｘ１，…，ｘＮ）を得て出力する。例えば、変換部は、以下の式(3)で得られる多変数多項式ｇ（ｘ１，…，ｘＮ）を出力する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000003
この多変数多項式ｇ（ｘ１，…，ｘＮ）は、少なくとも定義域ｄｘに属するベクトル（ｘ１，…，ｘＮ）において、ｇ（ｘ１，…，ｘＮ）＝ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）の関係を満たす。すなわち、少なくとも定義域ｄｘにおいて、変換対象の多変数関数ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）と同一の値を返す多変数多項式ｇ（ｘ１，…，ｘＮ）を生成することができる。式(2)の単位多項式Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）を用いる場合、式(3)は、例えば、以下の式(4)のようになる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000004
ただし、ｓｉ，ｘｉ∈｛０，１｝である。
　特に定義域ｄｘがベクトル（ｘ１，…，ｘＮ）の全領域ｕｘである場合、変換部は、すべてのベクトル（ｓ１，…，ｓＮ）∈ｕｘ（すべての組（ｓ１，…，ｓＮ））についてｆ（ｓ１，…，ｓＮ）Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）を足し合わせた多変数多項式ｇ（ｘ１，…，ｘＮ）を得て出力する。すなわち変換部は、以下の式(5)で得られる多変数多項式ｇ（ｘ１，…，ｘＮ）を出力する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000005
　この多変数多項式ｇ（ｘ１，…，ｘＮ）は、すべてのベクトル（ｘ１，…，ｘＮ）∈ｕｘにおいて、ｇ（ｘ１，…，ｘＮ）＝ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）の関係を満たす。すなわち、すべての入力に対して変換対象の多変数関数ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）と同一の値を返す多変数多項式ｇ（ｘ１，…，ｘＮ）を生成することができる。式(2)の単位多項式Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）を用いる場合、式(5)は以下の式(6)のようになる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000006
　このように得られた多変数多項式ｇ（ｘ１，…，ｘＮ）は、例えば、非特許文献１および２等に記載された方法によって、QUBOの目的関数やそれと等価なイジングハミルトニアンに変換可能である。このように得られたQUBOの目的関数やイジングハミルトニアンを量子アニーリングマシンやイジングマシンなどに入力することで、高速に組合せ最適化問題を解くことができる。
　しかしながら、上述のようにＮ個の変数ｘ１，…，ｘＮに関する任意の多変数関数ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）から変換された多変数多項式ｇ（ｘ１，…，ｘＮ）には多くの単項式が含まれる。例えば、変数ｘ１，…，ｘＮが二値変数である場合、多変数多項式ｇ（ｘ１，…，ｘＮ）には２Ｎ個の最大Ｎ次の単項式が出現する。非特許文献１および２等に記載された方法によって、多変数多項式ｇ（ｘ１，…，ｘＮ）をQUBOの目的関数やそれと等価なイジングハミルトニアンに変換する場合、多変数多項式ｇ（ｘ１，…，ｘＮ）に含まれる単項式１つについて追加変数が１つ以上追加される。したがって、この変換にはＯ（２Ｎ）個の追加変数が追加されてしまう。そのため、第１実施形態では、変数の種類Ｎに対して指数的に増加する追加変数が必要となる。現在提供されている、量子アニーリングマシンやイジングマシンでは入力可能な変数の個数が限られているため、追加変数の爆発的な増加は入力可能な問題サイズを大きく制限してしまうという。
　このような問題は量子アニーリングマシンやイジングマシンで組合せ最適化問題を解く場合に限定されるものではない。すなわち、多項式の項数の増加は演算に必要なリソースの増加につながるものであり、多項式の項数の増加はどのような演算においても好ましくない。
　このような点に鑑み、第２実施形態では、Ｎ個の変数ｘ１，…，ｘＮに関する任意の多変数関数ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）を、上述の多変数多項式ｇ（ｘ１，…，ｘＮ）よりも項数の小さな（含まれる単項式の個数が少ない）多変数多項式ｑ（ｘ１，…，ｘＮ）に変換する方式を示す。ただし、第２実施形態では、多変数関数ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）が制約条件を含む制約条件付き多変数関数であることを前提とする。すなわち、多変数関数ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）が制約条件付き多変数関数である場合、特定の制約条件を満たす（ｘ１，…，ｘＮ）は有効であるが、当該制約条件を満たさない（ｘ１，…，ｘＮ）は無効である。例えば、組合せ最適化問題の目的関数やそれに対応するQUBOの目的関数やイジングハミルトニアンは、組合せ最適化問題として有効な解を表現するための制約条件関数と、有効な解の中でより適した解を表現するためのコスト関数とを加算したものとなる。例えば、制約条件関数は、有効な解（制約条件を満たす（ｘ１，…，ｘＮ））のときにゼロ、無効な解（制約条件を満たさない（ｘ１，…，ｘＮ））のときに大きな値を取り、コスト関数は、制約条件関数に比べて小さな値で解の評価を表す。組合せ最適化問題の解は、このような目的関数やイジングハミルトニアンを最小化するように求められる。この場合、無効な解（制約条件を満たさない（ｘ１，…，ｘＮ））に対する制約条件関数の値は大きくなり、コスト関数の値は意味をなさない。制約条件を満たさない（ｘ１，…，ｘＮ）に対する制約条件付き多変数関数ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）の値は意味をなさず、このような制約条件付き多変数関数ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）の値にはどのような値を設定しても実用上問題ない。例えば、制約条件付き多変数関数ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）がコスト関数Ｃｏｓｔ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）および制約条件関数Ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）の和で表され、制約条件関数が表す制約条件が「ｘ１，ｘ２，ｘ３のうち、２つが１」である場合を考える。このような制約条件付き多変数関数ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）から変換された多変数関数ｇ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）のうち、以下の下線が付されたコスト関数値にはどのような値を設定してもよい。
ｇ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）
＝Ｃｏｓｔ（０，０，０）ｘ１ －ｘ２ －ｘ３ －＋Ｃｏｓｔ（０，０，１）ｘ１ －ｘ２ －ｘ３＋Ｃｏｓｔ（０，１，０）ｘ１ －ｘ２ｘ３ －＋Ｃｏｓｔ（０，１，１）ｘ１ －ｘ２ｘ３＋Ｃｏｓｔ（１，０，０）ｘ１ｘ２ －ｘ３ －＋Ｃｏｓｔ（１，０，１）ｘ１ｘ２ －ｘ３＋Ｃｏｓｔ（１，１，０）ｘ１ｘ２ｘ３ －＋Ｃｏｓｔ（１，１，１）ｘ１ｘ２ｘ３＋Ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）
　このような条件のもと、実用上問題のない多変数関数ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）の値を変更し、多変数多項式ｑ（ｘ１，…，ｘＮ）を展開した際の項数（ｘiに関する項および定数項の合計数）が、多変数多項式ｇ（ｘ１，…，ｘＮ）を展開した際の項数（ｘiに関する項および定数項の合計数）よりも少なくする。
　すなわち、第２実施形態でも、Ｎ個の変数ｓ１，…，ｓＮを要素とするベクトル（ｓ１，…，ｓＮ）のそれぞれについて、当該ベクトル（ｓ１，…，ｓＮ）およびＮ個の変数ｘ１，…，ｘＮを要素とするベクトル（ｘ１，…，ｘＮ）が（ｓ１，…，ｓＮ）＝（ｘ１，…，ｘＮ）を満たすときにＰ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）＝１となり、（ｓ１，…，ｓＮ）≠（ｘ１，…，ｘＮ）を満たすときにＰ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）＝０となる多項式Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）を定義し、それらを組み合わせることで変換を実現するが、以下の点で第１実施形態と相違する。すなわち、第２実施形態の変換部は、制約条件付き多変数関数ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）を入力とし、制約条件を満たすベクトル（組）（ｘ１，…，ｘＮ）と同一の（ｓ１，…，ｓＮ）についての多変数関数値ｆ’（ｓ１，…，ｓＮ）をｆ（ｓ１，…，ｓＮ）とし、制約条件を満たさないベクトル（組）（ｘ１，…，ｘＮ）と同一の（ｓ１，…，ｓＮ）についての多変数関数値ｆ’（ｓ１，…，ｓＮ）をｆ”（ｓ１，…，ｓＮ）とし、少なくとも定義域ｄｘに属するベクトル（ｓ１，…，ｓＮ）∈ｄｘ（少なくとも一部の組（ｓ１，…，ｓＮ））についてｆ’（ｓ１，…，ｓＮ）Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）を足し合わせた多変数多項式ｑ（ｘ１，…，ｘＮ）を得て出力する。ただし、多変数多項式ｑ（ｘ１，…，ｘＮ）の項数は、上述した少なくとも定義域ｄｘに属するベクトル（ｓ１，…，ｓＮ）∈ｄｘ（少なくとも一部の組（ｓ１，…，ｓＮ））についてｆ（ｓ１，…，ｓＮ）Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）を足し合わせた多変数多項式ｇ（ｘ１，…，ｘＮ）の項数よりも少ない。
　特に定義域ｄｘがベクトル（ｘ１，…，ｘＮ）の全領域ｕｘである場合、変換部は、制約条件付き多変数関数ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）を入力とし、すべてのベクトル（ｓ１，…，ｓＮ）∈ｕｘ（すべての組（ｓ１，…，ｓＮ））についてｆ’（ｓ１，…，ｓＮ）Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）を足し合わせた多変数多項式ｑ（ｘ１，…，ｘＮ）を得て出力する。ただし、多変数多項式ｑ（ｘ１，…，ｘＮ）の項数は、すべてのベクトル（ｓ１，…，ｓＮ）∈ｕｘ（すべての組（ｓ１，…，ｓＮ））についてｆ（ｓ１，…，ｓＮ）Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）を足し合わせた多変数多項式ｇ（ｘ１，…，ｘＮ）の項数よりも少ない。
　例えば、第２実施形態の変換部は、前述した式(3)-(6)の何れかのｆ（ｓ１，…，ｓＮ）をｆ’（ｓ１，…，ｓＮ）に置換した式に従って、多変数多項式ｑ（ｘ１，…，ｘＮ）を得て出力する。
　特に、変数ｘ１，…，ｘＮおよび変数ｓ１，…，ｓＮが０－１変数である場合、Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）＝Π１≦ｉ≦Ｎ(ｘｉ（＋）ｓｉ)であり、定義域ｄｘがベクトル（ｘ１，…，ｘＮ）の全領域ｕｘである場合、ｆ”（ｓ１，…，ｓＮ）は以下の式(7)によって再帰的に定義される。これにより、多項式の項数が制約条件を満たす（ｘ１，…，ｘＮ）の個数（例えば、有効な解の個数）にまで削減される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000007
　このように得られた多変数多項式ｑ（ｘ１，…，ｘＮ）も、例えば、非特許文献１および２等に記載された方法によって、QUBOの目的関数やそれと等価なイジングハミルトニアンに変換可能である。このように得られたQUBOの目的関数やイジングハミルトニアンを量子アニーリングマシンやイジングマシンなどに入力することで、高速に組合せ最適化問題を解くことができる。
　［第１実施形態］
　次に、第１実施形態を説明する。以降、説明済の事項については同じ記号を用いて説明を省略する。
　＜構成＞
　図１Ａに例示するように、本実施形態の関数変換装置１は、変換部１０、記憶部１３、および制御部１４を有する。ここで、本実施形態で例示する変換部１０は、多変数関数値生成部１１および多変数多項式生成部１２を有する。また図１Ｂに例示するように、本実施形態で例示する多変数多項式生成部１２は乗算部１２１および加算部１２２を有する。しかし、これらは本発明を限定するものではなく、複数の処理部の少なくとも一部の機能が融合されてもよい。また、各処理は制御部１４の制御の下で実行され、各処理で得られたデータは記憶部１３に格納され、必要に応じて他の処理で読み出されて利用される。
　＜処理＞
　本実施形態の関数変換処理を例示する。
　関数変換装置１の変換部１０には、変換対象の多変数関数ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）が入力される。多変数関数ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）に限定はないが、例えば、組合せ最適化問題の目的関数またはそれと等価な多変数関数ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）が入力される。また、多変数関数ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）の定義域ｄｘも変換部１０に入力されてもよい。しかし、定義域ｄｘが関数変換装置１に入力されなくてもよい。例えば、定義域ｄｘが全領域ｕｘの場合や定義域ｄｘが既知の場合には、定義域ｄｘの入力が省略可能である。
　変換部１０は、少なくとも一部のベクトル（ｓ１，…，ｓＮ）についてｆ（ｓ１，…，ｓＮ）Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）を足し合わせた多変数多項式ｇ（ｘ１，…，ｘＮ）を得て出力する。変換部１０は、例えば、少なくとも定義域ｄｘに属するベクトル（ｓ１，…，ｓＮ）についてｆ（ｓ１，…，ｓＮ）Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）を足し合わせた多変数多項式ｇ（ｘ１，…，ｘＮ）を得て出力してもよいし、すべてのベクトル（ｓ１，…，ｓＮ）についてｆ（ｓ１，…，ｓＮ）Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）を足し合わせた多変数多項式ｇ（ｘ１，…，ｘＮ）を得て出力してもよい。
　図２を用いて、本実施形態の関数変換処理を例示する。
　変換部１０の多変数関数値生成部１１には、多変数関数ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）が入力される。定義域ｄｘが入力される場合には、この定義域ｄｘも多変数関数値生成部１１に入力される。多変数関数値生成部１１は、少なくとも一部のベクトル（ｓ１，…，ｓＮ）（組（ｓ１，…，ｓＮ））についての多変数関数値ｆ（ｓ１，…，ｓＮ）を得て出力する。例えば、多変数関数値生成部１１は、少なくとも定義域ｄｘに属するベクトル（ｓ１，…，ｓＮ）について多変数関数値ｆ（ｓ１，…，ｓＮ）を得て出力してもよいし、すべてのベクトル（ｓ１，…，ｓＮ）について多変数関数値ｆ（ｓ１，…，ｓＮ）を得て出力してもよい（ステップＳ１１）。
　ステップＳ１１で得られた多変数関数値ｆ（ｓ１，…，ｓＮ）は多変数多項式生成部１２に入力される。多変数多項式生成部１２は、少なくとも一部のベクトル（ｓ１，…，ｓＮ）（組（ｓ１，…，ｓＮ））についてｆ（ｓ１，…，ｓＮ）Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）を足し合わせた多変数多項式ｇ（ｘ１，…，ｘＮ）を得て出力する。例えば、多変数多項式生成部１２は、少なくとも定義域ｄｘに属するベクトル（ｓ１，…，ｓＮ）についてｆ（ｓ１，…，ｓＮ）Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）を足し合わせた多変数多項式ｇ（ｘ１，…，ｘＮ）を得て出力してもよいし、すべてのベクトル（ｓ１，…，ｓＮ）についてｆ（ｓ１，…，ｓＮ）Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）を足し合わせた多変数多項式ｇ（ｘ１，…，ｘＮ）を得て出力してもよい。例えば、多変数多項式生成部１２は、前述した式(3)-(6)の何れかに従って多変数多項式ｇ（ｘ１，…，ｘＮ）を生成して出力する。また、多変数多項式ｇ（ｘ１，…，ｘＮ）の計算過程に限定はないが、例えば、乗算部１２１（図１Ｂ）がｆ（ｓ１，…，ｓＮ）とＰ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）とを入力としてｆ（ｓ１，…，ｓＮ）Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）を得、加算部１２２が得られたｆ（ｓ１，…，ｓＮ）Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）を累積的に加算するか、まとめて加算して多変数多項式ｇ（ｘ１，…，ｘＮ）を得て出力する（ステップＳ１２）。
　＜具体例１＞
　以下に、Ｎ＝３であり、変数ｓｉ及びｘｉが０－１変数である場合の具体例を示す。
　入力の多変数関数：ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）
　変換された多変数多項式：
ｇ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）
＝ｆ（０，０，０）ｘ１ －ｘ２ －ｘ３ －＋ｆ（０，０，１）ｘ１ －ｘ２ －ｘ３＋ｆ（０，１，０）ｘ１ －ｘ２ｘ３ －＋ｆ（０，１，１）ｘ１ －ｘ２ｘ３＋ｆ（１，０，０）ｘ１ｘ２ －ｘ３ －＋ｆ（１，０，１）ｘ１ｘ２ －ｘ３＋ｆ（１，１，０）ｘ１ｘ２ｘ３ －＋ｆ（１，１，１）ｘ１ｘ２ｘ３
＝ｆ（０，０，０）＋
　（ｆ（０，０，１）－ｆ（０，０，０））ｘ３＋
　（ｆ（０，１，０）－ｆ（０，０，０））ｘ２＋
　（ｆ（１，０，０）－ｆ（０，０，０））ｘ１＋
　（ｆ（０，１，１）－ｆ（０，１，０）－ｆ（０，０，１）＋ｆ（０，０，０））ｘ２ｘ３＋
　（ｆ（１，０，１）－ｆ（１，０，０）－ｆ（０，０，１）＋ｆ（０，０，０））ｘ１ｘ３＋
　（ｆ（１，１，０）－ｆ（１，０，０）－ｆ（０，１，０）＋ｆ（０，０，０））ｘ１ｘ２＋
　（ｆ（１，１，１）－ｆ（１，１，０）－ｆ（１，０，１）－ｆ（０，１，１）＋
ｆ（１，０，０）＋ｆ（０，１，０）＋ｆ（０，０，１）－ｆ（０，０，０））ｘ１ｘ２ｘ３
　＜本実施形態の特徴＞
　上述のように得られた多変数多項式ｇ（ｘ１，…，ｘＮ）は、少なくとも定義域ｄｘに属するベクトル（ｘ１，…，ｘＮ）において、変換対象の任意の多変数関数ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）と等しくなる。定義域ｄｘが全領域ｕｘであれば、すべてのベクトル（ｘ１，…，ｘＮ）においてｇ（ｘ１，…，ｘＮ）＝ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）となる。このように、本実施形態では、任意の多変数関数ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）を多変数多項式ｇ（ｘ１，…，ｘＮ）に変換することができる。
　［第２実施形態］
　次に、第２実施形態を説明する。
　＜構成＞
　図１Ａに例示するように、本実施形態の関数変換装置２は、変換部２０、記憶部１３、および制御部１４を有する。ここで、本実施形態で例示する変換部２０は、多変数関数値生成部２１および多変数多項式生成部２２を有する。また図１Ｂに例示するように、本実施形態で例示する多変数多項式生成部２２は乗算部２２１および加算部２２２を有する。しかし、これらは本発明を限定するものではなく、複数の処理部の少なくとも一部の機能が融合されてもよい。また、各処理は制御部１４の制御の下で実行され、各処理で得られたデータは記憶部１３に格納され、必要に応じて他の処理で読み出されて利用される。
　＜処理＞
　本実施形態の関数変換処理を例示する。
　関数変換装置２の変換部２０には、変換対象の制約条件付き多変数関数ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）が入力される。制約条件付き多変数関数ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）に限定はないが、例えば、組合せ最適化問題の目的関数またはそれと等価な多変数関数ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）が入力される。また、多変数関数ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）の定義域ｄｘも変換部２０に入力されてもよい。しかし、定義域ｄｘが関数変換装置２に入力されなくてもよい。例えば、定義域ｄｘが全領域ｕｘの場合や定義域ｄｘが既知の場合には、定義域ｄｘの入力が省略可能である。
　変換部２０は、制約条件を満たす組（ｘ１，…，ｘＮ）と同一の（ｓ１，…，ｓＮ）についての多変数関数値ｆ’（ｓ１，…，ｓＮ）をｆ（ｓ１，…，ｓＮ）とし、制約条件を満たさないベクトル（ｘ１，…，ｘＮ）と同一の（ｓ１，…，ｓＮ）についての多変数関数値ｆ’（ｓ１，…，ｓＮ）をｆ”（ｓ１，…，ｓＮ）とし、少なくとも一部のベクトル（ｓ１，…，ｓＮ）についてｆ’（ｓ１，…，ｓＮ）Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）を足し合わせた多変数多項式ｑ（ｘ１，…，ｘＮ）を得て出力する。変換部２０は、例えば、少なくとも定義域ｄｘに属するベクトル（ｓ１，…，ｓＮ）についてｆ’（ｓ１，…，ｓＮ）Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）を足し合わせた多変数多項式ｑ（ｘ１，…，ｘＮ）を得て出力してもよいし、すべてのベクトル（ｓ１，…，ｓＮ）についてｆ’（ｓ１，…，ｓＮ）Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）を足し合わせた多変数多項式ｑ（ｘ１，…，ｘＮ）を得て出力してもよい。このように得られたｑ（ｘ１，…，ｘＮ）は、制約条件を満たす組（ｘ１，…，ｘＮ）について、ｑ（ｘ１，…，ｘＮ）＝ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）を満たす。
　図２を用いて、本実施形態の関数変換処理を例示する。
　変換部２０の多変数関数値生成部２１には、制約条件付き多変数関数ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）が入力される。定義域ｄｘが入力される場合には、この定義域ｄｘも多変数関数値生成部２１に入力される。多変数関数値生成部２１は、少なくとも一部のベクトル（ｓ１，…，ｓＮ）（組（ｓ１，…，ｓＮ））についての多変数関数値ｆ’（ｓ１，…，ｓＮ）を得て出力する。前述のように、制約条件を満たすベクトル（ｘ１，…，ｘＮ）と同一の（ｓ１，…，ｓＮ）についてはｆ’（ｓ１，…，ｓＮ）＝ｆ（ｓ１，…，ｓＮ）であり、制約条件を満たさないベクトル（ｘ１，…，ｘＮ）と同一の（ｓ１，…，ｓＮ）についてはｆ’（ｓ１，…，ｓＮ）＝ｆ”（ｓ１，…，ｓＮ）である。変数ｘ１，…，ｘＮおよび変数ｓ１，…，ｓＮが０－１変数である場合、ｆ”（ｓ１，…，ｓＮ）は式(7)によって再帰的に定義される。例えば、多変数関数値生成部２１は、少なくとも定義域ｄｘに属するベクトル（ｓ１，…，ｓＮ）について多変数関数値ｆ’（ｓ１，…，ｓＮ）を得て出力してもよいし、すべてのベクトル（ｓ１，…，ｓＮ）について多変数関数値ｆ’（ｓ１，…，ｓＮ）を得て出力してもよい（ステップＳ２１）。
　ステップＳ２１で得られた多変数関数値ｆ’（ｓ１，…，ｓＮ）は多変数多項式生成部２２に入力される。多変数多項式生成部２２は、少なくとも一部のベクトル（ｓ１，…，ｓＮ）（組（ｓ１，…，ｓＮ））についてｆ’（ｓ１，…，ｓＮ）Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）を足し合わせた多変数多項式ｑ（ｘ１，…，ｘＮ）を得て出力する。例えば、変数ｘ１，…，ｘＮおよび変数ｓ１，…，ｓＮが０－１変数である場合、Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）＝Π１≦ｉ≦Ｎ(ｘｉ（＋）ｓｉ)である。例えば、多変数多項式生成部２２は、少なくとも定義域ｄｘに属するベクトル（ｓ１，…，ｓＮ）についてｆ’（ｓ１，…，ｓＮ）Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）を足し合わせた多変数多項式ｑ（ｘ１，…，ｘＮ）を得て出力してもよいし、すべてのベクトル（ｓ１，…，ｓＮ）についてｆ’（ｓ１，…，ｓＮ）Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）を足し合わせた多変数多項式ｑ（ｘ１，…，ｘＮ）を得て出力してもよい。例えば、多変数多項式生成部２２は、前述した式(3)-(6)の何れかのｆ（ｓ１，…，ｓＮ）をｆ’（ｓ１，…，ｓＮ）に置換した式に従って多変数多項式ｑ（ｘ１，…，ｘＮ）を生成して出力する。また、多変数多項式ｑ（ｘ１，…，ｘＮ）の計算過程に限定はないが、例えば、乗算部２２１（図１Ｂ）がｆ’（ｓ１，…，ｓＮ）とＰ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）とを用いてｆ’（ｓ１，…，ｓＮ）Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）を得、加算部２２２が得られたｆ’（ｓ１，…，ｓＮ）Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）を累積的に加算するか、まとめて加算して多変数多項式ｑ（ｘ１，…，ｘＮ）を得て出力する（ステップＳ２２）。
　＜具体例２－１＞
　以下に、Ｎ＝３であり、変数ｓｉ及びｘｉが０－１変数であり、Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）＝Π１≦ｉ≦Ｎ(ｘｉ（＋）ｓｉ)であり、ｆ”（ｓ１，…，ｓＮ）が式(7)によって再帰的に定義され、制約条件が「ｘ１，ｘ２，ｘ３のうち、２つが１」である場合の具体例を示す。
　入力の多変数関数：ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）
　多変数関数値：
ｆ’（０，０，０）＝０
ｆ’（０，０，１）＝ｆ’（０，０，０）＝０
ｆ’（０，１，０）＝ｆ’（０，０，０）＝０
ｆ’（１，０，０）＝ｆ’（０，０，０）＝０
ｆ’（０，１，１）＝ｆ（０，１，１）
ｆ’（１，０，１）＝ｆ（１，０，１）
ｆ’（１，１，０）＝ｆ（１，１，０）
ｆ’（１，１，１）＝ｆ’（０，１，１）＋ｆ’（１，０，１）＋ｆ’（１，１，０）－ｆ’（０，０，１）－ｆ’（０，１，０）－ｆ’（１，０，０）＋ｆ’（０，０，０）＝ｆ（０，１，１）＋ｆ（１，０，１）＋ｆ（１，１，０）
　変換された多変数多項式：
ｑ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）
＝ｆ’（０，０，０）ｘ１ －ｘ２ －ｘ３ －＋ｆ’（０，０，１）ｘ１ －ｘ２ －ｘ３＋ｆ’（０，１，０）ｘ１ －ｘ２ｘ３ －＋ｆ’（０，１，１）ｘ１ －ｘ２ｘ３＋ｆ’（１，０，０）ｘ１ｘ２ －ｘ３ －＋ｆ’（１，０，１）ｘ１ｘ２ －ｘ３＋ｆ’（１，１，０）ｘ１ｘ２ｘ３ －＋ｆ’（１，１，１）ｘ１ｘ２ｘ３
＝ｆ’（０，０，０）＋
　（ｆ’（０，０，１）－ｆ’（０，０，０））ｘ３＋
　（ｆ’（０，１，０）－ｆ’（０，０，０））ｘ２＋
　（ｆ’（１，０，０）－ｆ’（０，０，０））ｘ１＋
　（ｆ’（０，１，１）－ｆ’（０，１，０）－ｆ’（０，０，１）＋ｆ’（０，０，０））ｘ２ｘ３＋
　（ｆ’（１，０，１）－ｆ’（１，０，０）－ｆ’（０，０，１）＋ｆ’（０，０，０））ｘ１ｘ３＋
　（ｆ’（１，１，０）－ｆ’（１，０，０）－ｆ’（０，１，０）＋ｆ’（０，０，０））ｘ１ｘ２＋
　（ｆ’（１，１，１）－ｆ’（１，１，０）－ｆ’（１，０，１）－ｆ’（０，１，１）＋
ｆ’（１，０，０）＋ｆ’（０，１，０）＋ｆ’（０，０，１）－ｆ’（０，０，０））ｘ１ｘ２ｘ３
＝ｆ（０，１，１）ｘ２ｘ３＋ｆ（１，０，１）ｘ１ｘ３＋ｆ（１，１，０）ｘ１ｘ２
　このように、ｑ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）の項数が制約条件を満たす（ｘ１，…，ｘＮ）の個数（例えば、有効な解の個数）にまで削減される。また、このように得られたｑ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）は、制約条件を満たす組（ｘ１，ｘ２，ｘ３）について、ｑ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）を満たす。
　＜具体例２－２＞
　変数ｓｉ及びｘｉが０－１変数であり、Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）＝Π１≦ｉ≦Ｎ(ｘｉ（＋）ｓｉ)であり、ｆ”（ｓ１，…，ｓＮ）が式(7)によって再帰的に定義され、制約条件が「Ｎ個の変数ｘ１，…，ｘＮ中Ｊ個ちょうどが１になる（個数固定制約）」である場合の具体例を示す。ただし、Ｊは０以上Ｎ以下の整数である。個数固定制約はQUBOの制約に頻出するものである。制約条件が個数固定制約である場合、変換後のｑ（ｘ１，…，ｘＮ）は次数がＪの項のみとなり、（ｓ１，…，ｓＮ）のうちｓｉ＝１である個数がJ未満のｆ’（ｓ１，…，ｓＮ）を０にする。これにより、ｑ（ｘ１，…，ｘＮ）の項数はＮ個からＪ個取る組み合わせの個数
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000008
となり、Ｏ（ＮＪ）個となる。例えば、Ｎ＝４，Ｊ＝２の場合には以下のようになる。
ｑ（ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｘ４）
＝ｆ（０，０，１，１）ｘ３ｘ４＋ｆ（０，１，０，１）ｘ２ｘ４＋ｆ（０，１，１，０）ｘ２ｘ３＋ｆ（１，０，０，１）ｘ１ｘ４＋ｆ（１，０，１，０）ｘ１ｘ３＋ｆ（１，１，０，０）ｘ１ｘ２
　＜具体例２－３＞
　変数ｓｉ及びｘｉが０－１変数であり、Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）＝Π１≦ｉ≦Ｎ(ｘｉ（＋）ｓｉ)であり、ｆ”（ｓ１，…，ｓＮ）が式(7)によって再帰的に定義され、制約条件が「Ｎ個の変数ｘ１，…，ｘＮ中Ｊ個以下が１になる（個数上限制約）」である場合の具体例を示す。個数上限制約もQUBOの制約に頻出するものである。制約条件が個数上限制約である場合、変換後のｑ（ｘ１，…，ｘＮ）は次数がＪ以下の項のみとなる。これにより、ｑ（ｘ１，…，ｘＮ）の項数は
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000009
となり、Ｏ（ＮＪ）個となる。例えば、Ｎ＝３，Ｊ＝２の場合には以下のようになる。
　変換された多変数多項式：
ｑ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）
＝ｆ（０，０，０）ｘ１ －ｘ２ －ｘ３ －＋ｆ（０，０，１）ｘ１ －ｘ２ －ｘ３＋ｆ（０，１，０）ｘ１ －ｘ２ｘ３ －＋ｆ（０，１，１）ｘ１ －ｘ２ｘ３＋ｆ（１，０，０）ｘ１ｘ２ －ｘ３ －＋ｆ（１，０，１）ｘ１ｘ２ －ｘ３＋ｆ（１，１，０）ｘ１ｘ２ｘ３ －＋ｆ（１，１，１）ｘ１ｘ２ｘ３
＝ｆ（０，０，０）＋
　（ｆ（０，０，１）－ｆ（０，０，０））ｘ３＋
　（ｆ（０，１，０）－ｆ（０，０，０））ｘ２＋
　（ｆ（１，０，０）－ｆ（０，０，０））ｘ１＋
　（ｆ（０，１，１）－ｆ（０，１，０）－ｆ（０，０，１）＋ｆ（０，０，０））ｘ２ｘ３＋
　（ｆ（１，０，１）－ｆ（１，０，０）－ｆ（０，０，１）＋ｆ（０，０，０））ｘ１ｘ３＋
　（ｆ（１，１，０）－ｆ（１，０，０）－ｆ（０，１，０）＋ｆ（０，０，０））ｘ１ｘ２
　＜実験結果＞
　本実施形態において、変数ｓｉ及びｘｉを０－１変数とし、Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）＝Π１≦ｉ≦Ｎ(ｘｉ（＋）ｓｉ)とし、ｆ”（ｓ１，…，ｓＮ）を式(7)によって再帰的に定義した場合における、多変数多項式ｑ（ｘ１，…，ｘＮ）（３次以上）を、非特許文献１の手法によってQUBOの目的関数等に変換する際の追加変数個数の削減効果を実験によって確認した。図４にこの実験結果を示す。この実験では、第１実施形態の場合（一点鎖線）、第２実施形態において個数上限制約（Ｊ＝４）を採用した場合（二点鎖線）、および第２実施形態において個数固定制約（Ｊ＝４）を採用した場合（実線）を比較した。図４の横線は変数の種類数Ｎを表し、縦軸は追加変数の個数を表す。図４に例示するように、第２実施形態の手法の方が第１実施形態の手法よりも追加変数の個数を削減できることが分かる。
　［第３実施形態］
　変換対象の任意の多変数関数の一部の項のみが多変数多項式に変換されてもよい。第３実施形態では、このような例を示す。
　＜構成＞
　図３に例示するように、本実施形態の関数変換装置３は、分離部３１、関数変換装置１または２、および合成部３２を有する。
　＜処理＞
　本実施形態の関数変換処理を例示する。
　関数変換装置３の分離部３１には、変換対象の多変数関数または制約条件付き多変数関数ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）を項に含む関数が入力される。このような関数の例はｆ（ｘ１，…，ｘＮ）と、変数ｘ１，…，ｘＮ，ｗに関する多変数関数ｈ（ｘ１，…，ｘＮ，ｗ）とを加算したｆ（ｘ１，…，ｘＮ）＋ｈ（ｘ１，…，ｘＮ，ｗ）である。しかし、これは本発明を限定するものではない。分離部３１は、ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）＋ｈ（ｘ１，…，ｘＮ，ｗ）をｆ（ｘ１，…，ｘＮ）と残りの項（例えば、ｈ（ｘ１，…，ｘＮ，ｗ））とに分離し、ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）を関数変換装置１または２に入力し、残りの項（例えば、ｈ（ｘ１，…，ｘＮ，ｗ））を合成部３２に入力する。
　関数変換装置１または２は、第１または２実施形態で説明したように、ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）を多変数多項式ｇ（ｘ１，…，ｘＮ）またはｑ（ｘ１，…，ｘＮ）に変換して出力する。得られたｇ（ｘ１，…，ｘＮ）またはｑ（ｘ１，…，ｘＮ）は合成部３２に入力される。
　合成部３２は、入力されたｇ（ｘ１，…，ｘＮ）またはｑ（ｘ１，…，ｘＮ）と前述した残りの項（例えば、ｈ（ｘ１，…，ｘＮ，ｗ））とを加算して得られる関数（例えば、ｇ（ｘ１，…，ｘＮ）＋ｈ（ｘ１，…，ｘＮ，ｗ）またはｑ（ｘ１，…，ｘＮ）＋ｈ（ｘ１，…，ｘＮ，ｗ））を出力する。
　＜具体例３－１＞
　以下に、Ｎ＝３であり、変数ｓｉ及びｘｉが０－１変数であり、ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）がｇ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）に変換される場合の具体例を示す。
　入力の多変数関数：ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＋ｈ（ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｗ）
　変換された多変数多項式：
ｇ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＋ｈ（ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｗ）
＝ｆ（０，０，０）ｘ１ －ｘ２ －ｘ３ －＋ｆ（０，０，１）ｘ１ －ｘ２ －ｘ３＋ｆ（０，１，０）ｘ１ －ｘ２ｘ３ －＋ｆ（０，１，１）ｘ１ －ｘ２ｘ３＋ｆ（１，０，０）ｘ１ｘ２ －ｘ３ －＋ｆ（１，０，１）ｘ１ｘ２ －ｘ３＋ｆ（１，１，０）ｘ１ｘ２ｘ３ －＋ｆ（１，１，１）ｘ１ｘ２ｘ３
＝ｆ（０，０，０）＋
　（ｆ（０，０，１）－ｆ（０，０，０））ｘ３＋
　（ｆ（０，１，０）－ｆ（０，０，０））ｘ２＋
　（ｆ（１，０，０）－ｆ（０，０，０））ｘ１＋
　（ｆ（０，１，１）－ｆ（０，１，０）－ｆ（０，０，１）＋ｆ（０，０，０））ｘ２ｘ３＋
　（ｆ（１，０，１）－ｆ（１，０，０）－ｆ（０，０，１）＋ｆ（０，０，０））ｘ１ｘ３＋
　（ｆ（１，１，０）－ｆ（１，０，０）－ｆ（０，１，０）＋ｆ（０，０，０））ｘ１ｘ２＋
　（ｆ（１，１，１）－ｆ（１，１，０）－ｆ（１，０，１）－ｆ（０，１，１）＋
ｆ（１，０，０）＋ｆ（０，１，０）＋ｆ（０，０，１）－ｆ（０，０，０））ｘ１ｘ２ｘ３
＋ｈ（ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｗ）
　＜具体例３－２＞
Ｎ＝３であり、変数ｓｉ及びｘｉが０－１変数であり、Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）＝Π１≦ｉ≦Ｎ(ｘｉ（＋）ｓｉ)であり、ｆ”（ｓ１，…，ｓＮ）が式(7)によって再帰的に定義され、制約条件が「ｘ１，ｘ２，ｘ３のうち、２つが１」である場合の具体例を示す。
　入力の多変数関数：ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＋ｈ（ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｗ）
　変換された多変数多項式：
ｑ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＋ｈ（ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｗ）
＝ｆ（０，１，１）ｘ２ｘ３＋ｆ（１，０，１）ｘ１ｘ３＋ｆ（１，１，０）ｘ１ｘ２＋ｈ（ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｗ）
　［ハードウェア構成］
　各実施形態における関数変換装置１，２，３は、例えば、ＣＰＵ（central processing unit）等のプロセッサ（ハードウェア・プロセッサ）やＲＡＭ（random-access memory）・ＲＯＭ（read-only memory）等のメモリ等を備える汎用または専用のコンピュータが所定のプログラムを実行することで構成される装置である。すなわち、各実施形態における関数変換装置１，２，３は、例えば、それぞれが有する各部を実装するように構成された処理回路（processing circuitry）を有する。このコンピュータは１個のプロセッサやメモリを備えていてもよいし、複数個のプロセッサやメモリを備えていてもよい。このプログラムはコンピュータにインストールされてもよいし、予めＲＯＭ等に記録されていてもよい。また、ＣＰＵのようにプログラムが読み込まれることで機能構成を実現する電子回路（circuitry）ではなく、単独で処理機能を実現する電子回路を用いて一部またはすべての処理部が構成されてもよい。また、１個の装置を構成する電子回路が複数のＣＰＵを含んでいてもよい。
　図５は、各実施形態における関数変換装置１，２，３のハードウェア構成を例示したブロック図である。図５に例示するように、この例の関数変換装置１，２，３は、ＣＰＵ（Central Processing Unit）１０ａ、入力部１０ｂ、出力部１０ｃ、ＲＡＭ（Random Access Memory）１０ｄ、ＲＯＭ（Read Only Memory）１０ｅ、補助記憶装置１０ｆ及びバス１０ｇを有している。この例のＣＰＵ１０ａは、制御部１０ａａ、演算部１０ａｂ及びレジスタ１０ａｃを有し、レジスタ１０ａｃに読み込まれた各種プログラムに従って様々な演算処理を実行する。また、入力部１０ｂは、データが入力される入力端子、キーボード、マウス、タッチパネル等である。また、出力部１０ｃは、データが出力される出力端子、ディスプレイ、所定のプログラムを読み込んだＣＰＵ１０ａによって制御されるＬＡＮカード等である。また、ＲＡＭ１０ｄは、ＳＲＡＭ (Static Random Access Memory)、ＤＲＡＭ (Dynamic Random Access Memory)等であり、所定のプログラムが格納されるプログラム領域１０ｄａ及び各種データが格納されるデータ領域１０ｄｂを有している。また、補助記憶装置１０ｆは、例えば、ハードディスク、ＭＯ（Magneto-Optical disc）、半導体メモリ等であり、所定のプログラムが格納されるプログラム領域１０ｆａ及び各種データが格納されるデータ領域１０ｆｂを有している。また、バス１０ｇは、ＣＰＵ１０ａ、入力部１０ｂ、出力部１０ｃ、ＲＡＭ１０ｄ、ＲＯＭ１０ｅ及び補助記憶装置１０ｆを、情報のやり取りが可能なように接続する。ＣＰＵ１０ａは、読み込まれたＯＳ（Operating System）プログラムに従い、補助記憶装置１０ｆのプログラム領域１０ｆａに格納されているプログラムをＲＡＭ１０ｄのプログラム領域１０ｄａに書き込む。同様にＣＰＵ１０ａは、補助記憶装置１０ｆのデータ領域１０ｆｂに格納されている各種データを、ＲＡＭ１０ｄのデータ領域１０ｄｂに書き込む。そして、このプログラムやデータが書き込まれたＲＡＭ１０ｄ上のアドレスがＣＰＵ１０ａのレジスタ１０ａｃに格納される。ＣＰＵ１０ａの制御部１０ａａは、レジスタ１０ａｃに格納されたこれらのアドレスを順次読み出し、読み出したアドレスが示すＲＡＭ１０ｄ上の領域からプログラムやデータを読み出し、そのプログラムが示す演算を演算部１０ａｂに順次実行させ、その演算結果をレジスタ１０ａｃに格納していく。このような構成により、関数変換装置１，２，３の機能構成が実現される。
　上述のプログラムは、コンピュータで読み取り可能な記録媒体に記録しておくことができる。コンピュータで読み取り可能な記録媒体の例は非一時的な（non-transitory）記録媒体である。このような記録媒体の例は、磁気記録装置、光ディスク、光磁気記録媒体、半導体メモリ等である。
　このプログラムの流通は、例えば、そのプログラムを記録したＤＶＤ、ＣＤ－ＲＯＭ等の可搬型記録媒体を販売、譲渡、貸与等することによって行う。さらに、このプログラムをサーバコンピュータの記憶装置に格納しておき、ネットワークを介して、サーバコンピュータから他のコンピュータにそのプログラムを転送することにより、このプログラムを流通させる構成としてもよい。上述のように、このようなプログラムを実行するコンピュータは、例えば、まず、可搬型記録媒体に記録されたプログラムもしくはサーバコンピュータから転送されたプログラムを、一旦、自己の記憶装置に格納する。そして、処理の実行時、このコンピュータは、自己の記憶装置に格納されたプログラムを読み取り、読み取ったプログラムに従った処理を実行する。また、このプログラムの別の実行形態として、コンピュータが可搬型記録媒体から直接プログラムを読み取り、そのプログラムに従った処理を実行することとしてもよく、さらに、このコンピュータにサーバコンピュータからプログラムが転送されるたびに、逐次、受け取ったプログラムに従った処理を実行することとしてもよい。また、サーバコンピュータから、このコンピュータへのプログラムの転送は行わず、その実行指示と結果取得のみによって処理機能を実現する、いわゆるＡＳＰ（Application Service Provider）型のサービスによって、上述の処理を実行する構成としてもよい。なお、本形態におけるプログラムには、電子計算機による処理の用に供する情報であってプログラムに準ずるもの（コンピュータに対する直接の指令ではないがコンピュータの処理を規定する性質を有するデータ等）を含むものとする。
　各実施形態では、コンピュータ上で所定のプログラムを実行させることにより、本装置を構成することとしたが、これらの処理内容の少なくとも一部をハードウェア的に実現することとしてもよい。
　なお、本発明は上述の実施形態に限定されるものではない。例えば、上述の各種の処理は、記載に従って時系列に実行されるのみならず、処理を実行する装置の処理能力あるいは必要に応じて並列的にあるいは個別に実行されてもよい。その他、本発明の趣旨を逸脱しない範囲で適宜変更が可能であることはいうまでもない。
　本発明は、例えば、量子アニーリングマシンやイジングマシンなどで組合せ最適化問題を解く際に利用できる。例えば、本発明によって、組合せ最適化問題の目的関数やそれと等価な０－１変数に関する多変数関数ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）を０－１変数に関する多変数多項式ｑ（ｘ１，…，ｘＮ）に変換できる。得られた多変数多項式ｑ（ｘ１，…，ｘＮ）は、非特許文献１および２等に記載された方法によって、QUBOの目的関数やそれと等価なイジングハミルトニアンに変換可能である。このように得られたQUBOの目的関数やイジングハミルトニアンを量子アニーリングマシンやイジングマシンなどに入力することで、高速に組合せ最適化問題を解くことができる。
１，２，３　関数変換装置
１０，２０　変換部
１１，２１　多変数関数値生成部
１２，２２　多変数多項式生成部

Claims (6)

  1. 　Ｎ個の変数ｘ１，…，ｘＮに関する任意の制約条件付き多変数関数ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）を、前記変数ｘ１，…，ｘＮに関する多変数多項式ｑ（ｘ１，…，ｘＮ）に変換する関数変換装置であって、
    　Ｎが１以上の整数であり、Ｎ個のｓ１，…，ｓＮが変数であり、（ｓ１，…，ｓＮ）＝（ｘ１，…，ｘＮ）のときにＰ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）＝１であり、（ｓ１，…，ｓＮ）≠（ｘ１，…，ｘＮ）のときにＰ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）＝０であり、
    　前記制約条件付き多変数関数ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）を入力とし、制約条件を満たす組（ｘ１，…，ｘＮ）と同一の（ｓ１，…，ｓＮ）についての多変数関数値ｆ’（ｓ１，…，ｓＮ）をｆ（ｓ１，…，ｓＮ）とし、前記制約条件を満たさない組（ｘ１，…，ｘＮ）と同一の（ｓ１，…，ｓＮ）についての多変数関数値ｆ’（ｓ１，…，ｓＮ）をｆ”（ｓ１，…，ｓＮ）とし、少なくとも一部の組（ｓ１，…，ｓＮ）についてｆ’（ｓ１，…，ｓＮ）Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）を足し合わせた前記多変数多項式ｑ（ｘ１，…，ｘＮ）を得て出力する変換部を有し、
    　前記多変数多項式ｑ（ｘ１，…，ｘＮ）の項数は、前記少なくとも一部の組（ｓ１，…，ｓＮ）についてｆ（ｓ１，…，ｓＮ）Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）を足し合わせた多変数多項式ｇ（ｘ１，…，ｘＮ）の項数よりも少ない、関数変換装置。
  2. 　請求項１の関数変換装置であって、
    　前記変換部は、
    　前記制約条件付き多変数関数ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）を入力とし、前記少なくとも一部の組（ｓ１，…，ｓＮ）についての前記多変数関数値ｆ’（ｓ１，…，ｓＮ）を得る多変数関数値生成部と、
    　前記多変数関数値ｆ’（ｓ１，…，ｓＮ）を入力とし、前記少なくとも一部の組（ｓ１，…，ｓＮ）についてｆ’（ｓ１，…，ｓＮ）Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）を足し合わせた前記多変数多項式ｑ（ｘ１，…，ｘＮ）を得て出力する多変数多項式生成部と、
    を有する関数変換装置。
  3. 　請求項１または２の関数変換装置であって、
    　前記変換部は、
    　すべての組（ｓ１，…，ｓＮ）についてｆ’（ｓ１，…，ｓＮ）Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）を足し合わせた前記多変数多項式ｑ（ｘ１，…，ｘＮ）を得て出力し、
    　前記多変数多項式ｑ（ｘ１，…，ｘＮ）の項数は、前記すべての組（ｓ１，…，ｓＮ）についてｆ（ｓ１，…，ｓＮ）Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）を足し合わせた多変数多項式ｇ（ｘ１，…，ｘＮ）の項数よりも少ない、関数変換装置。
  4. 　請求項３の関数変換装置であって、
    　前記変数ｘ１，…，ｘＮ∈｛０，１｝が二値変数であり、前記変数ｓ１，…，ｓＮ∈｛０，１｝が二値変数であり、Ｎ個のｋ１，…，ｋＮ∈｛０，１｝が二値変数であり、ｉ＝１，…，Ｎであり、ｘｉ －＝１－ｘｉであり、ｓｉ＝１のときｘｉ（＋）ｓｉ＝ｘｉであり、ｓｉ＝０のときｘｉ（＋）ｓｉ＝ｘｉ －であり、Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）＝Π１≦ｉ≦Ｎ(ｘｉ（＋）ｓｉ)であり、
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000001
    である、関数変換装置。
  5. 　Ｎ個の変数ｘ１，…，ｘＮに関する任意の制約条件付き多変数関数ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）を、前記変数ｘ１，…，ｘＮに関する多変数多項式ｑ（ｘ１，…，ｘＮ）に変換する関数変換装置の関数変換方法であって、
    　Ｎが１以上の整数であり、Ｎ個のｓ１，…，ｓＮが変数であり、（ｓ１，…，ｓＮ）＝（ｘ１，…，ｘＮ）のときにＰ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）＝１であり、（ｓ１，…，ｓＮ）≠（ｘ１，…，ｘＮ）のときにＰ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）＝０であり、
    　前記関数変換装置の変換部が、前記制約条件付き多変数関数ｆ（ｘ１，…，ｘＮ）を入力とし、制約条件を満たす組（ｘ１，…，ｘＮ）と同一の（ｓ１，…，ｓＮ）についての多変数関数値ｆ’（ｓ１，…，ｓＮ）をｆ（ｓ１，…，ｓＮ）とし、前記制約条件を満たさない組（ｘ１，…，ｘＮ）と同一の（ｓ１，…，ｓＮ）についての多変数関数値ｆ’（ｓ１，…，ｓＮ）をｆ”（ｓ１，…，ｓＮ）とし、少なくとも一部の組（ｓ１，…，ｓＮ）についてｆ’（ｓ１，…，ｓＮ）Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）を足し合わせた前記多変数多項式ｑ（ｘ１，…，ｘＮ）を得て出力する変換ステップを有し、
    　前記多変数多項式ｑ（ｘ１，…，ｘＮ）の項数は、前記少なくとも一部の組（ｓ１，…，ｓＮ）についてｆ（ｓ１，…，ｓＮ）Ｐ（ｓ１，…，ｓＮ，ｘ１，…，ｘＮ）を足し合わせた多変数多項式ｇ（ｘ１，…，ｘＮ）の項数よりも少ない、関数変換方法。
  6. 　請求項１から４の何れかの関数変換装置としてコンピュータを機能させるプログラム。
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