CN112017130B - 基于自适应各向异性全变分正则化的图像复原方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出一种基于自适应各向异性全变分正则化的图像复原方法，其步骤为：首先，利用图像设备获取原始图像，计算原始图像在x方向和y方向的梯度映射；其次，基于权重自适应理论对各向异性全变分正则化模型进行改进，得到新型非光滑非凸的去噪模型；最后，利用迭代重加权算法计算新型非光滑非凸的去噪模型近似解，并利用交替极小化算法对近似解模型进行求解，获得最终的复原图像。本发明采用迭代重加权算法求解非凸优化问题，避免了不同区域上收敛速度的不平衡问题，并且在消除阶梯效应的同时更好的保留图像重要几何结构；利用复原后的图像作为新一轮迭代的初始图像，使得复原图像的去噪效果更好，更接近于原始的清晰图像。

Description

基于自适应各向异性全变分正则化的图像复原方法

技术领域

本发明涉及图像处理的技术领域，特别是指一种基于自适应各向异性全变分正则化的图像复原方法，主要涉及图像的去噪，可用于医学图像中的疾病诊断和病灶检测分析。

背景技术

图像去噪是图像处理领域的基本任务之一，它的目标是降低或消除噪声退化，从而更清晰、更容易识别图像的特征。通常情况下，在图像获取和信号传输过程中，采集的图像往往不可避免地受到内部因素(如：成像设备、传感器温度)和外部因素(如：非均匀光照、工作环境)等的干扰，导致采集图像含有大量噪声，造成图像失真。含噪图像不仅妨碍人们的视觉感知，而且直接影响图像处理后续研究的高效进行(如：图像特征提取、医学图像分割、偏移场校正、指纹自动识别等)，因此，图像去噪的研究范围也越来越广泛，如：对医学领域中噪声图像复原利于后续疾病的诊断和病理特征的分析；航天遥感领域中失真图像的分析和复原等。

关于图像去噪问题，大多数现有的变分模型主要还是考虑各向同性，即

和

在x轴和y轴方向上给出相同的惩罚。事实上，由于一幅图像包含许多不同的特征，当观测到的图像被细节干扰时，这些方法就会缺少鲁棒性，无法得到高质量的复原结果。此外，现存的各向异性模型虽然在x轴和y轴方向上给出不同的惩罚，但非光滑凸模型始终选择对原始图像进行复原，所以在保持边界信息方面依然存在一定的局限。

发明内容

针对现有图像去噪方法很少关注图像的细节信息，未能有效地描述图像的局部结构特征，无法得到高质量复原结果的技术问题，本发明提出一种基于自适应各向异性全变分正则化的图像复原方法，考虑了细节信息对图像的干扰，将梯度算子

和自适应加权矩阵T_u耦合到全变分范数中，提高图像的复原结果。

本发明的技术方案是这样实现的：

一种基于自适应各向异性全变分正则化的图像复原方法，其步骤如下：

S1、计算获取的原始图像在x方向和y方向的梯度映射；

S2、基于加权矩阵与梯度映射的耦合，构建各向异性全变分正则化模型；

S3、基于权重自适应理论对各向异性全变分正则化模型进行改进，得到新型非光滑非凸的去噪模型；

S4、利用迭代重加权算法求出新型非光滑非凸的去噪模型的近似解模型，并利用交替极小化算法将近似解模型转化为鞍点问题进行求解，获得最终的复原图像。

所述原始图像为：f(x,y)＝u(x,y)+η(x,y)，其中，f(x,y)是图像设备获取的原始图像在坐标位置(x,y)处的像素值，u(x,y)是复原图像在坐标位置(x,y)处的像素值，η(x,y)表示白噪声；把原始图像简写为：f＝u+η。

所述各向异性全变分正则化模型为：

其中，λ表示正的正则化参数，u为复原图像，f为原始图像，

表示复原图像u的梯度，||·||₂表示l₂范数，||·||_2,1表示l₁范数，加权矩阵

t₁表示边缘检测函数在x方向的权重，t₂表示边缘检测函数在y方向的权重，κ表示正的参数，G_σ表示高斯卷积核，

为原始图像在x方向的梯度映射，

为原始图像在y方向的梯度映射。

所述新型非光滑非凸的去噪模型为：

其中，加权矩阵

是边缘检测函数，t_1u表示边缘检测函数在x方向的权重，t_2u表示边缘检测函数在y方向的权重，

为复原图像在x方向的梯度映射，

为复原图像在y方向的梯度映射。

所述利用迭代重加权算法求出新型非光滑非凸的去噪模型的近似解模型为：

其中，

是基于第k次迭代后的复原图像的边缘检测函数，u^k+1表示k+1次输出的复原图像。

所述利用交替极小化算法将近似解模型转化为鞍点问题进行求解，获得最终的复原图像的方法为：

S31、引入辅助变量

和

利用增广拉格朗日方法将近似解模型转化为鞍点模型：

其中，α和β均表示拉格朗日乘子，

基于迭代后已知的复原图像的边缘检测函数，

表示已知的复原图像；

S32、初值选取：根据正的正则化参数λ>0，初始化初始值u⁰,v⁰,α⁰,β⁰,

S33、迭代：

其中，w^k表示变量w第k次迭代的结果，v^k表示变量v第k次迭代的结果，w^k+1表示关于变量w的最优解，v^k+1表示关于变量v的最优解；γ₁和γ₂均表示惩罚参数，

表示基于第k次迭代后的复原图像的边缘检测函数，

表示第k次迭代后复原图像u的梯度，α^k表示k次迭代的拉格朗日乘子，α^k+1表示k+1次迭代的拉格朗日乘子，β^k表示k次迭代的拉格朗日乘子，β^k+1表示k+1次迭代的拉格朗日乘子，u^k+1表示k+1次的复原图像，

表示第k+1次迭代后复原图像u的梯度，

表示经过k+1次迭代后的复原图像；

S34、迭代次数k:＝k+1，判断迭代次数k是否达到500次或前后两次迭代的复原图像的相对误差满足约束条件，迭代停止，输出复原图像，否则，返回步骤S33。

所述复原图像的相对误差满足的约束条件为：

本技术方案能产生的有益效果：

(1)本发明基于现有的去噪模型，将梯度算子

和自适应加权矩阵耦合到全变分范数中，利用加权矩阵不仅可以增强图像边缘沿切线方向的扩散，而且能够耦合图像在坐标轴方向的权重，从而提高图像复原的质量。

(2)本发明采用迭代重加权算法求解非凸模型的近似解，利用复原后的图像作为下一轮迭代的初始图像参与边缘检测，使得在迭代过程中，复原后的图像逐步接近于原始的清晰图像。所提模型不仅具有保持图像边缘的优点，而且对图像细节的描述更加具有鲁棒性。

(3)本发明采用交替方向乘子法，将原问题转变成一些容易求解的子问题。交替方向乘子法(ADMM)求解子问题，即通过引入辅助变量，将原问题转变成若干个子问题，使得每个子问题都更容易求解。

(4)本发明可用于不同噪声水平的自然图片，例如原始图像被添加不同噪声水平的高斯白噪声所破坏，其标准方差分别为σ＝0.01,0.05,0.1，本发明可以广泛应用于后续的计算机图像分析领域，如图像分割、医学图像重建或配准等。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本发明的流程图。

图2为本发明选取的三幅测试图像分别是“Lena”，“Cameraman”和“Boat”的自然图像，高斯白噪声图(σ＝0.05)，(a)、(b)和(c)为添加噪声后的待复原图像。

图3为本发明和现有图像去噪方法对图2中的噪声图像进行去噪后的结果对比图；其中，(a3)为本发明利用自适应加权理论(ADATV方法)对图2中Lena噪声图像去噪后的复原图像，(a1)和(b1)分别为ROF方法和ATV方法对Lena噪声图像去噪之后的复原图像；(b3)为本发明利用自适应加权理论(ADATV方法)对图2中Cameraman噪声图像去噪后的复原图像，(b1)和(b2)分别为ROF方法和ATV方法对Cameraman噪声图像去噪之后的复原图像；(c3)为本发明利用自适应加权理论(ADATV方法)对图2中Boat噪声图像去噪后的复原图像，(c1)和(c2)分别为ROF方法和ATV方法对Boat噪声图像去噪之后的复原图像。

图4为本发明和现有图像去噪方法对图2中的噪声图像进行复原后的局部放大结果对比图。其中，(a6)为本发明利用自适应加权理论(ADATV方法)对图2中Lena噪声图像去噪后复原图像的局部放大图，(a4)和(a5)分别为ROF方法和ATV方法对Lena噪声图像去噪之后的复原图像的局部放大图；(b6)为本发明利用自适应加权理论(ADATV方法)对图2中Cameraman噪声图像去噪后复原图像的局部放大图，(b4)和(b5)分别为ROF方法和ATV方法对Cameraman噪声图像去噪之后的复原图像的局部放大图；(c6)为本发明利用自适应加权理论(ADATV方法)对图2中Boat噪声图像去噪后复原图像的局部放大图，(c4)和(c5)分别为ROF方法和ATV方法对Boat噪声图像去噪之后的复原图像的局部放大图。

图5为本发明和现有图像去噪方法对图2中的自然年图像和复原图像进行残差对比的结果。其中，(a9)为本发明利用自适应加权理论(ADATV方法)对图2中Lena自然图像和复原图像间的残差图，(a7)和(a8)分别为ROF方法和ATV方法对Lena自然图像和复原图像间的残差图；(b9)为本发明利用自适应加权理论(ADATV方法)对图2中Cameraman自然图像和复原图像间的残差图，(b7)和(b8)分别为ROF方法和ATV方法对Cameraman自然图像和复原图像间的残差图；(c9)为本发明利用自适应加权理论(ADATV方法)对图2中Boat自然图像和复原图像间的残差图，(c7)和(c8)分别为ROF方法和ATV方法对Boat自然图像和复原图像间的残差图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有付出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

如图1所示，本发明实施例提供了一种基于自适应各向异性全变分正则化的图像复原方法，基于自适应加权理论，使得该矩阵可以旋转梯度算子趋于较大权值的方向，从而描述图像的细节信息，然后，根据噪声的先验信息，计算图像的梯度映射来消除噪声，最后得到高质量的去噪结果，具体步骤如下：

S1、计算获得的原始图像在x方向和y方向的梯度映射；设备获取图像的过程不可避免的会产生噪声，这些干扰会给后期图像处理带来麻烦，比如对精度要求高的医学图像。本发明选取了图像处理中去噪常用的三幅自然图像“Lena”，“Cameraman”和“Boat”，通过添加高斯白噪声(噪声水平σ＝0.05)得到如图2所示的待复原的原始图像f(x,y)：

f(x,y)＝u(x,y)+η(x,y)，

其中，f(x,y)是图像设备获取的原始图像在坐标位置(x,y)处的像素值，u(x,y)是复原图像在坐标位置(x,y)处的像素值，η(x,y)表示高斯白噪声。

把原始图像简写为：f＝u+η。

计算原始图像在x方向和y方向的的梯度映射的方法为利用数据拟合项

衡量复原图像u与原始图像f的拟合程度，利用正则项

描述噪声的先验信息。

S2、基于加权矩阵与梯度映射的耦合，构建各项异性全变分正则化模型；经典的全变分正则化模型(ROF)为各向同性，原始图像在x方向和y方向的的梯度映射相等。为了更好的保持边界信息，又提出了各向异性全变分正则化模型(ATV)。通过将加权矩阵T与梯度算子

耦合到全变分范数中，将梯度算子旋转趋于较大权值的方向，所述各项异性全变分正则化模型为：

其中，λ表示正的正则化参数，u为复原图像，f为原始图像，

表示复原图像u的梯度，||||₂表示l₂范数，||·||_2,1表示l₁范数，加权矩阵

t₁表示边缘检测函数在x方向的权重，t₂表示边缘检测函数在y方向的权重，κ表示正的参数，G_σ表示高斯卷积核，

为原始图像在x方向的梯度映射，

为原始图像在y方向的梯度映射。

S3、基于权重自适应理论对梯度映射模型进行改进，得到新型非光滑非凸的去噪模型；

使用自适应加权矩阵T_u代替步骤S2中加权矩阵T来耦合梯度算子

。复原图像u更新之后，利用复原后的图像作为新一轮迭代的初始图像，加权矩阵T_u也随之更新，这意味着T_u能自适应的检测到图像的边界信息，获得更好的复原效果。所述新型非光滑非凸的去噪模型为：

其中，加权矩阵

是边缘检测函数，t_1u表示边缘检测函数在x方向的权重，t_2u表示边缘检测函数在y方向的权重，

为复原图像在x方向的梯度映射，

为复原图像在y方向的梯度映射。针对全变分项中x与y方向的微分权重是不同的，因此模型具有各向异特性，从而能达到刻画图像结构特征的目的。拟合项

衡量了复原图像u与原始图像f的拟合程度，确保去噪后的复原图像与原始图像不要偏差太远。正则项

描述了噪声的先验信息，使得去噪后的图像具有一定的平滑性。这里使用T_u作为函数来表示t_1,u和t_2,u的变化，当

时，梯度方向

将倾向于水平差分方向dx。这种情况下，dx的差分方向变化对于退化图像是有利的，反之亦然。

S4、利用迭代重加权算法对新型非光滑非凸的去噪模型进行求解，得到近似解模型，并利用交替极小化算法对近似解模型进行求解，获得最终的复原图像。

由于耦合T_u和

使得步骤S2中基于权重自适应理论提出的模型是非光滑非凸的优化模型，数值求解困难。考虑采用迭代重加权全变分算法理论求解新型非光滑非凸的去噪模型的近似解，得到近似解模型为：

其中，

是基于第k次迭代后的复原图像的边缘检测函数，u^k+1表示k+1次的复原图像。通过迭代次数不断更新，非凸全变分权重相应更新，最终得到极小化值。利用复原后的图像作为参与新一轮迭代的初始图像，使得在迭代过程中，复原图像的去噪效果更好，更接近于原始的清晰图像。本发明所提近似解模型是多变量优化问题，其中变量T_u,

是耦合在一起的，如果直接求解，则需要求解大规模的问题，从而导致数值求解困难。为了克服这一问题，本发明采用交替方向乘子算法进行求解，即将同时求解多个变量的问题转化为依次求解单个变量的过程。

由于近似解模型是多变量优化问题，在求解其中一个变量的过程中固定其它两个变量，即使用经典的交替方向乘子算法求解。通过引入辅助变量，将原问题转化为若干个子问题，使得每个子问题都更容易求解。所述利用交替极小化算法对近似解模型进行求解，获得最终的复原图像的方法为：

S31、为了解耦线性算子

和T_u，引入辅助变量

和

利用增广拉格朗日方法将近似解模型转化为鞍点模型：

其中，α和β均表示拉格朗日乘子，

表示基于迭代后已知的复原图像的边缘检测函数，

表示已知的复原图像；

S32、初值选取：根据正的正则化参数λ>0，初始化初始值u⁰,v⁰,α⁰,β⁰,

S33、迭代：

其中，w^k表示变量w第k次迭代的结果，v^k表示变量v第k次迭代的结果，w^k+1表示关于变量w的最优解，v^k+1表示关于变量v的最优解；γ₁和γ₂均表示惩罚参数，

表示基于第k次迭代后的复原图像的边缘检测函数，

表示第k次迭代后复原图像u的梯度，α^k表示k次迭代的拉格朗日乘子，α^k+1表示k+1次迭代的拉格朗日乘子，β^k表示k次迭代的拉格朗日乘子，β^k+1表示k+1次迭代的拉格朗日乘子，u^k+1表示k+1次的复原图像，

表示第k+1次迭代后复原图像u的梯度，

表示经过k+1次迭代后的复原图像；

S34、迭代次数k＝k+1，判断迭代次数k是否达到500次或前后两次迭代的复原图像的相对误差满足约束条件，迭代停止，输出复原图像，否则，返回步骤S33。

所述复原图像的相对误差满足的约束条件为：

从附图3、附图4和附图5的复原图、局部放大及残差图可以看出相比于ROF模型和ATV模型，本发明方法在保持边界信息和刻画局部特征方面优势更加明显。

本发明的实验平台为：因特尔酷睿处理器5500U，CPU@2.40赫兹，8G内存个人笔记本，使用Matlab2018进行程序设计。

具体实验一：

由图2可以直观地发现分别将(Lena)、(Cameramen)、(Boat)和(Noise)两两进行合成得图像(a)、(b)、(c)。通过本发明和现有基于全变分方法对图2中的噪声图像(a)、(b)、(c)进行去噪并对比。其中，图3中(a3)为本发明对图2中(a)进行去噪后的复原图像结果，(b3)为本发明对图2中(b)进行去噪后的复原图像结果，(c3)为本发明对图2中(c)进行去噪后的复原图像结果。

从图3中的(a3)、(b3)和(c3)可以直接看出，本发明方法消除噪声得到复原图像时能够准确地提取图像边缘信息，从而验证了本发明拥有更高质量的复原结果。

具体实验二：

分别用本发明和基于全变分的分解方法对三幅自然图像局部放大，结果如图4，其中：(a4)、(b4)和(c4)分别为复原图(a1)、(b1)和(c1)的局部放大区域图，(a5)、(b5)和(c5)分别为复原图(a2)、(b2)和(c2)的局部放大区域图，(a6)、(b6)和(c6)分别为复原图(a3)、(b3)和(c3)的局部放大区域图。通过局部细节图，可以很好的展示本发明的方法更具有鲁棒性。

图5是用现有基于全变法的去噪方法和本发明方法对自然图与复原图的残差结果对比，其中：(a7)、(a8)和(a9)分别是以上三种模型对基于ROF模型、ATV模型和本发明中提出的模型对Lena进行的残差分析，(b7)、(b8)和(b9)分别是以上三种模型对Cameramen进行的残差分析，(c7)、(c8)和(c9)分别是以上三种模型对Boat进行的残差分析。

从图4中(a4)、(b4)和(c4)展示的局部放大看出，ROF方法去噪的同时产生了阶梯效应，所以复原后的边界并不是很清晰。从图4中的(a5)、(b5)和(c5)展示的局部放大发现，ATV方法去噪的同时消除了部分阶梯效应，所以复原效果比ROF模型的复原效果明显。通过图4的(a6)、(b6)和(c6)展示的局部放大可以发现本发明不仅能够有效地抑制阶梯现象，而且放大的Lena眼角和帽檐处、Cameramen的支架处、Boat的船头和桅杆纹理清晰，保持边界效果明显，体现了本发明方法的有效性和鲁棒性。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (3)

1.一种基于自适应各向异性全变分正则化的图像复原方法，其特征在于，其步骤如下：

S1、计算获取的原始图像在x方向和y方向的梯度映射；

S2、基于加权矩阵与梯度映射的耦合，构建各向异性全变分正则化模型；

所述各向异性全变分正则化模型为：

其中，λ表示正的正则化参数，u为复原图像，f为原始图像，

表示复原图像u的梯度，||·||₂表示l₂范数，||·||_2,1表示l₁范数，加权矩阵

表示边缘检测函数在x方向的权重，t₂表示边缘检测函数在y方向的权重，κ表示正的参数，G_σ表示高斯卷积核，

为原始图像在x方向的梯度映射，

为原始图像在y方向的梯度映射；

S3、基于权重自适应理论对各向异性全变分正则化模型进行改进，得到新型非光滑非凸的去噪模型；

所述新型非光滑非凸的去噪模型为：

其中，加权矩阵

是边缘检测函数，t_1u表示边缘检测函数在x方向的权重，t_2u表示边缘检测函数在y方向的权重，

为复原图像在x方向的梯度映射，

为复原图像在y方向的梯度映射；

S4、利用迭代重加权算法求出新型非光滑非凸的去噪模型的近似解模型，并利用交替极小化算法将近似解模型转化为鞍点问题进行求解，获得最终的复原图像；

所述新型非光滑非凸的去噪模型的近似解模型为：

其中，

是基于第k次迭代后的复原图像的边缘检测函数，u^k+1表示k+1次输出的复原图像；

所述获得最终的复原图像的方法为：

S31、引入辅助变量

和

利用增广拉格朗日方法将近似解模型转化为鞍点模型：

其中，α和β均表示拉格朗日乘子，

基于迭代后已知的复原图像的边缘检测函数，

表示已知的复原图像；

S32、初值选取：根据正的正则化参数λ>0，初始化初始值u⁰,v⁰,α⁰,β⁰,

S33、迭代：

其中，w^k表示变量w第k次迭代的结果，v^k表示变量v第k次迭代的结果，w^k+1表示关于变量w的最优解，v^k+1表示关于变量v的最优解；γ₁和γ₂均表示惩罚参数，

表示基于第k次迭代后的复原图像的边缘检测函数，

表示第k次迭代后复原图像u的梯度，α^k表示k次迭代的拉格朗日乘子，α^k+1表示k+1次迭代的拉格朗日乘子，β^k表示k次迭代的拉格朗日乘子，β^k+1表示k+1次迭代的拉格朗日乘子，u^k+1表示k+1次的复原图像，

表示第k+1次迭代后复原图像u的梯度，

表示经过k+1次迭代后的复原图像；

S34、迭代次数k:＝k+1，判断迭代次数k是否达到500次或前后两次迭代的复原图像的相对误差满足约束条件，迭代停止，输出复原图像，否则，返回步骤S33。

2.根据权利要求1所述的基于自适应各向异性全变分正则化的图像复原方法，其特征在于，所述原始图像为：f(x,y)＝u(x,y)+η(x,y)，其中，f(x,y)是图像设备获取的原始图像在坐标位置(x,y)处的像素值，u(x,y)是复原图像在坐标位置(x,y)处的像素值，η(x,y)表示白噪声；把原始图像简写为：f＝u+η。

3.根据权利要求1所述的基于自适应各向异性全变分正则化的图像复原方法，其特征在于，所述复原图像的相对误差满足的约束条件为：

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